学习《结构力学》三弯矩方程

学习《结构力学》的三弯矩方程式

§9-1、荷载作用下连续梁的计算三弯矩方程式

多跨连续梁的超静定次数等于其各中间支座数目。

图9-3中，b图所示多跨简支梁为基本结构，以各中间支座弯矩M n-1、Mn、M n+1……等为多余未知力来求解。根据基本结构上每个中间支座处左、右两侧面的相对转角应等于零的位移条件，可建立与多余未知力的数目同样多的典型方程。下面以支座n处的位移条件为例，写出其典型方程。

由于在此基本结构中，每个单位弯矩图的范围只限于该未知力左、右的两跨（见图9-3），因此每个单位弯矩图就只与左、右两个相邻的单位弯矩图相互垂叠，于是由图乘法可知，在支座n的典型方程中，除δnn-1，δnn，δnn+1外，其余各项系数均为零。这样，此典型方程就简化为：

δ

nn-1

M n-1+δnn M n +δ

nn+1

M n+1+Δnp =0 (1)

这表明，不论多余未知力的数目有多少，每个典型方程中最多只包含三个多余未知力。

由图乘法可得：

n

n n n nn EI l l EI 6)31

21(11=??=

-δ 11116262)3221(1)3221(1+++++=??+??=

n n n n n n n n nn EI l EI l l EI l EI δ 1

11116)31

21(1+++++=??=

n n n n nn EI l l EI δ 1

111

11+++++++=+

=

?n n n n n n n n n

n

n n np EI A EI B l b EI l a EI φ

φωω 公式中：n ω和1+n ω代表跨度n l 和1+n l 上Mp 图的面积。

n

n

n n l a B ωφ=

，为把n l 跨的Mp 图的面积n ω当作简支梁的假象荷载时，该跨

右支座产生的虚反力（图9-4，a ）。

1

1

11++++=

n n n n l b A ωφ，为把1+n l 跨的Mp 图的面积1+n ω当作简支梁的假象荷载时，

该跨左支座产生的虚反力（图9-4，b ）。

注明：φn B 为n l 跨右支座虚反力；

φ1+n A 为1+n l 跨左支座虚反力。

将上述系数和自由项代入前述典型方程（1）可得：

)(6)6262(61

1111111+++++++-+-=+++n n

n n n n n n n n n n n n n EI A EI B M EI l M EI l EI l M EI l φ

φ……（2） 为简化起见，令：

,

n

n n o l l I I =，,111

+++=n n n o l l I I ，…… I O 是任意惯性矩，通常取某跨度惯性矩作为I O ；,n l ，1,+n l ，…称为各跨换算跨度。

于是典型方程（2）成为：

)66()(21

011,1,1,1,+++++-+-=+++n n n o n

n n n n n n n I I A I I B M l M l l M l φ

φ

……（9-1） 这就是通常所称为的三弯矩方程式。对于连续梁的每一个中间支座，都可以写出一个这样的方程式，因而可求出全部中间支座弯矩。

当各跨的惯性矩I 相同时，可取I o =I ，则,n l =n l ，1,+n l =1+n l ，式（9-1）成为：

)66()(211111φ

φ++++-+-=+++n n n n n n n n n A B M l M l l M l ………………（9-2）

若是各跨的惯性矩I 相同，跨度l 也相同，式（9-2）则简化成：

)66(41

11l

A l

B M M M n n n n n φ

φ++-+-=++………………（9-3）

为便于计算，表9-1中列出了几种常见荷载下的6A φ和6B φ值。对复杂一些的荷载，可根据表内数据，由叠加法求得。

表9-1 几种常见荷载下的6A φ和6B φ值

荷载

φA 6

φB 6

)1(2υμυ+pl

)1(2μμυ+pl

当2

1==υμ，

8

32

Pl 8

32

Pl

)2(4

22

3υυ-ql 22

3)2(4

υυ-ql 当1,0==υμ，

4

3

ql 4

3

ql

)31(2υ--Ml )31(2μ--

Ml

当1,0==υμ，

Ml 2

Ml

求出各支点弯矩后，以各点弯矩为连续，再对各跨按简支梁做荷载弯矩计算，按叠加法绘制总弯矩图。

根据弯矩图作剪力图：

↑+=

→n

n

p 1-n n l M M -M 左n Q ；↓=

+→++1

n n

p n 1n l M -M -M 1n 右n Q 。

其中：M n 、M n+1、M p →n 有正负之分。

根据剪力计算支座反力。支点n 上的反力：W n =Q n -Q n+1（↑为正）。 例题：求图9-5所示连续梁的M 、Q 图及支座反力。已知q=10KN/m 。

解题：设I O =I 1，则：

m l l I I l o 3111,1===

，m l I I l 242

12211,2=?==，m l 2,

3=，m l 235.11,4

=?= 按式（9-1）建立各中间支座的三弯矩方程式时，应注意在连续梁的两端处为铰支，有M o =M 4=0。故在第一及最后两个三弯矩方程式中实际仅包含

两个未知力。

支座1：4

2214)(23

2

312,2

1,2

,

1

ql ql M l M l l ?--=++

支座2： 4

2214221)(233

3

23,3

2,3

,2

1,

2

ql ql M l M l l M l ?-?-=+++

支座3：4

21)(23

3

3,4

,3

2,3

ql M l l M l ?-=++

用数字代入上列各式得：

80

822402825

.2272103232121-=+-=++-=+M M M M M M M

解之可得：M 1=-17.83KN-m ，M 2=-24.58KN-m ，M 3=-3.86KN-m 。 各中间支座弯矩求得后，最后弯矩图可按叠加法绘出，然后根据弯矩图作出剪力图（图9-6）。再由剪力图可求得各支座反力为：

注：弯矩图是按简支状态下单跨叠加的！剪力左为“-”，右为“+”。

R 0=9.06kN ↑，R 1=20.94+38.31=59.25kN ↑；

R 2=25.18+41.69=66.87kN ↑，R 3=14.82+1.29=16.11kN ↑； R 5=1.29kN ↓。 注解：

计算剪力：

1

111

+++--=

-=

n n

n n n

n n n M M Q M M Q λλ；Qn ——表示n 截面左侧↑，Qn+1—示n 截

面右侧↓。其中跨中荷载或P 、q 产生的弯矩（P 对n 截面的弯矩）在左为“-”，在右侧为“+”。

例题9-2，试绘制9-7，a 所示连续梁的弯矩图。各跨的l 、I 均相同。

解题：

梁的剪力方程和弯矩方程--常用弯矩图

梁的剪力方程和弯矩方程--常用弯矩图 案场各岗位服务流程 销售大厅服务岗： 1、销售大厅服务岗岗位职责： 1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品; 2)保持销售区域台面整洁; 3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等; 4)收集客户意见、建议及现场问题点； 2、销售大厅服务岗工作及服务流程 阶段工作及服务流程 班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域 2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。 班中工作程序服务 流程 行为 规范 迎接 指引 递阅 资料 上饮品 （糕点） 添加茶水工作1）眼神关注客人，当客人距3米距离侯客迎询问客户送客户

注意事项 15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”2）在客人前方1-2米距离领位，指引请客人向休息区，在客人入座后问客人对座位是否满意：“您好！请问坐这儿可以吗？”得到同意后为客人拉椅入座“好的，请入座！” 3）若客人无置业顾问陪同，可询问：请问您有专属的置业顾问吗？，为客人取阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍等，置业顾问会很快过来介绍，同时请置业顾问关注该客人； 4）问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好，这里是XX销售中心，这边请”5）问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好 6）关注客人物品，如物品较多，则主动询问是否需要帮助（如拾到物品须两名人员在场方能打开，提示客人注意贵重物品）； 7）在满座位的情况下，须先向客人致

待； 阶段工作及服务流程 班中工作程序工作 要求 注意 事项 饮料（糕点服务） 1）在所有饮料（糕点）服务中必须使用 托盘； 2）所有饮料服务均已“对不起，打扰一 下，请问您需要什么饮品”为起始； 3）服务方向：从客人的右面服务； 4）当客人的饮料杯中只剩三分之一时， 必须询问客人是否需要再添一杯，在二 次服务中特别注意瓶口绝对不可以与 客人使用的杯子接触； 5）在客人再次需要饮料时必须更换杯 子； 下班程 序1）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导； 2）填写物资领用申请表并整理客户意见；3）参加班后总结会； 4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班

梁的剪力方程和弯矩方程常用弯矩图

梁的剪力方程和弯矩方程常用弯矩图 公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]

5-7．试列出下列梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。 解：首先求出支座反力。考虑梁的整体平衡 由 0,0=+?=∑e RA B M l F M 得 l M F e RA - = 由 0,0=-?=∑e RB A M l F M 得 l M F e RB = 则距左端为x 的任一横截面上的剪力和 剪力图 弯矩表达式为： ()l M F x F e RA S - == 弯矩图 ()x l M x F x M e RA ?- =?= 剪力方程为常数，表明剪图应是一条平行梁轴线的直线；弯矩方程是x 的一次函数，表明弯矩图是一条斜直线。(如图) 解：首先求出支座反力。考虑梁的平衡

由0 4 5 2 ,0= ? ? - ? = ∑l l q l F M RB c 得ql F RB8 5 = 由0 2 1 ,02= + ? = ∑ql l F M RC B 得ql F RC2 1 - = 则相应的剪力方程和弯矩方程为： AB段：（ 2 1 l x≤ ≤） () ()2 1 1 1 1 2 1 qx x M qx x F S - = - = BC段：（ 2 3 22 l x l ≤ ≤） () ()? ? ? ? ? - ? + ? ? ? ? ? - ? ? - = = - = 2 8 5 4 2 8 2 1 8 5 2 2 2 2 l x ql l x l q x M ql ql ql x F S AB段剪力方程为x 1 的一次函数，弯矩方程为x 1 的二次函数，因此AB段的剪力图为斜直 线，弯矩图为二次抛物线；BC段剪力方程为常数，弯矩方程为x 2 的一次函数，所以BC段剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为斜直线。（如图） 5-9 用简便方法画下列各梁的剪力图和弯矩图。

常用弯矩图

题型：计算题 题目：试作图所示悬臂梁A B的剪力图和弯矩图。 【解】 1、列剪力方程和弯矩方程 取坐标原点与梁左端点A对应。选取距梁左端点A为x的任一截面，如图(a)所示，以该截面左侧梁段上的外力，写该截面上的剪力和弯矩表达式，即可得到梁A B的剪力方程和弯矩方程为 上面两式后的括号内，表明方程适用范围。由于截面A,B处有集中力 作用，则其剪力为不定值，第一式的适用范围为。由于截面B有 集中力偶作用，则其弯矩也为不定值，第二式的适用范围为关于这个问题，待后面作进一步说明。 2、作剪力图和弯矩图 剪力方程表明，梁各截面上的剪力都相等，因此剪力图应是一条平行 于横轴的直线。取直角坐标系x—，画出梁的剪力图为一水平直线。因

各横截面的剪力为负值，故画在横轴下面，如图（b）所示。 弯矩方程表明，弯矩M是x的一次函数，因此弯矩图应是一条倾斜直线。可以确定其上两点，在x = 0处，M=0；在x=L处（应理解为x略小于L处），M=P L。取直角坐标系O x M，表示弯矩的纵坐标以向下为正，画出梁的弯矩图，如图（c）所示。由图可见，最大弯矩发生在固定端B稍偏左的横截面上，其值为 常见问题题2 题型：计算题 题目：试作图（a）所示简支梁A B的剪力图和弯矩图。 【解】 1、求支座反力 由梁的平衡方程，可求得支座A,B两处的反力为 2、列剪力方程和弯矩方程 取坐标原点与梁左端点A对应。列出梁A B的剪力方程和弯矩方程为 3、作剪力图和弯矩图 剪力方程表明，剪力是x的一次函数，剪力图应是一条倾斜直线。 因此，只要确定其上两点，即可绘出该梁的剪力图。在处（应理解为

x略大于0）,；处（应理解为x略小于），。画出梁的剪力图，如图(b)所示。由剪力图可见，，该梁最大剪力发生在支座内侧的横截面上，其值为 弯矩方程表明，弯矩M是x的二次函数，弯矩图应是一条抛物线。因 此，只要确定其上三个点，即可绘出该梁的弯矩图。在处，M=0；在 处，M=0；在处， 。画出弯矩图，如图6-12(c)所示。由弯矩图可见，该梁最大弯矩发生在梁的跨中截面处，其值为 在此截面上剪力为零。 常见问题题3 题型：计算题 题目：试作图(a)所示简支梁A B的剪力图和弯矩图。 【解】 1、求支座反力 由梁的静力平衡方程，可求得支座A,B两处的反力为

梁的剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图

5.4.1 梁的剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图 梁在外力作用下，各个截面上的剪力和弯矩一般是不相等的。若以横坐标表示横截面沿梁轴线的位置，则剪力Q 和弯矩M 可以表示为坐标的函数，即 它们分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。 与绘制轴力图或扭矩图一样，可用图线表明梁的各截面上剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。作图时，取平行于梁轴线的直线为横坐标轴，值表示各截面的位置；以纵坐标表示相应截面上的剪力、弯矩的大小及其正负，这种表示梁在各截面上剪力和弯矩的图形，称为剪力图和弯矩图。 例5-1 简支梁AB 承受承受均布荷载作用，如图 5 - 10a 所示。试列出剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。 解：(1) 计算支反力以整梁为研究对象，利用平衡条件计算支反力。由于简支梁上的载荷对于跨度中央截面是对称的，所以 A 、 B 两端的支反力应相等，即 (1) 方向如图。 (2) 建立剪力、弯矩方程以梁左端A 为的坐标原点，取坐标为的任意横截面的左侧梁段为研究对象。设截面上的剪力Q () 、弯矩M () 皆为正，如图5-10b 所示。由平衡方程

将(1) 式代入上面两式，解得 （ 2 ） （ 3 ） (2) 、(3) 两式分别为剪力方程和弯矩方程。 (3) 绘制剪力图、弯矩图由式(2) 可知，剪力图为一直线。只需算出任意两个截面的剪力值，如A 、B 两截面的剪力，即可作出剪力图，如图5 - 10c 所示。 由式(3) 可知，弯矩图为一抛物线，需要算出多个截面的弯矩值，才能作出曲线。例如计算下列五个截面的弯矩值：当时, M =0 ；当 时，；当时，。由此作出的弯矩图，如图5-10d 所示。 由剪力图和弯矩图可知，在靠近A 、B 支座的横截面上剪力的绝对值最大，其值为 在梁的中央截面上，剪力Q ＝0 ，弯矩为最大，其值为 例5-2 简支梁AB 承受集中力偶M0作用，如图 5 - 11a 所示。试作梁的剪力图、弯矩图。

梁弯矩图梁内力图(剪力图与弯矩图)

简单载荷 梁内力图（剪力图与弯矩图） 梁的简图 剪力Fs 图 弯矩M 图 1 l a F s F F l a F l a l -+ - F l a l a ) (-+ M 2 l e M s F l M e + M e M + 3 l a e M s F l M e + M e M l a l -e M l a + - 4 l q s F + -2 ql 2 ql M 8 2ql + 2 l 5 l q a s F + -l a l qa 2) 2(-l qa 22 M 2 228)2(l a l qa -+ l a l qa 2) (2 -l a l a 2)2(- 6 l q s F + -3 0l q 6 0l q M 3 92 0l q + 3 )33(l - 7 a F l s F F + Fa -M

8 a l e M s F + e M M 9 l q s F ql + M 2 2ql - 10 l q s F 2 l q + M 6 20l q - 注：外伸梁 = 悬臂梁 + 端部作用集中力偶的简支梁 表2 各种载荷下剪力图与弯矩图的特征 某一段梁上的外力情况 剪力图的特征 弯矩图的特征 无载荷 水平直线 斜直线 或 集中力 F 突变 F 转折 或 或 集中力偶 e M 无变化 突变 e M 均布载荷 q 斜直线 抛物线 或 零点 极值 表3 各种约束类型对应的边界条件 约束类型 位移边界条件 力边界条件 （约束端无集中载荷） 固定端 0=w ,0=θ — 简支端 0=w 0=M

梁的剪力方程和弯矩方程常用弯矩图

5-7．试列出下列梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。 1、 解：首先求出支座反力。考虑梁的整体平衡 由 0,0=+?=∑e RA B M l F M 得 l M F e RA - = 由 0,0=-?=∑e RB A M l F M 得 l M F e RB = 则距左端为x 的任一横截面上的剪力和 剪力图 弯矩表达式为： ()l M F x F e RA S -== ()x l M x F x M e RA ?- =?= 剪力方程为常数，表明剪图应是一条平行梁轴线的直线；弯矩方程是x 的一次函数，表明弯矩图是一条斜直线。(如图) 解：首先求出支座反力。考虑梁的平衡 由 04 5 2,0=??-?=∑l l q l F M RB c 得 ql F RB 8 5= 由 021 ,02=+?=∑ql l F M RC B 得 ql F RC 2 1 -= 则相应的剪力方程和弯矩方程为： AB 段：（2 01l x ≤≤） ()()21 11 12 1qx x M qx x F S -=-= BC 段：（2 322l x l ≤ ≤）l F RB 剪力图 弯矩图

()()? ?? ??-?+??? ??-??-==-= 285428 21852222l x ql l x l q x M ql ql ql x F S AB 段剪力方程为x 1的一次函数，弯矩方程为x 1的二次函数，因此AB 段的剪力图 为斜直线，弯矩图为二次抛物线；BC 段剪力方程为常数，弯矩方程为x 2的一次函数，所以BC 段剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为斜直线。（如图） 5-9 用简便方法画下列各梁的剪力图和弯矩图。 解：由梁的平衡求出支座反力： KN F KN F RB RA 12,8== AB 段作用有均布荷载，所以 AB 段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线；BC 段没有荷载作用，所以BC 段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线。 在B 支座处，剪力图有突变，突变值大小等于集中力（支座反力F RB ）的大小；弯矩图有转折，转折方向与集中力方向一致。（如图） （5） 解：由梁的平衡求出支座反力： KN F KN F RB RA 5.6,5.3== AB 与BC 段没有外载作用，所以AB 、BC 段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线；CD 段作用均布荷载，所以CD 段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线。

梁的剪力方程和弯矩方程常用弯矩图

梁的剪力方程和弯矩方程 常用弯矩图 Final approval draft on November 22, 2020

5-7．试列出下列梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。 解：首先求出支座反力。考虑梁的整体平衡 由 0,0=+?=∑ e RA B M l F M 得 l M F e RA - = 由 0,0=-? =∑e RB A M l F M 得 l M F e RB = 则距左端为x 的任一横截面上的剪力和 剪力图 弯矩表达式为： ()l M F x F e RA S - == ()x l M x F x M e RA ?- =?= 剪力方程为常数，表明剪图应是一条平行梁轴线的直线；弯矩方程是x 的一次函数，表明弯矩图是一条斜直线。(如图) 解：首先求出支座反力。考虑梁的平衡 由 045 2,0=??-?=∑l l q l F M RB c 得 ql F RB 8 5= 由 02 1 ,02=+?=∑ql l F M RC B 得 ql F RC 2 1 -= 则相应的剪力方程和弯矩方程为： AB 段：（2 01l x ≤≤） BC 段：（2322l x l ≤≤） x 1的二次函数，因此AB 段的剪力图为斜直x 2的一次函数，所以BC 解：由梁的平衡求出支座反力： 剪力

AB 段作用有均布荷载，所以AB 段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线；BC 段没有荷载作用，所以BC 段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线。 在B 支座处，剪力图有突变，突变值大小等于集中力（支座反力F RB ）的大小；弯矩图有转折，转折方向与集中力方向一致。（如图） （5） 解：由梁的平衡求出支座反力： KN F KN F RB RA 5.6,5.3== AB 与BC 段没有外载作用，所以AB 、BC 段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线；CD 段作用均布荷载，所以CD 段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物

结构力学中必须掌握的弯矩图

结构力学中必须掌握的弯矩图

各种结构弯矩图的绘制及图例： 一、方法步骤 1、确定支反力的大小和方向（一般情况心算即可计算出支反力） ●悬臂式刚架不必先求支反力； ●简支式刚架取整体为分离体求反力； ●求三铰式刚架的水平反力以中间铰C的某一边为分离体； ●对于主从结构的复杂式刚架，注意“先从后主”的计算顺序； ●对于复杂的组合结构，注意寻找求出支反力的突破口。 2、对于悬臂式刚架，从自由端开始，按照分段叠加法，逐段求作M图（M图画在受拉一侧）；对于其它形式的刚架，从支座端开始，按照分段叠加法，逐段求作M图（M图画在受拉一侧）。 二、观察检验M图的正确性 1、观察各个关键点和梁段的M图特点是否相符 ●铰心的弯矩一定为零； ●集中力偶作用点的弯矩有突变，突变值与集中力偶相等； 2

3

4 4 l q s F + - 2 ql 2 ql M 8 2ql + 2 l 5 l q a s F + - l a l qa 2) 2(-l qa 22 M 2 228)2(l a l qa -+ l a l qa 2) (2 -l a l a 2)2(- 6 l q s F + - 3 0l q 6 0l q M 3 92 0l q + 3 )33(l - 7 a F l s F F + Fa - M 8 a l e M s F + e M M

5 9 l q s F ql + M 2 2ql - 10 l q s F 2 l q + M 6 20l q - 注：外伸梁 = 悬臂梁 + 端部作用集中力偶的简支梁

2．单跨梁的内力及变形表（表2-6~表2-10）（1）简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度表2-6