梁的剪力方程和弯矩方程常用弯矩图 (1)

5-7．试列出下列梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。

解：首先求出支座反力。考虑梁的整体平衡

由 0,0=+?=∑e RA B M l F M

得

l

M F e

RA -

= 由 0,0=-?=∑

e RB A M l F M 得 l

M F e

RB =

则距左端为x 的任一横截面上的剪力和

剪力图 弯矩表达式为：

()l

M F x F e RA

S -==

()x l

M x F x M e

RA ?-

=?= 剪力方程为常数，表明剪图应是一条平行梁轴线的直线；弯矩方程是

x 的一次函数，表明弯矩图是一条斜直线。(如图) 解：首先求出支座反力。考虑梁的平衡 由 04

5

2,0=??-?=∑l l q l F M RB c 得 ql F RB 8

5= 由 021

,02=+?=∑ql l F M RC B

得 ql F RC

2

1

-=

则相应的剪力方程和弯矩方程为： AB 段：（2

01l

x ≤≤）

BC 段：（2322l

x l ≤≤）

弯矩方程为x 1的二次函数，因此AB 段的剪力图为斜直线，x 2的一次函数，所以BC 段剪力

解：由梁的平衡求出支座反力：

剪力图

AB 段作用有均布荷载，所以AB 段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线；BC 段没有荷载作用，所以BC 段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线。

在B 支座处，剪力图有突变，突变值大小等于集中力（支座反力F RB ）的大小；弯矩图有转折，转折方向与集中力方向一致。（如图）

（5）

解：由梁的平衡求出支座反力：

KN F KN F RB RA 5.6,5.3==

AB 与BC 段没有外载作用，所以AB 、BC 段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线；CD 段作用均布荷载，所以CD 段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线。 在B 处，剪力图有突变，突变值大小等于集中力F 的大小；弯矩图有转折，转折方向与集中力方向一致。（如图）

（7）

解：AB 段作用有均布荷载（方向向下），所以AB 段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹

二次抛物线；BC 段作用有均布荷载（方向向上），所以BC 段的剪力图为上倾直线，弯矩图为上凸直线。（如图）

试用叠加法画下列各梁的弯矩图。 （1）

（4） 题型：计算题 题目：试作图所示悬臂梁A B 的剪力图和弯矩图。 【解】

1、列剪力方程

和弯矩方程 取坐标原点与梁左端点A 对应。选取距梁左端点A 为x 的任一截面，如图(a )所示，以该截面左侧梁段上的外力，写该截面上的剪力和弯矩表达式，即可得到梁A B 的剪力方程和弯矩方程为

其剪力为不定值，第一式的适用范围为。由于截面B 有集中力偶作用，则其弯矩也为不定值，第二式的适用范围为

关于这个问题，待后面作进一步

F RB

F RA D

F =2KN

q =4kN /m

2m

1m

1m

A

B C

剪力图

弯矩图 a a

B

q

A C q

剪力图

qa 弯矩图 qa 2 + B C A F =10KN M e = 3m 3m B C A M e =

3m 3m B C A F =10KN 3m 3m = +

= 弯矩图 + =

D C

B A

q

F =

D C B A

F =

D

C B A

q

弯矩图

+

=

说明。

2、作剪力图和弯矩图

剪力方程表明，梁各截面上的剪力都相等，因此剪力图应是一条平行于横轴的直线。取直角坐标系x—，画出梁的剪力图为一水平直线。因各横截面的剪力为

负值，故画在横轴下面，如图（b）所示。

弯矩方程表明，弯矩M是x的一次函数，因此弯矩图应是一条倾斜直线。可以确定其上两点，在x=0处，M=0；在x=L处（应理解为x略小于L处），M=P L。取直角坐标系O x M，表示弯矩的纵坐标以向下为正，画出梁的弯矩图，如图（c）所示。由图可见，最大弯矩发生在固定端B稍偏左的横截面上，其值为

常见问题题2

题型：计算题

题目：试作图（a）所示简支梁A B的剪力图和弯矩图。

【解】

1、求支座反力

由梁的平衡方程，可求得支座A,B两处的反力为

2、列剪力方程和弯矩方程

取坐标原点与梁左端点A对应。列出梁A B的剪力方程和弯矩方程为

3、作剪力图和弯矩图

剪力方程表明，剪力是x的一次函数，剪力图应是一条倾斜直线。因此，只要确定其上两点，即可绘出该梁的剪力图。在处（应理解为x略大于0）,

；处（应理解为x略小于），。画出梁的剪力图，如图(b)所示。由剪力图可见，，该梁最大剪力发生在支座内侧的横截面上，其值为弯矩方程表明，弯矩M是x的二次函数，弯矩图应是一条抛物线。因此，只要

确定其上三个点，即可绘出该梁的弯矩图。在处，M=0；在处，M=0；在

处，。画出弯矩图，如图6-12(c)所示。由弯矩图可见，该梁最大弯矩发生在梁的跨中截面处，其值为在此截面上剪力为零。

常见问题题3

题型：计算题

题目：试作图(a)所示简支梁A B的剪力图和弯矩图。

【解】

1、求支座反力

由梁的静力平衡方程，可求得支座A,B两处的反力为

2、列剪力方程和弯矩方程

当作用在梁上的外力不连续时，通常不能角一个方程描述全梁的剪力或弯矩，必须分段研究。在该例题中，集中力P把梁分成A C和C B两段，这两段梁的剪力方程和弯矩方程分别为

3、作剪力图和弯矩图

两段梁的剪力方程表明，两段梁的剪力图均为水平直线。画出梁的剪力图，如图(b)所示。由剪力图可见，在集中力P作用的C处，其左右两侧横截面上剪力的数

值分别为和，剪力图发生突变，其突变值等于集中力P的大小。由此可得，在集中力作用处剪力图发生突变，其突变值等于该集中力的大小。如果b＞a，则最大剪力发生在A C段梁的任一截面上，其值为

两段梁的弯矩方程表明，两段梁的弯矩图均为倾斜直线。画出梁的弯矩图，如图(c)所示。由弯矩图可见，A C和C B两段梁的弯攀图两直线斜率不同，在C处形成向下凸的“尖角”，而剪力图在此处改变了正、负号。最大弯矩发生在集中力P作用的截面上，其值为

如果a=b，则最大弯矩的值为

常见问题题4

题型：计算题

题目：试作图(a)所示简支梁A B的剪力图和弯矩图。

【解】

1、求支座反力

由梁的静力平衡方程，可求得支座A,B两处的反力为

2、列剪力方程和弯矩方程

集中力偶M e把梁分成A C和C B两段，这两段梁的剪力方程和弯矩方程分别为

A C段：

C B段：

3、作剪力图和弯矩图

在集中力偶作用处的左、右梁段上，剪力方程相同，全梁剪力图为一水平直线。画出梁的剪力图，如图(b)所示示。由剪力图可见，在集中力偶作用处，剪力图并不发生突变，即集中力偶不影响剪力图。

两段梁的弯矩方程表明，两段梁的弯矩图均为倾斜直线。画出梁的弯矩图，如图(c)所示。由弯矩图可见，在集中力偶从作用的C处，其左右两侧横截面上弯矩的

数值分别为和，弯矩图发生突变，其突变值等于集中力偶M e的大小。由此可得，在集中力偶作用处弯矩图发生突变，其突变值等于该集中力偶的大小。如果b＞a，则最大弯矩发生在集中力偶从作用处右侧横截面上，其值为

常见问题题5

题型：计算题

题目：试作图示简支梁的剪力图和弯矩图。

【解】

1、求支座反力

由梁的静力平衡方程可知，支座A,B的反力为

2、列剪力方程和弯矩方程

当梁上荷载不连续，剪力或弯矩不能用一个统一的函数式表达时，必须分段列出剪力方程和弯矩方程。通常分段是以集中力、集中力偶和分布荷载的起点与终点分界。因此，该简支梁应分为A C,C D和D B三段，分别列出剪力方程和弯矩方程。

D B段：

3、作剪力图和弯矩图

按上述剪力方程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图，如图(b)、（c）所示。

在画A C段弯矩图时，由于弯矩方程是二次函数，弯矩图应是一条抛物线，至少需要确定其上三个点，才可绘出该梁的弯矩图。在处,M=0；在x＝3m处，M

＝33k N．m。在剪力为零处x=2.4m，该点处弯矩。用光滑曲线连接这三个点即可得A C段的弯矩M图。如图（c）所示。

简单载荷 梁内力图（剪力图与弯矩图） 梁的简图 剪力Fs 图 弯矩M 图 1 l a F s F F l a F l a l -+ - F l a l a ) (-+ M 2 l e M s F l M e + M e M + 3 l a e M s F l M e + M e M l a l -e M l a + - 4 l q s F + -2 ql 2 ql M 8 2ql + 2 l 5 l q a s F + -l a l qa 2) 2(-l qa 22 M 2 228)2(l a l qa -+ l a l qa 2) (2 -l a l a 2)2(- 6 l q s F + -3 0l q 6 0l q M 3 92 0l q + 3 )33(l - 7 a F l s F F + Fa -M

8 a l e M s F + e M M 9 l q s F ql + M 2 2ql - 10 l q s F 2 l q + M 6 20l q - 注：外伸梁 = 悬臂梁 + 端部作用集中力偶的简支梁 表2 各种载荷下剪力图与弯矩图的特征 某一段梁上的外力情况 剪力图的特征 弯矩图的特征 无载荷 水平直线 斜直线 或 集中力 F 突变 F 转折 或 或 集中力偶 e M 无变化 突变 e M 均布载荷 q 斜直线 抛物线 或 零点 极值 表3 各种约束类型对应的边界条件 约束类型 位移边界条件 力边界条件 （约束端无集中载荷） 固定端 0=w ,0=θ — 简支端 0=w 0=M

5.4.1 梁的剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图 梁在外力作用下，各个截面上的剪力和弯矩一般是不相等的。若以横坐标表示横截面沿梁轴线的位置，则剪力Q 和弯矩M 可以表示为坐标的函数，即 它们分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。 与绘制轴力图或扭矩图一样，可用图线表明梁的各截面上剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。作图时，取平行于梁轴线的直线为横坐标轴，值表示各截面的位置；以纵坐标表示相应截面上的剪力、弯矩的大小及其正负，这种表示梁在各截面上剪力和弯矩的图形，称为剪力图和弯矩图。 例5-1 简支梁AB 承受承受均布荷载作用，如图 5 - 10a 所示。试列出剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。 解：(1) 计算支反力以整梁为研究对象，利用平衡条件计算支反力。由于简支梁上的载荷对于跨度中央截面是对称的，所以 A 、 B 两端的支反力应相等，即 (1) 方向如图。 (2) 建立剪力、弯矩方程以梁左端A 为的坐标原点，取坐标为的任意横截面的左侧梁段为研究对象。设截面上的剪力Q () 、弯矩M () 皆为正，如图5-10b 所示。由平衡方程

将(1) 式代入上面两式，解得 （ 2 ） （ 3 ） (2) 、(3) 两式分别为剪力方程和弯矩方程。 (3) 绘制剪力图、弯矩图由式(2) 可知，剪力图为一直线。只需算出任意两个截面的剪力值，如A 、B 两截面的剪力，即可作出剪力图，如图5 - 10c 所示。 由式(3) 可知，弯矩图为一抛物线，需要算出多个截面的弯矩值，才能作出曲线。例如计算下列五个截面的弯矩值：当时, M =0 ；当 时，；当时，。由此作出的弯矩图，如图5-10d 所示。 由剪力图和弯矩图可知，在靠近A 、B 支座的横截面上剪力的绝对值最大，其值为 在梁的中央截面上，剪力Q ＝0 ，弯矩为最大，其值为 例5-2 简支梁AB 承受集中力偶M0作用，如图 5 - 11a 所示。试作梁的剪力图、弯矩图。

怎样快速绘制剪力图和弯矩图 毛和业 （黔南职业技术学院机电系，贵州，都匀 558022） 摘要《工程力学》是工科各专业的一门重要的技术基础课。在目前高职高专、中职学生文化素质不高，而在本门课课时安排不多情况下，如何让学生掌握基本理论与基本计算方法至关重要。在工程构件中，最常见的变形形式是弯曲变形和弯扭组合变形。它们的强度计算必须以剪力图和弯矩图的绘制来找到危截面为前提，而这一绘制过程复杂，计算量大。因此，根据各种载荷的剪力图和弯矩图规律对这一过程进行简化，找到一种学生易于掌握，且准确率高的方法，在该门课程的教学与工程实际中均有重要意义。 关键词：剪力图弯矩图绘制快速 How to draw the shearing force diagram and bending moment diagram rapidly MAO He-ye (Mechanical and Electronic Department,Qiannan V ocational And Technical College,Duyun 558022,China ) Abstract: Engineering Mechanics is an important basic technology curriculum in variety of engineering courses. because the culture lever of the students in High-V ocational school、High-Technological academy and Middle-V ocational school is not rich and the hour of the course is limited, How to master the basic theory and basic compute method is very important to these students. Base on the years of teaching experience of the course, A simple、easy、rapid and accurate method for drawing the shearing force diagram and bending moment diagram is summarized for the purpose of increasing the study efficiency of the students. Key words: shearing force diagram; bending moment diagram;draw;rapid 1、引言 《工程力学》是工科各专业的一门重要的技术基础课，特别对于机电类专业，学生学习质量的好坏，对后续课程的学习，如《机械原理》《机械零件》《汽车理论》等乃至于对今后的工作至关重要。目前中职、高职高专《工程力学》课程的学时数一般安排在80学时左右，其内容包含了静力学、材料力学和运动力学三个部分。本课程的最终目标是让学生能对构件正确进行运动分析，掌握构件的强度、刚度和稳定性的计算中必备的理论基础与计算方法，从而解决强度和刚度计算中的强度校核、计算截面尺寸、确定许可载荷三类问题。在以上三类问题的计算中，都是以危险截面为前提，而剪力图和弯矩图正是用平行于梁的坐标表示梁截面位置，用垂直于梁的坐标表示剪力或弯矩的大小，它能形象准确找到危险截面。因此，能否正确绘制出剪力图和弯矩图，关系到整个计算的成败。而这部分内容则是在《工程力学》教材中所有篇幅较多，计算量较大的内容之一。目前高职高专或中职学生普遍文化素质较差，加上本课程课时较少，的确给教学以及学生对这部分内容的掌握带来了很大难度。根据笔者多年从事《工程力学》教学的实践，总结出在两图的绘制中快速且学生容易掌握的方法，供从事该门课的教师参考。 2、传统绘制剪力图和弯矩图的步骤 （1）根据梁的受力情况，计算约束反力 可根据已知条件，包括受力情况及约束类型，用静力平衡方程进行计算，对学生来说能较容易解决。 （2）对梁进行分段，列出各段的剪力方程和弯矩方程 分段时须先找到分界点，把每两个界点之间的部分作为一段。一般把梁上以下点作为分界点：集中力作用处（包括主动力与约束反力）、集中力偶作用处及均布载荷的起止点。这点对于学生掌握来说也不难。接下来需列出每一段的剪力方程和弯矩方程，这个过程是较繁琐的，每段列两个方程，且须确定各分段函数的定义域。 （3）确定各界点的剪力值和弯矩值 根据各段的剪力与弯矩方程，计算各界点的值，这个过程也较复杂。特别对于梁中段的界点，往往要分别计算其左侧及右侧的剪力值和弯矩值。 作者简介：毛和业，出生年月：1959年10月，贵州瓮安人，黔南职业技术学院机电工程系，高级讲师，研究方向：机电技术应用

ansys中如何生成命令流方法： GUI是：Utility Menu>File>Write DB Log File 怎么用ansys绘制弯矩，剪力图：GUI: General Postproc-> lot Result->Contour Plot- >Line Element Result 弹出画单元结果的对话框，分别在Labi和Labj依次选取SMIS6和SMIS12（弯矩图）、SMIS1和SMIS7（轴力图）、SMIS2和SMIS8（剪力图） ! 建立单元表 ETABLE,NI,SMISC,1 !单元I点轴力 ETABLE,NJ,SMISC,7 !单元J点轴力 ETABLE,QI,SMISC,2 !单元I点剪力 ETABLE,QJ,SMISC,8 !单元J点剪力 ETABLE,MI,SMISC,6 !单元I点弯矩 ETABLE,MJ,SMISC,12 !单元J点弯矩 ! 更新单元表 ETABLE,REFL ! 画轴力分布图 /TITLE,Axial force diagram PLLS,NI,NJ,1.0,0 /image,save,'Axial_force_%T%',jpg ! 画剪力分布图 /TITLE,Shearing force diagram PLLS,QI,QJ,1.0,0 /image,save,'Shearing_force_%T%',jpg ! 画弯矩分布图 /TITLE,Bending moment diagram PLLS,MI,MJ,-0.8,0 /image,save,'Bending_moment_%T%',jpg ANSYS中弯矩、剪力图的绘制 GUI: General Postproc-plot Result-Contour Plot-Line Element Result 弹出画单元结果的对话框，分别在Labi和Labj依次选取SMIS6和SMIS12（弯矩图）、SMIS1和SMIS7（轴力图）、SMIS2和SMIS8（剪力图）

5-7．试列出下列梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。 解：首先求出支座反力。考虑梁的整体平衡 由 0,0=+?=∑e RA B M l F M 得 l M F e RA - = 由 0,0=-?=∑e RB A M l F M 得 l M F e RB = 则距左端为x 的任一横截面上的剪力和 剪力图 弯矩表达式为： ()l M F x F e RA S - == ()x l M x F x M e RA ?- =?= 剪力方程为常数，表明剪图应是一条平行梁轴线的直线；弯矩方程是x 的一次函数，表明弯矩图是一条斜直线。( 如图) 解：首先求出支座反力。考虑梁的平衡 由 04 5 2,0=??-?=∑l l q l F M RB c 得 ql F RB 8 5= 由 02 1 ,02=+?=∑ql l F M RC B 得 ql F RC 2 1 -= 则相应的剪力方程和弯矩方程为： AB 段：（2 01l x ≤≤） ()()21 11 12 1qx x M qx x F S -=-= BC 段：（ 2 322l x l ≤≤） 剪力图 弯矩图

()()? ?? ?? -?+??? ??-??-==-= 285428 21852222l x ql l x l q x M ql ql ql x F S AB 段剪力方程为x 1的一次函数，弯矩方程为x 1的二次函数，因此AB 段的剪力图 为斜直线，弯矩图为二次抛物线；BC 段剪力方程为常数，弯矩方程为x 2的一次函数，所以BC 段剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为斜直线。（如图） 5-9 用简便方法画下列各梁的剪力图和弯矩图。 解：由梁的平衡求出支座反力： KN F KN F RB RA 12,8== AB 段作用有均布荷载，所以 AB 段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线；BC 段没有荷载作用，所以BC 段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线。 在B 支座处，剪力图有突变，突变值大小等于集中力（支座反力F RB ）的大小；弯矩图有转折，转折方向与集中力方向一致。（如图） （5） 解：由梁的平衡求出支座反力： KN F KN F RB RA 5.6,5.3== AB 与BC 段没有外载作用，所以AB 、BC 段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线；CD 段作用均布荷载，所以CD 段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线。