空间几何体的外接球与内切球(一)

3 3 空间几何体的外接球与内切球（一）

第一讲 柱体背景的模型

类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）

侧 1-1

侧 1-2

侧 1-3

侧 1-4

方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R )2

= a 2

+ b 2

+ c 2

，即2R =

，求出 R

例 1 （ 1） 已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为 4 ， 体积为 16 ， 则这个球的表面积是 （ C ）

A ．16

B ． 20

C ． 24

D ． 32 解： V = a 2

h = 16 ， a = 2 ， 4R 2

= a 2

+ a 2

+ h 2

= 4 + 4 + 16 = 24 ， S = 24

，选 C ；

（2）

若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 ， 则 其 外 接 球 的 表 面 积 是 9

解： 4R 2

= 3 + 3 + 3 = 9 ， S = 4R 2

= 9；

（3）

在正三棱锥 S - ABC 中， M 、N 分别是棱 SC 、BC 的中点，且 AM ⊥ MN ,若侧棱 SA = 2 ,则

正三棱锥 S - ABC 外接球的表面积是 . 36

S

解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直.证明如下：如图（3）-1，

取 AB , BC 的中点 D , E ，连接 AE , CD ， AE , CD 交于 H ，连接 SH ，

则 H 是底面正三角形 ABC 的中心，

∴ SH ⊥ 平面 ABC ，∴ SH ⊥ AB ，

A

C

D

H

E

B

AC = BC ， AD = BD ，∴ CD ⊥ AB ，∴ AB ⊥ 平面 SCD ， ∴ AB ⊥ SC ，同理： BC ⊥ SA ， AC ⊥ SB ，即正三棱锥的对棱互垂直，

本题图如图（3）-2， AM ⊥ MN ， SB // MN ，

∴ AM ⊥ SB ， AC ⊥ SB ，∴ SB ⊥ 平面 SAC ， ∴ SB ⊥ SA ， SB ⊥ SC ， SB ⊥ SA ， BC ⊥ SA ， A

∴ SA ⊥ 平面 SBC ，∴ SA ⊥ SC ，

故三棱锥 S - ABC 的三棱条侧棱两两互相垂直，

(3)侧-1(侧侧侧

S

M

C

N

B

(3)侧-2侧侧侧侧侧

P

c B

b

a C

A

P

c C

b

A

a

B

P

c C

b

A

a

B

P c A a

b

C

B

a 2 +

b 2 +

c 2

7 ?

?

∴ (2R )2 = (2 36

.

3)2 + (2 3)2 + (2 3)2 = 36 ， 即 4R 2 = 36 ， ∴正三棱锥 S - ABC 外接球的表面积是

（4）

在四面体 S - ABC 中， SA ⊥ 平面ABC ， ∠BAC = 120?

, SA = AC = 2, AB = 1, 则该四面体的外接

球的表面积为（ D ）

A .11

B .7

C .10

3

D .

40

3

解：在?ABC 中， BC 2

= AC 2

+ AB 2

- 2 A B ? BC ? cos120

= 7 ， BC = ， ?ABC 的外接球直径为

2r =

BC

=

7

= ，∴ (2R )2 = (2r )2 + SA 2 = ( 2

7 )2

+ 4 = 40 ， S = 40，选 D sin ∠BAC

3 2 3 3 3 （5）

如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6 、 4 、3 ，那么它的外接球的表面积是

解：由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为 a , b , c （ a , b , c ∈ R +

），则

?ab = 12 ?bc = 8 ?ac = 6 ，∴ abc = 24 ，∴ a = 3 ，

b = 4 ，

c = 2 ， (2R )2 = a 2 + b 2 + c 2 = 29 ， S = 4R 2 = 29，

（6）

已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几

何体外接球的体积为

解： (2R )2

= a 2

+ b 2

+ c 2

= 3 ， R 2

= 3 ， R =

3

4

2

V = 4R 3 = 4? 3 3 = 3 ，

球

3 3 8

2

P

C

侧 6侧侧侧侧侧

(6)侧侧

类型二、对棱相等模型（补形为长方体）

题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（ AB = CD ， AD = BC ， AC = BD ）

第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长宽高分别为 a , b , c ， AD = BC = x ，

AB = CD = y ， AC = BD = z ，列方程组，

2 7 3

A

A

x

D y

y

c z

z x

C

B

a

b

a 2 +

b 2 + c

2

x 2 + y 2 + z 2

8

2 ?

?b ?a 2 + b 2 = x 2

? 2 + c 2 = y 2 ? (2R )2 = a 2 + b 2 + c 2

=

x 2 + y 2 + z 2 ， 2 ?c 2 + a 2 = z 2 1 1

补充：图 2-1 中，V A - BCD = abc - 6 abc ? 4 = 3

abc .

2

x 2 + y 2 + z 2

第 三 步 ： 根 据 墙 角 模 型 ， 2R = =

， R =

，

8

R = ，求出 R .

思考：如何求棱长为 a 的正四面体体积，如何求其外接球体积？

例 2（1）如下图所示三棱锥 A - BCD ，其中 AB = CD = 5, AC = BD = 6, AD = BC = 7, 则该三棱锥外接 球的表面积为

.

解：对棱相等，补形为长方体，如图 2-1，设长宽高分别为 a , b , c ， 2(a 2

+ b 2

+ c 2

) = 25 + 36 + 49 = 110 ，

a 2 +

b 2 +

c 2 = 55 ， 4R 2 = 55 ， S = 55

A

B

D

(1) 侧侧

（2） 在三棱锥 A - BCD 中， AB = CD = 2 ， AD = BC = 3 ， AC = BD = 4 ，则三棱锥 A - BCD 外接

29 球的表面积为 ..............

2

解：如图 2-1，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为 a , b , c ，则 a 2 + b 2

= 9 ，

b 2 +

c 2 = 4 ， c 2 + a 2 = 16 ∴ 2(a 2 + b 2 + c 2 ) = 9 + 4 + 16 = 29 ， 2(a 2 + b 2 + c 2 ) = 9 + 4 + 16 = 29 ， a 2 + b 2 + c 2 =

29

， 4R 2

=

29

， S =

29

2 2

2

（3） 正四面体的各条棱长都为

，则该正面体外接球的体积为

A

侧 3侧侧侧侧

x 2

+ y 2

+ z 2

2

C

3 2 r 2

+ ( h )2

2 3 ? 柱 解：正四面体对棱相等的模式，放入正方体中， 2R = ， R =

，V = 2 4? 3 8 =

2

（4） 棱长为2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三

角形(正四面体的截面)的面积是 .......................

(4)侧

(4)侧侧侧侧

解：如解答图，将正四面体放入正方体中，截面为?PCO 1 ，面积是 .

类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）

侧 3-1

侧 3-2 侧 3-3

题设：如图 3-1，图 3-2，图 3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

第一步：确定球心O 的位置， O 1 是?ABC 的外心，则OO 1 ⊥ 平面 ABC ；

1 1

第二步：算出小圆O 1 的半径 AO 1 = r ， OO 1 = 2 AA 1 = 2

h （ AA 1 = h 也是圆柱的高）；

第三步：勾股定理： OA 2 = O A 2 + O O 2 ? R 2 = h 2

+ r 2 ? R =

，解出 R 1 1

( ) 2

例 3（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，

9 且该六棱柱的体积为 ，底面周长为3 ，则这个球的体积为

8

解：设正六边形边长为 a ，正六棱柱的高为 h ，底面外接圆的半径为 r ，则 a = 1

，

2

正 六 棱 柱 的 底 面 积 为

S = 6 ? 3 (

1 )

2 =

3 3 ，

4 2 8

V = Sh = 3

3 h = 9 ，

8 8

∴ h = ， C 1

A 1

F

O 2

B 1

O C

A

O 1

E

B

C 1

A 1

O 2

B 1

O

C

A

O 1 B

C 1

A 1

O 2

F

B 1

O

C

A

O 1

E

B

O 2

C

P

O

A

O 1

B

3 3 3 3

3 5 2 7 3 表 2 4R 2 = 12 + ( 3)2 = 4

也可 R 2

= ( 3 )2 2 ( 1 )2

2 4 = 1 ）， R = 1，球的体积为V 球 = 3

；

（2） 直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的各顶点都在同一球面上，若 AB = AC = AA 1 = 2 , ∠BAC = 120? ，则此

球的表面积等于 .................... 解： BC = 2 ， 2r =

2 3

= 4 ， r = 2 ， R = ， S = 20；

E

sin120

（3） 已知?EAB 所在的平面与矩形 ABCD 所在的平面互相垂直，

EA = EB = 3, AD = 2, ∠AEB = 60?

，则多面体 E - ABCD 的外接球

的表面积为 (16)

解：折叠型，

侧 3侧侧

法一： ?EAB 的外接圆半径为 r 1 = ， OO 1 = 1， R = = 2 ；

法二： O M =

3 ， r = O D =

13 ， R 2

= 3 +

13

= 4 ， R = 2 ， S = 16

；

1

2

2

2

2

4 4

表

法三：补形为直三棱柱，可改变直三棱柱的放置方式为立式，算法可同上，略.换一种方式，通过算圆柱 的轴截面的对角线长来求球的直径： (2R )2

= (2 3)2

+ 22

= 16 ， S = 16

；

（4） 在直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， AB = 4, AC = 6, A = 3

, AA 1 = 4 ，则直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的外接

160

球的表面积为 .

3

解：法一： BC 2

= 16 + 36 - 2 ? 4 ? 6 ? 1 = 28 ， BC = 2 2 ， 2r = 7 = 3

2

， r = ，

R 2 = r 2 + ( AA 1 )2 = 28 + 4 = 40 ， S = 160

；

2 3 3 表

3

法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，此略.

第二讲 锥体背景的模型

类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通法）

P

侧 4-1 侧 4-2 侧 4-3

侧 4-4

3 1 + 3 7

4 7 3 O

A

O 1

C B

P

O

A

O 1

C B

P

O

O 1

A

C

B

P

A

C

B

r 1 r

A

1 O 1 R O M R r 2

O 2

+

PA 2

+ (2r )2

2 1

3 1 1. 如图 4-1，平面 PAC ⊥ 平面 ABC ，且 AB ⊥ BC （即 AC 为小圆的直径），且 P 的射影是?ABC 的外

心? 三棱锥 P - ABC 的三条侧棱相等? 三棱 P - ABC 的底面?ABC 在圆锥的底上，顶点 P 点也是圆锥的顶点. 解题步骤：

第一步：确定球心O 的位置，取?ABC 的外心O 1 ，则 P , O , O 1 三点共线；

第二步：先算出小圆O 1 的半径 AO 1 = r ，再算出棱锥的高 PO 1 = h （也是圆锥的高）；

第三步：勾股定理： OA 2 = O A 2 + O O 2 ? R 2 = (h - R )2 + r 2

，解出 R ；

1

1

事实上， ?ACP 的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出 R .

2. 如图 4-2，平面 PAC ⊥ 平面 ABC ，且 AB ⊥ BC （即 AC 为小圆的直径），且 PA ⊥ AC ，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：① (2R )2

= PA 2

+ (2r )2

? 2R = ；

② R 2

= r 2

+ OO 2

? R =

3. 如图 4-3，平面 PAC ⊥ 平面 ABC ，且 AB ⊥ BC （即 AC 为小圆的直径）

OC 2

= O C 2

+ O O 2

? R 2 = r 2 + O O 2

? AC = 2

1

1

1

4. 题设：如图 4-4，平面 PAC ⊥ 平面 ABC ，且 AB ⊥ BC （即 AC 为小圆的直径）

第一步：易知球心O 必是?PAC 的外心，即?PAC 的外接圆是大圆，先求出小圆的直径 AC = 2r ； 第二步：在?PAC 中，可根据正弦定理

a

sin A = b sin B = c sin C

= 2R ，求出 R . 例 4 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为 2 为 ............

解：法一：由正弦定理（用大圆求外接球直径）；法二：找球心联合勾股定理，

2R = 7 ， S = 4R 2 = 49；

，则该球的表面积

（2） 正四棱锥 S - ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 ，各顶点都在同一球面上，则此球体积为

解：方法一：找球心的位置，易知 r = 1 ， h = 1， h = r ，故球心在正方形的中心 ABCD 处， R = 1，

V =

4

3

方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是?SAC 的外接圆，此处特殊， Rt ?SAC 的斜边是球半径，

2R = 2 ， R = 1，V =

4

.

3

（3） 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正

三棱锥的体积是（ ）

A ． 3

3 B ．

4

3 C ．

3

3 D ．

4

3

12

解：高 h = R = 1，底面外接圆的半径为 R = 1，直径为2R = 2 ，

设底面边长为 a ，则2R = a sin 60

= 2 ， a = ， S = 3 a 2 = 3 4 4 ，三棱锥的体积为V = Sh = 3 ； 3 4 r 2 + OO 2

1 R

2 - O O 2

1 3 3

3 2

R 2 - r 2 1 - ( 3 )2 3 PA 2

+ (2r )2

r 2

+ OO

2

1 = 1 = P

O

C

A

O 1 B

D

（4） 在三棱锥 P - ABC 中， PA = PB = PC =

,侧棱

PA 与底面 ABC 所成的角为60 ，则该三棱锥外

接球的体积为（ ）

4 A ．

B.

3

C. 4

D.

3

解：选 D ，由线面角的知识，得?ABC 的顶点 A , B , C 在以 r =

为半径的圆上，在圆锥中求解， R = 1；

2

（5） 已知三棱锥 S - ABC 的所有顶点都在球O 的求面上, ?ABC 是边长为1的正三角形, SC 为球O 的直

径,且 SC = 2 ，则此棱锥的体积为（ ）A

A.

B ．

6

6 C ． D ．

3

2

解： OO = = 6 2 6 ， h ，V = 1 Sh = 1 ? 3 ? 2 6 = 2

1 3 3 球

3 3

4 3 6

类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）

1. 题设：如图 5， PA ⊥ 平面 ABC ，求外接球半径.

侧 5

解题步骤：

第一步：将?ABC 画在小圆面上， A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径 AD ，连接 PD ，则 PD 必过

球心O ； 第二步： O 1 为?ABC 的外心，所以OO 1 ⊥ 平面 ABC ，算出小圆O 1 的半径O 1D = r （三角形的外接圆直

a b c

1

径算法：利用正弦定理，得sin A = sin B = sin C = 2r ）， OO 1 = 2

PA ；

第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：① (2R )2

= PA 2

+ (2r )2

? 2R = ；

② R 2 = r 2

+ OO 2

? R = . 2.

题设：如图 5-1 至 5-8 这七个图形， P 的射影是?ABC 的外心? 三棱锥 P - ABC 的三条侧棱相等? 三棱锥 P - ABC 的底面?ABC 在圆锥的底上，顶点 P 点也是圆锥的顶点.

3 3 2 2

O

C

A

O 1

B

O C

A

O 1

B

3 P

P

P

P

侧 5-1

P

侧 5-2

P

侧 5-3

侧 5-4

P

解题步骤：

侧 5-6

侧 5-7

侧 5-8

第一步：确定球心O 的位置，取?ABC 的外心O 1 ，则 P , O , O 1 三点共线；

第二步：先算出小圆O 1 的半径 AO 1 = r ，再算出棱锥的高 PO 1 = h （也是圆锥的高）；

第三步：勾股定理： OA 2 = O A 2 + O O 2 ? R 2 = (h - R )2 + r 2

，解出 R

1

1

方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径. 例 5 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( )C

16

A ． 3

B ． 2

C ． 3

D ．以上都不对

P

侧 侧侧

侧 侧侧

解：选 C ，

侧 侧侧

侧 侧侧

法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半径，球心在圆锥的高线上，

( - R )2 +1 = R 2

, R =

2 , S = 4R 2

=

16；

3

3

法二：（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上，故圆锥的轴截面三角形 PMN 的外接圆是大

A

O 2

D

B

O

A

B

O 2 C

O

A

O 2

B

C

D

O

O C

A

O 1

B

O

C

A

O 1

D

B

2

2

2 2

R

2

2

O

R

M

1 O 1

1

N

2 sin 60 4

圆，于是2R =

多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法

多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

多面体外接球、内切球半径常见的5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,8 4x x x h h =??=??∴??=???=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径12 r = ，球心到底面的距离d =.∴外接球的 半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 ，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补 .

内切球和外接球常见解法

内切与外接 1 球与柱体 1.1 球与正方体 例 1 棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点,则直线被球截得的线段长为( ） A ． B ． C ． D 1.2 球与长方体 长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球。设长方体的棱长为其体对角线为.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和 其外接圆 ,和正方体的外接球的道理是一样的,故球的半径 例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为( ） A.错误! B.4π C 。错误! D 。错误! 1111ABCD A B C D -O E F ，1AA 1DD EF O 2112+,,,a b c l 2l R ==

1.3 球与正棱柱 例3 正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为 . 2 球与锥体 规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合， 通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题。 2。1 球与正四面体 1111ABCD A B C D R

解得： 例4 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最 小值为 （ ) A. D 。 2。2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥 例 5 在正三棱锥中，分别是棱的中点，且 ，若侧棱 ，则正三棱锥S -ABC 外接球的表面积是______ 2.3 球与正棱锥 球与正棱锥的组合,常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切,球心到四个面的距离相等，都为球半径．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积. 22223a R r R r CE +=-=，=，,.412 R a r ==S ABC -M N 、SC BC 、AM MN ⊥SA =R

八个有趣模型搞定外接球内切球问题(学生版))解析

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球 类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径） 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2 2 2 2 )2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 （3）在正三棱锥中，分别是棱的中点，且MN AM ⊥,若侧棱,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 （4）在四面体中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠? AB AC SA BAC 则该四面体的外接 球的表面积为（ ） π11.A π7.B π310. C π3 40.D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是 图2 图3 S ABC -M N 、SC BC 、SA =S ABC -

（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为 1的正方形，则该几何体外接球的体积为 类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC 解题步骤： 第一步：将ABC ?画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ； 第二步：1O 为ABC ?的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半 径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得 r C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 2 1 1=； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①2 2 2 )2()2(r PA R +=?22)2(2r PA R +=； ②2 12 2 OO r R +=?2 12OO r R += 2．题设：如图6，7，8，P 的射影是ABC ?的外心?三棱锥ABC P -的三条侧棱相等? 三棱锥ABC P -的底面ABC ?在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点 图6 P A D O 1 O C B 图7-1 P A O 1 O C B 图7-2 P A O 1 O C B 图8 P A O 1 O C B 图5 A D P O 1O C B

空间几何体的外接球和内切球问题说课材料

空间几何体的外接球和内切球问题

空间几何体的外接球和内切球问题 类型1 外接球的问题 1.必备知识： (1)简单多面体外接球的球心的结论. 结论1：正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点. 结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点. 结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点. (2)构造正方体或长方体确定球心. (3)利用球心O 与截面圆圆心O 1的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心. 2.方法技巧：（1）几何体补成正方体或长方体.（2）轴截面法（3）空间向量法 1AB DC AD BC BD AC ======例1-1、正四面体的棱长都为，求此四面体外接球和内切球的半径 例1-2、四面体中，， 求此四面体外接球的表面积 例1-3．若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为（ ） A.3 B.6 C.36 D.9 训练1（创新110页） 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( ) A.25π B.26π C.32π D.36π 训练2（创新110页）已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，沿AD 进行折叠，使折叠后的∠BDC ＝π2 ，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为( ) A.3π B.4π C.5π D.6π 例2-1（创新110页）体积为3的三棱锥P －ABC 的顶点都在球O 的球面上，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2，∠ABC ＝120°，则球O 的体积的最小值为( ) A.773 π B.2873π C.19193π D.76193 π 例2-1（创新109页）三棱锥P －ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝PC ＝AC ＝2，AB ＝4，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为( ) A.23π B.234π C.64π D.643π 类型2 内切球问题 1.必备知识： (1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等. (2)正多面体的内切球和外接球的球心重合. (3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合. 2.方法技巧：体积分割是求内切球半径的通用做法.

高考数学中的内切球和外接球问题

高考数学中的内切球和 外接球问题 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT

高考数学中的内切球和外接球问题 一、有关外接球的问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 . 例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4， 体积为16，则这个球的表面积为（）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 3.求多面体的外接球的有关问题

例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8 9，底面周长为3，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有 ∴正六棱柱的底面圆的半径2 1=r ，球心到底面的距离2 3 =d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：3 3 4R V π= . 小结 本题是运用公式222d r R +=求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________. 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 故其外接球的表面积ππ942==r S . 小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为c b a ,,，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有 2222c b a R ++=. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

高中数学 立体几何 4.高考数学中的内切球和外接球问题

高考数学中的内切球和外接球问题 一、 有关外接球的问题 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 . 例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 3.求多面体的外接球的有关问题 例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8 9 ，底面周长为3，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有 ??????==h x x 24368 936 ?? ???= =213 x h

∴正六棱柱的底面圆的半径21=r ，球心到底面的距离2 3 =d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：3 3 4R V π= . 小结 本题是运用公式222d r R +=求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________. 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 故其外接球的表面积ππ942==r S . 小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为c b a ,,，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222c b a R ++=. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。 【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径为R 2体对角线长l 即2 2 22c b a R ++=

【精品】2019年高考数学中的内切球和外接球问题

【精品】2019年高考数学中的内切球和外接球问题 一、 有关外接球的问题 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 . 例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4， 体积为16，则这个球的表面积为（ ）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 3.求多面体的外接球的有关问题 例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8 9，底面周长为3，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有 ??????==h x x 2436893 6 ?????==213x h

∴正六棱柱的底面圆的半径21=r ，球心到底面的距离2 3= d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：334R V π=. 小结 本题是运用公式222d r R +=求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________. 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 故其外接球的表面积ππ942==r S . 小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为c b a ,,，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222c b a R ++=. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。 【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径为R 2体对角线长l 即2 222c b a R ++=

高中数学空间几何体的内切球与外接球问题

空间几何体的内切球与外接球问题 1．[2016·全国卷Ⅱ] 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．12π B.32 3 π C ．8π D ．4π [解析]A 因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为23，所以正方体的外接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2＝12π. 2．[2016·全国卷Ⅲ] 在封闭的直三棱柱ABC - A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( ) A ．4π B.9π2 C ．6π D.32π 3 [解析]B 当球与三侧面相切时，设球的半径为r 1，∵AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，∴8－r 1＋6－r 1＝10，解得r 1＝2，不合题意；当球与直三棱柱的上、下底面相切时，设球的半径为r 2， 则2r 2＝3，即r 2＝32.∴球的最大半径为32，故V 的最大值为43π×????323＝92 π. 3.[2016·郑州模拟] 在平行四边形ABCD 中，∠CBA ＝120°，AD ＝4，对角线BD ＝23，将其沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一球面上，则该球的体积为________． 答案：2053 π；解析：因为∠CBA ＝120°，所以∠DAB ＝60°，在三角形ABD 中，由余弦 定理得(23)2＝42＋AB 2－2×4·AB ·cos 60°，解得AB ＝2，所以AB ⊥BD .折起后平面ABD ⊥平面BCD ，即有AB ⊥平面BCD ，如图所示，可知A ，B ，C ，D 可看作一个长方体中的四个顶点，长方体的体对角线AC 就是四面体ABCD 外接球的直径，易知AC ＝22＋42＝25， 所以球的体积为205 3 π. 4.[2016·山西右玉一中模拟] 球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S-ABC 的体积的最大 值为( ) A . 3 3 B . 3 C ．2 3 D ．4 选A ；[解析] (1)由于平面SAB ⊥平面ABC ，所以点S 在平面ABC 上的射影H 落在AB 上，根据球的对称性可知，当S 在“最高点”，即H 为AB 的中点时，SH 最大，此时棱锥S -ABC 的体积最大． 因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以球的半径r ＝OC ＝23CH ＝23×32×2＝23 3 . 在Rt △SHO 中，OH ＝12OC ＝3 3 ，

数学研究课题---空间几何体的外接球与内切球问题.

高中数学课题研究 几何体与球切、接的问题 纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一.高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 下面结合近几年高考题对球与几何体的切接问题作深入的探究,以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路,力争在这部分内容不失分.从近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见. 首先明确定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. 1 球与柱体的切接 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，,,,E F H G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH 和其内切圆，则2a OJ r ==；二 是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH 和其外接圆，则GO R a ==；三是球为正方体的 外接球，截面图为长方形11ACA C 和其外接圆，则12 A O R a '==.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.

高考文科数学中的内切球和外接球问题专题练习

高考文科数学中的内切球 和外接球问题专题练习Newly compiled on November 23, 2020

内切球和外接球问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1 （2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为27π. 例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角 线，因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是 故该球的体积为. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .

解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的1414π. 例4、（2006年全国卷I ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C. 3.求多面体的外接球的有关问题 例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在 同一个球面上，且该六棱柱的体积为9 8，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,2936,38x x x h h =?? =?? ∴?? =??=??． ∴正六棱柱的底面圆的半径 1 2r = ，球心到底面的距离 3d = .∴外接球的半径221R r d =+=.43V π ∴= 球. 小结 本题是运用公式222 R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两 3_______________. 解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后 再

2内切球外接球含习题

内切球，外接球 球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体（棱长为a ）的外接球半径R 与内切球半径r 之比为R ：r ＝3：1。外接球半径：a R 46=。内切球半径：a r 126= 结论：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径h r 4 1=(h 为正四面体的高)，且外接球的半径r R 3=． 正四面体的外接球问题：已知正四面体A BCD -，H 为底面的中心，O 为外接球的球心，设棱长为a ，外接球半径为R ，内切球半径为r ，试求R. 方法一：易知，由等积法得：（ 可求外接球半径和内切球半径） A BCD O ABC O BCD O CDA O DAB V V V V V -----=+++ 所以： 11433BCD BCD AH S r S ???=?? 故14r AH =,34 R AH = 所以 R =. 方法二：如图AHM BNM ???所 HM ON AM OA =，即13r R =,又由R+r=AH=可得 4R = . 方法三： 如图设延长AH 交球面上一点K,则AK=2R,在直角三角形ABK 中由射

影定理得2AB AH AK =? 即223a a R =? 故得4 R a =. 方法四：如图正四面体可补成一个边长为a 的正方体，显然正方体的外接球 )22a R =故可得4 R =. 四面体的内切球问题：关键是抓住球心到四面体的每个面的距离等于球的半径来找等量关系． 【例6】求棱长为a 的正四面体内切球的体积． 练习 1.（球内接正四面体问题）（2003年江苏卷第12题）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

外接球与内切球问题

立体图形的外接球与内切球问题 一、基础知识与概念： 1．球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆． 大圆：截面过球心，半径等于球半径（截面圆中最大）；小圆：截面不过球心． 2．球心和截面圆心的连线垂直于截面． 3．球心到截面的距离d 与球半径R 及截面圆半径r 的关系：222R d r =+． 4．几何体的外接球：几何体的顶点都在球面上；几何体的内切球：球与几何体的各个面都相切． 二、多面体的外接球（球包体） 模型1：球包直柱（直锥）：有垂直于底面的侧棱（有垂底侧边棱） 球包 直柱 球径公式：2 22h R r ? ? =+ ??? ， （r 为底面外接圆半径） 球包正方体 球包长方体 球包四棱柱 球包三棱柱 球 包直锥 三棱锥 四棱锥 r 速算 模型2：“顶点连心”锥：锥体的顶点及球心在底面的投影都是底面多边形外接圆的圆心（两心一顶连成线） 实例：正棱锥 球径计算方程：()2 2 2 h R r R -+=22 22 202h r h hR r R h +?-+=?=， （h 为棱锥的高，r 为底面外接圆半径） 特别地， （1）边长为a 正四面体的外接球半径：R =______________． （2）底面边长为a ，高为h 的正三棱锥的外接球半径：R =__________． （3）底面边长为a ，高为h 的正四棱锥的外接球半径：R =__________． 例：1．（2017年全国卷III 第8题）已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ． B ． C ． D ． π34 π2 π4 π

难点突破：立体图形的外接球与内切球问题

*创作编号：GB8878185555334563BT9125XW* 创作者：凤呜大王* 2019届高三数学第一轮复习教学案18：难点突破：立体图形的外接球与内切球问题 一、基础知识与概念： 1．球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆． 大圆：截面过球心，半径等于球半径（截面圆中最大）；小圆：截面不过球心． 2．球心和截面圆心的连线垂直于截面． 3．球心到截面的距离d与球半径R及截面圆半径r的关系：222 R d r =+． 4．几何体的外接球：几何体的顶点都在球面上；几何体的内切球：球与几何体的各 个面都相切． 二、多面体的外接球（球包体） 模型1：球包直柱（直锥）：有垂直于底面的侧棱（有垂底侧边棱） 球 包 直 柱 球径公式： 2 2 2 h R r ?? =+ ? ?? ，球包正方体球包长方体球包四棱柱球包三棱柱

四 棱 锥 r 速 算 模型2：“顶点连心”锥：锥体的顶点及球心在底面的投影都是底面多边形外接圆的圆心（两心一顶连成线）实例：正棱锥 例：1．（2017年全国卷III第8题）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径 为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A．πB． 3 4 π C． 2 π D． 4 π 【解析】模式辨识：“球包体”中的“垂底侧边棱（母线）”类型，1 h=，1 R=，底 面半径为r，则由 2 2 2 h R r ?? =+ ? ?? 2 222 13 1 24 r r ?? =+?= ? ?? ，2 3 4 V r h π π ==． 2．（2010年全国新课标卷第10题）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a， 顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

内切球和外接球问题专题复习

内切球和外接球问题 一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1 （2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径. 故表面积为27π. 例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线， 23所以球的半径为3.因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是 43π. 故该球的体积为 2、求长方体的外接球的有关问题 例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三 1,2,3，则此球的表面积为. 条棱长分别为 解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为14，故球的表面积为14π. 例4、（2006年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及 高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、 宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C. 3.求多面体的外接球的有关问题 例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于 底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱

(完整版)高考数学中的内切球和外接球问题.

高考数学中的内切球和外接球问题 一、有关外接球的问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为. 例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4， 体积为16，则这个球的表面积为（）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π

3.求多面体的外接球的有关问题 例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8 9，底面周长为3，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有 ?? ???? ==h x x 24368936 ?? ???= =213 x h ∴正六棱柱的底面圆的半径2 1 =r ，球心到底面的距离2 3 =d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：3 3 4R V π= . 小结 本题是运用公式222d r R +=求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________. 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 故其外接球的表面积ππ942==r S . 小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为c b a ,,，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222c b a R ++=. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

外接球内切球问题标准答案

1 球与柱体 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体 发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题 例 1 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）A ． 22 B ．1 C ．212 + D ．2 1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的 棱长为,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正 方体的外接球的道理是一样的，故球的半径222 2l a b c R ++== 例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为( )A.10π 3 B.4π C.8π3 D.7π3

1.3 球与正棱柱 例3 正四棱柱1111ABCD A B C D 的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为 . 2 球与锥体 规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 2.1 球与正四面体

高考数学中的内切球和外接球问题---专题复习

高考数学内切球和外接球问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为π 27. 例2、一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线，因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是3 2所以球的半径为3.故该球的体积为π3 4. 2、求长方体的外接球的有关问题 例1、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 . 解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为14，故球的表面积为14π. 例2、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C. 3.求多面体的外接球的有关问题 例1、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于 底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱 柱的体积为9 8，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有

解决几何体的外接球与内切球

解决几何体的外接球与内切球，就这6个题型！ 一、外接球的问题 简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0的位置问题，其中球心的确定是关键． （一）由球的定义确定球心 在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心． 由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论． 结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点． 结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点． 结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点． 结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到． 结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心． （二）构造正方体或长方体确定球心

长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法． 途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体． 途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体． 途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体． 途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体． （三）由性质确定球心 利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．

二、内切球问题 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。 5、体积分割是求内切球半径的通用做法。

高中必备比例及外接球内切球问题(含答案)

高考必背比例 1. 三角形重心(中线的交点)分各条中线的比是2:1(这个在证明和计算题中可直接用,不会扣分) 2.圆的内接四边形对角互补 3.正方体的体对角线长a 根3(正方体边长a) 4.还有圆的相交弦定理在与球体有关的计算题中很有用处 5.正三角形四心共点(中心,重心,内心,外心) 外接球内切球问题 外接球半径：四分之根号六 正四面体 r=(a 根6)/12 R=(a 根6)/4 h=(a 根6)/3 正八面体 r=(a 根6)/6 R=(a 根2)/2 1. （陕西理?6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ） A ．4 33 B ．33 C ． 43 D ．123 2. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若 12AB AC AA ===,120BAC ∠=?，则此球的表面积等于 。 3．正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球面距离为π，则正三棱 柱的体积为 ． 4.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 A ．3 B ．13π C ．23 π D ．3 5.已知正方体外接球的体积是 π332，那么正方体的棱长等于（ ） A.22 B.332 C.324 D.3 34 6.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( ) A . 1∶3 B . 1∶3 C . 1∶33 D . 1∶9 7.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边 形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为3，则这个球的体积为 ． 8. （2007天津理?12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱 的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ． 9.（2007全国Ⅱ理?15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上。如果正四 棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2. 10.（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -，则此正六棱

空间几何的外接球和内切球 优质专题

空间几何体的外接球与内切球 专题 类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径） 图2 图3 图4 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 π9 解：（1）162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，π24=S ，选C ； （ 2）933342=++=R ，ππ942==R S （3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 。π36 解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下： 如图（3）-1，取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ，则H 是底面正三角形ABC 的中心， ∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥，

BC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ， ∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直， 本题图如图（3）-2， MN AM ⊥，MN SB //， ∴SB AM ⊥， SB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥， SA SB ⊥，SA BC ⊥， ∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥， 故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互相垂直， ∴36)32()32()32()2(2222=++=R ，即3642=R ， ∴正三棱锥ABC S -外接球的表面积是π36 （4）在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠?AB AC SA BAC 则该四面 体的外接球的表面积为（ D ）π11.A π7.B π3 10 . C π3 40.D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是 （6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和 边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为 解析：（4）在ABC ?中，7120cos 2222=??-+= BC AB AB AC BC ， 7=BC ，ABC ?的外接球直径为3 7 22 37sin 2= =∠= BAC BC r ， ∴340 4)3 72( )2()2(2222= +=+=SA r R ，340π=S ，选D （5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为c b a ,,（+∈R c b a ,,），则 (3)题-2 A