高考高中数学第65炼 直线的方程与性质

第65炼 直线的方程与性质

一、基础知识：

（一）直线的要素与方程：

1、倾斜角：若直线l 与x 轴相交，则以x 轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与l 重合所成的角称为直线l 的倾斜角，通常用,,,

αβγ表示

（1）若直线与x 轴平行（或重合），则倾斜角为0 （2）倾斜角的取值范围[)0,απ∈

2、斜率：设直线的倾斜角为α，则α的正切值称为直线的斜率，记为tan k α= （1）当2

π

α=

时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的

（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率

（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）k 越大，直线越陡峭

（5）斜率k 的求法：已知直线上任意两点()()1122,,,A x y B x y ，则21

21

y y k x x -=-，即直线

的斜率是确定的，与所取的点无关。

3、截距：若直线l 与坐标轴分别交于()(),0,0,a b ，则称,a b 分别为直线l 的横截距，纵截距

（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）

（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线

4、直线方程的五种形式：首先在直角坐标系中确定一条直线有两种方法：一种是已知直线上一点与直线的方向（即斜率），另一种是已知两点（两点确定一条直线），直线方程的形式与这两种方法有关 （1）一点一方向：

① 点斜式：已知直线l 的斜率k ，直线上一点()00,P x y ，则直线l 的方程为：

()00y y k x x -=-

证明：设直线l 上任意一点(),Q x y ，根据斜率计算公式可得：0

y y k x x -=-，所以直线上的每一点都应满足：()00y y k x x -=-，即为直线方程

② 斜截式：已知直线l 的斜率k ，纵截距b ，则直线l 的方程为：y kx b =+

证明：由纵截距为b 可得直线与y 轴交点为()0,b ，从而利用点斜式得：()0y b k x -=- 化简可得：y kx b =+ （2）两点确定一条直线：

③ 两点式：已知直线l 上的两点()()1122,,,A x y B x y ，则直线l 的方程为：

22

1212

y y x x y y x x --=--

④ 截距式：若直线l 的横纵截距分别为(),0a b ab ≠，则直线l 的方程为：1x y a b

+= 证明：从已知截距可得：直线上两点()(),0,0,a b ，所以00b b

k a a

-=

=-- ():01b x y

l y b x bx ay ab a a b

∴-=-

-?+=?+= ⑤ 一般式：由前几类直线方程可知：直线方程通常由,x y 的一次项与常数项构成，所以可

将直线的通式写为：0Ax By C ++=（,A B 不同时为0），此形式称为直线的一般式 一般式方程的作用：可作为直线方程的最终结果 可用于判定直线的平行垂直关系

点到直线距离公式与平行线间距离公式需要用直线的一般式 5、五种直线形式所不能表示的直线：

（1）点斜式，斜截式：与斜率相关，所以无法表示斜率不存在的直线（即竖直线） （2）截距式：① 截距不全的直线：水平线，竖直线 ② 截距为0的直线：过原点的直线

6、求曲线（或直线）方程的方法：在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：

（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法

则需找到两个点，或者一点一斜率

（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） （二）直线位置关系：

1、在解析几何中直线的位置关系有三种：平行，相交（包含垂直），重合

如果题目中提到“两条直线”，则不存在重合的情况，如果只是12,l l ，则要考虑重合的情况。

2、直线平行的条件

（1）斜截式方程：设直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+ ① 121212,k k b b l l =≠?∥

② 若直线12,l l 的斜率存在，则1212l l k k ?=∥

（2）一般式方程：设11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，则 ① 当

111

222

A B C A B C =≠时，1l ∥2l ② 1221A B A B =，且1221AC A C ≠和1221B C B C ≠中至少一个成立，则1l ∥2l （此条件适用于所有直线） 3、直线垂直的条件：

（1）斜截式方程：设直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+，则12121l l k k ⊥??=- （2）一般式方程：设11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，则：

1212120A A B B l l +=?⊥

4、一般式方程平行与垂直判定的规律：

可选择与一般式方程0Ax By C ++=对应的向量：(),a A B =，即有：

()()11111112222222:0,,:0,l A x B y C a A B l A x B y C a A B ++=?=++=?=，从而

12,a a 的关系即可代表12,l l 的关系，例如：

12211212AB A B a a l l =??∥∥（注意验证是否会出现重合的情况）

121212121200A A B B a a a a l l +=??=?⊥?⊥

（三）距离问题：

1、两点间距离公式：设()()1122,,,A x y B x y ，则

AB =2、点到直线距离公式：设()00,,:0P x y l Ax By C ++= 则点P 到直线l

的距离P l d -=

3、平行线间的距离：1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++= 则12,l

l 的距离为d =

（四）对称问题 1、中心对称：

（1）几何特点：若'

,A A 关于O 点中心对称，则O 为线段'

AA 的中点

（2）解析特征：设()00,A x y ，(),O a b ，则与A 点关于O 点中心对称的点()'

,A x y 满足：

00

02222

x x a x a x y y y b y b +?

=?=-?????

+=-??=?? 2、轴对称

（1）几何特点：若若'

,A A 关于直线l 轴对称，则l 为线段'AA 的中垂线，即'

AA l ⊥，且'

AA

的中点在l 上

（2）解析特征：设()00,A x y ，:l y kx b =+，则与A 点关于l 轴对称的点()'

,A x y 满足：

'0000122

AA y y k x x k y y x x k b -?==-?-??

++?=?+?? ，解出()'

,A x y 即可 （3）求轴对称的直线：设对称轴为直线l ，直线1l 关于l 的对称直线为'

1l ① 若1l ∥l ，则'

1l ∥1l ，且'

1l 到对称轴的距离与l 到对称轴的距离相等

② 若1l 与l 相交于P ，则取1l 上一点A ，求出关于l 的对称点'A ，则'A P 即为对称直线'

1l

（五）直线系方程：满足某种特征的一类直线组成的集合称为直线系，直线系的方程通常含有参数（以参数的不同取值确定直线）

1、平行线系：集合中的直线呈两两平行关系——参数不会影响斜率的取值

（1）与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为：0Ax By m ++=（m 为参数，且

m C ≠）

（2）与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为：0Bx Ay m -+=（m 为参数） 2、过定点的直线：

（1）若参数的取值影响直线的斜率，则可寻找该直线是否围绕一个定点旋转：即把含参数的项划为一组并提取参数，只需让参数所乘的因式为0即可

（2）已知11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=（1l 与2l 不重合），则过12,l l 交点的直线系方程为：()1211122200l l A x B y C A x B y C λλ+=?+++++=（该直线无法表示

2l ）

3、直线系方程的用途：主要是在求直线方程时可充分利用平行，垂直或过定点的条件，将直线设为只含一个参数的方程，从而在思路上就可围绕如何求参数配置资源，寻找条件解出参数，即可得到所求直线方程 二、典型例题：

例1：直线sin 20x y α?++=的倾斜角的取值范围是（ ） A ．[)0,π B ．30,

,44πππ??

?????????? C ．0,4π??????

D ．0,,42πππ????

??????? 思路：要求倾斜角（设为θ），可将直线转化为斜截式得：sin 2y x α=-?-，所以 ，即[]tan 1,1θ∈-，结合正切的定义以及倾斜角的范围可得：30,,44ππθπ????

∈????????

答案：B

小炼有话说：一是要注意由正切值求角时，通过图像判断更为稳妥，切忌只求边界角，然后直接根据角大小写区间。二是要注意倾斜角的取值范围：[)0,π，所以当0k =时，倾斜角

为0（而不是π）

例2：经过)1,0(-P 作直线l ，若直线l 与连接)3,2(),1,1(B A -的线段总有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 ．

思路：直线l 可视为绕)1,0(-P 进行旋转，在坐标系中作出线段AB ，即可由图判断出若直线l 与线段AB 有公共点，旋转过程中的第一条直线与最后一条直线分别为直线

,PB PA ，则()()11312,210

20

PA PB k k ----=

=-=

=---，由

图像可得：(][),22,k ∈-∞-+∞

答案：(]

[),22,k ∈-∞-+∞

小炼有话说：本题如果没有图像辅助，极易将结果写成[]2,2-，通过观察可得旋转的过程当中，倾斜角不断变大，由锐角变为钝角。从而斜率的值应为正负值之外，而非正负值之间。所以处理此类问题时：一定作图，作图，作图！！

例3：若()()12:120,:280l x m y m l mx y +++-=++=的图象是两条平行直线，则m 的值是（ ）

A ．1m =或2m =-

B ．1m =

C ．2m =-

D ．m 的值不存在 思路：由平行线可得：()12m m +=可解得：1m =或2m =-，检验是否存在重合情况，将1m =代入直线可得：12:210,:280l x y l x y +-=++=，符合题意，将2m =-代入直线可得：12:40,:2280l x y l x y --=-++=，则12,l l 重合，不符题意，所以舍去。综上可得：1m = 答案：B

小炼有话说：在已知平行关系求参数取值时，尽管在求解时可仅用,x y 系数关系，但解出参数后要进行验证，看是否会导致直线重合。

例4：已知直线013)2(01=+-+=++y x a y ax 与互相垂直，则实数a 等于（ ） A ．3-或1 B ．1或3 C ．1-或3- D ．1-或3 思路：由两直线相互垂直可得：()()2130a a ++?-=，即2

230a a +-=，解得3

a =-

或1a = 答案：A

例5：已知直线通过点()3,4M -，被直线l ：30x y -+=反射，反射光线通过点()2,6N ， 则反射光线所在直线的方程是 ．

思路：本题与物理知识相结合，可知反射光线过已知点在镜面中的虚像（即对称点），所以考虑求出()3,4M -的对称点'M ，再利用()2,6N 确定反射光线即可。 解：设M 的对称点()'00,M x y ，则有'

MM l ⊥，且'MM 的中点0034,22x y -+??

???

在l 上 000000004

110310343022

y x y x x y x y -?=-?+-=?+?∴???

--=-+??-+=?? ()'

1,0M ∴ '6M N k ∴= ()':61M N y x ∴=-即660x y --=

答案：660x y --=

例6：直线()()220m n x m n y m n ++--+= （,m n R ∈ 且,m n 不同时为0）经过定点____

思路：直线过定点，则意味着定点坐标使得参数“失去作用”——即无论参数取何值，不会影响表达式的值，能够达到此功效的只有让参数与“0”相乘，所以考虑将已知直线进行变形，将含m 的项与含n 的项分别归为一组，可得：()()2120m x y n x y +-+-+=，若要让,m n “失去作用”，则21020x y x y +-=??-+=?，解得1

1x y =-??=?

，即定点为()1,1-

答案：()1,1-

小炼有话说：含参数的直线方程要么是一组平行线（斜率为常数），要么考虑过定点，而定点的求解可参照例6的求法。寻找定点是一种意识，即遇到含参数的直线时，便可考虑能否找到定点，从而抓住此类直线的特征（绕定点旋转），有助于解题。 例7

：已知直线:0l x my -+

=上存在点M 满足与两点()()1,0,1,0A B -连线的斜率

MA k 与MB k 之积为3，则实数m 的取值范围是_________

思路：设直线上的点()00,M x y ，则M 需同时满足两个条件：一是符合直线方程，二是保证斜率乘积为3.

对于条件一，即000x my -=，对于条件二，按照斜率计算公式可得0000,11MA MB y y k k x x =

=+-，所以0000311

y y x x ?=+-即()22

0031y x =-。所以存在满足条件的M

，等价于方程组(

)222222

3193033

x my m y y m y x ?-+=??--+-=?

=-??有

解，所以判别式(

)

()()2

2

22431930m m ?=---≥

，可解得22m ?∈-???

答案：22m ?∈-

???

例8：若不全为零的实数,,a b c 成等差数列，点(1,2)A 在动直线:0l ax by c ++=上的射影为P ，点Q 在直线1:34120l x y -+=上，则线段PQ 长度的最小值是__________ 思路：从,,a b c 成等差数列可得：2a c b +=，所以:02

a c

l ax y c +++=，方程含参进而考虑寻找定点。11010222a c ax y c a x y c y +????

+

+=?+++= ? ?????

，所以有102

1102

x y y ?

+=???

?+=??，解得定点为()1,2-，即l 为绕()1,2-旋转的动直线，对于任意点P ，PQ 的最小值为点P 到34120x y -+=的距离，而P 的所有位置中，只有l 过(1,2)A 点时，

PQ 最短，即(

)

11min min

7

5

P l A l PQ d d --===

=

答案：

75

小炼有话说：（1）本题的突破口在于对含参直线:02

a c

l ax y c ++

+=的分析，首先对于含参直线要分析出属于平行线系（斜率为定值），还是过定点系（斜率因参数变化而变化），其次对于多参数方程也能够找到定点。

（2）本题的,P Q 均为动点，双动点求最值时，通常固定一个点，分析此点固定时，达到最

值时另一个点位置的特征（例如本题中固定P ，分析出P 到1l 的距离为PQ 最小），然后再让该点动起来，在动的过程中找到“最值”中的最值。

例9：已知ABC 的两条高所在直线方程为0,2310x y x y +=-+=，若(1,2)A ，求直线

BC 的方程

思路：本题并没有说明高线是否过A ，但可以将(1,2)A 带入方程进行验证，可得两条高线均不过A ，从而寻找确定BC 直线的要素，可连接AH ，由三角形“三条高线交于一点”的性质可得

AH BC ⊥，且H 点可由两条高线解得，从而得到BC k ，只需再

求得一点即可，观察到C 为三条直线,,BC CD AC 的公共点，CD 已知，而AC 可求。进而解得C 的坐标，然后通过C 和BC k 求出BC 的方程 解：设:0,:2310CD x y BE x y +=-+=

105

:23101

5x x y H x y y ?

=-?+=??∴???-+=??=??

，所以11,55H ??- ???

1

2351215AH

k -

∴=

=??-- ???

由“三条高线交于一点”可得：AH BC ⊥ 2

3

BC k ∴=-

AC BE ⊥

设:320AC x y m ++=，代入(1,2)A 解得：7m =-

:3270AC x y ∴+-=

32707

:07x y x C x y y +-==??∴???

+==-?? ()7,7C ∴- ()2

:773

BC y x ∴+=-

-整理后可得：2370x y ++= 答案：2370x y ++=

例10：已知点A 在直线210x y +-=上，点B 在直线230x y ++=上，线段AB 的中点

为()00,P x y ，且满足002y x >+，则

y x 的取值范围为（ ） A. 11,25??

-- ??? B. 1,5?

?

-∞- ??? C. 1

1,25??

-- ??? D. 1

,02??

- ???

思路：观察发现所给直线为两条平行线，所以P 点的轨迹为夹在两条直线之间的平行线，即210x y ++=，所以00001

2102x x y y +++=?=-，代入所求0000

12y x x x +=-，下面

确定0x 的范围，将0012x y +=-代入002y x >+可得：00122x x +->+解得：05

3

x <- 所以：

0000011111,22225y x x x x +??

=-=--∈-- ???

答案：A

小炼有话说：（1）本题P 的轨迹可通过图像观察到，也可进行代数分析：设

()()1122,,,A x y B x y ，则有112212

120210

23022

x y x y x x x y y y +-=??

++=??

+?=?

?+=??①②

，①+②可得：

()()1212220x x y y ++++=

即00210x y ++=，所以点P 的轨迹为210x y ++= （2）本题对于求

y x 的范围可以有两个角度考虑：一个角度是利用00210x y ++=进行消元，从而转为一元表达式利用函数求范围。另一个角度可考虑

y x 的几何意义，即OP 的斜率，从而通过0000210

2

x y y x ++=??

>+?作出可行域，数形结合处理。一、光速解题——

学会9种快速解题技法

技法1 特例法

在解答填空题时,可以取一个(或一些)特殊值、特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊图形等来确定其结果,这种方法称为特例法.特例法只需对特殊数值、特殊情形进行

检验,失去了推理论证的演算过程,提高了解题速度.特例法是解答填空题时经常用到的一种方法.

典例1(特殊数值)求值:cos2α+cos2(α+120°)+cos2(α+240°)=.

答案

解析题目中“求值”二字提供了这样的信息:答案为一定值,于是不妨令α=0°,则原式=cos20+cos2120°+cos2240°=1++=.

典例2(特殊点)点P为椭圆+=1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平行线,它们相交于点C,过点P引BC、AC的平行线交AC 于点N,交BC于点M,交AB于D、E两点,记矩形PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2,则S1∶S2= .

答案1

解析不妨取点P,则S1=×(5-4)=,PD=2,PE=,所以

S2=×2×=,所以S1∶S2=1.

典例3(特殊函数)若函数y= f(x)对定义域D中的每一个x1,都存在唯一的x2∈D,使f(x1)·f(x2)=1成立,则称f(x)为“影子函数”,有下列三个命题:

①“影子函数” f(x)的值域可以是R;

②“影子函数” f(x)可以是奇函数;

③若y= f(x),y=g(x)都是“影子函数”,且定义域相同,则y= f(x)·g(x)是“影子函数”.

上述正确命题的序号是.

答案②

解析对于①:假设“影子函数”的值域为R,则存在x1,使得f(x1)=0,此时不存在x2,使得f(x1)·f(x2)=1,所以①错误;

对于②:函数f(x)=x(x≠0),对任意的x1∈(-∞,0)∪(0,+∞),取x2=,则

f(x1)·f(x2)=1,因为函数f(x)=x(x≠0)为奇函数,所以“影子函数” f(x)可以是奇函数,②正确;

对于③:函数f(x)=x(x>0),g(x)=(x>0)都是“影子函数”,但F(x)= f(x)·g(x)=1(x>0)不是“影子函数”(因为对任意的x1∈(0,+∞),存在无数多个x2∈(0,+∞),使得F(x1)·F(x2)=1),所以③错误.

典例4(特殊位置)(1)已知E为△ABC的重心,AD为BC边上的中线,令=a,=b,过点E的直线分别交AB,AC于P,Q两点,且=ma,=nb,则+= .

(2)如图,在三棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P,Q,且A1P=BQ,过P,Q,C三点的截面把棱柱分成上、下两部分,则上、下两部分的体积之比为.

答案(1)3 (2)2∶1

解析(1)由题意知结果必然是一个定值,故可利用特殊直线确定所求值.如图,令

PQ∥BC,则=,=,此时,m=n=,故+=3.

(2)将P,Q置于特殊位置:P→A1,Q→B,此时仍满足条件A1P=BQ(=0),则有

==.

因此过P,Q,C三点的截面把棱柱分成了体积比为2∶1的上、下两部分.

典例5(特殊图形)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若a、b、c成等

差数列,则= .

答案

解析不妨令△ABC为等边三角形,则cos A=cos C=,则=.

技法2 换元法

换元法又称变量代换法.通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者将题目变为熟悉的形式,简化复杂的计算和推理.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中再研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等.

典例1(三角换元)已知x,y∈R,满足x2+2xy+4y2=6,则z=x2+4y2的取值范围是.

答案[4,12]

解析已知x2+2xy+4y2=6,

即(x+y)2+(y)2=()2,

故设x+y=cos α,y=sin α,

即x=cos α-sin α,y=sin α.

则z=x2+4y2=6-2xy=6-2(cos α-sin α)·sin α

=8-4sin.

所以8-4≤z≤8+4,即z的取值范围是[4,12].

典例2(整体代换)函数y=sin x-cos x+sin xcos x,x∈[0,π]的最小值是.

答案-1

解析设t=sin x-cos x=sin,

则sin xcos x=,

因为x∈[0,π],所以x-∈,

所以t∈[-1,],

所以y=t+=-(t-1)2+1,当t=-1时,y min=-1.

典例3(局部换元)设对一切实数x,不等式x2log2+2xlog2+log2>0恒成立,求a的取值范围.

解析设log2=t,则log2=log2=3+log2=3-log2=3-t,log2=2log2 =-2t,则原不等式化为(3-t)x2+2tx-2t>0,它对一切实数x恒成立,所以

解得所以t<0,即log2<0,所以

0<<1,解得0

技法3 数形结合法

数形结合法包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用分为两种情形:一是代数问题几何化,借助形的直观性来阐明数之间的联系,即以形为手段,以数为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是几何问题代数化,借助数的精确性阐明形的某些属性,即以数为手段,以形为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.

典例1(平面向量问题)设a,b,c是单位向量,且a·b=0,则(a-c)·(b-c)的最小值为.

答案1-

解析由于(a-c)·(b-c)=-(a+b)·c+1,因此求(a-c)·(b-c)的最小值等价于求

(a+b)·c的最大值,这个最大值只有当向量a+b与向量c同向共线时取得.由于a·b=0,故a⊥b,如图所示,|a+b|=,|c|=1,当θ=0时,(a+b)·c取得最大值,故所求的最小值为1-.

典例2(函数问题)(1)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中最小的数,设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为.

(2)设函数g(x)=x2-2(x∈R),

f(x)=则f(x)的值域是.

答案(1)6 (2)∪(2,+∞)

解析(1)在同一平面直角坐标系中画出y=2x,y=x+2,y=10-x的图象(如图),观察图象可知f(x)=

∴f(x)的最大值在x=4时取得,为6.

(2)依题意知f(x)=

即f(x)=作出图象如下(加粗部分),由图象可知f(x)的值域是∪(2,+∞).

典例3已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若

f(x)=则关于x的方程f(x)+a=0(0

答案1-2a

解析在平面直角坐标系中作出函数f(x)=以及y=-a的图象,由图象可知,关于x的方程f(x)+a=0(0

典例4(不等式问题)已知当动点P(x,y)满足时,不等式x2+y2+2y≥2a-1恒成立,则实数a的取值范围是.

答案

解析动点P(x,y)满足的约束条件为其可行域如阴影部分所示.x2+y2+2y=x2+(y+1)2-1,其中x2+(y+1)2表示点(x,y)到点(0,-1)的距离的平方,由图可知,点A(0,-1)到直线y=-x的距离的平方就是x2+(y+1)2的最小值,

由点到直线的距离的平方得x2+(y+1)2的最小值为=,

因此x2+y2+2y=x2+(y+1)2-1的最小值为-1=-,

所以由不等式恒成立的条件知2a-1≤-,解得a≤,故实数a的取值范围是.

典例5(解析几何问题)若抛物线y2=2px(p>0)上一点M到抛物线的准线和对称轴的距离分别为10和6,则点M的横坐标为.

答案9或1

解析在图(1)中,MN=MF=10,MG=6,∴FG=8,故AF=2,则x M=OF+FG=9,∴M的横坐标为9.在图(2)中,GF=8,∴AF=10+8=18,∴OG=AG-OA=10-9=1,故M的横坐标为1.

技法4 待定系数法

待定系数法就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为解

方程(组)的问题来解决.待定系数法主要用来解决所求解的数学问题中涉及某种确定的数学表达式的情况,例如求函数解析式、求曲线方程、求数列的通项公式等问题.

典例1(求函数解析式)(1)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2 f(x-1)=2x+17,求f(x).

(2)已知f(x)是二次函数,且f(0)=0, f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x).

解析(1)设f(x)=ax+b(a≠0),

则f(x+1)=ax+a+b, f(x-1)=ax-a+b,

∴3 f(x+1)-2 f(x-1)=ax+b+5a=2x+17,

∴解得∴f(x)=2x+7.

(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),

由f(0)=0,知c=0,∴f(x)=ax2+bx.

∵f(x+1)= f(x)+x+1,

∴a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1,

∴ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,

∴解得

∴f(x)=x2+x.

典例2(求曲线方程)(1)(2017天津,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为.

(2)已知椭圆C的焦点在x轴上,其离心率为,且过点A,则椭圆C的标准方程为.

答案(1)(x+1)2+(y-)2=1 (2)+y2=1

解析(1)由抛物线的方程可知F(1,0),准线方程为x=-1,设点C(-1,t),t>0,则圆C的方程为(x+1)2+(y-t)2=1,

因为∠FAC=120°,CA⊥y轴,

所以∠OAF=30°,在△AOF中,OF=1,

所以OA=,即t=,

故圆C的方程为(x+1)2+(y-)2=1.

(2)设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0).

因为e==,所以=,即a=2b.

故椭圆C的方程为+=1.

又点A在椭圆C上,所以+=1,

解得b2=1.

所以椭圆C的标准方程为+y2=1.

典例3(求数列的通项公式)(2018江苏南京调研)已知数列{a n}中,a1=0,a n+1=2a n+n(n∈N*),求数列{a n}的通项公式.

解析已知a n+1=2a n+n,

设a n+1+A(n+1)+B=2(a n+An+B),

则a n+1+An+A+B=2a n+2An+2B,

即a n+1=2a n+An+B-A,

则?

∴a n+1+n+1+1=2(a n+n+1),

∴{a n+n+1}是首项为a1+1+1=2,公比为2的等比数列,

∴a n+n+1=2·2n-1=2n,

∴a n=2n-n-1(n∈N*).

技法5 构造法

构造法是指利用数学的基本思想,通过已知和所求之间的联系,构造出解题的数学模型,从而使问题得以解决.构造法需以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础,针对具体问题的特点采取相应的解决办法,其基本的方法是借用一类问题的性质来确定另一类问题的相关性质.常见的构造法有构造函数、构造图形、构造方程等.

典例1(构造函数)已知可导函数f(x)(x∈R)的导函数f '(x)满足f(x)< f '(x),则不等式f(x)≥ f(2 019)e x-2 019的解集是.

答案[2 019,+∞)

解析构造函数g(x)=,因为f(x)< f '(x),所以g'(x)=>0,所以

g(x)=在R上单调递增.不等式f(x)≥f(2 019)e x-2 019可转化为≥,即g(x)≥g(2 019),即x≥2 019,故原不等式的解集为[2 019,+∞).

典例2(构造图形)(2018江苏四校高三调研)已知a>1,b>2,则的最小值为.

答案6

解析构造图形(如图),在直角三角形中由勾股定理可得(a+b)2=(+)2+9,则=(+)+≥6,