人教版八年级上册 直角三角形全等判定

直角三角形全等判定（基础）

要点一、判定直角三角形全等的一般方法

由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理. 要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理

在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.

要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.

（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.

证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三

角形全等的证明方法.

（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三

角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.

【典型例题】

类型一、直角三角形全等的判定——“HL”

1、已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．

求证：（1）AB＝CD：

（2）AD∥BC．

举一反三：

【变式】已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．

求证：ED⊥AC．

2、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理

由：

（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）

（2）一个锐角和斜边对应相等；（）

（3）两直角边对应相等；（）

（4）一条直角边和斜边对应相等．（）

举一反三：

【变式】（2015春?丘北县校级月考）下列说法正确的有（）（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等；

（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；

（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等；

（4）有两条边相等的两个直角三角形全等；

（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

3、已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD．

求证：AD＝BC；

、

举一反三：

【变式】已知，如图，AC、BD相交于O，AC＝BD，∠C＝∠D＝90° .

求证：OC＝OD.

【巩固练习】

一、选择题

1．（2015春?深圳校级期中）下列语句中不正确的是（）A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等

B ．有两边对应相等的两个直角三角形全等

C ．有两个锐角相等的两个直角三角形全等

D ．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等

2．如图，AB ＝AC ，AD ⊥ BC 于D ，E 、F 为AD 上的点，则图中共有（ ）对全等三角形．

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

3. 能使两个直角三角形全等的条件是( )

A.斜边相等

B.一锐角对应相等

C.两锐角对应相等

D.两直角边对应相等

4. 在Rt △ABC 与Rt △中, ∠C ＝ ∠ ＝ 90?, ∠A ＝ ∠, AB ＝, 那么下列结论中正确的是( )

A. AC ＝

B.BC ＝

C. AC ＝

D. ∠A ＝ ∠

5. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（ ）

A ．形状相同

B ．周长相等

C ．面积相等

D ．全等

6. 在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（ ）

A.一定全等

B.一定不全等

C.可能全等

D.以上都不是

二、填空题

7．如图，BE ，CD 是△ABC 的高，且BD ＝EC ，判定△BCD ≌△CBE 的依据是“______”．

8. 已知，如图，∠A ＝∠D ＝90°，BE ＝CF ，AC ＝DE ，则△ABC ≌

_______.

'''A B C 'C 'B ''A B ''A C ''B C ''B C '

A

9. 如图，BA∥DC，∠A＝90°，AB＝CE，BC＝ED，则AC＝_________.

10.（2014秋?蒙山县校级月考）如图，已知AD⊥BC，若用HL判定⊥ABD⊥⊥ACD，只需添加的

一个条件是．

11．有两个长度相同的滑梯，即BC＝EF，左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平方向的长度DF相等，则∠ABC＋∠DFE＝________．

12. 如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF＝AC，FD＝CD.则

∠BAD＝_______.

三、解答题

13. 如图，工人师傅要在墙壁的O 处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B 点处打开，墙壁厚

是35，B 点与O 点的铅直距离AB 长是20，工人师傅在旁边墙上与AO 水平的线上截取OC ＝35，画CD ⊥OC ，使CD ＝20，连接OD ，然后沿着DO 的方向打孔，结果钻头正好从B 点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．

14.（2014秋?黄石港区校级月考）如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在⊥AOB 的两边上分别取OM=ON ，再分别过点M 、N 作OA 、OB 的垂线，交点为P ，画射线OP ，则得到OP 平分⊥AOB ．请用你所学的知识说明其中的道理．

15. 如图，已知AB ＝AC ，AE ＝AF ，AE ⊥EC ，AF ⊥BF ，垂足分别是点E 、F.

求证：∠1＝∠2.

cm cm cm

cm

八年级上册全等三角形专题练习(解析版)

八年级上册全等三角形专题练习（解析版） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在锐角△ABC 中，AB=5，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD ，AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】 作BH ⊥AC ，垂足为H ，交AD 于M 点，过M 点作MN ⊥AB ，垂足为N ，则BM+MN 为所求的最小值，再根据AD 是∠BAC 的平分线可知MH=MN ，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】 如图，作BH ⊥AC ，垂足为H ，交AD 于M 点，过M 点作MN ⊥AB ，垂足为N ，则BM+MN 为所求的最小值． ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴MH=MN ，∴BH 是点B 到直线AC 的最短距离（垂线段最短）． ∵AB=5，∠BAC=45°，∴BH== 5． ∵BM+MN 的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=5． 故答案为5． 【点睛】 本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值． 2．如图，ABC ?中，90BAC ∠=?，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，

AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AE AF =；④//FG AC ；⑤EF FG =．其中正确的结论是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】 ①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C ，则 ∠C=12 ∠ABC ，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，得到∠ABF=∠EBD ．由于 ∠AFE=∠BAD+∠FBA ，∠AEB=∠C+∠EBD ，得到∠AFE=∠AEB ，可得③正确；④连接EG ，先证明△ABN ≌△GBN ，得到AN=GN ，证出△ANE ≌△GNF ，得∠NAE=∠NGF ，进而得到GF ∥AE ，故④正确；⑤由AE=AF ，AE=FG ，而△AEF 不一定是等边三角形，得到EF 不一定等于AE ，于是EF 不一定等于FG ，故⑤错误． 【详解】 ∵∠BAC=90°，AD ⊥BC ， ∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°， ∴∠ABC=∠DAC ，∠BAD=∠C ， 故①正确； 若∠EBC=∠C ，则∠C= 12 ∠ABC ， ∵∠BAC=90°， 那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°， 故②错误； ∵BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线， ∴∠ABF=∠EBD ， ∵∠AFE=∠BAD+∠ABF ，∠AEB=∠C+∠EBD ， 又∵∠BAD=∠C ， ∴∠AFE=∠AEF ， ∴AF=AE ， 故③正确； ∵AG 是∠DAC 的平分线，AF=AE ， ∴AN ⊥BE ，FN=EN ， 在△ABN 与△GBN 中，

直角三角形全等的判定

直角三角形全等的判定 一、选择题: 1. 两个直角三角形全等的条件是( ) A.一锐角对应相等; B.两锐角对应相等; C.一条边对应相等; D.两条边对应相等 2. 如图,∠B=∠D=90°，BC=CD ，∠1=30°，则∠2的度数为( ) A. 30° B. 60° C. 30°和60°之间 D. 以上都不对 3. 如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的 依据是( ) A. AAS B.SAS C.HL D.SSS 4. 已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC 和 △DEF 全等的是( ) A.AB=DE,AC=DF B.AC=EF,BC=DF C.AB=DE,BC=EF D.∠C=∠F,BC=EF 5. 如图,AB ∥EF ∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形( ) A.5对; B.4对; C.3对; D.2对 6. 要判定两个直角三角形全等,下列说法正确的有( ) ①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等. A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 1 2A B C D 第2题图 第5题图 第7题图 第8题图 7. 如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC △≌△的是（ ） A ．C B CD = B ．BA C DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠ D ．90B D ==?∠∠ 8. 如图，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，下列能使△ABD≌△ACD 的条件是（ ） A ． A B=AC B ． ∠BAC=90° C ． B D=AC D ． ∠B=45° B A E F D

直角三角形全等的判定

直角三角形全等的判定 一、教学目标 1．使学生理解判定两个直角三角形全等可用已经学过的全等三角形判定方法来判定． 2．使学生掌握“斜边、直角边”公理，并能熟练地利用这个公理和一般三角形全等的判定方法来判定两个直角三角形全等． 指导学生自己动手，发现问题，探索解决问题(发现探索法)． 由于直角三角形是特殊的三角形，因而它还具备一般三角形所没有的特殊性质．因为这是第一次涉及特殊三角形的特殊性，所以教学时要注意渗透由一般到特殊的数学思想，从而体现由一般到特殊处理问题的思想方法． 二、教学重点和难点 1．重点：“斜边、直角边”公理的掌握． 2．难点：“斜边、直角边”公理的灵活运用． 三、教学手段 利用三角板、小黑板、教具(剪好的三角形硬纸片若干个)． 四、教学过程 (一)复习提问 1．三角形全等的判定方法有哪几种？ 2．三角形按角的分类． (二)引入新课 前面我们学习了判定两个三角形全等的四种方法——SAS、ASA、AAS、SSS．我们也知道“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等”，这些结论适用于一般三角形． 我们在三角形分类时，还学过了一些特殊三角形(如直角三角形)．特殊三角形全等的判定是否会有一般三角形不适用的特殊方法呢？

我们知道，斜边和一对锐角对应相等的两个直角三角形，可以根据“ASA”或“AAS”判定它们全等，两对直角边对应相等的两个直角三角形，可以根据“SAS”判定它们全等. 如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等(边边角)，这两个三角形是否能全等呢？ 1．可作为预习内容(投影仪) 如图3-43，在△ABC与△A＇B＇C＇中，若AB=A＇B＇，AC=△A＇C＇，∠C=∠C＇=Rt∠，这时Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇是否全等？ 研究这个问题，我们先做一个实验： 把Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇拼合在一起(教具演示)如图3-44，因为∠ACB=∠A＇C＇B＇=Rt∠，所以B、C(C＇)、B＇三点在一条直线上，因此，△ABB＇是一个等腰三角形，于是利用“SSS”可证三角形全等，从而得到∠B=∠B＇．根据“AAS”公理可知，Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C＇． 2．下面我们再用画图的方法来验证：(同学们一同画图) 例1已知线段a，c(a＞c)如图3-45，画一个Rt△ABC，使∠C=90°，一直角边CB=a，斜边AB=c．

人教版八年级上册数学 全等三角形专题练习(解析版)

人教版八年级上册数学全等三角形专题练习（解析版） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将 △DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______． 【答案】363 【解析】 【分析】 分若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°；若AE＝EM；若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°三种情况讨论解答即可； 【详解】 解：①若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45° ∵∠C＝45° ∴∠AME＝∠C 又∵∠AME＞∠C ∴这种情况不成立； ②若AE＝EM ∵∠B＝∠AEM＝45° ∴∠BAE+∠AEB＝135°，∠MEC+∠AEB＝135° ∴∠BAE＝∠MEC 在△ABE和△ECM中， B BAE CEN AE EII C ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ? ， ∴△ABE≌△ECM（AAS）， ∴CE＝AB6， ∵AC＝BC2AB＝3

∴BE＝23﹣6； ③若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45° ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAE＝45° ∴AE平分∠BAC ∵AB＝AC， ∴BE＝1 BC＝3． 2 故答案为23﹣6或3． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键． 2．如图，在锐角△ABC中，AB=5，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】 作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】 如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN 为所求的最小值． ∵AD是∠BAC的平分线，∴MH=MN，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最

《直角三角形全等的判定》同步练习题

直角三角形 第2课时 直角三角形全等的判定 一、选择题: 1. 两个直角三角形全等的条件是( ) A.一锐角对应相等; B.两锐角对应相等; C.一条边对应相等; D.两条边对应相等 2. 如图,∠B=∠D=90°，BC=CD ，∠1=30°，则∠2的度数为( ) A. 30° B. 60° C. 30°和60°之间 D. 以上都不对 【 3. 如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的 依据是( ) A. AAS 4. 已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC 和 △DEF 全等的是( ) =DE,AC=DF =EF,BC=DF =DE,BC=EF D.∠C=∠F,BC=EF ) 5. 如图,AB ∥EF ∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形( ) 对; 对; 对; 对 6. 要判定两个直角三角形全等,下列说法正确的有( ) ①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等. 个 个 个 个 1 2A B C D 第2题图 第5题图 第7题图 第8题图 7. 如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC △≌△的是（ ） A ．C B CD = B ．BA C DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠ D ．90B D ==?∠∠ — B A E F C D

8. 如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（） A．A B=AC B．∠BAC=90°C．B D=AC D．, ∠B=45° 二、填空题: 9.有________和一条________对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角 边”或用字母表示为“___________”. 10.判定两个直角三角形全等的方法有______________________________. 11.如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，使△ABP≌△ CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是_________________________________ ~ 12.如图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD 交于点O，则有△________≌△________，其判定依据是________，还有△________≌△________，其判定依据是________． 第11题图第12题图第13题图 13.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F， 若BF=AC，则∠ABC=_______ 第14题图第15题图第16题图14.如图，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么图中有对全等三角形. % 15.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=4，PQ=AB，点P与点Q分

八年级上册全等三角形专题练习(word版

八年级上册全等三角形专题练习（word版 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为______cm． - 【答案】10310 【解析】 解：连接BD，在菱形ABCD中， ∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，分三种情况讨论： ①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10； ②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP -； 最小，最小值为10310 ③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在； -（cm）． 综上所述，PA的最小值为10310 -． 故答案为：10310 点睛：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． ∥，2．如图所示，ABC为等边三角形，P是ABC内任一点，PD AB，PE BC

PF AC ∥，若ABC 的周长为12cm ，则PD PE PF ++=____cm ． 【答案】4 【解析】 【分析】 先说明四边形HBDP 是平行四边形，△AHE 和△AHE 是等边三角形，然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可． 【详解】 解：∵PD AB ，PE BC ∥ ∴四边形HBDP 是平行四边形 ∴PD=HB ∵ABC 为等边三角形,周长为12cm ∴∠B=∠A=60°,AB=4 ∵PE BC ∥ ∴∠AHE=∠B=60° ∴∠AHE=∠A=60° ∴△AHE 是等边三角形 ∴HE=AH ∵∠HFP=∠A=60° ∴∠HFP=∠AHE=60° ∴△AHE 是等边三角形， ∴FP=PH ∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm 故答案为4cm ． 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键． 3．已知A 、B 两点的坐标分别为 （0，3），（2，0），以线段AB 为直角边，在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，使∠BAC ＝90°，如果在第二象限内有一点P （a ， 12 ），且△ABP 和△ABC 的面积相等，则a ＝_____． 【答案】-8 3．

直角三角形全等判定

课堂教学教案

节 一、 回 顾 交 流 ， 迁 移 拓 展 问题探究 情境导入 图1是两个直角三角形，除了直 角相等的条件，还要满足几个条件，? 这两个直角三角形才能全等？ 操作投影仪，提出“问题探究”，组 织学生讨论． ” 如图2所示． 舞台背景的形状是两个直角三角 形，工作人员想知道这两个直角三角 形是否全等，但每个三角形都有一条 直角边被花盆遮住无法测量． （1）你能帮他想个办法吗？ （2）如果他只带了一个卷尺，能 分四人小组，合作、讨论． 小组讨论，发表意见：“由 三角形全等条件可知，对 于两个直角三角形，满足 一边一锐角对应相等，或 两直角边对应相等，这两 个直角三角形就全等了． 思考问题，探究原理．

节 一、 回 顾 交 流 ， 迁 移 拓 展 尺规作图: 做一个直角 三角形与已 知直角三角 形重合完成这个任务吗？ 工作人员测量了每个三角形没有 被遮住的直角边和斜边，发现它们分 别对应相等，于是他就肯定“两个直 角三角形是全等的”，你相信他的结论 吗？ 【思路点拨】（1）学生可以回答 去量斜边和一个锐角，或直角边和一 个锐角，?但对问题（2）学生难以回 答．此时，?教师可以引导学生对工作 人员提出的办法及结论进行思考，并 验证它们的方法，从而展开对直角三 角形特殊条件的探索． 操作投影仪，提出问题，引导学生 思考、验证． 做一做如课本图12．2─11：任意画 出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一 个Rt?△A′B′C′，使B′C′=BC，A′ B′=AB，把画好的Rt△A′B′C′剪 下，放到Rt△ABC上，?它们全等吗？ 画一个Rt△A′B′C′， 使B′C′=BC,AB=AB;

数学八年级上册 全等三角形(篇)(Word版 含解析)

数学八年级上册全等三角形（篇）（Word版含解析） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形 （1）如图，在ABC ?中，25,105 A ABC ∠=?∠=?，过B作一直线交AC于D，若BD 把ABC ?分割成两个等腰三角形，则BDA ∠的度数是______． （2）已知在ABC ?中，AB AC =，过顶点和顶点对边上一点的直线，把ABC ?分割成两个等腰三角形，则A ∠的最小度数为________． 【答案】130? 180 7 ? ?? ? ?? 【解析】 【分析】 （1）由题意得：DA=DB，结合25 A ∠=?，即可得到答案； （2）根据题意，分4种情况讨论，①当BD=AD，CD=AD，②当AD=BD，AC=CD， ③AB=AC，当AD=BD=BC，④当AD=BD，CD=BC，分别求出A ∠的度数，即可得到答案． 【详解】 （1）由题意得：当DA=BA，BD=BA时，不符合题意， 当DA=DB时，则∠ABD=∠A=25°， ∴∠BDA=180°-25°×2=130°． 故答案为：130°； （2）①如图1，∵AB=AC，当BD=AD，CD=AD， ∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD， ∵∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴4∠B=180°， ∴∠BAC=90°． ②如图2，∵AB=AC，当AD=BD，AC=CD， ∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA， ∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B， ∴∠BAC=3∠B， ∵∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴5∠B=180°，

(完整)八年级上册数学全等三角形练习题

全等三角形[知识要点] 一、全等三角形 一般三角形直角三角形 判 定 边角边（SAS）、角边角（ASA） 角角边（AAS）、边边边（SSS） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等 （HL） 性 质 对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等 ②全等三角形面积相等． 2．证题的思路： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ） 找任意一边（ ） 找两角的夹边（ 已知两角 ） 找夹已知边的另一角（ ） 找已知边的对角（ ） 找已知角的另一边（ 边为角的邻边 ） 任意角（ 若边为角的对边，则找 已知一边一角 ） 找第三边（ ） 找直角（ ） 找夹角（ 已知两边 AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 例1在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是( ) A．1

3．如图，把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1．请 在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把4×4的正方形方格图形分割成两 个全等图形． 4．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠a的度数为 5．如图，已知0A=OB，OC=0D，下列结论中：①∠A=∠B；②DE=CE；③连OE，则0E平分∠0，正确的是( ) A．①② B。②③ C．①③ D．①②③ 6．如图，A在DE上，F在AB上，且AC=CE，∠l=∠2=∠3，则DE的长等于( )． A：DC B．BC C．AB D．AE+AC 7．如图，AB∥CD，AC∥DB，AD与BC交于0，AE⊥BC．于E，DF⊥BC于F，那 么图中全等的三角形有( )对 A．5 B．6 C．7 D．8 8.如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35度，得到△A′B′C, A′B′交AC乎点D，已知∠A′DC=90°，求∠A的度数 9..如图，在△ABE和△ACD中，给出以下四个论断：①AB=AC；②AD=AE③AM=AN④AD⊥DC，AE⊥BE．以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程 已知： 求证：

《直角三角形全等的判定》参考教案

三角形全等的判定（四） 直角三角形全等的判定 教学目标 1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程； 2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。 3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。新|课|标| 第|一| 网 教学重点 运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。 教学难点 熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。 教学过程 Ⅰ．提出问题，复习旧知 1、、、 2直角边 3 ”或“不全 根据（用简写法） （2）若∠A=∠D，BC=EF， 则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全 等” ） 根据（用简写法）新|课|标| 第|一| 网 （3）若AB=DE，BC=EF， 则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）

根据（用简写法） （4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF 则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ） 根据（用简写法） Ⅱ．导入新课 （一）探索练习：（动手操作）：已知线段a ，c (a

《全等三角形判定的条件组合(二)》热点专题高分特训(含答案)

全等三角形判定的条件组合（二）(人教版) 一、单选题(共7道，每道14分) 1.已知：如图，AB与CD相交于点E，AD=CB，要使△ADE≌△CBE，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是( ) A.AE=CE；SAS B.DE=BE；SAS C.∠D=∠B；AAS D.∠A=∠C；ASA 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定

2.已知：如图，∠ADB=∠ADC，要使△ABD≌△ACD，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是( ) A.BD=CD；SAS B.AB=AC；SAS C.∠B=∠C；ASA D.∠BAD=∠CAD；AAS 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定 3.已知：如图，点D在AB上，点E在AC上，且∠B=∠C，要使△ABE≌△ACD，需添加一个

条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是( ) A.AB=AC；AAS B.AE=AD；AAS C.BE=CD；ASA D.∠AEB=∠ADC；AAS 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定 4.已知：如图，在△ABC和△ADE中，已知∠BAC=∠DAE，要使△ABC≌△ADE，需添加两个条件，则下列添加的条件以及相应的判定定理正确的有( ) ①AC=AE，AB=AD，SAS；②AC=AE，BC=DE，SAS； ③∠B=∠D，BC=DE，AAS；④∠C=∠E，AC=AE，ASA；

⑤∠B=∠D，AC=AE，ASA. A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②⑤ 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定 5.已知：如图，在△ABC和△DEC中，AB=DE，要使△ABC≌△DEC，需添加两个条件，则下列添加的条件以及相应的判定定理正确的有( ) ①BC=EC，∠B=∠E，SAS；②BC=EC，AC=DC，SSS； ③∠B=∠E，∠ACB=∠DCE，ASA；④∠A=∠D，∠B=∠E，AAS．

直角三角形全等的判定练习题

直角三角形全等判定练习 一、选择题 1.△ABC 中，∠C=90°，AD 为角平分线，BC=32，BD ∶DC=9∶ 7, 则点D 到AB 的距离为( ) A.18cm B.16cm C.14cm D.12cm 2．在△ABC 内部取一点P 使得点P 到△ABC 的三边距离相等，则点P 应是△ABC 的哪三条线交点．（ ）（A ）高 （B ）角平分线 （C ）中线 （D ）边的垂直平分线 3．已知，如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是角平分线，BE=CF ，则下列说法正确的有几个 （ ）（1）AD 平分∠EDF ；（2）△EBD ≌△FCD ；（3）BD=CD ； （4）AD ⊥ BC ．（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 二、填空题 4．如图，在△ABC 和△ABD 中，∠C=∠D=90°，若利用“AAS ”证明△ABC ≌△ABD ，则需要加条件 _______或 ； 若利用“HL ”证明△ABC ≌△ABD ， 则需要加条件 或 ． 第4题 第5题 第6题 5.如图，有一个直角△ABC ，∠C=90°，AC=10，BC=5，一条线段PQ=AB ，P.Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AX 上运动，当AP= 时,才能使ΔABC ≌ΔPQA. 6.如图,在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于 D,DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6 cm ，则△DEB 的周长为___________cm. 三、解答题 7.如图，在△ABC 中，已知D 是BC 中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，DE ＝DF . 求证：AB=AC 8.已知：如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC ＝DC .你能说明BE 与DF 相等吗？ 9．已知如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，∠A=30°.求证:BD=14 AB 10.如图，在△ABC 中，AB =AC ，DE 是过点A 的直线，BD ⊥DE 于D ，CE ⊥DE 于E ． （1）若BC 在DE 的同侧（如图①）且AD =CE ，说明：BA ⊥A C ． （2）若BC 在DE 的两侧（如图②）其他条件不变，问AB 与AC 仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由． B A B C D E F 1 2

直角三角形全等的条件

1 B A M C 直角三角形 一、知识归纳： 1、直角三角形全等的条件：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成 或 2、直角三角形全等的判定： A A ′ 斜边直角边定理（HL ） AB=AB _____=_____ Rt △ABC ≌Rt △A ′B ′C ′ B C B ′ C ′ 3、注意： 1、斜边、直角边公理（HL ）只能用于证明直角三角形的全等，对于其它三角形不适用。 2、SSS 、SAS 、ASA 、AAS 适用于任何三角形，包括直角三角形。 二、典型例题 例1、如图,△ABC 中,∠C=90°,AM 平分∠CAB,CM= 20cm, 那么M 到AB 的距离是____cm. 例2、已知△ABC 和△A ′B ′C ′,∠C=∠C ′=90°,AC=A ′C ′,要判定△ABC ≌△A ′B ′C ′,必须添加条件为①________或②________或③________或④_________. 例3、如图,B 、E 、F 、C 在同一直线上,AF ⊥BC 于F,DE ⊥BC 于E,AB=DC,BE=CF, 若要说明AB ∥CD,理由如下: ∵AF ⊥BC 于F,DE ⊥BC 于E(已知) ∴△ABF,△DCE 是直角三角形 ∵BE=CF(已知) ∴BE+_____=CF+_______(等式性质) 即_______=___________(已证) ∴Rt △ABF ≌Rt △DCE( ) 三、课堂检测： 1.两个直角三角形全等的条件是( ) A.一锐角对应相等; B.两锐角对应相等; C.一条边对应相等; D.两条边对应相等 2.要判定两个直角三角形全等,需要满足下列条件中的() ①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边 B A E F C D

直角三角形全等的判定方法

直角三角形全等的判定 教学目的： 1、通过本节课的学习，进一步弄清全等三角形的判定定理：SAS、ASA、AAS、SSS。 2、通过探究，弄清直角三角形全等的判定定理：HL。 3、培养学生探究解决问题的能力和合作的品质。 教学要求： 1、熟练运用SAS、ASA、AAS、SSS。 2、理解并运用HL。 教学重点：引导学生分析、理解HL定理。 教学难点：熟练运用HL定理解决问题。 教学方法：探究、合作学习。 教学过程： 一、复习引入： 1、学生先说说三角形全等的判定定理有哪些？ 2、做一做： 具有下列条件的Rt△ABC和Rt△A′B′C′是否全等。 ①AC＝A′C′∠A＝∠A′ ②AC＝A′C′BC＝B′C′ ③AB＝A′B′∠B＝∠B′

④AC＝A′C′AB＝A′B′ 二、探究：已知Rt△ABC和Rt△A′B′C′，AC＝A′C′， AB＝A′B′，它们全等吗？ 推理过程：P.91 结论：斜边、直角边定理：HL 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 三、例题讲解：P.91、例1 结论：角平分线的性质；三角形的内心。 四、练习： 1、判断下列说法是否正确，说明理由。 ①②③④ 2、如图：AC＝AD，∠C＝∠D＝90°，你 能说明∠ABC与∠ABD为什么相等吗？ 3、如图：∠B＝∠E＝90°，AB＝AE， ∠1＝∠2，则∠3＝∠4，请说明理由。 4、议一议：已知∠ACB＝∠BDA＝90°， 要使△ABC≌BDA，还需要增加一个什么 条件？把它们分别写出来。 5、如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC，则△ABP≌△PDC，请说明理由。

新人教八年级上全等三角形提高压轴题

全等三角形提高压轴题 1. 如图所示，△AB C ≌△ADE ，BC 的延长线过点E ，∠ACB=∠AED=105°， ∠CAD=10°，∠B=50°，求∠DEF 的度数。 2. 如图，△AOB 中，∠B=30°，将△AOB 绕点O 顺时针旋转52°，得到△A ′OB ′，边 A ′ B ′与边OB 交于点 C （A ′不在OB 上），则∠A ′CO 的度数为多少？ 3. 如图所示，在△ABC 中，∠A=90°，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，若△ADB ≌△EDB ≌△ EDC ，则∠C 的度数是多少？ 4. 如图所示，把△ABC 绕点C 顺时针旋转35°，得到△A ′B ′C ，A ′B ′交AC 于点D ， 若∠A ′DC=90°，则∠A= 5. 已知，如图所示，AB=AC ，A D ⊥BC 于D ，且AB+AC+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm ，则AD 是多少？ A C A

6. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，分别过点B 、C 作过点A 的垂线BC 、CE ，垂足 分别为D 、E ，若BD=3，CE=2，则DE= 7. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，连接EF ，交AD 于G ，AD 与EF 垂直吗？证明你的结论。 8. 如图所示，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，D E ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 的面积是28cm 2 ,AB=20cm ，AC=8cm ，求DE 的长。 9. 已知，如图：AB=AE ，∠B=∠E ，∠BAC=∠EAD ，∠CAF=∠DAF ，求证：AF ⊥CD 10. 如图，AD=BD ，A D ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点H ，则BH 与AC 相等吗？ 为什么？ 11. 如图所示，已知，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且有BF=AC ， FD=CD ，求证：B E ⊥AC B C B B

全等三角形证明判定方法分类总结

全等三角形（一）SSS 【知识要点】 1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质： （1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等 3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形 （1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如 DEF ABC ??与全等，记作ABC ?≌DEF ? （2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等． （3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． （4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS ”． 如图，在ABC ?和DEF ?中??? ??===DF AC EF BC DE AB ABC ? ∴≌DEF ? 【典型例题】 例1．如图，ABC ?≌ADC ?，点B 与点 D 是对应点， ?=∠26BAC ，且 ?=∠20B ，1=?ABC S ，求 ACD D CAD ∠∠∠,,的度数及ACD ?的面积． 例 2．如图， ABC ?≌DEF ?， cm CE cm BC A 5,9,50==?=∠，求EDF ∠的度数及CF 的长． 例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠ 例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证： （1）ABC ?≌DEF ? （2）AB//DE ，BC//EF A D

八年级上册全等三角形单元测试与练习(word解析版)

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．如图，△ABC 中，AB=AC=BC，∠BDC=120°且BD=DC，现以D为顶点作一个60°角，使角两边分别交AB，AC边所在直线于M，N两点，连接MN，探究线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明． （1）如图1，若∠MDN的两边分别交AB，AC边于M，N两点．猜想：BM+NC=MN．延长AC到点E，使CE=BM，连接DE，再证明两次三角形全等可证．请你按照该思路写出完整的证明过程； （2）如图2，若点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点，其它条件不变，再探究线段BM，MN，NC之间的关系，请直接写出你的猜想（不用证明）． 【答案】（1）过程见解析；（2）MN= NC﹣BM． 【解析】 【分析】 （1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，根据△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，可以证得△MBD≌△ECD，可得MD=DE，∠BDM=∠CDE，再根据∠MDN =60°，∠BDC=120°，可证∠MDN =∠NDE=60°，得出△DMN≌△DEN，进而得到 MN=BM+NC． （2）在CA上截取CE=BM，利用（1）中的证明方法，先证△BMD≌△CED（SAS），再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得出结论． 【详解】 解：（1）如图示，延长AC至E，使得CE=BM，并连接DE．

∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°， ∴∠DBC=∠DCB=30° ∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°， 在△MBD与△ECD中， ∵BD CD MBD ECD BM CE ， ∴△MBD≌△ECD（SAS）， ∴MD=DE，∠BDM=∠CDE ∵∠MDN =60°，∠BDC=120°， ∴∠CDE+∠NDC =∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°，即：∠MDN =∠NDE=60°， 在△DMN与△DEN中， ∵MD DE MDN EDN DN DN ， ∴△DMN≌△DEN（SAS）， ∴MN=NE=CE+NC=BM+NC． （2）如图②中，结论：MN=NC﹣BM．

初中数学八年级《直角三角形全等的判定》优秀教学设计

§12.2.2 三角形全等的条件（第4课时） 一、教学目标 知识与技能：直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”． 过程与方法：经历探究直角三角形全等条件的过程，体会一般与特殊的辩证关系．掌握直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题． 情感、态度与价值观：通过画图、探究、归纳、交流使学生获得一些研究问题的经验和方法．发展实践能力和创新精神 二、教学重难点 教学重点:运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。 教学难点：熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。 三、教学过程 （一）单元导入，明确目标 1、判定两个三角形全等的方法：、、、 2、如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是 3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E， （1）若∠A=∠D，AB=DE， 则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”） 根据（用简写法） （2）若∠A=∠D，BC=EF， 则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”） 根据（用简写法） （3）若AB=DE，BC=EF， 则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”） 根据（用简写法） （4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF 则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”） 根据（用简写法） （二）问题引领，探究新知 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是 否全等，但两个三角形都有一条直角边 被花盆遮住无法测量．（播放课件） （1）你能帮他想个办法吗？ （2）如果他只带了一个卷尺，能完成这 个任务吗？ （1）[生]能有两种方法． 第一种方法：用直尺量出斜边的长度，再用量角器量出其中一个锐角的大小，若它们对应相等，根据“AAS”可以证明两直角三角形是全等的．

人教版八年级上册数学《全等三角形》知识点

人教版八年级上册数学《全等三角形》知识 点 定义 能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形中相似比为1：1的特殊情况） 当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角； (5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 表示：全等用“≌”表示，读作“全等于”。 判定公理 1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。 2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。 3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角

边角”)。 由3可推到 4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS 或“角角边”) 5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以， SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。 注意：在全等的判定中，没有AAA角角角和SSA(特例：直角三角形为HL，属于SSA)边边角，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。A是英文角的缩写(angle)，S是英文边的缩写(side)。 H是英文斜边的缩写（Hypotenuse），L是英文直角边的缩写（leg）。 6.三条中线（或高、角分线）分别对应相等的两个三角形全等。 性质 三角形全等的条件： 1、全等三角形的对应角相等。 2、全等三角形的对应边相等 3、全等三角形的对应顶点相等。 4、全等三角形的对应边上的高对应相等。 5、全等三角形的对应角平分线相等。

数学八年级上册 全等三角形专题练习(word版

数学八年级上册全等三角形专题练习（word版 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） ∥，1．如图所示，ABC为等边三角形，P是ABC内任一点，PD AB，PE BC ++=____cm． ∥，若ABC的周长为12cm，则PD PE PF PF AC 【答案】4 【解析】 【分析】 先说明四边形HBDP是平行四边形，△AHE和△AHE是等边三角形，然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可． 【详解】 ∥ 解：∵PD AB，PE BC ∴四边形HBDP是平行四边形 ∴PD=HB ∵ABC为等边三角形,周长为12cm ∴∠B=∠A=60°,AB=4 ∥ ∵PE BC ∴∠AHE=∠B=60° ∴∠AHE=∠A=60° ∴△AHE是等边三角形 ∴HE=AH ∵∠HFP=∠A=60° ∴∠HFP=∠AHE=60° ∴△AHE是等边三角形， ∴FP=PH ∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm 故答案为4cm． 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键． 2．如图，在锐角△ABC中，AB=5，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．

【答案】5 【解析】 【分析】 作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】 如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN 为所求的最小值． ∵AD是∠BAC的平分线，∴MH=MN，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短）． ∵AB=5，∠BAC=45°，∴BH==5． ∵BM+MN的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=5． 故答案为5． 【点睛】 本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值． 3．我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形