导数在微观经济学中边际问题的应用

导数在微观经济学中边际问题的应用

云南农业大学

关键词：导数；变化率；边际；边际分析。

前言：导数在现代经济领域中的应用非常广泛，特别是在微观经济学中有着很多具体的

例子。掌握和应用导数的基本概念和经济中常见函数的概念非常重要。把经济学中很多现象进行分析和归纳到数学领域中，用我们所学的数学知识进行解答对很多经营决策者起了非常

重要的作用。

高等数学的主要内容是微积分，微分学则是微积分的重要组成部分，而导数又是微分学中的基本概念之一，所以学习导数的概念并熟练掌握导数的应用尤为重要。导数的应用范围非常广泛，比如在物理学中的应用，在工程技术上的应用，在经济学中的应用等等，今天我

就导数在经济中边际问题的应用略做讨论。

一、导数的概念

从数量关系而言，导数反映函数的自变量在变化时，相应的函数值变化的快慢程度——

变化率（瞬时变化率）。从数学表达式而言，研究的是函数的增量与自变量的增量比的极限

问题。

二、经济学中常用的函数

导数在经济领域中的应用，主要是研究在这一领域中出现的一些函数关系，因此必须了解一些经济分析中常见的函数。

（一）价格函数

一般说来，价格是销售量的函数。生活中随处可见。例如：当购买的东西越多，消费者

的消费额度就可以小些。

（二）成本函数

成本包括固定成本和变动成本两类. 固定成本是指厂房、设备等固定资产的折旧、管理

者的固定工资等，记为X。变动成本是指原材料的费用、工人的工资等，记为Y。这两类成本的总和称为总成本，记为Z，即

Z=X+Y

假设固定成本不变（X 为常数），变动成本Y 是产量Q 的函数（Y=C(Q) ），则成本函数为Z=X+C(Q) 。

（三）需求函数

作为市场上的一种商品，其需求量受到很多因素影响，如商品的市场价格、消费者的喜好等. 为了便于讨论，我们先不考虑其他因素，假设商品的需求量Q 仅受市场价格x 的影响。即

Q=f(x)

例：某厂家从促进消费的需求考虑，对某空调的价格从3000 元/台降到2500 元/台，相应的需求量从3000 台增到5000 台，求需求函数。

（四）收益函数

在商业活动中，一定时期内的收益，就是指商品售出后的收入，记为Y. 销售某商品的总收入取决于该商品的销售量p 和价格q。因此，收入函数为

Y=pq

（五）利润函数

利润是指收入扣除成本后的剩余部分，记为L.

L=R-C

其中R 表示收入， C 表示成本。

总收入减去变动成本称为毛利润，再减去固定成本称为纯利润。

三、导数在经济分析中的应用举例

导数是函数关于自变量的变化率，在经济学中，也存在变化率的问题，因此我们可以把微观经济学中的很多问题归结到数学中来，用我们所学的导数知识加以研究并解决。

在此我们就经济学中的边际和边际分析问题加以稍作讨论。

边际概念:

表示当x 的改变量△x 趋于0 时y 的相应改变量△y 与△x 的比值的变化，即当x 在某一给定值附近有微小变化时y 的瞬时变化。

若设某经济指标y 与影响指标值的因素x 之间成立函数关系式y=f(x) ，则称导数f′(x) 为f(x) 的边际函数。随着y，x 含义不同，边际函数的含义也不一样。

边际的实质:

反映了一种经济变量随另一种经济变量变化的快慢程度。

现实生活中，经常需要考虑一种经济变量随多个经济变量变化的情况。例如, 某种品牌的电视机的销售情况，除了受本品牌电视机的价格影响外，还受其他品牌同类型电视机的价

格的影响。边际的概念也可推广到多元函数的情形。

设生产某产品q 单位时所需要的总成本函数为C=C(q)，则称MC=C ′(q)为边际成本。

边际成本的经济含义是：当产量为q 时，再生产一个单位产品所增加的总成本为C′(q)。

类似可定义其它概念，如边际收入，边际产量，边际利润，边际销量等等。

经济活动的目的，除了考虑社会效益，对于一个具体的公司，决策者更多的是考虑经营

的成果，如何降低成本，提高利润等问题。

例1

某种产品的总成本C（万元）与产量q（万件）之间的函数关系式（即总成本函数）为

C=C(q)=100+4q-0.2q2+0.01q3 求生产水平为q=10（万件）时的平均成本和边际成本，并从

降低成本角度看，继续提高产量是否合适？

解: 当q=10 时的总成本为

C(10)=100+4 ×10-0.2×102+0.01×103=130（万元）

所以平均成本（单位成本）为C(10)÷10=130÷10=13（元/件）

边际成本MC=C ′(q)=4-0.4q+0.03q2

MC │q=10=4-0.4 ×10+0.03×102=3（元/件）

因此在生产水平为10 万件时，每增加一个产品总成本增加 3 元，远低于当前的单位成本，从降低成本角度看，应该继续提高产量。

例2

某公司总利润L （万元）与日产量q（吨）之间的函数关系式（即利润函数）为

L=L(q)=2q-0.005q2-150

试求每天生产150 吨，200 吨，350 吨时的边际利润，并说明经济含义。

解: 边际利润ML=L ′(q)=2-0.01q

ML │q=150=2-0.01 ×150=0.5；

ML │q=200=2-0.01 ×200=0；

ML │q=350=2-0.01 ×350=-1.5

从上面的结果表明，当日产量在150 吨时，每天增加 1 吨产量可增加总利润0.5 万元；当日产量在200 吨时，再增加产量，总利润已经不会增加；而当日产量在350 吨时，每天产量再增加 1 吨反而使总利润减少 1.5 万元，由此可见，该公司应该把日产量定在200 吨，此时的总利润最大为：L(25)=2 ×200-0.005×2002-150=50 （万元）

从上例可以发现，公司获利最大的时候，边际利润为零。

例3

某企业生产过程中需使用某种原材料。到外地采购一次这种原材料，要开销采购人员的工资、旅差费、手续费、运输费、检验费等，但每次采购的总的采购费用基本相同。原材料

被采购回来后，除了被使用外，存放在仓库里，要开销保管费用，保管费用通常是采购批量、采购价格、保管费率三者乘积的一半，试求总费用最小的采购批量。

解: 设每年使用原材料的总量为Q，每次采购的批量为q，每次采购费用为k，则年采购次数为(Q/q)，每年的采购费用为(Q/q)×k。又设该原材料的价格为p，保管费率是i，则库存费用为(1/2)·q·p·i，因此总费用为:

C(q)=(Q/q) ·k+(1/2) ·q·p·i

求导得C′(q)=-(Q/q) ·k+(1/2)p ·i，令C′(q)=0 ，得。

这是所求的唯一值，根据生活的实际情况定有最小值，这唯一的点就是最小值点，所以当每次采购批量为时，总费用最小。

上例的结果是理想化的瞬时送货的最佳库存模型，这个模型被广泛地应用于生产实际。

下面我们看实际的例子。

例4

某企业生产使用某原材料100 吨/年，每次采购的费用是1000 元，每吨原材料的年库存费（材料价格与保管费率之积）为500 元，如果材料消耗是均匀的，问应分几批采购，使总

费用最小？

解: 设每次采购原材料q 吨，则总费用为

C(q)=(100/q) ·1000+(1/2) ·q·500

C′(q)=-(100000/q2)+(1/2)500

令C′(q)=0，得（吨）

所以q=20 当时，即每年分(100/20)=5 （次）时，总费用最小。

以上就导数在微观经济学中的应用进行了讨论，导数在经济学中的应用颇为广泛，不仅此而已。从上面的例子可以看出，导数对于在经济学中边际问题的分析尤为重要，通过边际问题的分析，对于企业的决策者作出正确的决策起到了十分重要的作用。

导数在实际生活中的应用

导数在实际生活中的应用 导数是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野，是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率和解决一些物理问题等等的有力工具。 导数知识是学习高等数学的基础，它是从生产技术和自然科学的需要中产生的，同时，又促进了生产技术和自然科学的发展，它不仅在天文、物理、工程领域有着广泛的应用。而且在工农业生产及实际生活中，也经常会遇到如何才能使“选址最佳”“用料最省”“流量最大”“效率最高”等优化问题。这类问题在数学上就是最大值、最小值问题，一般都可以应用导数知识得到解决。接下来就导数在实际生活中的应用略微讨论。 1．导数与函数的极值、最值解读 函数的极值是在局部范围内讨论的问题，是一个局部概念，函数的极值可能不止一个，也可能没有极值。 函数()y f x =在点0x 处可导，则'0()0F x =是0x 是极值点的必要不充分条件，但导数不存在的点也有可能是极值点。 最大值、最小值是函数对整个定义域而言的，是整体范围内讨论的问题，是一个整体性的概念，函数的最大值、最小值最多各有一个。函数最值在极值点处或区间的断点处取得。 2．导数在实际生活中的应用解读 生活中的优化问题：根据实际意义建立好目标函数，体会导数在解决实际问题中的作用。 例1：在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？ 思路：设箱底边长为x cm ，则箱高602 x h -=cm ，得箱子容积V 是箱底边长x 的函数：23 2 60()(060)2x x r x x h x -==<<，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的

导数在经济学中的应用

引言 近年来，随着市场经济的不断发展、经济的不断繁荣，经济活动中的实际问题也愈加复杂，简单的分析已经不足以满足企业管理者对经济分析的需求。因此，有必要将高等数学应用于简单的数学函数所不能解决的实际经济问题中，对其进行定量分析，这使得高等数学在解决经济问题中占据重要地位。而导数作为高等数学中的重要概念，同样也是解决经济问题的一个有力工具。在高等数学中，导数通常被用于判断函数的单调性，求函数的最值、极值等。在实际经济问题中，导数可作为经济分析的工具，广泛地应用到经济研究和企业管理之中，促进经济理论朝着更加精确的方向发展。本文从边际分析，弹性分析，优化分析三个方面论述导数在经济分析方面的应用。 1、导数的概念 2、经济分析中常用的函数 由于导数主要应用于探究经济领域中出现的一些函数关系问题，所以，我们必需对经济分析中的一些常用的函数具有一定的了解，以便更好的理解和使用它们。经济分析中常用的函数主要有以下四类： 2.1需求函数 需求函数指在特定的时间内，各种可能的价格条件下，消费者愿意并且能够购买该商品的数量。（出处？）为了使问题简单化，我们一般假设需求函数的诸

多自变量中除价格外其他均为常量，则函数表示为()P f Q d =，其中，P 为商品的价格，Q d 为商品的需求量。这个函数表示一种商品的需求量与价格之间存在 一一对应的关系，并且通过观察可以知道商品（除某些抵挡商品、某些炫耀性商品、某些投资性商品除外）的需求量与价格成反方向变动关系，即商品本身价格上升，需求量随之减少，反之亦然。 例1：服装店销售某种衬衫的件数Q 与价格P 是线性关系，当价格为100元一件时，可销售120件，当价格为80元时，可销售200件，求需求函数。 解:设衬衫的件数与价格的函数关系为：b aP Q += 则b a +=100120；b a +=80200 解得4-=a ；520=b 所以需求函数为5204+-=P Q 。 2.2供给函数 一种商品的供给函数，是指单个生产者在一定时期内在各种可能的价格下，愿意且能够提供出售的该种商品数量。[3]我们通常通过将除价格外的其他因素看成常量以达到化简问题的目的。所以，供给函数可以用()P f Q s =表示，其中，P 为商品的价格，Q S 为商品的供给量。可以看出，商品（除单个劳动力商品、古董商品、某些投资性商品外）的价格与供给量之间成同方向变动的关系。 例2：已知大蒜的收购价为每千克4元，每星期能收购2000千克，若收购价每千克提高0.5元，每星期可收购2500千克，求大蒜的供给函数。 解：设大蒜的线性供给函数为：b aP Q += 则b a +=42000；b a +=5.42500 得1000=a ；2000-=b 所以供给函数为为：20001000-=P Q 2.3成本函数 产品成本一般情况下是用货币的形式来表现的企业生产和出售产品的所用度支出。成本函数所表示的是企业成本总额与产出总量之间关系的公式。产品成

导数在实际生活中的应用

§1.4导数在实际生活中的应用 目的要求：（1）巩固函数的极值与最值 （2）利用导数解决应用题中有关最值问题 例1．在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如 图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 例2．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料 最省？ 例3．在如图所示的电路中，已知电源的内阻为r ，电动势为ε。外电阻R 为多大时，才能 使电功率最大？最大电功率是多少？ 例4．强度分别为,a b 的两个光源,A B ，它们间的距离为d ，试问：在连接这两个光源的线 段AB 上，何处照度最小？试就8,1,3a b d ===时回答上述问题（照度与光的强度 例()C x ；出售x 单位产品的 ()()x C x -称为利润函数，记为( )P x 。 （+，生产多少单位产品时，边际成本'()C x 最低？ （2）设()5010000C x x =+，产品的单价1000.1p x =-，怎样的定价可使利润最大？ 作业 1．函数3|6|y x x =-，当x ?∈?时，y 的最大值为 （ ） A. 2．已知函数32()f x x bx c =-+，若/()f x ≥3-，且/0()3f x =-，则0x = （ ） .3A - B.3 C.1- D.±1 3．已知函数()(),n f x x m n N *=-∈,且对任意x R ∈，都有//(3)(3)f x f x -=+，则m = ，()f x 的单调性是 。 4．若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调递增函数，则m 的取值范围是 5．若函数3232y x x m =++在[－2，1]上的最大值为92 ，则m = 6．将8分为两正数之和，使其立方和最小，则这两个数分别为 7．已知函数32()f x x px qx =--的图象与x 轴切于点（1，0）处，则()f x 的极大值为 8．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已 知总收益R 与年产量x 的关系是 21400(0400)280000(400) (){x x x x R R x -≤≤>==则总利润最大时，每年生产的产品是 9．若函数4()32f x x x c =-+有最小值38-，则c= 10．已知函数32()23121f x x x x =--++在[],1m 上的最小值为17-，则m = 11．已知函数'()y x f x =的图象如右图所示 (其中'()f x 是函数f(x)的导函数)，下面四个 图象中y=f(x)的图象大 致是( ) 12．已知由长方体的一个顶点引出的三条棱长之和为1最小值和最大值。 13．已知圆柱的表面积为定值S ，求当圆柱的容积V

【精编_推荐】导数在经济学中的应用

导数与微分在经济中的简单应用 一、边际和弹性 （一）边际与边际分析 边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。 1、总成本、平均成本、边际成本 总成本是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成。用c(x)表示，其中x表示产品的产量，c(x)表示当产量为x时的总成本。 不生产时，x=0，这时c(x)=c(o)，c(o)就是固定成本。 平均成本是平均每个单位产品的成本，若产量由x0变化到，则： 称为c(x)在内的平均成本，它表示总成本函数c(x)在内的平均变化率。 而称为平均成本函数，表示在产量为x时平均每单位产品的成本。 例1，设有某种商品的成本函数为： 其中x表示产量（单位：吨），c(x)表示产量为x吨时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本及平均成本分别为： 如果产量由400吨增加到450吨，即产量增加=50吨时，相应地总成本增加量为：这表示产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率，即产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本13.728元。 类似地计算可得：当产量为400吨时再增加1吨，即=1时，总成本的变化为： 表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。 产量由400吨减少1吨，即=-1时，总成本的变化为： 表示产量在400吨时，减少1吨产量所减少的成本。

在经济学中，边际成本定义为产量增加或减少一个单位产品时所增加或减少的总成本。即有如下定义： 定义1：设总成本函数c=c(x)，且其它条件不变，产量为x0时，增加（减少）1个单位产量所增加（减少）的成本叫做产量为x0时的边际成本。即： 其中=1或=-1。 由例1的计算可知，在产量x0=400吨时，增加1吨的产量时，边际成本为13.7495；减少1吨的产量时，边际成本为13.7505。由此可见，按照上述边际成本的定义，在产量x0=400吨时的边际成本不是一个确定的数值。这在理论和应用上都是一个缺点，需要进一步的完善。 注意到总成本函数中自变量x的取值，按经济意义产品的产量通常是取正整数。如汽车的产量单位“辆”，机器的产量单位“台”，服装的产量单件“件”等，都是正整数。因此，产量x是一个离散的变量，若在经济学中，假定产量的单位是无限可分的，就可以把产量x 看作一个连续变量，从而可以引人极限的方法，用导数表示边际成本。 事实上，如果总成本函数c(x)是可导函数，则有： 由极限存在与无穷小量的关系可知： （1） 其中，当很小时有： （2） 产品的增加=1时，相对于产品的总产量而言，已经是很小的变化了，故当=1时（2）成立，其误差也满足实际问题的需要。这表明可以用总成本函数在x0处的导数近似地代替产量为x0时的边际成本。如在例1中，产量x0=400时的边际成本近似地为，即：误差为0.05，这在经济上是一个很小的数，完全可以忽略不计。而且函数在一点的导

导数在实际生活中的应用

导数在实际生活中的应用 1．(江苏省启东中学高三质量检测)曲线y ＝1 3 x 3＋x 在点????1，43处的切线与坐标轴围成的 三角形面积为________． 解析：曲线y ＝1 3x 3＋x 在点????1，43处的切线斜率为y ′|x ＝1＝????13x 3＋x ′x ＝1＝(x 2＋1)|x ＝1 ＝2，所以切线的方程为y －43＝2(x －1)，即y ＝2x －2 3 ，与x 轴的交点和y 轴的交点为 ????13，0，????0，－23，所求面积为S ＝12×13×23＝19 . 答案：1 9 2．(江苏省高考命题研究专家原创卷)设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx ，有大于零的极值 点， 则m 的取值范围是________． 解析：因为函数y ＝e x ＋2mx ，有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于零的实 根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图象可得－2m >1， 即m <－1 2. 答案：m <－1 2 3．(江苏省高考名校联考信息优化卷)已知f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若f (x )在区间(0,1]上恒 为单调函数，则实数a 的取值范围为________． 解析：由题意知，f ′(x )＝2x ＋2＋a x ＝2x 2 ＋2x ＋a x ， ∵f (x )在区间(0,1]上恒为单调函数，∴f ′(x )在区间(0,1]上恒大于等于0或恒小于等于0， ∴2x 2＋2x ＋a ≥0或2x 2＋2x ＋a ≤0在区间(0,1]上恒成立，即a ≥－(2x 2＋2x )或a ≤－(2x 2 ＋2x )，而函数y ＝－2x 2－2x 在区间(0,1]的值域为[－4,0)，∴a ≥0或a ≤－4. 答案：a ≥0或a ≤－4 4．已知f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＞0，f ′(x )＞0，则函数y ＝xf (x )的递增区间 是________． 解析：当x ＞0时，y ′＝[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )＞0，∴y ＝xf (x )在(0，＋∞)上递增． 又f (x )为奇函数，∴y ＝xf (x )为偶函数，∴y ＝xf (x )在(－∞，0)上递减． 答案：(0，＋∞) 5．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元， 已知总收益R 与年产量x 的关系是

新人教B版学高中数学选修导数及其应用导数的实际应用讲义

学习 目 标核心素养 １．了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用．（重点） ２．能利用导数求出某些实际问题的最大值（最小值）．（难点、易混点）１．通过导数的实际应用的学习，培养学生的数学建模素养． ２．借助于解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题，提升学生的逻辑推理、数学运算素养. 导数在实际生活中的应用 １．最优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为最优化问题． ２．用导数解决最优化问题的基本思路 １．做一个容积为２５6 m３的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为（） Ａ．6 m Ｂ．8 m Ｃ．４m Ｄ．２m [解析] 设底面边长为x m，高为h m，则有x２h＝２５6，所以h＝错误!.所用材料的面积设为S m ２，则有S＝４x·h＋x２＝４x·错误!＋x２＝错误!＋x２.S′＝２x—错误!，令S′＝0，得x＝8，因此h＝错误!＝４（m）． [答案] C ２．某一件商品的成本为３0元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出（２00—x）件，当每件商品的定价为______元时，利润最大． [解析] 利润为S（x）＝（x—３0）（２00—x）

＝—x２＋２３0x—6 000， S′（x）＝—２x＋２３0， 由S′（x）＝0，得x＝１１５，这时利润达到最大． [答案] １１５ 面积、体积的最值问题 示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设A E＝FB＝x（cm）． （１）某广告商要求包装盒的侧面积S（cm２）最大，试问x应取何值？ （２）某厂商要求包装盒的容积V（cm３）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． [思路探究] 弄清题意，根据“侧面积＝４×底面边长×高”和“体积＝底面边长的平方×高”这两个等量关系，用x将等量关系中的相关量表示出来，建立函数关系式，然后求最值． [解] 设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm. 由已知得a＝错误!x，h＝错误!＝错误!（３0—x），0＜x＜３0． （１）S＝４ah＝8x（３0—x）＝—8（x—１５）２＋１800， 所以当x＝１５时，S取得最大值． （２）V＝a２h＝２错误!（—x３＋３0x２），V′＝6错误!x（２0—x）． 由V′＝0，得x＝0（舍去）或x＝２0． 当x∈（0,２0）时，V′＞0；当x∈（２0,３0）时，V′＜0． 所以当x＝２0时，V取得极大值，也是最大值．

导数在微观经济学中边际问题的应用

导数在微观经济学中边际问题的应用 云南农业大学 关键词：导数；变化率；边际；边际分析。 前言：导数在现代经济领域中的应用非常广泛，特别是在微观经济学中有着很多具体的例子。掌握和应用导数的基本概念和经济中常见函数的概念非常重要。把经济学中很多现象进行分析和归纳到数学领域中，用我们所学的数学知识进行解答对很多经营决策者起了非常重要的作用。 高等数学的主要内容是微积分，微分学则是微积分的重要组成部分，而导数又是微分学中的基本概念之一，所以学习导数的概念并熟练掌握导数的应用尤为重要。导数的应用范围非常广泛，比如在物理学中的应用，在工程技术上的应用，在经济学中的应用等等，今天我就导数在经济中边际问题的应用略做讨论。 一、导数的概念 从数量关系而言，导数反映函数的自变量在变化时，相应的函数值变化的快慢程度——变化率（瞬时变化率）。从数学表达式而言，研究的是函数的增量与自变量的增量比的极限问题。 二、经济学中常用的函数 导数在经济领域中的应用，主要是研究在这一领域中出现的一些函数关系，因此必须了解一些经济分析中常见的函数。 （一）价格函数 一般说来，价格是销售量的函数。生活中随处可见。例如：当购买的东西越多，消费者的消费额度就可以小些。 （二）成本函数 成本包括固定成本和变动成本两类. 固定成本是指厂房、设备等固定资产的折旧、管理者的固定工资等，记为X。变动成本是指原材料的费用、工人的工资等，记为Y。这两类成本的总和称为总成本，记为Z，即 Z=X+Y 假设固定成本不变（X为常数），变动成本Y是产量Q的函数（Y=C(Q)），则成本函数为Z=X+C(Q)。 （三）需求函数 作为市场上的一种商品，其需求量受到很多因素影响，如商品的市场价格、消费者的喜好等. 为了便于讨论，我们先不考虑其他因素，假设商品的需求量Q仅受市场价格x的影响。即

导数在经济学的应用

第七节 导数在经济学中的应用 本节讨论导数概念在经济学中的两个应用——边际分析和弹性分析. 内容分布图示 ★ 引言 ★ 边际函数 ★ 边际成本 ★ 例1 ★ 边际收入与边际利润 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 函数的弹性 ★ 需求弹性 ★ 例5 ★ 用需求弹性分析总收益的变化 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-7 ★ 返回 内容要点： 一、边际分析 在经济学中，习惯上用平均和边际这两个概念来描述一个经济变量y 对于另一个经济变量x 的变化. 平均概念表示在x 在某一范围内取值y 的变化. 边际概念表示当x 的改变量x ?趋于0时，y 的相应改变量y ?与x ?的比值的变化，即当x 在某一给定值附近有微小变化时，y 的瞬时变化. 边际函数： 根据导数的定义, 导数)(0x f '表示)(x f 在点0x x =处的变化率, 在经济学中, 称其为)(x f 在点0x x =处的边际函数值. 边际成本：成本函数)(x C C =(x 是产量)的导数)(x C '称为边际成本函数. 边际收入与边际利润：在估计产品销售量x 时, 给产品所定的价格)(x P 称为价格函数, 可以期望)(x P 应是x 的递减函数. 于是， 收入函数 )()(x xP x R = 利润函数 )()()(x C x R x L -=()(x C 是成本函数) 收入函数的导数)(x R '称为边际收入函数; 利润函数的导数)(x L '称为边际利润函数. 二、 函数弹性 函数弹性的概念：在边际分析中所研究的是函数的绝对改变量与绝对变化率, 经济学中常需研究一个变量对另一个变量的相对变化情况, 为此引入下面定义. 定义1 设函数)(x f y =可导, 函数的相对改变量

导数的实际应用_知识讲解

导数的实际应用 【要点梳理】 要点一：最优化问题 现实生产生活中，人们经常遇到经营利润最大、生产效率最高、用力最省、用料最少、消耗原材料或能源最省、面积或体积最大、用时最短等问题，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些问题通常称为最优化问题． 要点二：利用导数解决最优化问题的一般步骤 解决最优化问题的方法很多，如：判别式法，平均不等式法，线性规划方法及利用二次函数的性质等． 不少最优化问题可以化为求函数最值问题，导数方法是解这类问题的有效工具．此时，要把问题中所涉及的几个变量转化为函数关系式，这需要通过分析、联想、抽象和转化，函数的最值由极值和区间端点的函数值比较确定，当定义域是开区间且函数只有一个极值时，这个极值也就是它的最值． 一般步骤为： (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系()y f x =； (2)求函数的导数()f x '，解方程()0f x '=； (3)比较函数在区间端点和使()0f x '=的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值． 要点诠释： 利用导数解决实际问题中的最值问题应注意：①在求实际问题中的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值应舍去．②在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使()0f x '=的情形，那么不与端点值比较，也可知道这就是最大(小)值． 要点三：利用导数解决最优化问题的基本思路 要点四：最优化问题的常见类型 (1)利润最大问题； (2)用料最省、费用最低问题； (3)面积、体积最大或最小问题． 【典型例题】 类型一：用料最省、费用最低问题 例1. 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y （单位：m ）的矩形，上部是等腰直角

导数在实际生活中的应用1教案

导数在实际生活中的应用1 教学目标 1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用 2、提高将实际问题转化为数学问题的能力 教学重点 理利用导数解决生活中的一些优化问题 教学难点 利用导数解决生活中的一些优化问题 教学过程 一．创设情景 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题． 二．新课讲授 1、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方 面： （1）与几何有关的最值问题； (2)与物理学有关的最值问题； (3)与利润及其成本有关的最值问题； (4)效率最值问题。 2、解决优化问题的方法： 首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域， 通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 3三．例题讲解 4、学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张 贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。如何设计海报的 尺寸，才能使四周空心面积最小？ 解：设版心的高为xdm ，则版心的宽为 128x dm,此时四周空白面积为 128512()(4)(2)12828,0S x x x x x x =++-=++> 求导数，得'2512()2S x x =-。 令'2512()20S x x =-=，解得16(16x x ==-舍去）。 于是宽为128128816x ==。

导数在实际中的应用的简单举例【最新】

答：关于导数，我们知道，它是微积分的核心概念。它有着及其丰富的背景和广泛的应用。我们的教材，通过大量的实例，引导同学们经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，体会导数的思想，理解导数的含义，并且通过用导数研究函数的单调性，极值等性质和解决各种最优化问题，让我们的学生充分体会到导数在解决数学问题和实际问题中的广泛应用和强大力量。 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，都能够引领我们的学生深刻体会到导数在解决实际问题中的重大作用．具体说来，总结如下 1．研究函数性质 导数作为研究函数问题的利刃，常用来解决极值、最大（小）值、单调性等三类问题.在求解这些函数问题时，要结合导数的思想与理解性质的基础上，掌握用导数方法求解的一般步骤．在熟练运用导数工具研究函数的性质同时，我们要注意比较研究函数的导数方法与初等方法，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性. 2．证明不等式成立 证明不等式的方法有许多，导数作为研究一些不等式恒成立问题的工具，体现了导数应用上的新颖性以及导数思想

的重要性. 由导数方法研究不等式时，一般是先构造一个函数，借助对函数单调性或最大(小)值的研究，经历某些代数变形，得到待证明的不等式. 3．求解参数范围 给定含有参数的函数以及相关的函数性质，求解参数的值或范围，需要我们灵活运用导数这一工具，对问题实施正确的等价转化，列出关于参数的方程或不等式. 在此类含参问题的求解过程中，逆向思维的作用尤其重要. 4．研究曲线的切线问题 导数的几何意义表现为曲线的切线斜率值，从而利用导数可求曲线的切线，并进一步将导数融合到函数与解析几何的交汇问题中. 解决此类相切问题，一般先求函数的导数，依据曲线在处的切线斜率为而进行研究. 由于切点具有双重身份，既在切线上，又在函数图象上，从而对切点的研究可作为解决问题的纽带，特别是在不知道具体切点的情况下，常常设切点坐标并联立方程组而求解. 5．解决实践问题

导数在实际问题中的应用

导数的实际应用 命题：王长德 审核：朱效利 2012.2.17 能运用导数方法求解有关利润最大，用料最省，效率最高等最优化问题， 1、在生活中经常会遇到求利润________、用料_________、效率_______等问题，这些问题通常称为_______________。 2、利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤： (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的_________，根据实际意义确定定义域。 (2)求函数()y f x =的导数f '(x )，解方程f '(x )＝0在定义域内的根，确定_______. (3)比较函数在区间短点和极值点处的函数值，获得所求的最大（小）值。 (4)还原到原实际问题中作答。 小结：解应用题的基本程序是： 读题 建模 求解 反馈 （文字语言） （数学语言） （导学应用） （检验作答） 3、常见的函数模型是： (1)二次函数型__________________ (2)三次函数型___________________ (3)分式型函数型c x b ax y ++= (4)指数函数型____________________ (5)对数函数型____________________ 某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加 100元，已知总收益R 与年产量x 的关系是：21400(0400)()280000(400)x x x R x x ?-≤≤?=??>? ，则总利润最大时，每年生产的产品是________个单位。

例1、有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器，为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？ 例2、做一个容积为216mL的圆柱形封闭容器，高与底面直径为何值时，所用材料最省？

导数在解决实际问题中的应用

导数在解决实际问题中的应用 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面： 1、与几何有关的最值问题； 2、与物理学有关的最值问题； 3、与利润及其成本有关的最值问题； 4、效率最值问题。 解决实际问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602x h -= cm ，得箱子容积 2 60)(32 2x x h x x V -== )600(<

x x x V 2)260()(-=)300(<

导数及其应用

第一节 变化率与导数、导数的计算 考纲要求:1、了解导数概念的实际背景. 2.理解导数的几何意义. 3.能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数),y ＝x ,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝1 x 的导数. 4.能利用基本初等函数的导数公式与导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数. 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 设函数y ＝f (x ),当自变量x 从x 0变到x 1时,函数值从f (x 0)变到f (x 1),函数值y 关于x 的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 0 ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 、 当x 1趋于x 0,即Δx 趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就就是函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x 0点的导数.通常用符号f ′(x 0)表示,记作f ′(x 0)＝li m x 1→x 0 f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0 ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 、 (2)导数的几何意义 函数y ＝f (x )在x 0处的导数,就是曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线的斜率.函数y ＝f (x )在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义.

(3)函数的导函数 一般地,如果一个函数f (x )在区间(a ,b )上的每一点x 处都有导数,导数值记为f ′(x ):f ′(x )＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx ,则f ′(x )就是关于x 的函数,称f ′(x )为f (x )的导函数,通常也简称为导 数. 2.导数公式及运算法则 (1)导数公式表 (2)导数的运算法则 ①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x ); ②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ); ③?? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) [g (x )]2 (g (x )≠0). (3)复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数与函数y ＝f (u ),u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′,即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. [自我查验] 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同.( ) (2)f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值.( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( ) (4)????sin π3′＝cos π 3 、( )

用导数处理实际问题中的最优化问题

教学过程 一、复习预习 复习1：函数y =2x 3－3x 2－12x +5在［0，3］上的最小值是___________ 复习2：函数()sin f x x x =-在[0,]2π 上的最大值为_____；最小值为_______. 二、知识讲解 创设情景 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题． 新课讲授 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。 解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 利用导数解决优化问题的基本思路：

考点/易错点1注意实际问题中的定义域 将实际问题抽象成数学问题之后，往往容易忽略函数的定义域，比如实际问题的人数必须是正整数等等。 三、例题精析 【例题1】 【题干】汽油的使用效率何时最高 我们知道，汽油的消耗量w （单位：L ）与汽车的速度v （单位：km/h ）之间有一定的关系，汽油的消耗量w 是汽车速度v 的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题： （1） 是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？ （2） “汽油的使用率最高”的含义是什么？ 【答案】因为 w w g t G s s v t === 这样，问题就转化为求g v 的最小值．从图象上看，g v 表示经过原点与曲线上点的直线的斜率．进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90/km h ． 因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速约为90/km h ．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即()90f '，约为 L ． 【解析】研究汽油的使用效率（单位：L/m ）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用G 表示每千米平均的汽油消耗量，那么w G s =，其中，w 表示汽油消耗量（单位：L ），s 表示汽油行驶的路程（单位：km ）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求G 的最小值的问题． 通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究， 人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g （即每小时的汽油消耗量，单位：L/h ）与汽车行驶的平均速度v （单位：km/h ）之间有如图所示的函数关系()g f v =． 从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题．因此，我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率g （即每小时的汽油消耗量，单位：L/h ）与汽车行驶的平均速度v （单位：km/h ）之间关系的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题． 【例题2】

导数在经济学中的应用

龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/859768126.html, 导数在经济学中的应用 作者：刘君泽 来源：《文理导航》2017年第23期 【摘要】作为高等数学的基础，在经济学中也有广泛重要的作用。本文借用典型例子以导数为基础，初步介绍其在边际分析、弹性分析方面的应用，详细讨论了导数在经济分析问题中的最优化应用。 【关键词】导数；经济学；边际分析 1.导数的概念 导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x 上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a 如果存在，a即为在x 处的导数，记作f′（x ）或df（x ）。 2.导数概念的经济学解释 f′（x ）实际上刻画了函数y=f（x）在x0的变化率，当自变量在x 处有一个单位的变化，则函数y=f（x）在f（x ）处有f′（x ）个单位的变化。 假设市场上某种商品的需求函数为d=d（P），其中P为商品的价格，d为市场上该商品的需求量。d′（P ）表示当价格在P 处有一个单位的变化，则该商品的需求量将会有d′（P ）个单位的变化。同样对于供给函数、总成本函数总收入函数、总利润函数等函数导数意义的理解，都可以仿照，这里就不一一展开说明了。下面以一例具体解释其意义。 3.分析 边际成本的定义是产量增加一个单位时所增加的总成本。现假设产品数量是连续变化的，于是单位产品可以无限细分。如果产量已经是x在此水平上若产量从x增至x+x，那么总成本c（x）相应的增量是△c=c（x+x）-c（x），它与△x的比为 = 。这表示在x和x+x之间总成本的平均变化率。若令，取极限就可以得到边际成 本c′（x）= 。显然，它近似地表示若已经生产了x个单位产品，再增加一个单位产品总 成本的增加量。同样道理我们可以利用导数定义边际收入、边际利润、边际需求等。 4.导数在最值问题上的应用 4.1最小平均成本问题

导数在实际生活中的应用

选修2-2 第1章导数及其应用 §1.4导数在实际生活中的应用第1课时（总第58教案） 一、【教学目标】 1、通过生活中优化问题的学习，体会导数在解决设计问题中的作用； 2、通过对实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题以及建模能力的提高。 二、【教学重点】如何建立数学模型来解决实际问题。 三、【知识点】 1、导数在实际生活中有着广泛的应用，例如，用料最省、利润最大、效率最高等问题，常 常可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决；（求最值的又一新方法：导数）2、导数在实际生活中的应用主要是解决有关最大（小）值问题，一般应先认真读题，建立 目标函数后，然后用导数求解。解题中应注意实际意义； 3、解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化函数关系式，这需要通过分析， 联想，抽象和转化完成，函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间且函数只有一个极值时，这个极值就是它的最值，切记，切记。 四、【典型例题】 例1、在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底铁皮箱子，当箱底的边长是多少时，箱底的 容积最大？最大容积是多少？ 例2、某种圆柱形饮料罐的容积一定时，它的高与底底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？

例3、在如图所示的电路中，已知电源的内阻为r ，电动势为E 。当外电阻R 多大时，才能使 电功率最大？最大电功率是多少？ 例题4、强度分别为b a ,的两个光源A,B 间的距离为d ，试问：在连结两光源的线段AB 上， 何处照度最小？试就3,1,8===d b a 时回答上述问题。（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比） 例5、在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数，记为C(x)，出售x 单位产品的收 益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。 （1）若C(x)＝10005003.0102 36++--x x x ，则生产多少单位产品时，边际成本 )(x C ' 最低？ （2）如果C (x)=50x ＋10000，产品的单价P ＝100－0.01x ，那么怎样定价，可使利润最 大？

经济数学(导数的应用习题及答案)

第四章 导数的应用 习题 4－1 1. 验证下列各函数在所给区间上是否满足罗尔定理，如果满足，试求出定理中的ξ． (1)()f x =3 x x -，[-1，1] (2)()f x =321x - [-1，1] 解 (1) 因为函数3 ()f x x x =-是多项式函数，所以()f x 在[-1，1]上 连续,在(-1,1)内可导, 且 (1)(1)0,f f -==故该函数在[-1，1]上满足罗尔定理条件,则至少存在一点(1,1)ξ∈-,使得 2'()310 f ξξ=-= 即 ξ= (2)不满足. 因为'()f x =,所以()f x 在x =0处不可导,故函数在[-1,1]上不满足罗尔 定理的条件. 2．验证下列各函数在所给区间上是否满足拉格朗日中值定理．如果满足，试求出定理中的ξ． (1) 3 11)(-+=x x f [2，9] （2） 101()[0,3] 113x x f x x x -+≤≤?=? -<≤?，， 解 (1) 因为函数()1f x =+()f x 在[2,9]上连续, 在(2,9)内可导, 满足拉格朗日中值定理的条件, 则至少存在一点(2,9)ξ∈, 使得 (9)(2)'()(92)f f f ξ-=- 即 1ξ= + (负值舍去). (2) 因为()11f x x x =-=在处不可导,故不满足拉格朗日中值定理. 3. 验证柯西中值定理对函数3()2f x x x =++及2 ()1g x x =+在区间[0，1]上的正确性， 并求出相应的ξ值． 解 因为3()2f x x x =++及 2 ()1g x x =+是多项式函数，所以()f x 与 ()g x 在区间[0，1]上连续,在(0,1)内可导,且在(0,1)内,02)('≠=x x g 故满足柯西中值定理条件,

导数在实际生活中的应用

导数在实际生活中的应用

导数在实际生活中的应用 导数是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野，是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率和解决一些物理问题等等的有力工具。 导数知识是学习高等数学的基础，它是从生产技术和自然科学的需要中产生的，同时，又促进了生产技术和自然科学的发展，它不仅在天文、物理、工程领域有着广泛的应用。而且在工农业生产及实际生活中，也经常会遇到如何才能使“选址最佳”“用料最省”“流量最大”“效率最高”等优化问题。这类问题在数学上就是最大值、最小值问题，一般都可以应用导数知识得到解决。接下来就导数在实际生活中的应用略微讨论。 1．导数与函数的极值、最值解读 函数的极值是在局部范围内讨论的问题，是一个局部概念，函数的极值可能不止一个，也可能没有极值。 函数()y f x =在点0x 处可导，则'0()0F x =是0x 是极值点的必要不充分条件，但导数不存在的点也有可能是极值点。 最大值、最小值是函数对整个定义域而言的，是整体范围内讨论的问题，是一个整体性的概念，函数的最大值、最小值最多各有一个。函数最值在极值点处或区间的断点处取得。 2．导数在实际生活中的应用解读 生活中的优化问题：根据实际意义建立好目标函数，体会导数在解决实际问题中的作用。 例1：在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？ 思路：设箱底边长为x cm ，则箱高602 x h -=cm ，得箱子容积V 是箱底边长x 的函数：23 2 60()(060)2x x r x x h x -==<<，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的