高三复习文科统计概率(概率专项)练习

高三复习文科统计概率（概率专项）练习

必须掌握知识点：

○1随机事件的定义；正确理解概率的定义，能理解频率与概率的联系与区别.

解析：判断事件是否随机抓住不能确保发生或不发生的事件，通常未发生的不是自然科学规律的事件为随机事件，而已发生、自然科学规律、公式以及定理等确定的事件为必然事件，违背自然科学的未发生的为不可能事件；事件发生的概率通俗讲就是事件发生的可能性大小，故可能发生也可能不发生，如天气预报有雨却没下雨，某人说某事99%的概率发生缺没发生等并不表示天气预报有误也不表示某人说法错误；频率是统计得来，随着试验次数不同而浮动，概率可看着是对频率的固定值估计，是一个定值，但试验次数无限增加时，频率无限趋近该事件的概率.

○2掌握对立事件与互斥事件的区别与联系.

解析：对立事件与互斥事件都不能同时发生，而互斥事件可以同时不发生，对立事件却必然有事件发生，故对立事件是互斥事件充分不必要条件；互斥事件与对立事件经常作为间接求解使用.

○3掌握古典概型和几何概型.

解析：古典概型成立的特征需两个条件，条件一是试验的结果是有限的（如抛一枚硬币出现正面、方面两种情况），条件二是试验的所有结果发生可能性相同（如抛一枚硬币出现正面、反面的概率一样），解答古典概型题计算方式

为()A

P A

事件发生的事件总数

试验所有可能发生的事件总数

；几何概型其实就是一个“量比”的问题，事件发生的概率与试验“器

具”的量有关，且为其“量比”（如长度比、面积比、事件比、空间比、数轴比等，典型的如等公交车、过交通岗、设靶、数轴取数、抛黄豆以等）.

○4独立性检验

解析：独立性检验是经常出现在大题当中，固定的考试模式以及固定的求解步骤对考生来说没有难度，需要注意的是几种求问法：（1）是否有不低于99.5%的把握认为吸烟与患肺炎相关；（2）是否能在犯错误的概率不超过0.5%前提下，认为吸烟与患肺炎有关；（3）若低于95%的把握，则认为吸烟与患肺炎无关，反之亦然，从上表统计数据是否能判断吸烟与患肺炎有关，请注明你的结论。三种问法第（1）与第（2）种实质是一个问题，第三种问题关键在于求出2

K后要会查表。

○5与统计结合考查

解析：统计与概率在大题里面通常是一起出现，大多数情况下，统计的结果正确与否决定了概率计算的正确与否，所以学好概率之前学好统计相关知识是基础，特别是频率分布直方图、频数分布表等.

○6在文科概率题解答中，通常要求用列举法、图表法以及树状图等解答，但是在选择填空中很多类型的题可以简单学一些计算原理（特别是相乘原理），以提高解答速度.

考点题型讲解

题型1：概念考查

例1 判断下列叙述对错，并说明理由：

○1在土地上随机丢一颗水生种子，“一年后种子发芽”为随机事件

○2沈阳一中学教师与泰国拳王进行一场拳击比赛，“泰国拳王输掉比赛”为不可能事件

○3抛十次硬币，“正面朝上的次数”是随机的

○4随着抛硬币试验次数的增加，“正面朝上”的频率一定越来越接近1

2

○5某事件发生的频率大于此事件发生的概率

○6频率是随机的，在试验前不能确定

○7若一件事情发生的可能性为十万分之一，则此事的发生为不可能事件

○8任何事件发生的概率都是在（0，1）之间

○9概率是随机的，在试验前不能确定

○10天气预报说今日有雨，但到晚上凌晨以后也没有下雨，则说明天气预报出现错误

○11人们常说“不怕一万就怕万一”旨在说明事情的不可预料性，类似于随机事件

○12某件事若不是必然事件，则必是不可能事件

解析：○1（对）凡是不能确保发生或不发生的事件，则应为随机事件

○2（错）应为随机事件，因为谁也不可能事先知道比赛结果（除非黑哨，开玩笑）

○3（对）一次试验中某事件发生的频数是随机的

○4（错）概率是估算值，是一个定值，假设开始频率等于概率，而随着试验的增加“正面朝上”的频数不一定增加（或减小），从而频率不一定增加（或减小），故此说法不对

○5（错）在一次试验中频率可能比概率大也可能比其小

○6（错）频率本身是一个统计结果，实验前频率大小不可肯定，但是同样可估其值（概率），所以频率不可叙述其随机性

○7（错）不可能事件的是不可能发生的，哪怕百万分之一的可能发生也不行

○8（错）不可能事件发生的概率为零，必然事件发生的概率为1

○9（错）概率是对某事件发生的估算值，是一个定值，不是随机的

○10（错）天气预报有雨只能说明今日下雨的概率大于不下雨的概率，但并不是必然事件 ○11（对）凡事只要没发生就可能出现奇迹（高考也有奇迹，但是得努力）

○12（错）目前我们学过的事件有不可能事件，必然事件，随机事件，而不可能事件和必然事件并不是对立

事件

题型2：对立事件与互斥事件

例2 （概念理解）若事件A 与事件B 为互斥事件，事件C 与事件D 为对立事件，则下列关系式正确的是（ ） ○1()()1P A P B +=○2()()1P A P B +≤○3()()1P C P D +≤○4()1()P C P D =-

解析：○2○4对，○1○3错，正确理解互斥事件与对立事件的概念，互斥事件不能同时发生但可以都不发生，而对立事件不能同时发生但必须有一个发生。

例3 （关系）对立事件是互斥事件充分不必要条件，反之，互斥事件是对立事件的必要不充分条件。 例4 （运用）同时抛两颗骰子，两颗骰子出现点数不同的概率是多少（用列举法）？

解析：文科解题通常要求用列举法，发现要列觉出点数不同的情况太多，麻烦，但是分析此题可以发现，两颗骰子要么点数相同，要么不同，相同与不相同刚好为对立事件，所以我们可以用求其对立事件的方法来求两颗骰子点数不同的概率，这样就好列举多了。

解：同时抛两颗骰子出现点数相同的情况有()()()()()()112233445566，、，、，、，、，、，，而所有的情况共有36种，骰子点数相同的概率为

636，故骰子不相同的概率为65

1366

-

=. 练习1 一前一后抛两颗骰子，两颗骰子的点数之和大于3的概率是多少？

练习2 有重量及外观形状相同的红球3个，白球2个，将它们放在同一个袋子里面，从袋子里面不放回地抽取两个球，抽取的球至少有一个红球的概率是多少？若有放回地抽取两个球，抽取的球至少有一个红球的概率是多少？

题型3：考查古典概型

例5 （公式考查）请问下列抽奖方式中甲、乙中奖率是否相同，且分别求出甲乙的中奖概率？ （1）有5张彩票，中奖彩票一张，甲先抽两张，乙再抽两张； （2）有5张彩票，中奖彩票一张，甲先抽一张，乙再抽一张；

（3）有5张彩票，中奖彩票一张，甲先抽一张，且乙在得知甲没中奖的情况下也抽一张； （4）有5张彩票，中奖彩票一张，甲先抽两张，且乙在得知甲没中奖的情况下抽一张；

（5）有5张彩票，中奖彩票一张，甲先抽三张，乙再抽一张；

（6）有5张彩票，中奖彩票一张，甲先抽一张，乙再抽三张.

解析：典型的古典概率题型公式考查，古典概率题型解题在于正确理解事件发生的等可能性.

解：（1）公平；在事先不知道那张彩票为中奖彩票的情况下，甲、乙中奖的概率均为2 5 .

（2）公平；在事先不知道那张彩票为中奖彩票的情况下，甲、乙中奖的概率均为1 5 .

（3）不公平；在事先不知道那张彩票为中奖彩票的情况下甲抽一张中奖的概率为1

5

，而乙在抽取时已经知道甲

没中奖，所以只剩下4张彩票而其中一张为中奖彩票，故乙的中奖概率为1 4 .

（4）不公平；在事先不知道那张彩票为中奖彩票的情况下甲抽一张中奖的概率为2

5

，而乙在抽取时已经知道甲

没中奖，所以只剩下3张彩票而其中一张为中奖彩票，故乙的中奖概率为1 3 .

（5）不公平；在事先不知道那张彩票为中奖彩票的情况下甲抽3张中奖的概率为3

5

，而乙抽一张中奖的概率为

1 5 .

（6）不公平；在事先不知道那张彩票为中奖彩票的情况下甲抽一张中奖的概率为1

5

，而乙抽3张中奖的概率为

3

5

.

例6 （综合运用考查）现有3名男生，2名女生

（1）抽一名学生去打扫卫生，男生甲被抽到的概率；

（2）抽两名学生去打扫卫生，男生甲被抽到的概率；

（3）抽两名学生去打扫卫生，被抽到的学生为一名男生，一名女生的概率；

（4）抽两名学生去打扫卫生，被抽到的学生至多有一名男生的概率；

（5）抽两名学生去打扫卫生，被抽到的学生至少有一名男生的概率；

（6）抽两名学生去打扫卫生，被抽到的学生恰有一名男生的概率.

解析：文科在做概率时，要抓住一点，就是必须要保证列举的基本事件没有遗漏，事件发生所包含的基本事件没有遗漏，量少可以依次列举，量多可以用树状图、列表等方法.

解：（1）()1 5

P A=（每个人被抽到的概率相等，列举略）

（2）()

42 105

P A==（列举略）

（3）()

63 105

P A==（列举略）

（4）()

37 1

1010

P A=-=（对立事件，列举略）

（5）()

19 1

1010

P A=-=（对立事件，列举略）

（6）()63

105

P A =

=（其实和第三问为同一个问题） 例7 （综合运用考查）已知{}{}123123A B ==，，，，，，则()1a b a A b B -≥∈∈，的概率为多少？ 解析：概率结合其他知识点的综合运用以及对立事件考查.

解：此题采用求对立事件间接求解的方法，设()1a b a A b B -≥∈∈，发生为事件A ，由题意选取的a b 、共有

()()()()()()()()()111212212223313233，、，、，、，、，、，、，、，、，

9种，而满足1a b -<的情况有()()()112233，、，、，

3种，故()32

193

P A =-

=. 练习1 已知小洪同学的QQ 密码后2位均由0至9之间的数组成，小洪同学在忘记密码的情况下只需一次就试对密

码的概率是多少？

练习2 已知一个箱子里面有三个篮球，其中有一个球为次品，体育老师一次取一个蓝球，问（1）体育老师第一次

就取到次品篮球的概率是多少？（2）体育老师第二次取到次品球的概率是多少？（3）体育老师第三次才取到次品球的概率是多少？

题型4：考查几何概型

例8 （面积类型）有如图几何图形，图中A 、B 两个圆的圆心连线过C 圆的圆心且大小相等，则在图中随机取一点，此点来自阴影部分的概率是多少？

（例8）

解析：典型的面积类型几何概型，直接求出面积比即可.

解：设此点来自阴影部分为事件A ，大圆半径为2r ，则小圆半径为r ，()22

21

(2)2

r P A r ππ?== 例9 （时间类型1）已知经过某公交站236路公交车每15分钟一班，小洪同学已经在此公交站等了3分钟，现有一辆公交车进站，刚好是小洪要乘的236路公交车的概率是多少？ 解析：典型的时间类型几何概型，直接求出时间比即可. 解：设刚好是小洪要乘的236路公交车为事件A ，()31155

P A =

= 例10 （时间类型2）已知某十字路口交通灯红灯为27秒，黄灯3秒，绿灯30秒，请问小洪同学到达十字路口即

能过马路的概率是多少？

解析：典型的时间类型几何概型，直接求出时间比即可. 解：设小洪同学到达十字路口即能过马路为事件A ，()301

302732

P A =

=++

例11 （长度类型）已知某段长16米的输电线有三处出现绝缘层老化，三处绝缘老化分别长2.2米、1.9米、3.9米，维修员用检测笔第一次检测即能发现绝缘层老化的线路的概率是多少？ 解析：典型的长度类型几何概型，求出长度比即可.

解：设维修员用检测笔第一次检测即能发现绝缘层老化的线路为事件A ，则有() 2.2 1.9 3.91

162

P A ++=

=

例12 （数轴类型）已知[]1a ∈，8，则函数2()5f x x ax =-+的图象对称轴在区间[]13，之间的概率是多少？ 解析：将数值类型取值范围类比到数轴长度，以求长度比解题. 解：函数2()5f x x ax =-+的对称轴为02

a

x =

，要使[]132a 在，之间，则需[]26a 在，之间，从数轴上可以得到[]26，的数轴长占[]18，的数抽长的47，故函数2()5f x x ax =-+的图象对称轴在区间[]13，之间的概率为4

7.

练习1 有已装满5L 水的大水杯，小洪同学发现其水杯中有一只虫子，受惊之下小洪同学将杯子里的水杯倒了2L ，

问：虫子没被倒掉的概率是多少？

练习2 20平米的小型游泳池的池底有一个半径为40厘米的铁球，小洪同学不小心失足掉到池里刚好碰到铁球的

概率是多少？

题型5：与统计结合考查

例13 某班在期中测试中数学成绩统计如下表：

（1）若60～80分数段人数占班上总人数的百分之三十，且该班男生比女生多9名，求x y 、. （2）若从115分以上的学生抽取两人，这两人均为女生的概率是多少？

解析：本题第一问要求用统计知识解出x y 、，且第二问的解答必须是第一问正确的情况下才能得到正确答案. 解：（1）设班级总人数为N ，()87/0.350N =+= 则2x y += ○1，又该班男生比女生多9名，则有 ()()489433772190x y x y +++++-+++++=?-= ○2 由联立解得1x y ==

（2）由（1）得115分以上男生有4名，女生两名，设四名男生分别为1234A A A A 、、、，两名女生分别为12B B 、， 随机抽两名，共有()()()()()()()()()

()12131411122324212212A A A A A A AB AB A A A A A B A B B B 15种，其中两

人均为女生只有一种，故被抽取的两人均为女生的概率为1

15

. 题型6：独立性检验

例14 某班学生进行了一项关于“学习效率提高是否与服用补脑液有关”的调查，随机抽取20名学生进行调查得到如下联表：

表1.1：

公式： ()()(

)()22

()()a b c d a d b c

K a b a c b c c d +++-=++++.

（1）能否在犯错误率不超过0.01的前提下认为学习效率提高与服用补脑液有关.

解析：计算2

K ，得出值，若得到2

K 的值大于6.635，则认为在犯错误率不超过0.01的前提下认为学习效率提高与服用补脑液有关.

解：2

2

20(31025) 1.111 6.635515812

K ??-?=

=

巩固练习

1.