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概率论与数理统计期末复习指南

第一章随机事件与概率

一、内容提要

1.事件的关系与运算（1）A 包含B :A B ?;

（2）A 、B 至少发生一个:A B 或A B +（称为事件的和）推广:1,n A A 至少发生一个:12n A A A ; （3）A 、B 同时发生:A B 或AB （称为事件的积）推广:1,n A A 同时发生:12n A A A ;

（4）A 发生,B 不发生:A B -或 A B 或AB （称为事件的差）（5）A 不发生:A （称为A 的逆事件或对立事件）; （6）A 、B 互不相容（或互斥）:AB =Φ. 2.一些重要概率公式（1）()1()P A P A =-;

（2）加法公式:()()()()P A B P A P B P AB =+- ;

推广:()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P ABC =++--+ ; （3）减法公式:()()()P A B P A P AB -=-;

（4）条件概率:()

()()

P AB P B A P A =

（表示A 发生的条件下,B 发生的概率）; （5）乘法公式:()()()P AB P A P B A =?;

（6）全概率公式:设12,,,n A A A 是一互斥完备事件组,()0,1,2,,i P A i n >= , B 是任一事件,则有1()()(|)

i i i P B P A P B A ==∑,该式称为全概率公式．（7）贝叶斯公式:设12,,,n A A A 是一互斥完备事件组,()0,1,2,,i P A i n >= , B 是任一事件,()0P B >,则

()(|)

(|),1,2,,()(|)

i i i n

j P A P B A P A B i n P A P B A ==

=∑ .

3.事件的独立性

若A 、B 相互独立,则()()()P AB P A P B =?.

推广:12,,,n A A A 相互独立,则1212()()()()n n P A A A P A P A P A = .

4.二项概率公式

事件A 在每次试验中发生的概率为,01p p <<,不发生的概率为1q p =-,则在n 重贝努里试验中事件A 恰好发生k 次的概率为

(),0,1,2,,k k n k

n n P k C p q

k n -== ．特别地,(1)1(1)n P n A p =--重贝努里试验中事件至少发生次．二、典型例题

【例1】设,,A B C 表示三事件,用,,A B C 的运算关系表示下列各事件: (1)A 发生,B 与C 不发生. ABC (2)A 与B 都发生,而C 不发生. ABC (3),,A B C 中至少有一个发生. A B C (4),,A B C 都发生. ABC (5),,A B C 都不发生. ABC

(6),,A B C 中不多于一个发生. ABC ABC ABC ABC 或AB AC BC (7),,A B C 中不多于两个发生. ABC 或A B C

(8),,A B C 中至少有两个发生. ABC ABC ABC ABC 或AB AC BC

【例2】设,A B 为随机事件,且()0.6,()0.2P A P B A =-=,当A 与B 相互独立时,求()P B ,当A 与B 互斥时,求

()P B .

【解】A 与B 相互独立时,()0.5P B =,当A 与B 互斥时,()0.2P B =.

【例3】设,A B 为随机事件,()0.5P A =,()0.6P B =,()0.4P B A =,则求()P AB ,()P AB ,()P A B . 【解】()()()0.50.40.2P AB P A P B A ==?=;

()()()0.60.20.4P AB P B P AB =-=-=;

()()()()0.50.60.40.7P A B P A P B P AB =+-=+-= .

【例4】某球员进行投篮训练,设各次投篮是否进篮筐相互独立,且各次进篮筐概率相同.已知该运动员3次投篮时至

少投中一次的概率为0.875,则其投篮命中率为多少?5次投篮至少投中2次的概率为多少?

【解】设投篮命中率为p ,则3

1(1)0.875p --=,0.5p =,

5次投篮至少投中2次的概率为:

00511

454551(1)(1)10.550.50.50.8125C p p C p p ----=--??=.

【例5】设三个事件,,A B C 相互独立,且ABC =Φ,1

()()(),2

P A P B P C ==<

()16

P A B C =

,则求()P A . 【解】()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P ABC =++--+

3()3()016

P A P A =-+=

, 13(),44P A =

(舍去),所以1()4

P A =. 【例6】从有5件次品,95件正品的100件产品中不放回地抽取3件,求下列事件的概率:(1)三件中恰好有2件次品;(2)第三件才抽到次品.

【解】设{}i=123i A i =第件抽到次品，，，，

{2}A =三件中恰好有件次品， {}B =第三件才抽到次品,则

(1)215

100

2!()0.00587510099983!

C C P A C ??==≈??. (2)123121312()()()()()P B P A A A P A P A A P A A A ==

959458930.046021100999819404

??=≈. 【例7】两个盒子装有同型号的球,第一个盒子装有5个红球,4个白球;第二个盒子装有4个红球,5个白球.先从第一个盒子中任取两个球放入第二个盒子,然后再从第二个盒子中任取一球.求从第二个盒子中取到白球的概率. 【解】设

{}0,1,2;i A i i ==从第一个盒子中取到个红球， {}B =从第二个盒子中取到白球，

由全概率公式,得 001122()()()()()()()P B P A P B A P A P B A P A P B A =++

1122

45422299976517565553111111611911181199

C C C C C C C =?+?+?=?+?+?=

. 【例8】将两信息分别编码为A 和B 传递出去,接收站收到时,A 被误作B 的概率为0.02,而B 被误作A 的概率为0.01.信息A 与B 传送的频繁程度为2:1,若接收站收到的信息为A ,问原发信息是A 的概率是多少? 【解】12{},{},A A

A B ==原发信息是原发信息是 12{},{},B A B B ==收到的信息是收到的信息是则由题意

1221

(),()33

P A P A ==,

2111()0.02,()0.98,P B A P B A ==

1222()0.01,()0.99,P B A P B A ==

由贝叶斯公式可知,

111111*********

0.98()()()1963().21()()()()()1970.980.0133

P A P B A P A B P A B P B P A P B A P A P B A ??====?+??+? 【例9】有两种花籽,发芽率分别为0.8,0.9,从中各取一颗,设各花籽是否发芽相互独立,求（1）这两颗花籽都能发芽

的概率.（2）至少有一颗能发芽的概率.（3）恰好有一颗能发芽的概率. 【解】用,A B 分别表示2颗花籽能发芽,其中()0.8,()=0.9P A P B =, (1)()()()0.72,P AB P A P B =?=

(2)()1()10.20.10.98,P A B P AB =-=-?= (3)()()0.80.10.20.90.26.P AB P AB +=?+?= 【例10】

设12,,,n A A A 为n 个相互独立的事件,且()(1),k k P A p k n =≤≤求下列事件的概率:(1)n 个事件全

不发生; (2)n 个事件中至少有一个发生; (3)n 个事件不全发生. 【解】 (1)121

()(1);n

n k

k P A A A p ==

-∏

(2)121

()1(

)1(1);n n

n k

k k P A A A P A p ===-=--∏

(3)121

1()1.n

n k

k P A A A p =-=-

∏

第二章一维随机变量及其分布

一、内容提要

1.一维离散型随机变量的概率分布列（律）

设X 是一个离散型随机变量,它的取值为1,,,n x x 且

{},1,2,,k k P X x p k n === .

则称上式为随机变量的概率分布列.

概率分布我们可以简单列表如下,称为概率分布表

2k k

x x x X p p p ??

??? 或

性质:（1）非负性:0,k p ≥ ;（2）正规性:

k p

∞

==∑.

2.常见的离散型随机变量的概率分布及数字特征（期望、方差）（1）0-1分布（(1,)B p ）:011X p p ??

?-??

, 数学期望,EX p = 方差(1)VarX DX p p ==-. （2）二项分布(,)B n p :{}(1),0,1,,k k

n k n P X

k C p p k n -==-= ,

数学期望,EX np = 方差(1)VarX DX np p ==-. （3）泊松分布（Poisson 分布）()P λ:

{},0,1,,0,!

P X k e k k λλλ-==

数学期望,EX λ= 方差VarX DX λ==. 3.一维连续型随机变量的概率密度函数

若X 是随机变量,其分布函数为()F x ,如果存在非负函数()f x ,使得对于任意实数x ,有

(){}()x

F x P X x f t dt -∞

=≤=?,则称X 是连续型随机变量,而称()f x 为X 的概率密度函数（简称密度函数）.

性质:(1)()0;f x ≥非负性：()1f x dx +∞

-∞

(2)正规性：

; (3)()()F x f x '=.

4. 常见的连续型随机变量的概率密度函数及数字特征（期望、方差）

（1）均匀分布[,]U a b :密度函数1

,()0,

a x

b f x b a ?≤≤?

=-???其他.

分布函数:0,,

(),,1,.

x a x a F x a x b b a x b

=≤

数学期望,2a b EX += 方差2

()12

b a VarX DX -==. （2）正态分布2(,)N μσ:

密度函数22

()2(),x f x x μσ--

=-∞<<+∞

数学期望,EX μ= 方差2

VarX DX σ==. 分布函数:()(

),()x F x x μ

-=ΦΦ其中为标准正态分布(0,1)N 的分布函数.

（3）指数分布()E λ:,0

()0,

x e x f x λλ-?>=??其他.

数学期望1

,EX λ

方差2

VarX DX λ==

分布函数:0,0,()1,0.

x F x e

x λ-

-≥?

5.随机变量的分布函数()F x （F 用大写）

设X 是一随机变量(可以是离散型的,也可以是非离散型),x 是任意实数,令(){},F x P X x x =≤-∞<<+∞,称

()F x 为随机变量X 的分布函数．

性质:

(1)0()1F x ≤≤,对所有的x R ∈;

(2)()F x 是个单调不减函数（单调递增的函数）,即若12x x <,则12()()F x F x ≤; (3)()lim ()0,()lim ()1x x F F x F F x →-∞

→+∞

-∞==+∞==;

(4)()F x 最多有可列个间断点,且在其间断点上是右连续的; (5)对任意实数1212,,(),x x x x <

122121{}{}{}()()P x X x P X x P X x F x F x <≤=≤-≤=-．

6.离散型随机变量的分布函数求法设X 的分布列为:

则111212230,,

,,(){},,1,.

n x x p x x x F x P X x p p x x x x x

=≤=+≤

7.连续型随机变量分布函数的求法 (){}()x

F x P X x f t dt -∞

=≤=

.(一般也要分段讨论)

8.一维离散型随机变量落在某个区间的概率如何求:只需要看有几个k x 在这个区间里,把对应的概率k p 相加即可. 9. 一维连续型随机变量落在某个区间的概率如何求

方法（一）:求X 在某个区间的概率,只需要用密度函数在对应区间积分即可.

{}{}{}{}()b

P a X b P a X b P a X b P a X b f x dx <≤=<<=≤<=≤≤=?,

{}{}().a P a X P a X f x dx +∞

<=≤=?

{}{}().b

P X b P X b f x dx -∞

≤=<=?

（注意:与端点的等号无关,因为连续型随机变量取一个值的概率为0）方法（二）:如果已知X 的分布函数()F x ,则

{}()()P a X b F b F a <≤=-,{}()P X b F b ≤=,{}1()P a X F a <=-.

(注意:如果题目中的条件是已知密度函数,则用方法一;如果题目中的条件是已知分布函数,则用方法二.) 10.正态分布下如何求概率

对于一般的随机变量2(,)X N μσ ,则

{}()()()(

)b a P a x b F b F a μ

--<≤=-=Φ-Φ;

{}(

)b P X b μ

-<=Φ; {}1

(

)a P X a μ

->=-Φ.

其中()x Φ 为标准正态分布的分布函数.

11．如何求离散型随机变量函数()Y g X = 的分布列

即

如果1,,n y y 有相同的项,则把这些相同的项合并(看作是一项),并把相应的概率相加,即可． 12．如何求连续型随机变量函数()Y g X = 的概率密度函数

方法（一）:先求Y 的分布函数()F y ,然后再通过求导得出Y 的密度函数()()F y f y '=. 方法（二）如果()Y g X =是单调的函数

设X 是一个连续型随机变量,其密度函数为()f x ,取值于(,)a b ,又函数()y g x =在(,)a b 上是严格单调且其反函数为()h y 具有连续导数,则()Y g X =也是一个连续型随机变量,且其密度函数为

[()]|()|,,

()0,.f h y h y y f y αβ'<<

?=?

其它 min{(),()},max{(),()}.g a g b g a g b αβ==这里

二、典型例题

【例1】设随机变量X

求X 的分布函数. (画数轴) 【解】

1,1

,12,4()3,23,41, 3.x x F x x x <-???-≤

，图像为

注：分布函数()F x 在(1,2,)k x x k == 有跳跃，其跳跃值为()k k p P x x ==

【例2】设随机变量X 具有概率密度

,01,(),120,x x p x k x x ≤≤??

=-<≤???

其它,

求(1)确定常数k ；(2)求X 的分布函数()F x ；(3)求1{2}2

P X <≤．【解】(1)由

()1p x dx +∞

-∞

，得

()1xdx k x dx +-=?

解得2k =．

(2) (){}()x

F x P X x p t dt -∞

=≤=?

,所以

当0x <时，()0F x =，

当01x ≤<时，2

0()2

x F x tdt ==?，

当12x ≤<时，2

()(2)212

x F x tdt t dt x =

+-=--??

，

当2x ≥时，()1F x =，故

0,0,,01,2()21,1 2.21, 2.

x x x F x x x x x

=??--≤

≥? (3)12112117

{2}(23)2288P X xdx x dx <≤=+-=+=??.

或1

20117{2}11288

P X xdx <≤=-=-=?.

【例3】已知随机变量X 的密度函数为

2,01,

()0,x x p x <

其它. 求31Y X =+的密度函数．

【解】2

(1),14,

()90,y y p y ?-<

【例4】设随机变量X 的分布密度为∞<<∞-=-x Ae

x f x

X ,)(. 求（1）A 的值;（2）)21(<<-X P ;（3）

X 的分布函数;（4）21X Y -=的分布密度.

【解】（1）

122)(0===??

∞-∞

∞

-A dx Ae dx x f x X , 21=∴A ，??????

?≤>=∴-0

1 0,2

1)(x e x e x f x x

X ；（2）)(2112121)21(2

1200

1----+-=+=

<<-??e e dx e dx e X P x x ；（3）???????≥-=+<===

--∞-∞-∞

-????

0 ,211212

10 ,2

121 )()(00x e dt e dt e x e dt e dt t f x F x x t t x x t x X X ；

（4）)1(1)1()1()()(222y X P y X P y X P y Y P y F Y -<-=-≥=≤-=≤=

?????≥-<-<<---=1 ,01

1,)11(1y y y X y P ?????≥<--+--=1 ,1 1

,)1()1(1y y y F y F X X 求导得??

???≥<---+-=1 ,0 1,121)]1()1([)(y y y y f y f y f X X

???≥<-+=----1 ,0 1 ,121]2121[11y y y e e y y ?????≥<-=--1 ,0 1,1211y y e y y .

【例5】设某城市男子的身高(单位:cm))6,170(~2

N X .（1）应如何设计公共汽车的车门高度, 才能使该地男子与车门碰头的概率小于0.01？（2）若车门高度为182cm, 求男子会与车门碰头的概率. 【解】（1）设公共汽车的车门高度应为x cm. 则

要使01.0)6170(1)(1)(<-Φ-=≤-=>x x X P x X P , 只须)33.2(99.0)6170(Φ=>-Φx , 从而只要33.26

170

>-x , 于是98.183>x 即可.

（2）若车门高度为182cm, 则1个男子会与车门碰头的概率为

182170

(182)1(182)1()1(2)0.02286

p P X P X -=>=-≤=-Φ=-Φ=.

【例6】（1）设),2(~p b X , ),3(~p b Y , 且9

)1(=

≥X P , 求)1(≥Y P . （2）设)(~λP X , 且)2()1(===X P X P , 求)4(=X P .

（3）设),(~2σμN X ，试分析当↑σ时，概率)(σμ<-X P 的值将如何变化. 【解】（（1）),2(~p b X ，95)1(1)0(1)1(2

--==-=≥∴p X P X P ，故321=-p ，3

=p . 从而)31,3(~b Y , 27

19)32(1)1(1)0(1)1(33

=-=--==-=≥∴p Y P Y P .

（2）)(~λP X , 且)2()1(===X P X P , 即

λλ

λλ--=

e e

, 亦即λλ22=, 又0>λ, 2=∴λ. 从而

)2(~P X , 2

2)(-==e k k X P k , .2,1,0 =k 于是 2

243

2!42)4(--===e e X P .

（3）),(~2σμN X ，故

6826.01)1(2)1()1()()(=-Φ=-Φ-Φ=+<<-=<-σμσμσμX P X P .

故当↑σ时，概率)(σμ<-X P 的值保持不变, 始终是常数0.6826.

第三章二维随机向量及其分布

一、内容提要

1.二维离散型随机向量的联合分布列

若随机变量,X Y 的所有取值分别为:1,,,n x x 和1,,,n y y 则称(,)X Y 为二维离散型随机变量．并称

(,),,1,2,i j ij P X x Y y p i j ==== 为(,)X Y 的联合分布列（或分布列）．

二维离散型随机变量(,)X Y 的联合分布列有时也用如下的概率分布表来表示: 10(2)1ij ij ij i

p p p ≥=∑∑显然，具有如下性质：（）；.

2.边缘分布列

由二维离散型随机变量(,)X Y 的联合分布列,我们可以求出(,)X Y 的边缘分布．X 的概率分布为

{}{,},1,2,i i j ij i j j P X x P X x Y y p p i ∞∞

?=========∑∑

Y 的概率分布为

{}{,},1,2,j i j ij j i i P Y y P X x Y y p p j ∞∞

?=========∑∑

我们将二维离散型随机变量(,)X Y 的联合分布列和边缘分布列写在同一表上,如下所示:

3. 二维连续型随机向量的联合密度函数

(,)f x y 称为(,)X Y 的密度函数（或联合密度函数）.

性质:（1）,(,)0;x y f x y ≥对任意的实数,

（2）

(,)1f x y dxdy +∞+∞

-∞-∞

=??

;

（3）(,)(,)f x y x y 若在点处连续，则2(,)

(,)F x y f x y x y

?=??.

4.边缘密度函数

()(,)X f x f x y dy +∞

-∞

, ()(,)Y f y f x y dx +∞

-∞

称()X f x 为(,)X Y 关于X 的边缘概率密度函数,()Y f y 为(,)X Y 关于Y 的边缘概率密度函数． 5. 条件分布

二维离散型随机向量的条件概率分布列

在已知j Y y =的条件下，X 取值的条件分布为(|)ij

i j j

p P X x Y y p ===?

在已知i X x =的条件下，Y 取值的条件分布为(|),ij

j i i p P Y y X x p ===

其中i p ，j p 分别为X ，Y 的边缘分布．

条件概率密度函数

)()

,()|(|y f y x f y x f Y Y X =

, )

(),()|(|x f y x f x y f X X Y =.

6. 二维离散型随机向量落在某个区域G 的概率如何求

只需要看有几个(,)i j x y 在这个区域里,把对应的概率ij p 相加即可,即(,){(,)}i j ij x y G

P X Y G p ∈∈=∑

7. 二维连续型随机向量落在某个区域G 的概率如何求

求(,)X Y 在某个区域G 的概率,只需要用联合密度函数在对应区域积分即可,即

((,))(,)G

P X Y G f x y dxdy ∈=??.

注:要会简单区域上的二重积分,如长方形区域,三角形区域,简单X 型区域. 8.独立性

如何判断二维离散型随机向量的独立性

如果ij i j p p p = ,对于任意,i j 成立,则称离散型随机变量,X Y 是独立的．如何判断二维连续型随机向量的独立性

如果(,)()()X Y f x y f x f y =,则称连续型随机变量,X Y 是独立的． 9.二维均匀分布（类似一维均匀分布）

设G 为平面上的有界区域,面积为A .若(,)X Y 的联合密度函数为

,(,),

(,)0,x y G f x y A ?∈?=???其它.

则称(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布.

10. 如何求二维离散型随机向量函数(,)Z g X Y = 的分布列

即

如果1,,m n z z ? 有相同的项,则把这些相同的项合并(看作是一项),并把相应的概率相加,即可． 11.二维随机向量函数的分布

已知(,)X Y 联合密度函数(,)f x y ，求(,)z g X Y =的概率密度函数（1）分布函数法:先求Z 的分布函数

(,)(){(,)}(,)Z g x y z

F z P g x y z f x y dxdy ≤=≤=

然后再通过求导得出Z 的密度函数()()Z

Z F z f z '=.

（2）公式法

Z X Y =+，则Z 的密度函数()(,)(,)Z f z f x z y dx f z x y dy +∞

+∞

-∞

=-=-?

;

特别地，若X , Y 相互独立，(),()X Y f x f y 分别为它们的密度函数.则上述公式可表示为：

()()()()()Z X Y X Y f z f x f z x dx f z y f y dy +∞

+∞

-∞

12.正态分布的可加性

()()22

1122~,~X Y X N Y N μσμσ如果随机变量与相互独立，且，，,Z X Y =+，()22

1212~Z N μμσσ++则，．

更一般地，(

)()2

~1,,i i i

X N i n μσ

= ，，且1

,,n

X X

相互独立，1

i i

i Z a X

∑

又12n a a a ，，，为实数，则

2211~n n

i i i i i i Z N a a μσ==?? ???

∑∑，.

13. 最大值,最小值的分布函数

设12,,,n X X X 相互独立,其分布函数分别为1212(),(),,()n X X X n F x F x F x 记

12max(,,,)n M X X X = ,12min(,,,)n M X X X = ,则,M

和

的分布函数分别

为:1

()()i

M X i F z F

z ==

∏,1

()1[1()].i n

N X i F z F z ==--∏

特别,当12,,,n X X X 独立同分布(分布函数相同)时,则有()()n M F z F z =,()1[1()]n N F z F z =--.

二、典型例题

【例1】设随机变量X 1,2,3,4四个整数中等可能地取值,另一个随机变量Y 在1～X 中等可能地取一整数值,试求(),X Y 的分布列及(),X Y 的边缘分布律. 【解】

【例2】设(X ，Y )的联合分布密度为

?≥≥=+-.,

0,0,e ),()43(其他y x C y x p y x 试求：(1)常数C . (2)P {0＜X ＜1，0＜Y ＜2}． (3)X 与Y 的边缘分布密度p 1(x )，p 2(y )，并判断独立性．（4）求分布函数(,)F x y .

【解】(1)由

(,)1p x y dxdy +∞+∞

-∞-∞

=??，得

(34)0

1,1212

x y Ce dxdy C C +∞+∞

-+==

． (2)12

(34)

380

{01,02}12(1)(1)x y P X Y dx e

dy e e -+--<<<<=

=--??.

(3)(34)30123,0,()(,)0,.x y x X e

dy e x p x p x y dy +∞

-+-+∞-∞

?=>?==?????其他

(34)40124,0,()(,)0,.

x y y Y e

dx e y p y p x y dx +∞

-+-+∞-∞

?=>?==?

????其他 (,)()()X Y p x y p x p y =,,X Y 相互独立.

(4)当0x <或0y <时，F (x ，y )=P (X ≤x ，Y ≤y )=0，当0,0x y ≥≥时

2()

34340

(,)412(1)(1)x

u v u

v x y F x y e

dudv e du e dv e e -+----==?=--?

??，

因此

34(1)(1),0,0,

(,)0,.

x y

e e x y F x y --?-->>?=???其它

【例3】设平面区域G 由曲线x

y 1=

, 直线2

,1,0e x x y ===所围成. ),(Y X 在G 上服从均匀分布, 求)2(X f .

【解】区域G 的面积.2][ln 12

===

e e G x dx x

S 故),(Y X 的联合概率密度为??

???>

<<<=其它 ,0 10,1,2

1),(2

x y e x y x f . ?

???<<===

∞∞

-其它 ,0 1 ,21

21),()(210e x x dy dy y x f x f x X , .41)2( =∴X

【例4】设),(Y X 的联合概率密度为

?<<<<=其它

,01

0,10 ,1),(y x y x f 求：(1))21,21(≤≤

Y X P ；（2）)21(>+Y X P ；（3）)31(≥Y P ；（4）)2

(>>Y Y X P .

【解】（1）41

21211),()2

1,21(2

,21=

≤≤??

≤≤G G

y x S dxdy dxdy y x f Y X P ；

（2）

=>+)2

(Y X P 87

21212111),(2

===

+G G

y x S dxdy dxdy y x f ；

（3）

=≥)3

1(Y P 3

)311(11),(3

1=-===

≥

G G

y S dxdy dxdy y x f ；

（4）412

1121

2121)21()21,()21(=?

=>>>=>>Y P Y Y X P Y Y X P .

【例5】设),(Y X 的联合概率密度为

???<<<<-=其它 ,0 2,2010 ,20),(x y x x x x

y x f

求：(1) 常数c ；(2) )(x f X ；(3) )(x y f X Y ；(4) )128(=≥X Y P .

【解】(1) ,25)210(20),(120

c dx x

dy x x c dx dxdy y x f x

x =-=-=

∞∞

-∞∞

-.25

1 =∴c

(2) ??

???<<-=-==?

∞∞

-else x x dy x x

dy y x f x f x x X

0, 2010 ,50202520),()(2

(3) 2010 <

)(x y f X Y 有定义，且

?????<<=--==else

x y x

x x x x x f y x f x y f X X Y 0, 2

,250202520)(),()( (4) )20,10 (12∈=x ，?????<<==∴else

y X y f X

Y 0,12

6 ,61

)12( ，从而 3

61)12()128(128

=≥?

∞dy dy X y f X Y P X Y .

【例6】设Y X ,相互独立且都服从]1,0[上的均匀分布, 求Y X Z +=的概率密度.

【解】?

∞∞

--=

dx x z f x f z f Y X Z )()()(, 其中?

??<<=其它 x x f X ,0 1

0 ,1 )(, ??

?<-<=-其它 x z x z f Y ,0 10 ,1 )(.

??<<-<

010100)()(. (区域见图示)

(1)

10<

dx z f z

Z =?=?0

11)(；

(2)

21<≤z 时, z dx z f z Z -=?=

?-211)(1

；

(3) )2,0(?z 时, 0)(=z f Z .

综上知??

??<≤-<<=其它 z z z z z f Z ,0 21 ,21

0 , )(.

【例7】设),(Y X 的联合概率密度?

??<<=-其它 ,0 0 ,),(y

x xe y x f y ，求(1) )21(<

Y X Z +=的概率密度；(3) )1),(min(

【解】(1) ① 1021425121

21)()()2()2,1()21(2222

120

0220

---=---=--==<<<=<<-------?

???

e e e e e e dx

e e x dx e e x dy xe dx dy

xe dx Y P Y X P Y X P x x x

y x y

； ②

??≤>===

--∞∞

0 0, 0 ,21),()(20y y e y dx xe dx y x f y f y y y

Y ， 02)2( 2≠=∴

-e f Y ，于是 ?

????<<====--else

x x

e xe

f x f Y x f Y Y X 0, 2

0 ,22)2()2,()2(22 ，从而

概率论与数理统计习题集及答案

* 《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ，（4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。

概率论与数理统计公式整理超全免费版

第1章随机事件及其概率（1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的

概率论与数理统计练习题

概率论与数理统计练习题一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个无偏估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝。！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望

《概率论与数理统计》在线作业

第一阶段在线作业第1题您的答案:B 题目分数：0.５此题得分：0.5 批注：对立不是独立。两个集合互补。第２题您的答案:D 题目分数：0．5 此题得分:0.5 批注:A发生，必然导致和事件发生。第３题

您的答案：B 题目分数:0.5 此题得分:0.５批注：分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题您的答案:A 题目分数:０.５此题得分:0.5 批注：密度函数在【-1，1】区间积分。第5题

您的答案：Ａ题目分数:0.5 此题得分：0.5 批注：A答案，包括了ＢC两种情况。第６题您的答案：A 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中，且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。第８题您的答案:D 题目分数:０.5 此题得分：0.5 批注：利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数，加绝对值。第9题

您的答案：C 题目分数：0.５此题得分:0.5 批注：利用概率密度的性质，概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。第10题您的答案：B 题目分数:０.5 此题得分:0.5 批注：利用分布函数的性质，包括分布函数的值域[0，1]当自变量趋向无穷时，分布函数取值应该是1.排除答案。第1１题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注：利用上分位点的定义。第12题您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.５批注：利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P（AB)小于等于P（C）。第13题

概率论与数理统计课程教学大纲

概率论与数理统计课程教学大纲一、课程说明（一）课程名称：概率论与数理统计所属专业：物理学课程性质：必修学分：3 （二）课程简介、目标与任务；《概率论与数理统计》是研究随机现象规律性的一门学科；它有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。通过本课程的学习，使学生掌握概率与数理统计的基本概念，并在一定程度上掌握概率论认识问题、解决问题的方法。同时这门课程的学习对培养学生的逻辑思维能力、分析解决问题能力也会起到一定的作用。（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接；先修课程：高等数学。后续相关课程：统计物理。《概率论与数理统计》需要用到高等数学中的微积分、级数、极限等数学知识与计算方法。它又为统计物理、量子力学等课程提供了数学基础，起了重要作用。（四）教材与主要参考书。教材：同济大学数学系编，工程数学–概率统计简明教程（第二版），高等教育出版社，2012. 主要参考书： 1.浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编，概率论与数理统计（第四版），高等教育出版社，2008. 2.J.L. Devore, Probability and Statistics(fifth ed.)概率论与数理统计（第5版）影印版，高等教育出版社，2004. 二、课程内容与安排第一章随机事件 1.1 样本空间和随机事件； 1.2 事件关系和运算。

第二章事件的概率 2.1概率的概念；2.2 古典概型；2.3几何概型；2.4 概率的公理化定义。第三章条件概率与事件的独立性 3.1 条件概率； 3.2 全概率公式； 3.3贝叶斯公式；3.4 事件的独立性； 3.5 伯努利试验和二项概率。第四章随机变量及其分布 4.1 随机变量及分布函数；4.2离散型随机变量；4.3连续型随机变量。第五章二维随机变量及其分布 5.1 二维随机变量及分布函数；5.2 二维离散型随机变量；5.3 二维连续随机变量；5.4 边缘分布； 5.5随机变量的独立性。第六章随机变量的函数及其分布 6.1 一维随机变量的函数及其分布；6.2 多元随机变量的函数的分布。第七章随机变量的数字特征 7.1数学期望与中位数； 7.2 方差和标准差； 7.3协方差和相关系数； *7.4大数律； 7.5中心极限定理。第八章统计量和抽样分布 8.1统计与统计学；8.2统计量；8.3抽样分布。第九章点估计

概率论与数理统计教程习题(第二章随机变量及其分布)(1)答案

概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第六章随机变量数字特征一．填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -，则 =≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB 6．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（ 13 ） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（ 12 ） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __. （k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为1 40000 λ=的指数分布，则此种电器的平均使用寿命为____________小时.（40000） 10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ，则=a π1 ；=>)0(X P ；==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它

概率论与数理统计习题解答

第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间：（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和；（2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；（3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数；（4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下（1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件：（1）A发生，B和C不发生；（2）A与B都发生，而C不发生；（3）A、B、C都发生；

（4）A、B、C都不发生；（5）A、B、C不都发生；（6）A、B、C至少有一个发生；（7）A、B、C不多于一个发生；（8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则（1）事件AB表示什么？（2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？（3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？解所求的事件表示如下（1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B

（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++==

《概率论与数理统计》课程教学大纲

《概率论与数理统计》课程教学大纲一、课程基本信息课程编号：450006 课程名称：概率论与数理统计课程类别：公共基础课（必修）学时学分：理论48学时/3学分适用专业：计算机、自动化、经管各专业开课学期：第一学期先修课程：高等数学后续课程：执笔人：审核人：制（修）订时间：2015.9 二、课程性质与任务概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科，是高等学校理、工、管理类本科各专业的一门重要的基础理论课。通过本课程的教学，应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机事件的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。三、课程教学基本要求本课程以课堂讲授为主，致力于讲清楚基本的概率统计思想，使学生掌握基本的概率、统计计算方法。注意培养基本运算能力、分析问题和解决实际问题的能力。讲授中运用实例来说明本课程应用的广泛性和重要性。每节课布置适量的习题以巩固所学知识，使学生能够运用概率统计思想和方法解决一些实际问题。四、课程教学内容及各教学环节要求（一）概率论的基本概念

1、教学目的理解随机现象、样本空间、随机事件、概率等概念，掌握事件的关系与运算，掌握古典概犁及其计算、条件概率的计算、全概率公式和贝叶斯公式的应用。 2、教学重点与难点（1）教学重点 ① 概率、条件概率与独立性的概念； ② 加法公式；乘法公式；全概率公式；贝叶斯公式。（2）教学难点 ① 古典概型的有关计算；② 全概率公式的应用； ③ 贝叶斯公式的应用。 3、教学方法采用传统教学方式，以课堂讲授为主，课堂讨论、多媒体演示、课下辅导等为辅的教学方法。加强互动教学，学生对课程的某一学术问题通过检索资料、实际调查来提高自学能力和实践应用能力。 4、教学要求（1）理解随机试验、样本空间、随机事件等基本概念；熟练掌握事件的关系及运算（2）理解频率和概率定义；熟练掌握概率的基本性质（3）理解等可能概型的定义性质；,会计算等可能概型的概率（4）理解条件概率的定义；熟练掌握加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式（5）理解事件独立性概念,掌握应用独立性进行概率计算（二）随机变量及其分布 1、教学目的了解随机变量的概念；理解离散型随机变量的分布律和连续型随机变量的概率密度的概念及性质，会利用性质确定分布律和概率密度；理解分布函数的概念及性质，会利用此概念和性质确定分布函数，会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握正态分布、均匀分布、指数分布、0-1分布、二项分布、泊松分布，会求简单的随机变量函数的分布 2、教学重点与难点（1）教学重点 ① 随机变量及其概率分布的概念； ② 离散型随机变量分布律的求法；

概率论与数理统计习题答案

习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10

【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且 X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,

(完整版)概率论与数理统计课程标准

《概率论与数理统计》课程标准一、课程概述（一）课程定位《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics)，由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲，它是一门基础性学科，它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。（二）先修后续课程《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等，这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。二.课程设计思路本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合，以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的

进一步学习打下一个良好的基础。三、课程目标《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。（一）能力目标力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。（二）知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理； 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算； 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。（三）素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神； 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力； 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。四、课程内容根据能力培养目标的要求，本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。表4-1 课程内容和学时分配

概率论与数理统计复习题--带答案

;第一章一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）；

9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次）。就能打开保险箱的概率为（1 10000

《概率论与数理统计》课程重点与难点要记

《概率论与数理统计》课程重点与难点要记第一章：随机事件及其概率题型一：古典概型 1．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码，求最小号码为5的概率，及最大号码是5的概率。 2．设袋中有5个白球，3个黑球，从袋中随机摸取4个球，分别求出下列事件的概率： 1）采用有放回的方式摸球，则四球中至少有1个白球的概率； 2）采用无放回的方式摸球，则四球中有1个白球的概率。 3．一盒子中有10件产品，其中4件次品，每次随机地取一只进行检验， 1）求第二次检验到次品的概率； 2）求第二才次检验到次品的概率。 4．在1－2000的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？（合理的设置事件，通过概率的性质解题也很重要）课后习题：P16：2，3，4，5， 7，9，10，11，12，13，14 P30：8，9，10，16 题型二：利用条件概率、乘法公式及事件的独立性计算事件的概率 1。3人独立去破译一个密码，他们能译出的概率分别为1/5、1/4、1/3，问能将此密码译出的概率。 2。设口袋有2n-1只白球，2n 只黑球，一次取出n 只球，如果已知取出的球都是同一种颜色，试计算该颜色是黑色的概率。 3。设袋中装有a 只红球，b 只白球，每次自袋中任取一只球，观察颜色后放回，并同时放入m 只与所取出的那只同色的球，连续在袋中取球四次，试求第一、第二次取到红球且第三次取到白球，第四次取到红球的概率。课后习题：P23：1，2，3，4，6，10，11 P28：1，2，4，5，6，7，9，10，12， 13 题型三：全概率与贝叶斯公式 1．在一个每题有4个备选答案的测验中，假设有一个选项是正确的，如果一个学生不知道问题的正确答案，他就作随机选择。知道正确答案的学生占参加测验者的90%，试求：（1）学生回答正确的概率；（2）假如某学生回答此问题正确，那么他是随机猜出的概率。 2．一通讯通道，使用信号“0”和“1”传输信息。以A 记事件收到信号“1”，以B 记事件发出信号“1”。已知()0.4,(/)0.95,(/)0.90P B P A B P A B ===。 1）求收到信号“1”的概率？ 2）现已收到信号“1”，求发出信号是“1”的概率？课后习题：P23：7，8，9，12 P31：19，26，27，28 第二章：随机变量及其分布题型一：关于基本概念：概率分布律、分布函数、密度函数 1．一房间有三扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了

概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案
第 1 章概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是：S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于 2，则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次， A：第一次出现正面，则 A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= ；b5E2RGbCAP ；p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C 都不发生表示为： .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为： .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为： .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为： .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为： .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}：则（1） A ? B ? （4） A ? B = ，（2） AB ? ，（5） A B = ，（3） A B ? 。，
xHAQX74J0X
§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ，则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签，其中 2 个“中” ，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19

概率论与数理统计结课论文

概率论与数理统计课程总结报告——概率论与数理统计在日常生活中的应用姓名：学号：专业：电子信息工程

摘要：数学作为一门工具性学科在我们的日常生活以及科学研究中扮演着极其重要的角色。概率论与数理统计作为数学的一个重要组成部分，在生活中的应用也越来越广泛，近些年来，概率论与数理统计知识也越来越多的渗透到经济学，心理学，遗传学等学科中，另外在我们的日常生活之中，赌博，彩票，天气，体育赛事等都跟概率学有着十分密切的关系。本文着眼于概率论与数理统计在我们生活中的应用，通过前半部分对概率论与数理统计的一些基本知识的介绍，包括概率的基本性质，随机变量的数字特征及其分布，贝叶斯公式，中心极限定理等，结合后半部分的事例分析讨论了概率论与数理统计在我们生活中的指导作用，可以说，概率论与数理统计是如今数学中最活跃，应用最广泛的学科之一。关键词：概率论数理统计经济生活随机变量贝叶斯公式基本知识 §1.1 概率的重要性质 1.1.1定义设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率。概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P （3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( （n 可以取∞） 1.1.2 概率的一些重要性质（i ） 0)(=φP （ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( （n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ?，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P （v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=?

概率论与数理统计作业与解答

概率论与数理统计作业及解答第一次作业 ★ 1.甲.乙.丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹?设事件ABC 分别表示甲.乙.丙击中目标.则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示? 事件E 丸事件A, B,C 最多有一个发生｝,则E 的表示为 E =ABC ABC ABC ABC;或工 ABU AC U B C;或工 ABU ACU BC; 或工 ABACBC ；或工 ABC_(AB C ABC A BC ). (和 A B 即并AU B,当代B 互斥即AB 二'时.AU B 常记为AB) 2. 设M 件产品中含m 件次品.计算从中任取两件至少有一件次品的概率 ★ 3.从8双不同尺码鞋子中随机取6只.计算以下事件的概率 A 二｛8只鞋子均不成双｝, B=｛恰有2只鞋子成双｝, C 珂恰有4只鞋子成双｝. C 6 (C 2 )6 32 C 8C 4(C 2)4 80 0.2238, P(B) 8 皆 0.5594, P(A) 8 /143 ★ 4.设某批产品共50件.其中有5件次品?现从中任取3件?求 (1) 其中无次品的概率-(2)其中恰有一件次品的概率‘ /八 C 5 1419 C ：C 5 99 ⑴冷 0.724.⑵虫产 0.2526. C 50 1960 C 50 392 5. 从1?9九个数字中?任取3个排成一个三位数?求 (1) 所得三位数为偶数的概率-(2)所得三位数为奇数的概率? 4 (1) P ｛三位数为偶数｝ = P ｛尾数为偶数｝=-, 9 ⑵P ｛三位数为奇数｝ = P ｛尾数为奇数｝ = 5, 9 或P ｛三位数为奇数｝ =1 -P ｛三位数为偶数｝ =1 -彳=5. 9 9 6. 某办公室10名员工编号从1到10任选3人记录其号码求(1)最小号码为5的概率 ⑵ 最大号码为5的概率记事件A =｛最小号码为5｝, B=｛最大号码为5｝. 1 1 2 C m C M m C m m(2M - m -1) M (M -1) 6 — C 16 143 P(C)二 C 8 CJC 2 ) 30 0.2098. 143 C 16

概率论与数理统计教程(魏宗舒)第七章答案

. 第七章假设检验设总体2(,)N ξμσ~，其中参数μ，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设：（1）0:0,1H μσ==；（2）0:0,1H μσ=>；（3）0:3,1H μσ<=；（4）0:03H μ<<；（5）0:0H μ=. 解：（1）是简单假设，其余位复合假设设1225,,,ξξξL 取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值，如对检验问题0010:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥L ，试决定常数c ，使检验的显着性水平为解：因为(,9)N ξμ~，故9 (,)25 N ξμ~ 在0H 成立的条件下， 000 53(||)(||)53 521()0.05 3c P c P c ξμξμ-≥=-≥? ?=-Φ=??? ? 55( )0.975,1.9633 c c Φ==，所以c =。设子样1225,,,ξξξL 取自正态总体2 (,)N μσ，20σ已知，对假设检验0010:,:H H μμμμ=>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>L ，（1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系；（2）设0μ=，20σ=，α=，n=9，求μ=时不犯第二类错误的概率。解：（1）在0H 成立的条件下，2 00(, )n N σξμ~，此时 00000()P c P ξαξ=≥=

10 αμ-= ，由此式解出010c αμμ-= + 在1H 成立的条件下，2 0(, )n N σξμ~，此时 1010 10 ()(P c P αξβξμ-=<==Φ=Φ=Φ- 由此可知，当α增加时，1αμ-减小，从而β减小；反之当α减少时，则β增加。（2）不犯第二类错误的概率为 10 0.9511(0.650.51(3) 0.2 1(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ-=-Φ- =-Φ-=Φ= 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体，对()f x 考虑统计假设： 0011101 201 :():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤??==? ??? 其他其他试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2min αβ+=，并求其最小值。解设检验函数为 1()0x c x φ∈?=?? 其他（c 为检验的拒绝域）

概率论与数理统计教程(茆诗松)

2004年7月第1版 2008年4月第10次印刷第一章随机事件与概率 1.1 随机事件及其运算 1.1.1 随机现象在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.在相同条件下可以重复的随机现象又称为随机试验. 1.1.2 样本空间随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为Ω={ω}，其中ω表示基本结果，又称为样本点.样本点是今后抽样的最基本单元. 1.1.3 随机事件随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件. 1.1.4 随机变量用来表示随机现象结果的变量称为随机变量. 1.1.7 事件域定义1.1.1 设Ω为一样本空间，?为Ω的某些子集所组成的集合类.如果?满足： (1) Ω∈?； (2)若A ∈?，则对立事件A ∈?； (3)若A n ∈?,n =1,2,…，则可列并 A n ∞n =1∈?. 则称?为一个事件域，又称为σ代数. 在概率论中，又称(Ω,?)为可测空间. 1.2 概率的定义及其确定方法 1.2.1 概率的公理化定义定义1.2.1设Ω为一样本空间，?为Ω的某些子集所组成的一个事件域.若对任一事件A ∈?，定义在?上的一个实值函数P (A )满足： (1)非负性公理若A ∈?，则P A ≥0； (2)正则性公理 P Ω =1； (3)可列可加性公理若A 1,A 2,…,A n 互不相容，有 P A i ∞i =1 = P A i ∞ i =1 则称P (A )为事件A 的概率，称三元素(Ω,?,P )为概率空间. 第二章随机变量及其分布 2.1 随机变量及其分布 2.1.1 随机变量的概念定义2.1.1 定义在样本空间Ω上的实值函数X =X (ω)称为随机变量. 2.1.2 随机变量的分布函数定义2.1.2 设X 是一个随机变量，对任意实数x ，称

概率论与数理统计知识点汇总(详细)

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《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

概率论与数理统计练习题及答案

A . P(A B) =P(A) B . P AB 二 P A 概率论与数理统计习题、选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中) 1. 设 X~N(1.5,4)，且：?：」(1.25) =0.8944，.:」(1.75) = 0.9599，贝U P{-2