复化梯形积分公式
三种复化求积分算法的精度分析
【摘要】分别利用复化梯形公式、复化simpson公式和复化gauss-legendre i型公式对定积分进行运算，得到近似数值解，并对各算法的精度和计算复杂度进行了比较与分析。数值举例结果表明，三种复化求积分算法的运算结果均在绝对误差限ε=5e-8内，并且在相同的精度下，复化gauss-legendre i型公式的步长和计算量最小。 【关键词】复化梯形公式；复化simpson公式；gauss-legendre公式 1 引言 数值积分是计算数学的基本内容，在工程技术和科学计算中起着十分重要的作用，当积分的精确值不能不能求出时，数值积分就变得越来越重要。通常数值积分的计算常利用机械积分来实现，其基本思想为： （1） 2 理论模型 复化梯形求积公式 将区间[a，b]划分成n等分，分点xk=a+kh（，k=1，2，3…n），在每个子区间[xk，xk+1] （k=1，2，3 …n-1）上采用梯形式，则得到 （2） 记 （3） 上式（3）为复化梯形公式，其余项可由式 ，（a≤η≤b）（4） 得 ，ηk∈[xk，xk+1] （5） 由于 f（x）∈c2[a，b] 且 ，（0≤k≤n-1）（6） 所以∈（a，b），使 （7） 于是复化梯形公式余项为 （8） 复化simpson求积公式 将区间[a，b]划分为n等分，在每个子区间[xk，xk+1]上采用simpson式，若记，则得 （9） 记 （10） 上式（10）为复化simpson求积公式，其余项可由式 ，（a≤η≤b）（11） 得 ，ηk∈[xk，xk+1] （12） 于是当f（x）∈c4[a，b]时，与复化梯形公式相似有 ，η∈[a，b] （13） 复化gauss-legendre i型求积公式 gauss型求积公式是具有最高代数精度的插值求积公式。通过适当选取求积公式（1）的节点ε=5e-8和求积系数ak≥0和xk∈[a，b] （k=1，2，3…n），可使其代数精度达到最高的2n+1次。利用特殊区间[-1，1]上n+1次legendre正交多项式的根作为节点，我们可以建立gauss-legendre型求积公式。将区间[a，b]划分成n等分，分点xk=a+kh（，
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换复习提纲 第一章 复变函数 一、复变数和复变函数 ()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续 极限 A z f z z =→)(lim 0 连续 )()(lim 00 z f z f z z =→ 第二章 解析函数 一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。 二、柯西——黎曼方程 掌握利用C-R 方程?????-==x y y x v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。 掌握复变函数的导数： y x y x y y x x v iv iu u v iu y f i iv u x f z f +==-=+-=??=+=??= ΛΛ1)(' 三、初等函数 重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。 1、幂函数与根式函数 θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数 n k z i n n e r z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数 2、指数函数：)sin (cos y i y e e w x z +== 性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，z z e e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数 ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……） 性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:k k z z 1 )'(ln = 。 4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= i e e z iz iz 2sin --= 性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界 5、反三角函数（了解） 反正弦函数 )1(1 sin 2z iz Ln i z Arc w -+= =
利用复化梯形公式、复化simpson 公式计算积分
实验 目 的 或 要 求1、利用复化梯形公式、复化simpson 公式计算积分 2、比较计算误差与实际误差 实 验 原 理 （ 算 法 流 程 图 或 者 含 注 释 的 源 代 码 ） 取n=2,3,…,10分别利用复化梯形公式、复化simpson 公式计算积分1 20I x dx =?，并与真值进行比较，并画出计算误差与实际误差之间的曲线。 利用复化梯形公式的程序代码如下： function f=fx(x) f=x.^2; ％首先建立被积函数，以便于计算真实值。 a=0; ％积分下线 b=1; ％积分上线 T=[]; ％用来装不同n 值所计算出的结果 for n=2:10; h=(b-a)/n; ％步长 x=zeros(1,n+1); ％给节点定初值 for i=1:n+1 x(i)=a+(i-1)*h; ％给节点赋值 end y=x.^2; ％给相应节点处的函数值赋值 t=0; for i=1:n t=t+h/2*(y(i)+y(i+1)); ％利用复化梯形公式求值 end T=[T,t]; ％把不同n 值所计算出的结果装入 T 中 end R=ones(1,9)*(-(b-a)/12*h.^ 2*2); ％积分余项（计算误差） true=quad(@fx,0,1); ％积分的真实值 A=T-true; ％计算的值与真实值之差（实际误差） x=linspace(0,1,9); plot(x,A,'r',x,R,'*') ％将计算误差与实际误差用图像画出来 注：由于被积函数是x.^2，它的二阶倒数为2，所以积分余项为：(-(b-a)/12*h.^ 2*2)
实 验 原 理 （ 算 法 流 程 图 或 者 含 注 释 的 源 代 码）利用复化simpson 公式的程序代码如下： 同样首先建立被积函数的函数文件： function f=fx1(x) f=x.^4; a=0; ％积分下线 b=1; ％积分上线 T=[]; ％用来装不同n值所计算出的结果 for n=2:10 h=(b-a)/(2*n); ％步长 x=zeros(1,2*n+1); ％给节点定初值 for i=1:2*n+1 x(i)=a+(i-1)*h; ％给节点赋值 end y=x.^4; ％给相应节点处的函数值赋值 t=0; for i=1:n t=t+h/3*(y(2*i-1)+4*y(2*i)+y(2*i+1)); ％利用复化simpson公式求值end T=[T,t] ; ％把不同n值所计算出的结果装入T中 end R=ones(1,9)*(-(b-a)/180*((b-a)/2).^4*24) ; ％积分余项（计算误差） true=quad(@fx1,0,1); ％积分的真实值 A=T-true; ％计算的值与真实值之差（实际误差） x=linspace(0,1,9); plot(x,A,'r',x,R,'*')
梯形螺纹各部分名称
梯形螺纹各部分名称、代号及计算公式 名称代号计算公式 牙项间隙acP1.5～56～1214～44 ac0.250.51 大径d、D4d=公称直径，D4=d+ac 中径d2、D2d2=d-0.5P, D2=d2 小径d3、D1d3=d-2h3, D1=d-p 牙高h3、H4h3=0.5p+ac,H4=h3 牙顶宽f、f′f=f′=0.366p 牙槽底宽W、W′W=W′=0.366p-0.536ac 图2 梯形螺纹的几种切削方法 3.梯形螺纹测量 梯形螺纹的测量分综合测量、三针测量、和单针测量三种。综合测量用螺纹规测量，中径的三针测量与单针测量如图3所示，计算如下： 图3 梯形螺纹中径的测量
M=d2+4.864dD-1.866P (dD表示测量用量针的直径，P表示螺距。) A=（M+d0）/2 （此处d0表示工件实际测量外径） 二、梯形螺纹编程实例 例如图4所示梯形螺纹，试用G76指令编写加工程序。 1．计算梯形螺纹尺寸并查表确定其公差 大径d=36 0 –0.375； 中径d2=d-0.5P=36-3=33,查表确定其公差，故d2=33–0.118 –0.453；牙高h3=0.5P+ ac=3.5； 小径d3=d-2 h3=29,查表确定其公差，故d3=29 0 –0.537； 牙顶宽f=0.366P=2.196 牙底宽W=0.366P-0.536ac =2.196-0.268=1.928 用3.1mm的测量棒测量中径，则其测量尺寸M=d2+4.864dD-1.866P =32.88,根据中径公差确定其公差，则M=32.88–0.118 –0.453；
附录 附表1 普通螺纹直径与螺距系列(GB 193--81) 注：1。优先选用第一系列，其次是第二系列，第三系列尽可能不用。 2．括号内尺寸尽可能不用。 3．M14x1.25仅可用于火花塞。 4．M35x1.5仅用于流动轴承锁紧螺母。
复化梯形公式及复化辛普森公式的精度比较
实验四、复化梯形公式和复化Simpson公式的精度比较 （2学时） 一、实验目的与要求 1、熟悉复化Simpson公式和复化梯形公式的构造原理； 2、熟悉并掌握二者的余项表达式； 3、分别求出准确值，复化梯形的近似值，复化Simpson的近似值，并比较后两 者的精度； 4、从余项表达式，即误差曲线，来观察二者的精度，看哪个更接近于准确值。 二、实验内容： 对于函数 sin () x f x x =，试利用下表计算积分1 sin x I dx x =?。 表格如下： 注：分别利用复化梯形公式和复化Simpson公式计算，比较哪个精度更好。其中：积分的准确值0.9460831 I=。 三、实验步骤
1、熟悉理论知识，并编写相应的程序； 2、上机操作，从误差图形上观察误差，并与准确值相比较，看哪个精度更好； 3、得出结论，并整理实验报告。 四、实验注意事项 1、复化梯形公式，程序主体部分： for n=2:10 T(n)=0.5*T(n-1) for i=1:2^(n-2) T(n)=T(n)+(sin((2*i-1)/2^(n-1))/((2*i-1)/2^(n-1)))/2^(n-1)； end end 2、复化Simpson公式，程序主体部分： for i=1:10 n=2.^i x=0:1/n:1 f=sin(x)./x f(1)=1 s=0 for j=1:n/2
s=s+f(2*j) end t=0 for j=1:(n/2-1) t=t+f(2*j-1) end S(i)=1/3/n*(f(1)+4*s+2*t+f(n+1)) end 五．实验内容 复化梯形公式和复化辛普森公式的引入 复化梯形公式： 1 10[(()]2 n n k k k h T f x f x -+==+∑； 复化辛普森公式： 1 1102 [(4()()]6n n k k k k h S f x f x f x -++ ==++∑； 根据题意和复化梯形公式、复化辛普森公式的原理编辑程序求解代码如下： Matlab 代码 clc s=quad('sin(x)./x',0,1) p1=zeros(10,1);
复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结
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复变函数积分方法总结
数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新
形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，
也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：
z=x+iy i2=-1 ，x,y 分别称为 z 的实部和虚部，记作
x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ? θ?称为主值 -π＜θ?≤π ，
Arg=argz+2kπ 。利用直角坐标和极坐标的关系式 x=rcosθ ，
y=rsinθ,故 z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθ。
z=reiθ。
1.定义法求积分：
定义：设函数 w=f(z)定义在区域 D 内，C 为区域 D 内起点为 A 终点
为 B 的一条光滑的有向曲线，把曲线 C 任意分成 n 个弧段，设分点为
A=z0 ，z1，…，zk-1，zk，…，zn=B，在每个弧段 zk-1 zk(k=1,2…n)上任
取一点?k 并作和式 Sn=
(zk-zk-1)=
?zk 记?zk= zk-
zk-1，弧段 zk-1 zk 的长度 =
{?Sk}(k=1,2…,n),当
0 时，
不论对 c 的分发即?k 的取法如何，Sn 有唯一的极限，则称该极限值为
函数 f(z)沿曲线 C 的积分为：
=
?zk
设 C 负方向(即 B 到 A 的积分记作)
.当 C 为闭曲线时，f(z)
的积分记作
(C 圆周正方向为逆时针方向)
例题：计算积分
,其中 C 表示 a 到 b 的任一曲
复化数值积分
复化数值积分 由插值的龙格现象可知，高阶牛顿-柯特斯积分不能保证等距数值积分系列的收敛性，同时可证（略）高阶牛顿-柯特斯积分的计算是不稳定的。因此，实际计算中常用低阶复化梯形等积分公式。 7.3.1 复化梯形积分 把积分区间分割成若干小区间，在每个小区间上用梯形积分公式，再将这些小区间上的数值积分累加起来，称为复化梯形公式。复化梯形公式用若干个小 梯形面积逼近积分比用一个大梯形公式效果显然更好，如图7.4所示。这种作法使我们想起定积分定义，即它为被积函数无限分割的代数和。这也正是计算定积分最朴素的算法。 图7.4 复化梯形公式积分视图 复化梯形积分计算公式 对作等距分割，有，，于是
在上，，则有 记等分的复化梯形公式为，有 （7.11） 复化梯形公式截断误差 由，根据均值定理，当时，存在 ，有，于是 （7.12） 由此看到复化梯形公式的截断误差按照或者的速度下降，事实上，可以证明，只要在上有界并黎曼可积，当分点无限增多时，复化梯形公式收敛到积分。
记，则有 对于任给的误差控制小量，有 或 就有，式中表示取其最大整数。 7.3.2 复化辛普森积分 把积分区间分成偶数等分，记，其中是节点总数，是积分子区间的总数。 记，，在每个区间上用辛普森数值积分公式计算，则得到复化辛普森公式，记为。 复化辛普森积分计算公式 而，称
（7.13） 为复化辛普森积分公式，它是在上采用辛普森积分公式叠加而得。下面用图7.5显示复化辛普森积分计算公式中节点与系数的关系，取，在 每个积分区间上提出因子后，三个节点的系数分别是1，4，1；将4个积分区间 的系数按节点的位置累加，可以清楚地看到，首尾节点的系数是1，奇数点的系数是4，偶数点的系数是2。 图7.5 复化辛普森积分系数 复化辛普森公式的截断误差 设，在上的误差为 因此，
实验2复化数值积分法
西华数学与计算机学院上机实践报告 课程名称：计算方法C年级：2011级上机实践成绩： 指导教师：严常龙姓名： 上机实践名称：复化梯形积分与龙贝格积分方法学号：上机实践日期：2012.12.08上机实践编号：2上机实践时间： 一、目的 1．通过本实验加深对复化数值积分及龙贝格积分方法构造过程的理解； 2．能对复化梯形积分和龙贝格数值积分方法提出正确的算法描述编程实现。 二、内容与设计思想 自选积分问题，编制复化梯形积分和龙贝格积分的程序完成积分近似值的计算（从课件或教材习题中选题） 例如：利用龙贝格积分算法重新计算 1 2 3 4 x dx x + ?的值，使误差不超过0.5*10^(-6) 三、使用环境 操作系统：Windows 7 软件环境：VC++ 6.0 四、核心代码及调试过程 #include
x=a+(i-0.5)*h; fsum=fsum+f(x); } t2=(t1+h*fsum)/2.0; cout< 复化积分法（复化梯形求积，复化Simpson 公式，变步长求积法） MATLAB 编程实验报告 一、 问题描述： 编写函数实现复化积分法。 二、 实验步骤（过程）： （一）复化求积法 （1）复化梯形求积：用复化梯形求积公式求解 dx x x ?10sin function [f]=Tn(a,b,n,y) syms t; h=(b-a)/n; f=0; for k=1:n+1 x(k)=a+(k-1)*h z(k)=subs(y,t,x(k)); end for i=2:n f=f+z(i); end q=subs(y,t,a); if y=='sin(t)/t'&&a==0 q=1; end p=subs(y,t,b); T=h/2*(q+p+2*f); T=vpa(T,7) clc,clear; syms t; a=0;b=1; y=sin(t)/t; n=8; Tn(a,b,n,y); （2）复化Simpson 公式：用复化Simpson 公式求解?211dx e x function [f]=simpson(a,b,n,y) syms t; h=(b-a)/n; f=0;l=0; for k=1:n+1 x(k)=a+(k-1)*h w(k)=0.5*h+x(k) z(k)=subs(y,t,x(k)); end for i=2:n f=f+z(i); end for i=1:n l=l+w(i); end q=subs(y,t,a); if y=='sin(t)/t'&&a==0 q=1; end p=subs(y,t,b); T=h/2*(q+p+2*f); T=vpa(T,7) clc,clear; syms t; a=1;b=2; y=exp(1/t); n=5; simpson(a,b,n,y); （3）变步长求积法：以书本例4.5为例function [f]=TN(a,b,y,R0) syms t; T=[]; f=0; q=subs(y,t,a); if y=='sin(t)/t'&&a==0 q=1; end p=subs(y,t,b); T(1)=(b-a)/2*(q+p); i=2; n=i-1; h=(b-a)/n; z1=a+h/2; z2=subs(y,t,z1); 梯形螺纹的基础知识 1．梯形螺纹的作用及种类 梯形螺纹是常用的传动螺纹，精度要求比较高。如车床的丝杠和中、小滑板的丝杆等。梯形螺纹有两种，国家标准规定梯形螺纹牙型角为30o。英制梯形螺纹的牙型角为29o，在我国较少采用。2．梯形螺纹的标记 梯形螺纹的标记由螺纹代号、公差带代号及旋合长度代号组成。梯形螺纹代号用字母Tr及公称直径×螺距与旋向表示，左旋螺纹旋向为LH，右旋不标。 梯形螺纹公差带代号仅标注中径公差带，如7H、7e，大写为内螺纹，小写为外螺纹。 梯形螺纹的旋合长度代号分N、L两组，N表示中等旋合长度，L表示长旋合长度。 标记示例： Tr22×5—7H 表示梯形螺纹，公称直径为22mm，螺距为5mm，中径公差带代号为7H。 3．梯形螺纹的牙型 4.梯形螺纹各部分名称、代号、计算公式及基本尺寸确定 5、梯形螺纹的车削方法 a）左右切削法 b）车直槽法 c）车阶梯槽法 1．梯形外螺纹的车削 （1）螺距小于4mm和精度要求不高的工件，可用一把梯形螺纹车刀，并用少量的左右切削法车削。 （2）螺距大于4mm和精度要求高的梯形螺纹，一般采用车直槽法，分刀车削，先用车槽刀车出螺旋槽，再用梯形螺纹车刀进行车削。具体做法如下： a)车梯形螺纹时，螺纹顶径留0.3mm左右余量，且倒角与端面成15°。 b)选用刀头宽度稍小于槽底宽的车槽刀，粗车螺纹（每边留0.25～ 0.35mm左右的余量）。 c)用梯形螺纹车刀采用左右切削法车削梯形螺纹牙型两侧面，每边留01～0.2mm的精车余量，并车准螺纹小径尺寸。 d)精车大径至图样要求。 e)选用梯形螺纹精车刀，采用左右切削法完成螺纹加工。 2．梯形内螺纹的车削 梯形内螺纹的车削与车削三角形内螺纹基本相同。车削梯形内螺纹时，进刀深度不易掌握，可先车准螺纹孔径尺寸，然后粗车。精车时应不进刀车削2～3次，以消除刀杆的弹性变形，保证螺纹的精度要求。 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！ 复变函数与积分变换公 式 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值 ()arg z 是位于(,]ππ- 中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+?? 数值分析第五次程序作业 PB09001057 孙琪 【问题】 分别编写用复化Simpson积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序；用如上程序计算积分： 取节点并分析误差； 简单分析你得到的数据。 【复化Simpson积分公式】 Simpson法则： 使用偶数个子区间上的复合Simpson法则： 设n是偶数， 则有 将Simpson法则应用于每一个区间，得到复合Simpson法则： 公式的误差项为： 其中δ 【复化梯形积分公式】 梯形法则：对两个节点相应的积分法则称为梯形法则： 如果划分区间[a,b]为： 那么在每个区间上可应用梯形法则，此时节点未必是等距的，由此得到复合梯形法则： 对等间距h=(b-a)/n及节点，复合梯形法则具有形式： 误差项为： 【算法分析】 复合Simpson法则和复合梯形法则的算法上述描述中都已介绍了，在此不多做叙述。 【实验】 通过Mathematica编写程序得到如下结果： 利用复化Simpson积分公式得： 可以看出，当节点数选取越来越多时，误差项越来越小，这从复合的Simpson公式很好看出来，因为在每一段小区间内，都是用Simpson法则去逼近，而每一段的误差都是由函数在该区间内4阶导数值和区间长度的4次方乘积决定的，当每一段小区间越来越小时，相应的每一段小区间内的逼近就会越来越好，从而整体的逼近效果就会越来越好。 利用复化梯形积分公式得： 可以看出，当节点数选取越来越多时，误差项越来越小，这从复合的梯形公式很好看出来，因为在每一段小区间内，都是用梯形法则去逼近，而每一段的误差都是由函数在该区间内2阶导数值和区间长度的2次方乘积决定的，当每一段小区间越来越小时，相应的每一段小区间内的逼近就会越来越好，从而整体的逼近效果就会越来越好。 【分析】 通过对上述两种法则的效果来看，复合Simpson法则的误差要比复合梯形法则收敛到0更快，说明复合Simpson法则逼近到原来的解更快，这主要是因为在每一段小区间内，复合Simpson法则利用得是Simpson法则，复合梯形法则利用得是梯形法则，前者的误差项要比后者的误差项小很多，因此造成了逼近速度的不一样。 复变函数与积分变换 第一章 复变函数 一、复变数和复变函数 ()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续 极限 A z f z z =→)(lim 0 连续 )()(lim 00 z f z f z z =→ 第二章 解析函数 一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。 二、柯西——黎曼方程 掌握利用C-R 方程?????-==x y y x v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。 掌握复变函数的导数： y x y x y y x x v iv iu u v iu y f i iv u x f z f +==-=+-=??=+=??= 1)(' 三、初等函数 重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。 1、幂函数与根式函数 θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数 n k z i n n e r z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数 2、指数函数：)sin (cos y i y e e w x z +== 性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，z z e e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数 ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……） 性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:k k z z 1 )'(ln = 。 4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= i e e z iz iz 2sin --= 性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界 5、反三角函数（了解） 反正弦函数 )1(1 sin 2z iz Ln i z Arc w -+== 反余弦函数 )1(1 cos 2-+= =z z Ln i z Arc w 实验五 一、实验名称 复合梯形积分和复合Simpson 积分计算数值积分 二、实验目的与要求： 实验目的: 掌握复合梯形积分和复合Simpson 积分算法。 实验要求：1.给出复合梯形积分和复合Simpson 积分算法思路， 2.用C 语言实现算法，运行环境为Microsoft Visual C++。 三、算法思路： 我们把整个积分区间[a,b]分成n 个子区间[xi,xi+1]，i=0，1,2,…,n，其中x0=a ，xn+1=b 。这样求定积分问题就分解为求和问题： ?∑?=-==b a n i x x i i dx x f dx x f S 11)()( 当这n+1个结点为等距结点时，即n a b h ih a x i /)(-=+=，其中，i=0,1,2,…,n ，复化梯形公式的形式是 ∑=-+=n i i i n x f x f h S 1 1)]()([2 算法： input n 0.0←S for i=1 to n do ))()((2 1i i x f x f h S S ++ ←- end do output S 如果n 还是一个偶数，则复合Simpson 积分的形式是 ∑=--++=2 /1 21222)]()(4)([3n i i i i n x f x f x f h S 算法： input n 0.0←S for i=1 to n/2 do ))()(4)((3 21222i i i x f x f x f h S S +++ ←-- end do output S 四、实验题目： 五、问题的解： 编写程序（程序见后面附录），输出结果如下： 摘要 求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。 在用近似值代替真实值时，遇到的问题就是近似值的代数精度是否足够。当代数精度不足够时，很显然提高插值函数的次数是一种方法，但是考虑到数值计算的稳定性，当次数过高时，会出现龙格现象，用增大n的方法来提高数值积代数精度是不可取的。因此，提出类似于分段插值，为了减少数值积分的误差，可以把积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶数值积分公式，然后把这些小区间上的数值积分结果加起来作为函数在整个区间上的近似值，这个就是复化数值积分的思想。 本实验针对在每个小区间上利用抛物线积分公式，即阶数为2，进行实验。 关键词：龙格现象复化数值积分代数精度复化抛物线积分公式 1、实验目的 1)通过本次实验体会并学习复化抛物线积分公式的优点。 2)通过对复化抛物线积分公式进行编程实现，提高自己的编程能力。 3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。 2、算法流程 已知定积分的抛物线积分公式及其误差为 {∫f(f)ff f f ≈ f?f 6 [f(f)+4f( f+f 2 )+f(f)] f2[f]=? (f?f)5 f4(f),f∈(f,f) 根据数学知识，我们知道积分区间可划分，且不改变积分值，即如下所示： ∫f(f)ff= f a ∑∫f(f)ff f f f f?1 f f=1 针对上式，在每一个小区间上利用抛物线积分公式有 ∫f(f)ff f f f f?1≈ f 6 [f(f k?1)+4f(f f? 1 2 )+f(f k)]? f5 2880 f4(f f) 得到 ∫f(f)ff f a =∑∫f(f)ff f f f f?1 f f=1 =∑f 6 [f(f k?1)+4f(f f? 1 2 )+f(f k)]? f5 2880 ∑f4(f f) f f=1 f f=1 其中f f?1/2=1 2(f k?1+f k)=a+(k?1 2 )f,令 复变函数积分方法总结 经营教育 乐享 [选取日期] 复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。arg z=θ? θ?称为主值-π＜θ?≤π，Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式 e iθ=cosθ+isinθ。z=re iθ。 1.定义法求积分： 定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0，z1，…， z k-1，z k，…，z n=B，在每个弧段z k-1 z k(k=1,2…n)上任取一点?k并作和式S n=?(z k-z k-1)=??z k记?z k= z k- z k-1，弧段z k-1 z k的长度 ={?S k}(k=1,2…,n),当0时，不论对c的分发即?k的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为： =??z k 设C负方向(即B到A的积分记作).当C为闭曲线时，f(z)的积分记作(C圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分,其中C表示a到b的任一曲线。（1）解：当C为闭合曲线时，=0. ∵f(z)=1 S n=?(z k-z k-1)=b-a ∴=b-a,即=b-a. (2)当C为闭曲线时，=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分存在，设?k=z k-1,则 ∑1= （）(z k-z k-1) 有可设?k=z k，则 ∑2= （）(z k-z k-1) 因为S n的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以 S n= (∑1+∑2)==b2-a2 ∴=b2-a2 1.2 定义衍生1：参数法： f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入得： 数值分析实验 三 班级：10信计2班 学号：59 姓名：王志桃 分数 一·问题提出： 选用复合梯形公式，复合Simpson 公式，计算 （1） I =dx x ?-4 10 2sin 4 ()5343916.1≈I （2） I = dx x x ?1 sin ()9460831.0,1)0(≈=I f （3） I = dx x e x ?+1 024 （4） I = () dx x x ?++1 021 1ln 二·实验要求： 1.编制数值积分算法的程序 2.分别用两种算法计算同一个积分，并比较计算结果 3.分别取不同步长()/ a b h -=n ，试比较计算结果（如n = 10, 20 等） 4.给定精度要求ε，试用变步长算法，确定最佳步长 三·实验流程图： 复化梯形公式： 输入 端点 a , b 正整数 n 直接计算TN=h/2*[f(a)+2∑f(x k )+f(b)] k=1,2…,n-1 输出 定积分近似值TN 复化Simpson 公式 输入 端点 a , b 正整数 n 输出 定积分近似值SN （1） 置h=(b-a)/(2n) （2） F0=f(a)+f(b) ， F1=0 ， F2=0 （3） 对j=1,2,…,2n-1循环执行步4到步5 （4） 置x=a+jh （5） 如果j 是偶数，则F2=F2+f(x)，否则F1=F1+f(x) （6） 置SN=h(F0+4F1+2F2)/3 （7） 输出SN,停机 四·源程序： #include 武汉工程大学 计算机科学与工程学院 计算方法》实验报告 日期：年月日 实验内容 设计分 析 复化数值积分:将区间[a,b]n 等分，取等 距节点 x i a ih,i ba 0,1,2,..., n, h n 由定积分的区间可加性， 有 n f x dx x i x i 1 f x dx 在每个小区间上利用梯形积分公 式有 x i i f x dx x i 1 h f x i 1 f x i 2 i 1 i h n1 T n f a f b 2 f x i 一般记 2 i1 称做n+1 点复化梯形积分公 式。 数学公式： b h n1 f xdx f a f b 2 f x i a 2 i1 算法描述： i1 Step1:输入a,b 和正整数n； Step2:置h=(b-a)/n; Step3:F=f(a)+f(b);l=0; Step4:对j=1,2,?,n 循环执行 5； Step5:置x=a+jh; l+=f(x); Step6:置T=h(F+2l)/2 Step7: 输出T; 程序源代码: #include < 复变函数练习题 第三章 复变函数的积分 系 专业 班 姓名 学号 §1 复变函数积分的概念 §4 原函数与不定积分 一．选择题 1．设C 为从原点沿2 y x =至1i +的弧段，则2()C x iy dz +=? [ ] （A ） 1566i - （B ）1566i -+ （C ）1566i -- （D ）15 66 i + 2. 设C 是(1)z i t =+，t 从1到2的线段，则arg C zdz =? [ ] （A ） 4 π （B ）4i π （C ）(1)4i π+ （D ）1i + 3．设C 是从0到12 i π+的直线段，则z C ze dz =? [ ] （A ）12e π- （B ）12e π-- （C ）12ei π+ （D ）12 ei π - 4．设()f z 在复平面处处解析且 ()2i i f z dz i ππ π-=?，则积分()i i f z dz ππ--=? [ ] （A ）2i π （B ）2i π- （C ）0 （D ）不能确定 二．填空题 1． 设C 为沿原点0z =到点1z i =+的直线段，则 2C zdz =? 2 。 2． 设C 为正向圆周|4|1z -=，则22 32 (4) C z z dz z -+=-? 10.i π 三．解答题 1．计算下列积分。 （1） 323262121 ()02 i z i i z i i i e dz e e e ππ ππππ---==-=? 2 2222sin 1cos2sin 222 4sin 2.244i i i i i i zdz z z z dz i e e e e i i i i ππππππππππππππ------??==- ?????--=-=-=+ ?? ? ?? （3） 1 1 0sin (sin cos )sin1cos1. z zdz z z z =-=-? （4） 20 222 cos sin 1sin sin().2 22 i i z z dz z i ππππ= =?=-? 2．计算积分||C z dz z ?的值，其中C 为正向圆周： （1） 220 0||2 2,022224. 2 i i i z C z e e ie d id i θθ ππθθπ θθπ-==≤≤?==? ?积分曲线的方程为 则原积分I= 《复合梯形公式》实验报告 实验名称：验证数值积分求积公式及复合梯形公式程序设计成绩：___________ 专业班级：数学与应用数学1202班姓名：王晓阳学号：2012254010228 实验日期：2014 年10月20日 实验报告日期：2014年11月3日 一．实验目的 1掌握定积分的数值求解方法，验证数值积分求积公式. 2.掌握数值积分的基本思想. 3.掌握matlab实现数值积分函数的调用格式. 4.编写复合梯形公式matlab程序及学会调用. 5.学会用复合梯形公式求函数近似解. 二、实验内容 1.数值积分的实现 (1)被积函数是一个解析式 Matlab提供了quad函数和quadl函数来求定积分.它们的调用格式为： Quad(filename,a,b,tol,trace) Quadl(filename,a,b,tol,trace) 其中filename 是被积函数名。a 和b 分别是定积分的下限和上限。Tol 用来控制积分精度，默认时取610tol -=。Trace 控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，默认时取trace=0。 例6.20 用两种不同的方法求2 10x I e dx -=?. (2)被积函数由一个表格定义 在matlab 中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X 、Y 定义函数关系Y=f(X).X 、Y 是两个等长的向量； ()12,,n X x x x =，()12,,n Y y y y =，并且12n x x x <<<，积分区间是[]1,n x x 。 例6.21用trapz 函数计算210 x I e dx -=?. (3)二重积分数值求解 Matlab 提供的dblquad 函数可以直接求出二重定积分的数值解。该函数的调用格式为：I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace) 该函数求f(x,y)在[a,b]*[c,d]区域上的二重定积分。 例6.22 计算二重定积分()2 122212sin x e x y dxdy ---+? ? 2.复合梯形公式 由于牛顿-柯特斯公式在8n ≥时不具有稳定性，故不可能通过提高阶的方法来提高求积精度.为了提高精度通常可把积分区间分成若干子区间(通常是等分)，再在每个子区间上用低阶求积公式，这种方法称为复合求积法. 将区间[],a b 划分为n 等份，分点0,0,1, k x x kh k n =+=，0,,n b a a x b x h n -=== ，在每个子区间[]1,k k x x +上采用梯形公式复化积分法(复化梯形求积,复化Simpson公式,变步长求积法)MATLAB编程实验报告
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选用复合梯形公式复合Simpson公式计算
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第三章-复变函数的积分(答案)
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