二阶精度中心差分算子

二阶精度中心差分算子

二阶精度中心差分算子是一种数值差分方法，用于计算离散函数的导数。它可以通过在函数值的前后使用更多的点来提高精度。

二阶中心差分算子可用于计算一阶导数。它的表达式如下：

f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x-h)) / 2h

其中，h是步长。

该算子的二阶精度可以通过在函数值前后各使用一个点来提高。它的表达式如下：

f''(x) ≈ (f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)) / h^2

该方法可以精确地计算函数的二阶导数。如果要计算更高阶的导数，可以重复应用该方法。

10-高阶紧致格式

§10. 高阶紧致差分格式 10.1 高阶差分 先考虑导数的差分近似。若某一差分近似的精度是 p 阶的，则近似的误差就是 () p h O 。要想进一步提高精度，通常有两种途径：减小 h （h -version ）或是提高 p （p -version ）。但由于计算机资源的限制，h 不可能无限地减小，因此在需要高精度流场计算的情形（如，粘性边界层、湍流等），就要考虑采用高阶格式。 构造高阶格式需要用到导数的高阶差分近似。通常情形，这需要更多的点。例如：两点差分近似 ()()() f x h f x f x h +-￠? 只有一阶精度。而使用三个点，就可以构造出二阶近似 ()()()() 2432f x h f x h f x f x h -+++-￠? 精度越高，需要的点就更多。对于导数的中心差分近似，也有类似的结果。 但是这种高阶近似用在差分格式中，除了计算公式更加复杂，计算量增加之外，还会造成其他困难。 例1：以一个简单的常微分方程初值问题为例。设 0a > 。 0du au dx += （01x < ） ， ()0u =α

取 M 个网格，空间步长 1 h M = ，网格点记作 j x jh =（0,1,2,,j M =L ），网格点上的近似解记作 () j j u u x ? 。 因 0a > ，导数采用向后差分近似，就有 1 0j j j u u au h --+= （1,2,3,,j M =L ） 实际的计算方案为 0u =α ， 11 1j j u u ha -= + （1,2,3,,j M =L ） 上述格式用到两个点，但只有一阶精度。如果采用二阶差分近似，则成为 12 340j j j j u u u au h ---++= （2,3,,j M =L ） 这个格式具有二阶精度。可是由于涉及三个点，所以只能从 2j = 开始计算。而初始条件只提供了 0u =α 。因此 1u 的计算就需要补充另外的等式。对于更为复杂的流动控制方程以及更复杂、精度更高的数值格式，这种问题就更加严重。 现在我们从另外一个角度来考察上述问题。将导数的近似值记作 j j du u dx ￠? ，则差分格式就可写成 0j j u au ￠+=

时域有限差分法(FDTD算法)的基本原理及仿真

时域有限差分法(FDTD算法)的基本原理及仿真

时域有限差分法（FDTD 算法） 时域有限差分法是1966年K.S.Yee 发表在AP 上的一篇论文建立起来的，后被称为Yee 网格空间离散方式。这种方法通过将Maxwell 旋度方程转化为有限差分式而直接在时域求解, 通过建立时间离散的递进序列, 在相互交织的网格空间中交替计算电场和磁场。 FDTD 算法的基本思想是把带时间变量的Maxwell 旋度方程转化为差分形式，模拟出电子脉冲和理想导体作用的时域响应。需要考虑的三点是差分格式、解的稳定性、吸收边界条件。有限差分通常采用的步骤是：采用一定的网格划分方式离散化场域；对场内的偏微分方程及各种边界条件进行差分离散化处理，建立差分格式，得到差分方程组；结合选定的代数方程组的解法，编制程序，求边值问题的数值解。 1.FDTD 的基本原理 FDTD 方法由Maxwell 旋度方程的微分形式出发，利用二阶精度的中心差分近似，直接将微分运算转换为差分运算，这样达到了在一定体积内和一段时间上对连续电磁场数据的抽样压缩。 Maxwell 方程的旋度方程组为： E E H σε +??=??t H H E m t σμ-??-=?? （1） 在直角坐标系中，（1）式可化为如下六个标量方程： ???????????+??=??-??+??=??-??+??=??-??z z x y y y z x x x y z E t E y H x H E t E x H z H E t E z H y H σεσεσε，????? ??? ??? -??-=??-??-??-=??-??-??-=??-??z m z x y y m y z x x m x y z H t H y E x E H t H x E z E H t H z E y E σμσμσμ （2） 上面的六个偏微分方程是FDTD 算法的基础。 Yee 首先在空间上建立矩形差分网格，在时刻t n ?时刻，F(x,y,z)可以写成 ),,(),,,(),,,(k j i F t n z k y j x i F t z y x F n =????= （3） 用中心差分取二阶精度： 对空间离散： ()[] 2 ),,21(),,21() ,,,(x O x k j i F k j i F x t z y x F n n x i x ?+?--+≈???= ()[] 2 ),21,(),21,() ,,,(y O y k j i F k j i F y t z y x F n n y j y ?+?--+≈???= ()[] 2 )21,,()21,,() ,,,(z O z k j i F k j i F z t z y x F n n z k z ?+?--+≈???=

第十章 偏微分方程数值解法

第十章 偏微分方程数值解法 偏微分方程问题，其求解十分困难。除少数特殊情况外，绝 大多数情况均难以求出精确解。因此，近似解法就显得更为重要。本章仅介绍求解各类典型偏微分方程定解问题的差分方法。 §1 差分方法的基本概念 1.1 几类偏微分方程的定解问题 椭圆型方程：其最典型、最简单的形式是泊松（Poisson ）方程 ),(22 2 2y x f y u x u u =∂∂+∂∂=∆ 特别地，当 0),(≡y x f 时，即为拉普拉斯（Laplace ）方程，又称 为调和方程 22 22 =∂∂+∂∂=∆y u x u u Poisson 方程的第一边值问题为 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧Ω ∂=Γ=Ω∈=∂∂+∂∂Γ∈),(),(),(),(),(22 22y x y x u y x y x f y u x u y x ϕ 其中 Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线， ΓΩ 称为定解区域，),(y x f ，),(y x ϕ分别为Ω，Γ上的已知连 续函数。 第二类和第三类边界条件可统一表示为

),(),(y x u u y x ϕα=⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+∂∂Γ∈n 其中n 为边界Γ的外法线方向。当0=α时为第二类边界条件， 0≠α时为第三类边界条件。 抛物型方程：其最简单的形式为一维热传导方程 2 20(0)u u a a t x ∂∂-=>∂∂ 方程可以有两种不同类型的定解问题： 初值问题 ⎪⎩ ⎪⎨⎧+∞ <<∞-=+∞<<-∞>=∂∂-∂∂x x x u x t x u a t u )()0,(,00 22 ϕ 初边值问题 2 212 00,0(,0)()0(0,)(),(,)()0u u a t T x l t x u x x x l u t g t u l t g t t T ϕ⎧∂∂-=<<<<⎪∂∂⎪⎪ =≤≤⎨⎪==≤≤⎪⎪⎩ 其中 )(x ϕ，)(1t g ，)(2t g 为已知函数，且满足连接条件

二阶带通滤波差分形式

二阶带通滤波差分形式 引言： 带通滤波器是一种常见的信号处理器件，它可以通过选择性地通过一定频率范围内的信号，抑制其他频率范围内的信号。本文将介绍二阶带通滤波器的差分形式，包括其原理、设计方法和应用。 一、二阶带通滤波器的原理 二阶带通滤波器是一种具有两个极点(poles)和两个零点(zeros)的滤波器。其传递函数为： H(z) = (b0 + b1z^(-1) + b2z^(-2)) / (1 + a1z^(-1) + a2z^(-2)) 其中，b0、b1、b2为前馈系数(feedforward coefficients)，a1、a2为反馈系数(feedback coefficients)。带通滤波器的频率响应通常是一个中心频率附近的带状形状。 二、二阶带通滤波器的差分形式 为了实现二阶带通滤波器，可以将其传递函数转化为差分方程形式。差分方程是一种离散时间系统的数学模型，可以通过迭代计算得到滤波器的输出。 差分方程形式的二阶带通滤波器为： y[n] = b0*x[n] + b1*x[n-1] + b2*x[n-2] - a1*y[n-1] -

a2*y[n-2] 其中，y[n]为滤波器的输出，x[n]为滤波器的输入，n表示当前的时间步。通过不断更新x[n]、x[n-1]、x[n-2]、y[n-1]和y[n-2]的值，可以实现二阶带通滤波器的功能。 三、二阶带通滤波器的设计方法 设计二阶带通滤波器的关键是确定其传递函数中的系数b0、b1、b2、a1和a2的值。常用的设计方法包括频率变换法、模拟滤波器原型法和数字滤波器设计工具等。 其中，频率变换法是一种简单直观的设计方法。首先，选择一个模拟带通滤波器的原型，例如巴特沃斯滤波器或切比雪夫滤波器。然后，通过频率变换将模拟滤波器转化为数字滤波器，得到其传递函数的系数。最后，根据采样频率和所需的带通滤波器参数，计算出差分方程中的系数。 四、二阶带通滤波器的应用 二阶带通滤波器在信号处理和通信系统中有广泛的应用。以下是几个常见的应用场景： 1. 音频信号处理：带通滤波器可以用于音频信号的均衡和去噪处理。通过选择合适的中心频率和带宽，可以增强或减弱特定频率范围内的音频信号。

一维中心差分法计算代码

一维中心差分法计算代码 1. 引言 1.1 一维中心差分法概述 一维中心差分法是一种常用的数值计算方法，通常用于求解一维偏微分方程的数值解。这种方法利用了函数在某一点的导数可以通过函数在该点附近的取值来近似表示的特性。通过将函数在一个点的导数表示为该点附近两个点的函数值的线性组合，可以得到一维中心差分的计算公式。 一维中心差分法的基本思想是通过离散化空间，将空间区域划分为一系列小区间，然后在每个小区间上使用差分公式来逼近偏微分方程的微分操作。中心差分是一种常用的差分方式，通过取该点周围两个点的函数值的平均值来表示该点的导数。在一维中心差分法中，我们可以通过迭代更新的方式，逐步求解出整个空间区域的数值解。 一维中心差分法在数值求解偏微分方程时具有一定的优势，它能够较为准确地近似实际解，并且在计算速度上具有一定的优势。该方法也存在一些缺点，比如对于非线性问题的数值求解较为困难，且在边界处需要特别处理。综合考虑其优缺点，一维中心差分法仍然是一个比较常用且有效的数值计算方法。 2. 正文 2.1 一维中心差分法计算代码实现步骤

一维中心差分法是一种常用的数值计算方法，用于求解一维偏微分方程的数值解。在本节中，我们将介绍一维中心差分法的计算代码实现步骤，以帮助读者更好地理解这一数值计算方法的具体实现过程。 我们需要定义一个一维数组来存储我们要计算的函数值。假设我们要求解的一维偏微分方程为u_t = ku_xx，在这里u_t表示u关于时间的导数，k为常数，u_xx表示u关于空间的二阶导数。我们可以将空间离散化为N个网格点，将时间离散化为M个时间步长，用一个 N\*M的数组来存储u在各个网格点上的值。 我们需要初始化u在初始时刻t=0的值。这可以通过给定的初始条件来完成，比如u(x,0) = f(x)，其中f(x)为已知函数。 然后，我们可以开始计算中心差分来逼近u_xx，即利用有限差分近似u关于空间的二阶导数。具体地，假设我们在某一时间步t_n和位置x_i处，我们有如下的中心差分公式： ∆u_i^n = (u_{i-1}^n - 2u_i^n + u_{i+1}^n) / ∆x^2 其中∆u_i^n表示在位置x_i处的u在时间步t_n的二阶空间导数近似值，∆x为空间步长。 接着，我们需要考虑计算边界条件。在一维中心差分法中，通常会给出边界条件来限制函数的取值范围。我们需要根据具体的问题来确定边界条件，并在代码中进行相应的处理。

二阶对称差分离散

二阶对称差分离散 二阶对称差分离散是指对一个离散序列进行二阶差分运算，得到一个新的序列。在数学和信号处理领域中，二阶对称差分离散常用于平滑数据、滤波和边缘检测等应用。本文将介绍二阶对称差分离散的原理、应用和相关算法。 一、原理 二阶对称差分离散的原理是通过对原始序列进行两次差分运算，从而得到一个新的序列。差分运算是指相邻两个元素之间的差值。一阶差分是指相邻两个元素之间的差，而二阶差分是指一阶差分序列再进行一次差分运算。对于一个离散序列x[n]，其一阶差分序列为y1[n]，二阶差分序列为y2[n]。 二、应用 二阶对称差分离散在信号处理领域有广泛的应用。其中一种应用是平滑数据。通过对原始数据进行二阶对称差分离散运算，可以消除噪声和不必要的波动，使数据更加平滑。另一种应用是滤波。通过对信号进行二阶对称差分离散运算，可以滤除高频噪声，保留信号中的低频成分。还有一种应用是边缘检测。通过对图像进行二阶对称差分离散运算，可以检测出图像中的边缘信息。 三、算法 二阶对称差分离散可以使用不同的算法来实现。其中一种常用的算法是中心差分算法。中心差分算法是指使用中心差分公式来计算差

分值。对于序列x[n]，其一阶差分序列y1[n]可以通过以下公式计算： y1[n] = x[n+1] - x[n-1] 而二阶差分序列y2[n]可以通过以下公式计算： y2[n] = y1[n+1] - y1[n-1] 另一种常用的算法是卷积算法。卷积算法是指使用卷积操作来计算差分值。对于序列x[n]，其一阶差分序列y1[n]可以通过以下卷积操作计算： y1[n] = x[n] - x[n-1] 而二阶差分序列y2[n]可以通过以下卷积操作计算： y2[n] = y1[n] - y1[n-1] 四、总结 二阶对称差分离散是一种常用的数学和信号处理技术，可以应用于平滑数据、滤波和边缘检测等领域。通过对离散序列进行两次差分运算，可以得到一个新的序列，从而实现对数据的处理和分析。在实际应用中，可以使用中心差分算法或卷积算法来实现二阶对称差分离散。通过合理选择算法和参数，可以得到满足需求的处理结果。对于不同的应用场景，可以根据具体需求进行调整和优化。

偏微分方程数值解(试题)

偏微分方程数值解试题 1、考虑一维的抛物型方程： 2200, [0,], 0t T (,), (,)(,0)() x x u u x t x u x t u u x t u u x x ππνπϕ==∂∂=∈≤≤∂∂=== （1）导出时间离散是一阶向前Euler 格式，空间离散是二阶精度的差分格式； （2）讨论（1）中导出的格式的稳定性； （3）若时间离散为二阶精度的蛙跳格式， 11 2n n n t t u u u t t +-=∂-= ∂∆ 空间离散是二阶精度的中心差分，问所导出的格式稳定吗？为什么？ 2、考虑Poission 方程 2(,)1, (,)0, in AB and AD (,)0, in BC and CD u x y x y u n u x y -∇=∈Ω ∂=∂= 其中Ω是图1中的梯形。 使用差分方法来离散该方程。由于梯形的对称性，可以考虑梯形的一半，如图2， 图2 从物理空间到计算区域的几何变换 图1 梯形

为了求解本问题，采用如下方法：将Ω的一半投影到正方形区域ˆΩ ，然后在ˆΩ上使用差分方法来离散该方程。在计算区域ˆΩ 上用N N ⨯个网格点，空间步长为1/(1)N ξη∆=∆=-。 （1）引入一个映射T 将原区域Ω（带有坐标,x y ）变换到单位正方形ˆΩ（带有坐标,ξη）。 同时导出在新区域上的方程和边界条件。 （2）在变换区域，使用泰勒展开导出各导数项在区域内部和边界点上的差分格式。 3、对线性对流方程0 constant >0u u a a t x ∂∂+=∂∂，其一阶迎风有限体积法离散格式为 1ˆn j u +=ˆn j u a t x ∆-∆（ˆn j u 1ˆn j u --） （1）写出0a <时的一阶迎风有限体积法的离散格式； （2）写出a 为任意符号的常数的一阶迎风有限体积法的守恒形式。 （3）使用0 u u u t x ∂∂+=∂∂说明一阶迎风有限体积法不是熵保持的格式。 4、对一维Poission 方程 , (0,1) (0)(1)0 x xx u xe x u u ⎧-=∈⎨ ==⎩ 将[]01，分成(1)n +等分，写出用中心差分离散上述方程的差分格式，并问： （1）该差分格式与原微分方程相容吗？为什么？ （2）该差分格式稳定吗？为什么？ （3）该差分格式是否收敛到原微分方程的解？为什么？ （4）取(1)6n +=，写出该差分格式的矩阵表示。 5、叙述二重网格方法的执行过程，并对一维常微分方程边值问题 2 25, (0,1) (0)(1)0 xx u x x x u u πππ⎧-=∈⎨ ==⎩（sin(5)+9sin(15)） 给出限制算子和延拓算子矩阵（以细网格h ：7n =，粗网格2h ：3n =为例）。 6、对一阶波动方程 01(,0)sin(), (0,1)2(0,)(1,)u u t x u x x x u t u t π∂∂⎧+=⎪∂∂⎪ ⎪ =∈⎨⎪ =⎪⎪⎩ （1）写出用中心差分进行空间离散，用一阶向后Euler 进行时间离散的差分格式；

差分方法

一、差分方法 1．1 导数的差分公式 在x 附近对()f x 展开，由泰勒展开公式 ()()()f x h f x f x h '+≈+ 得到前差公式为 ()() ()f x h f x f x h +-'= 同理也可以得到后差公式 ()() ()f x f x h f x h --'= 由后差分公式可以得到二阶导数的差分公式为 2 ()()()2()() ()f x h f x f x h f x f x h f x h h ''+-+-+-''= = 叫中心差分公式。 利用这些公式可以将微分方程写成差分方程。 1．2 热传导方程的差分公式 热传导方程是 2t xx u a u = 可以写成差分形式 22 (,)(,)(,)2(,)(,) ()u x t t u x t u x x t u x t u x x t a t x +∆-+∆-+-∆≈∆∆ 即 []2 2 (,)(,)(,)2(,)(,)()t u x t t u x t a u x x t u x t u x x t x ∆+∆≈+ +∆-+-∆∆ 令 ,,0,1,2,...,1x i x t i t i n =∆=∆=- 上式可以写为（显示格式） []22 (,1)(,)(1,)2(,)(1,)() t u i j u i j a u i j u i j u i j x ∆+=+ +-+-∆ 可以证明，上式的稳定条件为 2 2 ()2x t a ∆∆≤，即 221()2t a x ∆≤∆ 稳定且非振荡的条件为

22 1 ()4 t a x ∆≤∆ 截断误差为 2((),)O x t ∆∆ 另一种格式为 22 (,)(,)(,)2(,)(,) ()u x t t u x t u x x t t u x t t u x x t t a t x +∆-+∆+∆-+∆+-∆+∆≈∆∆ 即 22 22()()(,1,1)2(,1)(1,1)(,)x x u i j u i j u i j u i j a t a t ⎡⎤∆∆-++--++++=-⎢⎥∆∆⎣ ⎦ 该式称为隐式格式。对任何步长都是恒稳定的。在t ∆上取值的唯一限制是，要将截断误差 保持在合理的程度上从而节约计算时间。 截断误差为 2((),)O x t ∆∆。 二、一维热传导方问题 2．1 无限长细杆的热传导 无限长细杆的热传导的定解问题是 2(,0)()t xx u a u u x x ϕ⎧=⎨ =⎩ 利用Fourier 变换求得问题的解是 2 2()4(,)()x a t u x t d ξϕξξ--+∞ -∞⎡⎤ =⎥⎰⎥⎦ 其中取初始温度分布如下： 1,01()0,0,1x x x x ϕ≤≤⎧=⎨ <>⎩ 这是在区间0—1之间高度为1的一个矩形脉冲，于是得到 2 (,)u x t ξ=⎰ 可以用图1所示的瀑布图来表示稳定随时间与空间的变化。 从图中可以看到，在开始时，温度分布是原点附近的一个脉冲状得分布，随着时间的增加，热量向两边传播，形成一个平缓的波包，不难想象如果时间足够长，最终杆上的温度会全

数值计算方法比较

有限差分方法(FDM:Finite Difference Method)是计算机数值模拟最早采 用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。有限差分法主要集中在依赖于时间的问题（双曲型和抛物型方程）。有限差分法方面的经典文献有Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value Problems》；R. LeVeque《Finite Difference Method for Differential Equations》；《Numerical Methods for C onservation Laws》。 注：差分格式： （1）从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。 （2）从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。 （3）考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。 目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 构造差分的方法： 构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。 有限差分法的不足：由于采用的是直交网格，因此较难适应区域形状的任意性，而且区分不出场函数在区域中的轻重缓急之差异，缺乏统一有效的处理自然边值条件和内边值条件的方法，难以构造高精度(指收敛阶)差分格式，除非允许差分方程联系更多的节点(这又进一步增加处理边值条件韵困难)。另外它还有编制不出通用程序的困难。 有限差分法的优点：该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，精度可选而且在一个时间步内，对于一个给定点来说其相关的空间点只是与该相邻的几点，而不是全部的空间点。是发展较早且比较成熟的数值方法 广义差分法（有限体积法）（GDM:Generalized Difference Method）：1953年，Mac—Neal 利用积分插值法(也称积分均衡法)建立了三角网格上的差分格式，这就是以后通称的不规划网格上的差分法．这种方法的几何误差小，特别是给出了处理自然边值条件(及内边值条件)的有效方法，堪称差分法的一大进步。1978年，李荣华利用有限元空间和对偶单元上特征函数的推广——局部Taylor展式的公项，将积分插值法改写成广义Galerkin法形式，从而将不规则网格差分法推广为广义差分法.其基本思路是，将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。广义差分法应用最多的领域之一是电磁场的计算，另一个应用最多也最成功的领域是流体力学和地下流体力学。 广义差分法的优点：既最大限度的保持了差分法的简单性，又兼有有限元法的精确性 (1)网格剖分灵活(包括三角剖分、四边形剖分)，几何误差小，便于处理自然边值条件． (2)工作量比有限差分法大，比有限元法小．但精确度比有限差分法高，与有限元法的收敛阶相

(完整word)差分格式

§1。 差分 1． 一阶导数的差分近似（差商） 导数的定义： 0 00 lim x x f x f x f x x x 导数的近似： 1 00 1 f x f x f x x x （当 1x 与 0x 足够接近时） 这样的表达式称为差商，它可作为导数的近似，称为导数的差分近似。 误差分析 － 泰勒展开:将 1f x 在 0x 处做泰勒展开，有 2 1 01 1 1 2 f x f x f x x x f x x x 于是 1 00 101 f x f x f x x x x x 各种差分近似： 取 0h （称为步长），则可以有 向前差分近似（相当于取 1 0x x h x ） f x h f x f x h 向后差分近似（相当于取 1 0x x h x ）

000 f x f x h f x h 中心差分近似 （前差近似与后差近似的算术平均） 2f x h f x h f x h 2． 差分近似的一般形式 差分近似的一般形式可写成 22 11 00 11 22 1 m m n n f x c f x c f x c f x h c f x c f x c f x c f x 或简写为 1n j j j m f x c f x h 称为一阶导数 0f x 的一个 1m n 点差分近似。这里 ( , , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , , )j x x jh j m n 差分近似的精度 : 阶 定义:若

1n p j j j m f x c f x h h 则称表达式 1 n j j j m c f x h 是一阶导数 0f x 的 p 阶差分近似。 例:通过误差分析，上面给出的向前和向后差分近似都是一阶的，而中心差分近似是二阶的.中心差分近似的精度较高. 差分近似的分类 若 m n ，则 1 m j j j m c f x h 称为中心差分近似； 若 m n ，则 1 n j j j m c f x h 称为偏心差分近似，特别是 若 0m ,则 1 n j j j c f x h 称为向前差分近似(前差近似） ； 若 0n ,则 01 j j j m c f x h 称为向后差分近似（后差近似） 。 3． 待定系数法 构造导数的差分近似可用待定系数法. 【例1】用 1x 、0x 、1x 、2x 四点构造一阶导数 0f x 的差分近似。

紧致差分格式的构造和验证

摘要 目前，紧致差分格式已逐渐成为差分方程的数值方法的主要方向。具有良好特性的高精度的紧差分格式相继构造出来并能够应用到一些特殊的问题的数值求解，显现出了良好的效果。本课题针对紧致差分格式这一研究方向，希望能够通过MATLAB等软件的辅助以及前人对紧致差分格式的研究帮助对紧致差分格式进行构造一种差分格式，并且通过解微分方程的数值解实验对紧致差分格式进行验证其稳定性、收敛性以及误差等特性，最终能够比较直观了解这类紧致格式差分方法的精度等。 关键词:有限差分；差分格式；构造

ABSTRACT At present,compact difference schemes have gradually become a main rese arch direction of the numerical method of differential equations,and the compac t difference schemes with high precision and good characteristics have been con structed one after another and applied to the numerical solution of some specific problems,and good results have been achieved.This topic for compact differenc e scheme,the research direction of hope can through MATLAB software such as aided and previous study of compact difference scheme to help to construct a co mpact difference scheme difference scheme,and by solving the differential equa tion numerical solution of experiments to verify its compact difference scheme f eatures such as stability,convergence and error,finally can more intuitive unders tanding of the compact format the precision of the finite difference method,etc. Key words：Finite difference; Difference scheme; Structure