∫∫=∈D
dxdy y x f D Y X P ,),(}),{(
则称ξ为连续型随机向量；并称f(x,y)为ξ=（X，Y）的分布密度或称为X 和Y 的联合分布密度。 分布密度f(x,y)具有下面两个性质： （1） f(x,y)≥0; （2）
∫∫
+∞∞?+∞
∞
?=.1),(dxdy y x f
一般来说，当（X，Y）为连续型随机向量，并且其联合分布
密度为f(x,y)，则X 和Y 的边缘分布密度为
.),()(),()(∫
∫
+∞
∞
?+∞
∞
?==dx y x f y f dy y x f x f Y X ，
注意：联合概率分布→边缘分布
（2）条件分布
当（X，Y）为离散型，并且其联合分布律为
),,2,1,()},(),{(Λ===j i p y x Y X P ij j i
在已知X=x i 的条件下，Y 取值的条件分布为
,)|(?
=
==i ij i j p p x X y Y P
其中p i?, p ?j 分别为X，Y 的边缘分布。
当（X，Y）为连续型随机向量，并且其联合分布密度为f(x,y)，则在已知Y=y 的条件下，X 的条件分布密度为
)
()
,()|(y f y x f y x f Y =
在已知X=x 的条件下，Y 的条件分布密度为
)
()
,()|(x f y x f x y f X =
其中0)(,0)(>>y f x f Y X 分别为X，Y 的边缘分布密度。
（3）常见的二维分布
①均匀分布
设随机向量（X，Y）的分布密度函数为
???
???
?∈=其他
,0),(1),(D
y x S y x f D
其中S D 为区域D 的面积，则称（X，Y）服从D 上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。
②正态分布
设随机向量（X，Y）的分布密度函数为
,
121),(222212121121))((2)1(21
2
????
?????????????+??????????????
?=
σμσσμμρσμρρ
σπσy y x x e
y x f
其中1||
,0,0,,2121<>>ρσσμμ，共5个参数，则称
（X，Y）服从二维正态分布， 记为（X，Y）～N（).,,,2
22
1,21ρσσμμ
由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，反推则错。 即X～N（).(~),,22,22
11σμσμN Y
（5）二维随机向量联合分布函数及其性质
设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数
},{),(y Y x X P y x F ≤≤=
称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数。 分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件
})(,)(|),{(2121y Y x X ≤
函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：
（1）;1),(0≤≤y x F
百度
文
库
（2）F（x,y）分别对x 和y 是非减的，即
当x 2>x 1时，
有F （x 2,y）≥F(x 1,y);当y 2>y 1时，有F(x,y 2) ≥F(x,y 1);
（3）F（x,y）分别对x 和y 是右连续的，即
);0,(),(),,0(),(+=+=y x F y x F y x F y x F
（
4
）
.1),(,0),(),(),(=+∞+∞=?∞=?∞=?∞?∞F x F y F F
2、随机变量的独立性
（1）连续型随机变量 f(x,y)=f X (x)f Y (y)
联合分布→边缘分布→f(x,y)=f X (x)f Y (y)
直接判断，充要条件： ①可分离变量
②正概率密度区间为矩形
（2）二维正态分布
,
121),(2222121211221))((2)1(21
2
???
?
?????????????+??????????????
?=
σμσσμμρσμρρ
σπσy y x x e y x f
ρ=0
（3）随机变量函数的独立性
若X 与Y 独立，h,g 为连续函数，则：h（X）和g（Y）独立。
四. 随机变量的数字特征
（1）一维随机变量及其函数的期望
①设X 是离散型随机变量，其分布律为P(k x X =)＝p k ，k=1,2,…,n ，
∑==n
k k k p x X E 1
)(
期望就是平均值。
②设X 是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，
∫+∞
∞
?=
dx x xf X E )()(
③数学期望的性质 （1） E(C)=C
（2） E(CX)=CE(X)
（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，∑∑===n
i n
i i i i
i X E C X
C E 1
1
)()(
（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X 和Y 独立； 充要条件：X 和Y 不相关。 （5） Y=g(X)
离散：∑==
n
i k k
p x
g Y E 1
)()(
连续：∫+∞
∞?=
dx x xf X E )()(
∫+∞
∞
?=
dx x f x g Y E )()()(
（2）方差
D(X)=E[X-E(X)]2，方差
)()(X D X =σ，标准差
①离散型随机变量
∑?=k
k k p X E x X D 2)]([)(
②连续型随机变量
∫+∞
∞
??=dx x f X E x X D )()]([)(2
③方差的性质
（1） D(C)=0；E(C)=C
（2） D(aX)=a 2D(X)； E(aX)=aE(X)
（3） D(aX+b)= a 2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b
（4） D(X)=E(X 2)-E 2(X) （5） D(X+Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X 和Y 独立； 充要条件：X 和Y 不相关。
D(X ±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。
E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。
（3）常见分布的数学期望和方差
百度
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①0－1分布
X 0 1
q
p
E(X)=p，D(X)=pq
②二项分布 X ~B(n,p)，k
n k
k
n n q p C k P ?=)(，（k=0,1,2…n）
E(X)=np，D(X)=npq
③泊松分布 P(λ) P(X=k)=!
k e x
k ?λ，k=0,1,2…
E(X)= λ， D(X)= λ
④超几何分布 n
N
k n M
N k M C C C k X P ??==)( E(X)=N
nM
⑤几何分布 1
)(?==k pq
k X P ，k=0,1,2…
E(X)=p 1
， D(X)=2p
q
⑥均匀分布 X ~U[a,b]，f(x)=
a
b ?1
，[a, b ] E(X)=2b a +， D(X)=12
)
(2
a b ?
⑦指数分布 f(x)= x
e λλ?，(x>0)
E(X)=λ
1
， D(X)=
2
1
λ
))].())(([(11Y E Y X E X E XY ??==μσ
与记号XY σ相对应，X 与Y 的方差D （X ）与D （Y ）也可分别记为XX σ与YY σ。
协方差有下面几个性质：
(i) cov (X, Y)=cov (Y , X);
(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);
(iii) cov(X 1+X 2, Y)=cov(X 1,Y)+cov(X 2,Y); (iv) cov(X,Y)=E(XY)-(E(X))(E(Y)).
对于随机变量X 与Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，则称
)
()(Y D X D XY
σ
为X 与Y 的相关系数，记作XY ρ（有时可简记为ρ）。 |ρ|≤1，当|ρ|=1时，称X 与Y 安全相关：
完全相关??
??==时，
负相关，当时，
正相关，当11ρρ
而当0=ρ时，称X 与Y 不相关。 与相关系数有关的几个重要结论
（i）
若随机变量X 与Y 相互独立，则0=XY ρ；反之不真。
（ii）
若（X，Y）～N（ρσσμμ,,,,2
22121），则X 与Y 相互独立的充要条件是0=ρ，即X 和Y
不相关。
（iii）
以下五个命题是等价的：
①0=XY ρ； ②cov(X,Y)=0;
百度
文
库
③E(XY)=E(X)E(Y); ④D(X+Y)=D(X)+D(Y); ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).
（2）二维随机变量函数的期望
???????=∫∫∑∑∞+∞∞
+∞
－－为连续型。，
为离散型；，),(),(),(),(),()],([Y X dxdy y x f y x G Y X p y x G Y X G E i j ij j i
（3）原点矩和中心矩
①对于正整数k，称随机变量X 的k 次幂的数学期望为X 的k 阶原点矩，记为v k ,即
u k =E(X k
), k=1,2, ….
于是，我们有
??????
?=∫∑∞+∞
?.
,)(续型时为连当为离散型时，
当X dx x p x X p x u k i
i k i k
②对于正整数k，称随机变量X 与E（X）差的k 次幂的数学期望为X 的k 阶中心矩，记为k μ，即
.,2,1,))((Λ=?=k X E X E k k μ
于是，我们有
??????
???=∫∑∞+∞
?.
,)())(())((续型时为连当为离散型时，当X dx x p X E x X p X E x u k i
i
k i k
③对于随机变量X 与Y，如果有)(l
k
Y X E 存在，则称之为X 与Y 的k+l 阶混合原点矩，记为kl u ，即
))].(())([(Y E Y X E X E u k kl ??=
五. 大数定律和中心极限定理 1、切比雪夫不等式
设随机变量X 具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2
，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式
22
)(ε
σεμ≤≥?X P
切比雪夫不等式给出了在未知X 的分布的情况下，对概
率
)(εμ≥?X P
的一种估计，它在理论上有重要意义。
2、大数定律 （1）切比雪夫大数定律
（要求方差有界） 设随机变量X 1，X 2，…相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C 所界：D（X i ）.1)(11lim 11=???
?????
i i n i i n X E n X n P 特殊情形：若X 1，X 2，…具有相同的数学期望E（X I ）
=μ，则上式成为
.11lim 1=???
?
????
()
.1lim =
→εμX P n
切比雪夫大数定律指出，n 个相互独立，且具有有限的相同的数学期望与方差的随机变量，当n 很大时，它们的算术平均以很大的概率接近它们的数学期望。 （2）伯努利大数定律
设μ是n 次独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，有
.1lim =???
?
????
发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即
.0lim =???
?
????≥?∞→εμp n P n 这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。
（3）辛钦大数定律 （不要求存在方差） 设X 1，X 2，…，X n ，…是相互独立同分布的随机变量序列，且E（X n ）=μ，则对于任意的正数ε有
.11lim 1=???
?
????
百
度
文
库
3、中心极限定理
（1）列维－林德伯格定理
设随机变量X 1，X 2，…相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：
),2,1(0)(,)(2Λ=≠==k X D X E k k σμ，则随机变量
σ
μ
n n X
Y n
k k
n ∑=?=
1
的分布函数F n (x )对任意的实数x ，有
∫
∑∞
??
=∞
→∞→=?????????
?
????≤?=x
t n
k k n n n dt e
x n n X P x F .21lim )(lim 2
1
2
πσμ
或者简写成：
)1,0(/N n
X n ??→??∞
→σμ
此定理也称为独立同分布的中心极限定理。
（2）棣莫弗－拉普拉斯定理 设随机变量X 1，…X n 均为具有参数n, p(0∫
∞
??
∞
→=??
????????≤??=x t n n dt e
x p np np X P .21)1(lim 2
2π
4、二项定理和泊松定理
（1）二项定理
若当),(,
不变时k n p N
M
N →∞→，则 k n k k n N
N
k
n M
N K M p P C C C C ????→)1( ).(∞→N
可见，超几何分布的极限分布为二项分布。 （2）泊松定理
若当0,>→∞→λnp n 时，则
λ
λ??→
?e k p P C k
k
n k k n
!
)
1(
).(∞→n
其中k=0，1，2，…，n，…。
六. 数理统计的基本概念
1、总体、个体和样本
（1）总体与样本
总体 在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）；而把总体中的每一个单元称为样品（或个体）。在以后的讨论中，我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。
（2）样本函数与统计量
设n x x x ,,,21Λ为总体的一个样本，称
??= （n x x x ,,,21Λ）
为样本函数，其中?为一个连续函数。如果?中不包含
任何未知参数，则称?（n x x x ,,,21Λ）为一个统计量。
2、统计量
（1）常用统计量
样本均值
.11
∑==n
i i x n x
样本方差
∑=??=n
i i
x x n S 1
2
2.)(11 （与概率论中的方差定义不同）
样本标准差
.)(111
2∑=??=n
i i x x n S 样本k 阶原点矩
∑===n i k
i k k x n M 1
.,2,1,1Λ
样本k 阶中心矩
∑==?=′n
i k i k
k x x n M 1
.,3,2,)(1Λ （
二
阶
中
心
矩
∑=?=n
i i X X n S 1
22
)(1*与概率论中的方差定义相同）
（2）统计量的期望和方差
μ=)(X E ，n
X D 2
)(σ=
，
百度
文
库
22)(σ=S E ，2
21)*(σn
n S E ?=
, 其中∑=?=n
i i X X n S 1
22
)(1
*，为二阶中心矩。
3、三个抽样分布（χ2
、t、F 分布）
（1）χ2
分布
设n 个随机变量n X X X ,,,21Λ相互独立，且服从标准正态分布，可以证明：它们的平方和
∑==n
i i
X W 1
2
的分布密度为
???????<≥??????Γ=??.
0,
0,
0221
)(2122u u e u n u f u n n
我们称随机变量W 服从自由度为n 的2
κ分布，记为W～
2κ(n)，其中
.20
1
2dx e x n x n
?∞+?∫=??????Γ 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。
2κ 分布满足可加性：设
),(2i i n Y κ?
则
).(~211
2
k k
i i n n n Y Z +++=∑=Λκ
注意两个结果：E(χ2)=n，D(χ2
)=2n （2）t 分布
设X，Y 是两个相互独立的随机变量，且
),(~),1,0(~2n Y N X κ
可以证明：函数
n
Y X T /=
的概率密度为
2
121221)(+?
???
????
?+??
?
???Γ?
??
???+Γ=n n t n n n t f π
).(+∞<
我们称随机变量T 服从自由度为n 的t 分布，记为T～
t(n)。
注意两个结果：E(T)=0，D(T)=2
?n n
(n>2)
（3）F 分布
设)(~),(~22
12
n Y n X κκ，且X 与Y 独立，可以证明：
2
1
//n Y n X F =
的概率密度函数为 ???
??
???????
?????+????
??????????Γ??????Γ???
?
??+Γ=+??,
0,1222)(2
2112
2
2
121212111y
y
y n n y n n n n n n y f n n n n
我们称随机变量F 服从第一个自由度为n 1，第二个自由度为n 2的F 分布，记为F～f(n 1, n 2).
正态分布ααμμ?=?1，
)()(1n t n t αα?=?， )
,(1
),(12211n n F n n F αα=
?
4、正态总体下统计量的分布和性质
注意一个定理：X 与2
S 独立。
（1）正态分布
设n x x x ,,,21Λ为来自正态
总体),(2
σμN 的一个样本，则样本函数
).1,0(~/N n
x u
def
σμ
?
（2）t-分布
设n x x x ,,,21Λ为来自正态总体
百度
文
库
),(2σμN 的一个样本，则样本函数
),1(~/??n t n
S x t
def
μ
其中t(n-1)表示自由度为n-1的t 分布。
（3）2
κ
分布
设n x x x ,,,21Λ为来自正态总
体),(2σμN 的一个样本，则样本函数
),1(~)1(22
2
??n S n w
def
κσ
其中)1(2
?n κ表示自由度为n-1的2
κ分布。
（4）F 分布 设n x x x ,,,21Λ为来自正态总体
),(2σμN 的一个样本，而n y y y ,,,21Λ为来自正态总体
),(2
2σμN 的一个样本，则样本函数
),1,1(~//2122
222121??n n F S S F
def
σ
σ
其中
,)(1121
1211∑=??=n i i x x n S ;)(1121
222
2
∑=??=n i i y y n S )1,1(21??n n F 表示第一自由度为11?n ，第二自由度为
12?n 的F 分布。
七. 参数估计 1、点估计的两种方法
（1）矩法
所谓矩法就是利用样本各阶原点矩与相应的总体矩，来建立估计量应满足的方程，从而求得未知参数估计量的方法。
设总体X 的分布中包含有未知数m θθθ,,,21Λ，则其分
布函数可以表成).,,,;(21m x F θθθΛ显示它的k 阶原点矩
),,2,1)((m k X E v k
k Λ==中也包含了未知参数
m θθθ,,,21Λ，即),,,(21m k k v v θθθΛ=。又设
n x x x ,,,21Λ为总体X 的n 个样本值，其样本的k 阶原
点矩为
∑=∧
=n i k
i k x n v 1
1
).,,2,1(m k Λ=
这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有
??????
?
?
??
?
???
?===∑∑∑=∧
∧∧=∧∧∧=∧∧
∧n i m i m m n i i m n i i m x n v x n v x n v 121122121
211.1),,,(,1),,,(,
1),,,(θθθθθθθθθΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 由上面的m 个方程中，解出的m 个未知参数
),,,(21∧
∧
∧
m θθθΛ即为参数（m θθθ,,,21Λ）的矩估计量。
（2）最大似然法
所谓最大似然法就是当我们用样本的函数值估计总体参数时，应使得当参数取这些值时，所观测到的样本出现的概率为最大。
当总体X 为连续型随机变量时，设其分布密度为
),,,;(21m x f θθθΛ，其中m θθθ,,,21Λ为未知参数。
又设n x x x ,,,21Λ为总体的一个样本，称
),,,;(),,,(1
1122∏==n
i m i m n x f L θθθθθθΛΛ
为样本的似然函数，简记为L n . 当总体X 为离型随机变量时，设其分布律为
),,,;(}{21m x p x X P θθθΛ==，则称
),,,;(),,,;,,,(1111222∏==n
i m i m n x p x x x L θθθθθθΛΛΛ
为样本的似然函数。
若似然函数),,,;,,,(2211m n x x x L θθθΛΛ在
m ∧
∧
∧
θθθ,,,2
1Λ处取到最大值，则称m ∧
∧
∧
θθθ,,,2
1Λ分别为
百度
文
库
m θθθ,,,21Λ的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似
然估计量。我们把使L n 达到最大的m ∧
∧∧θθθ,,,2
1Λ分别作为
m θθθ,,,2
1Λ的估计量的方法称为最大似然估计法。
由于ln x 是一个递增函数，所以L n 与ln L n 同时达到最大值。我们称
m i L i
i i
n ,,2,1,0ln Λ==??∧
=θθθ
为似然方程。由多元微分学可知，由似然方程可以求出
),,2,1)(,,,(2
1m i x x x n i i ΛΛ==∧
∧
θθ为i θ的最大似然估计
量。
容易看出，使得L n 达到最大的i ∧
θ也可以使这组样本值
出现的可能性最大。
2、估计量的评选标准
（1）无偏性
设),,,,(21n x x x Λ∧
∧=θθ为求知参数θ的估计量。若E
（∧
θ）=θ，则称 ∧
θ为θ的无偏估计量。
若总体X 的均值E （X ）和方差D （X ）存在，则样本均值x 和样本方差S 2分别为E （X ）和 D （X ）的无偏估计，即
E （x ）=E （X ）， E （S 2）=D （X ）。
（2）有效性
设),,,,(2111n x x x Λ∧
∧
=θθ和)
,,,,(2122n x x x Λ∧∧
=θθ是未知参数θ的两个无偏估计量。若21)(∧
∧
<θθD D ，则称
21∧
∧θθ比有效。
（3）一致性（相合性）
设n ∧
θ是θ的一串估计量，如果对于任意的正数ε，都有
,0)|(|lim =>?∧
∞
→εθθn n P
则称n ∧
θ为θ的一致估计量（或相合估计量）。
3、区间估计
（1）置信区间和置信度
设总体X 含有一个待估的未知参数θ。如果我们从样本
n x x x ,,,,21Λ出发，找出两个统计量
)
,,,,(2111n x x x Λθθ=与
),,,,(2122n x x x Λθθ=)(21θθ<，使得区间],[21θθ以
)10(1<
,1}{21αθθθ?=≤≤P
那么称区间],[21θθ为θ的置信区间，α?1为该区间的置信度（或置信水平）。
（2）单正态总体的期望和方差的区间估计
设n x x x ,,,,21Λ为总体),(~2
σμN X 的一个样
本，在置信度为α?1下，我们来确定2σμ和的置信区
间],[21θθ。具体步骤如下： （i ）选择样本函数；
（ii ）由置信度α?1，查表找分位数； （iii ）导出置信区间],[21θθ。 下面分三种情况来讨论。
① 已知方差，估计均值
（i）选择样本函数
设方差202
σσ
=，其中20σ为已知数。我们知道
μ是∑==n
i i x n x 1
1的一个点估计，并且知道包含未知参数
μ的样本函数。
).1,0(~/0N n
x u σμ
?=
(ii) 查表找分位数
对于给定的置信度α?1，查正态分布分位数表，找出分
位数λ，使得
=≤)|(|λu P α?1。
即
百度
文
库
.1/2αλσμλ?=???
?????≤?≤?n x P （iii ）导出置信区间
由不等式
λσμλ≤?≤
?2
)(n
x
推得
,0
n
x n
x σλ
μσλ
+≤≤?
这就是说，随机区间
?????
?+?n x n x 00,σλσλ
以α?1的概率包含μ。
② 未知方差，估计均值
（i ）选择样本函数
设n x x x ,,,,21Λ为总体),(2
σμN 的一个样本，由于
2σ是未知的，不能再选取样本函数u 。这时可用样本方差
∑=??=n
i i x x n S 1
22
)(11 来代替2
σ，而选取样本函数
).1(~/??=
n t n
S x t μ
(ii)查表找分位数
对于给定的置信度α?1，
查t 分位数表，找出分位数λ，使得
=≤)|(|λu P α?1。
即
.1/αλμλ?=???
?????≤?≤?n S x P （iii ）导出置信区间
由不等式
λσμλ≤?≤
?2
)(n
x
推得
,n
S x n
S x λ
μλ
+≤≤?
这就是说，随机区间
????
?+?n S x n S x λλ,
以α?1的概率包含μ。
③ 方差的区间估计
（i ）选择样本函数
设n x x x ,,,,21Λ为来自总体),(2
σμN 的一个样本，
我们知道∑=??=n
i i x x n S 1
22
)(11 是2σ的一个点估计，并且知道包含未知参数2
σ的样本函数
).1(~)1(22
2
??=
n S n κσω
（ii ）查表找分位数
对于给定的置信度α?1，查2
κ分布分位数表，找
出两个分位数21λλ与，使得由于2
κ分布不具有对称性，因此通常采取使得概率对称的区间，即
.1)(21αλωλ?=≤≤P
于是有
.1)1(222
1
αλσλ?=???
?????≤?≤S n P
（iii ）导出置信区间
22
2
1)1(λσλ≤?≤
S n
由不等式
1
2
2
2
2
)1()1(λσλS n S n ?≤
≤?
以α?1的概率包含2
σ，而随机区间
???
?
????S n S n 12
1,1λλ 以α?1的概率包含σ。
百
度
文
库
概率统计公式、符号汇总表
《概率统计》公式、符号汇总表及各章要点 （共3页） 第一章 第二、三章 一维随机变量及分布：X ， i P ， )(x f X ， )(x F X 二维随机变量及分布：),(Y X ， ij P ， ),(y x f ， ),(y x F *注意分布的非负性、规范性 （1）边缘分布：∑=j ij i p P ，? +∞ ∞ -=dy y x f x f X ),()( （2）独立关系：J I IJ P P P Y X =?独立与 或)()()(y f x f y x f Y X =， ),,(11n X X Λ与),,(21n Y Y Λ独立),,(11n X X f Λ?与),,(21n Y Y g Λ独立 （3）随机变量函数的分布（离散型用列表法） 一维问题：已知X 的分布以及)(X g Y =，求Y 的分布-------连续型用分布函数法 二维问题：已知),(Y X 的分布，求Y X Z +=、{}Y X M ,m ax =、{}Y X N ,m in =的分布- M 、N 的分布---------连续型用分布函数法 第四章 （1）期望定义：离散：∑=i i i p x X E )( 连续：???+∞∞-+∞ ∞-+∞∞-==dxdy y x xf dx x xf X E ),()()( 方差定义：)()(]))([()(222X E X E X E X E X D -=-= 离散：∑-=i i i p X E x X D 2))(()( 连续：?+∞ ∞--=dx x f X E x X D X )())(()(2 协方差定义：)()()())]())(([(),(Y E X E XY E Y E Y X E X E V X COV -=--= 相关系数定义：) ()(),(Y D X D Y X COV XY = ρ
概率论与数理统计公式大全
第1章 随机事件及其概率 例1.16 设某人从一副扑克中(52张)任取13张，设A 为“至少有一张红桃”，B 为“恰有2张红桃”，C 为“恰有5张方块”，求条件概率P (B |A )，P (B |C )解 13 52 1339 1352135213391)(1)(C C C C C A P A P -=-=-=13 52 11 39 213)(C C C AB P ?=13 39 135211392131352 13 39135213521139 213)() ()(C C C C C C C C C C A P AB P A B P -=-==1352 839 513)(C C C C P =13 52626213513)(C C C C BC P =8 39 6262131352 8395131352626 213513)() ()(C C C C C C C C C C C P BC P C B P === 某种动物出生后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率. 解设A 表示事件“活到20岁以上”，B 表示事件“活到25岁以上”，显然A B ?7.0)(=A P 56.0)(=B P 56 .0)()(==B P AB P 8.07 .056 .0)()()(=== A P A B P A B P
例1.21 某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不 超过4件，且具有如下的概率：一批产品中的次品数0 1 2 3 4 概率0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 现进行抽样检验，从每批中随机抽取10件来检验，若发现其中有次品，则认 为该批产品不合格。求一批产品通过检验的概率。4 ()()() k k k P B P A P B A == ∑解设B 表示事件“一批产品通过检验”，A i (i =0,1,2,3,4)表示“一批产品含有i 件次品”，则A 0,A 1, A 2, A 3, A 4组成样本空间的一个划分， 00()0.1,()1 P A P B A ==1099 1110100 ()0.2,()0.900 C P A P B A C ===1098 2210100 ()0.4,()0.809 C P A P B A C ===1097 3310100 ()0.2,()0.727 C P A P B A C ===1096 4410100 ()0.1,()0.652 C P A P B A C ===814.0652 .01.0727.02.0809.04.0900.0.021.0≈?+?+?+?+=顾客买到的一批合格品中，含次品数为0的概率是 0004 ()(|) 0.11(|)0.123 0.814 ()(| ) i i i P A P B A P A B P A P B A =??= = ≈?∑类似可以计算顾客买到的一批合格品中，含次品数为1、2、3、4件的概率分别约 为0.221、0.398、0.179、0.080。 贝叶斯公式(Bayes) 1 ()() ()1,2,,()() k k k n i i i P A P B A P A B k n P A P B A =?= =∑L 第二章 随机变量及其分布 1离散型 随机变量 P(X=x k )=p k ，k=1,2,…， （1）0≥k p ， （2）∑∞ ==1 1 k k p 2连续 型随机变量概 ? ∞-=x dx x f x F )()( (1)0)(≥x f ;(2) ? +∞ ∞ -=1 )(dx x f 。 ()=()F x f x '? =-=≤概率统计公式大全(复习重点)
第一章随机事件和概率 （1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称 事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的
概率论与数理统计公式定理全总结
第一章 P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 概率的乘法公式 全概率公式：从原因计算结果 Bayes 公式：从结果找原因 第二章 二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p) 泊松分布——X~P(λ) 概率密度函数 怎样计算概率 均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp (θ) 分布函数 对离散型随机变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系： 二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法 联合密度函数 联合分布函数 联合密度与边缘密度 离散型随机变量的独立性 连续型随机变量的独立性 第三章 数学期望 离散型随机变量，数学期望定义 连续型随机变量，数学期望定义 ● E(a)=a ，其中a 为常数 ● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数 ● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量 随机变量g(X)的数学期望 常用公式 ) () ()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =) |()(A B P A P =∑ ==n k k k B A P B P A P 1)|()()(∑ ==n k k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1 )|()()|()()|() ,...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...) 1,0(! )(== =-k e k k X P k ，λλ 1)(=? +∞ ∞ -dx x f )(b X a P ≤≤?=≤≤b a dx x f b X a P )()() 0(1 )(/≥= -x e x f x θ θ ∑≤==≤=x k k X P x X P x F ) ()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()() ,(y x f ),(y x F 0 ),(≥y x f 1),(=?? +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f 1),(0≤≤y x F },{),(y Y x X P y x F ≤≤=?+∞ ∞ -=dy y x f x f X ),()(?+∞ ∞ -=dx y x f y f Y ),()(} {}{},{j Y P i X P j Y i X P =====) ()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞ -∞ =?= k k k P x X E )(? +∞ ∞ -?=dx x f x X E )()(∑ =k k k p x g X g E )())((∑∑=i j ij i p x X E )(dxdy y x xf X E ??=),()() (1 )(b x a a b x f ≤≤-= ) ()('x f x F =
概率统计公式大全汇总
第一章
n Pm ?
随机事件和概率
（1）排列 组合公式
n Cm ?
m! (m ? n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。
m! 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。 n!(m ? n)!
（2）加法 和乘法原 理
加法原理（两种方法均能完成此事） ：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种 方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事） ：m×n 某件事由两个步骤来完成， 第一个步骤可由 m 种方法完成， 第二个步骤可由 n 种 方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但 在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如 下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 ? 来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 ? 表示。 一个事件就是由 ? 中的部分点（基本事件 ? ）组成的集合。通常用大写字母 A， B，C，…表示事件，它们是 ? 的子集。 ? 为必然事件，? 为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（Ω ）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 ①关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分， （A 发生必有事件 B 发生） ：
（3）一些 常见排列 （4）随机 试验和随 机事件
（5）基本 事件、样本 空间和事 件
（6）事件 的关系与 运算
A? B
如果同时有 A ? B ， B ? A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：A=B。 A、B 中至少有一个发生的事件：A ? B，或者 A+B。 属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可表 示为 A-AB 或者 A B ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
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最新统计概率知识点归纳总结大全
统计概率知识点归纳总结大全 1．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义． 2．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率. 3．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率． 4．会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率． 5． 掌握离散型随机变量的分布列. 6．掌握离散型随机变量的期望与方差. 7．掌握抽样方法与总体分布的估计. 8．掌握正态分布与线性回归. 考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝) ()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： （1） 计算一次试验的基本事件总数n ; （2） 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; （3） 依公式()m P A n =求值; （4） 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ); 特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B ); 特例：独立重复试验的概率：P n (k )＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项.
(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： ① 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质???? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 考点2离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示. ②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念和性质 一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，i x ，……，ξ取每一个值i x （=i 1，2，……）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表.
概率论与数量统计-公式
第1章随机事件及其概率 （1）排列组合公式 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题 （4）随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。 一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算 ①关系： 如果事件A 的组成部分也是事件B 的组成部分，（A 发生必有事件B 发生）：如果同时有， ，则称事件A 与事件B 等价，或称A 等于B ： A=B 。 A、B 中至少有一个发生的事件：A B ，或者A +B 。 属于A 而不属于B 的部分所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B ，也 可表示为A-AB 或者 ，它表示A 发生而B 不发生的事件。 A、B 同时发生：A B ，或者AB 。A B=?，则表示A 与B 不可能同时发 生，称事件A 与事件B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
《概率统计》公式符号汇总表及复习策略
《概率统计》公式、符号汇总表及各章要点及复习策略 （共4页） 第一章均独立。 与与与此时独立与B A B A B A B P A P AB P B A B P AB P B A P ,,);()()( )()()( (1)?=?= )() ()()( ) ()()()()( )3() (1)( ) ()( A B )()()( ) ()()()()( ) ()()()( )2(11A P B P B A P A B P B P B A P B P B A P A P A P A P B P A P AB P A P B A P A P A B P B P B A P AB P AB P B P A P B A P i i i n n ?=?++?=-=-?-=-?=?=-+= 第二、三章 一维随机变量及分布：X ， i P ， )(x f X ， )(x F X 二维随机变量及分布：),(Y X ， ij P ， ),(y x f ， ),(y x F *注意分布的非负性、规范性 （1）边缘分布：如：∑=j ij i p P ，?+∞ ∞-=dy y x f x f X ),()( （2）独立关系：J I IJ P P P Y X =?独立与 或)()()(y f x f y x f Y X =， ),,(11n X X 与),,(21n Y Y 独立),,(11n X X f ?与),,(21n Y Y g 独立 （3）随机变量函数的分布（离散型用点点对应法、连续型用分布函数法） 一维问题：已知X 的分布以及)(X g Y =，求Y 的分布 二维问题：已知),(Y X 的分布，求Y X Z +=、{}Y X M ,m ax =、{}Y X N ,m in =的分布- *??+∞∞-+∞ ∞--=-=dy y y z f dx x z x f z f Z ),(),()( M 、N 的分布--------离散型用点点对应法、连续型用分布函数法 第四章 （1）期望定义：离散：∑= i i i p x X E )( 连续：? ??+∞∞-+∞∞-+∞ ∞-==dxdy y x xf dx x xf X E ),()()( 方差定义：)()(]))([()(222X E X E X E X E X D -=-= 离散：∑-= i i i p X E x X D 2))(()( 连续：?+∞ ∞--=dx x f X E x X D X )())(()(2 协方差定义：)()()())]())(([(),(Y E X E XY E Y E Y X E X E V X COV -=--=
概率计算方法总结3
概率计算方法总结 在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)= 的结果数 随机事件所有可能出现果数 随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事 件）=0；0概率论公式总结
概率论公式总结 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.
第一章 P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 概率的乘法公式 全概率公式：从原因计算结果 Bayes 公式：从结果找原因 第二章 二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p) 泊松分布——X~P(λ) 概率密度函数 怎样计算概率 均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp (θ) 分布函数 对离散型随机 变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系： 二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法 联合密度 函数 联合分布函数 联合密度与边缘密度 )(b X a P ≤≤∑≤==≤=x k k X P x X P x F )()()(?∞-=≤=x dt t f x X P x F )()()(),(y x f ),(y x F 1),(0≤≤y x F
离散型随机变量的独立性 连续型随机变量的独立性 第三章 数学期望 离散型随机变量，数学期望定义 连续型随机变量，数学期望定义 E(a)=a ，其中a 为常数 E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量 随机变量g(X)的数学期望 常用公式 方差 定义式 常用计算 式 常用公式 当X 、Y 相互独立时： 方差的性质 D(a)=0，其中a 为常数 D(a+bX)=b2D(X)，其中a 、b 为常数 当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数 协方差的性质 独立与相关 独立必定不相关 ∑+∞-∞=?=k k k P x X E )([]22)()()(X E X E X D -=
概率统计公式大全
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第1章随机事件及其概率 （1） 排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2） 加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3） 一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4） 随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5） 基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6） 事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=Φ，则表示A与B不可能同时发
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第一章 随机事件和概率 （1）排列组合公式 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种 方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 （3）一些常 见排列 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。 一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母A ，B ，C ，…表示事件，它们是 的子集。 为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的 关系与运算 ①关系： 如果事件A 的组成部分也是事件B 的组成部分，（A 发生必有事件B 发生）： 如果同时有 ， ，则称事件A 与事件B 等价，或称A 等于B ：A=B 。 A 、 B 中至少有一个发生的事件：A B ，或者A +B 。 属于A 而不属于B 的部分所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B ，也可表示
概率论公式总结
概率公式整理 1．随机事件及其概率吸收律：A AB A A A A =?=??Ω =Ω?)( A B A A A A A =???=??=Ω?)()(AB A B A B A -==- 反演律： B A B A =? B A A B ?= n i i n i i A A 1 1 === n i i n i i A A 1 1 === 2．概率的定义及其计算：)(1)(A P A P -= 若B A ? )()()(A P B P A B P -=-? 对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=- 加法公式：对任意两个事件A , B , 有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=? )()()(B P A P B A P +≤? )() 1()()()()(211 111 1 n n n n k j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++ - = ∑∑∑ 3．条件概率 ()=A B P ) ()(A P AB P 乘法公式 ())0)(()()(>=A P A B P A P AB P ()() ) 0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式 ∑ == n i i AB P A P 1 ) ()( ) ()(1 i n i i B A P B P ?= ∑ =Bayes 公式 ) (A B P k ) ()(A P AB P k = ∑== n i i i k k B A P B P B A P B P 1 ) ()() ()( 4．随机变量及其分布 分布函数计算)()() ()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤< 5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k (2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p n k p p C k X P k n k k n ,,1,0, ) 1()( =-==- *Possion 定理 0lim >=∞ →λn n np 有 ,2,1,0! ) 1(lim ==---∞ →k k e p p C k k n n k n k n n λ λ (3) Poisson 分布 ) (λP ,2,1,0,! )(===-k k e k X P k λ λ 6．连续型随机变量 (1) 均匀分布 ),(b a U ?? ? ??<<-=其他 ,0,1 )(b x a a b x f ??? ?? ??--=1, ,0)(a b a x x F (2) 指数分布 )(λE ???? ?>=-其他 , 00, )(x e x f x λλ ???≥-<=-0 , 10, 0)(x e x x F x λ (3) 正态分布 N (μ , σ 2 ) +∞ <<∞-= -- x e x f x 22 2)(21)(σ μσ π ? ∞ --- = x t t e x F d 21)(2 2 2)(σ μσ π *N (0,1) — 标准正态分布 +∞ <<∞-= - x e x x 2 2 21)(π ?
概率论公式总结
概率论公式总结
第一章 P(A+B)二P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 概率的乘法公式 P(AB) P(B)P(A| B) P(A)P(B| A) 全概率公式：从原因计算结果 n P(A) P(B k )P(A|B k ) k 1 Bayes 公式：从结果找原因 P(B k |A) P(B i )P(A|B i ) n P(B k )P(A|B k ) k 1 第二章 二项分布(Bernoulli 分布) ------- X~B(n,p) P(X k) C k p k (1 p)nk ，(k 01 …n) 泊松分布一一X~P(入) P(A|B) P(AB) P(B) F(x) P(X x) P(X k) k x
概率密度函数 P(a X b) 怎样计算概率 b P(a X b) f (x)dx a 均匀分布 X~U(a,b) f(x) (a x b) 指数分布X~Exp () x 对连续型随机F(x) P(X x) f(t)dt变量 分布函数与密度函数的重要关系： x F(x) P(X x) f (t)dt 二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法联合密度f(x，y)函数联合分F(x,y)布函数 f(x, y) 0 f(x,y)dxdy 1
联合密度与边缘密度 f x (x) f(x,y)dy f Y (y) f(x,y)dx 离散型随机变量的独立性 P{X i,Y j} P{X i}P{Y j} 连续型随机变量的独立性 f(x, y) f x (x)f Y (y) 第三章 数学期望 离散型随机变量，数学期望定义 E(a)=a ，其中a 为常数 E(a+bX)二a+bE(X)，其中 a 、b 为常数 E(X+Y)二E(X)+E(Y) ，X 、丫为任意随机变量 常用公式 E(X) X k P k k 连续型随机变量，数学期望定义 E(X) x f(x)dx 随机变量g(X)的数学期望 E(g(X)) g(xQP k k
《概率统计》公式、符号汇总表
《概率统计》公式、符号汇总表
《概率统计》公式、符号汇总表及各章要点 （共3页） 第一章 均独立。 与与与此时独立与B A B A B A B P A P AB P B A B P AB P B A P ,,);()()( ) ()()( (1)?=?= ) () ()()( )()()()()( )3() (1)( )()( A B )()()( )()()()()( )()()()( )2(11A P B P B A P A B P B P B A P B P B A P A P A P A P B P A P AB P A P B A P A P A B P B P B A P AB P AB P B P A P B A P i i i n n ?= ?++?=-=-?-=-?=?=-+= 第二、三章 一维随机变量及分布：X ， i P ， ) (x f X ， ) (x F X 二维随机变量及分布：),(Y X ， ij P ， ) ,(y x f ， ) ,(y x F *注意分布的非负性、规范性 （1）边缘分布：∑=j ij i p P ，? +∞ ∞ -=dy y x f x f X ),()( （2）独立关系：J I IJ P P P Y X =?独立与 或) ()()(y f x f y x f Y X =， ) ,,(11n X X 与),,(2 1 n Y Y 独立),,(1 1 n X X f ?与),,(2 1 n Y Y g 独立 （3）随机变量函数的分布（离散型用列表法） 一维问题：已知X 的分布以及)(X g Y =，求Y 的分布-------连续型用分布函数法 二维问题：已知),(Y X 的分布，求Y X Z +=、{}Y X M ,m ax =、 {} Y X N ,m in =的分布- ? ? +∞ ∞ -+∞ ∞ --=-=dy y y z f dx x z x f z f Z ),(),()( M 、N 的分布---------连续型用分布函数法 第四章
概率论公式总结
概率论公式总结 集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
第一章 P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 概率的乘法公式 全概率公式：从原因计算结果 Bayes 公式：从结果找原因 第二章 二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p) 泊松分布——X~P(λ) 概率密度函数 怎样计算概率 均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp (θ) 分布函数 对离散型随机 变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系： 二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法 )(b X a P ≤≤∑≤==≤=x k k X P x X P x F )()()(?∞-=≤=x dt t f x X P x F )()()(1),(0≤≤y x F
联合密度 函数 联合分布函数 联合密度与边缘密度 离散型随机变量的独立性 连续型随机变量的独立性 第三章 数学期望 离散型随机变量，数学期望定义 连续型随机变量，数学期望定义 E(a)=a ，其中a 为常数 E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量 随机变量g(X)的数学期望 常用公式 方差 定义式 常用计算 式 常用公式 当X 、Y 相互独立时： 方差的性质 D(a)=0，其中a 为常数 D(a+bX)=b2D(X)，其中a 、b 为常数 ),(y x f ),(y x F ∑+∞-∞=?=k k k P x X E )([]22)()()(X E X E X D -=
(完整版)概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)
《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P
概率论公式总结70877
P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 概率的乘法公式 全概率公式：从原因计算结果 Bayes 公式：从结果找原因 ) ()()|(B P AB P B A P = )|()()(B A P B P AB P =)|()(A B P A P =∑==n k k k B A P B P A P 1) |()()(∑== n k k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|(∑≤==≤=x k k X P x X P x F ) ()()(1),(0≤≤y x F } ,{),(y Y x X P y x F ≤≤=
二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p) 泊松分布——X~P(λ) 概率密度函数 怎样计算概率 均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp (θ) ),...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...) 1,0(! )(== =-k e k k X P k ，λλ1)(=? +∞ ∞ -dx x f ) (b X a P ≤≤?=≤≤b a dx x f b X a P )()()(1)(b x a a b x f ≤≤-=
分布函数 对离散型随机变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系： 二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法 联合密度函数 联合分布函数 联合密度与边缘密度 ) 0(1 )(/≥= -x e x f x θ θ ?∞-=≤=x dt t f x X P x F )()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(),(y x f ) ,(y x F 0 ),(≥y x f 1 ),(=?? +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f ) ()('x f x F =
