当前位置：文档库 › 【专项冲击波】2013年高考数学讲练测系列专题06 不等式(学生版)

【专项冲击波】2013年高考数学讲练测系列专题06 不等式(学生版)

【专项冲击波】2013年高考数学讲练测系列专题06 不等式（学生

版）

【考纲解读】

了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景;会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型,通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系,会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图;会从实际情境中抽象出二元一次不等式组,了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组,会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决;了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.学会运用数形结合、分类讨论等数学思想方法分析和解决有关不等式问题，形成良好的思维品质,培养判断推理和逻辑思维能力.

从近几年高考题目来看，不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现，且多与集合、简易逻辑、函数知识相结合，难度较低.

【考点预测】

本章知识的高考命题热点有以下两个方面：

1.均值不等式是历年高考的重点考查内容，考查方式多样，在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查直接，难度较低；在解答题中出现，其应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，难度较高。

2.不等式证明也是高考的一个重点内容，且多以解答题的一个分支出现，常与函数、导数、数列、解析几何等知识结合，题目往往非常灵活，难度高。线性规划问题是近几年高考的一个新热点，在考题种主要以选择、填空形式出现，当然，也可以实际问题进行考查。考查了优化思想在解决问题的广泛应用，体现了数学的应用价值，从而形成解决简单实际问题的能力，进一步考查了考生的数学应用意识。

3.预计在2012年高考中，对不等式的性质和解不等式特别是含参数的不等式的解法，仍会继续渗透在其他知识中进行考查。对不等式的应用，突出渗透数学思想方法和不等式知识的综合应用，特别是求最值问题、不等式证明问题，将继续强调考查逻辑推理能力，尤其是不等式与函数、数列、三角、解析几何的综合题型将会继续出现在高考的中、高档题中。

【要点梳理】

1.不等式的性质与证明：

(1)不等式的基本性质;(2)均值不等式,应用时要特别注意定理成立的三个条件“一正二定三相等”,三者缺一不可;(3)一元二次不等式、二元一次不等式组、简单的一元高次不等式；(4)比较法证明:作差比较与作商比较法;(5)分析法与综合法证明。

2.不等式的解法:

(1)简单的一元高次不等式的解法:数轴标根法

(2)分式不等式解法;(3)不等式的实际应用题的解题步骤:审题、建立不等式模型、解数学问题、写出答案.

对于不等式的应用题有两类:一类是建立不等式,解不等式;一类是建立函数式,求最大值或最小值.

3.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题.

【考点在线】

考点一不等式的性质

例1.(天津市耀华中学2013届高三第一次月考文科)设a ，b ∈R ，那么“>1a b

”

是“>>0a b ”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

练习1: (2012年高考湖南卷文科7)设 a ＞b ＞1，0c < ，给出下列三个结论： ①

c a

＞

c b

；② c a ＜c b ； ③ log ()log ()b a a c b c ->-，

其中所有的正确结论的序号是。 A ．① B.① ② C.② ③ D.① ②③

考点二基本不等式的应用

例2.(2012年高考浙江卷文科9)若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是（） A.

245

285

C.5

D.6

练习2: (2012年高考福建卷理科5)下列不等式一定成立的是（）

A ．)0(lg )4

1lg(2

>>+

x x x B ．),(2sin 1sin Z k k x x

x ∈≠≥+

C ．)(||212R x x x ∈≥+

D ．)(11

R x x ∈>+

考点三解不等式

高考要求掌握简单不等式的解法.解不等式是研究函数和方法的重要工具，是求函数的定义域、值域、最值、单调性、求反函数和参数的取值范围的重要手段，“不等式的变形”是研究数学的基本手段之一，它渗透到高中数学的每个角落中（如函数、方程、集合、数列、平面向量、三角函数、解析几何、立体几何、概率与统计、导数等），其基本思想是转化思想．转化的方法是: 超越式→分式→整式（高次）→整式（低次）→一次(或二次)不等式．其中准确熟练求解一元二次（一次）不等式是解其他不等式的基础，解一元高次不等式的有效方法是序轴法.此外,要重视数形结合、分类讨论思想的运用.

不等式的解法是高考必考内容，直接考查主要以选择题、填空题为主，这类题小巧灵活，常考常新；但有时也以解答题形式出现，主要考查含参数的不等式的解法.间接考查则更多，常以工具作用出现在函数、数列、三角函数、导数、解析几何、平面向量等问题之中,考查时重点考查一元二次不等式、分式不等式、含绝对值不等式，但偶尔也会涉及无理不等式、指数和对数不等式的解法．

例3. （2012年高考江苏卷13）已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，

若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为．

练习3：(2012年高考重庆卷理科2)不等式

21≤+-x x 的解集为( )

考点四线性规划

线性规划是高考热点之一,考查内容设计最优解,最值,区域面积与形状等,通常通过画可行域,移线,数形结合等方法解决问题.

例4. (2012年高考广东卷文科5)已知变量x,y 满足约束条件1110x y x y x +≤??

-≤??+≥?

，则z=x+2y 的最小

值为( )

A.3

B.1

C.-5

D.-6

练习4：(2012年高考山东卷理5文6)设变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥??

+≤??-≥-?

，则目标函数

z=3x-y 的取值范围是( ) （A ）3

[,6]2-

（B ）3,12??

--????

（C ）[-1,6] （D ）3-62?????

，

考点五不等式的证明

高考要求掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.不等式证明是高中数学的重要内容，同时也是高中数学的难点，加之题型广泛，涉及面广，证法灵活，因而备受命题者的青睐，成为高考的热点问题.但由于在高考时，涉及到不等式证明的问题往往出现在压轴题上，其综合性强、思维量大，因而不等式证明问题也就成为高考的难点问题.现在的高考没有单独命制不等式证明的试题，而是把它与函数、数列、导数、解析几何、立体几何、概率与统计等问题相结合命制成综合的压轴题，重在考查逻辑思维能力，以及常用的不等式证明方法（基本方法:比较法、综合法、分析法;常用方法:放缩法、换元法、求导法、反证法、数学归纳法等）.

例5.已知a ，b ∈R ，且a+b=1.求证：()()2

25222

≥

+++b a

练习5：已知1,0,0=+>>y x y x ，求证：4

4y x +≥8

1．

【考题回放】

1. (2012年高考北京卷文科1)已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则

A ∩B=( )

A ．（-∞，-1）

B ．（-1，-23

） C ．（-

,3） D ． (3,+∞)

2.（2012年高考辽宁卷文科9）设变量x ，y 满足10,

020,015,x y x y y -??

≤+≤??≤≤?

…则2x +3y 的最大值为( )

(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55

3.（2012年高考新课标全国卷文科5）已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z=－x+y 的取值范围是( ) （A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3)

4. (2012年高考湖北卷文科9)设a,b,c,∈ R,,则“abc=1”是

a b c ≤++”

的( )

A.充分条件但不是必要条件，

B.必要条件但不是充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要的条件 5.(2012年高考重庆卷文科7)

已知2log 3log a =+

2log 9log

b =-，

3log 2c =则a,b,c 的大小关系是( )

（A ） a b c =< （B ）a b c => （C ）a b c << （D ）a b c >> 6.(2012年高考重庆卷文科10)设函数2

()43,()

32,

f x x x

g x =

-+=-集合{|

(())0M x R f g x =∈> {|()2},N x R g x =∈<则M N 为( )

（A ）(1,)+∞ （B ）（0，1）（C ）（-1，1）（D ）(,1)-∞ 7．（北京市丰台区2013年1月高三上学期期末文3)“0x >”是“12x x

≥”的( )

(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充分且必要条件 (D) 既不充分也不必要条件

8.(山东省烟台市2013届高三上学期期中考试文)下列命题中，正确的是( )

A ．若d c b a >>,，则bc ac >

B ．若bc ac >，则b a >

C ．若

b c

a <

，则b a < D ．若d c b a >>,，则d b c a ->-

9.(山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文)下列三个不等式中，恒成立的个数有( ) ①12(0)x x x

≥≠ ②

(0)

c c a b c a b

<>>>

③(,,0,)a m a a b m a b b m

><+.

A ．3 B.2 C.1 D.0

10.(北京市东城区普通校2013届高三11月联考文）某企业投入100万元购入一套设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2 万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业（）年后需要更新设备.

A. 10

B. 11

C. 13

D. 21

11.(天津市天津一中2013届高三上学期一月考文)0a <，0b <，则2

p a

与

q a b =+的大小关系为（）

A. p q >

B. p q ≥

C. p q <

D. p q ≤

12.(2011年高考山东卷理科4)不等式|5||3|10x x -++≥的解集为( ) （A ）[-5.7] （B ）[-4,6]

（C ）(,5][7,)-∞-?+∞ （D ）(,4][6,)-∞-?+∞

13．(2011年高考广东卷文科6)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式

组02

x y x ?≤≤?

≤??

≤?给定，若(),M x y 为D 上的动点，点A

的坐标为)

，则z OM OA =?

的

最大值为（）

A ．3

B ．4

．

14.（2011年高考福建卷文科10)若a>0, b>0, 且函数f(x)=4x 3-ax 2

-2bx+2在1x =处有极

值，则a b 的最大值等于( )

A. 2

B. 3

C. 6

D. 9

15. (北京市石景山区2013年1月高三上学期期末文科9)不等式2

560x x -+≤的解集为 .

16. (2012年高考福建卷文科15)已知关于x 的不等式x 2-ax ＋2a ＞0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是_________.

17. (2012年高考湖北卷文科14)若变量x ，y 满足约束条件则目标函数z=2x+3y

的最小值是________.

18.(天津市耀华中学2013届高三第一次月考文科)若关于x 的不等式2

11+

)02

x x ≥对

任意*n N ∈在(-,]x λ∈∞上恒成立，则实常数λ的取值范围是； 19．（2011年高考江西卷文科15)对于x R ∈，不等式1028x x +--≥的解集为_______.

20. （2011年高考海南卷文科14)若变量,x y 满足约束条件32969

x y x y ≤+≤??≤-≤?,则2z x y

=+的最小值为 .

21．（2011年高考浙江卷文科16)若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值

是 .

22. (2011年高考天津卷文科12)已知22log log 1a b +≥,则39a b

+的最小值为 .

【高考冲策演练】一、选择题：

1. (北京市朝阳区2013届高三上学期期末文5)已知0x >，0y >，且21x y +=，则xy 的最大值是 ( )

C. 4

D. 8

2.(山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理)已知向量a =),2,1(-x b =),4(y ,若

a ⊥

b ，则y

x 39+的最小值为( )

A ．2

B ．32

C ．6

D ．9 3. (2012年高考天津卷文科4)已知a=21.2，b=()

-0.2

，c=2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为

( )

（A ）c

4. (2012年高考天津卷文科5)设x ∈R ，则“x>1

2”是“2x 2+x-1>0”的( )

（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件

（D ）既不充分也不必要条件

5.(2012年高考全国卷文科11)已知ln x π=，5log 2y =，12

z e

-=，则( )

（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x << 6.(山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文)设变量x ，y 满足约束条件236y x x y y x ≤??

+≥??≥-?

，则目标函数2z x y =+的最小值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．9

7.(山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文)设0,0.a b >>

若

1133a

与的等比中项，则

的最小值( )

A ．2

B ．

1 C ．4 D ．8

8.(山东省临沂市2013届高三上学期期中考试文)若不等式组0,2,35x x y x y ≥??

+≥??+≤?

所表示的平面区

域被直线2y kx =+分成面积相等的两部分，则k 的值为( )

A ．4

B ．1

C ．2

D ．3

9.(山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试文)设x 、y 满足24,1,22,x y x y x y +≥??

-≥-??-≤?

则

z x y =+( )

A ．有最小值2，最大值3

B ．有最小值2，无最大值

C ．有最大值3，无最大值

D ．既无最小值，也无最大值

10. (山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文7)若实数,x y 满足不等式组

0,2100,

x y x y y ?->?

11. （2011年高考四川卷文科10)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只能送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡需配1名工人；每送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润( ) （A ） 4650元（B ）4700元 (C) 4900元（D ）5000元 12．（2011年高考湖南卷文科3)"1""||1"x x >>是的( ) A ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件二．填空题：

13.(山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考文）若实数y x ,满足??

??≤≥+≥+-,0,0,

01x y x y x ，则

x z 23

+=的值域是 .

14.(山东省青岛市2013届高三上学期期中考试文）已知0,0,lg 2lg 8lg 2x

x y >>+=，则

113x y

+的最小值是 .

15．(2012年高考江西卷文科11) 不等式的解集是___________。

16．(2012年高考天津卷文科14)已知函数2

x y x -=-的图像与函数y kx =的图像恰有两个

交点，则实数k 的取值范围是 . 三．解答题：

17．(天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理)已知函数f （x ）=x 2+2x+a.

（1）当a=

1时，求不等式f （x ）>1的解集；（4分）

（2）若对于任意x ∈[1，+∞），f （x ）>0恒成立，求实数a 的取值范围；（6分）

18．(山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文)（本小题满分12分）记

c bx ax

x f +-=2

)(，若不等式0)(>x f 的解集为（1，3）

，试解关于t 的不等式)2()8|(|2

t f t f +<+.

19.(山东省烟台市2013届高三上学期期中考试文)（本小题满分12分）已知a 是实数，试解关于x 的不等式：1

---≥x a

x x x

20.(山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测理）（本题满分12分）

如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上D 点在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知AB=3米，AD=2米。

（1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？

（2）当DN 的长度为多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值。

21.(山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理)（本小题满分12分）

已知βα，是三次函数),(22

131(2

R b a bx ax

x x f ∈++

）的两个极值点，且

()1,0∈α,()2,1∈β,求动点()b a ,所在的区域面积S .

22．(2012年高考浙江卷理科22) (本小题满分14分)已知a ＞0，b ∈R ，函数

()3

42f

x ax bx a b

--+．

(Ⅰ)证明：当0≤x ≤1时，

(ⅰ)函数()f x 的最大值为|2a －b |﹢a ； (ⅱ) ()f x ＋|2a －b |﹢a ≥0；

(Ⅱ) 若﹣1≤()f x ≤1对x ∈[0，1]恒成立，求a ＋b 的取值范围．

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

专题七不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥，在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取

(完整版)高二数学不等式练习题及答案(经典)

不等式练习题一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2＞b 2 （B ） a b ＜1 （C ）lg(a-b)＞0 （D ）(21)a ＜(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ）a 1 +a ≥2 (a ≠0) （C ） a 1＜b 1 (a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11 )(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n －n , ?(n )= n 21 , g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n )

高考数学全国卷选做题之不等式

2010——2016《不等式》高考真题 2010全国卷设函数f(x)=241 x-+ （Ⅰ)画出函数y=f(x)的图像；（Ⅱ）若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围. 2011全国卷设函数()||3 =-+，其中0 f x x a x a>．（I）当a=1时，求不等式()32 ≥+的解集． f x x （II）若不等式()0 x≤-，求a的值． f x≤的解集为｛x|1}

2012全国卷已知函数f (x ) = |x + a | + |x －2|. (Ⅰ)当a =－3时，求不等式f (x )≥3的解集； (Ⅱ)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。 2013全国卷Ⅰ 已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +. （Ⅰ）当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集；（Ⅱ）设a ＞-1,且当x ∈[2a -，12 )时，()f x ≤()g x ,求a 的取值范围.

2013全国卷Ⅱ 设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)2221a b c b c a ++≥. 2014全国卷Ⅰ 若,0,0>>b a 且ab b a =+11 （I ）求33b a +的最小值；（II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由.

2014全国卷Ⅱ设函数() f x=1(0) ++-> x x a a a （Ⅰ）证明：() f<，求a的取值范围. f x≥2 （Ⅱ）若()35 2015全国卷Ⅰ已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0. （Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；（Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

专题七不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥，在区间122?? ???? ，上单调递减，则mn 的最大值为（）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（） A ．0 B ．1 C ．32 D ．2 【答案】D

基本不等式练习题及答案解析

1．若xy＞0，则对x y＋ y x说法正确的是() A．有最大值－2B．有最小值2 C．无最大值和最小值D．无法确定答案：B 2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是() A．400 B．100 C．40 D．20 答案：A 3．已知x≥2，则当x＝____时，x＋4 x有最小值____．答案：2 4 4．已知f(x)＝12 x＋4x. (1)当x＞0时，求f(x)的最小值； (2)当x＜0 时，求f(x)的最大值．解：(1)∵x＞0，∴12 x，4x＞0. ∴12 x＋4x≥2 12 x·4x＝8 3. 当且仅当12 x＝4x，即x＝3时取最小值83， ∴当x＞0时，f(x)的最小值为8 3. (2)∵x＜0，∴－x＞0. 则－f(x)＝12 －x ＋(－4x)≥2 12 －x ·?－4x?＝83，当且仅当12 －x ＝－4x时，即x＝－3时取等号． ∴当x＜0时，f(x)的最大值为－8 3. 一、选择题 1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是() A．x＋1 2x B．x 2－1＋ 1 x2－1 C．2x＋2－x D．x(1－x) 答案：C 2．函数y＝3x2＋ 6 x2＋1 的最小值是() A．32－3 B．－3 C．6 2 D．62－3

解析：选D.y＝3(x2＋ 2 x2＋1 )＝3(x2＋1＋ 2 x2＋1 －1)≥3(22－1)＝62－3. 3．已知m、n∈R，mn＝100，则m2＋n2的最小值是() A．200 B．100 C．50 D．20 解析：选A.m2＋n2≥2mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．4．给出下面四个推导过程： ①∵a，b∈(0，＋∞)，∴b a＋ a b≥2 b a· a b＝2； ②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lg x＋lg y≥2lg x·lg y； ③∵a∈R，a≠0，∴4 a＋a≥2 4 a·a＝4； ④∵x，y∈R，，xy＜0，∴x y＋ y x＝－[(－ x y)＋(－ y x)]≤－2?－ x y??－ y x?＝－2. 其中正确的推导过程为() A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑． ①∵a，b∈(0，＋∞)，∴b a， a b∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确； ②虽然x，y∈(0，＋∞)，但当x∈(0,1)时，lg x是负数，y∈(0,1)时，lg y是负数，∴ ②的推导过程是错误的； ③∵a∈R，不符合基本不等式的条件， ∴4 a＋a≥24 a·a＝4是错误的； ④由xy＜0得x y， y x均为负数，但在推导过程中将全体 x y＋ y x提出负号后，(－ x y)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确． 5．已知a＞0，b＞0，则1 a＋ 1 b＋2ab的最小值是() A．2 B．2 2 C．4 D．5 解析：选 C.∵1 a＋ 1 b＋2ab≥ 2 ab ＋2ab≥22×2＝4.当且仅当 ?? ? ??a＝b ab＝1 时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4. 6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有()

高考数学不等式专题

基本不等式专题一、知识点总结 1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形（1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 5、常用结论（1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）（2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）（3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a ab +≤ +≤ （5）若*,R b a ∈，则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ （6），、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；（7）)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时, “ =”号成立. （1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++

高中数学不等式练习题

1、设恒成立的c的取值范围是 A．B．C．D． 2、设，且（其中），则M的取值范围是A．B．C．D． 3、若实数、满足，则的取值范围是 A．B．C．D． 4、已知，，，则的最小值是（）（Ａ）（Ｂ）4（Ｃ）（Ｄ） 5、若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 (A)(B)(C)(D) 6、已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D． 7、已知正实数满足，则的最小值为。 8、如图，目标函数可行域为四边形（含边界），若是该目标函数的最优解，则的取值范围是() （A）（B）（C）（D）的最大值与最小值之和为 9、函数，当时，恒成立,则 D. 10、已知正数满足，则的最小值为 A．3B．C．4D． 11、二次函数轴两个交点的横坐标分别为。（1）证明：；（2）证明：；（3）若满足不等式的取值范围。 12、设满足约束条件，若目标函数的最大值为10，则的最小值为.

13、已知对任意实数x，二次函数f(x)=ax2+bx+c恒非负，且a

2020高考理科数学不等式问题的题型与方法

专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科）一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络

其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、经典例题剖析 1．有关不等式的性质此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（）Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时，