概率论中几种概率模型方法总结
概率论中几种概率模型方法总结
绪论：概率论中几种常用的概率模型是古典概型、几何概型、贝努里概型.本文对概率论中几种概率模型方法进行了总结。
1 古典概型
古典概型及其概率是概率论的基础知识,它既是进一步学习概率的基础,下面就一些典型事件的分析来说明古典概型的概率计算方法。古典概型的概率计算可以分为三个步骤:确定所研究的对象为古典概型;计算样本点数;利用公式计算概率。即如果随机试验只有有限个可能结果,而且每一个可能结果出现的可能性相同,那么这样的随机试验就是古典概型问题。若设Ω是一个古典概型样本空间, 则对任意事件A 有: A m P ( A ) ==Q n
中的样本点数中的样本点数。在计算m 和n 时,经常使用排列与组合计算公式。在确定一个试验的每个基本事件发生的可能性相同时,经常根据问题本身所具有的某种“对称性”,即利用人们长期积累的关于“对称性”的实际经验,认为某些基本事件发生的可能性没有理由偏大或偏小。关于古典概型的数学模型如下:
1.1 袋中取球问题
1.1.1 随机地同时从袋中取若干球问题
随机地同时从袋中取若干球问题是古典概型中的一类最基本问题,其特点是所考虑的事件中只涉及球的结构而不涉及取球的先后顺序,计算样本点数时只需考虑组合数即可。概率中的很多问题常常可以归结为此类问题来解决。
事件1 一袋中有m + n 个球,其中m 个黑球, n 个白球,现随机地从袋中取出k 个球( k ≤m + n) ,求其中恰好有l 个白球( l ≤n)的概率。
分析:随机地从袋中取出k 个球有k
m+n C 种可能的结果,其中“恰好有l 个白球”这
一事件包含了l k-l n m
C C 种结果,因此所求概率为l
k - l
n m k m + n C C P =C 这个结论可以作为一个公式来应用。用它可以解决一些类似的问题。
1.1.2 随机地从袋中不放回地取球若干次
随机地从袋中不放回地取球若干次就是指随机地从袋中每次只取一个球,取后不再放回袋中,连续进行若干次。这样的取球过程实际上是按顺序取的,所考虑的事件也会涉及到取球的顺序,所以要用排列数计算样本点数。
事件2 一袋中装有m + n 个球,其中m 个黑球, n 个白球,现随机地从中每次取出一
个球(不放回) ,求下列事件的概率:
(1)第i 次取到的是白球;
(2)第i 次才取到白球;
(3)前i 次中能取到白球;
(4)前i 次中恰好取到l 个白球( l ≤i ≤m + n, l ≤n) ;
(5)到第i 次为止才取到l 个白球( l ≤i ≤m + n, l ≤n)。
分析:
( 1)“第i 次取到的是白球”可以理解为“取球进行了i 次,第i 次取出白球”。从
m + n 个球中不放回地取球i 次,即是从m + n 个球中不放回地取出i 个球,一共有i m + n P 种
不同的取法;其中“第i 次取到的是白球”有i - 11
m+ n - 1n P C 种取法。因此所求概率
为:i - 11
m + n - 1n 1i m + n
P C P =P , 根据排列数公式计算得1n P =m + n 。这个问题可以看成是抽签问题的数学模型,其结果表明:抽到好签的机会(概率)与抽签的顺序无关,即抽签具有公平性。
(2)“第i 次才取到白球”可以理解为“取球进行了i 次,前i - 1次取出的都是黑
球,第i 次取出的是白球”,根据乘法原理可知应有i - 11
m n P C 种取法;同(1)可得从m + n
个球中不放回地取球i 次一共有i m + n
P 种不同的取法,故有i - 11i - 1m n m 2i i m + n m + n P C nP P ==P P 。 (3)“前i 次中能取到白球”包含的情况比较复杂,因此先找它的对立事件“前i
次取出的都是黑球”的概率。“前i 次取出的都是黑球”的概率是:i i
m m i i m+ n m + n
P C P = =P C ,所以前i 次中能取到白球的概率是i
m 3i m + n
C P =1 -C 。 (4)“前i 次中恰好取到l 个白球”意味着“取出的i 个球中有l 个白球, i - l 个黑
球”,根据乘法原理可知应有i - l l i m n i
C C P 种取法, 所以i - l l i i - l
l m b i m n 4i i m + n m + n C C P C C P ==P C 。 (5)“到第i 次为止才取到l 个白球”等价于“前i- 1次中恰好取到l - 1个白球且
第i 次取到白球”。故i - l l - 1i - 11i - l
l - 1m n i - 1n - l + 1m n 5i i m + n m + n
C C P C C C ( n - l + 1)P ==P iC 。 由此可见如果能深刻理解事件2这种数学模型,那么古典概型中的一些概率计算问题就可以归结为随机地从袋中不放回地取球若干次求某事件的概率问题。
1.1.3 随机地从袋中有放回地取球若干次
随机地从袋中有放回地取球若干次就是指随机地从袋中每次只取一个球,取后依然放回袋中,连续进行若干次。这样的取球过程实际上也是按顺序取的,而且每个球都有被重复取出的可能,所考虑的事件依然会涉及到取球的顺序,所以要用重复排列数计算样本点数。
事件3 一袋中装有m + n 个球,其中m 个黑球, n 个白球,现随机地从中每次取出一个球,取后放回,求下列事件的概率:
( 1)第i 次取到的是白球;
(2)第i 次才取到白球;
( 3 )前i 次中能取到白球;
(4)前i 次中恰好取到l 个白球( l ≤i ≤m + n, l ≤n);
(5)到第i 次为止才取到l 个白球( l ≤i ≤m + n, l ≤n)。
分析: 因为每一个问题仅仅涉及了i 次取球,所以只考虑取球i 次的情形。根据题中的取球要求可知每次取球都是从m + n 个球中取出1 个共取了i 次,据此应该i (m + n)种不同的取球方式。
(1)“第i 次取到的是白球”意味着“前i - 1次每次都是从m + n 个球中取出1个球(白球或黑球) ,然后第i 次是从n 个白球中取出1个白球”,根据乘法原理得“第i 次
取到的是白球”应有i - 11
n
(m + n)C 种取法。因此所求概率是i - 11n 1i (m + n)C n P = =(m + n)m + n 。 (2)“第i 次才取到白球”表示“前i - 1次每次都是从m 个黑球中取出1个黑球,然后第i 次是从n 个白球中取出1个白球”,一共有i - 1m n 种取法。故事件“第i 次才取到白球”的概率是i - 12i m n P =(m + n)
。 (3)“前i 次中能取到白球”的对立事件是“前i 次取出的都是黑球”,而“前i 次取出的都是黑球”是指“前i 次每次都是从m 个黑球中取出1个黑球”,有i m 种取法。
所以“前i 次中能取到白球”的概率是i
3i m P =1 -(m + n)
。 (4)“前i 次中恰好取到l 个白球”表明“取出的i 个球中有l 个白球, i - l 个黑球”,其中l 个白球中的任意一个可以是i 次取球中的任意一次取出的,同时也是每次从n 个白球中取出一个;欲得到i - l 个黑球须每次从m 个黑球中取出一个,取i - l 次。根据乘法原理可知“前i 次中恰好取到l 个白球”应有l l i - 1i C n m 种取法,因此它的概率为
l i i - l
i 4i C n m P =(m + n)
。 (5)“到第i 次为止才取到l 个白球”意味着“前i- 1次中恰好取到l - 1个白球且
第i 次取到的是白球”,由(4)可知前i - 1次中恰好取到l - 1个白球应有l - 1l - 1i - l
i - l C n m 种取法;又因第i 次取到的是白球有n 种取法,由乘法原理得“到第i 次为止才取到l 个白
球”应有l - 1
l - 1i - l l - 1l i - l
i - l i - l C n m n =C n m 种取法,从而所求概率是l - 1l i - l i - l 5i C n m P =(m + n)。 1.2 排序问题
排序就是指把一些对象按照一定的顺序排成一列或一圈。如果在排序的前提条件下计算某事件的概率,那么就要用排列数来计算样本点数。
事件4 将标号为1, 2, ?, n 的n 个球随意地排成一行。求下列事件的概率:
(1)标号是递增或递减的序列;
(2)第1号球排在最左或最右;
(3)第1号球与第2号球相邻;
(4)第1号球在第2号球右边(但不一定相邻) ;
(5)第1号球与第2号球之间恰有r 个球( r < n - 1) [ 2 ] 。
分析:将标号为1, 2, ?, n 的n 个球随意地排成一行有n! 种不同的排法。
(1)标号是递增或递减的序列只能是排成1, 2,?, n 或n, n - 1, ?, 2, 1 这两种
形式,因此所求概率为2n!
。 (2)先排1号球,再排其它球。1号球排在最左或最右只有两种排法,其它的n - 1个球有( n - 1) !种排法,根据乘法原理满足条件的排列有2(n-1)!个,所以所求概率为2(n-1)!2=n!n
。 (3)先把1号球和2号球看成一个整体与其它球进行排列,即n-1个球排成一列应有(n-1)! 种排法;再排1号球和2号球,有2! 种排法。由乘法原理可知满足条件的排列有
2!( n - 1)! 个,所以所求概率为2!(n-1)!2=n!n
。 (4)对于每一种“1 号球在2 号球右边”的排法而言,如果对调1、2号球的位置就会得到一种“1号球在2号球左边”的排法,反之亦然。即“1号球在2号球右边”与“1
号球在2 号球左边”的排法总数相等,所以所求概率为12
。 (5)先排1号球和2号球,有2种排法;因为1号球与2号球之间恰好有r 个球,而且这r 个球是剩下的n - 2个球中任意r 个,所以再从n - 2个球中任意选出r 个进行排列(排列
时满足条件它们正好在1号球与2号球之间)有r n - 2C r!
种不同的排法;最后把1号球、2号球以及选出的r 个球看成一个整体与其它球进行排列有(n-2-r+1) ! 种排法。根据乘法原理可得“第1号球与第2号球之间恰有r 个球”一共有r n - 22C r!( n-2-r +1)!
种排法,因此所求概r
n - 22C r!(n-2-r+1)!!n 率为,亦即2(n-r-1)n(n-1)
。 1.2.1 放球入箱问题
放球入箱问题实际上就是古典概型的一个数学模型,其背景是把一些球随意地放入箱子里,要求不同放法也就不同。样本点数的计算既会用到排列数,又会用到组合数。
事件5 将n 个球随意放入N 个箱子中,其中每个球可能放入任意一个箱子,求下列事件的概率:
(1)指定n 的个箱子各放入一球(设N ≥n) ;
(2)每个箱子最多放入一球;
(3)第i 个箱子不空;
(4)第i 个箱子恰好放入k ( k ≤n)个球。
分析:根据题意可知每个球可能放入任意一个箱子,而且每个箱子均有可能被重复使用。每个球都是放入N 个箱子中的任意一个箱子中,应有N 种放法。根据乘法原理即得n 个球随意放入N 个箱子中有n N 种放法。
(1)“指定的n 个箱子各放入一球”相当于“n 个球进行全排列”,有n! 种不同的
排法。所以“指定的n 个箱子各放入一球”的概率是n n!N
。 (2)“每个箱子最多放入一球”意味着“N 个箱子中的任意n 个箱子各放入一球”,首先从N 个箱子中任意选出n 个箱子有n
N C 种不同的选法;最后在选出的n 个箱子各放入
一球有n! 种不同的放法。由乘法原理得“每个箱子最多放入一球”有n
N C n!种放法。因此所求概率是n N
n C n!N
。 (3)“第i 个箱子不空”说明“第i 个箱子至少应放入一个球”,直接计算比较困难,所以先求它的对立事件“第个箱子是空的”的概率。“第i 个箱子是空的”表明将n
个球随意放入N - 1个箱子中,有n
(N- 1)种放法,其概率为n
(N - 1)Nn 。所以“第i 个箱子
不空”的概率是n
n
(N-1)1-N 。 (4)先从n 个球中选出k 个球放入第i 个箱子中,有k n C 种不同的选法;再把余下的n
- k 个球随意地放入其它的箱子中,有n - k (N-1)种放法。根据乘法原理可得第i 个箱子恰好放入k 个球有k
n - k n C (N -1)种放法,因此其概率为k n - k n n
C (N - 1)N 。 综上所述,袋中取球、排序、放球入箱等问题是古典概型的主要数学模型,掌握了它们的分析方法就可以解决具体的古典概型问题。
2 几何概型
几何概型就是将古典概型中的有限样本空间推广到无限样本空间, 保留等可能性, 因此几何概型也具有以下两个条件:
( 1) 试验中所有可能出现的结果( 基本事件) 有无限多个;
( 2) 每个基本事件出现的可能性相等.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度( 面积或体积) 成比例, 则称这样的概率模型为几何概率模型, 简称为几何概型.
2.1 约会问题
两人约定于0到T 时在某地相见,先到者等()t t T ≤时后离去,求两人能相见的概率。用,x y 分别表示甲,乙两人到约定地点的时刻,由于两人分别在0到T 时刻到达是等可能的,故问题可以看作几何概率问题, 即看作在平
面区域{(,)|0,}x y x y T Ω=≤≤内均匀投点,如图两人相
见这一事件可表示为 {(,)|0,||}A x y x y T x y t =≤≤-≤且 22
2()()()()L A A T T t P A L T
--===ΩΩ区域的面积区域的面积 2.2 Buffor (蒲丰) 投针问题
Buffo r (蒲丰) 投掷硬币的实验大家都很熟悉。投币实验揭示了频率的稳定性,即统计性规律,1777年作了随机投针实验,投针问题则是一个典型的几何概率问题。平面上画有等距离为a 的一些平行线,向此平面任意投一长为(0)l l a ≤≤的针,求该针与
平行线之间相交的概率。
用d 表示针中点到最近一条平行线的距离,θ表示针与平行线的不超过
2
π的夹角,知0,022a d πθ≤≤≤≤,于是投针问题就相当于向平面区域{(,)|0,0}22
a d d πθθΩ=≤≤≤≤投点的几何概率问题。
如上图, 针与平行线相交的充要条件是(,)d θ满足10sin 2
d θ≤≤。“针与平行线之一相交”这一事件1{(,)|0,0sin }22
A d d πθθθ=≤≤≤≤ 20sin ()22()()22
l d L A l P A a L a πθθππ===-Ω? 2.3 几何概率数学模型
2.3.1 均匀分布
均匀分布是连续型随机变量的一种最简单的的分布, 正因为均匀分布结构简单和实际背景—几何概率的广泛存在, 决定了均匀分布在理论上、实践上都有重要的应用。
例1 候车问题。公共汽车站每隔5分钟有一辆公共汽车通过, 乘客到汽车站的时刻是等可能的,求乘客候车时间不超过3分钟的概率。
解1 这是一个简单的均匀分布问题。设ξ为乘客候车时间,则ξ在[ 0, 5 ]上服从均匀分布。密度函数为
15()0f x ???=????
05x <≤其他
若A =“乘客候车不超过3分钟”则303()(03)()5
P A P f x dx ξ=≤≤==?
解2 直接用几何概率模型。
设想乘客在时间[ 0, 5 ] 任意时刻到达是等可能的,即可认为在[ 0, 5 ] 中等可能的投点, 而乘客候车时间不超过3
率问题。如图则L(A)3P(A) ==L ()5Ω 上面这个例题是一维空间中几何概率模型的应用,从这两种解法可以看出, 只要对几何概型的概念充分理解了,候车问题用几何概率模型求解会更直观,更简单。下面这一问题更能看出几何概型的优点。
例2 甲,乙两人约定在中午12时到下午1时之间到某站乘公共汽车,又知这段时间内有4班公共汽车。设到站时间分别为12: 15, 12: 30, 12: 45,13: 00
。如果他们约定: (1) 见车就乘; (2) 最多等一辆。试求甲,乙两人同乘一辆车的概率, 假设甲, 乙两人到达车站的时间是相互独立的。且每人在中午12时到下午1时的任意时刻到达车站是等可能的。
解:设,x y 分别表示甲,乙到达车站的时刻,则样本
空间{(,)|060,060}x y x y Ω=≤≤≤≤
(1) 设A 表示见车就乘,且甲,乙同乘一辆车,则
{(,)|1515(1),1515(
1),A x y k x k k y k k =≤≤+≤≤+=如图41P(A) ==164
(2) 设B 表示事件“最多等一辆车,并且甲,乙同乘一辆车”,则 B ={(,)|015, 030; 1530, 045;3045, 3060}x y x y x y x y ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤ 105()168P B == 如图 例2 中所求概率问题也可同例1用均匀分布来
求解,即适当的设出随机变量,求其密度函数,再积分使问题得解。但若用几何概率模型, 则只涉及二维空间中面积的计算,更直观的给我们展现了此类问题的实质,当然这建立在对几何概率充分理解的基础之上。
2.3.2 求近似值
蒲丰投针问题的结果在历史上曾被许多人反过来应用于计算π的近似值。作n 次
蒲丰投针实验(n 充分大),m 表示与平行线相交的次数, 频率m f(n) =n
, A 表示相交概率,
则P(A)近似的可以用f(n)表示,即得2nl ma
π≈, 由此公式只要给出其中n,m,l ,a 的值,就可近似的计算出π的值。由此想到,可以设计另一个简单实用的的实验来求π的近似值,具体如下:再平面直角坐标系中, 以O (0, 0),A(1,0),C(1,1),B(0,1)为四个顶点做一个正方形,其面积S = 1,以圆点O 为圆心的单位圆在这个正方形内的部分是圆
心角为直角的扇形, 面积为1S =4
π,在这个正方形内随机的投入n 个点,设其中有m 个点落在单位扇形内,则1s m ==n s 4π即4m n
π≈只要实际做n 次(n 相当大时)投点实验,观察n, m 的值,就可由上式算出π的近似值。现在,这样的计算可以直接借助数学软件来完成。
3 贝努力概型
贝努力概型是概率论中最早研究的模型之一, 也是得到最多研究的模型之一, 尽管它比较简单, 却也概括了许多实际向题, 有广泛的应用价值, 诸如在产品质量检查中, 群体遗传学中都占有重要的地位, 因此它在概率论中占有相当重要的地位。
贝努力概型是指:
(1)试验E 只有两个可能的结果, A 及A 灭, 并且(),()1P A p P A p q ==-=,（其中01p <<）称为贝努力试验。
(2)把试验E 独立地重复进行n 次的试验构成了一个试验, 这个试验称为n 重贝努力试验或贝努力概型,记为n E , 在n 重贝努力试验中, 事件A 发生K 次的概率为
(),0k k n k n n P k C p q
k n -=≤≤ 在具体问题中, 首先要看每次试验是不是只有两个可能的结果, 比如(1)投掷一枚硬币要么出现正面, 要么出现反面这两种结果, (2)产品抽查中, 要么抽到合格品, 要么抽到不合格品这两种结果, (3)向一目标射击, 要么击中, 要么没击中两种结果, 特别要注意的是:有些试验的结果不止两个,比如电子管的寿命可以是不小于0的任一数值, 但有时根据需要, 我们把寿命大于500小时的电子管当作合格品, 其余的当作次品, 那么这类问题就归纳为贝努力试验了, 再如投s 骰子,每投一次有个6等可能的结果, 但我们把投出六点作为A 发生, 其余作为A 发生, 那就成贝努力试验了
其次,“重复”是指各次试验的条件组是相同的, 即每次试验A 发生的概率都是P (因此A 发生的概率都是1q p =-), “ 独立” 要求各次试验的结果间是相互独立的, 而
且这次n 试验结果的任意一种组合都是相互独立的, 从而才能保证()k k n k n n P k C p q
-=
成立, 例如：已知在60件产品中, 有10件次品, 现从中每次取出一个, 无放回地取30次, 求在所取的30个中恰有2个次品的概率, 表面上看该问题的提法和贝努力概型的提法相同, 但实际上, 因为它是“ 无放回” 抽取, 因此各次试验的条件是有差异的, 因此不能用贝努力概型解决, 如果把问题中的“ 无放回” 改为“有放回”时, 这30次试验的条件就完全相同了, 就可用贝努力概型求解了。
下面通过几个例子, 具体说明如何正确地使用贝努力概型解决问题。
例1：某班有40名学生, 求
（1）恰有两人在元旦出生的概率
（2）至少有两人在元旦出生的概率
（3）最多有两人在元旦出生的概率。
分析：每个学生在一年365天中每一天出生的可能性是相同的（不考虑闰年）, 即每个学生在元旦出生的概率为1364,1365365
p q p ==-=, 每个学生只有在元旦出生及不在元旦出生两个结果, 同学们的生日是相互独立的, 所以满足贝努力概型的条件, 于是：
（1）恰有两人在元旦出生的概率
223840401364(2)()()365365
P P C == （2）至少有两人在元旦出生的概率
4040
24040404040402201364()()()1()1(0)(1)365365k k k k k k P P k C P k P P -======-=--∑∑∑ （3）最多有两人在元旦出生的概率
4014040404001364(0)(1)(2)()()365365k k k k P P P P C -==++=∑
通过泊松分布可求出上题的概率近似值分别为0.0045,0.0074 ,0.9998 , 由此结果可知（1）,（2）几乎是不可能发生的事件, 而(3)几乎是必然要发生的事件。
例2 （一个著名的问题）某家庭有4个女孩, 她们去洗碗,在打破4个碗中有3个是最小的女孩打破的, 因此人家说她笨拙, 问她是否有理由申辩这完全是碰巧？
解法一：假设有理由申辩, 则4个饭碗中, 每一个是小女孩打破的概率为14
（因为在假设下, 每个女孩打破碗的概率是相同的, 即是等可能的）, 这是4n =的贝努力试验。设B =“4个饭碗中至少有3个是最小女孩打破的”, 则
3314444413113()()()()0.054444
P B C C =+=≈ 这是一个小概率事件在一次试验中可以认为是不可能发生的, 然而经过一次试验竟然发生了, 说明原来的假设是错误的, 即小女孩无理由申辩。
本例也可以用古典概型的方法求解。
解法二：样本空间Ω可取作：四个破碗四个女孩分配（打破）的所有结果的全体, 一个碗只能由一个人打破,但一人可打破多个碗, 因此样本点总数44256n ==。
令：事件A =“最小女孩至少打破三只碗”1A =“ 最小女孩恰好打破四只碗”
2A =“最小女孩恰好打破三只碗, 其余一只由另一女孩打破”则：A =1A +2A 。完成事
件2A 要经过两个步骤：①最小女孩打破四只碗中的三只, 共有34C 种不同的选择②余
下一只被三个女孩之一打破,又13C 种不同的选择，故21314312,1A A N C C N ===，故
13A N =，从而41313()0.054256
P A ==≈。由此可见，在等可能性的情况下，小女孩至少打破三个碗是小概率事件，由小概率事件实际不发生原理知, 小女孩没有理由申辩。
比较上述两种解法, 显然解法一优于解法二, 所以在具体问题中, 要进行认真的分析和判断, 如果属贝努力概型的问题时, 用贝努力概型解决起来最方便、最简单。
例3 一本50页的书, 共有6个错字, 每个错字出现在哪一页上的机会相等, 求下列事件的概率。
（1）在第1页到第20页中恰好出现2个错字。
（2）在第1页到第25页中出现不少于2个和不多于3个错字。
解：（1）每个错字在第1页到第20页出现的概率为：202505
P ==, 而每个错字有在1-20页可能出现也可能不出现两种可能性, 故可看作6n =的贝努力试验, 所求概率为2246623(2)()()0.31155
P C == （2） 每个错字在1-25页出现的概率为251()502
P A ==，所求概率为 3
666
2()(2)(3)0.547k P k P P ==+≈∑。 此外,在n 次独立重复试验中, 某事件恰好发生(0,1,2,,)k k n = 次的概率, 组成离散型随机变量的一种相当重要的概率分布—二项分布, 其分布列
为,(),(0,1,2,,)k k n k n P k C p q k n ξ-=== 其中01,1p q p <<=-,在n 重贝努力试验的
条件下断言“频率稳定于概率” 的贝努力大数定理以及断言“二项分布的正态近似”的“棣莫弗—拉普拉斯极限定理”是概率论与数理统计中极其重要的定理。
参考文献
[1] 复旦大学, 概率论第一册概率论基础高等教育出版社,〔幻缪拴生概率与数理统计修订版华东师大出版社〕
[2] 魏宗舒等概率论与数理统计教程高等教育出版社,仁〕陈家鼎等概率统计讲义人民教育出版社,
[3] 刘书田. 概率统计学习辅导[M ]. 北京: 北京大学出版社.2001.
[4] 龙永红. 概率论与数理统计中的典型例题分析与习题[M ]. 北京:高等教育出版社. 2004. (编辑:夏新奎)
数学建模常用模型方法总结精品
【关键字】设计、方法、条件、动力、增长、计划、问题、系统、网络、理想、要素、工程、项目、重点、检验、分析、规划、管理、优化、中心 数学建模常用模型方法总结 无约束优化 线性规划连续优化 非线性规划 整数规划离散优化 组合优化 数学规划模型多目标规划 目标规划 动态规划从其他角度分类 网络规划 多层规划等… 运筹学模型 （优化模型） 图论模型存 储论模型排 队论模型博 弈论模型 可靠性理论模型等… 运筹学应用重点:①市场销售②生产计划③库存管理④运输问题⑤财政和会计⑥人事管理⑦设备维修、更新和可靠度、项目选择和评价⑧工程的最佳化设计⑨计算器和讯息系统⑩城市管理 优化模型四要素：①目标函数②决策变量③约束条件 ④求解方法(MATLAB--通用软件LINGO--专业软件) 聚类分析、 主成分分析 因子分析 多元分析模型判别分析 典型相关性分析 对应分析 多维标度法 概率论与数理统计模型 假设检验模型 相关分析 回归分析 方差分析 贝叶斯统计模型 时间序列分析模型 决策树 逻辑回归
传染病模型马尔萨斯人口预测模型微分方程模型人口预 测控制模型 经济增长模型Logistic 人口预测模型 战争模型等等。。 灰色预测模型 回归分析预测模型 预测分析模型差分方程模型 马尔可夫预测模型 时间序列模型 插值拟合模型 神经网络模型 系统动力学模型(SD) 模糊综合评判法模型 数据包络分析 综合评价与决策方法灰色关联度 主成分分析 秩和比综合评价法 理想解读法等 旅行商(TSP)问题模型 背包问题模型车辆路 径问题模型 物流中心选址问题模型 经典NP问题模型路径规划问题模型 着色图问题模型多目 标优化问题模型 车间生产调度问题模型 最优树问题模型二次分 配问题模型 模拟退火算法(SA) 遗传算法(GA) 智能算法 蚁群算法(ACA) (启发式) 常用算法模型神经网络算法 蒙特卡罗算法元 胞自动机算法穷 举搜索算法小波 分析算法 确定性数学模型 三类数学模型随机性数学模型 模糊性数学模型
概率论与数理统计公式定理全总结
第一章 P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 概率的乘法公式 全概率公式：从原因计算结果 Bayes 公式：从结果找原因 第二章 二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p) 泊松分布——X~P(λ) 概率密度函数 怎样计算概率 均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp (θ) 分布函数 对离散型随机变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系： 二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法 联合密度函数 联合分布函数 联合密度与边缘密度 离散型随机变量的独立性 连续型随机变量的独立性 第三章 数学期望 离散型随机变量，数学期望定义 连续型随机变量，数学期望定义 ● E(a)=a ，其中a 为常数 ● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数 ● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量 随机变量g(X)的数学期望 常用公式 ) () ()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =) |()(A B P A P =∑ ==n k k k B A P B P A P 1)|()()(∑ ==n k k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1 )|()()|()()|() ,...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...) 1,0(! )(== =-k e k k X P k ，λλ 1)(=? +∞ ∞ -dx x f )(b X a P ≤≤?=≤≤b a dx x f b X a P )()() 0(1 )(/≥= -x e x f x θ θ ∑≤==≤=x k k X P x X P x F ) ()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()() ,(y x f ),(y x F 0 ),(≥y x f 1),(=?? +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f 1),(0≤≤y x F },{),(y Y x X P y x F ≤≤=?+∞ ∞ -=dy y x f x f X ),()(?+∞ ∞ -=dx y x f y f Y ),()(} {}{},{j Y P i X P j Y i X P =====) ()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞ -∞ =?= k k k P x X E )(? +∞ ∞ -?=dx x f x X E )()(∑ =k k k p x g X g E )())((∑∑=i j ij i p x X E )(dxdy y x xf X E ??=),()() (1 )(b x a a b x f ≤≤-= ) ()('x f x F =
概率论与数理统计心得体会
概率课感想与心得体会 笛卡尔说过：“有一个颠扑不破的真理，那就是当我们不能确定什么是真的时候，我们就应该去探求什么是最最可能的。”随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。 概率起源于现实生活，应用于现实生活，如我们讨论了摸球问题，掷硬币正反面的试验，拍骰子问题等等。都是接近生活实践的概率应用实例。 同时，通过概率课还了解了概率的意义，概率是用来度量随机事件发生可能性大小的一个量，而实际结果是事件发生或不发生这两种情况中的一种。但是我们不能根据随机事件的概率来断定某次试验出现某种结果或者不出现某种结果。同时，我们还可以利用概率来判定游戏规则，譬如，在各类游戏中，如果每个人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，这就是说，要保证所制定的游戏规则是公平的，需要保证每个人获胜的概率相等。概率教学中的试验或游戏结果，如果不进行足够多的次数，是很难得出比较接近概率的频率的，也就是说当试验的次数很多的时候，频率就逐渐接近一个稳定的值，这个稳定的值就是概率。我们说，当进行次数很多的时候，时间发生的次数所占的总次数的比例，即频率就是概率。换句话说，就是时间发生的可能性最大。 概率不仅在生活上给了我们很大的帮助，同时也能帮我们验证某些理论知识，譬如投针问题： ()行直线相交的概率． 平的针，试求该针与任一一根长度为线，向此平面上任意投的一些平行平面上画有等距离为a L L a <
我们解如下： 平行线的距离； ：针的中心到最近一条 设：X 此平行线的夹角．：针与? 上的均匀分布；， 服从区间则随机变量?? ? ?? ? 20a X []上的均匀分布；服从区间随机变量π?,0相互独立．与并且随机变量?X ()的联合密度函数为 ，所以二维随机变量?X ()??? ??≤≤≤≤=. , 02 02 其它，，π?π?a x a x f {} 针与任一直线相交设：=A , . sin 2? ?? ???<=?L X A 则所以， ()? ?????<=?sin 2L X P A P 的面积的面积 D A =.22 sin 20 a L a d L ππ??π == ?
概率论与数理统计心得
一概率论与数理统计是工程数学中比较灵活的一门课程，个人觉得也是学的有滋有味的一科。概率论是以古典型概率，几何型概率，条件概率，各种分布列等为基本模型，以加法原理，乘法原理为规则，以非负性，规范性，可列可加性为基本性质，逆事件，差事件概率的计算公式，加法公式等为运算基础骨架。解题时应做到心中有数，将难题一步步分解为这些简单问题的叠加。学习重点应放在理解和运用上，而不在于计算，老师上课时的例题很重要，课后要理解消化，勤做练习加深理解，做题时应分清各类题型，举一反三。 熟练掌握：概率部分：1.常见分布列，分布函数：离散型--连续型一维--二维--多维离散：两点分布，二次分布，泊松分布，几何分布连续：均匀分布，指数分布，正态分布2.基本运算概念：概率密度，数学期望，方差，协方差，相关系数数理统计部分：样本基本概念：X2分布，t分布，F分布，正态总体的样本均值，方差，k阶原点矩，k阶中心矩推荐经典习题：第一章:3.4.5.8.9.10.11.12.13.15.18.20.21 第二章:4.10.11.14.15.17.24.25.26.27 第三章:1-8.13.14.19.20.24.25.27 第四章:1.3.5.6.8.10(*).11---20.24.26.27.28(*).29.30 第六章:1.2.4.5.6.7.9(*) 第七章:2.3.4.7.8.9.10.11.12 二“概率论与数理统计”是理工科大学生的一门必修课程，由于该学科与生活实践和科学试验有着紧密的联系，是许多新发展的前沿学科(如控制论、信息论、可靠性理论、人工智能等)的基础，因此学好这一学科是十分重要的。“概率论 与数理统计”的学习应注重的是概念的理解，而这正是广大学生所疏忽的，在复习时几乎有近一半以上学生对“什么是随机变量”、“为什么要引进随机变量”仍说不清楚。对于涉及随机变量的独立，不相关等概念更是无从着手，这一方面是因为高等数学处理的是“确定” 的事件。如函数y=f(x)，当x确定后y有确定的值与之对应。而概率论中随机变量X在抽样 前是不确定的，我们只能由随机试验确定它落在某一区域中的概率，要建立用“不确定性”的思维方法往往比较困难，如果套用确定性的思维方法就会出错。由于基本概念没有搞懂，即使是十分简单的题目也难以得分。从而造成低分多的现象。另一方面由于概率论中涉及的计算技巧不多，除了古典概型，几何概型和计算二维随机变量的函数分布时如何确定积分上、下限有一些计算的难点，其他的只是数值或者积分、导数的计算。因而如果概念清楚，那么 解题往往很顺利且易得到正确答案，这正是高分较多的原因。根据上面分析，启示我们不能把高等数学的学习方法照搬到“概率统计”的学习上来，而应按照概率统计自身的特点提出学习方法，才能取得“事半功倍”的效果。下面我们分别对“概率论”和“数理统 计”的学习方法提出一些建议。一、学习“概率论”要注意以下几个要点 1. 在学习“概率论”的过程中要抓住对概念的引入和背景的理解，例如为什么要引进“随机变 量”这一概念。这实际上是一个抽象过程。正如小学生最初学数学时总是一个苹果加2个苹果等于3个苹果，然后抽象为1+2=3.对于具体的随机试验中的具体随机事件，可以计算
最大似然估计学习总结(概率论大作业)
最大似然估计学习总结(概率论大作业)
最大似然估计学习总结 航天学院探测制导与控制技术杨若眉1110420123 摘要：最大似然估计是一种统计方法，它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。最大似然法明确地使用概率模型，其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。最大似然法是一类完全基于统计的系统发生树重建方法的代表。 关键词：最大似然估计；离散；连续；概率密度最大似然估计是一种统计方法，它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。这个方法最早是遗传学家以及统计学家罗纳德·费雪爵士在1912年至1922年间开始使用的。 “似然”是对likelihood 的一种较为贴近文言文的翻译，“似然”用现代的中文来说即“可能性”。故而，若称之为“最大可能性估计”则更加通俗易懂。最大似然法明确地使用概率模型，其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。最大似然法是一类完全基于统计的系统发生树重建方法的代表。该方法在每组序列比对中考虑了每个核苷酸替换的概率。
最大似然法是要解决这样一个问题：给定一组数据和一个参数待定的模型，如何确定模型的参数，使得这个确定参数后的模型在所有模型中产生已知数据的概率最大。通俗一点讲，就是在什么情况下最有可能发生已知的事件。举个例子，假如有一个罐子，里面有黑白两种颜色的球，数目多少不知，两种颜色的比例也不知。我们想知道罐中白球和黑球的比例，但我们不能把罐中的球全部拿出来数。现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿一个球出来，记录球的颜色，然后把拿出来的球再放回罐中。这个过程可以重复，我们可以用记录的球的颜色来估计罐中黑白球的比例。假如在前面的一百次重复记录中，有七十次是白球，请问罐中白球所占的比例最有可能是多少？ 我想很多人立马有答案：70%。这个答案是正确的。可是为什么呢？（常识嘛！这还要问？！）其实，在很多常识的背后，都有相应的理论支持。在上面的问题中，就有最大似然法的支持例如，转换出现的概率大约是颠换的三倍。在一个三条序列的比对中，如果发现其中有一列为一个C，一个T和一个G，我们有理由认为，C和T所
概率统计公式大全汇总
第一章
n Pm ?
随机事件和概率
（1）排列 组合公式
n Cm ?
m! (m ? n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。
m! 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。 n!(m ? n)!
（2）加法 和乘法原 理
加法原理（两种方法均能完成此事） ：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种 方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事） ：m×n 某件事由两个步骤来完成， 第一个步骤可由 m 种方法完成， 第二个步骤可由 n 种 方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但 在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如 下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 ? 来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 ? 表示。 一个事件就是由 ? 中的部分点（基本事件 ? ）组成的集合。通常用大写字母 A， B，C，…表示事件，它们是 ? 的子集。 ? 为必然事件，? 为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（Ω ）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 ①关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分， （A 发生必有事件 B 发生） ：
（3）一些 常见排列 （4）随机 试验和随 机事件
（5）基本 事件、样本 空间和事 件
（6）事件 的关系与 运算
A? B
如果同时有 A ? B ， B ? A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：A=B。 A、B 中至少有一个发生的事件：A ? B，或者 A+B。 属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可表 示为 A-AB 或者 A B ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
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概率论知识点总结及心得体会
概率论总结及心得体会 2008211208班 08211106号 史永涛 班内序号：01 目录 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 (1) 第二章随机变量及其分布 (5) 第三章多维随机变量及其分布 (10) 第四章随机变量的数字特征 (13) 第五章极限定理 (18) 二、学习概率论这门课的心得体会 (20) 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E表示。 在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。
不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体 样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。 基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。 3、定义：事件的包含与相等 若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B?A 或A?B。 若A?B且A?B则称事件A与事件B相等，记为A＝B。 定义：和事件 “事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件 A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。 定义：积事件 称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。 定义：差事件 称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差 事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，e?B} 。
概率论与数理统计学习心得
- 《概率论与数理统计》由于其理论及应用的重要性，目前在我国高等数学教育中，已与高等数学和线性代数渐成鼎足之势。 学生们在学习《概率论与数理统计》时通常的反映之一是“课文看得懂，习题做不出”。概率论习题的难做是有名的。要做出题目，至少要弄清概念，有些还要掌握一定的技巧。这句话说起来简单，但是真正的做起来就需要花费大量的力气。不少学生在学习时，只注重公式、概念的记忆和套用，自己不对公式等进行推导。这就造成一个现象：虽然在平时的做题过程中，自我感觉还可以；尤其是做题时，看一眼题目看一眼答案，感觉自己已经掌握的不错了，但一上了考场，就考砸。这就是平时的学习过程中只知其一，不知其二，不注重对公式的理解和推导造成的。比方说，在我们教材的第一章，有这样一个公式：A-B=bar（AB）=A-AB，这个公式让很多人迷糊，因为这个公式本身是错误的，在教材后面的例题1-15中证明利用了这个公式，很多人就用教材上这个错误的公式套用，结果看不懂。其实这个公式正确的应该是A-B=AbarB=A-AB.这是一个应用非常多的公式，而且考试的时候一般都会考的公式。在开始接触这个公式的时候就应该自己进行推导，发现这个错误，而不是看到这个公式之后，记住，然后运用到题目中去。大家在看书的时候注意对公式的推导，这样才能深层次的理解公式，真正的灵活运用。做到知其一，也知其二。 现在概率统计的考试试题难度，学员呼声不一，有的人感觉非常难，而且最让他们难以应对的是基础知识，主要涉及排列组合、导数、积分、极限这四部分。现在就这部分内容给大家分析一下。说这部分是基础，本身就说明这些知识不是概率统计研究的内容，他们只是在研究概率统计的时候不可缺少的一些工具。即然这样，在考试中就不会对这部分内容作过多的考察，也会尽量避免大家在这些方面丢分。分析到这里，就要指出一些人在学习这门课的“战术失误”。有些人花大量的力气学习微积分，甚至学习概率统计之前，将微积分重新学一遍，这是不可取的。对这部分内容，将教材上涉及到的知识选出来进行复习，理解就可以。万不能让基础知识成为概率统计的拦路虎。学习中要知道哪是重点，哪是难点。 如何掌握做题技巧俗话说“孰能生巧”，对于数学这门课，用另一个成语更贴切——“见多识广”。对于我们自考生而言，学习时间短，想利用“孰能生巧”不太现实，但是“见多识广”确实在短时间内可以做到。这就是说，在平时不能一味的多做题，关键是多做一些类型题，不要看量，更重要的是看多接触题目类型。同一个知识点，可以从多个角度进行考察。有些学员由于选择辅导书的问题，同类型的题目做了很多，但是题目类型却没有接触多少。在考试的时候感觉一落千丈。那么应该如何掌握题目类型呢我想历年的真题是我们最好的选择。 平时该如何练习提出这个问题可能很多人会感到不可思议。有一句话说得好“习惯形成性格”。这句话应用到我们的学习上也成立。这么多年以来，有些人有很好的学习习惯，尽管他的学习基础也不好，学习时间也有限，但是他们能按照自己知道的学习规律坚持学习，能够按照老师说得去思考、前进。我们大多数人都有惰性，一个题目一眼看完不会，就赶紧找答案。看了答案之后，也就那么回事，感觉明白了，就放下了。就这样“掰了很多玉米，最后却只剩下一个玉米”。我们很清楚，最好的方法是摘一个，留一个。哪怕一路你只摘了2个，也比匆匆忙忙摘了一路，却不知道保留的人得到的多。平时做题要先多思考，多总结，做一个会一个，而且对于做过的题目要经常地回顾，这样才能掌握住知识。就我的辅导经验而言，绝大多数人还是在这个问题上出现了问题。 考试有技巧，学习无捷径。平时的学习要注重知识点的掌握，踏踏实实，这才是方法中
概率计算方法总结3
概率计算方法总结 在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)= 的结果数 随机事件所有可能出现果数 随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事 件）=0；0 概率论知识点总结 基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。 样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω、样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间、样本空间用Ω表示、一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件A 发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为或。 相等关系：若且，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。事件的和：“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件。记为A∪B。事件的积：称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB。事件的差：称事件“事件A发生而事件B不发生”为事件A 与事件B的差事件,记为 A－B。用交并补可以表示为。互斥事件：如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。互斥时可记为A＋B。对立事 件：称事件“A不发生”为事件A的对立事件（逆事件），记为。对立事件的性质：。事件运算律：设A，B，C为事件，则有（1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA（2）结合律： A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC（4）对偶律（摩根律）： 第二节事件的概率概率的公理化体系：（1）非负性： P(A)≥0；（2）规范性：P(Ω)＝1（3）可数可加性：两两不相容时概率的性质：（1）P(Φ)＝0（2）有限可加性：两两不相容时当AB=Φ时P(A∪B)＝P(A)＋P(B)（3）（4）P(A－B)＝P(A)－ P(AB)（5）P（A∪B）＝P(A)＋P(B)－P(AB)第三节古典概率模型 1、设试验E是古典概型, 其样本空间Ω由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成、则定义事件A的概率为 2、几何概率：设事件A是Ω的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可、第四节条件概率条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B)、乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设是一个完备事件组，则 心得体会 汇报人 注意：本文档适合对应岗位使用，实际使用者需要根据本岗位的实际工作内容和工作职责进行相应调整，下载之前请务必预览前页内容。 概率论学习心得 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的科学，既是重要的基础理论，又是实践性很强的应用科学。 概率论是十七世纪因保险事业发展而产生的，与博弈实践有关；数理统计学源于对天文和测地学中的误差分析以及中世纪欧洲流行黑死病的统计。数理统计学与概率论这两个学科的密切联系就是基于统计数据的随机性。 概率论与数理统计具有很强的实用性，科学研究与社会活动都需要进行数据的收集、整理以及精炼的形式表达，并以此为基础进行定量或定性估计、描述和解释，预测其未来可能的发展状况。而对大量随机数据进行整理并描述评估、预测其发展正是数理统计学与概率论的重要内容。 实用性赋予了概率论与数理统计强大的生命力。17世纪概率论与数理统计作为学科诞生后，其方法就被英国古典政治经济学创始人佩蒂引进到社会经济问题的研究中，他提倡让实际数据说话，其对资本主义经济的研究从流通领域进入生产领域，对商品的价值量做了正确的分析。 二战后随着科技的发展特别是计算机的发展，概率论与数理统计在新的实践条件下得以迅猛发展，其理论日益完善与深入，其手段日益先进和便利，其作用日益重要和广泛，大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域，许多新兴科学都是以概率论与数理统计作为基础的，如信息论、对策论、排队论、控制论等。 概率论与数理统计不仅在自然科学中发挥重要作用，实证的方法就是基于数据分析整理并推理预测，而且在社会实践中发挥着重要的不可替代的作用，这是因为： 1、人类活动的各个领域都不同程度与数据打交道，都有如何收集和分析数据的问题，因此概率论与数理统计学的理论和方法，与人类活动的各个领域都有关联。 2、组成社会的单元——人、家庭、单位、地区等，都有很大的变异性、不确定性，如果说，在自然现象中尚有一些严格的、确定性的规律，在社会现象中 概率初步知识点和题型 【知识梳理】 1．生活中的随机事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ②不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0； ③如果A为不确定事件，那么0 3．概率应用： 通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题。 【练习】 随机事件与概率： 一. 选择题 1. 下列事件必然发生的是（） A. 一个普通正方体骰子掷三次和为19 B. 一副洗好的扑克牌任抽一张为奇数。 C. 今天下雨。 D. 一个不透明的袋子里装有4个红球，2个白球，从中任取3个球，其中至少有2球同色。 2. 甲袋中装着1个红球9个白球，乙袋中装着9个红球1个白球，两个口袋中的球都已搅匀。想从两个口袋中摸出一个红球，那么选哪一个口袋成功的机会较大？（） A. 甲袋 B. 乙袋 C. 两个都一样 D. 两个都不行 3. 下列事件中，属于确定事件的是（） A. 发射运载火箭成功 B. 2008年，中国女足取得冠军 C. 闪电、雷声出现时，先看到闪电，后听到雷声 D. 掷骰子时，点数“6”朝上 4. 下列事件中，属于不确定的事件的是（） A. 英文字母共28个 B. 某人连续两次购买两张彩票，均中头奖 C. 掷两个正四面体骰子（每面分别标有数字1，2，3，4）接触地面的数字和为9 D. 哈尔滨的冬天会下雪 5. 下列事件中属于不可能的事件是（） A. 军训时某同学打靶击中靶心 B. 对于有理数x，∣x∣≤0 C. 一年中有365天 D. 你将来长到4米高 6、一个袋子中放有红球、绿球若干个，黄球5个，如果袋子中任意摸出黄球的概率为0.25， 那么袋子中共有球的个数为（） A. 15 B. 18 C. 20 D. 25 用列举法求概率： 填空题： 竭诚为您提供优质文档/双击可除 概率论学习心得总结 篇一：《概率论与数理统计》课程学习心得 《概率论与数理统计》课程学习心得 1004012033陈孝婕10计本3班 有人说：“数学来源于生活，应用于生活。数学是有信息的，信息是可以提取的，而信息又是为人们服务的。”那么概率肯定是其中最为重要的一部分。巴特勒主教说，对我们未来说，可能性就是我们生活最好的指南，而概率即可能。 概率论与数理统计是现代数学的一个重要分支。近二十年来，随着计算机的发展以及各种统计软件的开发，概率统计方法在金融、保险、生物、医学、经济、运筹管理和工程技术等领域得到了广泛应用。主要包括：极限理论、随机过程论、数理统计学、概率论方法应用、应用统计学等。极限理论包括强极限理论及弱极限理论；随机过程论包括马氏过程论、鞅论、随机微积分、平稳过程等有关理论。概率论方法应用是一个涉及面十分广泛的领域，包括随机力学、统计物理学、保险学、随机网络、排队论、可靠性理论、随机信 号处理等有关方面。应用统计学方法的产生主要来源于实质性学科的研究活动中，例如，最小二乘法与正态分布理论源于天文观察误差分析，相关与回归分析源于生物学研究，主成分分析与因子分析源于教育学与心理学的研究，抽样调查方法源于政府统计调查资料的搜集等等。本研究方向在学习概率论、统计学、随机过程论等基本理论的基础上，致力于概率统计理论和方法同其它学科交叉领域的研究，以及统计学同计算机科学相结合而产生的数据挖掘的研究。此外,金融数学也是本专业的一个主要研究方向。它主要是通过数学建模，理论分析、推导，数值计算以及计算机模拟等理论分析、统计分析和模拟分析，以求研究和分析所涉及的理论问题和实际问题。 生活中会遇到这样的事例：有四张彩票供三个人抽取，其中只有一张彩票有奖。第一个人去抽，他的中奖概率是25％，结果没抽到。第二个人看了，心里有些踏实了，他中奖的概率是33％，结果他也没抽到。第三个人心里此时乐开了花，其他的人都失败了，觉得自己很幸运，中奖的机率高达50％，可结果他同样没中奖。由此看来，概率的大小只是在效果上有所不同，很大的概率给人的安慰感更为强烈。但在实质上却没有区别，每个人中奖的概率都是50％，即中奖与不中奖。 同样的道理，对于个人而言，在生活中要成功做好一件 《概率论与数理统计》课程学习感想 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的科学，既是重要的基础理论，又是实践性很强的应用科学。 概率论与数理统计是现代数学的一个重要分支。近二十年来，随着计算机的发展以及各种统计软件的开发，概率统计方法在金融、保险、生物、医学、经济、运筹管理和工程技术等领域得到了广泛应用。主要包括：极限理论、随机过程论、数理统计学、概率论方法应用、应用统计学等。极限理论包括强极限理论及弱极限理论；随机过程论包括马氏过程论、鞅论、随机微积分、平稳过程等有关理论。概率论方法应用是一个涉及面十分广泛的领域，包括随机力学、统计物理学、保险学、随机网络、排队论、可靠性理论、随机信号处理等有关方面。它主要是通过数学建模，理论分析、推导，数值计算以及计算机模拟等理论分析、统计分析和模拟分析，以求研究和分析所涉及的理论问题和实际问题。 实用性赋予了概率论与数理统计强大的生命力。17世纪概率论与数理统计作为学科诞生后，其方法就被英国古典政治经济学创始人佩蒂引进到社会经济问题的研究中，他提倡让实际数据说话，其对资本主义经济的研究从流通领域进入生产领域，对商品的价值量做了正确的分析。 生活中会遇到这样的事例：有四张彩票供三个人抽取，其中只有一张彩票有奖。第一个人去抽，他的中奖概率是25％，结果没抽到。第二个人看了，心里有些踏实了，他中奖的概率是33％，结果他也没抽到。第三个人心里此时乐开了花，其他的人都失败了，觉得自己很幸运，中奖的机率高达50％，可结果他同样没中奖。由此看来，概率的大小只是在效果上有所不同，很大的概率给人的安慰感更为强烈。但在实质上却没有区别，每个人中奖的概率都是50％，即中奖与不中奖。 同样的道理，对于个人而言，在生活中要成功做好一件事的概率是没有大小之分的，只有成功或失败之分。但这概率的大小却很能影响人做事的心态。 如果说概率有大小之分，那应该不是针对个体而言，而是从一个群体出发，因为不同的人有不同的信念，有不同的做事方法。把地球给撬起来，这在大多数 四类基本模型 1 优化模型 1.1 数学规划模型 线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。 1.2 微分方程组模型 阻滞增长模型、SARS 传播模型。 1.3 图论与网络优化问题 最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。 1.4 概率模型 决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。 1.5 组合优化经典问题 ● 多维背包问题(MKP) 背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。如何将尽可能多的物品装入背包。 多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。 多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。该问题属于NP 难问题。 ● 二维指派问题(QAP) 工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。工人i 完成工作j 的时间为ij d 。如何安排使总工作时间最小。 二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。 二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。 ● 旅行商问题(TSP) 旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。 ● 车辆路径问题(VRP) 车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在 《概率统计》公式、符号汇总表及各章要点及复习策略 （共4页） 第一章均独立。 与与与此时独立与B A B A B A B P A P AB P B A B P AB P B A P ,,);()()( )()()( (1)?=?= )() ()()( ) ()()()()( )3() (1)( ) ()( A B )()()( ) ()()()()( ) ()()()( )2(11A P B P B A P A B P B P B A P B P B A P A P A P A P B P A P AB P A P B A P A P A B P B P B A P AB P AB P B P A P B A P i i i n n ?=?++?=-=-?-=-?=?=-+= 第二、三章 一维随机变量及分布：X ， i P ， )(x f X ， )(x F X 二维随机变量及分布：),(Y X ， ij P ， ),(y x f ， ),(y x F *注意分布的非负性、规范性 （1）边缘分布：如：∑=j ij i p P ，?+∞ ∞-=dy y x f x f X ),()( （2）独立关系：J I IJ P P P Y X =?独立与 或)()()(y f x f y x f Y X =， ),,(11n X X 与),,(21n Y Y 独立),,(11n X X f ?与),,(21n Y Y g 独立 （3）随机变量函数的分布（离散型用点点对应法、连续型用分布函数法） 一维问题：已知X 的分布以及)(X g Y =，求Y 的分布 二维问题：已知),(Y X 的分布，求Y X Z +=、{}Y X M ,m ax =、{}Y X N ,m in =的分布- *??+∞∞-+∞ ∞--=-=dy y y z f dx x z x f z f Z ),(),()( M 、N 的分布--------离散型用点点对应法、连续型用分布函数法 第四章 （1）期望定义：离散：∑= i i i p x X E )( 连续：? ??+∞∞-+∞∞-+∞ ∞-==dxdy y x xf dx x xf X E ),()()( 方差定义：)()(]))([()(222X E X E X E X E X D -=-= 离散：∑-= i i i p X E x X D 2))(()( 连续：?+∞ ∞--=dx x f X E x X D X )())(()(2 协方差定义：)()()())]())(([(),(Y E X E XY E Y E Y X E X E V X COV -=--= 数理统计培训心得体会 篇一：《概率论与数理统计》课程学习心得 《概率论与数理统计》课程学习感想 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的科学，既是重要的基础理论，又是实践性很强的应用科学。 概率论与数理统计是现代数学的一个重要分支。近二十年来，随着计算机的发展以及各种统计软件的开发，概率统计方法在金融、保险、生物、医学、经济、运筹管理和工程技术等领域得到了广泛应用。主要包括：极限理论、随机过程论、数理统计学、概率论方法应用、应用统计学等。极限理论包括强极限理论及弱极限理论；随机过程论包括马氏过程论、鞅论、随机微积分、平稳过程等有关理论。概率论方法应用是一个涉及面十分广泛的领域，包括随机力学、统计物理学、保险学、随机网络、排队论、可靠性理论、随机信号处理等有关方面。它主要是通过数学建模，理论分析、推导，数值计算以及计算机模拟等理论分析、统计分析和模拟分析，以求研究和分析所涉及的理论问题和实际问题。 实用性赋予了概率论与数理统计强大的生命力。17世纪概率论与数理统计作为学科诞生后，其方法就被英国古典政治经济学创始人佩蒂引进到社会经济问题的研究中，他提倡让实际数据说话，其对资本主义经济的研究从流通领域进入生产领域，对商品的价值量做了正确的分析。 生活中会遇到这样的事例：有四张彩票供三个人抽取，其中只有一张彩票有奖。第一个人去抽，他的中奖概率是25％，结果没抽到。第二个人看了，心里有些踏实了，他中奖的概率是33％，结果他也没抽到。第三个人心里此时乐开了花，其他的人都失败了，觉得自己很幸运，中奖的机率高达50％，可结果他同样没中奖。由此看来，概率的大小只是在效果上有所不同，很大的概率给人的安慰感更为强烈。但在实质上却没有区别，每个人中奖的概率都是50％，即中奖与不中奖。 同样的道理，对于个人而言，在生活中要成功做好一件事的概率是没有大小之分的，只有成功或失败之分。但这概率的大小却很能影响人做事的心态。 如果说概率有大小之分，那应该不是针对个体而言，而是从一个群体出发，因为不同的人有不同的信念，有不同的做事方法。把地球给撬起来，这在大多数 人眼里是绝对不可能的。但在牛人亚里士多德眼里，他觉得成功做这事的概率那是100％——绝对没问题，只要你给他一个支点和足够长的杠杆。就像前面提到的抽奖一样，25％、33％和50％这些概率只不过是外界针对这个群体给出的。25％的机率同样能中奖，50％的机率也会不中奖，对于抽奖者个人而言，没有概率大小之分，只有中与不中之分。别人说做这件事相当容易，切莫掉以轻心，也许你做这件事 学习概率论与数理统计感想 作者：丁彦军学号：1130610816 班级：1306108 摘要：概率论与数理统计是一门与生活息息相关的学科，在生活中很多方面都有很广泛的应用，通过本学期对于这门课程的学习，我更加深刻的体会到了这一点。同时，了解一些概率论的发展历史和现状有助于我们更好的理解和学习这门课程的研究对象和方法，也有助于我们掌握这门课程的精髓。 关键词：概率论起源发展应用 通过这学期对概率论与数理统计这门课的学习，我认识到，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。同时，通过概率课还了解了概率的意义，概率是用来度量随机事件发生可能性大小的一个量，而实际结果是事件发生或不发生这两种情况中的一种。 了解这些后，我对概率论和数理统计的起源和发展历史以及它目前的发展情况产生了浓厚的兴趣。英国数学家格雷舍(Galisber,1848一1928)曾经说过:“任何企图将一种科目和它的历史割裂开来,我确信,没有哪一种科目比数学的损失更大。”了解和研究概率论发展的历史,有助于我们加深对这门课程研究对象、研究方法的了解;有利于总结成功经验和失败教训,启迪我们更好地学习这门课程。 下面介绍概率论的起源和发展历史: 1.古典概率时期（十七世纪） 概率论的早期研究大约在十六世纪到十一七世纪之间。这段期间,欧洲进入文艺复兴时期,工业革命已开始蔓延。伴随工业发展提出的误差问题,伴随航海事业发展产生的天气预报问题,伴随商业发展而产生的贸易、股票、彩票和银行、保险公司等,加之人们越来越需要了解的患病率、死亡率、灾害规律等问题,急需创立一门分析研究随机现象的数学学科。概率论应社会实践的需要出现了。在这个时期,意大利著名物理学家伽俐略(GalileiGalileo,1564.2.18一1642.1.8)就曾对物理实验中出现的误差进行了科学的研究,把误差作为一种随机现象,并估计了他们产生的概率。十七世纪末,瑞士数学家伯努利对惠更斯没有解决的问题给出了解答,并第一次用到了母函数概念。伯努利的成就主要是从理论上证明了大数定理。伯努利的另一重大贡献是研究了独立重复试验概型。由于这种概型研究的是只有两个可能结果的试验,并经多次重复的结果。因此具有很普遍的意义。至今,在许多概率论专著中仍把独立重复试验概型称为“伯努利概型”。 2.初等概率时期(十八世纪) 十八世纪,概率论发展很快,几乎初等概率的全部内容都在这个期间形成。法国杰出的数学家德莫哇佛尔(AbrahamDeMoiver,1667--1754)最早研究了随机变量服从正态分布的情形,发现了正态概率分布曲线。接着,他又发现,许多分布的极限正态分布,并证明了二项分布当 1的情形。这种证明某一分布的极限是正态分布的各种定理,以p=q= 2 后发展成概率论的一个重要组成部分—中心极限定理。英国数学家辛普松(TnomasSimpson,1710一1761)所研究的问题中有一个对产品剔概率论知识点总结
概率论学习心得
概率初步知识点总结和题型
概率论学习心得总结
《概率论与数理统计》课程学习心得
数学建模_四大模型总结
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