求离心率取值范围—常见6法
求离心率取值范围—常见6法
在圆锥曲线的诸多性质中，离心率经常渗透在各类题型中。离心率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据，在每年的高考中它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起。因此求离心率的取值范围，综合性强，是解析几何复习的一个难点。笔者从事高中数学教学二十余载，积累了六种求解这类问题的通法，供同仁研讨。
一、利用椭圆上一点P(x,y)坐标的取值范围，构造关于a,b,c的不等式
例1 若椭圆上存在一点P，使，其中0为原点，
A为椭圆的右顶点，求椭圆离心率e的取值范围。
解：设为椭圆上一点，则
. ①因为，所以以OA为直径的圆经过点P，
所以
. ②联立①、②消去并整理得
当时，P与A重合，不合题意，舍去。
所以又，所以，
即得，即又，故的取值范围是
二、利用圆锥曲线的焦点和曲线上一点构成的“焦三角形”三边大小关系，构造关于a,b,c 不等式
例2 已知双曲线左、右焦点分别为F1、F2，左准线为,l P是双曲线左支上一点，并且，由双曲线第二定义得，所以. ①由又曲线第一定义得
②由①-②得
在中，所以
，
即.又，从而解得的取值范围是。
三、利用圆锥曲线的“焦三角形”+余弦定理+均值不等式
例3 设椭圆的两焦点为F1、F2，问当离心率E在什么范围内取值时，椭圆上存在点P，使=120°.
解：设椭圆的焦距为2c，由椭圆的定义知.
在中，由余弦定理得
==（
所以所以.
又，故的取值范围是
四、利用圆锥曲线的定义，结合完全平方数（式）非负的属性构造关于a,b,c的不等式
例4 如图1，已知椭圆长轴长为4，以y轴为准线，且左顶点在抛物线上，求椭圆离心率e的取值范围。
解：设椭圆的中心为，并延长交y轴于N，则=
因为，所以。所以
所以椭圆离心率的取值范围为
五、将题中已知不等关系巧妙转化为关于a,b,c的不等式
例5 已知椭圆的两焦点为F1、F2，斜率为K的直线过右焦点F2，与椭圆交于A、B，与Y轴交于C，B为CF2的中点，若，求椭圆离心率
e的取值范围。
解：设F2(C,0),直线则，代入椭圆方程得.
又所以，所以，
解得因为，所以
解得，所以
六、利用圆锥曲线参数方程设点，结合正余弦函数的有界性，构造关于a,b,c的不等式
例6 若椭圆上存在一点P，使，其中O为原点，A为椭圆的右顶点，求椭圆离心率e的取值范围。
解：设P（），由，
得，
即（①
解得
当
因此要使①有解，需，
即.
又，故e的取值范围是
总之，求圆锥曲线的离心率范围首先从定义出发，利用圆锥曲线上点坐标的范围和焦三角形的三边大小关系，结合参数方程中三角函数有界性和均值不等式，有时也常常转化为
一元二次方程利用判别式或者完全平方数（式），具体问题具体对待，贵在划归转化。
离心率的五种求法专题
离心率的求法 椭圆的离心率10<
圆锥曲线专题(求离心率的值、离心率的取值范围)
圆锥曲线专题 求离心率的值 师生互动环节 讲课内容：历年高考或模拟试题关于离心率的求值问题分类精析与方法归纳点拨。 策略一：根据定义式求离心率的值 在椭圆或双曲线中，如果能求出c a 、的值，可以直接代公式求离心率；如果不能得到c a 、的值，也可以通过整体法求离心率：椭圆中221a b a c e -==；双曲线中22 1a b a c e +==.所以只 要求出 a b 值即可求离心率. 例1.（2010年全国卷2）己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()22 22100x y a b a b -=＞，＞相交于 D B 、两点，且BD 的中点为)3,1(M ，求曲线C 的离心率. 解析：如图，设),(),(2211y x D y x B 、，则 122 1221=-b y a x ① 12 22 222=-b y a x ② ①-②整理得 0) )(())((2 212122121=+--+-b y y y y a x x x x ③ 又因为)3,1(M 为BD 的中点，则6,22121=+=+y y x x ，且21x x ≠，代入③得 13222121==--=a b x x y y k BD ，解得322 =a b ，所以231122=+=+=a b e .
方法点拨：此题通过点差法建立了关于斜率与a b 的关系，解得22 a b 的值，从而整体代入求出离 心率e .当然此题还可以通过联立直线与曲线的方程，根据韦达定理可得),(21b a x x ?=+， 2),(=b a ?或者),(21b a y y ω=+，6),(=b a ω从而解出22 a b 的值，最后求得离心率. 【同类题型强化训练】 1.（呼市二中模拟）已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为032=±y x ，则双曲线的离心率为（ ）. 313. A 213. B 315. C 2 10 . D 2.（衡水中学模拟）已知中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与圆222)1()2(r y x =-+-交于 B A 、两点，AB 恰是该圆的直径，且直线AB 的斜率2 1 -=k ，求椭圆的离心率. 3.（母题）已知双曲线)0(1:22 >=-m y m x C ，双曲线上一动点P 到两条渐近线的距离乘积为21， 求曲线C 的离心率. 【强化训练答案】 1.答案：由双曲线焦点在x 上，则渐近线方程0=±ay bx ，又题设条件中的渐近线方程为 032=±y x ，比较可得32=a b ，则3 13 941122=+=+=a b e . 2.答案：设椭圆方程为)0(122 22>>=+b a b y a x ，),(),,(2211y x B y x A ，则 1221221=+b y a x ① 122 2 222=+b y a x ② ①-②整理得 0) )(())((2 212122121=+-++-b y y y y a x x x x ③ 因为AB 恰是该圆的直径，故AB 的中点为圆心)1,2(，且21x x ≠ 则2,42121=+=+y y x x ，代入③式整理得22 21212a b x x y y k -=--=
椭圆离心率的三种求法中点弦方程三种求法
椭圆离心率的三种求法： (1)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a 2，b 2，求a ，c 的值，利用公式e ＝c a 或利用 22 1a b e -=直接求解. (2)求椭圆的离心率时，若不能直接求得c a 的值，通常由已知寻求a ， b ， c 的关系式，再与a 2 ＝b 2＋c 2组成方程组，消去b 得只含a ，c 的方程，再化成关于e 的方程求解. (3)求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的. 涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首先构建关于a ，b ，c 的不等式，消去b 后，转化为关于e 的不等式，从而求出e 的取值范围. 1. 若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被点??? ??0,2b 分成5∶3 的两段，则此椭圆的离心率为( ) A.1617 B.41717 C.45 D.25 5 解析 依题意，得c ＋b 2c －b 2 ＝5 3，∴c ＝2b ，∴a ＝ b 2＋ c 2＝5b ，∴e ＝ 2b 5b ＝255. 答案D 点评 本题的解法是直接利用题目中的等量关系，列出条件求离心率. 2. 设P 是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，F 1，F 2是其左，右焦点.已知∠F 1PF 2＝60°， 求椭圆离心率的取值范围. 分析 本题主要考查椭圆离心率取值范围的求法，建立不等关系是解答此类问题的关键. 解 方法一 根据椭圆的定义，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a .① 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝1 2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝|PF 1||PF 2|.② ①式平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2.③ 由②③，得|PF 1||PF 2|＝4b 2 3 .④
巧解椭圆离心率的取值范围
巧解椭圆离心率的取值范围 河北容城中学 牛文国 邮编071700 在椭圆问题中经常会遇到下面一类问题，就教学中的一些体会提供此类问题的常规解法，供大家参考。 设椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的两焦点为21,F F ，若在椭圆上存在一点p ，使21PF PF ⊥，求椭圆e 的取值范围。 解析1：设()y x P ,，由21PF PF ⊥得1-=-?+c x y c x y ，即222x c y -=，代入12222=+b y a x 得()22222c b c a x -= ，2220b c x ≥∴≥ 即222c a c -≥，2 2≥=∴a c e 又1 222a c b a c b <≤?<≤ ∴2222a c c a <≤-12 2<≤∴ e 说明：椭圆上一点距中心距离最小值为短半轴长。 解析4：椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 当P 与短轴端点重合时∠21PF F 最大 此题是否可以得到启示呢？ 无妨设满足条件的点P 不存在 ，则∠21PF F <090 2 245sin sin 001=<∠=<∴OPF a c 又10< 求离心率的取值范围 求离心率的取值范围 椭圆的离心率 ，双曲线的离心率 ，抛物线的离心率。求椭圆与双曲线离 心率的范围是圆锥曲线这一章的重点题型。求离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式。 下面从几个方面浅谈如何确定椭圆、双曲线离心率e的范围。 一、利用曲线的范围，建立不等关系 例1．设椭圆的左右焦点分别为、，如果椭圆上存在点P， 使，求离心率e的取值范围。 例2．已知椭圆 22 22 1(0) x y a b a b +=>>右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA， 求椭圆的离心率e的取值范围。二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系 例1．已知 12 、 F F 是椭圆的两个焦点，满足的点P总在椭圆内部，则椭圆离心率 的取值范围是（） Ａ．(0,1)Ｂ． 1 (0,] 2 Ｃ． Ｄ． 例2．直线L 过双曲线的右焦点，斜率k=2。若L与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，求双曲线离心率的取值范围。 例3. 已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点。若△ABF2是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值范围。 例4.设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )． A ． 2 ? ? ?? B ． 2 ? ?? ?? C ． ? +∞?? ?? D ． ? +∞?? ?? 例5.过双曲线的左焦点 1 F且与双曲线的实轴垂直的直线交双曲线于A、B两点，若在双曲线的虚轴所在直线上存在一点C，使得0 90 ACB ∠=，双曲线的离心率e的取值范围为_______________ 椭圆离心率的解法 一、 运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜ ｜PD ｜② e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜｜AO ｜ 评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 ∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a2 c ∴有③。 题目1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、 F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三 角形的两边，则椭圆的离心率e ？ 思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B ，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。 解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c c+3c=2a ∴e= c a = 3-1 变形1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P 在椭圆上，使△OPF1 为正 三角形，求椭圆离心率？ 解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP ｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1 变形2: 椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一 点，且PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？ 解：∵｜PF1｜= b2 a ｜F2 F1｜=2c ｜OB ｜= b ｜OA ｜=a PF2 ∥AB ∴｜PF1｜ ｜F2 F1｜= b a 又 ∵b= a2-c2 ∴a2=5c2 e= 55 点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 题目2：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ ABF=90°，求e? 解：｜AO ｜=a ｜OF ｜=c ｜BF ｜=a ｜AB ｜=a2+b2 a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 e2+e-1=0 e=-1+ 5 2 e=-1-5 2 (舍去) 变形：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，e=-1+ 5 2, A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个 顶点，求∠ABF ？ 点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90° 引申：此类e= 5-1 2 的椭圆为优美椭圆。 性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B1 ,则ABFB1 四点共圆。3、焦点与相应准线之间的 椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法 一、利用三角形三边的关系建立不等关系（但要注意可以取到等号成立） 例1：双曲线()2 222y x 1a 0,b 0a b -=>>的两个焦点为12F ,F ，若P 为其上一点，且12PF 2PF =， 则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 【解析】12PF 2PF =，12PF PF 2a -=，1212PF PF FF +≥（当且仅当12P F F ，，三点共线等号成立） c 6a 2c e 3,e 1a ∴≥?= ≤>又(]e 1,3∴∈,选B 例2、如果椭圆()2 222y x 1a b 0a b +=>>上存在一点P ，使得点P 到左准线的距离与它到右焦 点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为 （ ）A ．(0,21]- B ． [21,1) - C ．(0,31]- D ．[31,1)- [解析]设2PF m =，由题意及椭圆第二定义可知1PF me =122a PF PF m(e 1)2a m e 1 ∴+=+=?= + 2112PF PF F F -≤Q （当且仅当12P F F ，，三点共线等号成立）m me 2c ∴-≤，把2a m e 1 = +代入化简可得 ()2a 1e 2c e 1 -≤+2e 2e 10e 21?+-≥?≥-又e 1<) e 21,1?∴∈-?,选B 二、利用三角函数有界性结合余弦定理建立不等关系 例1：双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点为12,F F ，若P 为其上一点，且122PF PF =， 则双曲线离心率的取值范围是（ ）Ａ．(1,3) Ｂ．(1,3] Ｃ．(3,)+∞ Ｄ．[3,)+∞ 【解析】设2PF m =，12(0)F PF θθπ∠=<≤，当P 点在右顶点处θπ=， 222(2)4cos 254cos 2m m m c e a θθ+-===-．11,(1,3]e θ-≤<∴∈Q ． 三、利用曲线的几何性质数形结合建立不等关系 例1：双曲线()2 222y x 1a 0,b 0a b -=>>的两个焦点为12F ,F ，若P 为其上一点，且12PF 2PF =， 则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 解：12PF PF 2a -=Q ,2PF 2a ∴=,即在双曲线右支上恒存在点P 使得2PF 2a =可知 222AF PF ,OF OA c a 2a ≤∴-=-≤，c c 3a e 3a ∴≤?= ≤又e 1>(]e 1,3∴∈,选B 例2．已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 是双曲线右支上一 点，P 到右准线的距离为d ，若d 、|PF 2|、|PF 1|依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。 解：由题意得因为，所以，从而 ， 离心率的五种求法 椭圆的离心率10< 高考数学专题复习——求解圆锥曲线离心率的 取值范围 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高考数学专题复习——求解圆锥曲线离心率的取值范围 求圆锥曲线离心率的取值范围是高考的一个热点，也是一个难点，求离心率的难点在于如何建立不等关系定离心率的取值范围. 一、直接根据题意建立,a c 不等关系求解. 例1：（08湖南）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是 A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 备选（07北京）椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F ≤2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） Ａ．1(0]2， Ｂ．2(02， Ｃ．1[1)2， Ｄ．21) 二、借助平面几何关系建立,a c 不等关系求解 例2：（07湖南）设12F F ，分别是椭圆22 221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．2(0， B ．3(0]， C ．21) D.31) 三、利用圆锥曲线相关性质建立,a c 不等关系求解. 例3：（2008福建）双曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 椭圆和双曲线的离心率的求值及范围求解问题【重点知识温馨提示】 1.e＝c a ＝1－ b2 a2 (0 22 22 1(0)x y a b a b +=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） （A ） 1 3 （B ） 12 （C ） 23 （D ） 34 例3 (2015·福建)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直 线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于4 5， 则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.? ???0， 32 B.????0，34 C.??? ?3 2，1 D.???? 34，1 例4.(2014·江西)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与 C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点 D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________． 【跟踪练习】 1. (2015·浙江)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝b c x 的对称点Q 在椭圆 上，则椭圆的离心率是________． 2. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2 n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若 c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项， 则椭圆的离心率是( ) A. 33 B.22 C.14 D.1 2 3.已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使 a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1 ，则椭圆的离心率的取值范围为______． 4.过双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条 渐近线交于点B ，若FB →＝2F A → ，则此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5 5.(2015·山东)过双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交 C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________． 求双曲线离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式，下面举例说明。 一、利用双曲线性质 例1设点P在双曲线的左支上，双曲线两焦点为，已知是点P到左准线的距离和的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。2 设点P在双曲线的右支上，双曲线两焦点，，求双曲线离心率的取值范围。3（同例2）2可知：P在双曲线右支上由图1可知：，，即，两式相加得：，解得：。4 已知点在双曲线的右支上，双曲线两焦点为，最小值是，求双曲线离心率的取值范围。5（2000年全国高考题）已知梯形ABCD中，，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B 为焦点，当时，求双曲线离心率的取值范围。2建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，设其中是梯形的高，由定比分点公式得，把C、E两点坐标分别代入双曲线方程得，，两式整理得 ，从而建立函数关系式，由已知 得，，解得。6已知双曲线与直线：交于P、Q两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。7已知双曲线 上存在P、Q两点关于直线对称，求双曲线离心率的取值范 围。PQ中点为M，由点差法求得，当点M在双曲线内部时 ，整理得：无解；当点M在双曲线外部时，点M应在两渐近线相交所形成的上下区域内，由线性规划可知：，即，则，所以。8 已知过双曲线左焦点的直线交双曲线于P、Q两点，且（为原点），求双曲线离心率的取值范围。OP⊥OQ得，即：，解得：，因为，所以，则 ，所以。 解析： 点评： 二、利用平面几何性质 例 解析： ，由三角形性质得：解得： 。 点评： 三、利用数形结合 例 解析： ，点 离心率的五种求法 Revised at 2 pm on December 25, 2020. 离心率的五种求法 椭圆的离心率10< 离心率的取值范围的求法 舒云水 求椭圆、双曲线的离心率的取值范围，是高考的一个热点，也是一个难点，难在关于 a 、b 、c 的不等式的建立，下面从三个方面谈不等式的建立 一、 根据已知条件建立不等式 例1 已知1F 、2F 分别是双曲线22 221(0x y a a b -=>，0)b >的左右焦点，过1F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于A 、B 两点，若2ABF ?为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围 ﹒ 解析：由已知条件易求21b AF a =，2 212112tan 22b AF b a AF F F F c ac ∠===，由于2ABF ?为锐角三角形，故只需2AF B ∠为锐角即可，则有 2 21tan 2b AF F ac ∠=tan 451?<=，整理得：22b ac <，所以2220c a ac --<，两边同时除以2a 得：2120e e --< ，求得：11e -<<(1,)e ∈+∞， 故(1,1e ∈+﹒ 点评：根据2AF B ∠为锐角知21AF F ∠45?<，通过tan 21AF F ∠45?<＝１建立a 、b 、c 的不等式，本题不等式的建立思路比较明确自然，难度不大﹒ 二、 根据相关线段的取值范围建立不等式 例2 已知双曲线22221(0x y a a b -=>，0)b >的左、右焦点分别为1F （－ｃ,0)，2(,0)F c ﹒若双曲线上存在点P 使 c a F PF F PF =∠∠1221sin sin ，则该双曲线的离心率的取值范围是 ﹒ 解析：依题意及正弦定理得112 <=c a PF PF ，因此点P 位于双曲线的右支上，且点P 不与21F F 共线，所以有 c a a PF PF =+222，即c a PF a =+122﹒ 又a c a c a PF a -<-=2122，得2)1(2<-e ，即1221+<<-e ﹒ 又),1(+∞∈e ，故)21,1(+∈e ﹒ 点评：本题难度比较大，不等式的建立比较隐蔽，利用隐含条件P 建立不等式是解决本题的关键 三、 根据变量x ，y 的取值范围建立不等式 例3. 椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两个焦点为1F （－ｃ,0)，2(,0)F c ，M 是椭圆上一点，满足021=?F F ，则离心率e 的取值范围是 . 解析：设点M 的坐标为),(y x ，则),(1y c x F +=，),(2y c x F -=﹒由021=?F F ，得0222=-+c y x ，即222x c y -=﹒ （※） 又由点M 在椭圆上得??? ? ??-=22221a x b y ，代入（※）得222221x c a x b -=???? ??-，所以??? ? ??-=22 222c a a x ﹒ ∵220a x ≤≤，∴222220a c a a ≤??? ? ??-≤，即12022≤-≤c a ，11202≤-≤e ，解得122≤≤e ，又∵10< 求离心率的范围问题 求离心率范围的方法 一、建立不等式法： 1.利用曲线的范围建立不等关系。 2.利用线段长度的大小建立不等关系。F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意 一点，PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]；F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点， |PF 1|≥c －a . 3.利用角度长度的大小建立不等关系。 4.利用题目不等关系建立不等关系。 5. 利用判别式建立不等关系。 6.利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系。 7.利用基本不等式，建立不等关系。 二、函数法： 1. 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式； 2.通过确定函数的定义域； 3.利用函数求值域的方法求解离心率的范围. 练习 利用曲线的范围建立不等关系 1.F 1，F 2是椭圆x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，求椭圆的离心率的 取值范围. 2.A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA = , 则椭圆离心率的范 围是_________. 3.设12,F F 为椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,且12||2F F c =,若椭圆上存在点P 使得 212||||2PF PF c ?=,则椭圆的离心率的最小值为（ ） A ． 12 B ．1 3 C ．2 D ．3 2 π 圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题 【高考要求】 1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。 2．掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略； 3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。 【热点透析】 与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的离心率（a,b,c ）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 2.解题时所使用的数学思想方法。 （1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。 （2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。 （3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。 （4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。 【题型分析】 1. 已知双曲线22 122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点， 准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离 心率为（ ） A ． B C D ． 解：由已知可得抛物线的准线为直线2 a x c =- ，∴ 方程为2 2 4a y x c =； 圆锥曲线中的离心率问题 离心率两大考点：求值、求范围 求值: 1. 利用a与c的关系式（或齐次式） 2. 几何法 3. 与其它知识点结合 求范围: 1. 利用圆锥曲线相关性质建立a c 、不等关系求解. 2. 运用数形结合建立a c 、不等关系求解 3. 利用曲线的范围，建立不等关系 4. 运用函数思想求解离心率 5. 运用判别式建立不等关系求解离心率 一、求离心率的值 1. 利用a与c的关系式（或齐次式） 题1：(成都市2010第二次诊断性检测)已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF 的中点，则该椭圆的离心率为． 题2：已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60°， 则双曲线C的离心率为 6 2 题3：设双曲线()222200x y a b a b －＝1＞，＞的渐近线与抛物线2 1y ＝x ＋相切，则该双曲线的 离心率等于（ ） （A ）3 （B ）2 （C ）5 （D ）6 解：由题双曲线()22 2200x y a b a b －＝1＞，＞的一条渐近线方程为a bx y =，代入抛物线方程 整理得02=+-a bx ax ，因渐近线与抛物线相切，所以0422=-a b ，即 5522=?=e a c ，故选择C 。 题4：(2009浙江理) 过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为-1的直线，该 直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C .若12 AB BC u u u r u u u r =，则双曲线的离心率是（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）10 2. 几何法 题1： 以椭圆的右焦点F ，为圆心作圆，使这圆过椭圆的中心，且交椭圆于点M ，若直线MF l (F l 为左焦点)是圆F2的切线，M 是切点，则椭圆的离心率是 11211,2,3,31MF F F MF e ====- 圆锥曲线中离心率及其范围 题型一 求离心率 1．椭圆22 221x y a b +=（0a b >>）的两个焦点分别为F 、2F ，以1F 、2F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率e 为 （ ） A ．312+ B ．31- C ．4(23)- D ．324 + 2过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若 12AB BC = ，则双曲线的离心率是 ( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．10 3过椭圆2222 1x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠= ，则椭圆的离心率为（ ） A ．2 2 B ．3 3 C ．12 D ．13 4双曲线22 221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30 的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ） A ．6 B ．3 C ．2 D ．33 5若双曲线122 22=-b y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（ ） （A ）3 （B ）5 （C ） 3 （D ）5 6在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =- ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ． 7设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） 求离心率取值范围—常见6法 在圆锥曲线的诸多性质中，离心率经常渗透在各类题型中。离心率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据，在每年的高考中它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起。因此求离心率的取值范围，综合性强，是解析几何复习的一个难点。笔者从事高中数学教学二十余载，积累了六种求解这类问题的通法，供同仁研讨。 一、利用椭圆上一点P(x,y)坐标的取值范围，构造关于a,b,c 的不等式 例1若椭圆上存在一点P，使，其中0为原点，A 为椭圆的右顶点，求椭圆离心率e 的取值范围。解：设为椭圆上一点，则 . ①因为，所以以OA 为直径的圆经过点P，所以 .②联立①、②消去并整理得当时，P 与A 重合，不合题意，舍去。 所以又，所以， 即得，即又，故的取值范围 是 二、利用圆锥曲线的焦点和曲线上一点构成的“焦三角形”三边大小关系，构造关于a,b,c 不等式 例2已知双曲线左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为,l P 是双曲线左支上一点，并且，由双曲线第二定义得 ，所以.①由又曲线第一定义得 ②由①-②得 在中，所以 ，即.又，从而解得的取值范围是。 三、利用圆锥曲线的“焦三角形”+余弦定理+均值不等式 例3设椭圆的两焦点为F 1、F 2，问当离心率E 在什么范围内 取值时，椭圆上存在点P，使=120°. 解：设椭圆的焦距为2c，由椭圆的定义知 .在中，由余弦定理得 ==（所以所以. 又，故的取值范围是四、利用圆锥曲线的定义，结合完全平方数（式）非负的属性构造关于a,b,c 的不等式 例4如图1，已知椭圆长轴长为4，以y 轴为准线，且左顶点在抛物线上，求椭圆离心率e 的取值范围。 解：设椭圆的中心为，并延长交y 轴于N，则= 因为，所以。所以 所以椭圆离心率的取值范围为 五、将题中已知不等关系巧妙转化为关于a,b,c 的不等式 例5已知椭圆的两焦点为F 1、F 2，斜率为K 的直线过右焦点 椭圆离心率的三种求法: (1)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a2, b2,求a, c的值，利用公式e= ￡或 a 利用e ⑵ 求椭圆的离心率时，若不能直接求得§的值，通常由已知寻求a, b, c的关系式，再与a2= b2+c2组成方程组，消去b得只含a, c的方程，再化成关于e的方程求解. (3)求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的. 涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首先构建关于a, b, c的不等式，消去 b后，转化为关于e的不等式，从而求出e的取值范围. 1.若椭圆a^+ / 1(a> b>0)的左、右焦点分别为F l, F2，线段F1F2被点；,0分成 5:3的两段，则此椭圆的离心率为() c+ ? .厂 解析依题意,得------ =3，.，? c= 2b, a=V b2+ c2 = gb, .. e=~j^ = ^^. 答 V5b c-2 a=\b2+ c2 = c= 2b, 点评本题的解法是直接利用题目中的等量关系，列出条件求离心率 2 2 2.设P是椭圆§+合=1(a>b> 0)上的一点，F i, F2是其左，右焦点.已知Z F i PF =60°,求椭圆离心率的取值范围. 分析本题主要考查椭圆离心率取值范围的求法，建立不等关系是解答此类问题的关键. 解方法一根据椭圆的定义，有| PF i| +| PF| = 2a.① 在^ F i PF中，由余弦定理，得 。_ |PF i|2+|PF|2—|吓|21 C0S 60—2|PR||PR| — 2， 即|PE|2+ |P8|2—4C2= | PF|| PF|.② ①式平方，得|PF|2+|PFf+ 2|PF|| PF| = 4a2.③ 由②③，得| PR|| PF = 4b■.④ 3 由①和④运用基本不等式，得 | PF|| PR| < | PFl | 2 |PF2 | ，即4b< a2. C 1 2 2 2 4, 2 2、 2 由b = a —C,得3（a —C） < a,解得e= a> 2.求离心率的取值范围方法总结
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椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法[2]
离心率的五种求法
高考数学专题复习——求解圆锥曲线离心率的取值范围
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圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题
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