离散数学习题答案
离散数学习题答案
习题一及答案：（P14-15） 14、将下列命题符号化：
（5）李辛与李末是兄弟
解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p （6）王强与刘威都学过法语
解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是p q ∧
（9）只有天下大雨，他才乘班车上班
解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p →
￥
（11）下雪路滑，他迟到了
解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r ∧→
15、设p ：2+3=5.
q ：大熊猫产在中国. r ：太阳从西方升起. 求下列复合命题的真值：
（4）()(())p q r p q r ∧∧???∨?→ 解：p=1，q=1，r=0，
()(110)1p q r ∧∧??∧∧??，
(())((11)0)(00)1p q r ?∨?→??∨?→?→?
|
()(())111p q r p q r ∴∧∧???∨?→???
19、用真值表判断下列公式的类型： （2）()p p q →?→?
解：列出公式的真值表，如下所示：
20、求下列公式的成真赋值： （4）()p q q ?∨→
解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：
()10p q q ?∨???
???0
0p q ?????
所以公式的成真赋值有：01，10，11。
，
习题二及答案：（P38）
5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ?→∧∧
解：原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧
()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨，此即公式的主析取范式， 所以成真赋值为011，111。
*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： …
（2）()()p q p r ∧∨?∨
解：原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。
7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式： （1）()p q r ∧∨
解：原式()(()())p q r r p p q q r ?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧
()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧?∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧ 13567m m m m m ?∨∨∨∨，此即主析取范式。
？
主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ，2M ，
4M ，故原式的主合取范式024M M M ?∧∧。
9、用真值表法求下面公式的主析取范式： （1）()()p q p r ∨∨?∧ 解：公式的真值表如下：
&
由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取范式，故主析取范式1234567m m m m m m m ?∨∨∨∨∨∨
习题三及答案：（P52-54）
11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。 前提：,,,p q q r r s p ?∨?∨→ 结论：s 证明：
① p 前提引入 ② p q ?∨ 前提引入
~
③q ①②析取三段论
④q r
?∨前提引入
⑤r ③④析取三段论
⑥r s
→前提引入
⑦s ⑤⑥假言推理
15、在自然推理系统P中用附加前提法证明下面推理：（2）前提：()(),()
p q r s s t u
∨→∧∨→
结论：p u
→
证明：用附加前提证明法。
}
①p 附加前提引入
②p q
∨①附加
③()()
∨→∧前提引入
p q r s
④r s
∧②③假言推理
⑤s ④化简
∨⑤附加
⑥s t
⑦()
∨→前提引入
s t u
⑧u ⑥⑦假言推理
故推理正确。
16、在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理：
,
（1）前提：p q
∧?
?∨，r s
→?，r q
结论：p
?
证明：用归谬法
①p 结论的否定引入
②p q
→?前提引入
③q
?①②假言推理
④r q
?∨前提引入
⑤r
?③④析取三段论
⑥r s
∧?前提引入
⑦r ⑥化简
%
⑧r r ∧? ⑤⑦合取
由于0r r ∧??，所以推理正确。
17、在自然推理系统P 中构造下面推理的证明：
只要A 曾到过受害者房间并且11点以前没离开，A 就是谋杀嫌犯。A 曾到过受害者房间。如果A 在11点以前离开，看门人会看见他。看门人没有看见他。所以，A 是谋杀嫌犯。
解：设p ：A 到过受害者房间，q ：A 在11点以前离开，r ：A 是谋杀嫌犯，s ：看门人看见过A 。
则前提：()p q r ∧?→，p ，q s →，s ? 结论：r 证明：
① q s → 前提引入 ② s ? 前提引入 …
③ q ? ①②拒取式 ④ p 前提引入 ⑤ p q ∧? ③④合取引入 ⑥ ()p q r ∧?→ 前提引入 ⑦ r ⑤⑥假言推理
习题四及答案：（P65-67）
5、在一阶逻辑中将下列命题符号化： （2）有的火车比有的汽车快。 (
解：设F(x)：x 是火车，G(y)：y 是汽车，H(x,y)：x 比y 快；则命题符号化的结果是：
(()()(,))x y F x G y H x y ??∧∧
（3）不存在比所有火车都快的汽车。 解：方法一：
设F(x)：x 是汽车，G(y)：y 是火车，H(x,y)：x 比y 快；则命题符号化的结果是：
(()(()(,)))x F x y G y H x y ??∧?→或(()(()(,)))x F x y G y H x y ?→?∧?
方法二：
设F(x)：x 是火车，G(y)：y 是汽车，H(x,y)：x 比y 快；则命题符号化的结果是：
(()(()(,)))x G x y F y H x y ??∧?→或(()(()(,)))x y G x F y H x y ???∧→
9、给定解释I 如下： (
(a) 个体域为实数集合R 。 (b) 特定元素0a
-
=。
(c) 函数
(,),,f x y x y x y R -
=-∈。
(d) 谓词(,):,(,):,,F x y x y G x y x y x y R -
-
=<∈。
给出以下公式在I 下的解释，并指出它们的真值：
（2）(((,),)(,))x y F f x y a G x y ??→
解：解释是：(0)x y x y x y ??-
=→<，含义是：对于任意的实数x ，y ，若x-y=0则x 该公式在I 解释下的真值为假。 14、证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式： （1）(()(()(,)))x F x y G y H x y ?→?∧ ' 解：取解释I 如下：个体域为全总个体域， ()F x ：x 是兔子，()G y ：y 是乌龟，(,)H x y ：x 比y 跑得快，则该公式在解释I 下真值是1； 取解释' I 如下：(,)H x y ：x 比y 跑得慢，其它同上，则该公式在解释' I 下真值是0； 故公式（1）既不是永真式也不是矛盾式。 此题答案不唯一，只要证明公式既不是永真式也不是矛盾式的每个解释合理即可。 习题五及答案：（P79-81） 5、给定解释I 如下： (a) 个体域D={3,4} ！ (b) ():(3)4,(4)3 f x f f - -- == (c) (,):(3,3)(4,4)0,(3,4)(4,3)1F x y F F F F -- - -- ==== 试求下列公式在I 下的真值： (1) (,)x yF x y ?? 解：方法一：先消去存在量词 (,)((,3)(,4))x yF x y x F x F x ????∨ ((3,3)(3,4))((4,3)(4,4))F F F F ?∨∧∨ (01)(10)?∨∧∨ 1? 15、在自然推理系统N ξ中，构造下面推理的证明： " （3）前提：(()())x F x G x ?∨，()xG x ?? 结论：()xF x ? 证明： ① ()xG x ?? 前提引入 ② ()x G x ?? ①置换 ③ ()G c ? ②UI 规则 ④ (()())x F x G x ?∨ 前提引入 ⑤ ()()F c G c ∨ ④UI 规则 ⑥ ()F c ③⑤析取三段论 ⑦ ()xF x ? ⑥EG 规则 ￥ *22、在自然推理系统N ξ中，构造下面推理的证明： （2）凡大学生都是勤奋的。王晓山不勤奋。所以王晓山不是大学生。 解：设F(x)：x 为大学生，G(x)：x 是勤奋的，c ：王晓山 则前提：(()())x F x G x ?→，()G c ? 结论：()F c ? 证明： ① (()())x F x G x ?→ 前提引入 ② ()()F c G c → ①UI 规则 ③ ()G c ? 前提引入 ④ ()F c ? ②③拒取式 * 25、在自然推理系统N ξ中，构造下面推理的证明： 每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。王大海是科学工作者，并且是聪明的。所以，王大海在他的事业中将获得成功。（个体域为人类集合） 解：设F(x)：x 是科学工作者，G(x)：x 是刻苦钻研的，H(x)：x 是聪明的，I(x)：x 在他的事业中获得成功，c ：王大海 则前提：(()())x F x G x ?→，(()()())x G x H x I x ?∧→，()()F c H c ∧ 结论：()I c 证明： ① ()()F c H c ∧ 前提引入 ② ()F c ①化简 ③ ()H c ①化简 ④ (()())x F x G x ?→ 前提引入 ? ⑤ ()()F c G c → ④UI 规则 ⑥ ()G c ②⑤假言推理 ⑦ ()()G c H c ∧ ③⑥合取引入 ⑧ (()()())x G x H x I x ?∧→ 前提引入 ⑨ ()()()G c H c I c ∧→ ⑧UI 规则 ⑩ ()I c ⑦⑨假言推理 习题六及答案（P99-100） 28、化简下述集合公式： （3）(())(())(())(())A B C A B C A B C A B C --?-???-?? 解：(())(())(())(())A B C A B C A B C A B C --?-???-?? $ ()() A B A B =-?? A = 30、设A,B,C 代表任意集合，试判断下面命题的真假。如果为真，给出证明；如果为假，给 出反例。 （6）()A B A B ?- = 解：该命题为假， ()A B A B A ?-=-，如果B A ?=?，则 B A B -=，否则 B A B -≠，故B A B -=为假。 举反例如下：{1,2},{1,3},A B ==则(){3}A B A B ?-=≠。 （8） A B A C B C ?=??= 解：该命题为假，举反例如下：如果B ，C 都是A 的子集，则A B A C ?= ?一定成立， 但B C =不一定成立，例如：{ 1,2}A =，{1}B =, {2}C =，则A B A C A ?=?=， 但B C ≠。 33、证明集合恒等式： > （1）()A B A B A ??=? 证明：()A B A ?? ()()A B A A =??? ()A B =??? A B =?B A =? 习题七及答案：（P132-135） 26 设{}1,2,3,4,5,6A =，R 为A 上的关系，R 的关系图如图所示： （1）求23,R R 的集合表达式； （2）求r(R), s(R), t(R)的集合表达式。 解：（1）由R 的关系图可得{}1,5,2,5,3,1,,4,5R = 所以{}23,1,3,3,R R R =?=，{323,1,3,3,3,5R R R =?=， ^ 可得{}3,1,3,3,3,5,n>=2n R =当； （2）{}A r(R)=R I 1,5,2,5,3,1,3,3,4,5,1,1,2,2,4,4,5,5,6,6=， {}1()R 1,5,5,1,2,5,,3,1,1,3,3,3,4,5,5,4s R R -== {}2 3 2()R R ...R 1,5,2,5,3,1,3,3,3,5,4,5t R R R === 41、设A={1，2，3，4}，R 为A A ?上的二元关系，,,,a b c d A A ?<><>∈?， ,,a b R c d a b c d <><>?+=+ （1）证明R 为等价关系； （2）求R 导出的划分。 （1）只需证明R 具有自反性、对称性和传递性即可，证明过程如下： （a ）任取,a b A A ?<>∈?，有a b a b +=+，,,a b R a b ∴<><>，所以R 具有自反性； （b ）任取,,,a b c d A A ?<><>∈?，若,,a b R c d <><>， { 则有a b c d +=+，c d a b ∴+=+，,,c d R a b ∴<><>，所以R 具有对称性； （c ）任取,,,,,a b c d e f A A ?<><><>∈?，若,,a b R c d <><>且,,c d R e f <><>， 则有a b c d +=+且c d e f +=+，a b e f ∴+=+，,,a b R e f ∴<><>，所以R 具有传递性， 综合（a ）（b ）（c ）可知：R 为集合A A ?上的等价关系； （2）先求出集合A A ?的结果： {1,1,1,2,1,3,1,4,2,1,2,2,2,3,2,4,3,1,3,2,3,3,3,4,4,1,4,2,4,3,4,4}A A ?=<><><><><><><><><><><><><><><><> 再分别求集合A A ?各元素的等价类，结果如下： [1,1]{1,1},R <>=<> [1,2][2,1]{1,2,2,1},R R <>=<>=<><> [1,3][2,2][3,1]{1,3,2,2,3,1},R R R <>=<>=<>=<><><> : [1,4][2,3][3,2][4,1]{1,4,2,3,3,2,4,1},R R R R <>=<>=<>=<>=<><><><> [2,4][3,3][4,2]{2,4,3,3,4,2},R R R <>=<>=<>=<><><> [3,4][4,3]{3,4,4,3},R R <>=<>=<><> [4,4]{4,4}R <>=<>。 等价关系R 导出的划分就是集合A 关于R 的商集/A R ，而集合A 关于R 的商集/A R 是由R 的所有等价类作为元素构成的集合，所以等价关系R 导出的划分是： {{1,1},{1,2,2,1},{1,3,2,2,3,1},{1,4,2,3,3,2,4,1},{2,4,3,3,4,2},{3,4,4,3},{4,4}} <><><><><><><><><><><><><><><><> 46、分别画出下列各偏序集,A R ≤的哈斯图，并找出A 的极大元、极小元、最大元和最小元。 （1）{A ,,,,,,,,,,,,,I R a d a c a b a e b e c e d e ≤= 解：哈斯图如下： A 的极大元为e 、f ，极小元为a 、f ； A 的最大元和最小元都不存在。 *22、给定{}1,2,3,4A =，A 上的关系{}1,3,1,4,2,3,2,4,3,4R =，试 > （1）画出R 的关系图； （2）说明解：（1） ● ● （2）R 是反自反的，不是自反的； R 的关系图中任意两个顶点如果有边的都是单向边，故R 是反对称的，不是对 称的； R 的关系图中没有发生顶点x 到顶点y 有边、顶点y 到顶点z 有边，但顶点x 到 顶点z 没有边的情况，故R 是传递的。 *48、设,B,S A R 和为偏序集，在集合A B ?上定义关系T 如下： 112211221212 ,,,A B,,,a b a b a b T a b a Ra b Sb ?∈??∧ 证明T 为A B ?上的偏序关系。 证明：（1）自反性： 》 1111111111 112212121111,A B R R S b Sb R b Sb ,,,,T a b a a a a a b T a b a Ra b Sb a b T a b ∈?∴∴∴∧?∧∴任取，则： 为偏序关系，具有自反性，为偏序关系，具有自反性，又，，故具有自反性 （2）反对称性： 11221122221112122121 1221121221121122,,,A B ,,,,R S b b ,,T a b a b a b T a b a b T a b a Ra b Sb a Ra b Sb a Ra a Ra a a b Sb b Sb a b a b ∈?∧∧∴∧=∴∧=∴=任取，若且，则有：（1）（2） ，又为偏序关系，具有反对称性，所以，又为偏序关系，具有反对称性，所以，故具有反对称性 （3）传递性： 112233112222331122121222332323 12231312231313131133,,,,A B ,,,,,,,,,R ,S b Sb b Sb ,,T a b a b a b a b T a b a b T a b a b T a b a Ra b Sb a b T a b a Ra b Sb a Ra a Ra a Ra b Sb b Sb a Ra a b T a b ∈??∧?∧∴∧∴∧∴∧?任取，，若且又为偏序关系，具有传递性，所以又为偏序关系，具有传递性，所以，故具有传递性。 综合（1）（2）（3）知T具有自反性、反对称性和传递性，故T为A B 上的偏序关系。, 习题九及答案：（P179-180） 8、 S=Q Q,Q S a,b ,x,y a,b x,y ax,ay+b S ?*?∈*=为有理数集，为上的二元运算，有 （1）S *运算在上是否可交换、可结合？是否为幂等的？ （2）S *运算是否有单位元、零元？如果有，请指出，并求出中所有可逆元素的逆元。 解：（1） ,a,b xa,xb+y ax,bx+y a,b ,x y x y *==≠*∴*运算不具有交换律 ()() (),a,b c,d ax,bx+y c,d acx,adx+bx+y ,a,b c,d ,*ac,ad+b xac,xad+xb+y acx,adx+bx+y ,a,b c,d x y x y x y x y **=*=**====**∴*而运算有结合律 ( 2a,b s a,b a,b a ,a,b ab b ∈*=+≠∴*任取，则有：运算无幂等律 （2） ()()a,b *,a,b a,b s ax,ay+b a,b a,b s ax a a x 10a,b ay b b ay 0x 10x 1 y 0y 0 101010 x y =?∈=?∈?=?-=?∴????+==???-==??∴??? ==??∴**∴*令对均成立则有：对均成立 对成立必定有运算的右单位元为，，可验证，也为运算的左单位元，运算的单位元为， ()()()a,b *,,,a,b s a,b *,,ax,ay+b ,a 1x 0ax x a 1y+b 0ay b y a 1y+b 0a,b s a,b *,,a,b s x y x y x y x y x y x y x y x y =?∈=?=?-=?=?? ??? -=+=???? -=?∈=?∈令，若存在使得对上述等式均成立，则存在零元，否则不存在零元。由由于不可能对均成立， 故不可能对均成立，故不存在零元； a,b ,a,b *,e 101x ax 1a a ay b 0b y a a 0a,b 1b a a,b ,a a x y x y ==? =?=????≠??+=??=- ?? ∴=≠-设元素的逆元为，则令，（当0） 当时，的逆元不存在； 当0时，的逆元是 11、 {}S 12S S ? =***设，，...,10，问下面的运算能否与构成代数系统，如果能构成代数系统则说明运算是否满足交换律、结合律，并求运算的单位元和零元。 （3）x y x y *=大于等于和的最小整数； · 解：（3）由*运算的定义可知：x y=max(x,y)*， x,y S,x y S S S ∈*∈**有，故运算在上满足封闭性，所以运算与非空集合能构成代数系统； x,y S,x y=max(x,y)=max(y,x)=y ,x ∈***任取有所以运算满足交换律； x,y,z S,x y)z=max(max(x,y),z)=max(x,y,z)=max(x,max(y,z))=x (y z),∈*****任取有(所以运算满足结合律；x S x 1=max(x,1)=x=max(1,x)=1x,∈***任取，有所以运算的单位元是1； x S x 10=max(x,10)=10=max(10,x)=10x,∈***任取，有所以运算的零元是10； 16、 }}1212V 1,2,3,,1,x y V 5,6,,6x y V V x y x y =??=**设其中表示取和之中较大的数。，其中表示取和之中较小的数。求出和的所有的子代数。指出哪些是平凡的子代数，哪些是真子代数。 {}{}{}}}} }}{}1111V 1 V 1,2,3,,1,1,,1,1,2,,1,1,3,,1 V 1,2,3,,1,1,,1 V 1,,1,1,2,,1,1,3,,1??????????解：（1）中运算的单位元是， 的所有的子代数是：； 的平凡的子代数是：；的真子代数是：； }{}{}{}{}2222V 6V 5,6,,66,,6 V 5,6,,66,,6 V 6,,6******（2）中运算的单位元是， 的所有的子代数是：，； 的平凡的子代数是：，；的真子代数是：。 习题十一及答案：（P218-219） 1、图给出了6个偏序集的哈斯图。判断其中哪些是格。如果不是格，说明理由 解：（a ）、（c ）、（f ）是格；因为任意两个元素构成的集合都有最小上界和最大下界； （b ）不是格，因为{d,e}的最大下界不存在； （d ）不是格，因为{b,c}的最小上界不存在； （e ）不是格，因为{a,b}的最大下界不存在。 2、下列各集合低于整除关系都构成偏序集，判断哪些偏序集是格。 （1）L={1，2，3，4，5}； （2）L={1，2，3，6，12}； 解：画出哈斯图即可判断出：（1）不是格，（2）是格。 4、设L 是格，求以下公式的对偶式： （2）()()()a b c a b a c ∨∧≤∨∧∨ 解：对偶式为：()()()a b c a b a c ∧∨≥∧∨∧，参见P208页定义。 6、设L 为格，,,a b c L ∈，且a b c ≤≤，证明a b b c ∨=∧。 证明：,,a b a b b ≤∴∨= ,,b c b c b ≤∴∧= a b b c ∴∨=∧ 9、针对图中的每个格，如果格中的元素存在补元，则求出这些补元。 解： （a ）图：a,d 互为补元，其中a 为全下界，d 为全上界，b 和c 都没有补元； （c ）图：a,f 互为补元，其中a 为全下界，f 为全上界，c 和d 的补元都是b 和e ，b 和e 的补元都是c 和d ； （f ）图：a,f 互为补元，其中a 为全下界，f 为全上界，b 和e 互为补元，c 和d 都没有补元。 10、说明图中每个格是否为分配格、有补格和布尔格，并说明理由。 解： （a ）图：是一条链，所以是分配格，b 和c 都没有补元，所以不是有补格，所以不是布尔格； （c ）图：a,f 互为补元，c 和d 的补元都是b 和e ，b 和e 的补元都是c 和d ，所以任何元素皆有补元，是有补格； (),c b d c a c ∨∧=∨= ()()c b c d f d d ∨∧∨=∧=()()()c b d c b c d ∴∨∧≠∨∧∨，所以 ∨对∧运算不满足分配律，所以不是分配格，所以不是布尔格； （f ）图：经过分析知图（f ）对应的格只有2个五元子格：L1={a,c,d,e,f}, L2={a,b,c,d,f}。画出L1和L2的哈斯图可知L1和L2均不同构于钻石格和五角格，根据分配格的充分必要条件（见P213页的定理）得图（f ）对应的格是分配格；c 和d 都没有补元，所以不是有补格，所以不是布尔格。 离散数学试题（A卷答案） 一、（10分）求(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))的主析取范式 解：(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))??(?( P∨Q))∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q)∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q∨P)∧(P∨Q∨?Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨(R∧?R))∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨R) ? M∧1M ? m∨3m∨4m∨5m∨6m∨7m 2 二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人？ 解设设P：王教授是苏州人；Q：王教授是上海人；R：王教授是杭州人。则根据题意应有： 甲：?P∧Q 乙：?Q∧P 丙：?Q∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以，丙至少说对了一半。因此，可得甲或乙必有一人全错了。又因为，若甲全错了，则有?Q ∧P，因此，乙全对。同理，乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为： ((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此，王教授是上海人。 三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则由定理4.19知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )?'R 。由定理4.15和由定理4.16得sr (R )?s ('R )＝'R ，进而有tsr (R )?t ('R )＝'R 。 综上可知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 四、（15分）集合A ＝{a ，b ，c ，d ，e }上的二元关系R 为R ＝{，，，，，，，， 《离散数学》题库答案 一、选择或填空 (数理逻辑部分) 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(1),(4) 2、下列公式中哪些就是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答:(2),(3),(4) 3、设有下列公式,请问哪几个就是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(2),(3),(4),(5),(6) 4、公式?x((A(x)→B(y,x))∧ ?z C(y,z))→D(x)中,自由变元就是( ),约束变元就是( )。 答:x,y, x,z 5、判断下列语句就是不就是命题。若就是,给出命题的真值。( ) (1) 北京就是中华人民共与国的首都。 (2) 陕西师大就是一座工厂。 (3) 您喜欢唱歌不？ (4) 若7+8＞18,则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答:(1) 就是,T (2) 就是,F (3) 不就是 (4) 就是,T (5) 不就是 (6) 不就是 6、命题“存在一些人就是大学生”的否定就是( ),而命题“所有的人都就是要死的”的否定就是( )。 答:所有人都不就是大学生,有些人不会死 7、设P:我生病,Q:我去学校,则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时,我才不去学校 (2) 若我生病,则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校 答:(1) P Q →? (2) Q P ?→ (3) Q P ?? (4)Q P →? 8、设个体域为整数集,则下列公式的意义就是( )。 (1) ?x ?y(x+y=0) (2) ?y ?x(x+y=0) 答:(1)对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0(2)存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 就是正整数集合,确定下列命题的真值: (1) ?x ?y (xy=y) ( ) (2) ?x ?y(x+y=y) ( ) (3) ?x ?y(x+y=x) ( ) (4) ?x ?y(y=2x) ( ) 答:(1) F (2) F (3)F (4)T 10、设谓词P(x):x 就是奇数,Q(x):x 就是偶数,谓词公式 ?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答:(1) 11、命题“2就是偶数或-3就是负数”的否定就是( )。 答:2不就是偶数且-3不就是负数。 12、永真式的否定就是( ) (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 数理逻辑部分 选择、填空及判断 ?下列语句不就是命题的( A )。 (A) 您打算考硕士研究生不？ (B) 太阳系以外的星球上有生物。 (C) 离散数学就是计算机系的一门必修课。 (D) 雪就是黑色的。 ?命题公式P→(P∨?P)的类型就是( A ) (A) 永真式(B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式 ?A就是重言式,那么A的否定式就是( A ) A、矛盾式 B、重言式 C、可满足式 D、不能确定 ?以下命题公式中,为永假式的就是( C ) A、p→(p∨q∨r) B、(p→┐p)→┐p C、┐(q→q)∧p D、┐(q∨┐p)→(p∧┐p) ?命题公式P→Q的成假赋值就是( D ) A、 00,11 B、 00,01,11 C、10,11 D、 10 ?谓词公式) x xP∧ ?中,变元x就是 ( B ) R , ( x ) (y A、自由变元 B、既就是自由变元也就是约束变元 C、约束变元 D、既不就是自由变元也不就是约束变元 ?命题公式P→(Q∨?Q)的类型就是( A )。 (A) 永真式 (B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式 (D) 析取范式 ?设B不含变元x,) x x→ ?等值于( A ) A ) ( (B A、B (D、B x xA→ x ?) ( ( ?C、B x∧ A ?) (B、) ?) xA→ x ) ( A x (B x∨ ?下列语句中就是真命题的就是( D )。 A.您就是杰克不？ B.凡石头都可练成金。 C.如果2+2=4,那么雪就是黑的。 D.如果1+2=4,那么雪就是黑的。 ?从集合分类的角度瞧,命题公式可分为( B ) A、永真式、矛盾式 B、永真式、可满足式、矛盾式 C、可满足式、矛盾式 D、永真式、可满足式 ?命题公式﹁p∨﹁q等价于( D )。 A、﹁p∨q B、﹁(p∨q) C、﹁p∧q D、 p→﹁q ?一个公式在等价意义下,下面写法唯一的就是( D )。 (A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式 ?下列含有命题p,q,r的公式中,就是主析取范式的就是( D )。 试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统 二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。 《离散数学》题库与答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( A ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式 4、公式x((A(x)B(y，x))z C(y，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z（考察定义在公式x A和x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。在x A和x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y，x)和z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元） 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1)北京是中华人民共和国的首都。(2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？(4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！(6) 给我一杯水吧！ 答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是（命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。） 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死（命题的否定就是把命题前提中的量词“换成存在，换成”，然后将命题的结论否定，“且变或或变且”） 7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校(2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）P ?（注意“只有……才……”和“除非……就……”两者都是一个 Q→ 形式的）（2）Q P→ ? P? ?（4）Q P? →（3）Q 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x存在整数y满足x+y=0 （2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1）F (反证法：假若存在，则（x- 1）*y=0 对所有的x都成立，显然这个与前提条件相矛盾) （2）F （同理）（3）F （同理）（4）T（对任一整数x存在整数y满足条件y=2x 很明显是正确的） 离散数学试题及答案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3},B={1,2},则A-B＝____________________; (A)-(B)＝__________________________. 2.设有限集合A,|A|=n,则|(A×A)|=__________________________. 3.设集合A={a,b},B={1,2},则从A到B的所有映射是 _______________________________________,其中双射的是 __________________________. 4.已知命题公式G＝(PQ)∧R，则G的主析取范式是 _______________________________ __________________________________________________________. 6设A、B为两个集合,A={1,2,4},B={3,4},则从AB＝ _________________________;AB＝_________________________;A－B＝_____________________. 7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是 ______________________,________________________,__________________ _____________. 8.设命题公式G＝(P(QR))，则使公式G为真的解释有 __________________________， _____________________________,__________________________. 9.设集合A＝{1,2,3,4},A上的关系 R 1={(1,4),(2,3),(3,2)},R 2 ={(2,1),(3,2),(4,3)},则 离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )， )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ). 本科高等数学离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。 常熟理工学院20 ～20 学年第学期 《离散数学》考试试卷（试卷库01卷） 试题总分： 100 分考试时限：120 分钟 题号一二三四五总分阅卷人得分 一、单项选择题（每题2分，共20分） 1.下列表达式正确的有( ) （A）（B）（C）（D） 2.设P：2×2=5，Q：雪是黑的，R：2×4=8，S：太阳从东方升起，下列( )命题的真值为 真。 （A）（B）（C）（D） 3.集合A={1,2,…,10}上的关系R={ 1．n个命题变元组成的命题公式共有种不同的等价公式。 2．设〈L，≤〉为有界格，a为L中任意元素，如果存在元素b∈L,使，则称b是a 的补元。 3．设*，Δ是定义在集合A上的两个可交换二元运算，如果对于任意的x,y∈A,都有 ,则称运算*和运算Δ满足吸收律。 4．设T是一棵树，则T是一个连通且的图。 5．一个公式的等价式称作该公式的主合取范式是指它仅由组成。 6．量词否定等价式? ("x)P(x) ?，? ($x)P(x) ?。 7．二叉树有5个度为2的结点，则它的叶子结点数为。 8．设 一．判断题（共10小题，每题1分，共10分） 在各题末尾的括号内画 表示正确，画 表示错误： 1．设p、q为任意命题公式，则(p∧q)∨p ? p ( ) 2．?x(F(y)→G(x)) ? F(y)→?xG(x)。( ) 3．初级回路一定是简单回路。( ) 4．自然映射是双射。( ) 5．对于给定的集合及其上的二元运算，可逆元素的逆元是唯一的。( ) 6．群的运算是可交换的。( ) 7．自然数集关于数的加法和乘法 列为。 19．n阶无向简单连通图G的生成树有条边。 20．7阶圈的点色数是。 三、运算题（共5小题，每小题8分，共40分） 21．求?xF(x)→?yG(x,y)的前束范式。 22．已知无向图G有11条边，2度和3度顶点各两个，其余为4度顶点，求G 的顶点数。 23．设A={a,b,c,d,e,f}，R=I A?{ 《离散数学》期末复习题 一、填空题（每空2分，共20分） 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则 2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法，是加法的幂等元， 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群 19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设 离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B ＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________， _____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。 填空10% （每小题 2 分） 1、若P，Q，为二命题，P Q 真值为0 当且仅当。 2、命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数” 令F（x）：x 为实数，L（x, y） : x y 则命题的逻辑谓词公式为。 3、谓词合式公式xP（x） xQ（x）的前束范式为。 4、将量词辖域中出现的和指导变元交换为另一变元符号，公式其余的部分不变，这种方法称为 换名规则。 5、设x 是谓词合式公式A的一个客体变元，A的论域为D，A（x）关于y 是自由的，则被称为存 在量词消去规则，记为ES。 选择25% （每小题分） 1、下列语句是命题的有（）。 A、明年中秋节的晚上是晴天； C、xy 0 当且仅当x 和y 都大于0； D 、我正在说谎。 2、下列各命题中真值为真的命题有（）。 A、2+2=4当且仅当3是奇数； B、2+2=4当且仅当 3 不是奇数； C、2+2≠4 当且仅当3是奇数； D、2+2≠4当且仅当 3 不是奇数； 3、下列符号串是合式公式的有（） A、P Q ； B、P P Q； C、( P Q) (P Q)； D、(P Q) 。 4、下列等价式成立的有（ ）。 A、P QQ P ； B、P(P R) R； C、P (P Q) Q； D 、P (Q R) (P Q) R。 5、若A1,A2 A n和B为 wff ，且A1 A2 A n B 则 （ ）。 A、称A1 A2 A n 为 B 的前 件； B 、称 B 为A1,A2 A n 的有效结论 C 、 x(M (x) Mortal (x)) ； D 、 x(M(x) Mortal (x)) 8、公式 A x(P(x) Q(x))的解释 I 为：个体域 D={2} ，P(x) ：x>3, Q(x) ：x=4则 A 的 真 值为（ ） 。 A 、 1； B 、 0； C 、 可满足式； D 、无法判定。 9、 下列等价关系正确的是（ ）。 A 、 x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x)； B 、 x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x)； C 、 x(P(x) Q) xP(x) Q ； D 、 x(P(x) Q) xP(x) Q 。 10 、 下列推理步骤错在（ ）。 ① x(F(x) G(x)) P ② F(y) G(y) US ① ③ xF(x) P ④ F(y) ES ③ ⑤G(y) T ②④I ⑥ xG(x) EG ⑤ A 、②； B 、④； C 、⑤； D 、⑥ 逻辑判断 30% 1、 用等值演算法和真值表法判断公式 A ((P Q) (Q P)) (P Q) 的类型。 C 、当且仅当 A 1 A 2 A n D 、当且仅当 A 1 A 2 A n B F 。 6、 A ，B 为二合式公式，且 B ，则（ ）。 7、 A 、 A C 、 A B 为重言式； B 、 B ； E 、 A B 为重言式。 人总是要死的”谓词公式表示为（ ）。 论域为全总个体域） M （x ） ： x 是人； Mortal(x) x 是要死的。 A 、 M (x) Mortal (x) ； B M (x) Mortal (x) 《离散数学》题库答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答：（2），（3），（4） 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式 x((A(x) B(y ，x)) z C(y ，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是 （4） 是，T （5） 不是 （6） 不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死 7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校 答：（1） P Q →? （2） Q P ?→ （3） Q P ?? （4）Q P →? 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1） F （2） F （3）F （4）T 10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。 答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（ ） (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 答：（2） 13、公式(?P ∧Q)∨(?P ∧?Q)化简为（ ），公式 Q →(P ∨(P ∧Q))可化简为（ ）。 答：?P ，Q →P 离散数学练习题 第一章 一．填空 1.公式) ∨ ? ∧的成真赋值为 01；10 ? p∧ ( (q ) p q 2.设p, r为真命题，q, s 为假命题，则复合命题) ? ? →的真值为 0 p→ ( q (s ) r 3.公式) ∨ ? p∧ q ?与共同的成真赋值为 01；10 ? ∧ p ( ) ) (q q p ( 4.设A为任意的公式，B为重言式，则B A∨的类型为重言式 5．设p, q均为命题，在不能同时为真条件下，p与q的排斥也可以写成p与q的相容或。 二．将下列命题符合化 1. 7不是无理数是不对的。 解：) ? ?，其中p: 7是无理数；或p，其中p: 7是无理数。 (p 2.小刘既不怕吃苦，又很爱钻研。 解：其中 ?p: 小刘怕吃苦，q：小刘很爱钻研 p∧ ,q 3.只有不怕困难，才能战胜困难。 解：p →，其中p: 怕困难，q: 战胜困难 q? 或q →，其中p: 怕困难， q: 战胜困难 p? 4.只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了。 解：) → ?，其中p: 别人有困难，q:老王帮助别人，r: 困难解决了 p (q r→ 或：q ?) (，其中p:别人有困难，q: 老王帮助别人，r: 困难解决了r→ ∧ p 5.整数n是整数当且仅当n能被2整除。 解：q p?，其中p: 整数n是偶数，q: 整数n能被2整除 三、求复合命题的真值 P：2能整除5， q：旧金山是美国的首都， r：在中国一年分四季 1. )) p∧ → q ∨ r → ∧ ((q r ( ) ( ) p 2.r ?) → (( → (( ∨ ) ( )) p r p ∨ p q ? ∧ ? q∧ 解：p, q 为假命题，r为真命题 1.)) p∧ → q ∨的真值为0 r → ∧ ( ) ( ) ((q p r 一、填空 20% （每小题2分） 1．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =?B A 。 2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。 3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则 )()))(((S R P R Q P ?∨→?∧→∨?的真值= 。 4．公式P R S R P ?∨∧∨∧)()(的主合取范式为 。 5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ?→? 在I 下真值为 。 6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为 则 R 2 = 。 7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为 则 R= 。 8．图的补图为 。 9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下： 那么代数系统的幺元是 ，有逆元的元素为 ，它们的逆元分别为 。 10．下图所示的偏序集中，是格的为 。 二、选择 20% （每小题 2分） 1、下列是真命题的有（ ） A ． }}{{}{a a ? ； B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ； C ． }},{{ΦΦ∈Φ； D ． }}{{}{Φ∈Φ。 2、下列集合中相等的有（ ） A ．{4，3}Φ?； B ．{Φ，3，4}； C ．{4，Φ，3，3}； D ． {3，4}。 3、设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（ ）个。 A．23 ；B．32 ；C．332?；D．223?。 4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（） R 是自反的； A．若R，S 是自反的，则S R 是反自反的； B．若R，S 是反自反的，则S R 是对称的； C．若R，S 是对称的，则S R 是传递的。 D．若R，S 是传递的，则S 5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下 t s p R= t s ∈ =则P（A）/ R=（） < > ∧ A ) (| || |} ( , {t , | s A．A ；B．P(A) ；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}} 6、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“?”的哈斯图为（） 7、下列函数是双射的为（） A．f : I→E , f (x) = 2x ；B．f : N→N?N, f (n) = (完整版)离散数学试卷及答案
山东大学离散数学题库及答案
离散数学题库及答案
离散数学试题与答案
《离散数学》题库及答案
离散数学试题及答案精选版
离散数学期末试题及答案完整版
大学本科高等数学《离散数学》试题及答案
离散数学题库
离散数学期末试卷及答案
中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及答案
离散数学试题及答案(1)
离散数学试卷及答案
山东大学离散数学题库及答案
离散数学章练习题及答案
离散数学试卷及答案(1)