高考真题立体几何及解析

2016年高考数学理试题分类汇编专题三 —— 立体几何

一、选择题

1、（2016年北京高考）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）

A.

16 B.13 C.1

2

D.1 【答案】A

2、（2016年山东高考）有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三 视图如右图所示，则该几何体的体积为

（A ）

π3

2+31 （B ）π32+31 （C ）π62+31 （D ）π62

+1

【答案】C

3、（2016年全国I 高考）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体

的体积是28π

3，则它的表面积是

（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π

【答案】A

4、（2016年全国I 高考）平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，αI 平面ABCD =m ，αI 平面ABB 1 A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为

（A ）2 （B ）2 （C ）3 （D ）13

【答案】A

5、（2016年全国II 高考）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C

6、（2016年全国III 高考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的

表面积为

（A ）18+（B ）54+（C ）90 （D ）81 【答案】B

7、（2016年全国III 高考）在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，

13AA =，则V 的最大值是

（A ）4π （B ）92

π

（C ）6π （D ）

323

π

【答案】B

二、填空题

1、（2016年上海高考）如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为3

2arctan ，则该正四棱柱的高等于____________

【答案】2、（2016年四川高考）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是__________．

3、（2016年天津高考）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积为_______m 3.

【答案】2

4、（2016年全国II 高考） ,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥.

（2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥. （3）如果//,m αβα?，那么//m β.

（4）如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 ．.(填写所有正确命题的编号） 【答案】②③④

5、（2016年浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm 2，体积是 cm 3

.

【答案】72 32 6、（2016年浙江高考）如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .

【答案】

12

三、解答题

1、（2016年北京高考） 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，

AB AD ⊥，

1AB =，2AD =

，AC CD ==

（1）求证：PD ⊥平面PAB ；

（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；

（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AM

AP

的值；若不存在，说明理由. 【解】⑴∵面PAD

面ABCD AD =

面PAD ⊥面ABCD

∵AB ⊥AD ，AB ?面ABCD

∴AB ⊥面PAD ∵PD ?面PAD ∴AB ⊥PD 又PD ⊥PA

∴PD ⊥面PAB

⑵取AD 中点为O ，连结CO ，PO

∵CD AC ==∴CO ⊥AD ∵PA PD = ∴PO ⊥AD

以O 为原点，如图建系

易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，，

则(11

1)PB =-，，，(011)PD =--，，，(201)PC =-，，，(210)CD =--，， O

x

y

z

P

A

B

C D

设n 为面PDC 的法向量，令00(,1)n x y =，

011,120

n PD n n PC ??=???

?=-?

????=??，，则PB 与面PCD 夹角θ有 sin cos ,1

n PB n PB n PB

θ?=<>=

=

⑶假设存在M 点使得BM ∥面PCD

设AM AP

λ=，()0,','M y z

由（2）知()0,1,0A ，()0,0,1P ，()0,1,1AP =-，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =-

有()0,1,AM AP M λλλ=?- ∴()1,,BM λλ=--

∵BM ∥面PCD ，n 为PCD 的法向量 ∴0BM n ?=

即1

02λλ-++=

∴1=4λ

∴综上，存在M 点，即当

1

4

AM AP =时，M 点即为所求.

2、（2016年山东高考）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一

条母线.

（I ）已知G ,H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ； （II ）已知EF =FB =

1

2

AC =，AB =BC .求二面角F BC A --的余弦值.

【解】(Ⅰ)连结FC ，取FC 的中点M ，连结HM GM,， 因为GM//EF ，EF 在上底面内，GM 不在上底面内， 所以GM//上底面，所以GM//平面ABC ； 又因为MH//B C ，?BC 平面ABC ，

?MH 平面ABC ，

所以MH//平面ABC ； 所以平面GHM//平面ABC ，

B

(Ⅱ) 连结OB ，

B C AB = OB A ⊥∴O

以为O 原点，分别以O O OB,OA,'为z y,x,轴， 建立空间直角坐标系．

BC AB ,32AC 2

1

FB EF ===

= ， 3)(22=--='FO BO BF O O ，

于是有)0,0,3A(2，)0,0,3C(-2，)0,3B(0,2，)3,3F(0,， 可得平面FBC 中的向量)3,(30,-BF =，)0,,(3232CB =, 于是得平面FBC 的一个法向量为)1,3,3(1-=n ， 又平面ABC 的一个法向量为)1,0,0(2=n ， 设二面角A -BC -F 为θ，

则777

1cos ==

=

θ． 二面角A -BC -F 的余弦值为7

7

．

3、（2016年上海高考）将边长为1的正方形11AAO O

（及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为2

3

π，11A B 长为

3

π

，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。

（1）求三棱锥111C O A B -的体积；

（2）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小。 【解析】

试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高1h =，底面半径1r =． 确定1113

π

∠A O B =

．计算111S ?O A B 后即得.

（2）设过点1B 的母线与下底面交于点B ，根据11//BB AA ，知1C ∠B B 或其补角为直线1C B 与1AA 所成的角．确定C 3

π

∠OB =

，C 1B =．得出1C 4

π

∠B B =

．

试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高1h =，底面半径1r =． 由11A B 的长为

3π，可知1113

π

∠A O B =．

11111111111sin 24

S ?O A B =

O A ?O B ?∠A O B =

111111C 1V 312

S h -O A B ?O A B =?=．

（2）设过点1B 的母线与下底面交于点B ，则11//BB AA ， 所以1C ∠B B 或其补角为直线1C B 与1AA 所成的角． 由C A 长为

23π，可知2C 3

π∠AO =， 又1113

π

∠AOB =∠A O B =

，所以C 3

π

∠OB =

，

从而C ?OB 为等边三角形，得C 1B =． 因为1B B ⊥平面C AO ，所以1C B B ⊥B ． 在1C ?B B 中，因为1C 2

π

∠B B =

，C 1B =，11B B =，所以1C 4

π

∠B B =

，

从而直线1C B 与1AA 所成的角的大小为

4

π

．

4、（2016年四川高考）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90ADC PAB ∠=∠=?，1

2

BC CD AD ==

，E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90?.

（I ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线//CM 平面PBE ，

并说明理由；

（II ）若二面角P CD A --的大小为45?，求直线PA 与

平面PCE 所成角的正弦值.

【解】（I ）延长AB ，交直线CD 于点M ， ∵E 为AD 中点，

∴1

=2AE ED AD =，

∵1

=2

BC CD AD =，

∴ED BC =，

∵//AD BC 即 //ED BC ，

∴四边形BCDE 为平行四边形，//BE CD ， ∵AB CD M =， ∴M CD ∈， ∴//CM BE ， ∵BE ?面PBE ， ∴//CM 面PBE ，

∵M AB ∈，AB ?面PAB ，

∴M ∈面PAB 故在面PAB 上可找到一点M 使得//CM 面PBE .

（II ）过A 作AF EC ⊥交EC 于点F ，连结PF ，过A 作AG PF ⊥交PF 于点G ， ∵90PAB =∠，PA 与CD 所成角为90， ∴PA AB ⊥，PA CD ⊥， ∵=AB CD M ，

∴PA ABCD ⊥， ∵EC ?面ABCD ， ∴PA EC ⊥，

∵EC AF ⊥且AF AP A =， ∴CE ⊥面PAF ， ∵AG ?面PAF ， ∴AG CE ⊥，

∵AG PF ⊥且AG AF A =， ∴AG ⊥面PFC ，

∴APF ∠为所求PA 与面PCE 所成的角， ∵PA ⊥面ABCD ，=90ADC ∠即AD DC ⊥. ∴PDA ∠为二面角P CD A --所成的平面角, 由题意可得=45PDA ∠，而=90PAD ∠, ∴PA AD =,

∵BC CD =,四边形BCDE 是平行四边形，=90ADM ∠， ∴四边形BCDE 是正方形， ∴45BEC =∠，

∴=45AEF BEC =∠∠，

∵90AFE =∠，

∴AF ，

∴4tan ==AD

AF APF AP AP =∠，

∴1

sin =3

APF ∠

.

5、（2016年天津高考）如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB =BE =2.

（I ）求证：EG ∥平面ADF ；

（II ）求二面角O -EF -C 的正弦值； （III ）设H 为线段AF 上的点，且AH =

2

3

HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值

.

【解析】（Ⅰ）证明：找到AD 中点I ，连结FI ，

∵矩形OBEF ,∴EF OB ∥

∵G 、I 是中点，∴GI 是ABD △的中位线

∴GI BD ∥且1

2

GI BD =

∵O 是正方形ABCD 中心

∴1

2

OB BD =

∴EF GI ∥且EF GI =

∴四边形EFIG 是平行四边形 ∴EG FI ∥

∵FI ?面ADF ∴EG ∥面ADF

（Ⅱ）O EF C --正弦值

解：如图所示建立空间直角坐标系O xyz -

z x

A

()00B ，

，)00C

，

，()

02E ，，()002F ，

， 设面CEF 的法向量()1n x y z =，，

(

)(

)

(

)(

)

110000220n EF x y z n CF x y z z ??=?=?

?

?=?=+=??

，，，，，

得：01x y z ?=?

=??=?

∴(

)

1201n =

，，

∵OC ⊥面OEF ，

∴面OEF 的法向量()

2100n =，，

121212

2cos 3n n n n n n ?<>=

=

=

，

12sin 1n n <>=， （Ⅲ）∵2

3

AH HF =

∴

)

224020555AH AF ?

===????

，， 设()H x y z ，，

∴()

40

5AH x y z ?

==????

，， 得：045x y z ?=

???

=???=

??

45BH ??

= ? ???

， 121

65cos 3BH n BH n BH n -?<>===

，

6、（2016年全国I 高考）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=，

且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60．

（I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值．

【解析】 ⑴

∵ABEF 为正方形 ∴AF EF ⊥ ∵90AFD ∠=? ∴AF DF ⊥ ∵=DF

EF F

∴AF ⊥面EFDC AF ⊥面ABEF ∴平面ABEF ⊥平面EFDC

⑵ 由⑴知60DFE CEF ∠=∠=? ∵AB EF ∥

AB ?平面EFDC EF ?平面EFDC

∴AB ∥平面ABCD

AB ?平面ABCD

∵面ABCD 面EFDC CD = ∴AB CD ∥,∴CD EF ∥ ∴四边形EFDC 为等腰梯形

以E 为原点，如图建立坐标系，设FD a =

()

()000020E B a ，，，，

()0220

2a C A a a ??

? ???

，，， ()020EB a =，，

，22a BC a ??

=- ? ???

，，()200AB a =-，， 设面BEC 法向量为()m x y z =，，. 00m EB m BC ??=???=??

，即111120202a y a x ay z ?=??

??-+?=??

11101x y z ===-，

(

)

301m =

-，，

设面ABC 法向量为()222n x y z =，， =00n BC n AB ?????=??

.即2222

20220a x ay ax ?-=?

??=? 22204x y z ===，

()

034n =，

设二面角E BC A --的大小为θ

. cos 3m n m n

θ?=

=

=

+? ∴二面角E BC A --的余弦值为

7、（2016年全国II 高考）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，5

4

AE CF ==

，EF 交BD 于点H ．将DEF ?沿EF 折到'D EF ?位置，OD '

= （Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ；

（Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．

【解析】⑴证明：∵5

4AE CF ==，∴AE CF AD CD

=，

∴EF AC ∥．

∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥， ∴EF BD ⊥，∴EF DH ⊥，∴EF D H '⊥． ∵6AC =，∴3AO =；

又5AB =，AO OB ⊥，∴4OB =， ∴1AE

OH OD AO

=

?=，

∴3DH D H '==， ∴2

2

2

'OD OH D H '=+， ∴'D H OH ⊥． 又∵OH EF H =I ， ∴'D H ⊥面ABCD ． ⑵建立如图坐标系H xyz -．

()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，，()130A -，，，

()430AB =uu u r ，，，()'133AD =-uuur ，，，()060AC =uuu r

，，， 设面'ABD 法向量()1n x y z =，，u r

，

由1100n AB n AD ??=??'?=??得430330

x y x y z +=??-++=?，取345x y z =??

=-??=?

， ∴()1345n =-u r

，，．

同理可得面'AD C 的法向量()2301n =u u r

，，，

∴1212cos n n n n θ?==

u r u u r

u r u u r ，

∴sin θ 8、（2016年全国III 高考）如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥地面ABCD ，AD

BC ，3AB AD AC ===，

4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．

（I ）证明MN

平面PAB ；

（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值

.

设),,(z y x =为平面PMN 的法向量，则?????=?=?00PM n ，即???

??=-+=-022

5042z y x z x ，可取)1,2,0(=，

于是25

5

8|||||,cos |=

=

>

.

9、（2016年浙江高考）如图,在三棱台ABC DEF -中,平面BCFE ⊥平面

ABC ,=90ACB ∠,BE =EF =FC =1,BC =2,AC =3.

(I)求证：BF ⊥平面ACFD ；

(II)求二面角B -AD -F 的平面角的余弦值.

（II ）方法一：

过点F 作FQ ⊥AK ，连结Q B ．

因为F B ⊥平面C A K ，所以F B ⊥AK ，则AK ⊥平面QF B ，所以Q B ⊥AK ． 所以，QF ∠B 是二面角D F B-A -的平面角．

在Rt C ?A K 中，C 3A =，C 2K =，得FQ 13

=

．

在Rt QF ?B 中，FQ 13=

，F B =cos QF 4

∠B =．

所以，二面角D F B-A -的平面角的余弦值为

4

．