重点高中数学解析几何专题之椭圆(汇总解析版)
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圆锥曲线第1讲 椭圆
【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义:
平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2(
2
12F F a >)的点的轨迹叫椭圆,这两
个定点叫做椭圆的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距。
注1:在椭圆的定义中,必须强调:到两个定点的距离之和(记作a 2)大于这两个定点之间的距离
2
1F F (记作c 2),否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下:
(ⅰ)当c a 22>时,点的轨迹是椭圆; (ⅱ)当c a 22=时,点的轨迹是线段21F F ; (ⅲ)当c a 22<时,点的轨迹不存在。
注2:若用M 表示动点,则椭圆轨迹的几何描述法为
a
MF MF 221=+(c a 22>,
c
F F 221=),即
2
121F F MF MF >+.
注3:凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题,通常可利用椭圆的第一定义求解,即隐含条件:
a
MF MF 221=+千万不可忘记。
2. 椭圆的第二定义:
平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e (10< 二、椭圆的标准方程 (1)焦点在x 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是122 2 2=+b y a x (0>>b a ); (2)焦点在y 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是122 22=+b x a y (0>>b a ). 注1:若题目已给出椭圆的标准方程,那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴,主要看长半轴跟谁走。长半轴跟x 走,椭圆的焦点在x 轴;长半轴跟y 走,椭圆的焦点在y 轴。 (1)注2:求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置,则可设 其方程为12222=+b y a x (0>>b a )或122 22=+b x a y (0>>b a );若题目未指明椭圆的焦 点究竟是在x 轴上还是y 轴上,则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 12 2=+ny mx (0>m ,0>n ,且n m ≠). 三、椭圆的性质 以标准方程122 22=+b y a x (0>>b a )为例,其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 (1)范围:a x a ≤≤-,b y b ≤≤-; (2)对称性:关于x 轴、y 轴轴对称,关于坐标原点中心对称; (3)顶点:左右顶点分别为)0,(1a A -,)0,(2a A ;上下顶点分别为),0(1b B ,),0(2b B -; (4)长轴长为a 2,短轴长为b 2,焦距为c 2; (5)长半轴a 、短半轴b 、半焦距c 之间的关系为2 2 2 c b a +=; (6)准线方程:c a x 2 ± =; (7)焦准距:c b 2 ; (8)离心率: a c e = 且10< (9)焦半径:若),(00y x P 为椭圆122 22=+b y a x 在第一象限内一点,则由椭圆的第二定义, 有 1ex a PF +=, 2ex a PF -=; (10)通径长:a b 22 . 注1:椭圆的焦准距指的是椭圆的焦点到其相应准线的距离。以椭圆的右焦点)0,(2c F 和右 准线l :c a x 2=为例,可求得其焦准距为 c b c c a c c a 2222=-=-. 注2:椭圆的焦点弦指的是由过椭圆的某一焦点与该椭圆交于不同两点的直线所构成的弦。椭圆的通径指的是过椭圆的某一焦点且垂直于其对称轴的弦。通径是椭圆的所有焦点弦中最 短的弦。设椭圆的方程为122 22=+b y a x (0>>b a ),过其焦点)0,(2c F 且垂直于x 轴的直线交该双曲线于A 、B 两点(不妨令点A 在x 轴的上方),则),(2a b c A ,) ,(2 a b c B -,于是该椭圆的通径长为 a b a b a b AB 2 222 )(=--=. 四、关于椭圆的标准方程,需要注意的几个问题 (1)关于椭圆的标准方程,最基本的两个问题是:其一,当题目已指明曲线的位置特征,并给出了“特征值”(指a 、b 、c 的值或它们之间的关系,由这个关系结合2 2 2 b a c -=,我们可以确定出a 、b 、c 的值)时,我们便能迅速准确地写出椭圆的标准方程;其二,当题目已给出椭圆的标准方程时,我们便能准确地判断出曲线的位置特征,并能得到a 、b 、 c 的值。 (2)椭圆的标准方程中的参数a 、b 、c 是椭圆所固有的,与坐标系的建立无关;a 、b 、 c 三者之间的关系:222b a c -=必须牢固掌握。 (3)求椭圆的标准方程,实质上是求椭圆的标准方程中的未知参数a 、b 。根据题目已知条件,我们列出以a 、b 为未知参数的两个方程,联立后便可确定出a 、b 的值。特别需要注意的是:若题目中已经指明椭圆的焦点在x 轴或y 轴上,则以a 、b 为未知参数的方程组只有一个解,即a 、b 只有一个值;若题目未指明椭圆的焦点在哪个轴上,则以a 、b 为未 知参数的方程组应有两个解,即a 、b 应有两个值。 (4)有时为方便解题,中心在坐标原点的椭圆的方程也可设为 122=+ny mx ,但此时m 、n 必须满足条件:0>m ,0>n ,且n m ≠. 五、点与椭圆的位置关系 点),(00y x P 与椭圆122 22=+b y a x (0>>b a )的位置关系有以下三种情形: (ⅰ)若122 220=+b y a x ,则点),(00y x P 在椭圆上; (ⅱ)若122 022 0>+b y a x ,则点),(00y x P 在椭圆外; (ⅲ)若122 022 0<+b y a x ,则点),(00y x P 在椭圆内; 【例题选讲】 题型1:椭圆定义的应用 1. 平面内存在一动点M 到两个定点1F 、2F 的距离之和为常数a 2(2 12F F a ≥),则点M 的轨迹是() A. 圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 椭圆或线段 解:由题意知,2 1212F F a MF MF ≥=+ (ⅰ)当212F F a >时,点M 的轨迹是椭圆; (ⅱ)当 2 12F F a =时,点M 的轨迹是线段21F F . 故点M 的轨迹是椭圆或线段 2. 已知圆C : 36)1(22=+-y x ,点)0,1(-A ,M 是圆C 上任意一点,线段AM 的中垂线l 和直线CM 相交于点Q ,则点Q 的轨迹方程为__________. 解:圆C : 36)1(2 2=+-y x 的圆心坐标为)0,1(C ,半径6=r 连接QA ,由l 是直线AM 的中垂线知, QA QM = ∴6===+=+r CM QC QM QC QA 而 2=AC ,∴AC QC QA >+ 于是点Q 的轨迹是以)0,1(-A ,)0,1(C 为左右焦点的椭圆,其中62=a ,22=c 3=?a ,1=c ,819222=-=-=c a b 又该椭圆的中心为坐标原点 故点Q 的轨迹方程为1 892 2=+y x 3. 已知点)0,3(A ,点Q 是圆 42 2=+y x 上的一个动点,线段AQ 的垂直平分线交圆的半径OQ 于点P ,当点Q 在圆周上运动时,点P 的轨迹方程为__________. 解:圆O : 42 2=+y x 的圆心坐标为)0,0(O ,半径2=r 连接PA ,由l 是直线AQ 的垂直平分线知, PA PQ = ∴2===+=+r OQ PQ PO PA PO 而 3 =OA ,∴ OA PA PO >+ 于是点P 的轨迹是以)0,0(O ,)0,3(A 为左右焦点的椭圆,其中22=a ,32=c 1=?a , 23= c ,41 431222=-=-=c a b 又该椭圆的中心为OA 的中点 ) 23 , 0()2 3,0(OA 故点P 的轨迹方程为1 41)2 3(2 2=+-y x 注:本题点P 的轨迹方程虽是椭圆,但该椭圆不关于坐标原点对称,而是关于点) 0,23 ( 对 称,其方程可由把椭圆1 41 2 2 =+y x 沿x 轴向右平移了23个单位得到。 4. 方程 2 222222++=+--+y x y x y x 表示的曲线是() A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 线段 解:由222222 2++=+--+y x y x y x ,有() 1,02 2 22)1()1(22∈=++-+-y x y x 这表明,点),(y x P 到定点)1,1(F 的距离与它到定直线l :02=++y x 的距离之比等于常 数22(1 220<<).由椭圆的第二定义知,点),(y x P 的轨迹是椭圆,即方程2 222222++=+--+y x y x y x 表示的曲线是椭圆。 5. 椭圆131222=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ,点P 在椭圆上。若线段1PF 的中点在y 轴 上,则 1 PF 是 2 PF 的() A. 7倍 B. 5倍 C. 4倍 D. 3倍 解:在椭圆13122 2=+y x 中, 9312,3,122 2222=-=-===b a c b a 3,3,32===∴c b a 于是)0,3(),0,3(21F F - 又Θ线段1PF 的中点在y 轴上,而O 是线段21F F 的中点 轴 y PF 2∴ 于是轴x PF ⊥2 (法一)在12F PF Rt ?中, 2 2 12221F F PF PF += 36944))((22 2 12121=?===-+∴c F F PF PF PF PF 又由椭圆的定义,有 3 4322221=?==+a PF PF ① 333436 21== -∴PF PF ② 联立①、②得, 237233341=+= PF ,23 237342=-=PF 故723 23 721 ==PF PF ,即1PF 是2 PF 的7倍。 (法二) 2332322= ==a b PF ,而34322221=?==+a PF PF 23723341=- =∴PF 故723 23 721 ==PF PF ,即1PF 是2 PF 的7倍。 6. 设1F 、2F 为椭圆1 492 2=+y x 的两个焦点,P 为椭圆上的一点。已知P ,1F ,2F 是一个 直角三角形的三个顶点,且 2 1PF PF >,则 2 1 PF PF =__________. 解:在椭圆1492 2=+y x 中, 549,4,92 2222=-=-===b a c b a 5,2,3===∴c b a 于是)0,5(1-F ,)0,5(2F (ⅰ)当ο 9021=∠PF F 时,2054422 212 22 1=?===+c F F PF PF 又Θ 6 32221=?==+a PF PF ① 8220 362 ) ()(2 2212 2121=-= +-+= ?∴PF PF PF PF PF PF 于是4 84364)()(21221221=?-=?-+=-PF PF PF PF PF PF 又 2 1PF PF > 2 21=-∴PF PF ② 联立①、②得, 422 61=+=PF ,2 462=-=PF 于是此时 22 4 2 1 == PF PF (ⅱ)当ο 9012=∠F PF 时, 2 2 12221F F PF PF += 20544))((2 2 2 12121=?===-+∴c F F PF PF PF PF 而 6 32221=?==+a PF PF ③ 310 62021== -∴PF PF ④ 联立③、④得, 3146282310 61==+ = PF ,3431462= -=PF 于是此时27 34314 2 1==PF PF 故21 PF PF 的值为2或27 题型2:求椭圆的方程 7. (1)若方程1352 2=-+-k y k x 表示椭圆,则k 的取值范围是__________; (2)若方程1 352 2=-+-k y k x 表示焦点在x 轴上的椭圆,则k 的取值范围是__________; 解析几何的经典结论 点P 处的切线PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的外角. PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离 以焦点半径PF 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 2 2 x y x)x y 0 y 2 2= 1上,则过P °的椭圆的切线方程是 ~2 ~2 1. a b a b 2 2 第+打=1外,则过Po 作椭圆的两条切线切点为 P 、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是辱+_^?=1. a 2 b 2 a 2 b 2 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 MN 两点,_则MF 丄NF. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A 1、A 为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和氏Q 交于点M AP 和AQ 交于点N,则MF 丄NF. 二、双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△ PFF 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△ PF .F 2在点P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交 . 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 .(内切:P 在右支;外切:P 在左支) 2 2 5. 若F 0(X 0,y °)在双曲线 务…占=1 ( a> 0,b > 0 )上,则过F 0的双曲线的切线方程是 x -出^=1. a b a b 2 2 x y 6. 若P 0(x 0,y 0)在双曲线 — 2 =1 (a > 0,b > 0 )外,则过Po 作双曲线的两条切线切点为 R 、P 2,则切点弦P 1P 2的直线 a b 方程是彎一智九 有关解析几何的经典结论 、椭 圆 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. x 2 y 2 椭圆 2 =1 (a > b> 0)的左右焦点分别为 F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点.F 1PF^ '■,则椭圆的焦点角形的面积为 b 2 1 2 2 =b ta n 2 2 y_ 2 a 2 S F 1PF 2 X 2 椭圆二 2 =1 ( a> b > 0)的焦半径公式: a b I MF 1 | = a ex o , IMF 2 | = a - ex o ( F,-c,0) , F 2(c,0) M (x °, y °)). 若F 0(x °, y °)在椭圆 若F 0(x °, y °)在椭圆 2 2 AB 是椭圆x 匕 2 . 2 a b =1的不平行于对称轴的弦, M (x 0, y 0)为AB 的中点,_则k OM k AB = b 2 即K AB b x ° 2 a y ° F 0(x °, y °)在椭圆 _ _ 2 x y x)x y 0y x 0 2 2 =1内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 ~2 - b a b 2 _ a 2 F 0(x °, y °)在椭圆 2 x ~~2 a 2 2 2 ■占 二1内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是 —2 ■ ^2 b 2 a 2 b 2 X 0X y °y a 2 b 2 平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线的五种方程 (1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ). (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、). (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠; < ②1212120l l A A B B ⊥?+=; 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 (1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. (2)圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +->0).圆心??? ??--2,2E D ,半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ; 圆锥曲线第3讲抛物线 【知识要点】 一、抛物线的定义 平面内到某一定点F的距离与它到定直线l(l F?)的距离相等的点的轨迹叫抛物线,这个定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线。 注1:在抛物线的定义中,必须强调:定点F不在定直线l上,否则点的轨迹就不是一个抛物线,而是过点F且垂直于直线l的一条直线。 注2:抛物线的定义也可以说成是:平面内到某一定点F的距离与它到定直线l(l F?)的距离之比等于1的点的轨迹叫抛物线。 注3:抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。以后在解决一些相关问题时,这两者可以相互转化,这是利用抛物线的定义解题的关键。 二、抛物线的标准方程 1.抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有以下四种: (1) px y2 2= ( > p),其焦点为 )0, 2 ( p F ,准线为2 p x- = ; (2) px y2 2- =(0 > p),其焦点为 )0, 2 ( p F- ,准线为2 p x= ; (3) py x2 2= ( > p),其焦点为 ) 2 ,0( p F ,准线为2 p y- = ; (4) py x2 2- = ( > p),其焦点为 ) 2 ,0( p F- ,准线为2 p y= . 2.抛物线的标准方程的特点 抛物线的标准方程px y 22±=(0>p )或py x 22±=(0>p )的特点在于:等号的一端 是某个变元的完全平方,等号的另一端是另一个变元的一次项,抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应:当抛物线的对称轴为x 轴时,抛物线方程中的一次项就是x 的一次项,且一次项x 的符号指明了抛物线的开口方向;当抛物线的对称轴为y 轴时,抛物线方程中的一次项就是y 的一次项,且一次项y 的符号指明了抛物线的开口方向. 三、抛物线的性质 以标准方程 px y 22 =(0>p )为例,其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 (1)范围:0≥x ,R y ∈; (2)顶点:坐标原点)0,0(O ; (3)对称性:关于x 轴轴对称,对称轴方程为0=y ; (4)开口方向:向右; (5)焦参数:p ; (6)焦点: )0,2(p F ; (7)准线: 2p x - =; (8)焦准距:p ; (9)离心率:1=e ; (10)焦半径:若 ) ,(00y x P 为抛物线 px y 22=(0>p )上一点,则由抛物线的定义,有20p x PF + =; (11)通径长:p 2. 注1:抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。以抛物线 px y 22= 解析几何练习题 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行,则实数a 等于( ) A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3.若直线,直线与关于直线对称,则直线的斜率为 ( ) A . B . C . D . 4.在等腰三角形AOB 中,AO =AB ,点O(0,0),A(1,3),点B 在x 轴的正半轴上,则直线AB 的方程为( ) A .y -1=3(x -3) B .y -1=-3(x -3) C .y -3=3(x -1) D .y -3=-3(x -1) 5.直线对称的直线方程是 ( ) A . B . C . D . 6.若直线与直线关于点对称,则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l A . B . C . D . 7.已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0,且在y 轴上的截距为3 1,则m ,n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8.直线x-y+1=0与圆(x+1)2+y 2=1的位置关系是( ) A 相切 B 直线过圆心 C .直线不过圆心但与圆相交 D .相离 9.圆x 2+y 2-2y -1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是( ) A.(x -2)2 +(y+3)2 =1 2 B.(x -2)2+(y+3)2=2 C.(x +2)2 +(y -3)2 =1 2 D.(x +2)2+(y -3)2=2 10.已知点在直线上移动,当取得最小值时,过点引圆的切线,则此切线段的长度为( ) A . B . C . D . 11.经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ,使点P 为弦AB 的中点,则 弦AB 所在直线方程为( ) A .50x y --= B .50x y -+= C .50x y ++= D .50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22 第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则解析几何的经典结论
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