(完整)认清“增根”和“无解”

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认清“增根”和“无解”

分式方程的增根是由于把分式方程转化为整式方程时,去掉了原分式方程中分母不为0的限制条件，从而扩大了未知数的取值范围,这样，整式方程的解可能使分式方程的分母为0，分式方程无意义．因此,这个解虽然是变形后整式方程的解，但不是原分式方程的解，即为增根．可见,增根不是原分式方程的解，但却是分式方程去分母后所得整式方程的解．

分式方程无解分两种情况：一是原分式方程化为整式方程后，该整式方程无解；二是分式方程去分母后所得整式方程有解，但该解却是分式方程的增根．

可见，分式方程有增根与无解是完全不相同的,它们既有联系，又有区别．增根是无解的一种特殊情形,分式方程无解应从两个方面考虑．

一、利用分式方程有增根确定字母的值

解题妙招：解决此类问题的一般步骤是:①把分式方程化为整式方程；②求出使最简公分母为0的未知数的值；③把未知数的值分别代入整式方程，求出字母系数的值．

例1 若分式方程11(1)(2)

x m x x x -=--+有增根，则m 的值为（ ） A.0或3 B 。1 C.1或2- D.3

解析：方程两边乘（x —1）（x+2)，得x(x+2）-（x-1）（x+2）=m.

解得x=m-2。

令(1)(2)0x x -+=，解得1x =或2x =-．

因为分式方程有增根,将1x =，2x =-分别代入x=m —2，得3m =或0m =．

所以3m =或0m =时，原分式方程有增根．故选A ．

二、利用分式方程无解求字母的值

解题妙招：解决此类问题，一定要从分式方程有增根和整式方程无解两个方面去考虑,以防出现漏解．

例2 若关于x 的分式方程311x a x x

--=-无解，则a 的值为 ． 解析：方程两边乘x （x —1），得x(x —a ）-3（x —1)=x(x —1）。化简,得(2)3a x +=．

当整式方程无解时，则20a +=，解得2a =-．

当分式方程有增根时，则最简公分母(1)0x x -=，解得0x =或1x =．

①当0x =时，a 无解；②当1x =时，1a =．

所以当1a =或a=2-时，原分式方程无解．故填1或2-．

分式方程的增根与无解的区别及联系

分式方程的增根与无解的区别及联系 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形： （一）原方程化去分母后的整式方程无解； （二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下： 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．② 解这个方程，得x=2． 经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根． 所以原方程无解． 【说明】显然，方程①中未知数x的取值范围是x≠2且x≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根．本题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零，所以x＝2是原方程的增根，原方程无解． 解：去分母后化为x－1＝3－x＋2（2＋x）． 整理得0x＝8． 因为此方程无解，所以原分式方程无解． 【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根． 方程两边都乘以x－2，得x－3=－m．

解这个方程，得x=3－m． 因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2， 所以2=3－m，解得m=1． 故当m=1时，原方程无解． 【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例． 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2） 整理得（a－1）x＝－10 ② 若原分式方程有增根，则x＝2或－2是方程②的根． 把x＝2或－2代入方程②中，解得，a＝－4或6． 【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值． 此时还要考虑转化后的整式方程（a－1）x＝－10本身无解的情况，解法如下： 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2） 整理得（a－1）x＝－10 ② 若原方程无解，则有两种情形： （1）当a－1＝0（即a＝1）时，方程②为0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解。 （2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为x＝2或－2，把x＝2或－2代入方程②中，求出a＝－4或6． 综上所述，a＝1或a＝一４或a＝6时，原分式方程无解． 结论：弄清分式方程的增根与无解的区别和联系,能帮助我们提高解分式方程的正确性,对判断方程解的情况有一定的指导意义．

分式方程的增根与无解

分式方程的增根与无解 分式方程的增根： 在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的解使最简公分母为0（使整式方程成立，而在分式方程中分母为0），那么这个解叫做原分式方程的增根。 【引例】：解方程2 13222x x x x -=-- 解：去分母，方程两边乘以(2)x x -， 得232x x --=- 解得0x = 检验，当0x =时(2)0x x -= 则0x =为原方程的增根 所以原方程无解. 说明：无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等。 如上题中，不论x 取何值，都不能使原方程两边的值相等，因此原方程无解。 又如对于方程20x =，不论x 取何值也不能使它成立，因此，这个方程也无解。 思考：是不是产生了增根的分式方程就是无解的，而无解的分式方程就一定会产生增根呢？ 比如：方程 22211x x x x x x +-=++，去分母后化为(3)(1)0x x -+=，解得3x =或1x =-，此时，1x =-是原方程的增根，但原方程并不是无解，而是有一个解3x =； 又比如分式方程21122x x =--，如果等式两边乘以最简公分母2(1)x -，去分母后的 整式方程无解，原分式方程无解。此时没有产生增根。而如果交叉相乘相等（即等式两边乘以2 2(1)x -）得到的整式方程的解为1x =，1x =为分式方程的增根。原分式方程无解。 因此分式方程增根的产生与分式方程转化为整式方程的过程有关。在分式方程转化为整式方程的过程中，去分母的方式不一样，得到增根的结果可能不一样。 再比如引例中，如果分式两边乘以公分母2(2)x x -， 得到整式方程为2(2)3(2)2(2)x x x x x ---=-，解得2x =，检验，当2x =时，原分式方程无意义，则2x =为原方程的增根。所以原方程无解。 所以，产生了增根的分式方程不一定无解，而无解的分式方程不一定会产生增根呢。

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(完整)认清“增根”和“无解” 第 1 页 共 1 页 认清“增根”和“无解” 分式方程的增根是由于把分式方程转化为整式方程时,去掉了原分式方程中分母不为0的限制条件，从而扩大了未知数的取值范围,这样，整式方程的解可能使分式方程的分母为0，分式方程无意义．因此,这个解虽然是变形后整式方程的解，但不是原分式方程的解，即为增根．可见,增根不是原分式方程的解，但却是分式方程去分母后所得整式方程的解． 分式方程无解分两种情况：一是原分式方程化为整式方程后，该整式方程无解；二是分式方程去分母后所得整式方程有解，但该解却是分式方程的增根． 可见，分式方程有增根与无解是完全不相同的,它们既有联系，又有区别．增根是无解的一种特殊情形,分式方程无解应从两个方面考虑． 一、利用分式方程有增根确定字母的值 解题妙招：解决此类问题的一般步骤是:①把分式方程化为整式方程；②求出使最简公分母为0的未知数的值；③把未知数的值分别代入整式方程，求出字母系数的值． 例1 若分式方程11(1)(2) x m x x x -=--+有增根，则m 的值为（ ） A.0或3 B 。1 C.1或2- D.3 解析：方程两边乘（x —1）（x+2)，得x(x+2）-（x-1）（x+2）=m. 解得x=m-2。 令(1)(2)0x x -+=，解得1x =或2x =-． 因为分式方程有增根,将1x =，2x =-分别代入x=m —2，得3m =或0m =． 所以3m =或0m =时，原分式方程有增根．故选A ． 二、利用分式方程无解求字母的值 解题妙招：解决此类问题，一定要从分式方程有增根和整式方程无解两个方面去考虑,以防出现漏解． 例2 若关于x 的分式方程311x a x x --=-无解，则a 的值为 ． 解析：方程两边乘x （x —1），得x(x —a ）-3（x —1)=x(x —1）。化简,得(2)3a x +=． 当整式方程无解时，则20a +=，解得2a =-． 当分式方程有增根时，则最简公分母(1)0x x -=，解得0x =或1x =． ①当0x =时，a 无解；②当1x =时，1a =． 所以当1a =或a=2-时，原分式方程无解．故填1或2-．

分式方程的增根与无解

分式方程的增根与无解 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念。分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解． 例1 解方程2 344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．② 解这个方程，得x=2． 经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根． 所以原方程无解． 【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x ≠2且x ≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x ＝2，恰好使公分母为零，所以x ＝2是原方程的增根，原方程无解． 例2 解方程22321++-=+-x x x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）． 整理得0x ＝8． 因为此方程无解，所以原分式方程无解． 【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根． 例3若方程 32x x --=2m x -无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ． 解这个方程，得x=3－m ．

(完整版)解分式方程及增根,无解的典型问题含答案

分式方程 1. 解分式方程的思路是： （1） 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。 （2） 解这个整式方程。 （3） 把整式方程的根带入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原 方程的增根，必须舍去。 （4） 写出原方程的根。 “一化二解三检验四总结” 例1：解方程214111 x x x +-=-- （1） 增根是使最简公分母值为零的未知数的值。 （2） 增根是整式方程的根但不是原分式方程的，所以解分式方程一定要验根。 例2：解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+有增根，则常数a 的值。 解：化整式方程的(1)10a x -=-由题意知增根2,x =或2x =-是整式方程的根，把2,x =代入得2210a -=-,解得4a =-,把2x =-代入得-2a+2=-10，解得6a = 所以4a =-或6a =时，原方程产生增根。 方法总结：1.化为整式方程。 2.把增根代入整式方程求出字母的值。 例3：解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+无解，则常数a 的值。 解：化整式方程的(1)10a x -=- 当10a -=时，整式方程无解。解得1a =原分式方程无解。 当10a -≠时，整式方程有解。当它的解为增根时原分式方程无解。 把增根2,x =或2x =-代入整式方程解得4a =-或6a =。 综上所述：当1a =或4a =-或6a =时原分式方程无解。 方法总结：1.化为整式方程。 2.把整式方程分为两种情况讨论，整式方程无解和整式方程的解为增根。 例4：若分式方程212 x a x +=--的解是正数，求a 的取值范围。 解：解方程的23a x -=且2x ≠，由题意得不等式组：2-a 032-a 23 >≠解得2a <且4a ≠- 思考：1.若此方程解为非正数呢？答案是多少？ 2．若此方程无解a 的值是多少？ 方程总结：1. 化为整式方程求根，但是不能是增根。 2.根据题意列不等式组。

分式方程的增根与无解

如何正确理解分式方程的增根与无解 在分式方程教学中，我们要知道分式方程的增根与无解的意义是有区别的，分式方程有增根，一定是化简后整式方程的解（或根），分式方程无解不一定是化简后整式方程的解（或根），因而分式方程不一定有增根。 分式方程的增根是指在把分式方程是指把分式方程转化为整式方程时，即在去分母的过程中，因为分母含有未知数的字母，无形中可能使分式两边同时乘以一个为0的数，这样就导致未知数字母的取值范围扩大，使得方程的解可能是整式方程的解，但不一定是原分式方程的解.如果整式方程的解使原分式方程的分母为0，那么为个解（或根）就是分式方程的增根.；如果整式方程的解使原分式方程的分母不为0，那么为个解（或根）就是分式方程的根.所以说，分式方程的增根一定是去分母化简后整式方程的根，且使原分式方程中的分母等于0. 分式方程无解有两种情况：一种是增根使分式方程无解，与上面理由相同；另一种是化简后整式方程无解而导致分式方程无解.我们知道一元一次方程标准形式中0=+b ax ，当0≠a 时，一元一次方程有解（或根）；当0=a ，0≠b 时，左边＝b ，右边＝0，有左边≠右边，从而一元一次方程无解，导致原分式方程无解。 综上所述，可简记为：“分式方程有增根?分母＝0”；“分式方程无解??????00未知数的系数＝ 整式方程无解分母＝分式方程无解”. 例1、 若关于x 的方程x m x x -=--113产生增根，求常数m 的值. 解：去分母，方程两边同乘以)1(-x 得 m x -=-3 分式方程有增根 ∴ 01=-x 解得：1=x 把1=x 代入m x -=-3 有m -=-31 ∴ 2=m 小结：解分式方程有增根一般通过三个步骤，求出字母系数的值：一是先把分式方程化为整式方程；二是求出分母为0时x 的值；三是把x 的值代入整式方程，求出字母系数的值.

分式方程无解和增根的区别

分式方程无解和增根的区别 分式方程无解和增跟的区别有哪些呢?想来大部分同学都忘记了。下面是由小编小编为大家整理的“分式方程无解和增根的区别”，仅供参考，欢迎大家阅读。 无解指在规定范围和条件内，没有任何数可以满足方程。 增根是指可以通过方程求出，但是不满足条件只能舍去的解。常见于分式方程。 分式方程是方程中的一种，是指分母里含有未知数的有理方程，或者等号左右两边至少有一项含有未知数，该部分知识属于初等数学知识. ①去分母 方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时。不要忘了改变符号。 (最简公分母：①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂) ②移项 移项，若有括号应先去括号，注意变号，合并同类项，把系数化为1 求出未知数的值; ③验根(解) 求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根。 验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根都是增根，则原方程无解。 如果分式本身约分了，也要代入进去检验。 在列分式方程解应用题时，不仅要检验所得解的是否满足方程式，还要检验是否符合题意。 一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解. (1)注意去分母时，不要漏乘整式项。 (2)増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。 (3)増根使最简公分母等于0。 (4)分式方程中，如果x为分母，则x应不等于0。

分式方程的增根与无解

谈分式方程的增根与无解 (锦培优林老师) 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．（通过上面总结：无解可以分为两种情况：1、方程本身无解2、有增根） 现举例说明如下： 例1 解方程2344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②

解这个方程，得x=2． 经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．所以原方程无解． 【说明】显然，方程①中未知数x的取值范围是x≠2且x≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零，所以x＝2是原方程的增根，原方程无解． 例2 解方程 2 2 3 2 1 + + - = + - x x x x ． 解：去分母后化为x－1＝3－x＋2（2＋x）． 整理得0x＝8． 因为此方程无解，所以原分式方程无解． 【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根． 例3（2007湖北荆门）若方程 3 2 x x - -=2 m x -无解，则m= ——————． 解：原方程可化为 3 2 x x - -=－2 m x-． 方程两边都乘以x－2，得x－3=－m．

分式方程的增根与无解

例谈分式方程的增根与无解 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解； （二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下： 例1 解方程2344222+=---x x x x ．① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．② 解这个方程，得x=2． 经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．

所以原方程无解． 【说明】显然，方程①中未知数x的取值范围是x≠2且x≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根．本题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零，所以x＝2是原方程的增根，原方程无解． 例2 解方程 2 2 3 2 1 + + - = + - x x x x ． 解：去分母后化为x－1＝3－x＋2（2＋x）． 整理得0x＝8． 因为此方程无解，所以原分式方程无解． 【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根． 例3（2007湖北荆门）若方程 3 2 x x - -=2 m x -无解，则m= ——————． 解：原方程可化为 3 2 x x - -=－2 m x-． 方程两边都乘以x－2，得x－3=－m． 解这个方程，得x=3－m． 因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2， 所以2=3－m，解得m=1．

(完整版)分式方程的增根与无解

分式方程的增根与无解 甲：增根是什么？ 乙:增根是解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一变形中，由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值.比如 例1、解方程：。① 为了去分母，方程两边乘以，得② 由②解得。 甲：原方程的解是. 乙：可是当时，原方程两边的值相等吗？ 甲：这我可没注意，检验一下不就知道了。哟!当时，原方程有的项的分母为0，没有意义，是不是方程变形过程中搞错啦? 乙:求解过程完全正确,没有任何的差错。 甲:那为什么会出现这种情况呢？ 乙：因为原来方程①中未知数x的取值范围是且，而去分母化为整式方程②后,未知数x的取值范围扩大为全体实数。这样，从方程②解出的未知数的值就有可能不是方程①的解。甲:如此说来，从方程①变形为方程②，这种变形并不能保证两个方程的解相同，那么,如何知道从整式方程②解出的未知数的值是或不是原方程①的解呢？

乙:很简单,两个字：检验。可以把方程②解出的未知数的值一一代入去分母时方程两边所乘的那个公分母,看是否使公分母等于0，如果公分母为0,则说明这个值是增根，否则就是原方程的解。 甲：那么，这个题中就是增根了，可原方程的解又是什么呢？ 乙：原方程无解。 甲：啊？！为什么会无解呢？ 乙：无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等,如上题中,不论x取何值,都不能使方程①两边的值相等,因此原方程无解，又如对于方程，不论x取何值也不能使它成立，因此,这个方程也无解. 甲：是不是有增根的分式方程就是无解的，而无解的分式方程就一定有增根呢？ 乙：不是！有增根的分式方程不一定无解,无解的分式方程也不一定有增根,你看： 例2、解方程, 去分母后化为，解得或，此时，是增根，但原方程并不是无解，而是有一个解，而方程,去分母后化为，原方程虽然无解，但原方程也没有增根。 乙：增根不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解，利用这种关系可以解决分式方程的有关问题，你看：

苏科版数学八年级下册_分式方程的“增根”与“无解”

分式方程的“增根”与“无解” 学习了解分式方程以后，我们便知道了“增根”的知识，不少同学对“增根”与“无解”混为一谈，甚至根本无法理解，为了说明这两个概念，现帮助同学们重新定位. 一、增根的概念 将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根. 如，若方程2m x -+3＝12x x +-有增根，则这个增根一定是x ＝2. 二、分式方程增根产生的原因 在解分式方程的关键是要将分式方程转化为整式方程，而转化的关键又是去分母，由于对原分式方程的解来说，它必须使分式方程中各分式分母的值不为零，而对约去分母后得到的整式方程来说，却不要求分母的值非零，因为整式方程中各分母都是已知数，零不能作分母，当所得到的整式方程的某一根使原分式方程中至少有一个分式的分母为零时，即这个分母实际上是去分母时最简公分母的一个因式，那么最简公分母(整式)的值为零，即去分母过程中就相当于在方程两边同时乘以了0，不符合等式性质的要求，所以这个整式方程的根不适合原分式方程，它就是增根，因而，解分式方程时，必须要检验. 三、无解的概念 分式方程无解有两种情形：一是将原分式方程两边都乘以最简公分母，约去分母得到整理后的整式方程为ax ＝b ，此时若a ＝0，而b ≠0，则此整式方程无解，即原分式方程无解；二是化分式方程为整式方程，此整式方程的解是原分式方程增根，此时分式方程无解. 如，若关于x 方程1 1-+x ax －1＝0无解，试求a 的值. 将原方程去分母转化为(a －1)x +2＝0，即(a －1)x ＝－2.此时，一方面，当a －1＝0，即a ＝1时，此时整式方程无解，所以当a ＝1时，原方程无解.另一方面，对于方程(a －1)x +2＝0，当x ＝1时，原方程无解.所以当(a －1)×1+2＝0，即a ＝－1时，原方程无解.所以 a 的值为1或－1. 在解本题时，注意考虑问题要全面，不要只考虑当原分式方程有增根时的情

八年级数学上册(人教课标)同步讲解：第十五章 认清“增根”和“无解”

分式方程的增根是由于把分式方程转化为整式方程时，去掉了原分式方程中分母不为的限制条件，从而扩大了未知数的取值范围，这样，整式方程的解可能使分式方程的分母为，分式方程无意义．因此，这个解虽然是变形后整式方程的解，但不是原分式方程的解，即为增根．可见，增根不是原分式方程的解，但却是分式方程去分母后所得整式方程的解． 分式方程无解分两种情况：一是原分式方程化为整式方程后，该整式方程无解；二是分式方程去分母后所得整式方程有解，但该解却是分式方程的增根． 可见，分式方程有增根与无解是完全不相同的，它们既有联系，又有区别．增根是无解的一种特殊情形，分式方程无解应从两个方面考虑． 一、利用分式方程有增根确定字母的值 解题妙招：解决此类问题的一般步骤是：①把分式方程化为整式方程；②求出使最简公分母为的未知数的值；③把未知数的值分别代入整式方程，求出字母系数的值． 例1 若分式方程无解，则的值为（） A.或 B. C.或 D. 解析：方程两边乘（x-1）（x+2），得x（x+2）-（x-1）（x+2）=m. 解得x=m-2. 令，解得或． 因为分式方程无解，将，分别代入x=m-2，得或． 所以或时，原分式方程无解．故选A． 二、利用分式方程无解求字母的值 解题妙招：解决此类问题，一定要从分式方程有增根和整式方程无解两个方面去考虑，以防出现漏解．例2 若关于的分式方程无解，则的值为． 解析：方程两边乘x（x-1），得x（x-a）-3（x-1）=x（x-1）.化简，得． 当整式方程无解时，则，解得． 当分式方程有增根时，则最简公分母，解得或． ①时，无解；②当时，． 所以当或a=时，原分式方程无解．故填或．

分式方程的增根和无解

分式方程的增根和无解 黄石市白马山学校 胡优武 知识重点： 同学们在平时解答分式方程时，经常对分式方程的增根和无解混淆不清，容易错解、 漏解。为了学生好区分这两个概念，特制定以下例子加以说明。 （一）所求出的根使分式方程分母为零，这个根叫增根。假定分母为零的值不一定是分式方程的增根。 例1：若解关于x 的分式方程2 34222+=-+-x x mx x 会产生增根，求m 的值． 解：方程两边都乘最简公分母（x+2）（x-2），得 2（x+2）+mx=3（x-2） ∵最简公分母为（x+2）（x-2）， ∴原方程增根为x=±2， ∴把x=2代入整式方程，得m=-4． 把x=-2代入整式方程，得m=6． 综上，可知m=-4或6． 本例具有常规性，一般学生都可以看出增根是x=±2，从而求出两个m 的值。 例2：关于分式方程x x x x x +=-+-2227163增根的情况，说法正确的是（ ） A ．有增根是0和-1 B ．有增根是0和1、-1 C ．有增根是-1 D ．有增根是1 一般的学生会假定最简公分母x(x+1)(x-1)=0，得出B 选项，那么就错了。大家先看看解答过程。 解：方程两边乘以最简公分母为x （x+1）（x-1），得 3（x+1）-6x=7（x-1）， x=1； 当x=1时，x （x+1）（x-1）=0， x=1是增根．原方程无解 故选D ． 以上说明面对分式方程增根时，不能通过假定分母为零的所有x 的值是方程增根，必须动手计算。 （二）分式方程得的无解，要从两个角度分析，①无解：使分式方程分母为零的根叫增根，此时分式方程无解。 ②无解：分式方程化成整式方程ax=b ， 当 a=0 ,b ≠0时，方程无解。 例3：若关于x 的分式方程131=---x x m x 无解，求m 的值． 解：方程两边同时乘以x （x-1）得， x （x-m ）-3（x-1）=x （x-1）， 整理得 (m+2）x=3 ①当x=0时原分式方程无解，此时0=3，无意义； ②当x=1时原分式方程无解，此时解得m=1． ③当m+2=0时，即m=-2时， 整式方程(m+2）x=3无解，即原分式方程无解．

增根和无解的区别例题

增根和无解的区别例题增根和无解的区别例题 在初中阶段的数学学习中，方程的解法是一个十分重要的内容，而在方程解法中，增根和无解是一些同学容易混淆的概念，接下来将进行详细的介绍和例题讲解。 一、何为增根？ 所谓增根，是指在解方程过程中，当系数或常数发生变化时，方程的解也随之改变，但方程的解的数量并未减少，反而增加了。 二、何为无解？ 所谓无解，是指在解方程过程中，当系数或常数发生变化时，方程的解变为了不存在，即原来有解，但随着系数或常数的变化，解的位置从实数集中移动至空集中。 三、区别和例题 在例题中，我们将以二元一次方程组为例来说明增根和无解的区别： 例1：求解方程组 $\begin{cases}2x+y=4\\4x+2y=8\end{cases}$ 解：该方程组解的一般形式为： $\begin{cases}2x+y=4\\4x+2y=8\end{cases}$ $\Leftrig htarrow$ $\begin{cases}y=4-2x\\y=4- 2x\end{cases}$ 将第一个式子带入第二个式子中，则得

到： $4x+2(4-2x)=8$ $4x+8-4x=8$ $8=8$ 由此可见，该方程组有无数组解，即可以看做是同一直线上任意两个不同的点。 因此，从上述例子中可以看出，增根的概念就是当方程组的系数/常数发生变化时，解的数量随之增加，但仍有解。 而下面这个例子是一个无解的情况： 例2：求解方程组 $\begin{cases}x+2y=3\\3x+6y=5\end{cases}$ 解：该方程组解的一般形式为： $\begin{cases}x+2y=3\\3x+6y=5\end{cases}$ $\Leftrig htarrow$ $\begin{cases}y=\dfrac{3- x}{2}\\y=\dfrac{5-3x}{6}\end{cases}$ 将第一个式子带入第二个式子中，则得到： $5-3x=9-3x$ $-4=0$ 由此可见，该方程组无解。 因此，从上述例子中可以看出，无解的概念就是当方程组的系数/常数发生变化时，解的数量减少至0，即无解。 总结： 综上所述，增根和无解是初中阶段数学中十分重要的概念，要能够在解题时灵活掌握，通过以上例子的学习，希望同学们能够对增根和无解有一个更加清晰的认识。