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深圳夜大高起专数学试题及答案

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深圳夜大高起专数学试题及答案

命题：深圳青年学院汪老师第Ⅰ卷（选择题共50分）

一、选择题（共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设复数11z i =+，22()z xi x R =+∈，若12z z R ?∈，则x 的值为( ) A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 2．若

(23)0k

x x dx -=?

，则正数k 的值为( )

A ．0

B ．1

C ．0或1

D ．2 3.函数)13lg(13)(2++-=

x x

x x f 的定义域是 ( )

A ． ),3

1(+∞- B ．)1,3

1(- C ．)3

1,31(- D ．[)1,0[]

4.平面向量→a ，→

b 的夹角为60?

，)0,2(=→a ，1=→b ，则=+→

→b a 2（） A ．23

B ．3

C ．

D ． 2 5. 已知11

:<+≥x q k x p ，，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是（）

A. ),2[+∞

B. ),2(+∞

C. ),1[+∞

D. ]1,(--∞ 6. 若130,0,cos(),cos(),2243423ππ

ππβαβα<<

<<+=-=则cos()2β

α+=（）

A. 33 B ．33- C. 539 D ．69

7. 设x ，y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥??

--≤??≥≥?

，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大

值为8，则ab 的最大值为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

8．已知数列{}n a 是等差数列，若0,032015201420152013

A ．4029

B ．4028

C ．4027

D ．4026

9. 在实数集R 中定义一种运算“*”，R b a ∈?,，a b *为唯一确定的实数，且具有性

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质：（1）对任意R a ∈，0a a *=；（2）对任意,R a b ∈，(0)(0)a b ab a b *=+*+*．

关于函数1

()()x x

f x e e =*的性质，有如下说法：①函数)(x f 的最小值为3；②函数)(x f 为偶函数；③函数)(x f 的单调递增区间为(,0]-∞．其中正确说法的序号为

（） A ．①

B ．①②

C ．①②③

D ．②③

10．如图，正△ABC 的中心位于点G （0，1），A （0，2），动点P 从A 点出发沿△ABC

的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP =x （0≤x ≤2π），向量OP 在(1,0)a =方向的投影为y （O 为坐标原点），则y 关于x 的函数y =f （x ）的图象是（）

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置) 11.设集合}1,0,1{-=M ，},{2a a N =，若N N M =?,则a 的值是．

12.若函数1

2,0,

()2,0,(3),0,

x x f x x x x -?>??

=-=???+

(0,)+∞ 内是减函数，则整数a 的值是__________．

13.已知函数()sin()(0,)2

f x x π

ω?ω?=+><的部分图像如图，

令),6

(π

n f a n =则=++++2014321a a a a ．

14. 定义域为R 的偶函数)(x f 满足对任意x R ∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当

]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f ，

若函数)1|(|log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上

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至少有三个零点，则a 的取值范围是．

三、选做题（在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，

本题共5分）

15. (1)（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆θρcos 2=在点)0,2(M 处的切

线方程为．

(2)（不等式选讲选做题）已知函数a a x x f +-=|2|)(．若不等式6)(≤x f 的解集为{}32|≤≤-x x ，则实数a 的值为．

四、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）

已知向量(sin ,1)m x =-，向量1

(3cos ,)2

n x =-，函数()()f x m n m =+?. (1)求()f x 的最小正周期T ；

(2)已知a ，b ，c 分别为ABC D 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，23a =，4c =，

且()f A 恰是()f x 在??

???2,0π上的最大值，求A ，b 和ABC ?的面积S .

17. (本小题满分12分)

已知函数b ax ax x g ++-=12)(2（0>a ）在区间]3,2[上有最大值4和最小值1．设x

x g x f )

()(=

．（1）求a 、b 的值；

（2）若不等式02)2(≥?-x x k f 在]1,1[-∈x 上有解，求实数k 的取值范围.

18．（本小题满分12分）

2014年巴西世界杯的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣。甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素,x y 的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：

编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y

（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；

（2）当产品中的微量元素,x y 满足175x ≥，且75y ≥,该产品为优等品。用上述样

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B 1A 1

C 本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数

ξ的分布列及其均值（即数学期望）。

19 ．（本小题满分12分）

如图,在直三棱柱111C B A ABC -中，⊥AD 平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上．（1）求证：BC ⊥B A 1

（2）若3=AD ，2==BC AB ，P 为AC 的中点，

求二面角1P A B C --的余弦值.

20.（本小题满分13分）

已知数列{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，已知14716

a a +=-，且对于任意的n N *∈有n S ，2n S +，1n S +成等差数列；（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知n

b n =（n N *∈），记312123

n n

b b b b

T a a a a =

++++

，若2(1)(1)n n m T n -≤--对于2n ≥恒成立，求实数m 的范围。

21．（本小题满分14分）

已知函数2()ln ,()f x ax x x a R =+∈ （1）当0=a 时，求)(x f 的最小值；

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（2）在区间(1,2)内任取两个实数,()p q p q ≠,若不等式

(1)(1)

f p f q p q

+-+-1>恒成

立，求实数a 的取值范围；（3）求证：

n n 1ln 44ln 33ln 22ln 3

333<++++ （其中 71828.2,,1*

=∈>e N n n ）.

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参考答案

四、解答题

16. 解: (1)21()()sin 13sin cos 2

f x m n m x x x =+?=+++

1cos 2311sin 2222x x -=

+++31

sin 2cos 2222x x =-+

sin(2)26

x π

=-+ ………………3分

因为2ω=，所以22T π

……………………5分 (2) 由(1)知：()sin(2)26f A A π

+ 当[0,]2x π∈时,52666x πππ

-≤-≤

由正弦函数图象可知,当262

x π

时()f x 取得最大值3。 …………8分

所以26

A π

…………………9分

由余弦定理，2222cos a b c bc A =+- ∴21

1216242

b b =+-??

∴2b = ………10分

从而11

sin 24sin 602322

S bc A ==??= ……………………12分

17. 解：（1）a b x a x g -++-=1)1()(2

，因为0>a ，所以)(x g 在区间]3,2[上是增

函数，

故???==4)3(1)2(g g ，解得?

??==01b a ． ………………5分

（2）由已知可得21)(-+=x x x f ，所以02)2(≥?-x

x k f 可化为x x x k 222

12?≥-+，

化为k x x ≥?-??? ??+2122112

，令x t 21=，则122+-≤t t k ，因]1,1[-∈x ，故??

???∈2,21t ，

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记=)(t h 122+-t t ，因为??

??∈2,21t ，故1)(max =t h ，所以k 的取值范围是]1,(-∞．……12分

18. 解：（1）乙厂生产的产品总数为14

53598

=；…………………2分（2）样品中优等品的频率为25，乙厂生产的优等品的数量为2

35145

?=；…………4分[]

（3）0,1,2ξ=， ……………………5分 2232

()i

C C P i C ξ-==(0,1,2)i =，…………8分

ξ的分布列为

0 1 2

310 35 110

………………11分均值314

()125105

E ξ=?

+?=…………………12分 19 ．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）证明：

三棱柱 111C B A ABC -为直三棱柱，

∴⊥A A 1平面ABC ，又?BC 平面ABC ， ∴BC A A ⊥1

AD ⊥平面1A BC ，且?BC 平面1A BC ，

∴BC AD ⊥. 又 ?1AA 平面AB A 1,?AD 平面AB A 1,A AD A A =?1，

∴BC ⊥平面1A AB ，又?AB 平面BC A 1， ∴ BC ⊥AB …………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,如图,以B 为原点建立空间直角坐标系xyz B -

AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上,

∴

B A AD 1⊥.

C P

B B 1

A x

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在Rt ABD ∠?中，3AD =，AB=2，3sin 2

AD ABD AB ∠=

60ABD ∠= 在直三棱柱111C B A ABC - 中，⊥A A 1AB . 在1Rt ABA ∠?中，

tan AA AB =?=016023,

则B (0,0,0),)0,2,0(A ,C （2，0，0）,P （1，1，0）,1A （0，2，23）,)0,1,1(=BP

=1BA （0，2，23）)0,0,2(=BC

设平面B PA 1的一个法向量),,(1z y x n =

则 11100n BP n BA ??=???=??即???=+=+0

3220

z y y x 可得)3,3,3(1-=n

设平面B CA 1的一个法向量),,(2z y x n = 则 22100n BC n BA ??=???=??即???=+=0

3220

z y x

可得)3,3,0(2-=n

121212

cos ,7

n n n n n n ?=

∴平面B PA 1与平面BC A 1的夹角的余弦值是

2 ………12分（或的法向量即为平面则平面BC A AD 11A AD BC,⊥ 在Rt ABD ∠?中，3AD =，

AB=2,

则BD=1 可得D()23,21,

0 )23

,23,0(-=AD 1

1127cos 7n AD n AD n AD

??== ∴平面B PA 1与平面BC A 1的夹角的余弦值是

2 ………12分） 20.

解

：

（

）

2132312111,,,2,2(1)(2),=-2

q S S S S S S a q q a q q ∴=+∴++=+设公比为，成等差得， 3

1141

1111+=1+=-=-()22

n n n a a a q a a a q -∴==-7又（），，所以16…………4分（2）1

,(),22n n n n n n

b b n a n a ==-∴=?，

231222322n n T n ∴=?+?+?+

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23412122232(1)22n n n T n n +=?+?+?+

++-?+?

23122222n n n T n +∴-=+++

+-?

1122(2)(1)2212

n n n n T n n +++-∴=--?=-?+-………10分

若2(1)(1)n n m T n -≤--对于2n ≥恒成立，则2

(1)[(1)2

21]n n m n n +-≤-?+--，

21(1)(1)(21)n n m n +-≤-?-， 11

21n n m +-∴≥

-，

令11

()21

n n f n +-=-，12

121

1(2)21(1)()02121(21)(21)n n n n n n n n f n f n +++++--?-+-=-=<---- 所以()f n 为减函数， 1()(2)7f n f ∴≤= 1

m ∴≥…………13分

21．解：（1）)0(,ln )(0>==x x x x f a 时，

0ln 1)(/>+=∴x x f 得e x 1> )1,0()(e x f 在∴上递减，),1

(+∞e

上递增。

e f x f 1

)1()(min -==∴. …………………………………4分

（2）

(1)(1)(1)(1)

(1)(1)

f p f q f p f q p q p q +-++-+=-+-+，

表示点(1,(1))p f p ++与点(1,(1))q f q ++连成的斜率，又21,21<<<

213,213p q ∴<+<<+<，即函数图象在区间(2,3)任意两点连线的斜率大于1，

即()2ln 11(2,3)f x ax x x '=++>∈在内恒成立……………………….6分所以，当ln (2,3)2x

x a x

∈≥-时，

恒成立. ln 2()max x a x ∴≥- 设2ln ln 1

(),(2,3),().x x g x x g x x x -'=-

∈=则若2

ln 1

()0,.x g x x e x -'=== 当2()0,()(2,)x e g x g x e '<<<时，在上单调递减；当3()0,()(,3)e x g x g x e '<<>时，在上单调递增……8分

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又

ln2ln3ln2

(2)(3),2

232

g g a

=->=-∴≥-故

ln2

a≥- (9)

分