数学分析微分中值定理及其应用

第六章 微分中值定理及其应用（计划课时： 8时 ）

§ 1中值定理（ 3时 ）

一 思路: 在建立了导数的概念并讨论了其计算后，应考虑导数在研究函数方面的

一些作用。基于这一目的，需要建立导数与函数之间的某种联系。还是从导数的定义出发：

00)()(lim

x x x f x f x x --→=)(0x f '.若能去掉导数定义中的极限符号,即

0)

()(x x x f x f --=?)(0x f ',则目的就可达到.这样从几何上说就是要考虑曲线的割线与切线之间的平行关系. 一方面

要考虑给定割线, 找平行于该割线的切线; 另一方面要考虑给定切线, 找平行于该切线的割线. (1)若给定的割线是水平的、斜的或曲线的方程以参数方程的形式给出，则分别可找出相应的切线平行于该割线，再分析所需要的条件，就可建立起Rolle 定理、Lagrange 定理、Cauchy 定理. 这三个微分中值定理用一句话概括：对于处处连续、处处有切线曲线的每一条割线都可以找到平行于该割线的切线. (2)若给定切线, 找平行于该切线的割线, 则不一定能实现.

二 微分中值定理:

1. Rolle 中值定理: 叙述为Th1. ( 证 ) 定理条件的充分但不必要性.

2. Lagrange 中值定理: 叙述为Th2.( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理.

Lagrange 中值定理的各种形式. 关于中值点的位置.

系1 函数)(x f 在区间I 上可导且)( ,0)(x f x f ?≡'为I 上的常值函数. (证) 系2 函数)(x f 和)(x g 在区间I 上可导且,)()( ),()(c x g x f x g x f +=?'≡'.I ∈x 系 3 设函数)(x f 在点的某右邻域)(0x + 上连续,在)(0x +

内可导.若

)0()(lim 00

+'='+→x f x f x x 存在 , 则右导数)(0x f +'也存在, 且有).0()(00+'='+x f x f (证)

但是, )0(0+'x f 不存在时, 却未必有)(0x f +'不存在. 例如对函数

???

??=≠=.0

,0,0 ,1sin )(2

x x x

x x f 虽然)00(+'f 不存在,但)(x f 却在点0=x 可导(可用定义求得0)0(='f ).

Th3 (导数极限定理)设函数)(x f 在点的某邻域 )(0x 内连续, 在)(0x

内可导.若极限

)(lim 0

x f x x '→存在, 则)(0x f '也存在, 且).(lim )(0

0x f x f x x '='→( 证 )

由该定理可见, 若函数)(x f 在区间I 上可导,则区间I 上的每一点,要么是导函数

)(x f '的连续点,要么是)(x f '的第二类间断点.这就是说,当函数)(x f 在区间I 上点点可导时, 导函数)(x f '在区间I 上不可能有第二类间断点.

3. Cauchy 中值定理:

Th 4 设函数和在闭区间],[b a 上连续, 在开区间),(b a 内可导, 和在),(b a 内不同时为零, 又).()(b g a g =/ 则在),(b a 内至少存在一点 使得

)

()()

()()()(a g b g a f b f g f --=

''ξξ. 证 分析引出辅助函数 -=)()(x f x F )

()()

()(a g b g a f b f --)(x g . 验证)(x F 在],[b a 上满足

Rolle 定理的条件, ?∈?? ),,( b a ξ

-

'=')()(ξξf F )

()()

()(a g b g a f b f --.0)(='ξg

必有0)(=/'ξg , 因为否则就有0)(='ξf .这与条件“和在),(b a 内不同时为零” 矛盾. ?

Cauchy 中值定理的几何意义.

Ex [1]P 163 1—4；

三 中值定理的简单应用: ( 讲1时 )

1. 证明中值点的存在性:

例1设函数在区间],[b a 上连续, 在),(b a 内可导, 则),(b a ∈?ξ, 使得

)()(a f b f -)(ln ξξf a

b

'?=.

证 在Cauchy 中值定理中取x x g ln )(=.

例2设函数在区间],[b a 上连续, 在),(b a 内可导, 且有0)()(==b f a f .试证明: 0)()( ),,(='-?∈?ξξξf f b a .

2. 证明恒等式: 原理.

例3证明: 对R ∈?x , 有 2

π

=+arcctgx arctgx .

例4 设函数和可导且 ,0)(≠x f 又

.0='

'g f g f 则 )()(x cf x g =.(证明 0) (='f g

. )

例 5 设对R ∈? , h x ,有 2 |)()(|Mh x f h x f ≤-+,其中是正常数.则函数)(x f 是常值函数. (证明 0='f ).

3. 证明不等式: 原理.

例6 证明不等式: 0>h 时,

h arctgh h h

<<+21.

例7 证明不等式: 对，有

n

n n 1) 11 ln(11<+<+. 4. 证明方程根的存在性:

例8 证明方程 0cos sin =+x x x 在),0(π内有实根.

例9 证明方程 c b a cx bx ax ++=++2342

3

在) 1 , 0 (内有实根.

四 单调函数 （结合几何直观建立）

1 可导函数单调的充要条件

Th 5设函数)(x f 在区间),(b a 内可导. 则在),(b a 内)(x f ↗(或↘) 在),(b a 内

0)(≥'x f ( 或 ).

例10 设13)(3+-=x x x f .试讨论函数)(x f 的单调区间. 解:⑴确定定义域. 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞.

⑵求导数并分解因式.)1)(1(333)(2+-=-='x x x x f

⑶确定导数为0的点和不存在的点.令0)(='x f ,得1,1=-=x x

⑷将导数为0的点和不存在的点作为分点插入函数的定义域,列表讨论各个区间上的单

Th6设函数)(x f 在区间),(b a 内可导.则在),(b a 内)(x f ↗↗( 或↘↘)ⅰ> 对

),,(b a x ∈? 有0)(≥'x f ( 或)0≤; ⅱ> 在),(b a 内任子区间上.0)(≡/'x f

3 可导函数严格单调的充分条件 推论 见P124

例11 证明不等式 .0,

1≠+>x x e x

Ex [1]P 124—125 1—7.

§2 不定式的极限( 2时 )

一.

型: Th 1 (Hospital 法则 ) ( 证 ) 应用技巧. 例1 .cos cos 1lim

2x

xtg x

x +→π

例2)

1ln()

21(lim 22

10x x e x x ++-→. 例3x

x e x -+

→1lim 0

. ( 作代换x t = 或利用等价无穷小代换直接计算. )

例4x

x x x sin 1

sin

lim

20

→. ( Hospital 法则失效的例 )

二 ∞

∞

型:

Th 2 (Hospital 法则 ) ( 证略 )

例5) 0 ( ,ln lim

>+∞→αα

x x

x .

例63lim x

e x

x +∞→.

注: 关于x x e x ln ,,α当+∞→x 时的阶.

例7x

x

x x sin lim

+∞→. ( Hospital 法则失效的例 )

三. 其他待定型:∞-∞∞∞?∞ , ,0 ,1 ,000.前四个是幂指型的. 例8.ln lim 0

x x x +

→ 例9)(sec lim 2

tgx x x -→

π

.

例10x

x x =

→0

lim . 例11x

x x ??

?

??++→11lim 0.

例12()21

cos lim x x x →.

例13n

n n ??

? ??

+∞

→211lim .

例14设???

??=≠=.0

,0,0 ,)

()(x x x x g x f 且 .3)0( ,0)0()0(=''='=g g g 求).0(f '

解200)(lim 0

)

(lim )0()(lim )0(x x g x

x x g x f x f f x x x →→→=-=-=' 2

3

)0(21)0()(lim 212)(lim

000

=''='-'='=→→g x g x g x x g x x . Ex [1]P 132—133 1—5.

§3 Taylor 公式 ( 3时 )

一. 问题和任务:

用多项式逼近函数的可能性; 对已知的函数, 希望找一个多项式逼近到要求的精度.

二. Taylor ( 1685—1731 )多项式:

分析前述任务，引出用来逼近的多项式应具有的形式 定义(Taylor 多项式 )(x P n 及Maclaurin 多项式)

例1 求函数24)(23+-=x x x f 在点20=x 的Taylor 多项式.

三. Taylor 公式和误差估计:

称 )()()(x P x f x R n n -=为余项. 称给出)(x R n 的定量或定性描述的式 )()()(x R x P x f n n +=为函数)(x f 的Taylor 公式.

1. 误差的定量刻画( 整体性质 ) ——Taylor 中值定理: Th 1 设函数满足条件:

ⅰ> 在闭区间],[b a 上有直到阶连续导数; ⅱ> 在开区间),(b a 内有1+n 阶导数. 则对),,( ),,(b a b a x ∈?∈?ξ 使

+-++-''+-'+=n n a x n a f a x a f a x a f a f x f )(!)()(!2)())(()()()(2

1)1()()!1()(++-++n n a x n f ξ∑=+-=n

k k k a x k a f 0)()(!)(1)1()()!1()(++-+n n a x n f ξ. 证 [1]P 138—139.

称这种形式的余项)(x R n 为Lagrange 型余项.并称带有这种形式余项的Taylor 公

式为具Lagrange 型余项的Taylor 公式.Lagrange 型余项还可写为

,)()!

1())

(()(1)1(++-+-+=n n n a x n a x a f x R θ) 1 , 0(∈θ.

0=a 时, 称上述Taylor 公式为Maclaurin 公式, 此时余项常写为

,)()!

1(1

)(1)1(+++=n n n x x f n x R θ10<<θ.

2. 误差的定性描述( 局部性质 ) ——Peano 型余项:

Th 2 若函数在点的某邻域内具有1-n 阶导数, 且)()(a f n 存在, 则

+-++-''+-'+=n n a x n a f a x a f a x a f a f x f )(!

)()(!2)())(()()()(2

()

n a x )(- ,

)(a x ∈.

证 设)()()(x P x f x R n n -=, n a x x G )()(-=. 应用Hospital 法则1-n 次,并注意到

)()(a f n 存在, 就有

=====--→→)

()(lim )()(lim )1()

1(0

x G x R x G x R n n n a x n a x )(2)1()

)(()()(lim

)()1()1(a x n n a x a f a f x f n n n a x -------→ = 0)()()(lim !1)

()1()1(=???

? ??---=--→a f a x a f x f n n n n a x . 称()

n n a x x R )()(-= 为Taylor 公式的Peano 型余项,相应的Maclaurin 公式的Peano 型余项为)()(n n x x R =. 并称带有这种形式余项的Taylor 公式为具Peano 型余项的Taylor 公式( 或Maclaurin 公式 ).

四. 函数的Taylor 公式( 或Maclaurin 公式 )展开:

1. 直接展开:

例2 求 x e x f =)(的Maclaurin 公式.

解) 10 ( ,)!

1(!!2!1112<<++++++=+θθn x

n x

x n e n x x x e .

例3 求 x x f sin )(=的Maclaurin 公式.

解)()!

12() 1 (!5!3sin 2121

53x R m x x x x x m m m +--+-+-=-- ,

10 ,)21(sin )!12()(122<

? ??

+++=+θπθm x m x x R m m .

例4求函数)1ln(

)(x x f +=的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 . 解)!1() 1()0( ,)

1()!1() 1()(1

)(1)(--=+--=--n f x n x f n n n

n n . )() 1(32)1ln(132n n

n x n

x x x x x +-+-+-=+-. 例5把函数tgx x f =)(展开成含项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式.

2. 间接展开: 利用已知的展开式, 施行代数运算或变量代换, 求新的展开式. 例6 把函数2sin )(x x f =展开成含项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 .

解 ) (!7!5!3sin 77

53x x x x x x +-+-

=, ) (!

7!5!3sin 14141062

2x x x x x x +-+-=.

例7 把函数x x f 2cos )(=展开成含项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 .

解) (!

6!4!21cos 66

42x x x x x +-+-

=, ), (!

62!34212cos 66642

x x x x x +-+-=注意, 0 ),()(≠=k x kx

) (!

62!321)2cos 1(21cos 66542

2x x x x x x +-+-=+=.

例8 先把函数x x f +=11

)(展开成具Peano 型余项的Maclaurin 公式.利用得到的展开式,

把函数x x g 531

)(+=在点20=x 展开成具Peano 型余项的Taylor 公式.

解,)

1(!)1(1

)(++-=n n n x n f !)1()0()(n f n

n -=. ); ()1(1)(32n n n x x x x x x f +-++-+-=

13

11

13

1

)2(5131531)(+

=-+=+=

x x x g

=

??? ??--+--+--n n n x x x )2() 135 () 1()2() 135 ()2(135113122 +()

.)2(n x - 例9 把函数shx 展开成具Peano 型余项的Maclaurin 公式 ，并与x sin 的相应展开式进行

比较.

解), (!

!2!112n n

x

x n x x x e ++++

+= )(!)1(!2!112n n n x

x n x x x e +-+-+-= ; ) ( )!12(!5!32121

253---+-++++=-=m m x x x m x x x x e e shx .

而 ) ()!12()1(!5!3sin 121

2153---+--+-+-=m m m x m x x x x x .

五. Taylor 公式应用举例:

1. 证明是无理数: 例10 证明是无理数.

证 把展开成具Lagrange 型余项的Maclaurin 公式, 有

10 ,)!

1(!1!31!2111<<+++++++=ξξ

n e n e .

反设是有理数, 即p q

p

e ( =和为整数), 就有 =e n !整数 + 1+n e ξ.

对q p n e n q n ?=>?!! ,也是整数. 于是, -?=+q

p

n n e !1ξ整数=整数―整数=整数.但由

,30 ,10<<

ξ 因而当 3>n 时，

1

+n e ξ不可能是整数. 矛盾. 2. 计算函数的近似值:

例11 求精确到000001.0的近似值.

解10 ,)!

1(!1!31!2111<<+++++++=ξξ

n e n e .

注意到,30 ,10<<

n R n . 为使000001.0)!

1(3

<+n , 只要取9≥n . 现取9=n , 即得数的精确到000001.0的近似值为

718281.2!

91

!31!2111≈++++

+≈ e . 3. 利用Taylor 公式求极限:原理:

例12 求极限 ) 0 ( ,2

lim 20>-+-→a x

a a x x x . 解) (ln 2

ln 122

2ln x a x a x e

a a

x x

+++==,

) (ln 2

ln 122

2x a x a x a

x

++-=-;

). (ln 2222x a x a a x x +=-+-

a x

x a x x a a x x x x 22222020ln ) (ln lim 2lim =+=-+→-→ . 4． 证明不等式： 原理.

例13 证明: 0≠x 时, 有不等式 x e x

+>1.

Ex [1]P141 1—3.

§4 函数的极值与最大（小）值（ 4时 ）

一 可微函数极值点判别法:极值问题:极值点,极大值还是极小值, 极值是多少.

1. 可微极值点的必要条件: Th1 Fermat 定理(取极值的必要条件).

函数的驻点和(连续但)不可导点统称为可疑点, 可疑点的求法.

2. 极值点的充分条件:对每个可疑点, 用以下充分条件进一步鉴别是否为极（结合几何直观建立极值点的判别法）

Th 2 (充分条件Ⅰ) 设函数)(x f 在点连续, 在邻域) , (00x x δ-和) , (00δ+x x 内可导. 则

ⅰ> 在) , (00x x δ-内,0)(<'x f 在) , (00δ+x x 内0)(>'x f 时, 为)(x f 的一个极小值点;

ⅱ> 在) , (00x x δ-内,0)(>'x f 在) , (00δ+x x 内0)(<'x f 时,为)(x f 的一个极大值点;

ⅲ> 若)(x f '在上述两个区间内同号, 则不是极值点.

Th 3 (充分条件Ⅱ——“雨水法则”)设点为函数的驻点且)(0x f ''存在.则 ⅰ> 当0)(0<''x f 时, 为)(x f 的一个极大值点; ⅱ> 当0)(0>''x f 时, 为)(x f 的一个极小值点.

证法一.)

(lim )()(lim )(0

00000x x x f x x x f x f x f x x x x -'=-'-'=''→→

当0)(0<''x f 时, 在点的某空心邻域内

)

(x x x f -')( ,0x f '?<与0x x -异号,…… 证法二 用Taylor 公式展开到二阶, 带P eano 型余项.

Th 4 (充分条件Ⅲ ) 设0)()()(0)1(00===''='-x f x f x f n ,而0)(0)(≠x f n .则

ⅰ>为奇数时, 不是极值点; ⅱ>为偶数时, 是极值点. 且0)(0)

(>x f

n 对应极小; 0)(0)(

例1 求函数32)52()(x x x f -=的极值.

例2 求函数x

x x f 432

)(2

+

=的极值. 例3 求函数34)1()(-=x x x f 的极值.

注 Th 2、 Th 3、 Th 4只是极值点判别的充分条件.如函数????

?=≠=-.0,

0,0,)(1

x x e x f x 它在

0=x 处取极小值,但因 ,2,1,0)0()(==k f k .所以无法用Th 4对它作出判别.

二 函数的最大值与最小值:

⑴设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且仅有有限个可疑点n x x x ,,,21 . 则

)(max ],[x f b a x ∈=max } )(,),(),(),(),( {21n x f x f x f b f a f ; min )(min ]

,[=∈x f b a x } )(,),(),(),(),( {21n x f x f x f b f a f .

⑵函数最值的几个特例: ⅰ> 单调函数的最值:

ⅱ> 如果函数)(x f 在区间],[b a 上可导且仅有一个驻点, 则当为极大值点时, 亦为最大值点; 当为极小值点时,亦为最小值点.

ⅲ> 若函数)(x f 在内可导且仅有一个极大(或小)值点, 则该点亦为最大(或小)值点.

ⅳ> 对具有实际意义的函数, 常用实际判断原则确定最大(或小)值点.

例4 求函数x x x x f 1292)(2

3+-=在闭区间??

?

???-25,41上的最大值与最小值.

⑶最值应用问题:

例5 、两村距输电线(直线)

分别为km 1和km 5.1（如图）， CD 长.3km . 现两村合用一台 变压器供电. 问变压器设在何

处,输电线总长BE AE +最小.

解 设如图，并设输电线总长为)(x L

.30 ,5.1)3(1)(222≤≤+-++=

+=x x x EB AE x L

01

5.1)3(1

)3(5.1)3()(2

2

2

222令

===+?+-+--+-=

'x x x x x x x L ,

?1)3(5.1)3(222+-=+-x x x x , .09625.1 2=-+?x x

解得 2.1=x 和 6-=x ( 舍去 ). 答： ……

三 利用导数证明不等式:

我们曾在前面简介过用中值定理或Taylor 公式证明不等式的一些方法. 其实, 利用 导数证明不等式的方法至少可以提出七种 ( 参阅[3]P 112—142 ). 本段仅介绍利用单调性 或极值证明不等式的简单原理.

1. 利用单调性证明不等式:

原理: 若↗, 则对βα

.

1 ||1||||1

b b a a b a b a +++≤

+++

证 取?>+='≥+= ,0)

1(1

)( ).0( ,1)(2

x x f x x x x f 在) , 0 [∞+内)(x f ↗↗. 于是, 由 |||| ||b a b a +≤+, 就有 ) |||| () || (b a f b a f +≤+, 即 |

|1|

|||1||||||1||||||1||||||1||||||1||b b a a b a b b a a b a b a b a b a ++

+≤+++++=+++≤+++. 2. 不等式原理:设函数)(x f 在区间) , [∞+a 上连续,在区间) , (∞+a 内可导, 且0)(>'x f ; 又 .0)(≥a f 则 a x >时, .0)(>x f (不等式原理的其他形式.)

例6 证明: 2

1

>x 时, 1)1ln(2->+arctgx x .

例7 证明: 0>x 时, !

3sin 3

x x x ->.

3. 利用极值证明不等式:

例8 证明: 0≠x 时, x e x

+>1.

Ex [1]P 146—147 1—9.

§5 函数的凸性与拐点（ 2时 ）

一． 凸性的定义及判定：

1． 凸性的定义：由直观引入. 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别. 定义 见书P146

凸性的几何意义:曲线的弯曲方向;曲线与弦的位置关系;曲线与切线的位置关系. 引理(弦与弦斜率之间的关系)

2． 利用一阶导数判断曲线的凸向 Th1 (凸的等价描述) 见书P146

例1 (开区间内凸函数的左、右可导性,从而开区间内凸函数是连续的)

3． 利用二阶导数判断曲线的凸向:

Th2 设函数)(x f 在区间),(b a 内存在二阶导数, 则在),(b a 内 ⑴)( ,0)(x f x f ?<''在),(b a 内严格上凸; ⑵)( ,0)(x f x f ?>''在),(b a 内严格下凸.

证法一 ( 用Taylor 公式 ) 对),,(,21b a x x ∈? 设2

2

10x x x +=, 把)(x f 在点 展开成具Lagrange 型余项的Taylor 公式, 有

,)(2)

())(()()(201101001x x f x x x f x f x f -''+

-'+=ξ 202202002)(2)

())(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ.

其中和在与之间. 注意到 )(0201x x x x --=-, 就有

[]

20222011021))(())((2

1

)(2)()(x x f x x f x f x f x f -''+-''+

=+ξξ, 于是 若有?<'' ,0)(x f 上式中[])(2)()( ,0021x f x f x f <+?< , 即)(x f 严格上凸. 若有?>'' ,0)(x f 上式中[])(2)()( ,0021x f x f x f >+?> , 即)(x f 严格下凸. 证法二 ( 利用Lagrange 中值定理. ) 若,0)(>''x f 则有)(x f '↗↗, 不妨设21x x <,并设2

2

10x x x +=

,分别在区间],[01x x 和],[20x x 上应用Lagrange 中值定理, 有 ))(()()( ),,(10110011x x f x f x f x x -'=-?∈?ξξ, ))(()()( ),,(02202202x x f x f x f x x -'=-?∈?ξξ.

有),()( ,2122011ξξξξf f x x x '<'?<<<< 又由 00210>-=-x x x x ，

))((101x x f -'ξ<))((022x x f -'ξ, ?)()()()(0210x f x f x f x f -<-， 即

??

?

??+=>+22)(2)()(21021x x f x f x f x f ， )(x f 严格下凸.

可类证0)(<''x f 的情况.

例2 讨论函数x x f arctan )(=的凸性区间.

例3 若函数)(x f 为定义在开区间),(b a 内的可导函数,则),(0b a x ∈为)(x f 的极值点的 充要条件是为)(x f 的稳定点，即.0)(0='x f

4． 凸区间的分离: )(x f ''的正、负值区间分别对应函数)(x f 的下凸和上凸区间. 二.曲线的拐点:拐点的定义.

Th3 (拐点的必要条件) Th4

注:. 例4 讨论曲线x x f arctan )(=的拐点.

Jensen 不等式:设在区间],[b a 上恒有0)(>''x f ( 或) 0<, 则对],[b a 上的任意个点 )1(n k x k ≤≤, 有Jensen 不等式:

∑=≥n k k x f n 1)(1( 或??

?

??≤∑=n k k x n f 11) ,

且等号当且仅当n x x x === 21时成立.

证 令∑==n

k k x n x 1

01, 把)(k x f 表为点处具二阶Lagrange 型余项的Taylor 公式，仿前述

定理的证明，注意

∑==-n

k k

x x

1

0,0)( 即得所证.

对具体的函数套用Jensen 不等式的结果,可以证明一些较复杂的不等式.这种证明不等式的方法称为Jensen 不等式法或凸函数法.具体应用时,往往还用到所选函数的严格单调性.

例2证明: 对,,R ∈?y x 有不等式 )(2

12

y x

y x e e e

+≤

+. 例3 证明均值不等式: 对+∈?R n a a a ,,,21 , 有均值不等式

n

a a a n

11121+++ n a a a a a a n n n +++≤≤ 2121 .

证 先证不等式n

a a a a a a n

n n +++≤ 2121 .

取x x f ln )(=. )(x f 在) , 0 (∞+内严格上凸, 由Jensen 不等式, 有

∑∑∑∑∏=====??

?

??=??? ??≤==n k n k k n k k k n k k n n

k k x n x n f x f n x n x 111111ln 1)(1ln 1ln .

由)(x f ↗↗n

a a a a a a n

n n +++≤ 2121 .

对

+∈R n

a a a 1

,,1,121 用上述已证结果, 即得均值不等式的左半端. 例4 证明: 对R ∈?n x x x ,,,21 , 有不等式

n

x x x n x x x n n 2

222121 +++≤+++ . ( 平方根平均值 )

例5设6=++z y x ，证明 12222≥++z y x . 解 取2)(x x f =, 应用Jensen 不等式.

例6 在⊿ABC 中, 求证 2

3

3sin sin sin ≤

++C B A . 解 考虑函数x x x f x x x f sin . 0 , 0 sin .0 ,sin )(?<<-=''≤≤=ππ在 区间) , 0 (π内凹, 由Jensen 不等式, 有

233sin 33)()()(3sinC sinB sinA =

=??

?

??++≤++=++∴πC B A f C f B f A f . 2

3

3sinC sinB sinA ≤++?. 例7 已知1 ,,,=++∈+c b a c b a R . 求证

6737373333

≤+++++c b a .

解 考虑函数3)(x x f =, )(x f 在) , 0 (∞+内严格上凸. 由Jensen 不等式, 有 ≤+++++=+++++3

)

73()73()73(3737373333

c f b f a f c b a

28)8()7(37373733===+++=??

? ??+++++≤f c b a f c b a f .

6737373333

≤+++++c b a .

例8 已知 .2 , 0 , 033≤+>>βαβα 求证 2≤+βα. ( 留为作业 ) (解 函数3)(x x f =在) , 0 (∞+内严格下凸. 由Jensen 不等式, 有

=+≤

??

? ??+=??? ??+=+2)()(228)(3

3βαβαβαβαf f f ?=≤+ ,12223

3β

α 2 , 8)(3≤+?≤+βαβα. ) Ex [1]P 153 1—5.

§6 函数图象的描绘（ 2时 ）

微分作图的步骤: ⑴确定定义域.

⑵确定奇偶性、周期性.

⑶求一阶导数并分解因式,同时确定一阶导数为0的点和不存在的点. ⑷求二阶导数并分解因式,同时确定二阶导数为0的点和不存在的点.

⑸将一阶、二阶导数为0的点和不存在的点作为分点插入函数的定义域，列表讨论各个区间上的单调性、凹凸性及各分点的极值、拐点. ⑹确定渐近线.

⑺适当补充一些点,如与坐标轴的交点. ⑻综合以上讨论作图. 例1 描绘函数3231)(+--=x x x x f 的图象. 例2 描绘函数2

22)(21)(σμσ

π--

=

x e

x f (其中0,>σμ为常数)的图象.

Ex [1]P 155 (1)—(8).

高等数学-中值定理证明

第三章中值定理证明

1.闭区间上连续函数定理① ② ③ ④ 2.微分中值定理 ① ② ③ ④ 3.积分中值定理 ① ② 不等式证明思路 ①构造函数（利用极值） ②拉格朗日中值定理 ③函数凹凸性定义

1.若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0 f f ξλξ'+=2.设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)() b a ae be e a b ξξ-=--3.设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得：()0 F ξ''=4.设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+.

5.若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0<

微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解 先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的 关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论： 闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。 第三章 微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。 罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，

微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用 微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”，虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用. 1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2．教学重点与难点： 重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性. 3．教学内容： §1 拉格朗日定理和函数的单调性 本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性. 一罗尔定理与拉格朗日定理 定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足 (ⅰ)在[]b a,上连续; (ⅱ)在) a内可导; (b , (ⅲ)) a f= f ) ( (b

则),(b a ∈?ξ使 0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可. 如: 1o ? ??=<≤=1 010 x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足, 结论不成立. 2o x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立. 3o x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立. (ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件. 如:[]1,1 )(2 2-∈?????-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f . (ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续 曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线. 例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根. 证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式 n n n n n dx x d n x P )1(!21)(2-?= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点. 将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广

第五章微分中值定理及其应用答案

139 第五章 微分中值定理及其应用 上册P 178—180 习题解答 1． 设0)(0>'+x f ，0)(0<'-x f .证明0x 是函数)(x f 的极小值点 . 证 0)()(lim )(0000 <--='- →-x x x f x f x f x x ，?在点0x 的某左去心邻域内有 0) ()(0 0<--x x x f x f ， 此时00<-x x ，?在点0x 的该左去心邻域内有 0)()(0>-x f x f ， 即)()(0x f x f >； 0)()(lim )(0000 >--='+ →+x x x f x f x f x x ，?在点0x 的某右去心邻域内有0) ()(0 0>--x x x f x f ， 此时00>-x x ，?在点0x 的该左去心邻域内有 0)()(0>-x f x f ， 即)()(0x f x f >. 综上 , 在点0x 的某去心邻域内有)()(0x f x f >. 即0x 是函数)(x f 的极小值点 . 2. 举例说明 , Rolle 定理的三个条件都不满足 , 函数仍然可以存在水平的切线 . 解答: 例如函数 . 21 , 1, 12 , )(2? ??≤<-≤≤-=x x x x x f )(x f 定义在区间] 2 , 2 [-上 , )(x f 在 点1=x 间断 ,因此不满足在闭区间上连续和在开区间内可导的条件 , 并且4) 2(=-f , 而 1) 2 (=f , ≠-) 2(f ) 2 (f . 对区间] 2 , 2 [-上的这个函数)(x f , Rolle 定理的三个条件都 不满足 . 但是 , 0) 0 (='f , 该曲线上点) 0 , 0 (处的切线仍然是水平的 . 3. 设函数)(x f 在闭区间] , [b a 上连续 , 在开区间) , (b a 内可微 . ⑴ 利用辅助函数 1 )(1)(1)( )(b f b a f a x f x x =ψ. 证明Lagrange 中值定理 .

第六章 微分中值定理及其应用

第六章 微分中值定理及其应用 引言 在前一章中,我们引进了导数的概念,详细地讨论了计算导数的方法.这样一来,类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决.但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题,那么,只知道怎样计算导数是远远不够的,而要以此为基础,发展更多的工具. 另一方面,我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数;（2）导数只是反映函数在一点的局部特征;（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态,因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥,这个“桥”就是微分中值定理. 本章以中值定理为中心,来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用. §6.1 微分中值定理 教学章节：第六章 微分中值定理及其应用——§6.1微分中值定理 教学目标：掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打下坚实的理论基础. 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者之 间的包含关系. 教学重点：中值定理. 教学难点：定理的证明. 教学方法：系统讲解法. 教学过程： 一、一个几何命题的数学描述 为了了解中值定理的背景,我们可作以下叙述：弧? AB 上有一点P,该处的切线平行与弦AB.如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？ 联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”,故如建立坐标系,则弧? AB 的函数是y=f(x),x ∈[a,b]的图像,点P 的横坐标为x ξ=.如点P 处有切线,则f(x)在点x ξ=处可导,且切线的斜率为()f ξ';另一方面,弦AB 所在的直线斜率为()() f b f a b a --,曲线y=f(x)上点P 的切线平行于弦 AB ?()() ()f b f a f b a ξ-'= -. 撇开上述几何背景,单单观察上述数量关系,可以发现：左边仅涉及函数的导数,右边仅涉及

微分中值定理

微分中值定理 班级： 姓名： 学号：

摘要 微分中值定理是一系列中值定理的总称，是研究函数的有力工具，包括费马中值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理.以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的重要理论。它不仅沟通了函数与其导数的关系，而且也是微分学理论应用的桥梁，本文在此基础上，综述了微分中值定理在研究函数性质，讨论一些方程零点（根）的存在性，和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明. 罗尔定理 定理1 若函数f 满足下列条件： (1)在闭区间[,]a b 连续； (2)在开区间(,)a b 可导； (3)()()f a f b =， 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()0f ξ'=. 几何意义： 在每一点都可导的连续曲线上，若端点值相等则在曲线上至少存在一条水平曲线。 （注：在罗尔定理中，三个条件有一个不成立，定理的结论就可能不成立.） 例1 若()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导()0>a ，证明：在()b a ,内方程 ()()[]() ()x f a b a f b f x '222-=-至少存在一个根. 证明：令()()()[]()()x f a b x a f b f x F 222---= 显然()x F 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，而且 ()()()()b F a f b a b f a F =-=22 根据罗尔定理，至少存在一个ξ，使

()()[]() ()x f a b a f b f '222-=-ξ 至少存在一个根. 例2 求极限： 1 2 20(12) lim (1) x x e x ln x →-++ 解：用22ln )(0)x x x →:(1+有 20 2 12 012 01(12)2lim (1) 1(12)2 lim (12)lim 2(12)lim 2212 x x x x x x x x e x In x e x x e x x e x →→-→- →-++-+=-+=++=== 拉格朗日中值定理 定理2：若函数f 满足如下条件： (1)在闭区间[,]a b 连续； (2)在开区间(,)a b 可导， 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()() () f b f a f b a ξ-'=- 显然，特别当()()f a f b =时，本定理的结论即为罗尔中值定理的结论．这表明罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情形． 拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线()y f x =上至少存在一点(,())P f ξξ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB ． 此外，拉格朗日公式还有以下几种等价表示形式，供读者在不同场合适用：

微分中值定理及其应用

分类号UDC 单位代码 密级公开学号 2006040223 四川文理学院 学士学位论文 论文题目：微分中值定理及其应用 论文作者：XXX 指导教师：XXX 学科专业：数学与应用数学 提交论文日期：2010年4月20日 论文答辩日期：2010年4月28日 学位授予单位：四川文理学院 中国 达州 2010年4月

目 录 摘要 .......................................................................... Ⅰ ABSTRACT....................................................................... Ⅱ 引言 第一章 微分中值定理历史 (1) 1.1 引言 ................................................................... 1 1.2 微分中值定理产生的历史 .................................................. 2 第二章 微分中值定理介绍 (4) 2.1 罗尔定理 ............................................................... 4 2.2 拉格朗日中值定理........................................................ 4 2.3 柯西中值定理 ........................................................... 6 第三章 微分中值定理应用 (7) 3.1 根的存在性的证明........................................................ 7 3.2 一些不等式的证明........................................................ 8 3.3 求不定式极限 .......................................................... 10 3.3.1 型不定式极限 .................................................... 10 3.3.2 ∞ ∞ 型不定式极限 .................................................... 11 3.4 利用拉格朗日定理讨论函数的单调性 ....................................... 12 第四章 结论 ................................................................... 14 参考文献....................................................................... 15 致谢 .. (16)

高数中值定理

第三章中值定理与导数 的应用

中值定理与导数的应用的结构 洛必达法则 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 常用的泰勒公式 型 0,1,0∞∞型 21∞-∞型 ∞?0型00型∞ ∞Cauchy 中值定理 Taylor 中值定理 x x F =)() ()(b f a f =0 =n g f g f 1= ?2 11 2 21111∞∞∞-∞=∞-∞取对数 令g f y =单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘;曲率;求根方法. 导数的应用

第三章中值定理与导数的应用 1. 中值定理 2. 常用麦克劳林公式 3. 洛必达法则 4. 函数的单调性、凹凸性、极值与拐点 5. 函数图形性质的讨论 6. 判定极值的充分条件 7. 最值问题 8. 典型例题

1. 中值定理 泰勒中值定理 设f (x )在含0x 的某开区间(a ,b )内具有(n +1)阶 导数, 则当),(b a x ∈时，在 x 与0x 之间存在 ξ ,使 （柯西中值公式） ) () ()()()()('' ξξg f b g a g b f a f =--（拉氏中值公式） )()()(ξf b f a f '=-柯西中值定理 设f (x ), g (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间 (a ,b )内可导且g '(x )≠0, 那末),(b a ∈?ξ,使 罗尔中值定理 设f (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间(a ,b )内 可导且f (a )= f (b ), 那末),(b a ∈?ξ,使f '(ξ )=0 1 0)1(0 00)() ()!1()()(!)()(++=-++-=∑n n n k n n x x n f x x n x f x f ξ拉氏中值定理 设f (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间(a ,b )内 可导, 那末),(b a ∈?ξ,使

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用题库(附带答案)

第三章 微分中值定理与导数的应用 一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ） 是否为极值点不能断定的极值点 不是　的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ） 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（ ） ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ） (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ） (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ） (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x )π=+ =（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ） ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ） 的极值 必定不是的极值点为必定为曲线的驻点 ，　必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=． 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．

微分中值定理历史与发展

微分中值定理历史与发展 卢玉峰 (大连理工大学应用数学系, 大连, 116024) 微分中值定理是微分学的基本定理之一, 研究函数的有力工具. 微分中值 定理有着明显的几何意义和运动学意义. 以拉格朗日(Lagrange) 定理微分中值定理为例,它的几何意义：一个定义在区间[]b a ,上的可微的曲线段,必有中一点()x f (b a ,)ξ， 曲线在这一点的切线平行于连接点())(,a f a 与割线.它的运动学意义：设是质点的运动规律，质点在时间区间()(,b f b )f []b a ,上走过的路程),()(a f b f ?a b a f b f ??)()(代表质点在()b a ,上的平均速度， 存在()b a ,的某一时刻ξ，质点在ξ的瞬时速度恰好是它的平均速度. 人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在 几何研究中,得到如下结论:“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的 底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(Archimedes) 正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积. 意大利卡瓦列里(Cavalieri) 在《不可分量几何学》(1635年) 的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实: 曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦.这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理. 人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了. 1637年,著名法国数学家费马(Fermat) 在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马定理.1691年,法国数学家罗尔(Rolle) 在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西(Cauchy) ,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部

高等数学常见中值定理证明及应用

中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

微分中值定理及其在不等式的应用

安阳师范学院本科学生毕业论文微分中值定理及其应用 作者张在 系（院）数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级2008级 学号06081090 指导老师姚合军 论文成绩 日期2010年6月

学生诚信承诺书 本人郑重承诺：所成交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作即取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表的或撰写的研究成果，也不包括为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所需用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所作出的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：日期： 论文使用授权说明 本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 签名：导师签名：日期

微分中值定理及其应用 张庆娜 （安阳师范学院 数学与统计学院, 河南 安阳455002） 摘 要：介绍了使用微分中值定理一些常见方法,讨论了洛尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理在证明中根的存在性、不等式、等式及判定级数的敛散性和求极限等方面的应用,最后通过例题体现微分中值定理在具体问题中的应用. 关键词：连续；可导；微分中值定理；应用 1 引言 人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在几何研究中,得到如下论：“抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(Archimedes )正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积. 意大利卡瓦列里(Cavalieri ) 在《不可分量几何学》(1635年) 的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦,这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理. 人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了.1637,著名法国数学家费马(Fermat ) 在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马定理.1691年,法国数学家罗尔(Rolle ) 在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西(Cauchy ) ,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》 (1823年)、《微分计算教程》(1829年),以严格化为其主要目标,对微积分理论进行了重构.他首先赋予中值定理以重要作用,使其成为微分学的核心定理.在《无穷小计算教程概论》中,柯西首先严格地证明了拉格朗日定理,又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理.从而发现了最后一个微分中值定理. 近年来有关微分中值定理问题的研究非常活跃,且已有丰富的成果,相比之下,对有关中值定理应用的研究尚不是很全面.由于微分中值定理是高等数学的一个重要基本内容,而且无论是对数学专业还是非数学专业的学生,无论是研究生入学考试还是更深层次的学术研究,中值定理都占有举足轻重的作用,因此有关微分中值定理应用的研究显得颇为必要. 2 预备知识 由于微分中值定理与连续函数紧密相关,因此有必要介绍一些闭区间上连续函数的性质、定理. 定理2.1[1](有界性定理) 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上有界.即常数0M > ,使得x [,]a b 有|()|f x M ≤. 定理2.2（最大、最小值定理） 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上有最大值与最小值. 定理2.3（介值性定理） 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,且()()f a f b ≠.若μ为介于()f a 与()f b 之间的任意实数(()()f a f b μ<<或()()f b f a μ<<),则至少存在一点

数学分析之微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用 教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础； 2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限； 3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题； 4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象； 5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。 教学重点、难点： 本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。 教学时数：14学时 § 1 中值定理（4学时） 教学目的：掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之间的包含关系。 教学重点：中值定理。 教学难点：定理的证明。 教学难点：系统讲解法。 一、引入新课：

通过复习数学中的“导数”与物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系，引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌握了“如何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个基本问题：导数有什么用？俗话说得好：工欲善其事，必先利其器。因此，我们首先要磨锋利导数的刀刃。我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课——第六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题） 二、讲授新课： （一）极值概念： 1．极值：图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值. ) 2.可微极值点的必要条件: Th ( Fermat ) ( 证 ) 函数的稳定点, 稳定点的求法. （二）微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 叙述为Th1.( 证 )定理条件的充分但不必要性. https://www.wendangku.net/doc/8e1027620.html,grange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参阅[1]P157. Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证) 推论2 函数和在区间I上可导且

最新3[1]1微分中值定理及其应用汇总

3[1]1微分中值定理 及其应用

3.2 微分中值定理及其应用 教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基 础； 2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限； 3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题； 4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象； 5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。 教学重点、难点： 本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。 教学时数：2学时 一、微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 设函数在区间上连续,在内可导,且有.则?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?.

https://www.wendangku.net/doc/8e1027620.html,grange中值定理: 设函数在区间上连续,在内可导, 则?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?. 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函 数. 推论2 函数和在区间I上可导且 推论3 设函数在点的某右邻域上连续,在内可导. 若存在,则右导数也存在,且有 (证) 但是, 不存在时, 却未必有不存在. 例如对函数 虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得). Th ( 导数极限定理 ) 设函数在点的某邻域内连续,在 内可导. 若极限存在, 则也存在, 且( 证 ) 由该定理可见,若函数在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函 数的连续点,要么是的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I 上点点可导时,导函数在区间I上不可能有第二类间断点.

微分中值定理论文

引言 通过对数学分析的学习我们知道，微分学在数学分析中具有举足轻重的地位，它是组成数学分析的不可缺失的部分。对于整块微分学的学习，我们可以知道中值定理在它的所有定理里面是最基本的定理，也是构成它理论基础知识的一块非常重要的内容。由此可知，对于深入的了解微分中值定理，可以让我们更好的学好数学分析。通过对微分中值定理的研究，我们可以得到它不仅揭示了函数整体与局部的关系，而且也是微分学理论应用的基础。微分中值定理是一系列中值定理总称，但本文主要是以拉格朗日定理、罗尔定理和柯西定理三个定理之间的关系[1-3]以及它们的推广为研究对象，利用它们来讨论一些方程根（零点）的存在性, 和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明。 中值定理的内容及联系 基本内容[4][5] 对于，微分中值定理的了解，我们了解到它包含了很多中值定理，可以说它是一系列定理的总称。而本文主要是以其中的三个定理为对象，进行探讨和发现它们之间的关系。它们分别是“罗尔（Rolle ）定理、拉格朗日（Lagrange ）定理和柯西（Cauchy ）定理”。这三个定理的具体内容如下： Rolle 定理 若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =，则至少存在一点(),a b ξ∈，使()0f ξ'=。 Lagrange 定理 若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则至少存在一点(),a b ξ∈，使()()()() =f b f a f b a ξ-'- Cauchy 定理 设()f x ，()g x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()0g x '≠，则至少存在一点 (),a b ξ∈，使得 ()()()()()() f b f a f g b g a g ξξ'-='-。 三个中值定理之间的关系 现在我们来看这三个定理，从这三个定理的内容我们不难看出它们之间具有一定的关系。那它们之间具体有什么样的关系呢？我们又如何来探讨呢？这是我们要关心的问题，我们将利用推广和收缩的观点来看这三个定理。首先我们先对这三个定理进行观察和类比，从中可以发现，如果把罗尔定理中的()()f a f b =这一条件给去掉的话，那么定理就会变成为拉格朗日定理。相反，如果在拉格朗日定理中添加()()f a f b =这一条件的话，显然就该定理就会成为了罗尔定理。通过这一发现，可以得到这样的一个结论：拉格朗日定理是罗尔定理的推广，而罗尔定理是拉格朗日定理的收缩，或是它的特例。继续用这一思路来看拉格朗日

文科高等数学(4.中值定理)

第四章 中值定理与导数的应用 §4. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)), 那么f '(x 0)=0. 罗尔定理 如果函数y =f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 且有f (a )=f (b ), 那么在(a , b )内至少在一点ξ , 使得f '(ξ)=0. 简要证明: (1)如果f (x )是常函数, 则f '(x )≡0, 定理的结论显然成立. (2)如果f (x )不是常函数, 则f (x )在(a , b )内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点ξ∈(a , b ). 于是 0) ()(lim )()(≥--='='- →-ξξξξξ x f x f f f x , 0)()(lim )()(≤--='='+ →+ξ ξξξξ x f x f f f x , 所以f '(x )=0. 罗尔定理的几何意义: 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 那么在(a , b )内至少有一点ξ(a <ξ

微分与积分中值定理及其应用

第二讲 微分与积分中值定理及其应用 1 微积分中值定理 0 微分中值定理 .......................................................................................... 0 积分中值定理 .......................................................................................... 2 2 微积分中值定理的应用 . (3) 证明方程根（零点）的存在性 ............................................................... 3 进行估值运算 .......................................................................................... 7 证明函数的单调性................................................................................... 7 求极限 ...................................................................................................... 8 证明不等式 . (9) 引言 Rolle 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理统称为微分中值定理。微分中 值定理是数学分析中最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值。 1 微积分中值定理 微分中值定理 罗尔(Rolle)定理: 若函数f 满足如下条件 (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）内可导； (ⅲ))()(b f a f =, 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 0)(='ξf ． 朗格朗日(Lagrange)中值定理: 设函数f 满足如下条件： (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）上可导； 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ．

高等数学微分中值定理应用举例

微分中值定理应用举例 单调性与极值 1.函数)(x f 在[]0,1上//()0f x >，比较//(1),(0),(1)(0)f f f f -的大小. 解：)(x f 在[]0,1上满足拉氏中值定理条件，存在()0,1ξ∈，使得/(1)(0)()f f f ξ-=.由于//()0f x >，所以/()f x 单调增加，而01ξ<<，所以///(0)()(1)f f f ξ<<， 即//(0)(1)(0)(1)f f f f <-<. 2.函数)(x f 在[]0,1上/////()0,(0)0f x f >=，比较//(1),(0),(1)(0)f f f f -的大小. 解：由于///()0f x >，所以//()f x 单调增加，而//(0)0f =，所以在[]0,1上//()0f x >，同上题讨论有//(0)(1)(0)(1)f f f f <-< 3.()()f x f x =--在()0,+∞内///()0,()0f x f x >>,判断在(),0-∞内///(),()f x f x 的符号. 解：()()f x f x =--，所以)(x f 在(),-∞+∞内为奇函数，/()f x 为偶函数，//()f x 为奇函数，在()0,+∞内///()0,()0f x f x >>，所以在(),0-∞内///()0,()0f x f x ><. 4.已知函数)(x f 在区间()1,1δδ-+内具有二阶导数,且/()f x 严格递增, /(1)(1)1f f ==，则：A.在()1,1δδ-+内均有()f x x <；B.在()()1,1,1,1δδ-+内均有()f x x >；C. 在()1,1δ-内均有()f x x <，在()1,1δ+内均有()f x x >； D. 在()1,1δ-内均有()f x x >，在()1,1δ+内均有()f x x <. 解：令()()F x f x x =-，则(1)(1)10F f =-=，//()()1F x f x =- 选择B.

微分中值定理及应用综述

微分中值定理及应用综述 谢娟 09211045 江苏师范大学 数学与统计学院 徐州 221116 摘 要：微分中值定理是一系列中值定理的总称，是研究函数的有力工具，包括费马中值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理.以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的重要理论。它不仅沟通了函数与其导数的关系，而且也是微分学理论应用的桥梁和基石.本文对微分中值定理中的一些条件给予了相关说明，介绍了微分三大中值定理以及它们之间的关系，后又在此基础上，综述了微分中值定理在研究函数性质，讨论一些方程零点（根）的存在性，和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明. 关键词：微分中值定理；关系；应用 引言 微分中值定理是微分学的基本定理，是沟通函数与其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具，应用十分广泛. 1 浅谈微分中值定理 1.1 微分中值定理的基本内容 微分中值定理是反映导数值与函数值之间的联系的定理, 它们分别是罗尔定理、拉格朗日定理和柯西中值定理.具体内容如下: 1.1.1 罗尔定理 如果函数()y f x = 满足: ( 1) 在闭区间[],a b 上连续; ( 2) 在开区间(),a b 内可导; ( 3) 在区间端点的函数值相等, 即()()f a f b =, 那么在区间(),a b 内至少有一 点ε()a b ε<< , 使函数()y f x =在该点的导数等于零, 即 ()/0f ε= 几何分析 在（图1） 中可见()y f x =曲线在[],a b 上是一条连续光滑的曲线, 曲线()y f x =在 (),a b 内处处有切线且没有垂直于x 轴的切线.在曲线的两端点一般高(罗尔定理的三条件在 平面几何中成立), 因而在(),a b 内曲线()y f x =至少有一点处的切线平行于x 轴(罗尔定理的结论成立,/ ()0f x =).通过对罗尔定理的几何分析, 抽象的罗尔定理得到了具体化(这也反应了数学的一般思想, 抽象思维具体化)。对于我们理解和掌握罗尔定理大有帮助.