动点问题(与圆相关)

动点问题（与圆相关）

1．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，BC∥AO，顶点O在坐标原点，顶点A（4，0），顶点B（1，4）．动点P从O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA的方向向A运动；同时，动点Q从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C的方向向C运动．当其中一个点到达终点时，另一个也随之停止．设运动时间为t秒．

（1）当t为何值时，PB与AQ互相平分？

（2）设△PAQ的面积为S，求S与t的函数关系式．当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？

（3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以PQ为直径的圆与y轴相切？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．

2．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，动点M、N分别从点A、B同时出发，动点M沿AB边以每秒1个

单位的速度向点B运动，动点N沿BC→CD边以每秒3

2

个单位的速度向点D运动，连结MN，设运动时间

为t（s）．

（1）当t为何值时，MN∥BC？

（2）当点N在CD边上运动时，设MN与BD相交于点P，求证：点P

的位置固定不变；

（3）以AD为直径作半圆O，问：是否存在某一时刻t，使得MN与

半圆O相切？若存在，求t的值，并判断此时△MON的形状；若不

存在，请说明理由． A C B

D

M

N

3（乌鲁木齐）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6米，BC＝8米，动点P以2米/秒的速度从A点出发，

沿AC向点C移动，同时，动点Q以1米/秒的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终

点时，它们都停止移动，设移动的时间为t秒．

②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；

（2）在P、Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，直接写出t的值；

（3）以P为圆心，PA为半径的圆与以Q为圆心，QC为半径的圆相切时，

求出t的值．

C

4（常州）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝3

4

x＋3的图象是直线l1，l1与x轴、y轴分别相交于

A、B两点，直线l2过点C（a，0）（a＞0）且与l1垂直．点P、Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB 运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位．

（1）写出A点的坐标和AB的长；

（2）当点P、Q运动了t秒时，以点Q为圆心， PQ为半径

的⊙Q与直线l2、y轴都相切，求此时a的值．

5（无锡）如图，已知O（0，0）、A（4，0）、B（4，3）．动点P从O点出发，以每秒3个单位的速度，沿△OAB的边OA、AB、BO作匀速运动；动直线l从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动．若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点P运动到O时，它们都停止运动．

（1）当P在线段OA上运动时，求直线l与以P为圆心、Array 1为半径的圆相交时t的取值范围；

（2）当P在线段AB上运动时，设直线l分别与OA、OB交于C、D．

试问：四边形CPBD是否可能为菱形？若能，求出此时t的值；

若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l的出发时间，

使得四边形CPBD会是菱形．

6（哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝1

2

x＋5与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△AOB

绕原点O顺时针旋转得到△A′OB′，并使OA′⊥AB，垂足为D，直线AB与线段A′B′相交于点G．动点E从原点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，设动点E运动的时间为t秒．

（1）求点D的坐标；

（2）连接DE，当DE与线段OB′相交，交点为F，且四边形DFB′G是平行四边形时（如图2），求此时线段DE所在直线的解析式；

（3）若以动点为E圆心，以25为半径作⊙E，连接A′E，当t为何值时，tan∠EA′B′＝1

8

？并判断

此时直线A′O与⊙E的位置关系，请说明理由．

图1 图2 备用图

7．如图，等边三角形ABC 的边长为4cm ，AD ⊥BC 于D ．点E 、F 分别从B 、C 两点同时出发，其中点E 以1cm/s 的速度沿BC 向终点C 运动；点F 以2cm/s 的速度沿CA 、AB 向终点B 运动，设运动时间为t （s ）．

（1）当t 为何值时，EF ⊥AC ？当t 为何值时，EF ⊥AB ？

（2）设△DEF 的面积为S （cm 2

），求S 与t 之间的函数关系式； （3）探索以EF 为直径的圆与AC 的位置关系，并写出相应位置关系

的t 的取值范围．

E D

A B C F

8（石狮）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝2x＋b与x轴交于点A（－4，0），与y轴交于点B．点P是y轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P．

（1）若PA＝PB，试判断⊙P与直线l的位置关系，并说明理由；

（2）当⊙P与直线l相切时，求点P与原点O间的距离；

（3）如果以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是等边三角形，求点P的坐标．

（备用图）

9(08无锡模考)已知直线y＝3x－63与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点C在射线BA上以每秒3个单位的速度运动，以C点为圆心，半径为1作⊙C．点P以每秒2个单位的速度在线段OA上来回运动，过点P作直线l⊥x轴．

（1）填空：A点坐标为（____，____），B点坐标为（____，____）；

求直线l与⊙C第二次相切时点P的坐标；

（3）在整个运动过程中，直线l与⊙C有交点的时间共有多少秒？

10．如图，在平面直角坐标系中，动点P从点A（0，10）出发，以3个单位/秒的速度沿y轴向点O匀速

运动，动点Q从点B（5，0）同时出发，以1个单位/秒的速度沿x轴向点O匀速运动，当其中一个点到达

终点时，另一点也随即停止运动．设运动的时间为t（秒）．以P、Q为圆心作⊙P和⊙Q，且⊙P和⊙Q的

半径分别为4和1．Array（1）若⊙P与Rt△AOB的一边相切，求此时动点P的坐标；

（2）若⊙P与线段AB有两个公共点，求t的取值范围；

（3）是否存在某一时刻t，使⊙P和⊙Q相切？若存在，求出t的值；

若不存在，请说明理由．

11．如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（8，0）、点B（0，6），点P以每秒3个单位长度的速度沿BO由B向O运动，点Q以每秒5个单位长度的速度沿AB由A向B运动．已知P、Q两点同时出发，且当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．

（1）当四边形PQAO为梯形时，求t的值；

（3）在运动过程中，以PQ为直径的圆能否与x轴相切？

若能，请求出运动时间t；若不能，请说明理由；

（4）在运动过程中，若以点P为圆心、PB为直径的圆与

以点Q为圆心、QA为直径的圆相切，请直接写出t的值．

12．如图，直线y＝3

4

x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，圆心在坐标原点、半径为1的动圆以每秒0.4

个单位的速度向x轴正方向运动，动点P从B点同时出发，以每秒0.5个单位的速度沿BA方向运动．设运动时间为t（秒）．

（1）直接写出A、B两点的坐标；

（2）当t为何值时，动圆与直线AB相切？

（3）问在整个运动过程中，点P在动圆的圆面

（圆上和圆的内部）上一共运动了多长时间？

13．已知直线l：y＝3

4

x＋8与x轴、y轴分别交于点A、B，P是x轴上一点，以P为圆心的⊙P与直线l

相切于B点．

（1）求点P的坐标和⊙P的半径；

（2）若⊙P以每秒10

3

个单位向x轴负方向运动，同时⊙P的

半径以每秒3

2

个单位变小，设⊙P的运动时间为t秒，

且⊙P始终与直线l有公共点，试求t的取值范围；

（3）在（2）中，设⊙P被直线l截得的弦长为a，问是否

存在t的值，使a最大？若存在，求出t

请说明理由；

（4）在（2）中，设⊙P与直线l的一个公共点为Q，

若以A、P、Q为顶点的三角形与△ABO相似，请直接写出此时t的值．

14．在平行四边形ABCD中，AB在x轴上，D点y轴上，∠C＝60°，BC＝6，B点坐标为（4，0）．点M是边AD上一点，且DM:AD＝1:3．点E、F分别从A、C同时出发，以1个单位/秒的速度分别沿AB、CB向点B运动，当点F运动到点B时，点E随之停止运动，EM、CD的延长线交于点P，FP交AD于点Q．⊙E的

半径为5

2

，设运动时间为t秒．

（1）求直线BC的解析式；

（2）当t为何值时，PF⊥AD？

（3）在（2）的条件下，⊙E与直线PF

4．15．点M在第一象限，半径为6的⊙M交x轴于点A、B，交y轴于点C、D，且∠AMB＝60°,CD＝5（1）求直线AM的解析式；

①当⊙M开始运动时，动点N同时从点A出发，沿x轴正方向以

每秒3个单位长的速度匀速运动．在整个运动过程中，点N在动圆

的圆面（圆上和圆的内部）上一共运动了多长时间？

②在①中，若动点N的运动速度为每秒a个单位，当动点N离开

⊙M时，⊙M恰好与x轴相切，求a的值；

（3）设P为直线AM上一点，在坐标平面内是否存在点Q，使得以

A、B、P、Q为顶点的四边形是一个有三边相等且有一个内角为60°

的等腰梯形？若存在，请直接写出点Q

16．如图，直线y＝－3

4

x＋9与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y＝－

1

4

x2＋b x＋c经过B，C两点，

与x轴的另一个交点为点A，动点P从点A出发沿AB以每秒3个单位长度的速度向点B运动，运动时间为t（0＜t＜5）秒．

（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；

（2）以OC为直径的⊙O′与BC交于点M，当t为何值时，PM与⊙O′相切？请说明理由；

（3）在点P从点A出发的同时，动点Q从点B出发沿BC以每秒3个单位长度的速度向点C运动，动点N

从点C出发沿CA以每秒310

5

个单位长度的速度向点A运动，运动时间与点P相同．

①记△BPQ的面积为S，当t为何值时，S最大，最大值是多少？

②是否存在△NCQ为直角三角形的情形，若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．

17（苏州）：已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．

(1)如图①，当PA的长度等于▲时，∠PAB＝60°；

当PA的长度等于▲时，△PAD是等腰三角形；

(2)如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3．坐标为（a，b），试求2 S1 S3－S22的最大值，并求出此时a，b的值．

18（北京）如图，在平面直角坐标系x O y中，我们把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C（注：不含AB线段）．已知A（﹣1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上．

（1）求两条射线AE，BF所在直线的距离；

（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；

当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；

（3）已知平行四边形AMPQ（四个顶点A，M，P，Q按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围．

动点问题(与圆相关)

动点问题（与圆相关） 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，BC ∥AO ，顶点O 在坐标原点，顶点A （4，0），顶点B （1，4）．动点P 从O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA 的方向向A 运动；同时，动点Q 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿A →B →C 的方向向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一个也随之停止．设运动时间为t 秒． （1）当t 为何值时，PB 与AQ 互相平分 （2）设△PAQ 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．当t 为何值时，S 有最大值最大值是多少 （3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得以PQ 为直径的圆与y 轴相切若存在，求出相应的t 值；若不存在，请说明理由． B y C O x A P Q B y C O x A 备用图 B y C O x A 备用图

2．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，动点M、N分别从点A、B同时出发，动点M沿AB边以每秒1 个单位的速度向点B运动，动点N沿BC→CD边以每秒3 2 个单位的速度向点D运动，连结MN，设运动时 间为t（s）． （1）当t为何值时，MN∥BC （2）当点N在CD边上运动时，设MN与BD相交于点P，求证： 点P的位置固定不变； （3）以AD为直径作半圆O，问：是否存在某一时刻t，使得 MN与半圆O相切若存在，求t的值，并判断此时△MON的形状；若 不存在，请说明理由．A C B D M N

3（乌鲁木齐）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6米，BC＝8米，动点P以2米/秒的速度从A点 出发，沿AC向点C移动，同时，动点Q以1米/秒的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点 到达终点时，它们都停止移动，设移动的时间为t秒． ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P、Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，直接写出t （3）以P为圆心，PA为半径的圆与以Q为圆心，QC 求出t的值． C

与圆有关的动点问题

与圆有关的动点问题 G D M D C 0 6 B (1)求/ APC 与Z ACD 的度数 ⑶OD 动点M 从点F 出发，按逆时针方向运动半周 Z A = 60o,以点D 为圆心的OD 与边AB 相切于点E S A HD M 3 S △ MDF 时，求动点 M 2、如图，在菱形 ABCD 中, A 吐 ⑴求证：OD 与边BC 也相切 向左移动正 M , N 分别是边BC , AD ⑵设OD 与BD 相交于点H,与边CD 相交于点F ,连接HF,求图中阴影部分的面积(结果保留二) 经过的弧长(结果保留二) (2)当点P 移动到CB 弧的中点时，求证：四边形 OBP (是菱形 DC 在I 上. 过点B 作的一条切线BE , E 为切点. 如图1,当点A 在。O 上时，Z EBA 的度数是 __________ 2,当E , A , D 三点在同一直线上时，求线段 OA 的长 以正方形ABCD 的边AD 与OF 重合的位置为初始位置， (图3),至边BC 与OF 重合时结束移动 MON 的面积的范围. (3) P 点移动到什么位置时，△ APW A ABC 全等，请说明理由 1、如图,?O 的直径AB=4 C 为圆周上一点,AC=2过点C 作。0的切线DC , P 点为优弧CBA 上一动 3、半径为2cm 的与O O 边长为2cm 的正方形ABCD 在水平直线I 的同侧 O O 与I 相切于点F (1) ① 填空：如图1,当点 ②如图2,当E ,A , I (2)以正方形ABCD 方形(图3),至边BC 与O O 的公共点，求扇形 D C 團2 与AB 、 过点 、AD 及O O 半径的长 求y 关于x 的函数关系式 求相应的y 值. &旦刈 A B 点(不与A. C 重合) F D C ( F 图1 4、如图，Rt △ ABC 的内切圆O O BC=3，点P 在射线AC 上运动 (1) 直接写出线段AC (2) 设 PH=x , PC=y , (3) 当PH 与O O 相切时 DFC / 图3 BC 、CA 分别相切于点 D 、E 、F ,且Z ACB=90 ° ° AB=5 P 作PH 丄AB ,垂足为H . t 7』 B\ / 1

与圆有关的动点问题

与圆有关的动点问题的教学设计 一、教学内容分析 与圆有关的动点问题是动态问题中的一类问题，它以圆为载体，主要研究几何图形在点的运动中的位置关系和数量关系；它集几何、代数知识于一体，是数形结合的完美表现，具有较强的综合性、灵活性和多样性。而做这种题就是要抓住图形运动的本质规律，用“静态”的方法来分解图形的运动的过程，用静态的方法来研究运动当中的变与不变的函数关系，把复杂的运动过程化为简单的数学问题。复习时，除了深刻理解图形的基本性质外，还必须注重数形结合、转化等数学思想方法的学习，努力发展空间观念，切实提高分析解决问题的能力。 二、学情分析 九年级的学生已经具备了抽象、概括和分析问题解决问题的能力，通过合作交流、共同探讨，形成了一定的探究能力，此年龄段的学生独立意识、表现欲望较为强烈，要培养他们敢于面对挑战和勇于克服困难的意志。因此在课程内容的安排中创设了一些具有一定难度的问题，加强学生在学习过程中自主探索与合作交流的紧密结合，鼓励他们大胆尝试，敢于发表自己的看法，从中获得成功的体验，激发学习热情。 三、教学目标：

（1）知识与技能： 培养学生观察图形，探索动点运动的特点和规律的能力。引导学生正确分析变量与其它量之间的内在联系，建立它们之间的关系，（2）过程与方法： 通过观察、动手操作培养学生发现问题、解决问题的能力；（3）情感、态度与价值观 让学生通过观察图形，探索动点运动的特点和规律的能力，培养学生数形结合的思想。 四、教学重难点： 重点：如何探索动点运动的特点和规律。 难点：如何探索动点运动的特点和规律。 五、教学方法分析 根据本专题的特点，为了较好的达成本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我采用教师启发引导，学生合作交流的方式来组织本节课的教学。同时利用Z Z动态演示图形的运动变化过程，化抽象为直观，采取动中觅静、动静互化、以动制动的策略来帮助学生寻找图形中的基本关系，突破难点。 六、教学策略与手段： 新教材倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以

与圆有关的动点问题

与圆有关得动点问题 1、如图，⊙O得直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O得切线DC，P点为优弧CBA上一动点（不与A．C重合）． （1）求∠APC与∠ACD得度数； （2）当点P移动到CB弧得中点时，求证：四边形OBPC就是菱形． （3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由． 2、如图，在菱形ABCD中，AB＝23，∠A＝60o，以点D为圆心得⊙D与边AB相切于点E． (1)求证：⊙D与边BC也相切； (2)设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分得面积(结果保留π)； (3)⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF＝3 S△MDF时，求动点M 经过得弧长(结果保留π)． 3、半径为2cm得与⊙O边长为2cm得正方形ABCD在水平直线l得同侧， ⊙O与l相切于点F，DC在l上． （1）过点B作得一条切线BE，E为切点． ①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA得度数就是； ②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA得长； （2）以正方形ABCD得边AD与OF重合得位置为初始位置，向左移动正 方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别就是边BC，AD 与⊙O得公共点，求扇形MON得面积得范围． 4、如图，Rt△ABC得内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H． （1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径得长； （2）设PH=x，PC=y，求y关于x得函数关系式； （3）当PH与⊙O相切时，求相应得y值．

动点问题(与圆相关)

动点问题(与圆相关)

动点问题（与圆相关） 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，BC ∥AO ，顶点O 在坐标原点，顶点A （4，0），顶点B （1，4）．动点P 从O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA 的方向向A 运动；同时，动点Q 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿A →B →C 的方向向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一个也随之停止．设运动时间为t 秒． （1）当t 为何值时，PB 与AQ 互相平分？ （2）设△PAQ 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．当t 为何值时，S 有最大值？最大值是多少？ （3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得以PQ 为直径的圆与y 轴相切？若存在，求出相应的t 值；若不存在，请说明理由． B y C O x A 备用图备用图

2．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，动点M、N分别从点A、B同时出发，动点M沿AB边以每秒1个单位 的速度向点B运动，动点N沿BC→CD边以每秒3 2 个单 位的速度向点D运动，连结MN，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，MN∥BC？ （2）当点N在CD边上运动时，设 MN与BD相交于点P，求证：点P的位置固定不变；A C B D M N

（3）以AD为直径作半圆O，问：是否存在某一时刻t，使得MN与半圆O相切？若存在，求t的值，并判断此时△MON的形状；若不存在，请说明理由．

3（乌鲁木齐）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6米，BC＝8米，动点P以2米/ 沿AC向点C移动，同时，动点Q以1C 点出发，沿CB向点B Q 它们都停止移动，设移动的时间为t秒． （1）①当t＝2.5秒时，求△CPQ的面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P、Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，直接写出t的值； （3）以P为圆心，PA为半径的圆与以Q为圆心，QC为半径的圆相切时， 求出t的值．

与圆有关的动点问题

与圆有关的动点问题 1、如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧CBA上一动点（不与A．C重合）． （1）求∠APC与∠ACD的度数； （2）当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形． （3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由． 2、如图，在菱形ABCD中，AB＝23，∠A＝60o，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E． (1)求证：⊙D与边BC也相切； (2)设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分的面积(结果保留π)； (3)⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF＝3S△MDF时，求动点M 经过的弧长(结果保留π)． 3、半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC 在l上．

（1）过点B作的一条切线BE，E为切点． ①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是； ②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长； （2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF 重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围． 4、如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H． （1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径的长； （2）设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式； （3）当PH与⊙O相切时，求相应的y值． 5、如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C 重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F，切点为E． （1）求证：OF∥BE； （2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

动点问题--圆(含问题详解)初三数学

2.如图7，梯形中，，，,，，点 为线段上一动点（不与点重合），关于的轴对称图 形为，连接，设，的面积为， 的面积为． （1）当点落在梯形的中位线上时，求的值；(全等) （2）试用表示，并写出的取值围；（相似） （3）当的外接圆与相切时，求的值．（垂径定理+中线+等面积+相似）（1）如图1，为梯形的中位线，则，过点作 【答案】解： 于点，则有： 在中，有 在中， 又 解得： （2）如图2，交于点，与关于对称， 则有：， 又 又与关于对称， （3）如图3，当的外接圆与相切时，则为切点. 的圆心落在的中点，设为

则有，过点作， 连接，得 则 又 解得：（舍去） ①②③ 3.已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0） （1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；（全等） （2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；（全等+分类讨论）（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存 在，请说明理由．（讨论对称轴+全等+相似） 【分析】：（1）连接PM，PN，运用△PMF≌△PNE证明，

（2）分两种情况①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，0＜t≤1时，点E在y轴的正半轴或原点上，再根据（1）求解， （3）分两种情况，当1＜t＜2时，当t＞2时，三角形相似时还各有两种情况，根据比例式求出时间t． 【解答】： 证明：（1）如图，连接PM，PN， ∵⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N， ∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN， ∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，∵PE⊥PF， ∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE， 在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA）， ∴PE=PF， （2）解：①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，如图， 由（1）得△PMF≌△PNE，∴NE=MF=t，PM=PN=1， ∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE﹣ON=t﹣1， ∴b﹣a=1+t﹣（t﹣1）=2，∴b=2+a， ②0＜t≤1时，如图2，点E在y轴的正半轴或原点上， 同理可证△PMF≌△PNE， ∴b=OF=OM+MF=1+t，a=ON﹣NE=1﹣t， ∴b+a=1+t+1﹣t=2， ∴b=2﹣a， （3）如图3，（Ⅰ）当1＜t＜2时， ∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称， ∴F′（1﹣t，0） ∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q， ∴Q（1﹣t，0）∴OQ=1﹣t， 由（1）得△PMF≌△PNE [来源:学,科,网] ∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1

几何动点问题---圆(含解析)

1.如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB32 =，点D为BA延长线上的一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ADC的外接圆. （1）求BC的长；(特殊三角形) （2）求⊙O的半径.（垂径定理+圆周角+圆心角） 【解析】 ∴BC33 =+. （2）由（1）得，在Rt△ACE中，∵∠EAC=30°，EC=3，∴AC=23. ∵∠D=∠ACB，∠B=∠B，∴△BAC∽△BCD. ∴AB AC CB CD =，即 3223 CD 33 = + . ∴DM=4. ∴⊙O的半径为2.

【考点】：1. 锐角三角函数定义；2.特殊角的三角函数值；3.相似三角形的判定和性质；4.圆周角定理；5.圆内接四边形的性质；6.含30度角直角三角形的性质；7.勾股定理. 2.如图7，梯形中，，，,，，点 为线段上一动点（不与点重合），关于的轴对称图 形为，连接，设，的面积为， 的面积为． （1）当点落在梯形的中位线上时，求的值；(全等) （2）试用表示，并写出的取值范围；（相似） （3）当的外接圆与相切时，求的值．（垂径定理+中线+等面积+相似）【答案】解：（1）如图1，为梯形的中位线，则，过点作 于点，则有： 在中，有 在中， 又 解得： （2）如图2，交于点，与关于对称， 则有：， 又

又与关于对称， （3）如图3，当的外接圆与相切时，则为切点. 的圆心落在的中点，设为 则有，过点作， 连接，得 则 又 解得：（舍去） ①②③ 3.已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，

圆中的动点问题

圆中的动点问题 教学目标： 【知识与技能】：1.复习圆的基本知识，包括圆的定义,垂经定理，圆 周角定理，切线定理。 2.运用圆的有关知识解决圆中的动点问题。 【过程与方法】：经历探究圆中的动点问题的解题过程，初步体会解 决动点问题的思考方法。 【情感、态度与价值观】：培养学生分类讨论的数学方法，以静制动 的解题策略。 教学重难点： 【重点】：圆中的动点问题的解决方法。 【难点】：分类讨论的数学方法的运用。 教与学互动设计： （一）创设情境导入新课 1.欣赏下列图片

2. 复习圆的定义，与圆有关的角、线段。

（１）圆周角与圆心角的关系： （２）复习垂径定理： （３）切线，切线的性质与切线的判定： （二）合作交流解读探究 例1：已知：点A、B是⊙O上的两个定点，且∠AOB=70? （1）点P是⊙O上不与A、B重合的一个动点，∠APB的度数是 多少？讨论：采用了什么方法和技巧？ （∠APB=35?，145?） ①以静制动②分类讨论 （2）过点O分别作OC⊥PA，OD⊥PB垂足分别为C、D。连接CD，线段CD与AB的位置关系和数量关系会不会随点P的变化而改变， 请说明理由。

例2：已知：AB 为⊙O 的直径，点C 为直径AB 上的一个动点，过 C 作DE ⊥AB （1）连接OD ，作∠ODE 的角平分线交⊙O 于点P （如图2），请观察点P 的位置，你有什么发现吗？ （2）点M 为线段CD 上不同于C ，D 的一动点，作直线AM 交O 于N ，过N 点作O 的切线NG ，直线NG 与直线CD 交于点G ，请你通过观察测量判断?MNG （三） 总结反思 拓展升华 总结：主要数学知识圆的有关知识以及与圆有关的动点问题。 主要数学方法分类讨论与以静制动。 B B

2016年中考压轴题专题：与圆有关的最值问题(附答案)

3 3 2 O C A D B 与圆有关的最值（取值范围）问题 引例 1：在坐标系中，点 A 的坐标为(3，0)，点 B 为 y 轴正半轴上的一点，点 C 是第一象限 内一点，且 AC=2．设 tan∠BOC=m，则 m 的取值范围是 ． 引例 2：如图，在边长为 1 的等边△OAB 中，以边 AB 为直径作⊙D，以 O 为圆心 OA 长为半径 作⊙O，C 为半圆弧 ?AB 上的一个动点（不与 A 、B 两点重合），射线 AC 交⊙O 于点 E ， BC= a ，AC= b ，求 a b 的最大值. 引例 3：如图，∠BAC=60°，半径长为 1 的圆 O 与∠BAC 的两边相切，P 为圆 O 上一动点， 以 P 为圆心，PA 长为半径的圆 P 交射线 AB 、AC 于 D 、E 两点，连接 DE ，则线段 DE 长度的最大值为( ). A ．3 B ．6 C ． D ． 3 一、题目分析： 此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接 1. 引例 1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点 C 与两个定点 O 、A 构成夹角的 变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化 （增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用； 2. 引例 2：通过圆的基本性质，寻找动点 C 与两个定点 A 、B 构成三角形的不变条件， 结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用； 3. 引例 3：本例动点的个数由引例 1、引例 2 中的一个动点，增加为三个动点，从性质 运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点 D 、E 与一个定点 A 构成三角形的不变条件（∠DAE=60°），构造弦 DE 、直径所在的直角三角形，从而转化为弦 DE 与半径 AP 之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用； 综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透. 二、解题策略 1. 直观感觉，画出图形； 2. 特殊位置，比较结果； 3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量） 之间的关系，建立等式，进行转化. 3

中考数学动点问题(与圆相关)

动手操作题 例题：我们可以将一个纸片通过剪切，结合图形的平移、旋转、翻折，重新拼接成一 个新的图形．如图，沿△ABC 的中位线DE 剪切，将△ADE 绕点E 顺时针旋转180°， 可得到□BCFD ．请尝试解决下面问题（不写画法，保留痕迹，并作必要说明）： （1）将梯形纸片剪拼成平行四边形：请在下图中画出示意图，要求用两种不同．． 的画法， 并简要说明如何剪拼和变换的； （2）如图，将四边形ABCD 剪拼成平行四边形．在下图中画出示意图． 课后练习 1．解方程x 2－4x ＋1＝0． 2.解不等式组? ????2－x ＞0， 5x ＋12＋1≥x ，并写出不等式组的整数解． 3.计算(a 2－4a 2－4a ＋4－ 2a －2)÷a 2＋2a a －2．

4.在解不等式||x +1＞2时，我们可以采用下面的解答方法： ① 当x +1≥0时，||x +1=x +1． ∴由原不等式得x +1＞2．∴可得不等式组?? ?>+≥+.21,01x x ∴解得不等式组的解集为x ＞1． ② 当x +1＜0时，||x +1=－（x +1）． ∴由原不等式得–（x +1）＞2． ∴可得不等式组?? ?>+-<+. 2)1((,01x x ∴解得不等式组的解集为x ＜﹣3． 综上所述，原不等式的解集为x ＞1或x ＜﹣3． 请你仿照上述方法，尝试解不等式||x –2≤1． 5.某批发商以每件50元的价格购进500件T 恤．若以单价70元销售，预计可售出200件．批发商的销售策略是：第一个月为增加销售量，降价销售，经过市场调查，单价每降低1 元，可多售出10件，但最低单价高于购进的价格；第一个月结束后，将剩余的T 恤一 次性清仓销售，清仓时单价为40元． （1）按照批发商的销售策略，销售完这批T 恤可能亏本吗？请建立函数关系进行说明； （2）从增加销售量的角度看，第一个月批发商降价多少元时，销售完这批T 恤获得的 利润为1000元？

圆中动点问题

圆中的动态问题 【方法点拨】 圆中的动态问题实际是圆的分类讨论问题，做这种题型重要的是如何将动点转化为固定的点，从而将题型变为分类讨论 【典型例题】 题型一：圆中的折叠问题 例题一 （2012江西南昌12分）已知，纸片⊙O 的半径为2，如图1，沿弦AB 折叠操作． （1）①折叠后的?AB 所在圆的圆心为O ′时，求O ′A 的长度； ②如图2，当折叠后的?AB 经过圆心为O 时，求?AOB 的长度； ③如图3，当弦AB =2时，求圆心O 到弦AB 的距离； （2）在图1中，再将纸片⊙O 沿弦CD 折叠操作． ①如图4，当AB ∥CD ，折叠后的?AB 与?CD 所在圆外切于点P 时，设点O 到弦AB ．CD 的距离之和为d ，求d 的值； ②如图5，当AB 与CD 不平行，折叠后的?AB 与?CD 所在圆外切于点P 时，设点M 为AB 的中点，点N 为CD 的中点，试探究四边形OMPN 的形状，并证明你的结论． 【答案】解：（1）①折叠后的?AB 所在圆O ′与⊙O 是等圆，∴O ′A =OA =2。 ②当?AB 经过圆O 时，折叠后的?AB 所在圆O ′在⊙O 上，如图2所示，连接O ′A ．OA ．O ′B ，OB ，OO ′。 ∵△OO ′A ，△OO ′B 为等边三角形， ∴∠AO ′B =∠AO ′O +∠BO ′O =60°+60°=120°。 ∴?AOB 的长度120241803 ππ??==。 ③如图3所示，连接OA ，OB ， ∵OA =OB =AB =2， ∴△AOB 为等边三角形。

过点O 作OE ⊥AB 于点E ，∴OE =OA ?sin 60°=3。 （2）①如图4，当折叠后的?AB 与?CD 所在圆外切于点P 时， 过点O 作EF ⊥AB 交AB 于点H 、交?AEB 于点E ，交CD 于点G 、交?CFD 于点F ，即点E 、H 、P 、O 、G 、F 在直径EF 上。 ∵AB ∥CD ，∴EF 垂直平分AB 和CD 。 根据垂径定理及折叠，可知PH =12PE ，PG =12 PF 。 又∵EF =4，∴点O 到AB ．CD 的距离之和d 为： d =PH +PG =12PE +12PF =12 （PE +PF ）=2。 ②如图5，当AB 与CD 不平行时，四边形是OMPN 平行四边形。证明如下： 设O ′，O ″为?APB 和?CPD 所在圆的圆心， ∵点O ′与点O 关于AB 对称，点O ″于点O 关于CD 对称， ∴点M 为的OO ′中点，点N 为OO ″的中点。 ∵折叠后的?APB 与?CPD 所在圆外切， ∴连心线O ′O ″必过切点P 。 ∵折叠后的?APB 与?CPD 所在圆与⊙O 是等圆， ∴O ′P =O ″P =2，∴PM =12OO ″=ON ，PN =12 OO ′=OM ， ∴四边形OMPN 是平行四边形。 【考点】翻折变换（折叠问题）相切两圆的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，垂径定理，弧长的计算，解直角三角形，三角形中位线定理。 【分析】（1）①折叠后的?AB 所在圆O ′与⊙O 是等圆，可得O ′A 的长度。 ②如图2，过点O 作OE ⊥AB 交⊙O 于点E ，连接OA ．OB ．AE 、BE ，可得△OAE 、△OBE 为等边三角 形，从而得到?AOB 的圆心角，再根据弧长公式计算即可。 ③如图3，连接O ′A ．O ′B ，过点O ′作O ′E ⊥AB 于点E ，可得△AO ′B 为等边三角形，根据三角函数的知识 可求折叠后求?AOB 所在圆的圆心O ′到弦AB 的距离。 （2）①如图4，?AEB 与?CFD 所在圆外切于点P 时，过点O 作EF ⊥AB 交?AEB 于于点E ，交?CFD 于点F ，根据垂径定理及折叠，可求点O 到AB ．CD 的距离之和。 ②由三角形中位线定理，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得证。

圆的动点问题经典习题及答案

圆的动点问题 25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分） 已知：在Rt ABC △中，∠ACB =90°，BC =6，AC =8，过点A 作直线MN ⊥AC ，点E 是直线 MN 上的一个动点， （1）如图1，如果点E 是射线AM 上的一个动点(不与点A 重合)，联结CE 交AB 于点P ．若 AE 为x ，AP 为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； (2) 在射线AM 上是否存在一点E ，使以点E 、A 、P 组成的三角形与△ABC 相似，若存在求 AE 的长，若不存在，请说明理由； （3）如图2，过点B 作BD ⊥MN ，垂足为D ，以点C 为圆心，若以AC 为半径的⊙C 与以ED 为半径的⊙E 相切，求⊙E 的半径． A B C P E M 第25题图1 D A B C 第25题图2 N

25．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题2分，第（3）小题6分） 在半径为4 的⊙O 中，点 C 是以AB 为直径的半 圆的中点，OD ⊥AC ，垂足为D ，点E 是射线AB 上的任意一点， DF x y y x 本题满分14分，第 （1）题4分，第（2）题4分，第（2）题6分） 在 梯 形 ABCD 中 ， AD x =y =y x x x x BP AP BC AE =x y y y x -=106() 0610>+= x x x y AP AE BC AB =x x x += 6106 100,332 21== x x 3 32x 6-x 2 86+=+-x x 2 22EC AE AC =+222)2(8+=+x x 15=x ----------------------------------（2分） ②当点E 在线段AD 上，⊙C 与⊙E 外切时，ED=x -6， EC=x x -=+-1486 在直角三角形AEC 中，2 22EC AE AC =+ ∴2 2 2 )14(8x x -=+ 解得：7 33 =x ∴⊙E 的半径为 7 9 .---------------------------------（2分） F D C B E A B E F C D O A B F C D O

(完整word版)专题：与圆有关的最值问题

B y C x A O D B O C A B O y A x P B O y A x P B O y A x P 与圆有关的最值（取值范围）问题 引例1：在坐标系中，点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设 tan ∠BOC=m ，则m 的取值范围是_________． 引例2：如图，在边长为1的等边△OAB 中，以边AB 为直径作⊙D ，以O 为圆心OA 长为半径作⊙O ，C 为半圆 弧?AB 上的一个动点（不与A 、B 两点重合） ，射线AC 交⊙O 于点E ，BC=a ，AC=b ，求a b +的最大值. 引例3：如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O 与∠BAC 的两边相切，P 为圆O 上一动点，以P 为圆心，PA 长 为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为( ). A ．3 B ．6 C 332 D ．33 此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接 1．引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C 与两个定点O 、A 构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用； 2．引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C 与两个定点A 、B 构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用； 3．引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D 、E 与一个定点A 构成三角形的不变条件（∠DAE=60°），构造弦DE 、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE 与半径AP 之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用； 综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透. 二、解题策略 1．直观感觉，画出图形； 2．特殊位置，比较结果； 3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化. 三、中考展望与题型训练 例一、斜率运用 如图，A 点的坐标为（-2，1），以A 为圆心的⊙A 切x 轴于点B ，P ()a b ，为⊙A 上的一个动点，请分别探索：①b a +的最大值；②b a +的最小值；③b a -的最大值；④b a -的最大值；

圆的动点问题--经典习题及答案

圆的动点问题 25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分） 已知：在Rt△ ABC中，/ ACB90°, BC=6, AC=8,过点A作直线MNLAC点E是直线MNk的一个动点， （1）如图1,如果点E是射线AM上的一个动点（不与点A重合），联结CE交AB于点P.若AE为x , AP为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； ⑵在射线AM上是否存在一点E使以点E、A P组成的三角形与厶ABC相似，若存在求 AE的长，若不存在，请说明理由； （3）如图2,过点B作BD丄MN垂足为D，以点C为圆心，若以AC为半径的O C与以ED 为半径的O E相切，求O E的半径.

25.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题2分，第（3）小题6 分） 在半径为4的O O中，点C是以AB为直径的半圆的中点，ODLAC,垂足为D,点E是射线AB上的任意一点，DF// AB, DF与CE相交于点F,设EF= x , DF= y . （1）如图1,当点E在射线OB上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域； （2）如图2,当点F在O O上时，求线段DF的长； （3）如果以点E为圆心、EF为半径的圆与O 0相切，求线段DF的长. E

25.如图，在半径为5的O O中，点A、B在O O上，/ AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点，AC 与OB的延长线相交于点D，设AC=x , BD=y . (1 )求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； (2) 如果O O i与O O相交于点A、C,且O O1与O O的圆心距为 2,当BD=-OB 时，求O O1 的半径; (3) 是否存在点C,使得△ DCBDOC ?如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由. A