高中数学求轨迹方程的六种常用技法

求轨迹方程的六种常用技法

轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就

是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途

而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解

题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用

技法。

1．直接法

根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜

率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。

4 例 1．已知线段AB 6，直线AM ,BM 相交于M ，且它们的斜率之积是，求点M

9

的轨迹方程。

解：以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴建立坐标系，则A( 3,0), B(3,0) ，设点M 的坐标为(x, y)，则直线AM 的斜率k AM y (x 3) ，直线BM 的斜

AM x 3

率k AM y (x 3)

x3

由已知有y?y 4(x 3)

x 3 x 3 9

x2y2

化简，整理得点M 的轨迹方程为x y1(x 3)

94

练习：

1．平面内动点P到点F(10,0)的距离与到直线x 4的距离之比为 2，则点P的轨

迹方

程是。

2．设动直线l 垂直于x轴，且与椭圆x2 2y2 4交于A、B两点，P是l上满足PA PB 1的点，求点P 的轨迹方程。

3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 , 在过其中一条直线且平行于另一条直

线的平面内的轨迹是 ( ) A ．直线B．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线2．定义法

通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做

定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。

例 2．若B( 8,0), C(8,0) 为ABC的两顶点，AC 和AB两边上的中线长之和是30，

则 ABC 的重心轨迹方程是

解：设 ABC 的重心为 G(x,y)，则由 AC 和 AB 两边上的中线长之和是 30可得

BG CG 32 30 20，而点B( 8,0), C(8,0)为定点，所以点G 的轨迹为以 B,C 为

焦点的椭圆。

所以由 2a 20, c 8可得 a 10,b

a 2 c 2 6

2

2

2 2

x 12

y 12 1 ①

x 22 y 22 1 ②

4

2

4 2 ① ②可得

(x 1 x 2)( x 1

x 2) ( y

1

y 2)( y y 2) 0

4

2

而 P (1,1) 为线段 AB 的中点，故有 x 1 x 2 2, y 1 y 2 2

所以

( x 1 x 2) 2 ( y 1 y 2) 2 0 y 1

y 2 1

1 ，即

k AB 1

4 2

x 1 x 2 2 AB

2

所以所求直线方程为 y 1

12

(x

1) 化简可得 x 2 y 3 0

练习：

5．已知以 P(2, 2) 为圆心的圆与椭圆

x 2

2y 2 m 交于

A 、

B 两

点，

求弦 AB 的中点

M

ABC 的重心轨迹方程是 100 36

2

y

1(y 0)

练习：

4．方 2 (x 1)2 (y 1)2 | x A ．椭圆 B ．双曲线 3．点差法

圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点

y 2| 表示的曲线是 ( )

C ．线段

D ．抛物线

A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) 的坐标代入圆锥曲线方程， y 1 y 2 ，

x 1 x 2 ，

y 1 y 2 等关系式，由于弦

x 1 x 2 ，

P(x,y) 的坐标满足 2x x 1 x 2 ， 然而相减，利用平方差公式可得 AB y 2 y 1

2y y 1 y 2且直线 AB 的斜率为 2 1 ，

x x

由此可求得弦

A B 中点的轨迹方程。 2

x 例 3 ．椭圆 x

4

2

y

2 1中,过 P(1,1)的弦恰被 P

点平分 , 则该弦所在直线方程为

解：设过点 P(1,1)的直线交椭圆于 A(x

1,y 1)、 B(x 2,y 2)，则有

x 1x 2 4 x 1 x 2 4

的轨迹方程。

2

6．已知双曲线 x 2 y 1，过点 P(1,1)能否作一条直线 l 与双曲线交于 A, B 两点，使 P

2

为线段 AB 的中点？

4．转移法 转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。 当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程： ① 某个动点 P 在已知方程的曲线上移动； ② 另一个动点 M 随 P 的变化而变化；

③ 在变化过程中 P 和M 满足一定的规律。

22

xy

例 4．已知 P 是以 F 1,F 2为焦点的双曲线

1上的动点，求 F 1F 2P 的重心 G 的

1 2 16 9 1 2

轨迹方程。

例5．抛物线 x 2 4 y 的焦点为 F ,过点(0, 1)作直线 l 交抛物线 A 、B 两点,再以 AF 、

BF 为邻边作平行四边形 AFBR ，试求动点 R 的轨迹方程。

解法一：(转移法) 设R(x, y) ，∵ F (0,1) ，∴平行四边形 AFBR 的中心为 P(x , y 1)， 22 将 y kx 1 ，代入抛物线方程 ,得 x 2 4kx 4 0 ，

设

A(x 1, y 1), B(x 2, y 2)，则

16k 2 16 0 |k | 1 x 1 x 2 4k

x 1 x 2 4k ①

解：设 重心 G(x, y) ，点 P (x 0 , y 0) ，因为 F 1( 4,0), F 2 (4,0)

x

则有 y 4 4 x0

3 0 0 y0

3 故

x0 3x

代入

x

0 y 0

y 0 3 y 16 9

得所求轨迹方程 9x 2

16

y 2 1(y 0)

y 2( x 4) 的对称点，求动点 P 的轨迹方程。

5．参数法 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的

动点的轨迹方 程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。 在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方程表示 不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某 些变量的取值范围的变化等等。

22

x 1 x 2

∴

y 1 y 2

2

(x 1 x 2 ) 2x 1x 2

4k

2

2，

∵ P 为 AB 的中点 .∴

x 1 2

x 2

2k

y 1 y 2

2

2k 2

4k 4k 2

，消去 k 得

2

x 2 4(y 3) ，由①得， | x|

4 ，故动点 R 的轨迹方程为

4(y 3)(| x | 4) 。

解法二：(点差法) 设 R( x, y) ∵ F (0,1) ，∴平行四边形 AFBR 的中心为 P(x , y 1)，

22

设

A(x 1, y 1), B(x 2, y 2 ) ，则有

22

x 1 4 y 1 ① x 2 由

① ②得

(x 1 x 2)( x 1 x 2)

4 y 2 ②

4( y 1 y 2)

x 1

x 2

4k l

而 P 为 AB 的中点且直线 l 过点 (0, 1) ，所以 x 1 x 2 x,k l

y11

2

x 2

y 3 2

入③可得 x 4 ，化简可得 x 2 4 y

x

12

12 ④

4

由点P(2x ,y 21)在抛物线口内，可得

4 y 21

x 2 8(y 1)⑤

将④式代入⑤可得 x 2

8( x 2 12

4

1) x 2 16 | x|

故动点 R 的轨迹方程为 练习：

x 2 4( y 3)(| x| 4) 。

7．已知 A( 1,0), B(1,4) ，在平面

动点 Q 满足 QA QB 4，点 P 是点 Q 关于直线

例 6．过点 M ( 2,0) 作直线 l

交双曲线 x 2 y 2 1于 A 、B

两点，已知 OP

(1)求点 P

的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线； ( 2)是否存在这样的直线 说明理由。 解：当直线 l

的斜率存在时，设 22 4k 2x 4k 2 1

l ，使 OAPB 矩形？若存在，求出 l

的方程； l 的方程为 y k(x 2)(k 0)

，代入方程 x 2

若不存在， 2 y 2 1

，得 22 (1 k 2 )x

2 因为直线

l

与双曲线有两个交点，所以

设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)

，则 x 1 x 2

22

4k 2 ,x x 4k 2 1

2 ,x 1x 2 2 1 k k 1

y 1 y 2

k(x 1 2) k(x 2 2) k(x 1

x 2) 4k

k 4k 2 1 k 2

4k

4k 1 k 2

设 P(x, y) ，由

OP OA OB 得 (x, y) (x 1 x 2, y 1 y 2 )

4k 2 ,

4k )

1 k

2 ,1 k 2 )

4k 2 1 k

2

4x

4k 1 k 2

x

所以

y

k ，代入 y

4k 1 k 2 可得 y

y ，化简得 1 (x )2

y

22

xy

当直线l 的斜率不存 在时， (x 2)2 y 2 4(y 0) ，其轨迹为双曲线。 ( 2)平行四边 OPAB 为矩形的充要条件是 当 k 不存在时， A 、 当 k 存在时， x 1x 2 4x y 2 4 ② 易求得 P( 4,0) 满足方程 ②，故 所求轨迹 方程为 考虑用点差法求解曲线方程) OB 0 即

x 1x 2 y 1y 2 0 ③ B 坐标分别为 ( 2, 3)、( 2, 3) ，不满足③式 0即 (x 2)2 y 1y 2 x 1x 2 x 1x 2 k(x 1 2)k( x 2 2) (1 k 2)x 1x 2 2k 2(x 1 x 2) 4k 2 (1 k 2)(1 4k 2 )

1 k 2

2k 2 4k 2 k 2 1

4k 2 0 化简得 k 2 1

k 2

1

，

此方程无实数解，故不存在直线

练习： l 使 OPAB

为矩形。 8．设椭圆方程为 x 2

1, 过点 M (0,1)

的直线 l 交椭圆于点 A

、 B , O 是坐标原

点 ,

1 点 P 满足 OP

2(OA (1) 动点 P 的轨迹方

程；

11

OB)

,点 N

的坐标为

(2,2),当l 绕点 M |NP| 的最小值与最大值。

旋转时 ,

求 :

(2)

9．设点 A 和 B 为抛物线 y 2 4px(p 0) 上原点 O 以外的两个动点，且 OA OB ，过

O 作OM AB 于M ，求点 M 的轨迹方程。

6．交轨法 若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程 组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。

例 7 ．已知 MN 是椭圆 x

a 2

y

1中垂直于长轴的动弦， A 、 B 是椭圆长轴的

两个端 2 点，求直线 MA 和 NB 的交点 P 的轨迹方程。

解 1:( 利用点的坐标作参数 ) 令 M (x 1, y 1) ，则 N(x 1, y 1) 而 A( a,0), B(a,0) .设AM 与NB 的交点为 P(x,y)

解 2: ( 利用角作参数 )

练习：

总结归纳

1．要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围．由曲 线和方程的概念可知，在求曲线方程时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性” ，即轨迹若 是曲线的一部分，应对方程注明 x 的取值范围，或同时注明 x, y 的取值范围。

2．“轨迹”与“轨迹方程”既有区别又有联系，求“轨迹”时首先要求出“轨迹方程” 然后再说明方程的轨迹图形，最后“补漏”和“去掉增多”的点，若轨迹有不同的情况，应

分别讨论，以保证它的完整性。

因为 A,M,P 共线，所以 y

xa

x 1

y1 因为 a

N,B,P 共线， 所以

y

xa y 1

x1 a

两式相乘得 y2

x 2 a 2

y 12 x 12 a 2

①， 而x a 12

y 12

b 2

22 1即 y12 b 2(a 2a2 x 12) 代入①

2

得

x 2

22 xa

b 2

，

2， a

即交点 P 的轨迹方程为 2

x

2 a

2 y 1 b 2

设 M (acos ,bsin ) ，则 N(acos , bsin

所以

y bsin

xa bsin 两式相乘消去

acos a

a acos

即可得所求的 P 点的轨迹方程为 x 2

a 2

y 2 b 2

1。

10．两条直线

ax y 1 0和 x ay 1 0(a

1)的交点的轨迹方程是

5．练习参考答案

1．(x162)2 2 y 2

1

48

22 2．解：设P 点的坐标为( x, y) ，则由方程x2

2y24 ，得

y

4 x2

2

3．4．

由于直线l 与椭圆交于两点A、B ，故2 x

∴ PA

2

∴y

B 两点的坐标分别为

A(x,

4 x2

42x ), B( x,

4 x2

(0

,

y)

由题

知

y) (0, 4 x

2

4x

1即(0, 42x

y)

4 x2

2 1即x2 2y2 6所以点P 的轨迹方程

为

D 【解析】在长方体ABCD A1B1C1D1 中建立如图所

示的空间直角坐标系，易知直线AD 与D1C1 是异面

垂直的两条直线，过直线AD 与D1C1平行的平面是面在平面

ABCD内动点M(x,y) 满足到直线的距离相等，作

MM1 MP 于M1，MN NP D1C1 于P ，连结MP ，

易知

2

y3

1( 2 x 2)

ABCD，设AD 与D1C1 CD于N，MN 平

面MP ，a2(其中a是异面直线AD与

D1C1间的距离 )，即有y

CDD1C1,MP D1C ，则有MM 1

2 2 2

| y|2x2 2

M 的轨迹是双曲线，选 D.

A

2

a2，因此动

点

解设M (x, y) ，A(x1,y1),B(x2,y2)

则x1 x2 2x,y1 y2 2y ，由 x12 2y12 m，

两式相减并同除以(x1 x2) 得

2x y 1 0 ，但此时

直线与双曲线并无交点，所以这样的直线不存在。 中点弦问题，

注意双曲线与椭圆的不同之处，椭圆不须对判别式进行检验，而双曲线必须 进行检验。

kx 1 2

y 2 1

4

y 1 y 2

1 x 1 x

2 1 x

, 而

y 1 y 2 x 1 x 2

2 y 1 y 2

2 AB

y

x 1

x 2

k PM

y 2,

又因为 PM

AB 所以 k AB k PM

1

x2

1 x ?y

2 2 y ? x 2

∵点 P 是点 Q 关于直线 y 2(x 4) 的对称点。

∴动点 P 的轨迹是一

个以 C 0(x 0,y 0) 为圆心，半径

为 3 的圆，其中 C 0(x 0, y 0) 是点 C(0, 2)关于直线 y 2(x 4) 的对称点， 即直线 y 2(x 4)过CC 0的中点，且与

CC

y 0 22

1

2y 0 x 0

x 0 8

x 0 0

4 垂直，于是有

即

y 0

22 x 0 0 4 y 0 2x 0 18 0 y 0 2 2 2

故动点 P 的轨迹方程为

9。

8)2 (y 2)2

记 A ( x 1, y 1 ) 、 B(x 2,y 2),由题设可得点

A 、

B 的坐标

(x 1,

y 1) 、 (x 2,y 2) 是方程

组

x 1 x 2

将①代入②并化简得

, (4 k 2)x 2 2kx 3 0, 所以 y 1

y 2

1 化简得点 M 的轨迹方程 xy 2x 4y 0

6．先用点差法求出 设 Q(x, y) ，则 QA 由 QA QB 4 ( 1 x, y) (1 x,4 y) 4 ( 1 x)(1 x) ( y)(4 y) 4 即 x 2 (y 2)2 32 所以点 Q

的轨迹是以 C(0, 2)为圆心，以 3 为半径的圆。

7．解：设

( 1 x, y),QB (1 x,4 y)

(x 8．解： (1) 解法一 : 直线 l 过点 M (0,1)，设其斜率为 k ,则l 的方程为

kx 1 x 2

①

的解

x1 x2

,y1 y2

) (

k

, ) (

2 2 4 k

2k

,

4 k2

,

8.

4 k2

.

OP 1(OA OB)

2 ,4 k2 ).

x 设点P 的坐标为(x,y),

则

y

k,

2,

4 k消去参数

4.

4 k 2

.

k得4x2 y2 y 0 ③

当k 不存在时 , A 、B 中点为坐标原点(0,0) 22

4x2 y2 y 0

解法二 : 设点P 的坐标为, 也满足方程③ , 所以点P 的轨迹方程为

2

2 y1 x1 1,

4 (x,y),因A(x1,y1)、

2

y221.

4

B(x2, y2) 在椭圆

上

, 所以

2

x2

④—⑤得x12

2 x2

(x1 x2 )(x

1 x2)

14(y12

14(y1

y22

)

0, 所

以

y2)(y1 y2 ) 0.

当x1 x2 时,有x1 x2 14(y1

4

y2) y1 y2 0.

x1 x2

并且

当x1

x1 x2

2

y1 y2

2 将⑦代入⑥并整

理得

4x2y2y 0. ⑧y1 y2

x1 x2

x2 时,点A、B 的坐标

为

也满足⑧ ,所以点P 的轨迹方程为

(2)解:由点P的轨迹方程知x2

2 1 2 1 2 | NP |2 (x 12)2 (y 12)2(0,2),(0, 2) ，这时

点

12

(y 2)2

1

4

1

4 1

4

P 的坐标

为

(0,0

)

故当

x2

1

16

1

16，

(x 1)

2

11

, | NP |取得最小值 , 最小值为;当

x

44

1所以

4

2 1 2 4x2

3(x )2

6

7

12

1时, | NP|取得最大值 , 最大值为21

9．解法 1 ： (常规设参 )设M(x,y)，A(x1,y1),B(x2,y2)，则

2 y 1 4px 1

2 y 2 4px 2 y 1 ? y 2 1

x 1

x 2 y 1 y 2 ? y 1

x 1 x 2 x

2

y1y2 16p y 4py y 2 x

方 程 为 y y 0 x 0 (x x 0

) , 与 抛 物 线 y 2 4px 联 立 消 去 y 得 y 0

y 2 4py

0 y 4p

(x 02 y 02) 0,设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则 y 1y 2

4p

(x 02 y 02)

x 0 x 0

x 0

又因为 OA OB ，所以 y 1y 2 16p 2

4p 2 2 2 2 2

故 (x 0 y 0 ) 16p 即 x 0 y 0 4px 0 0

x 0

所以 M 点的轨迹方程为 x 2 y 2 4px 0(x 0) 10． x 2 y 2 x y 0(x 0,y 0)

由 A,M,B 共线得

y 1

4p

y 1 y 2(x

2 y12) 4p

则 y

4p

y 1 y 2 x

y1y2 x

y 1 y 2

把(※) 代入上式得

y

x 2

4 px 化简得

y

2

M 的轨迹方程为

x 2

y 2 4px

0(x 0) )

解法 2： ( 变换方向 )

设 OA 的方程为 kx(k 0) ，则 OB 的方程为 y

由 2y

y 2

kx 2px

得 A( 2

k 2p

, 2k

p ) ， kk

y 1

x

y k x 得

B(2pk 2, 2pk) 2

y 2px

所以直线 AB 的方程为 y k 2

(x

2p)

①

因为

OM

AB ，所以直线

OM 的方程为 y

1 k

2 x ②

k

①×②即得

M 的轨迹方

程 : x 2

y 2 4px 0(x 0) 解法 3： ( 转换观点 ) 视点 为定点 ,令 M(x 0,y 0)，由OM AB 可得直线 AB

的 y 1 ※)

求轨迹方程的几种常用方法

求轨迹方程的几种常用方法 求轨迹的方程，是学习解析几何的基础，求轨迹的方程常用的方法主要有： 1直接法： 若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标为( x, y )后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有x,y 的关系式。从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作直接法。 例1 ：在直角△ ABC中，斜边是定长2a (a 0)，求直角顶点C的轨迹方程。 解：由于未给定坐标系，为此，首先建立直角坐标系，取AB所在的直线为X轴，AB的中点0为坐 标原点，过0与AB垂直的直线为y轴(如图).则有A ( a,0), B (a,0)。 设动点C为(x, y), ??? | AC |2 |BC |2 |AB|2, a)2y2]2h(x a)2y2]24a2, 即x2 由于C点到达A、B位置时直角三角形ABC不存在，轨迹中应除去A、B两点, 故所求方程为x2y2a2( x a )。 2?代入法(或利用相关点法)： 即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。 例2 :已知一条长为6的线段两端点A、B分别在x、y轴上滑动，点M在线段AB上，且AM : MB 1:2，求动点M的轨迹方程。 解：设 A (a,0) , B (0, b), M (x, y), 一方面，. 另一方面, 36 , M分AB的比为 1 , 2

评注：本例中，由于 M 点的坐标随着 A 、B 的变化而变化，因而动点 M 的坐标(x, y)可以用A 、B 点 的坐标来表示，而点 M 又满足已知条件，从而得到 M 的轨迹方程。此外，与上例一样，求曲线的方程时， 要充分注意化简过程是否完全同解变形，还要考虑曲线上的一些特殊点。 3.几何法： 求动点轨迹问题时，动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知识有着直接或间接的联 系，且利用平面几何的知识得到包含已知量和动点坐标的等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程，这种 求轨迹方程的方法称作几何法。 求动点P 的轨迹方程。 解：设P (x, y)，由题 APO BPO ，由三角形角平分线定理有 L P A | ^A 0-1 |PB| |BO| ..(x 6)2 y 2 3 3 , (x 2)2 y 2 整理得x 2 y 2 6x 0,当x 0时，y 0, P 和O 重合，无 意义，??? x 0, 又易知P 落在x 轴上时，除线段AB 以外的任何点均有 APO BPO 00 , ? y 0 ( x 6或x 2)也满足要求。 综上，轨迹方程为 x 2 y 2 6x 0 ( x 0)或y 0 (x 6或x 2 )。 评注：本例利用平面几何的知识(三角形的角平分线定理进行解题) ，方便了求轨迹的方程。 4.参数法： 有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间关系。如果借助中间量(参数) 联系，然后再从所求式子中消去参数，这便可得动点的轨迹方程。 0 -b _2_ 1 - -b 3 a x 2 b 3y ②代入①得: 3 2 2 (評(3y) 2 36，即一 16 例3 :如图，已知两定点 A ( 6,0 ), B ( 2,0 ), O 为原点，动点 P 与线段AO 、BO 所张的角相等, ，使(x, y)之间的关系建立起

(完整版)轨迹方程的五种求法例题

动点轨迹方程的求法 一、直接法 按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时． 例1已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：，动点M 到圆C 的切线长与的比等于常数（如图），求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 【解析】：设M （x ，y ），直线MN 切圆C 于N ，则有 ，即 ， ．整理得，这就是动点 M 的轨迹方程．若，方程化为，它表示过点和x 轴垂直的一条直线；若λ≠1，方程化为，它表示以为圆心，为半径的圆． 二、代入法 若动点M （x ，y ）依赖已知曲线上的动点N 而运动，则可将转化后的动点N 的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M 的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况． 例2 已知抛物线，定点A （3，1），B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP :PA =1:2，当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线． 【解析】：设，由题设，P 分线段AB 的比，∴ 解得.又点B 在抛物线上，其坐标适合抛物线方程，∴ 整理得点P 的轨迹方程为其轨迹为抛物线． 三、定义法 若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现． 例3 若动圆与圆外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是 12 2 =+y x MQ ()0>λλλ=MQ MN λ=-MQ ON MO 2 2λ=+--+2 222)2(1y x y x 0)41(4)1()1(222222=++--+-λλλλx y x 1=λ45= x )0,4 5 (2 222 222)1(3112-+=+-λλλλy x ）－（)0,12(2 2-λλ1 3122-+λλ12 +=x y ),(),,(11y x B y x P 2== PB AP λ.2121,212311++=++= y y x x 2 1 23,232311-=-=y y x x 12+=x y .1)2 3 23()2123( 2+-=-x y ),3 1 (32)31(2-=-x y 4)2(2 2 =++y x

高中数学求轨迹方程的六种常用技法汇总

------------------------------------------------------------精品文档-------------------------------------------------------- 求轨迹方程的六种常用技法 轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。 1．直接法 根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。 4MM6AB?BMAM,相交于，直线．已知线段，求点，且它们的斜率之积是例19的轨迹方程。x ABAB(3,0)B(A?3,0),y，所在直线为垂直平分线为解：以轴，轴建立坐标系，则 y(k?x??3)BMMAM)y(x,的斜，直线，则直线设点的坐标为的斜率AM x?3y(x?3)k?率AM3?x4yy3)???(x?由已知有9?x3x?322yx??1(x??3)M的轨迹方程为化简，整理得点94练习： Px?4P(10,0)F的轨迹方．1平面内动点，到点则点的距离之比为的距离与到直线2程 是。 22x ABPll4??2yx上满足交于．设动直线两点，垂直于、轴，且与椭圆是2PA?PB?1P的轨迹方程。的点，求点 3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（） A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线 2．定义法 通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。 AB30ABCAC?(8,0)B(C?8,0),，2例．若的两顶点，和为两边上的中线长之和是?ABC。 _______________的重心轨迹方程是则． AB30ABCAC?)(x,yG可得，则由两边上的中线长之和是的重心为和解：设 2?30??CG?20BGG(8,0)8,0),CB(?B,C的轨迹为以，而点为定点，所以点3为焦点的椭圆。 228?20,c?2a?c?a6?a?10,b可得所以由22yx??1(y?0)?ABC的重心轨迹方程是故 10036练习： 22?|x?y?(y?1)x2(?1)2|?表示的曲线是（ 4）．方程 A．椭圆B．双曲线C．线段D．抛物线 3．点差法 圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点A(x,y),B(x,y)x?x，的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得221211x?x2x?x?xyy?yy?AB),yP(x，

最新高中数学参数方程大题(带答案)精选

参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos= ∴

y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣

4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值． 由题意椭圆的参数方程为为参数）直线的极坐标方程为

求轨迹方程的常用方法(例题及变式)

求轨迹方程的常用方法： 题型一 直接法 此法是求轨迹方程最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件)}(|{M P M 直接翻译成y x ,的形式0),(=y x f ，然后进行等价变换，化简0),(=y x f ，要注意轨迹方程的纯粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点适合这个条件而毫无例外（纯粹性）；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）。 例1 过点)3,2(A 任作互相垂直的两直线AM 和AN ，分别交y x ,轴于点N M ,，求线段MN 中点P 的轨迹方程。 解：设P 点坐标为),(y x P ，由中点坐标公式及N M ,在轴上得)2,0(y M ，)0,2(x N ),(R y x ∈ ∴12 0322230-=--?--y x )1(≠x ，化简得01364=-+y x )1(≠x 当1=x 时，)3,0(M ，)0,2(N ，此时MN 的中点)2 3,1(P 它也满足方程01364=-+y x ，所以中点P 的轨迹方程为01364=-+y x 。 变式1 已知动点(,)M x y 到直线:4l x =的距离是它到点(1,0)N 的距离的2倍。 （1） 求动点M 的轨迹C 的方程； （2） 过点(0,3)P 的直线m 与轨迹C 交于,A B 两点。若A 是PB 的中点，求直线m 的斜 率。 题型二 定义法 圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆锥曲线的定义解题，包括用定义法求轨迹方程。 例2 动圆M 过定点)0,4(-P ，且与圆08:2 2=-+x y x C 相切，求动圆圆心M 的轨迹方程。 解：根据题意4||||||=-MP MC ，说明点M 到定点P C 、的距离之差的绝对值为定值，故点M 的轨迹是双曲线。 ∴2=a ，4=c 故动圆圆心M 的轨迹方程为112 42 2=-y x 变式2 在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39， 求ABC △的重心的轨迹方程．

高考数学难点之轨迹方程的求法

高考数学难点之轨迹方程的求法 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点. ●难点磁场 (★★★★)已知A 、B 为两定点，动点M 到A 与到B 的距离比为常数λ,求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线. ●案例探究 ［例1］如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 命题意图：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目. 知识依托：利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB 中点的轨迹方程. 错解分析：欲求Q 的轨迹方程，应先求R 的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题. 技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程. 解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |. 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2) 又|AR |=|PR |=22)4(y x +- 所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0 因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2 ,241+= +y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得 2 4 4)2()24( 22+? -++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程. ［例2］设点A 和B 为抛物线 y 2=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.(2000年北京、安徽春招) 命题意图：本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目. 知识依托：直线与抛物线的位置关系. 错解分析：当设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)时，注意对“x 1=x 2”的讨论.

最新高考数学解题技巧-极坐标与参数方程

2018高考数学解题技巧 解答题模板3：极坐标与参数方程 1、 题型与考点（1）{极坐标与普通方程的互相转化 极坐标与直角坐标的互相转化 （2） {参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化 (3) {利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、【知识汇编】 参数方程：直线参数方程：00cos ()sin x x t t y y t θθ=+??=+?为参数 00(,)x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定 点00(,)x y 的数量； 圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ=+?? =+?为参数(a,b)为圆心，r 为半径； 椭圆22221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θθθ=??=? 为参数； 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ=??=? 为参数； 抛物线22y px =的参数方程是2 2()2x pt t y pt ?=?=?为参数 极坐标与直角坐标互化公式： 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ， 则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan y x θ=。 解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程?????+=-=--t t t t y x 2 222（t 为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ，即有422=+y x ，又注意到 02>t ，222222=?≥+--t t t t ，即

高考动点轨迹方程的常用求法(含练习题及答案)

轨迹方程的经典求法 一、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程． 例2：在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程． 解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，则有 2 39263 BM CM +=?=． M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆， 其中1213c a ==， ．5b =∴． ∴所求ABC △的重心的轨迹方程为 22 1(0)16925 x y y +=≠． 二、直接法：直接根据等量关系式建立方程. 例1：已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PA PB x = ·，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 解析：由题知(2)PA x y =--- ，，(3)PB x y =-- ，，由2P AP B x = ·，得22(2)(3)x x y x ---+=，即26y x =+， P ∴点轨迹为抛物线．故选D ． 三、代入法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题. 例3：已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程． 解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得003133x x y y -++? =????=?? ，，00323x x y y =+??=?， ①∴． ② 又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，2 00y x =∴． ③ 将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠，即所求曲线方程是24 34(0)3 y x x y =++≠． 四、待定系数法：当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决. 例5：已知A ，B ，D 三点不在一条直线上，且(20)A -， ，(20)B ，，2AD = ，1()2 AE AB AD =+ ． （1）求E 点轨迹方程； （2）过A 作直线交以A B ，为焦点的椭圆于M N ，两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为4 5 ，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆方程． 解：（1）设()E x y ，，由1()2 AE AB AD =+ 知E 为BD 中点，易知(222)D x y -， ． 又2AD = ，则22(222)(2)4x y -++=． 即E 点轨迹方程为221(0)x y y +=≠； （2）设1122()()M x y N x y ，，，，中点00()x y ，． 由题意设椭圆方程为22 2214 x y a a +=-，直线MN 方程为(2)y k x =+．

高中数学全参数方程知识点大全

高考复习之参数方程 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是 ? ? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α= a b 的直线的参数方程是 ?? ?+=+=bt y y at x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2 +b 2 =1,②即为标准式，此 时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2 ≠1，则动点P 到定点P 0的距离是 22b a +｜t ｜. 直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数） 若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜; (3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t= 2 2 1t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜2 2 1t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0.

高中数学动点轨迹问题专题讲解

动点轨迹问题专题讲解 一．专题内容： 求动点(, )P x y 的轨迹方程实质上是建立动点的坐标, x y 之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有： （1）等量关系法．．．．．：根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉． （2）定义法．．．：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义，可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程． （3）转移代入法．．．．．：如果所求轨迹上的点(, )P x y 是随另一个在已知曲线C ：(, )0F x y =上的动点00(, )M x y 的变化而变化，且00, x y 能用, x y 表示，即0(, )x f x y =，0(, )y g x y =，则将00, x y 代入已知曲线(, )0F x y =，化简后即为所求的轨迹方程． （4）参数法．．．：选取适当的参数（如直线斜率k 等），分别求出动点坐标, x y 与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程，消去参数即可． （5）交轨法．．．：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）．

注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！ 二．相关试题训练 （一）选择、填空题 1．（ ）已知1F 、2F 是定点，12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段 2．（ ）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ?的周长为36，则MNP ?的顶点P 的轨迹方程是 （A ）22125169x y + =（0x ≠） （B ）22 1144169 x y +=（0x ≠） （C ） 22116925x y +=（0y ≠） （D ）22 1169144 x y +=（0y ≠） 3．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ； 4．P 在以1F 、2F 为焦点的双曲线22 1169 x y -=上运动，则12F F P ?的重心G 的轨迹方程是 ； 5．已知圆C ： 22(16x y +=内一点)A ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平

高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型

一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点的直角坐标为，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标． 题型二 极坐标方程的应用 由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．

解析几何求轨迹方程的常用方法

解析几何求轨迹方程的常用方法 求轨迹方程的一般方法： 1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。 5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 一：用定义法求轨迹方程 例1：已知ABC ?的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 4 5 sin sin C A B =+求点C 的轨迹。

例2： 已知ABC ?中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>， 2=AB ，求顶点C 的轨迹方程. 【变式】：已知圆 的圆心为M 1，圆 的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动 圆圆心P 的轨迹方程。 【变式】：⊙C ：22(3)16x y ++=内部一点(3,0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程. 二：用直译法求轨迹方程 例3：一条线段两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且BM=a ，AM=b ，求AB 中点M 的轨迹方程？

高中数学 《参数方程的概念》教案 新人教A版选修4-4

参数方程 目标点击： 1．理解参数方程的概念，了解某些参数的几何意义和物理意义； 2．熟悉参数方程与普通方程之间的联系和区别，掌握他们的互化法则； 3．会选择最常见的参数，建立最简单的参数方程，能够根据条件求出直线、圆锥曲线等常用曲线的一些参数方程并了解其参数的几何意义； 4．灵活运用常见曲线的参数方程解决有关的问题. 基础知识点击： 1、曲线的参数方程 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数，?? ?==)()(t g y t f x (1) 并且对于t 的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程. 联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数. 2、求曲线的参数方程 求曲线参数方程一般程序： (1) 设点：建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M 的坐标； (2) 选参：选择合适的参数； (3) 表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与x ，y 的关系 式，并由此分别解出用参数表示的x 、y 的表达式. (4) 结论：用参数方程的形式表示曲线的方程 3、曲线的普通方程 相对与参数方程来说，把直接确定曲线C 上任一点的坐标（x,y ）的方程F （x,y ）＝0叫做曲线C 的普通方程. 4、参数方程的几个基本问题 (1) 消去参数，把参数方程化为普通方程. (2) 由普通方程化为参数方程. (3) 利用参数求点的轨迹方程. (4) 常见曲线的参数方程. 5、几种常见曲线的参数方程 (1) 直线的参数方程 (ⅰ)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线的参数方程是 ? ??+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) 为直线上任意一点. (ⅱ)过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ???+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） （2）圆的参数方程

解析几何求轨迹方程的常用方法讲解

解析几何求轨迹方程的常用方法 求轨迹方程的一般方法： 1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。 5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 一：用定义法求轨迹方程 例1：已知ABC ?的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 4 5 sin sin C A B =+求点C 的轨迹。

例2： 已知ABC ?中，A ∠、B ∠、 C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程. 【变式】：已知圆的圆心为M 1，圆 的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆 圆心P 的轨迹方程。 【变式】：⊙C ：22(3)16x y ++=内部一点(3,0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程. 二：用直译法求轨迹方程 例3：一条线段两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且BM=a ，AM=b ，求AB 中点M 的轨迹方程？

高中数学轨迹求法

一、直接法 按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时 1．三角形ABC 中， ，且，则三角形ABC 面积最大值为__________. 2、 动点P （x,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即2| || |=PB PA ），求动点P 的轨迹方程？ 3、一动点到y 轴距离比到点()2,0的距离小2，则此动点的轨迹方程为 .1. 4．已知()1,0A -， ()2,0B ，动点(),M x y 满足 1 2 MA MB = .设动点M 的轨迹为C . （1）求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹C 是什么图形； （2）求动点M 与定点B 连线的斜率的最小值； 5、已知曲线C 是动点M 到两个定点()0,0O 、()3,0A 距离之比为1 2 的点的轨迹. （1）求曲线C 的方程； （2）求过点()1,3N 且与曲线C 相切的直线方程. 6．一条线段的长等于10，两端点,A B 分别在x 轴和y 轴上滑动，M 在线段AB 上且 4AM MB =u u u u r u u u r ，则点M 的轨迹方程是（ ） A ．221664x y += B ．22 1664x y += C ．22168x y += D ．22 168x y += B 7．已知坐标平面上一点M （x ，y ）与两个定点M 1（26，1），M 2（2，1），且 =5． （Ⅰ）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； （Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C ，过点M （﹣2，3）的直线l 被C 所截得的线段的长为8，求直线l 的方程． 1、【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则： ，设点A 的坐标为 ，由题意有： ， 整理可得： ,结合三角形 的性质可得点C 的轨迹方程为以 为圆 心， 为半径的圆出去其与x 轴的交点，据此可得三角形ABC 面积的最大值为

高考数学参数方程所有经典类型

高考数学参数方程所有经典类型（必刷题） 1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为 极轴.已知直线l 的参数方程为1222 x t y ?=+????=??（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为 2sin 8cos ρθθ=. （Ⅰ）求C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB . 2．已知直线l 经过点1 (,1)2P ，倾斜角α＝6 π，圆C 的极坐标方程为)4πρθ=-. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：cos sin θθ=??=? x y （θ为参数），将1C 上的所有 和2倍后得到曲线2C ．以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：sin )4ρθθ+=． （1）试写出曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的参数方程； （2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最小，并求此最小值． 4．在直角坐标系xoy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为

x 3cos y sin ααα ?=??=??（为参数）． (1)已知在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4,)2π ，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． 5．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ? ?- ??? ，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； （2）求直线OM 的极坐标方程． 6．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 （为参数），（为参数）． （1）化 的方程为普通方程； （2）若上的点P 对应的参数为为上的动点，求中点到直线 （为参数）距离的最小值．

高考数学参数方程大题

高考数学参数方程大题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高三最后一题 1、以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，设点A 的极坐标为)6 ,2(π ，直线l 过点A 且与极轴成角 为 3π，圆C 的极坐标方程为)4 cos(2πθρ-=． （1）写出直线l 参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线圆C 交于B 、C 两点，求AC AB .的值． 【答案】（1）直线l C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x ；（2 2、已知曲线C 的参数方程为31x y α α ?=+??=+??（α为参数），以直角坐标系原点 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹． （2）若直线的极坐标方程为1 sin cos θθρ -= ，求直线被曲线C 截得的弦长． 【答案】（1）6cos 2sin ρθθ=+（2 3、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为t t y t x (22522 5??? ??? ?+=+ -=为参数），若以 O 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 θρcos 4=。 （1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程； （2）将曲线C 上各点的横坐标缩短为原来的 2 1 ，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线1C ，求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最小值 【答案】（1）() 422 2 =+-y x ，052=+-y x （2 ）

求轨迹方程的常用方法例题及变式

求轨迹方程的常用方法: 题型一直接法 此法是求轨迹方程最基本的方法， 根据所满足的几何条件， 将几何条件｛M | P(M )｝直接翻 译成x, y 的形式f(x, y) 0 ,然后进行等价变换，化简 f (x,y) 0，要注意轨迹方程的纯 粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点， 也就是说曲线上所有的点适合这个条件 而毫无例外(纯粹性)；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性) 。 例1过点A(2,3)任作互相垂直的两直线 AM 和AN ，分别交x,y 轴于点M , N ，求线段 MN 中点P 的轨迹方程。 解：设P 点坐标为P(x, y)，由中点坐标公式及M,N 在轴上得M (0,2y)， AM AN k AM k AN 所以中点P 的轨迹方程为4x 6y 13 0。 变式1 已知动点M (x, y)到直线l : x 4的距离是它到点 (1) 求动点M 的轨迹C 的方程; (2) 过点P(0,3)的直线m 与轨迹C 交于A, B 两点。若A 是PB 的中点，求直线 m 的斜 率。 题型二定义法 圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要， 应特别重视利用圆锥曲线的定义解题， 包括用定 义法求轨迹方程。 2 2 例2 动圆M 过定点P( 4,0)，且与圆C :x y 8x 0相切，求动圆圆心 M 的轨迹 方程。 解：根据题意|| MC | |MP || 4，说明点M 到定点C 、P 的距离之差的绝对值为定值, N(2x,0)(x,y R) 0 3 2y 2x 2 0 2 3 1 (x 1)，化简得 4x 6y 13 0 (x 1) 当x 1时，M(0,3)，N(2,0)，此时MN 的中点 P(1,|)它也满足方程4x 6y 13 0， N (1,0)的距离的2倍。

求轨迹方程的常用方法(经典)

求轨迹方程的常用方法 （一）求轨迹方程的一般方法： 1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。 2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。 5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。 6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 （二）求轨迹方程的注意事项： 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。 )() ()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ???=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。 3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。 4．求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。 课前热身： 1. P 是椭圆5 92 2y x +=1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线，垂足为M ，则PM 中点的轨迹中点的轨迹方程为：（ ）【答案】：B A 、159422=+y x B 、154922=+y x C 、12092 2=+y x D 、5 3622y x + 【解答】:令中点坐标为),(y x ,则点P 的坐标为()2,y x 代入椭圆方程得15 4922=+y x ,选B 2. 圆心在抛物线)0(22 >=y x y 上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是