高数习题册参考答案3
第三册 参 考 答 案
第七章 §7.4
1.（1）])1ln()[1(11C x x y x
+-+-=-； （2）)(C e x y x n +=； （3）x e C x y sin )(-+=； （4）y y y C x ln ln ln ln ?-=； （5）22
1
3y Cy x +
=； （6）x
x y cos 1--=π. 2. )ln 41(x x y -=.
3.（1）x Cx y ln 11++=； （2）22
14)ln (C x x y +=； （3）)ln 2(42C y y x +-=. §7.5
1.（1）x x e C e C y 3221-+=； （2）)3sin 3cos (21x C x C e y x +=-；
（3）x
x
e C e C y )21(2)21(1-
+
+=； （4）x e x C C y )(21+=.
2.（1）x e
y x
3cos 4=； （2）2
)2(x e
x y -+=； （3）x e y -+=2.
3.)1(0
t M K
e K
v M s --= .
第七章 总复习题
1.（1）B ；（2）C ；（3）A ；（4）A ；（5）D ；（6）D ；（7）B ；（8）A ；（9）B ；（10）C.
2.（1）x C x y cos )(+=； （2）)1sin cos (21++=x C x C e y x ；
（3）x x e x C e C y 24
1221)(--+
+=； （4）x
x e x e x C C y 222
1221)(--++=； （5）Cx y x =-4)4(； （6）x x C x C y 2sin cos 21-+=； （7）)2sin 2cos (21x C x C e y x +=-； （8）x e x C C y x ++=)(21.
3.（1） sin (ln )x y e x x x C -=-+；（2）2ln ||10|y y x -++=；
（3）C xy y x x =-+223（全微分方程，通过凑微分即可找到),(y x u ，从而易得其解）； （4）由线性叠加原理并观察可发现：x e y y -=-31 和 x e y y y y 23123)(2)(=-+-应 是对应的齐次方程的解，所以齐次方程为02=-'-''y y y ；再把)(21y y 或代入方程的左端，可知非齐次项应为x e x x f )21()(-=，故该微分方程为x e x y y y )21(2-=-'-''； （5）这是简单的积分方程，两端求导得x e x f x f 22)(3)(+='，即x e x f x f 22)(3)(=-' 且1)0(=f ，于是转化成了一阶线性方程的初值问题，容易求得x x e e x f 2323)(-=； （6）1234cos sin x x y C e C e C x C x -=+++ ；
（7）旋转体的体积?=-=t
x x f f t f t t V 1
22
3
d )()]1()([)(ππ，约去π并两端对t 求导得
)()]()(2[223
1t f t f t t f t ='+，即)(x f y = 满足 23
2y y y x =+'，这是齐次方程，也是
2=n 的贝努利方程，其通解为3
1x C x
y +=，而要求的特解为3
1x x
y +=；
（8）当1
0)(=x ?，02=-'y y 的通解为x e C y 22=.由y 在) ,(∞+-∞内连续，特别在1=x 处连续，应有
22211e C e C =-，所以2
2
12---=-=e C e C C ，故通解为 ?????>-≤-=-,
1 ,)(,1 ,1222x e e C x Ce y x
x 而满足条件的特解（1=C ）为 ?????>-≤-=-;
1 ,)1(,
1 , 1 222x e e x e y x
x
（9）21ln )(C x C x f +=.
4.①?-=x
t a ax t e t f e y 0
d )(； ② 由①知：若k x f ≤)(，则当0≥x 时，便有
)1(d d )( d )()( 0
x
a a
k x
t a x a x
t a x a x
t a x a e t e ke t e t f e t e t f e x y -----=≤≤=???. 第八章 §8.1
1.(略).
2.c b a 7 11
5+-. 3. 证明：如右图.
)
(2
1
)(2121
+=-+=+=+=
同理有 )(2
1
+=
故 OE OD OC OB OA 4=+++
4.A 在xOy 面上； B 在原点； C 在x 轴上； D 在y 轴上； E 在yOz 面上.
5.关于xOy 面：),,(c b a -； 关于yOz 面：),,(c b a -； 关于xOz 面：),,(c b a -； 关于原点： ),,(c b a ---.
6.与原点：25； 与x 轴：34； 与y 轴：41； 与z 轴：5.
7.),0,0(14.
8.（1
（2）夹角29
3
arccos
=θ.
9.（1）垂直于x 轴，平行于yOz 面； （2）指向与y 轴正向一致，垂直于xOz 面； （3）平行于z 轴，垂直于xOy 面.
10.3 ,38 ,3===c b a ；0003 ,38 ,3 c c b b a a ===. 11.13，j 7.
§8.2
1.2=λ；4-=μ.
2.}1 ,1 ,1{31-或}1 ,1 ,1{31--.
3.4-=z 时最小，最小夹角为4π.
4.2
3-. 5.（1）)(2b a ?； （2）)(3c b a ??；
（3）c b a ??)(2； （4）2
2b a ?.
7.设},,{z y x =e ，则1222=++=z y x e ，022=+-=?z y x c e ，又b a e 、、共
面，可知 } , ,{ ,02323132-==+e z y 或 } , ,{3
23132--=e . §8.5
1.双曲柱面；单页双曲面；椭圆抛物面；椭圆抛物面.
2.0)2(4)(2=+-+z x z y .
3.
04
)1(9252
22=--+z y x . 4.（1）绕y 轴：
122
2=-
+y z x （单叶双曲面）；
绕z 轴：
19
4
2
22
=-
+y x z （双叶双曲面）；
（2）
+--+--3)2(3)2(22z x y z y x 8
)(3)2(2
2z y x x y z ++=--
5.（1）0122222=-+-+z z y x ；
（2）π3
2.
§8.6
1.（1）直线； （2）椭圆； （3）抛物线； （4）圆.
2.t z t y t x sin 3 ,sin ,cos 2323===，π20≤≤t .
第八章 总复习题
1.4.
2.1.
3.30.
4.（1）
222149x z y +-=， 222
149
z x y +-=； （2）2225556660x y z xy xz yz ++---= 。
5. （1）2222210x y z z +-+-=；（2）2
3
π。
6.0322=-+z y x .
7.0=-z y .
8.043=+--z y x . 9.023=++-z y x . 10. )4 ,2 ,5(-. 11. 0143=+-+z y x 和.0352=+--z y x
第九章 §9.4
1.（1）3
3
23x
x x
x
e e e x e
++； （2）0；
（3）)(22
12f y f x f x '+'+； 223123223f y x f x f x ''+''+'； （4）y uv u y v uv sin )2(cos )2(22-+-；
或2
3sin cos (cos sin )x y y y y -
y x uv u y x v uv cos )2(sin )2(22-+--；
或332(sin cos )(1sin 2)
x y y y +- （5）]sin cos )([12x x a z y a a e ax
++-+（或sin ax
e x ）.
2.][x t x y f x f ???????????++ψ??.
3.证：y x f f x
f
22ηξ
??????+=， x y f f
y
f
2)2(η
ξ
??????+
-=，
]22[2]22[222
222222
2y x y y x x f f
f f
f x f ηξηηξξξ
???????????
???+++
+=
ξ
ηη
ξξ?????????+++=f
f f f y xy x 24842
22
2
22
2
， ① ]2)2([2]2)2([222
2
2
2
22
2
2x y x x y y f
f f f f y f ηξηηξξξ??????????????+-++---= ξηη
ξξ?????????-+-=
f
f f
f x xy y 24842
222
2
22 ， ② ∴
2
22
22
22
2)
(4)
(42
2
2
2
ηξ????????+++=+
f f y f x f y x y x
0])[(42
2
22
22=++=????ηξf
f y x . 4.证：)
()(22u f u f y x x
z '-??=， )
()
2)(()(12u f y u f y u f y
z
-'-???=，
∴ 2
22
2)
(1)
()
(2)(1)()(2111
][][y z
u f y u f u f y u f y u f u f y x x
y z y x z x =
=+=+'+'-????.
5.2
112
f f z y x '+'- ； 22
f z y
'-.
6.2x e
-；2
2
222y y e y e
--+-. 7.g g f f f y x f x y x
y x y ''-'-''-'-''+'1222111
1.
§9.5
1.（1）y x d d --； （2）-1，1.
2.（1）xy e F yz F xyz e F z
z x z
-='-='-= , ,， ∴ xy
e yz F z z x -''?=-=； （2）x z
z xy y x e x z xy e e z z z ?????+-==12 ,，∴xy e yz x z z -??=
（3）z xy y xz x yz z e xyz e z z d d d d d d ++=?=
xy
e y xz x yz z z -+=?d d d ，∴ xy
e yz x z
z -??=，xy
e xz y z z -??=3.dy dx dz 2-=
4.22y x uy vx +-；22y
x ux vy ++. 5.1)cos (sin sin +-v v e v u ； ]
1)cos (sin [cos +--v v e u e v u u
； 1
)cos (sin cos +--v v e v
u ； ]
1)cos (sin [sin +-+v v e u v
e u u
. 6.)1)(()(y
x F F y x f x y x f ''
-+'++. §9.6
1.共有两条，两切点分别为 )1 ,1 ,1(-- 和 ) , ,(111--；点)1 ,1 ,1(--处的切线方程为 111
+-+=
=
z y x ，而点 ) , ,(111-- 处的切线方程为 3
27
12
9
11
31
+--+=
=
z y x .
2.)3 ,1 ,3(--； 1
33
1
13-++=
=
z y x .
3.提示：视x 为参数，则曲线方程为 x z x y x x -=-==2 ,2 ,，
任意点的切向量}
, ,1{2211x
x
---=T ，所求切线为 2
111
211---+-=
=z y x ；
而法平面为 0)1()2()1(1=--+--z y x . 4.0)1(2)2(=-+-y x 即 42=+y x ； 02
1
1
2z y x ==-- ，即 ?????==--.
0 ,12z y x 5. 542=-+z y x .
6.提示：曲面上任一点),,(c b a P 处的法向量为 } , , {2112f n f m f f '-'-''=n ，该法向量与
定方向}1 , ,{m n =s 垂直，故切平面与定直线（以s 为方向向量）平行.
7.提示：曲面上任一点),,(000z y x P 处的法向量为 } , ,{0
212121z y x =n ，点P 处的切
平面为
0)()()(021*******
=-+-+-z z y y x x z y x ，即
10
=+
+
z a z y a y x a x ，它在三坐标轴上的截距之和为
a a a z y x a z a y a x a ==++=++)(000000是常数.
评注：空间曲线上一点处的切线与法平面的核心是曲线在此点的切向量，而曲面上一点处
的切平面与法线的核心是曲面在此点的法向量.
第十章 §10.1
1.A
2.(1)A ，C ，E ；(2)A.
3. A
4.16，0，0，64.
5.D
6.二重积分的值为负（提示：在区域1122≤+≥+y x y x D 且：内，，0)ln(22≤+y x .）.
7.8
1（提示：这是含有二重积分的简单积分方程，尽管函数),(y x f 并不知道，但注意 C y x f D =?? d ),(σ 是常数（这一点很重要）
，因此，对等式两端同时在D 上积分，得 ??????+=D D D C y x y x f d d d ),(σσσ， 即 ????=-D
D y x C d )d 1(σσ，于是 ()??????-==D
D D y x C y x f d 1d d ),(σσ
σ，而3
1
1
0 2
d d d ==?
???x D y x σ是D 的面积）. §10.2（1）
1.（1）????--==111
1
2
d ),(d d ),(d x y
y
y y x f x x y x f y
I ；
（2）??+-=
22
1
2
d ),(d y y x y x f y I
????--+=x x x
x
y y x f x y y x f x
2
41
1
d ),(d d ),(d ；
（3）??
?????-------
--
------+????
??++=222
22
22
2993
191191
1991
3d ),(d d ),(d ),(d d ),(d x x x x x x x x y y x f x y y x f y y x f x y y x f x I
???????---------
------+???
??
?
?++=222
22
22
2993
1911911991
3d ),(d d ),(d ),(d d ),(d y y y y y y y y x y x f y x y x f x y x f y x y x f y
.
2.（1）?
?y
y x y x f y 2 2 0
2
d ),(d ； （2）?
?---2
2
1 1 1 0
d ),(d y y x y x f y ；
（3）
??-28 2
2 0 d ),(d y y
x y x f y ；（4）?
?-x
x y y x f x sin 2
sin
d ),(d π
.
3.（1）
336421；（2）π23-；（3）12e
-； （4）3
2
；
（4）解：区域D(如右图)关于坐标轴以及
原点对称，且y y x f =),(1具有性质：
),(),(11y x f y x f -=-，于是0=??D
ydxdy
32
d xd 4d d x d yd d d x d y)d x (1
=
==+=+??????????D D
D
D
D
y x y
x y x y x y x
（5）1130
. 4.提示：按给定的积分次序计算根本积不出，因此，必须交换积分次序后再计算.
（1）1sin 1-； （2）4； （3）2348ππ+.
5.22d d d sin cos 4
5 4 ===?
???x
x
D
y x A ππ
σ. 6.6
17 22d )6(=--=??D
y x V σ（其中 D 是由1 ,0 ,0=+==y x y x 所围成的闭区域）.
7.11
ln ++a b （提示：????==1
1
d d d d x x y y x x I y b
a
b
a
y ）.
§10.3（2）
1.（1）?
?
?--+----++2
22
2
2
2
2 2221 1 1
1 d )(d d y x y
x x x z z y x f y x ；
（2）?
??-+2
2 221
2 0
d )(d d ρρ
π
ρρρθz z f ；
（3）
?
?
?2
24
2 0
d sin )(d d r r r f ??θπ
π
.
2.（1）2
2 3
923245 0
d d d z π
ρθρρπ
-=?
??
； （2）
πθρρθρ
π
52
2 0
21 0
32 0
d cos d d =?
??z .
3.（1）原式=π??θπ
π
30)258(1
344 0 2 0 d sin d d -=???
r r ；
（2）原式=
4
6
7cos 2 0
3
4
2 0
d cos sin d d a r r a π???θ?π
π
=?
?
?. 4.（1）ππρρθπρ
ππ
4d sin d d 3 0 2 0 -==???
z z I ； （2）π???θ??
π
π
11cos 2 cos 1
3
4 0
2 0 d cos sin d d =
=?
?
?r r I ；z
2
11
12 1
D zdz dxdy I π=
=?
?
（3）π??θπ
π
)12(d sin d d 5
486
2
3 0
44
2
-=
=
?
?
?r r I .
5.8
1 0
1 0
d d d d ===?
?????Ω
y
x x
z y x V V . §10.4
1.922≤+y x D ：，y x y x y x S y
z x z d d )2()2(1d d )()(1d 222
2++=++=????， =++=??
D
y x y x S 22d d )(4
161)
π
. 2. 1≤+y x D ：
，d d d S x y x y ===
d S x y ==
??
13arcsin 3)
-.
. 4. 2
16R
第十章 总复习题
1.（1）8031；
（2）3
2
43
9
(
)a π-（????--=θ
π
ππ
ρρθρρθcos 0
22
2
0 22 0 d d d d a a
I ）.
2.（1）π250（令 x x z y === ,sin ,cos θρθρ，则 ??
?=5
2
310
2 0
2d d d ρπρρθx I ）；
（2）24
abc π（提示：?
?
?------=2
2
2
2
2
2
2
2
1 0
1 1 d d d b y
a
x
c a
x
b a x
b a
a
z z y x I 或“先二后一”为 ????-
==c
c z D c
z z ab y x z z I z
d )1(d d d 2
π，其中22
2
2
2
2
1:
c z
b y a x z D -≤+
是椭圆盘）.
3.
π3
256
. 4．提示：利用变限积分求导，先证明等式两端关于x 的二阶导数相等，故应有
21 0
221
0 0 0 d ))((d )(d d C x C t t x t f t t f u v x u
v x ++-=?
???，
分别在上式及求导后的式子中令0=x ，可得 021==C C .
5.提示：利用变换??
?=+=-u
y x t
y x 去做.
第十一章 §11.3
1.4
2
1a π（用格林公式化为??+D
y x y x 22d d )(再利用极坐标计算）. 2.（1）0（直接用格林公式，y
P y x x y x
Q
??+-??=
=2
222
2)(）； （2）π2（“挖掉原点”再用格林公
式：设εC 是以原点为心，半径为ε的顺时针圆周，则在由C 和εC 所围成的闭区域εD 上用格林公式得
0d d )( =-=???????+ε
ε
D y
P
x Q C
C y x ，所以，?
?
?-
=-=ε
ε
C C C
，其中-
ε
C 是逆时针圆周：)20( sin ,cos πθθεθε≤≤==y x ，把这方程代入上式右端积分的被积表达式中而化为定积分
πθπ
2d 2 0
=?）.
3.（1）0（直接用格林公式）； （2）π2（参照2（2）“挖掉原点”再用格林公式）.
4.2
8
1ma π（添加直线段OA 围成封闭曲线OA L C +=再用格林公式，则 原式2
2
21 )(0d d d d a D
OA
C m y x m y Q x P π?=-=-+=
???
?）. 评注：利用格林公式是简化平面内封闭曲线上曲线积分计算的重要而有效的方法，可分三
种情况：①曲线是封闭的，且被积表达式中的函数在曲线所围成的闭区域上有连续的一阶偏 导数，则直接用格林公式简化（如题1、2（1）和3（1））；②曲线虽是封闭的，但被积表 达式中的函数在曲线所围成的闭区域内有“奇点”，则不能直接用格林公式，而是要用很小 的圆包住奇点再“挖掉”它，在曲线与圆所围成的“多连通区域”上用格林公式，达到简化 的目的（如题2（2）和3（2））；还可以直接化为定积分计算；③曲线不是封闭的，可考虑 添加某段曲线（通常都是直线段，最简单），使之围成封闭曲线，再用格林公式（如题4）. 你会发现：格林公式确实大大简化了曲线积分的计算，因此，要很好的掌握这种方法.
5.2
3-（在0>x 右半平面曲线积分与路径无关，选择折线段化为定积分直接计算；或者： 原式2
3
2112)2,1()1,2()
2,1( )
1,2( ][)()(d -=--=-=-=
?x y x y ）. 评注：当曲线积分与路径无关时，选择最简单的直线段来做积分是简化其计算的最直接而
有效的方法（如题6、7的第一种算法）；还可以利用“原函数”的概念如同牛顿——莱布尼兹公式那样去计算（如题6、7的第二种算法）；利用曲线积
分与路径无关还可以求解含有曲线积分的积分方程中的未知函 数（如题5）. 6.把原表达式拆分成两部分为n n y x y y x x y x x y y x )(d d )(d d 2222+++-+，
由上题知：当1=n 时，第一部分为x y arctan d
故 1=n ，从而 C y x y x u x y +++=)ln(arctan ),(222
1（C 7.证：因)(u f 连续，所以，表达式)d d )((y x y x f ++的积分处处与路径无关，于是，左???=+=a b a a a x f 0 ),( )0,( )0,( )0,0( ( ==+=?
??++b a b a a a x x f x x f x x f 0 0 d )(d )(d )(右. §11.4 1.提示：)1(2:y x z S --=在xoy 面的投影为10 ,10:≤≤-≤≤x x y D xy ，=S d
y x y x y
z x z d d 3d d )()(122=++????，原式20
1
d d 3)1(2=
?--?=??xy
D y x y x xy .
2.提示：由对称性，上下半球面上的积分相等，221y x z S --=：上在xoy 面的投影为
12
2
≤+y x D xy ：（是圆盘），y x y x S y x y x y y x x d d d d 1d 2
2222
2
2
2
1111------=++=，
原式21
0 12 0
1122d d 2d d 2
2
22πρρθρρ
π
==?
+=?
?
??---xy
D
y x y x y x .
3.提示：由对称性，前后两半柱面上的积分相等，22y R x S -=：前在yoz 面的投影为
H z R y R D yz ≤≤≤≤-0 ,：（是矩形），y z y z S y R R y R y d d d d 01d 2
2
2
22
--=
++=，
原式H
H
z R R
R
y R D
y R R z R z y R z y yz
arctan 2d d 2d d 2
1 1 1
22
22
π==?
=??
??+---+. 4.提示：22y x z S +=：在xoy 面的投影为122≤+y x D xy ：（是圆盘），第一象限的部分
记为1D ，y x y x S d d )(41d 2
2++=，原式??+++=
xy
D
y x y x y x xy 2222d d )(41)(
??+++=1
2222d d )(41)(4D y
x y x y x xy
=
?+?????
=1
222
d 41sin cos d 4ρρρρθρθρθπ
极坐标
)15125(420
1
-.
5.提示：22y x z S +=：在xoy 面的投影为ax y x D xy 222≤+：（是圆盘），第一象限
的部分记为1D ，=S d y x y x y x y y x x d d 2d d 12
222
22
=+
+++，并利用奇偶性和对称性，得
原式??
??+=+++=
xy
xy
D D
y x y x x y x y x y x xy 22 22d d 22d d 2])([
415
64cos 2 0
2 0
2d cos d 22a a =
???
?=θ
πρρρθρθ极坐标
.
6.提示：222y x a z S --=：在xoy 面的投影为ax y x D xy ≤+22：（是圆盘），第一
象限的部分记为1D ，=S d y x y x y x a a
y x a y y x a x d d d d 12
22
2
222
2
222
------=
+
+
，由对称性得
)1(2d d 2d d
2d 2
2cos 0
12
2
2
1
2
22
-===?
?
=????---πθ
ρπ
ρρθa a y
x S S a a D y x a a S
极坐标
. 7.提示：密度22),,(y x z y x +=ρ，上半球面222y x R z S --=：在xoy 面的投影为
222R y x D xy ≤+：（是圆盘）
，球面的面元为=S d y x y x R R
d d 2
22
--，由对称性得
??
??+==S
S
S y x S z y x m 22 d 2d ),,(2ρ??
--+=xy
D y x R R
y x y x 2
2d d 22
22
??
=-?R
R R 0
2
d d 4222
ρρρ
θρπ
极坐标
32 0
d 42
2
2R R R
R πρπρ
ρ==?
-.
评注：根据曲面方程的具体形式，把对面积的曲面积分化成相应坐标面上的二重积分，
是计算对面积的曲面积分的最基本的方法；关键是曲面在相应坐标面的投影区域的确定以及曲面面元的表达式；并且奇偶性和对称性的使用也是常采用的手段之一；最后再根据所化成的二重积分的具体形式选择合适的坐标系来算出这个二重积分.
第十一章 总复习题
1.提示：由对称性，只需求曲线在第一象限的积分.曲线的参数方程为
4
0 ,sin 2cos ,cos 2cos πθθθθθ≤≤==a y a x ， 原式)1(4d sin 4d )()(sin 2cos 4
2
2
24
24
22-
=='+'=?
?a a y x a π
π
θθθθθθθ. 2.提示：以x 为参数，2
2
)d d (2
42
2
2
2
2
)d ()d ()d ()d ()d ()d (z y y x x x
a x x z y x s ++
+
=++=
22241)d )(298(2
x a ax x z ++=
，（可理解为“广义勾股定理”）
原式?
?-+=++=
a a
x a a x x a ax x 0
2
256172169 0
2
221d )(2d 298
a
a a a a a a a x x x x 0
256172169169512172561721692169222)(ln )(2?
?????-++--+=+ ]ln 21727219200[38
425221
+--=
a a a .（此题难且复杂）
3.b a a a b 2
22
12)(+-π（提示：添加直线段OA 围成封闭曲线OA C L +=再用格林公式）. 4. 由y
P x Q ????=知，()3()x x x ??'=+，故311()39
x x Ce x ?=--，代入曲线积分可得31718C e -=，所以3(1)1711()1839
x x e x ?-=--。
5.
x x
Q 2=??，则)(),(2y f x y x Q +=，再由?
?
=)
,1( )
0 ,0( )
1 ,( )
0 ,0( t t 求得12)(-=y y f ，从而
12),(2-+=y x y x Q .
6.令λλ)( ,)(224224y x x Q y x xy P +-=+=，则y
P x
Q ????=，可知1-=λ，于是
C y Q x P y x u y x y x y x +=+=?
2
00arctan d d ),()
,( )
,( .
7.提示：把曲线的参数方程直接代入被积表达式之中而化为定积分直接计算得)(3
33
1h a +. 8.614（参照§10.4的题1化为二重积分计算）.
9.π62417（先写出上半椭球面上点),,(z y x P 处的切平面 +-+-∏)()(3
2y Y x X x y
： 0)(2=-+z Z z ，则2
23
2232)2()(
)
(2)()(),,(z x z z y x x y y
z y x ++-+-+-=
ρ2
9
822
2
9
42
2
23224242y x z
y x z y x --++++=
=
，而椭球面
的面元为y x S z
y x d d d 242
9
82--=
，于是，??S z S d ρ=?
=??
----xy
D y x y x z y x 44d d 2
9
822
9
82
??--xy
D
y x y x 2
9
824
1
d d )4(（再令θρθρsin 3 ,cos 2==y x ，叫广义极坐标，则 πθρ20 ,10≤≤≤≤，而 θρρθρρd d 6d d 32d d ==y x ）
πρρθρθρθπ
6d )sin 3cos 24(d 624
171
2
298222 0
4
1=?--=
??
）. 10.提示：先补上有向平面)( 02221a y x z S ≤+=：（取下侧）和)
( 32222a y x z S ≤+=：（取上侧），并用高斯公式得原式??
??
??
??--==
++2
1
2
1 S S S S S S （1S 的积分为0）
222 6333d d 3d )111( a a a y x V xy
D πππ=-?=-++=??
???Ω
.
11.因为2
222
2
22
,0 ,z y x z z y x x R Q P ++++===
，则R Q P , ,在S 所围成的闭区域上有不连续
点（不妨叫“奇点”），所以，高斯公式不能用.可分片计算如下：
??
????++=++==xy
D R y x R R z z y x z S
y x y x d d d d 2
222
2
222上上
，
??
????-++--=++-==xy
D R y x R R z z
y x z S
y x y x )
()( d d d d 2
2下下
，与上面积分正好抵消；
R z y z y yz
D z R y R S z y x x S
2
2
1 d d 2d d 22
22
22
22π===??
??
??+-++前
侧
. 12.解法一：原式??++=
上
S a
y x a z z y ax 21
]d d )(d d [
]d d d d d d )([ 21??
??
??+++=后半前
前半后
上
S S S
a z y ax z y ax y x a z
??
??
------=yz
xy
D D a z y z y a a y x y x a a 222 22221d d d d )([ ]d )d ( 222??
---+yz
D z y z y a a
32
1 22
2 22221]d d 2d d )([a z y z y a a y x y x a a yz
xy
D D a π-=------=??
??
. 解法二：补上有向平面?
??=≤+,0,
:222*
z a y x S （取下侧），则
原式??++=
上
S
a
y x a z z y ax 21
]d d )(d d [
]d d )(d d d d )(d d [**
2 21????
++-++=+S
S
S a y x a z z y ax y x a z z y ax （前一个用高斯公式）
]d d d )23([ 2 1?????++-=Ω
xy
D a
y x a V z a （Ω为下半球体，xy D 为区域222a y x ≤+）
32
2 0
41
4
41
]d d d 2[]d 22[2
2
a z z a a V z a a a a
a
πρ
π
ρρθπππ-=--=
+--=
?
??
???--Ω
. 13.100小时.
第十二章 §12.3
1.（1）)3 ,3[-； （2）) ,(∞+-∞； （3）[4, 6)；
（4）)0 ,1[-； （5）]3 ,3[-； （6）) ,[3
131-. 2.（1）x x x S x x
-+=-+arctan ln )(2
11141 （11<<-x ）； （2）11
12ln 2ln(2), 0,() , 0,x x x x S x x --≠?=?=? （22<≤-x ）；
（3）3
)
1(2
)(x x S -= （11<<-x ）； （4）x x x x S cos sin )(+= （+∞<<∞-x ）.
3. 2x =-发散，1x =收敛
4.(1,1)-，11ln 21x x +-，1
ln 32
§12.4
1.) ,( ,!)(ln 0
∞+-∞∈∑∞
=x x n a n n
n .
2.（1）) ,( ,)!2(24)1(21022∞+-∞∈?-+∑∞=x x n n n
n n ； （2）)1 ,1( ,]321[0
1-∈+-∑∞
=+x x n n n ；
（3）∑∞
=--∈-+11] ,( ,)1(ln n n n
n a a x x na a ；（4）) ,( ,)!12)(12()1(0
1
2∞+-∞∈++-∑∞
=+x x n n n n n . 3.1 , )0( )!1(11=≠+∑∞
=-S x x n n n n . 4.（1）)2 ,0( ,)1)(1()1(0
∈-+-∑∞
=x x n n n n ；
（2）]2 ,0( ,)1()1(10ln 111∈--∑∞=-x x n n n n . 5.∑∞
=--+--1
1212)3()!12(3)1(n n n n
x n π，) ,(∞+-∞∈x .
6.∑∞
=+++-
1
1
)4)(3
1
21(
n n
n n x ，)2 ,6(--∈x . 第十二章 总复习题
1.（1）C ； （2）D ； （3）B ； （4）C ； （5）D .
2.（1）发散； （2）收敛； （3）收敛； （4）收敛； （5）收敛； （6）收敛.
3.提示：以2)
!(n n u n
n =为通项的正级数由比值判别法可知是收敛的，从而通项趋向于零.
4.当10<≤β，α为任意实数时，原级数收敛；当1>β，α为任意实数时，原级数发散； 当1=β时，若1-<α，则原级数收敛；若1-≥α，则原级数发散.
5.提示：24
24
2
2
4 0
dtan tan d )1(sec tan
d tan ----=-==?
?
?
n n n n
n a x x x x x x x a π
π
π
24
234
01
d sec tan tan )2(tan
------=?
n n n a x x x x n x
ππ
n n n n n a n a n a a a n )2()1(1])[2(1222----=-+--=---，
∴ 21--=
n n a a ，即 n n a a -=+12，从而 12+=+n n a a .于是 （1）11)(11111111
11121=+-++-+-+-=?=+∞=∞=+∑
∑ n n n n a a ； （2）显然，对一切N ∈n ，0d tan
4 0 >=
?π
x x a n
n ，又由 1
1
2++=+n n n a a 可知： 对一切N ∈n ， 1
10+=
∑∑∑∞
=+∞
=∞
=<+?<1
1111111n n n n
n n n n a λλλ 收敛（11>+=λp 的 p -级数）.
6.（1）条件收敛； （2）1a 时，原级数发散；
1-=a 时，原级数发散；1=a 时，原级数条件收敛.
7.提示：由0lim )(0
=→x x f x ，又)(x f 在0=x 的邻域内具有连续的二阶导数，可推出=)0(f
0)0( ,0='f .将)(x f 在0=x 的某邻域内展成一阶泰勒公式（即麦克劳林公式）
22
1221)()()0()0()(x f x f x f f x f ?''=?''+'+=ξξ（ξ在0与x 之间）. 又由题设知)(x f ''在属于邻域内包含原点的一个小闭区间连续，从而有界，因此，存在正
数0>M ，使得M x f ≤'')(，于是 22
22
1)()(x x f x f M ≤
''=
ξ，令n
x 1=，则 2
12
1)(n M
n
f
?
≤
，因为∑∞
=121
n n 收敛，故∑∞
=1
1)(n n
f 绝对收敛. 8.（1）???=?-∈--+=;0 ,0
),1 ,0()0 ,1( ),1ln()1(1)(1x x x x S x
（2）2
)2(1
)(x x x S --=
，)2 ,0(∈x ；
（3）2
21)(x x
x S -=
，)
,(222
2
-
∈x ； （4）2
2
4
)1()
(2
x
x x e
x S ++=
，) ,(∞+-∞∈x .
9.
)1(121e -. 10.（1）1；（2）)1sin 1(cos 2
1+. 11.∑∞
=+++-0
22)22)(12()1(n n n
x n n ，]1 ,1[-∈x . 12.-1； 0.
高数习题集(附答案)
第一章 函数与极限 §1 函数 必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题 一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从 出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。 二、 证明函数1 2+= x x y 在),(+∞-∞内是有界的。
三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ； (2)1 212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。 四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。
§2 初等函数 必作习题 P31－33 1，8，9，10，16，17 必交习题 一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域： (1))(x e f ； (2))(ln x f ； (3))(arcsin x f ； (4))(cos x f 。 二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -； (2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ； (3)设x x f -= 11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x
三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。 四、设???>+≤-=0, 20, 2)(x x x x x f ，???>-≤=0, 0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。
高数A1习题册答案
习题一 一、 1. × 2. \/ 3. × 4. × 5. × 6. \/ 7. × 二、 1. A 2. D 3. B 4. A 三、 1. 直线y x = 2. [-1，3） 3. 1[,0]2 - 4. 奇 5. 2 log 1 y y y =- 6. 3,,sin u y e u v v x === 四、 1(2)3f x x += +，2 2 1()1f x x =+， 11(())1211x f f x x x +== ++ +，11()()2f f x x =+ 习题二 一、 1. ∨ 2. × 3. × 4. ∨ 5. ∨ 6. × 7 × 8 × 二、 1. B 2. B 3. A 4. C 5. D 6. C 7. C 三、 1) lim 1x x x - →=-，0 lim 1x x x + →=
lim x x x →不存在 2) 1lim ()2x f x + →=，1 lim ()2x f x - →= 1 lim ()2x f x →= 2 lim ()5,lim ()0x x f x f x →→== 习题三 一、 1. × 2. × 3. ∨ 4. × 5. 二、 1. C 2. B 3. D 4. D 三、 (1) 2131 lim 11 x x x →-+=+ (2) 22 11112 lim lim 21213x x x x x x x →→-+==--+ (3) 2 02lim 2h hx h I x h →+== (4) 23 I = (5) 0I = (6) 422 lim 13 x x I x →-==- (7) 1 1133lim 213 n n I +→∞-==- (8) 111 lim (1)2212 n n →∞- =+ (9) 23 211132 lim lim 111x x x x x I x x x →→++-+==-=--++
【高等数学基础】形成性考核册答案(附题目)
【高等数学基础】形成性考核册答案 【高等数学基础】形考作业1答案： 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. 2 )()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1)(2--=x x x g 分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同 A 、2 ()f x x ==，定义域{}|0x x ≥；x x g =)(，定义域为R 定义域不同，所以函数不相等； B 、()f x x = =，x x g =)(对应法则不同，所以函数不相等； C 、3 ()ln 3ln f x x x ==，定义域为{}|0x x >，x x g ln 3)(=，定义域为{}|0x x > 所以两个函数相等 D 、1)(+=x x f ，定义域为R ；21 ()11 x g x x x -= =+-，定义域为{}|,1x x R x ∈≠ 定义域不同，所以两函数不等。 故选C ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 分析：奇函数，()()f x f x -=-，关于原点对称 偶函数，()()f x f x -=，关于y 轴对称 ()y f x =与它的反函数()1y f x -=关于y x =对称， 奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称 设()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+= 所以()()()g x f x f x =+-为偶函数，即图形关于y 轴对称 故选C ⒊下列函数中为奇函数是（B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += 分析：A 、()()( )()2 2 ln(1)ln 1y x x x y x -=+-=+=，为偶函数 B 、()()()cos cos y x x x x x y x -=--=-=-，为奇函数 或者x 为奇函数，cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数 C 、()()2 x x a a y x y x -+-= =，所以为偶函数
(word完整版)高等数学习题集及答案
第一章 函数 一、选择题 1. 下列函数中，【 】不是奇函数 A. x x y +=tan B. y x = C. )1()1(-?+=x x y D. x x y 2sin 2 ?= 2. 下列各组中，函数)(x f 与)(x g 一样的是【 】 A. 3 3)(,)(x x g x x f = = B.x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== C. 1 1)(,1)(2+-=-=x x x g x x f D. 2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == 3. 下列函数中，在定义域内是单调增加、有界的函数是【 】 A. +arctan y x x = B. cos y x = C. arcsin y x = D. sin y x x =? 4. 下列函数中，定义域是[,+]-∞∞,且是单调递增的是【 】 A. arcsin y x = B. arccos y x = C. arctan y x = D. arccot y x = 5. 函数arctan y x =的定义域是【 】 A. (0,)π B. (,) 22ππ- C. [,] 22ππ- D. (,+)-∞∞ 6. 下列函数中，定义域为[1,1]-，且是单调减少的函数是【 】 A. arcsin y x = B. arccos y x = C. arctan y x = D. arccot y x = 7. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【 】 A. (,)-∞+∞ B. [1,1]- C. (,)ππ- D. [2,0]- 8. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【 】 A. (,)-∞+∞ B. [1,1]- C. (,)ππ- D. [2,0]- 9. 下列各组函数中，【 】是相同的函数 A. 2()ln f x x =和 ()2ln g x x = B. ()f x x =和()g x = C. ()f x x =和()2 g x = D. ()sin f x x =和()arcsin g x x = 10. 设下列函数在其定义域内是增函数的是【 】 A. ()cos f x x = B. ()arccos f x x = C. ()tan f x x = D. ()arctan f x x = 11. 反正切函数arctan y x =的定义域是【 】 A. (,)22 ππ - B. (0,)π C. (,)-∞+∞ D. [1,1]- 12. 下列函数是奇函数的是【 】
合肥工业大学高数习题册上册答案
习题11- 函数 1．设函数2,0, ()2,0,x x x f x x +≤?=?>? ，求 （1）(1)f -，(0)f ，(1)f ； （2） ()(0)f x f x ?-?，()(0) f x f x -?-?（0x ?>）． 【解】（1）2|2)1(,2|)2()0(,1|)2()1(101===+==+=-==-=x x x x f x f x f ； （2） ()(0)f x f x ?-????????-=?? ?????-=??.0, 1,0,220,2)2(,0,22x x x x x x x x x x ()(0)f x f x -?-?)0(12 )2(>?-=?-?-=x x x 。■ 2．已知21 ()1f x x x =+()f x ． 【解】令x t 1=，则2111)(t t t f + +=，故2 111)(x x x f ++=。■ 3．证明：()2sin f x x x =+在(,)-∞+∞内是严格递增函数． 【证】方法1（定义法） ∵对任意2121),,(,x x x x <+∞-∞∈，有 )sin 2()sin 2()()(112212x x x x x f x f +-+=- 2 sin 2cos 2)(2sin sin )(21221121212x x x x x x x x x x -++-=-+-= 2)1(2)(22sin )1(2)(212121212x x x x x x x x -?-?+->-?-?+-≥ 012>-=x x ，其中用到)0(sin ,cos 1>≤≤-x x x x ， ∴()2sin f x x x =+在(,)-∞+∞内是严格递增函数。 方法2（导数法） ∵) (0cos 2)(+∞<<-∞>-='x x x f
高等数学习题集[附答案及解析]
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 第一章 函数与极限 §1 函数 必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题 一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从 出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。 二、 证明函数1 2+=x x y 在),(+∞-∞内是有界的。
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ； (2)1 212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。 四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。
高等数学课后习题与解答
高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5
D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4
最新同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案练习三
同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案练习三
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4 1. 利用格林公式计算下列曲线积分: (1)?-++L dy x y dx y x )()(2222, 其中L 是由y =0, x =1, y =x 所围成区域的正向边界; 解 这里P =x 2+y 2, Q =y 2-x 2, y x y P x Q 22--=??-??, 由格林公式 ?-++L dy x y dx y x )()(2222dxdy y x dxdy y P x Q D D )(2)(+-=??-??=???? 12 32)(102010-=-=+=???dx x dy y x dx x . (2)?-+-+L x x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (222, 其中L 为正向星形线3232 32a y x =+(a >0); 解 这里x e y x xy x y x P 22sin 2cos -+=, x ye x x Q 2sin 2-=, 0)2cos sin 2()2cos sin 2(22=-+--+=??-??x x ye x x x x ye x x x x y P x Q , 由格林公式 ?-+-+L x x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (222 0)( =??-??=??dxdy y P x Q D . (3)?+-+-L dy y x x y dx x y xy )3sin 21()cos 2(2223, 其中L 为在抛物线2x =πy 2上由点(0, 0)到)1 ,2 (π的一段弧; 解 这里x y xy P cos 223-=, 223sin 21y x x y Q +-=, 0)cos 26()6cos 2(22=--+-=??-??x y xy xy x y y P x Q .
高等数学 习题册解答_9.多元函数微分(青岛理工大学)
第九章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(2 2≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、222)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数?? ??? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22 y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01 sin lim 2 2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z xy +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案：
关于高等数学课后习题答案
习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ?
(3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ?
2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ?
(3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4?
关于同济版高等数学下册练习题附答案
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第八章 测 验 题 一、选择题： 1、若a →，b → 为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a →及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) 5、2 ()αβ→→ ±=( ) (A)2 2 αβ→→±； (B)2 2 2ααββ→→→ →±+； (C)2 2 ααββ→→→ →±+； (D)2 2 2ααββ→→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且 ,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为1111220 0A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面250z xy yz x +--=与直线5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160 x y z ?+=?=?，则此球面的方程是( ). (A)2226160x y z z ++++=； (B)222160x y z z ++-=； (C)2226160x y z z ++-+=； (D)222 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2221x y z ++=； (B)224x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b 的夹角等于 3 π ，且2,5a b → → ==，求(2)(3)a b a b →→→ → -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b → → → → -?+2()a b → → =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面 4x =的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 .
(完整版)高数答案(下)习题册答案第六版下册同济大学数学系编
第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(2 2≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、222)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2 x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数?? ??? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01 sin lim 2 2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z x y +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案：
高等数学课后习题与解答
高等数学课后习题及解答 1. 设 u =a -b +2c ，v =-a +3b -c .试用 a ，b ， c 表示 2u -3v . 解 2u -3v =2（ a -b +2c ） -3（-a +3b -c ） =5a -11b +7c . 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证 如图 8-1 ， 设四边 形 ABCD 中 AC 与 BD 交于 M ， 已知 AM = MC ， DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即 AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形 ABCD 是平行四边形. 3. 把△ ABC 的 BC 边五等分，设分点依次为 D 1，D 2，D 3，D 4，再把各 分点与点 A 连接.试以 AB =c, BC =a 表向 量 证 如图 8-2 ，根据题意知 1 D 1 A , 1 D 2 A , D 3 A , D A . 4 1 D 3 D 4 BD 1 1 a, 5 a, D 1D 2 a, 5 5 1 D 2D 3 a, 5 故 D 1 A =- （ AB BD 1 ）=- a- c 5
D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6） = 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 7 2 ( 6) 2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4
(完整版)高等数学-微积分下-分节习题册答案-华南理工大学(33)
1、试将三重积分 (),,f x y z dv Ω ???化为三次积分，其中积分区域Ω分别为： 1） 由双曲抛物面xy z =及平面10,0x y z +-==所围成的区域。 (),,f x y z dv Ω = ??? ()1 10 ,,x xy dx dy f x y z dz -? ? ?。 2） 由曲面2 2 2 2,2z x y z x =+=-所围成的区域 (),,f x y z dv Ω = ???()2 2 2 1 21 2,,x x y dx f x y z dz --+? ?。 2、计算下列三重积分 1） 23xy z dv Ω ???，其中Ω是由曲面xy z =与平面,1,0x y x z ===所围成的闭区域。 解：原式1 11235612 000000111428364x xy x dx dy xy z dz dx x y dy x dx = ===????? ? 2）xzdxdydz Ω ???，其中Ω是由平面,1,0z y y z ===及抛物柱面2 y x =所围成的闭区 域。 解：原式()221 1 1 1 12 7101111026 y x x dx dy xzdz dx xy dy x x dx ---===-=?????? 3、利用柱面坐标计算()22 x y dv Ω +???，其中Ω是由曲面222x y z +=及平面2z =所围成 的区域。 解：原式22 54622 2 2 3 30 00201622222123 r r r r d dr r dz r dr π θπππ????= =-=-= ???????? ??? 4、利用球面坐标计算()2 22x y z dv Ω++???，其中Ω是由球面2221x y z ++=所围成的闭 区域。 解：原式2140 24sin sin 5 5 d d d d π π π π πθ?ρ?ρ??= = = ? ??? 5 、选用适当坐标计算 Ω ，其中Ω是由球面222x y z z ++=所围成区域。 解：原式5 22cos 3 4 2 20 01cos sin 2cos sin 42510 d d d d π π π π ? π?πθ?ρ?ρπ?????===-=????? ?? ?
高等数学习题册参考答案
《高等数学》习题册参考答案 说明 本参考答案与现在的习题册中的题目有个别的不同，使用时请认真比对，以防弄错. 第一册参考答案 第一章 §1.1 1.??? ????+≤≤--<≤<≤+=--. ),(2, , , 0 , 211010101T t T T t a v T t v t at v v a v a v v a v v 图形为： 2.B. 3.)]()([)]()([)(2 121x f x f x f x f x f --+-+=， 其中)]()([)(21x f x f x F -+=为偶函数，而)]()([)(2 1x f x f x G --=为奇函数. 4.??? ????=<≤-<≤-<≤=.6 ,0, 64 ,)4(, 42 ,)2(, 20 ,)(22 2x x x x x x x x f 5.???.)]([,)2()]([,)1(单调减单调性相反，则单调增；单调性相同，则x g f g f x g f g f 6.无界. 7.（1）否，定义域不同；（2）否，对应法则不同；（3）否，定义域不同. §1.2 1.（1）)1 ,0()0 ,1(?-=D ；（2）} , ,{2 Z ∈+≠=k k k x x D πππ；（3）)1 ,0(=D . 2.1 ,4-==b a . 3.?????>-=<=,0 ,1,0 ,0 , 0 ,1 )]([x x x x g f ???? ???>=<=-. 1 ,,1 ,1 ,1 , )]([1x e x x e x f g 4.（1）]2 ,0[,)1arcsin(2 =-=D x y ； （2）Y ∞ =+=+=0 2 2),( , )(tan log 1k a k k D x y πππ. 5.（1）x x x f f 1 )]([-= ； （2）x x f f 1 )(1][=. 6.+∞<<=-h r V r h h r 2 ,2312 2π. 7.（1）a x =)(?； （2）h x x +=2)(?； （3）h a a h x x ) 1()(-= ?. §1.9 1.1-=e a . 2.（1）1=x 和2=x 都是无穷间断点（属第Ⅱ类）； （2）1 ,0==x x 和1-=x 是间断点，其中：1是可去间断点（极限为21）（属第Ⅰ类）； 0是跳跃间断点（左极限1-，右极限1）（属第Ⅰ类）；-1 是无穷间断点（属第Ⅱ类）； （3）0=x 为无穷间断点（属第Ⅱ类），1=x 为跳跃间断点（属第Ⅰ类） （注意：+∞==∞ +-→- e e x x x 11 lim ，而0lim 11 ==∞--→+ e e x x x ）；
高数A2习题册答案
习题一 一、判断题 (1) √；(2) × 二、单项选择题 C ; A 三、填空题 1 导数,常; 2 阶 ; 3初始; 4、ln()xy xy 或 四、计算题： 1、 22 222 2221 121 1ln 1ln 1(1) 1(1)(1) x dx dy x y y x dx dy x y y y x c y y x c y y x c y c =-+=-+'--+=+-=+-=+??故通解为：（为任意常数） 2、 1 22122122 1( 1) ( 1) 1 ;0 1(1)ln ,0 1,2,22x x x dx dy y y x dx dy y x c y y y ce x y c y e ---=≠-=-+====-===??故特解为： 3 、
111,1ln 11ln ln ln ln ,1ln , cx dx dy y x y y dx dy x y y x c y y y cx y e c =≠=+====??故通解为：（为任意常数） 习题二 一 C; C; B 二 1 ) () ()(,2)(2 2 2 22c x e c dx e e e y e x Q x x P x dx x x dx x x +=+??===----? 2 x c x c dx x x e c dx xe e y x x Q x x P x dx x dx x cos )(cos 2) cos 2sin () 2sin (2sin )(,tan )(2cos ln tan tan +-=+=+??===? ?- 3 2 2 2 2 2 2 22(8) (8)(4),0,2,2 (42) xdx xdx x x x x x x y e xe dx c e xe dx c e e c x y c y e e ----? ?=+=+=+===-=-??特解为：
高数习题册答案1-1
习题1.1A （P15）提示（仅供参考） 1．用定义（0n ε-语言）证明： （1）1 lim 1n n += 证明： 111n n n +-=，故对0ε?>，欲使11n n ε+-<，只需1n ε<，即1 n ε >。 故对0ε?>，取01max ,1n ε????=????????（注意：不能写成01max ,1n ε?? =????，以下几个 类似），当0n n >时有 1 1n n ε+-< 故1 lim 1n n += （2）sin lim 0n = 证明： sin 10n n -<，故对0ε?>，欲使sin 0n ε-<，只需1n ε<，即1 n ε >。 故对0ε?>，取01max ,1n ε?? ??=???????? ，当0n n >时有 sin 0n ε-< 故sin lim 0n = （3）22 11 lim 22 n n += 证明：222111222n n n +-=，故对0ε?>，欲使221122n n ε+-<，只需2 12n ε<， 即n > 0ε?>，取0max ,1n ???? =?????? 当0n n >时有 22 11 22 n n ε+-<
故2211 lim 22 n n += （4）0 = 证明： <，故对0ε?>，欲使0ε<，只需 ε<， 即21 n ε> 。故对0ε?>，取021max ,1n ε?? ??=???????? 当0n n >时有 0ε< 故0 = （5）! lim 0n n n = 证明： !12 10n n n n n n n n -=<，故对0ε?>，欲使!0n n n ε-<，只需1 n ε<，即1 n ε > 。 故对0ε?>，取01max ,1n ε?? ??=???????? 当0n n >时有 ! 0n n n ε-< 故! lim 0n n n = （注意：若用夹逼法：!10n n n n < <） （6）()lim 00!n a a n => 证明：[][]0!12 11n a a a a a a a n a a n n ??-= ? ?+-??，注意到[]1,11 1 a a a n <<+-，故
专升本高等数学习题集及答案
专升本高等数学习题 集及答案 Revised on November 25, 2020
第一章函数 一、选择题 1. 下列函数中，【C 】不是奇函数 A.x x y +=tan B.y x = C.)1()1(-?+=x x y D.x x y 2sin 2 ?= 2. 下列各组中，函数)(x f 与)(x g 一样的是【】 A.33)(,)(x x g x x f == B.x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== C.1 1 )(,1)(2+-=-=x x x g x x f D.2ln )(,ln 2)(x x g x x f == 3. 下列函数中，在定义域内是单调增加、有界的函数是【】 A.+arctan y x x = B.cos y x = C.arcsin y x = D.sin y x x =? 4. 下列函数中，定义域是[,+]-∞∞,且是单调递增的是【】 A.arcsin y x = B.arccos y x = C.arctan y x = D.arccot y x = 5. 函数arctan y x =的定义域是【】 A.(0,)π B.(,)22ππ- C.[,]22ππ- D.(,+)-∞∞ 6. 下列函数中，定义域为[1,1]-，且是单调减少的函数是【】 A.arcsin y x = B.arccos y x = C.arctan y x = D.arccot y x = 7. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【】 A.(,)-∞+∞ B.[1,1]- C.(,)ππ- D.[2,0]- 8. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【】 A.(,)-∞+∞ B.[1,1]- C.(,)ππ- D.[2,0]- 9. 下列各组函数中，【A 】是相同的函数 A.2()ln f x x =和()2ln g x x = B.()f x x =和()g x = C.()f x x =和()2g x = D.()sin f x x =和()arcsin g x x = 10. 设下列函数在其定义域内是增函数的是【】 A. ()cos f x x = B.()arccos f x x = C.()tan f x x = D.()arctan f x x = 11. 反正切函数arctan y x =的定义域是【】
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第七章 多元函数微分学 作业1 多元函数 1．填空题 （1）已知函数22,y f x y x y x ? ?+=- ???，则(),f x y =()() 222 11x y y -+； （2）49 arcsin 222 2-+++=y x y x z 的定义域是(){} 22,49x y x y ≤+≤； （3）)]ln(ln[x y x z -=的定义域是 (){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >>+?<<≤+； （4）函数??? ??=≠=0, 0,sin ),(x y x x xy y x f 的连续范围是 全平面 ； （5）函数2222y x z y x +=-在2 2y x =处间断. 2．求下列极限 （1 ）00 x y →→； 解：0000 1 6x t t y →→→→===- （2）2 2 () lim (e x y x y x y -+→+∞→+∞ +）.
解：3 y x =22()2()lim (e lim (e 2x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞ →+∞ ??+=+-? ?）） 由于1lim e lim lim 0t t t t t t t t e e -→+∞→+∞→+∞===，2222lim e lim lim lim 0t t t t t t t t t t t e e e -→+∞→+∞→+∞→+∞====， 故22() 2()lim (e lim (e 20x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞ →+∞→+∞ →+∞ ??+=+-=??）） 3．讨论极限2630 0lim y x y x y x +→→是否存在. 解：沿着曲线()()3 ,,0,0y kx x y =→,有3 36626262000 lim lim 1x x y kx x y kx k x y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限26 30 0lim y x y x y x +→→不存在 4．证明?? ???=+≠++=0,00,2),(222 22 2y x y x y x xy y x f 在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但作为二元函数在点)0,0(却不连续. 解：由于(,0)0,(0,)0,f x f y ≡≡ 从而可知在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但沿着曲线 ()(),,0,0y kx x y =→,有22 22222000 222lim lim 1x x y kx xy kx k x y x k x k →→=→==+++因k 而异， 从而极限()0 lim ,x y f x y →→不存在，故作为二元函数在点)0,0(却不连续.