高考数学真题专题九 解析几何第二十七讲 双曲线
5
3 y y - = - = - = - = 专题九 解析几何
第二十七讲 双曲线
一、选择题
1．(2018 浙江)双曲线
x 2 - 2
3
= 1的焦点坐标是
A ． (- 2, 0) ， ( 2, 0)
B ． (-2, 0) ， (2, 0)
C ． (0, - 2) ， (0, 2）
D ． (0, -2) ， (0, 2)
2．(2018 全国卷Ⅰ)已知双曲线C ： x 2 - 2
3
= 1， O 为坐标原点， F 为C 的右焦点，过 F
的直线与C 的两条渐近线的交点分别为 M 、N ．若?OMN 为直角三角形，则| MN |=
A ． 3
2
B ．3
C ． 2
x
2
-
y 2
= > >
D ．4
3．(2018 全国卷Ⅱ)双曲线
a
2
b
2
1 (a 0, b 0) 的离心率为 3 ，则其渐近线方程为
A ． y =± 2x
B ． y =± 3x
C ． y = ±
2 x D ． y = ±
3
x 2
2
x 2 y 2
4．(2018 全国卷Ⅲ)设 F 1 ， F 2 是双曲线C ： a 2 - b
2 = 1(a > 0, b > 0) 的左、右焦点， O 是
坐标原点．过 F 2 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P ．若| PF 1 |=
| OP | ，则C 的
离心率为
A.
B ．2
C ．
D ．
x 2 - y 2
= > >
5．(2018 天津)已知双曲线 a 2 b 2
1(a 0 , b 0) 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴
的直线与双曲线交于 A ，B 两点．设 A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为d 1 和d 2 ， 且 d 1 + d 2 = 6 ，则双曲线的方程为
x 2 y 2
A.
1 4 12
x 2 y 2 B.
1 1
2 4
x 2 y 2 C.
1 3 9
x 2 y 2 D.
1 9 3
3 6 2
2
5 - = > > C
y - = > > 2 2 - = - = - = - = - = - = - = - =
6．（2017 新课标Ⅱ）若双曲线C ： x a 2 y 2
b 2
1(a 0, b 0) 的一条渐近线被圆
(x - 2)2 + y 2 = 4所截得的弦长为 2，则C 的离心率为
A ．2
B ． 2 3
C ．
D ．
3
x 2
（
新课标Ⅲ）已知双曲线 ： 2
y
= 1(a > 0, b > 0) 的一条渐近线方程为 y = x , a
b 2
x 2
且与椭圆 2
+ = 1有公共焦点，则C 的方程为
12
3 x 2
y
2
A ． 8 10
x 2 y 2 B.
1 4 5
x 2 y 2 C.
1 5 4
x 2 y 2 D.
1 4 3
x 2 8．（2017 天津）已知双曲线 a 2
y 2
b 2
1(a 0, b 0) 的左焦点为 F ，离心率为
．若经
过 F 和 P (0, 4) 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
x 2 y 2
A.
1 4 4
x 2 y 2 B.
1 8 8
x 2 y 2 C.
1 4 8
x 2 y 2 D.
1 8 4
9．(2016 天津)已知双曲线 x 2 - y 2
=1(b > 0) ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长
4 b 2
的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A 、B 、
C 、
D 四点，四边形的 ABCD 的面积为2b ，
则双曲线的方程为
x 2 - 3y 2
x 2 4 y 2
x
2
y
2
x 2 y 2
A ． =1 4 4
B ． - =1
4 3
x 2
- y 2
C ． 4 -
b 2
=1
= D ． - =1
4 12
10．(2016 年全国 I)已知方程 m 2 + n
3m 2 - n 1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距
离为 4，则 n 的取值范围是
A ．(–1,3)
B ．(–1, 3)
C ．(0,3)
D ．(0, 3)
x 2 y 2
11．(2016 全国 II)已知 F 1 , F 2 是双曲线 E ： a 2 - b
2 = 1 的左、右焦点，点 M 在 E 上，MF 1 与
x 轴垂直， sin ∠MF F = 1
,则 E 的离心率为
2 1 3
3 2 1
2
2
A ．
B ．
3
C ． 2
2
y 2
D ．2
12．（2015 四川）过双曲线
x - = 1的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐
3
近线于 A , B 两点，则 AB =
A. 4 3
3
B.
2
C.6 D ． 4
13．（2015 福建）若双曲线 E : x 9 - y 2
= 16
的左、右焦点分别为 F 1, F 2 ，点
P 在双曲线 E 上，
且 PF 1 = 3 ，则 PF 2 等于
A ．11
B ．9
C ．5
D ．3
14．（2015 湖北）将离心率为 e 1 的双曲线 C 1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b (a ≠ b ) 同时增加
m (m > 0)个单位长度，得到离心率为e 2 的双曲线C 2 ，则 A ．对任意的a , b ， e 1 > e 2 C ．对任意的a , b ， e 1 < e 2
B ．当a > b 时， e 1 > e 2 ；当a < b 时， e 1 < e 2 D ．当a > b 时， e 1 < e 2 ；当a < b 时， e 1 > e 2
15．（2015 安徽）下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y = ±2x 的是
2
y 2
x 2 2 y 2
2
2
x 2
A. x - = 1
4
B. y = 1 4
C. x = 1 4
D. y
-= 1 4
x 2 2
16．（2015 新课标 1）已知
M (x 0 , y 0 ) 是双曲线C ： 2
- y = 1上的一点， F 1, F 2 是C 的两 个焦点，若 MF 1 ? MF 2 < 0 ，则 y 0 的取值范围是 A. (- 3 , 3 )
B. (- 3 , 3 )
3 3
C ． (-
2 2 , 2 2
) 3 3
6 6
D ． (-
2 3 , 2 3
) 3 3
17．（2015 重庆）设双曲线 x 2 - y 2
= 1（ a > > ）的右焦点为 F ，右顶点为 A ，过 F
a 2
b 2
0,b 0
3
3 3
1 2
高考真题
作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作AC, AB 的垂线，两垂线交于点
3
9 D ．若 D 到直线 BC 的距离小于a +
A ． (-1, 0)∪(0,1) ，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是
B ． (-∞, -1)∪(1, +∞)
C ． ( 2, 0)∪(0, 2)
D ． (-∞, -1)∪( + ∞)
18．（2014 新课标 1）已知 F 是双曲线C ：x 2 - my 2 = 3m (m > 0)的一个焦点，则点 F 到C
的一条渐近线的距离为
A ．
B ．3 D ． 3m
x 2 y 2
x 2 y 2
19．（2014 广东）若实数 k 满足0 < k < 9 ，则曲线 - = 1与曲线25
9 - k
25 - k - = 1的
9
A ．焦距相等
B ．实半轴长相等
C ．虚半轴长相等
D ．离心率相等
x 2
20．（2014 天津）已知双曲线
a 2
y 2 b 2
1 a
的一条渐近线平行于直线l ：
y 2x 10 ，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为
x 2 y 2 A ． 1 B ． 5
20
3x 2 C ．
3y 2 1
D ．
25
100
x 2 y 2
21．（2014 重庆）设 F 1，F 2 分别为双曲线 a 2 - b
2 = 1(a > 0, b > 0) 的左、右焦点，双曲线
上存在一点
P 使得| PF | + | PF |= 3b ,| PF | ? | PF |= ab , 则该双曲线的离心率为 1
2
1
2
4
A ．
4 B ．
5 C ．
9 D ．3
3
3
4
x 2 y 2 5
22．（2013 新课标 1）已知双曲线C ： - a 2 b 2
= 1（ a > 0,b > 0 ）的离心率为 ，则C 2
的渐近线方程为
A.
y =± 1
x 4
B. y =±
1
x 3
π
C. y =± 1 x
2
x 2
D. y = ±x
y 2 y 2
23．(2013 湖北)已知0 < θ< 4
，则双曲线C 1 ：
cos 2 θ - sin 2 θ = 1 与C 2 ： sin 2 θ
a 2 +
b 2 2, C ． 3m 0,b 0 x 2 20 y 2 5
1
3x 2 100 3y 2 25
1
2 y y 2
- = - = - = - =
2 - sin 2 θ tan 2 θ
= 1的
A. 实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ． 离心率相等
24．（2013 重庆）设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相较于点O 、所成的角为60
的直线 A 1B 1 和 A 2 B 2 ，使 A 1B 1 = A 2 B 2 ，其中 A 1 、 B 1 和 A 2 、 B 2 分别是这对直线与双
曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是
A ． (
2 3 , 2] 3
B ．[
2 3 , 2) 3
x 2
- y 2 =
C ． (
2 3
, +∞) 3
D ．[
2 3
, +∞) 3
25．（2012 福建）已知双曲线 a
2 1的右焦点为(3, 0)，则该双曲线的离心率等于
5
A ．
3 14
14
B.
3 2 4
C.
3
2
D.
4
3
x 2 y 2
26．（2012 湖南）已知双曲线 C ： a 2 - b
2 =1 的焦距为 10 ，点 P （2,1）在 C 的渐近线上，
则 C 的方程为
A ． x - 20 y 2 x 2 =1
B ． 5
5 - y 2
20
x 2 =1
C ． 80 - y 2
20
x 2 =1
D ． 20 y 2
=1 80
27．（2011 安徽）双曲线2x 2 - y 2 = 8的实轴长是
A ． 2
B ． 2
C ． 4
D ． 4
x 2 - y 2
= > >
28．（2011 山东）已知双曲线 a 2 b 2 1(a
0, b 0) 的两条渐近线均和圆
C : x 2 + y 2 - 6x + 5 = 0 相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为
x 2 y 2 A. 1 5 4
x 2 y 2 B. 1 4 5 x 2 y 2 C. 1 3 6 x 2 y 2
D. 1 6 3
29．（2011 湖南）设双曲线 x 2 - y 2
= 1(a > 0) 的渐近线方程为3x ± = ，则
的值为
a 2 9
2 y 0 a
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
x 2 30．（2011 天津）已知双曲线 a 2
2 - = 1(a > 0, b > 0) 的左顶点与抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0)
b 2
2
-
6 6
+
= - = > > - = - = - = - = 2 y y 的焦点的距离为 4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2, -1) ，则双曲线的焦距为 A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
31．（2010 新课标）已知双曲线 E 的中心为原点，P (3, 0) 是 E 的焦点，过 F 的直线l 与 E 相
交于 A ， B 两点，且 AB 的中点为 N (-12, -15),则 E 的方程式为
x 2 y 2
A.
1 3 6
x 2 y 2 B.
1 4 5
x 2 y 2 C.
1 6 3
x 2 y 2 D.
1 5 4
32．（2010 新课标）中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4, -2) ，则它
的离心率为 A.
B ．
C ．
D ．
2
2
2 33．（2010 福建）若点O 和点 F 分别为椭圆
x y 1的中心和左焦点，点
P 为椭圆上的 4
3
任意一点，则OP ? FP 的最大值为 A ．2 B ．3
C ．6
D ．8
二、填空题
34．(2018 上海)双曲线 x 2 - 2
4
= 1的渐近线方程为
．
x 2 - y 2
= > >
35．(2018 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 a 2 b 2
1(a 0, b 0) 的右焦点
F (c , 0) 到一条渐近线的距离为
3 c ，则其离心率的值是
．
2
36．（2017 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中 ，双曲线 x 2 - 2
3
= 1的右准线与它的两条渐近
线分别交于点 P ， Q ，其焦点是 F 1 ， F 2 ，则四边形 F 1PF 2Q 的面积是
．
37．（2017 新课标Ⅰ）已知双曲线C ： x a
2 y 2
b
2
1(a 0, b 0) 的右顶点为 A ，以 A 为圆
3
5 3 5
5
5 2
y y - 2 心，b 为半径做圆 A ，圆 A 与双曲线C 的一条渐近线交于 M 、N 两点．若∠MAN =60°， 则C 的离心率为
．
x 2 - y 2
= > >
38．（2017 山东）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 a 2 b 2
1(a 0，b 0) 的右支与焦
点为 F 的抛物线 x 2 = 2 p y ( p > 0) 交于 A ， B 两点，若| AF | + | BF |= 4 | OF | ，则该双曲线的渐近线方程为
．
39．（2017 北京）若双曲线 x 2
2
- = 1的离心率为 3 ，则实数 m = ．
m
x 2 y 2
40．(2016 年北京)双曲线 - a 2 b 2
= 1(a > 0, b > 0) 的渐近线为正方形OABC 的边OA ,OC
所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为 2，则a =
．
41．(2016 山东)已知双曲线 E ： x 2 - y 2
= 1 (a > > ，若矩形 ABCD 的四个顶点在 E
a 2
b 2
0,b 0)
上， AB ， CD 的中点为 E 的两个焦点，且2 | AB |= 3 | BC | ，则 E 的离心率是 .
42．（2015 北京）已知双曲线 x 2
a 2 y = 1(a > 0)
的一条渐近线为 3x + y = 0 ，则a = ?． 43．（2015 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线 x 2 - y 2 =1右支上的一个动点．若
点 P 到直线 x - y +1 = 0 的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为
．
x 2 y 2 44．（2015 山东）平面直角坐标系 xOy 中，双曲线C 1 ： a 2 - b
2 = 1 (a > 0,b > 0) 的渐近线
与抛物线C ：x 2
= 2 py ( p > 0 )交于O , A , B ，若△ OAB 的垂心为C 的焦点，则C 的
2
2
1
离心率为
．
x 2 45．（2014 山东）已知双曲线 a 2
2 - = 1(a > 0, b > 0) 的焦距为2c ，右顶点为 A ，抛物线
b 2
x 2 = 2 py ( p > 0) 的焦点为 F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且
| FA |= c ，则双曲线的渐近线方程为
．
46．（2014 浙江）设直线 x - 3y + m = 0(m ≠ 0) 与双曲线 x a 2
y 2 - =1(a > 0,b > 0) 的两条渐近
b 2
2
y - - = > > x 线分别交于点 A ， B ，若点 P (m ,0) 满足| PA |=| PB |，则该双曲线的离心率是 ．
47．（2014 北京）设双曲线C 经过点(2, 2) ，且与 y 2 - 2
4
= 1具有相同渐近线，则C 的方程
为
；渐近线方程为 ．
x 2 - y 2 =
48．（2013 陕西）双曲线 16 9 1的离心率为
．
x 2 - y 2
= > >
49．（2014 湖南）设 F 1，F 2 是双曲线 C ： a 2 b 2
1(a 0, b 0) 的两个焦点．若在 C 上
存在一点 P ，使 PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=30°，则 C 的离心率为
．
50．（2013 辽宁）已知 F 为双曲线C : x
2
- = 1的左焦点， P ,Q 为C 上的点，若 PQ 的
9 16
长等于虚轴长的 2 倍，点 A (5, 0) 在线段 PQ ，则?PQF 的周长为
．
51．（2012 辽宁）已知双曲线 x 2 - y 2 = 1，点
F , F 为其两个焦点，点 P 为双曲线上一点， 1
2
若 PF 1 ⊥ PF 2 ，则 PF 1 + PF 2 的值为
．
x 2 y 2 x 2 y 2
52．（2012 天津）已知双曲线C 1 : a 2 - b 2 = 1(a > 0, b > 0) 与双曲线C 2 :
- 4 16
= 1 有
相同的渐近线，且C 1 的右焦点为 F ( 5, 0) ,则a = ?b = ?．
53．（2012 江苏）在平面直角坐标系
x
2
y 中，若双曲线 = 1 的离心率为
，则m
的值为
．
xOy m m 2 + 4
x 2
y 2 1(a 0, b 0)
x 2 + y 2 =
54．（2011 山东）已知双曲线 a 2 b 2
和椭圆 16 9 1有相同的焦点，
且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为
．
55．(2011 北京)已知双曲线 x 2
- y 2
b 2
= 1(b > 0) 的一条渐近线的方程为 y = 2x ，则b = ．
三、解答题
x 2 2
56．（2014 江西）如图，已知双曲线C ： - y a 2
= 1( a > 0 )的右焦点 F ，点 A , B 分别在C
的两条渐近线上， AF ⊥ x 轴， AB ⊥ OB , BF ∥ OA ( O 为坐标原点）．
5
2 2
（1） 求双曲线C 的方程；
（2） 过C 上一点 P (x y )( y
≠ 0) 的直线l
: x 0 x
- y y = 1与直线 AF 相交于点 M ， 0, 0 0
a 2
与直线 x = 3
相交于点 N ，证明：当点 P 在C 上移动时， 2
恒为定值，并求
此定值．
57．（2011 广东）设圆C 与两圆(x + 5)2 + y 2 = 4,(x - 5) 2 + y 2
= 4 中的一个内切，另一
个外切．
（1） 求C 的圆心轨迹 L 的方程；
（2） 已知点 M (
3 5 ,
4 5
), F ( 5, 0) ，且 P 为 L 上动点，求 MP - FP 5 5
的最大值及
此时点 P 的坐标．
MF NF
高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条技巧归纳总结
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2O M A B b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b +=+.
(完整word版)高中数学解析几何大题精选
解析几何大量精选 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，) 2 ,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹 是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程； ⑴当0AP AQ ?=u u u r u u u r 时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 【解析】 ⑴ 2 214 x y +=． ⑴将y kx b =+代入曲线C 的方程， 整理得2 2 2 (14)8440k x kbx b +++-=， 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122 814kb x x k +=-+，21224414b x x k -= + ② 且2222 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+， 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 所以()112,AP x y =+u u u r ，()222,AQ x y =+u u u r ． 由0AP AQ ?=u u u r u u u r ，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或6 5 b k =．经检验，都符合条件① 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点． 即直线l 经过点A ，与题意不符． 当65b k =时，直线l 的方程为6655y kx k k x ? ?=+=+ ?? ?． 显然，此时直线l 经过定点6,05?? - ??? 点，满足题意． 综上，k 与b 的关系是65b k =，且直线l 经过定点6,05?? - ??? 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的 圆与直线0x y -=相切． ⑴ 求椭圆C 的方程； ⑴ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； ⑴ 在⑴的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?u u u u r u u u r 的取值范围． 【解析】 ⑴22 143 x y +=． ⑴ 由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．
高三数学解析几何专题
专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一． 【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等． 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决． 解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查． 例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线
2018高考理科数学选填压轴题专练32题(含详细答案)
学校 年级 姓名 装 装 订 线 一．选择题（共26小题） 1．设实数x ，y 满足 ，则z= +的取值范围是（ ） A ．[4，] B ．[，] C ．[4，] D ．[，] 2．已知三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥平面ABC ，且，AC=2AB ，PA=1，BC=3， 则该三棱锥的外接球的体积等于（ ） A ． B ． C ． D ． 3．三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥平面ABC 且PA=2，△ABC 是边长为的等边三角形， 则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ． B ．4π C ．8π D ．20π 4．已知函数f （x +1）是偶函数，且x ＞1时，f ′（x ）＜0恒成立，又f （4）=0，则（x +3）f （x +4）＜0的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞） B ．（﹣6，﹣3）∪（0，4） C ．（﹣∞，﹣6）∪（4，+∞） D ．（﹣6，﹣3）∪（0，+∞） 5．当a ＞0时，函数f （x ）=（x 2﹣2ax ）e x 的图象大致是（ ） A ． B ． C D ． 6．抛物线y 2=4x 的焦点为F ，M 为抛物线上的动点，又已知点N （﹣1，0），则 的取值范围是（ ） A ．[1，2 ] B ． [ ， ] C ．[ ，2] D ．[1， ] 7．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多 织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n 天所织布的尺数为a n ，则a 14+a 15+a 16+a 17的值为（ ） A ．55 B ．52 C ．39 D ．26 8．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足：当x ≥0时，f （x ）=x 3+x 2，若不等式f （﹣4t ）＞f （2m +mt 2）对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 9．将函数 的图象向左平移 个单位得到y=g （x ）的图象，若对满足|f （x 1）﹣g （x 2）|=2的x 1、x 2，|x 1﹣x 2|min = ，则φ的值是（ ） A ． B ． C ． D ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的下顶点， M ，N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若α∈ （，]，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A ．（0， ] B ．（0 ， ] C ．[ ， ] D ．[ ， ]
高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条经典法则
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积 为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆 准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于 点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-，即0 202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端 点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2 的直线方程是00221x x y y a b -=. 7. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦 点角形的面积为122 t 2 F PF S b co γ ?=. 8. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦 点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和 A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
高考数学解析几何专题练习及答案解析版
高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交 双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点， 且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9． 圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )
2020高考数学专题复习-解析几何专题
《曲线的方程和性质》专题 一、《考试大纲》要求 ⒈直线和圆的方程 （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．掌握直线方 程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程． （2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法． （6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． ⒉圆锥曲线方程 （1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程． （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用． 二、高考试题回放 1．（福建）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直 的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ） A ． 33 B ．32 C ．2 2 D ．23
2．(福建)直线x +2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于 . 3．（福建）如图，P 是抛物线C ：y=2 1x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求 | || |||||SQ ST SP ST +的取值范围. 4．（湖北）已知点M （6，2）和M 2（1，7）.直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3：2，则m 的值为 （ ） A ．2 3 - B ．3 2- C ．4 1 D ．4 5.（湖北）两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的 公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．（湖北）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两 点A 、B. （Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 7．（湖南）如果双曲线112 132 2 =-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么 点 P 到右准线 的 距 离 是 （ ）
高考数学填空选择压轴题试题汇编
高考数学填空选择压轴题试题汇编（理科） 目录（120题） 第一部分函数导数(47题)······································2/23 第二部分解析几何(23题)······································9/29第三部分立体几何（11题）·····································12/31 第四部分三角函数及解三角形（10题）··························14/32 第五部分数列（10题）········································15/33 第六部分概率统计（6题）·····································17/35 第七部分向量（7题）·········································18/36 第八部分排列组合（6题）······································19/37 第九部分不等式（7题）········································20/38
第十部分 算法（2 题）··········································21/40 第十一部分 交叉部分（2 题）·····································22/40 第十二部分 参考答 案············································23/40 【说明】：汇编试题来源 河南五年高考真题5套；郑州市2011年2012年一模二模三模试题6套；2012年河南省各地市检测试题12套；2012年全国高考文科试题17套。共计40套试题.试题为每套试卷选择题最后两题，填空最后一题。 第一部分 函数导数 1.【12年新课标】（12）设点P 在曲线1 2 x y e = 上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的 最小值为( ) 2.【11年新课标】(12)函数x y -= 11 的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于( ) 3.【10年新课标】（11）()??? ??>+-≤<=10,62 1100,lg x x x x x f ，若c b a ,,均不相等，且 ()()()c f b f a f ==，则abc 的取值范围是（ ） 4.【09年新课标】（12）用{}c b a ,,m in 表示c b a ,,三个数中的最小值。设 (){}()010,2m in ≥-+=x x x x f ,则()x f 的最大值为( ) 5.【11年郑州一模】12．若定义在R 上的偶函数()(2)()f x f x f x +=满足，且当 [0,1],(),x f x x ∈=时则函数3()log ||y f x x =-的零点个数是( ) A ．多于4个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 6.【11年郑州二模】 7.【11年郑州二模】设()x f 是R 上的奇函数，且()01=-f ，当0>x 时， () ()()021'2 <-+x xf x f x ，则不等式()0>x f 的解集为________.
高考数学椭圆与双曲线重要规律定理
椭圆与双曲线性质--（重要结论） 清华附中高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的 两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是 002 2 1x x y y a b + =. 6. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b + =外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程 是 002 2 1x x y y a b + =. 7. 椭圆 222 2 1x y a b + = (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点 角形的面积为1 2 2 tan 2 F P F S b γ ?=. 8. 椭圆 2 2 22 1x y a b + =（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||M F a ex =+,20||M F a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦 点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆 222 2 1x y a b + =的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22 O M AB b k k a ?=- ， 即0 2 02 y a x b K AB - =。 12. 若000(,)P x y 在椭圆222 2 1x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 00002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + . 13. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + . 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是 002 2 1x x y y a b - =. 6. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是002 2 1x x y y a b -=. 7. 双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=， 则双曲线的焦点角形的面积为1 2 2 t 2 F P F S b co γ ?=. 8. 双曲线 2 2 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||M F ex a =+,20||M F ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||M F ex a =-+,20||M F ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别 交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于 点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 02y a x b K K AB OM = ?，即0 2 02 y a x b K AB = 。 12. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 00002 2 2 2 x x y y x y a b a b - = - . 13. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002 2 2 2 x x y y x y a b a b - = - .
高考数学选择填空压轴题适合一本学生
高考数学最具参考价值选择填空（适合一本学生） 1、点O 在ABC ?内部且满足230OA OB OC ++=，则AOB ?面积与AOC ?面积之比为 A 、 2 B 、 3 2 C 、 3 D 、 53 2、已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04??- ? ??成中心对称图形，且满足 3 ()() 2f x f x =-+，(1)1f -=，(0)2f =-则(1)(2)(2006)f f f ++???+的值为 A 、1 B 、2 C 、 1- D 、2- 3、椭圆1:C 22 143x y +=的左准线为l ，左右焦点分别为12,F F 。抛物线2C 的准线为l ，焦 点是 2 F ， 1 C 与 2 C 的一个交点为P ，则 2 PF 的值为 A 、4 3 B 、83 C 、 4 D 、8 4、若正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则该球的体积为 A 、 16(12)- B 、 18π C 、 36π D 、 64(6)- 5、、设 32 ()f x x bx cx d =+++，又k 是一个常数，已知当0k <或4k >时，()0f x k -=只有一个实根；当04k <<时，()0f x k -=有三个相异实根，现给出下列命题： （1）()40f x -=和()0f x '=有一个相同的实根， （2）()0f x =和()0f x '=有一个相同的实根 （3）()30f x +=的任一实根大于()10f x -=的任一实根 （4）()50f x +=的任一实根小于()20f x -=的任一实根 其中错误命题的个数是 A 、 4 B 、 3 C 、 2 D 、 1 6、已知实数x 、y 满足条件 20 40250x y x y x y -+≥?? +-≥??--≤? 则 24 z x y =+-的最大值为 A 、 21 B 、 20 C 、 19 D 、 18 7、三棱锥P ABC -中，顶点P 在平面ABC 的射影为O ，满足0OA OB OC ++=，A 点
高考数学椭圆与双曲线的经典性质技巧归纳总结
椭圆的定义、性质及标准方程 高三数学备课组 刘岩老师 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数 )10(<
专题4.4 立体几何中最值问题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)(原卷版)
一．方法综述 高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练． 立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体, 涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解. 二．解题策略 类型一距离最值问题 【例1】【河南省焦作市2019届高三三模】在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，则|AF|的最大值为（） A．B．1 C．D．2 【指点迷津】建立空间直角坐标系，求出坐标，利用C 1E⊥EF，求出|AF|满足的关系式，然后求出最大值即可．利用向量法得到|AF|的关系式是解题的关键，故选D. 【举一反三】 1、【江西省吉安市2019届高三上学期期末】若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的棱长为
A ． B ． C ． D ． 2、【河南省顶级名校2019届高三第四次联合测评】在侧棱长为的正三棱锥中，侧棱OA ，OB ， OC 两两垂直，现有一小球P 在该几何体内，则小球P 最大的半径为 A ． B ． C ． D ． 3、如右图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， E 为棱1CC 的中点，点,P Q 分别为面1111A B C D 和线段1B C 上的动点，则PEQ ?周长的最小值为_______． 类型二 面积的最值问题 【例2】【河南省郑州市2019年高三第二次质量检测】在长方体 中，， ， 分别是棱 的中点，是底面 内一动点，若直线 与平面 没有公共点， 则三角形面积的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ． 【指点迷津】截面问题，往往涉及线面平行，面面平行定义的应用等，考查空间想象能力、逻辑思维能力及计算求解能力.解题的关键是注意明确截面形状，确定几何量.本题由直线与平面没有公共点可知线面平行，补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点P 所在线段，得解． 【举一反三】 1、【湖南省衡阳市2019届高三二模】如图，直角三角形， ， ，将 绕 边 旋转至 位置，若二面角 的大小为，则四面体的外接球的表面积的最小值为（ ）
高考数学(理)二轮练习【专题6】(第2讲)椭圆、双曲线、抛物线(含答案)
第2讲椭圆、双曲线、抛物线 考情解读 1.以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现．该部分题目多数为综合性问题，考查分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大． 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 |x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥0
热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 例1 若椭圆C ：x 29＋y 2 2＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且|PF 2|＝4则∠F 1PF 2等于( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° (2)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点与双曲线x 2－y 2＝－1 2的一个焦点重合，且在抛物线上有一 动点P 到x 轴的距离为m ，P 到直线l ：2x －y －4＝0的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________． 思维启迪 (1)△PF 1F 2中利用余弦定理求∠F 1PF 2；(2)根据抛物线定义得m ＝|PF |－1.再利用数形结合求最值． 答案 (1)C (2)5－1 解析 (1)由题意得a ＝3，c ＝7，所以|PF 1|＝2. 在△F 2PF 1中， 由余弦定理可得cos ∠F 2PF 1＝42＋22－(27)22×4×2＝－12. 又因为cos ∠F 2PF 1∈(0°，180°)，所以∠F 2PF 1＝120°. (2)易知x 2＝2py (p >0)的焦点为F (0,1)，故p ＝2， 因此抛物线方程为x 2＝4y . 根据抛物线的定义可知m ＝|PF |－1， 设|PH |＝n (H 为点P 到直线l 所作垂线的垂足)， 因此m ＋n ＝|PF |－1＋|PH |. 易知当F ，P ，H 三点共线时m ＋n 最小， 因此其最小值为|FH |－1＝|－1－4| 5 －1＝5－1. 思维升华 (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|＋|PF 2|＞|F 1F 2|，双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化． (2)注意数形结合，画出合理草图． (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3 2 .双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭 圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( ) A.x 28＋y 2 2＝1 B.x 212＋y 2 6＝1 C.x 216＋y 2 4 ＝1 D.x 220＋y 2 5 ＝1
人教版高考数学专题复习：解析几何专题
高考数学专题复习：解析几何专题 【命题趋向】 1.注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考 2.考查直线与二次曲线的普通方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现 3.考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，与求轨迹有关、与向量结合、与求最值结合的往往是一个灵活性、综合性较强的大题，属中、高档题， 4．解析几何的才查，分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题. 【考题解析与考点分析】 考点1.求参数的值 求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之. 例1．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆22162 x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D. 考点2. 求线段的长 求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之. 例2．已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于 A.3 B.4 C.32 D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b ?=-+?++-=?+=-?=+?，进而可求出AB 的中点1 1(,)22M b --+，又由11(,)22 M b --+在直线0x y +=上可求出1b =， ∴220x x +-=，由弦长公式可求出AB ==． 故选C 例3．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴 AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部 分于1234567 ,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点， 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++= ____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.
高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结
高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结 姓名： （一）椭圆 1.椭圆的定义 如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆 即|PF1|+|PF2|=2a 其中P是动点，F1,F2是定点且|F1F2|=2C 当a>c时表示 当a=c时表示 当a 标准方程 x,y的范围 顶点焦点对称轴对称中心 长半轴的长短半轴的长焦距 离心率e= 范围e越大椭圆越e越小椭圆越 准线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为椭圆的下上两焦点，P为椭圆上的一点) 4.椭圆系 （1）共焦点的椭圆系方程为 22 2 1 x y k k c += - (其中k>c2,c为半焦距) （2 ）具有相同离心率的标准椭圆系的方程 22 22 (0) x y a b λλ +=> (二) 双曲线 1.双曲线的定义 如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线 若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支 F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a ①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是 ②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是 ③2a=0则动点P的轨迹是 (2) 若|P F1|-|PF2|=2a ①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是 ②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是 ③2a=0则动点P的轨迹是 2.双曲线的标准方程 解析几何大量精选 1 2 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，)2,0F 的距离之和是4，点M 3 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于4 不同的两点P 和Q ． 5 ⑴求轨迹C 的方程； 6 ⑵当0AP AQ ?=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 7 【解析】 ⑴ 2214 x y +=． 8 ⑵将y kx b =+代入曲线C 的方程， 9 整理得222(14)8440k x kbx b +++-=， 10 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 11 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 12 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122814kb x x k +=-+，21224414b x x k -=+ ② 13 且22 2 2 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+， 14 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 15 所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+． 16 由0AP AQ ?=，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 17 将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 18 所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或65 b k =．经检验，都符合条件① 19 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-20 点． 21 即直线l 经过点A ，与题意不符． 22 当6 5b k =时，直线l 的方程为665 5y kx k k x ??=+=+ ?? ? ． 23 显然，此时直线l 经过定点6 ,05 ??- ?? ? 点，满足题意． 24 综上，k 与b 的关系是65 b k =，且直线l 经过定点6 ,05?? - ??? 25 26 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半 27 轴为半径的圆与直线0x y -+相切． 28 ⑴ 求椭圆C 的方程； 29 ⑵ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 30 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； 31 ⑶ 在⑵的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?的取32 值范围． 33 【解析】 ⑴22 143 x y +=． 34最新高中数学解析几何大题精选
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