【导数专题(一)】导数在研究函数单调性中的应用

导数在研究函数单调性中的应用

一、亮点

1.函数在高考数学中占据最重要的部分. 单调性是用来刻画图像变化趋势的重要函数特征，

是必考知识点；

2.导数作为研究函数的一种重要工具，尤其利用导数研究单调性，是学生必须要掌握的研

究函数的重要方法；

3.让学生深入掌握导数与函数单调性之间的联系，做到“形”与“数”之间进行灵活等价转换，

是利用导数研究函数单调性核心的价值点.

二、教学目标

1.学生能掌握利用导数判断函数单调性的基本方法；

2.学生能熟练利用导数，求出函数的单调区间；

3.学生深入理解，并灵活使用导数工具，解决含参数单调性的问题.

三、考情总结

用导数研究函数的单调性，高考主要分以下两种题型进行考察：

1.题目条件中函数不含参数

此类题型主要以考察基础为主，要求学生能够正确求导，并通过导数判断函数的单调性.

2.题目条件中函数含参数

此类题型有一定难度，要求学生对含有参数的函数进行求导，然后通过题目条件利用导数工具“数形结合”地进行求解. 特别注意的是，此类题目经常需要对参数进行讨论，要注意定义域优先、边界等号是否能取到、区间开闭等各种细节问题. 对学生学习和老师的教学要求较高.

四、知识详情

1.若函数f(x)在区间(a,b)内连续并且可导，那么

①若f′(x)≥0,则函数f(x)在(a,b)内单调递增

②若f′(x)≤0,则函数f(x)在(a,b)内为减函数

③若f′(x)≡0,则函数f(x)在(a,b)内为常数函数

这个知识点可用来求函数的单调区间.

2.求函数单调区间步骤

（1）求函数定义域

（2）求导f′(x)

（3）令f′(x)>0解出单调增区间

（4）令f′(x)<0解出单调减区间

3.若函数f(x)在区间(a,b)内连续并且可导，且在任意连续的区间内不是常数函数

．．．．．．．．．．．．．．，那么

①若f(x)在(a,b)内单调递增?f′(x)≥0在x∈(a,b)内恒成立

②若f(x)在(a,b)内单调递减?f′(x)≤0在x∈(a,b)内恒成立

这个知识点使用必须注意

（1）要优先判断函数是否是常数函数

（2）注意等号问题. 在排除常数函数的前提下，某孤立点处导数为0，并不影响整体单调性，所以等号要取. 可用f(x)=x3为例进行讲解.

（3）这个知识点常用于解决已知含参数函数单调性，求参数范围问题.

五、典型例题

例1：（江苏省苏州市外国语学校2017~2018学年高二期中考）求函数f(x)=

(x3+3x2?3x?3)e?x的单调区间

【推荐理由】夯实基础题，可以直接使用导数，求单调性，让学生明确导数求单调性的典型步骤

【思路点拨】先对表达式进行求导，再解导数不等式，求解单调区间

【点评】此题涉及到求导方法，综合了复合函数求导、乘积求导等基本求导运算。此题也同时让学生明确典型的求函数单调性的基本步骤。

【答案】第一步：先确定定义域，f(x)定义域为R，

第二步：求导：f′(x)=(3x2+6x?3)e?x?(x3+3x2?3x?3)e?x=?(x3?9x)e?x

=?x(x?3)(x+3)e?x，

第三步：令f′(x)>0，即?x(x?3)(x+3)e?x>0，

第四步：处理恒正恒负的因式，可得x(x?3)(x+3)<0，

第五步：求解x ∈(?3,0)∪(3,+∞)，列出表格

例2：【2018-2019学年江苏省宿迁市高三(上)期末数学试卷】

已知函数f(x)=x

lnx ，求函数y =f(x)的定义域和单调区间 【推荐理由】易错题，注意定义域优先 【思路点拨】先求定义域，再求导数

【点评】此题式易错题，注意优先考虑函数定义域

【答案】解：(1)由{lnx ≠0

x >0得y =f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞)，

∴f′(x)=lnx?1ln 2x

，

由f′(x)=lnx?1ln 2x >0得x ∈(e,+∞)， 由f′(x)=

lnx?1ln 2x

<0得x ∈(0,1)∪(1,e)，

所以y =f(x)的单调增区间为x ∈(e,+∞)， 单调减区间为x ∈(0,1)和(1,e)；

例1：（2018-2019学年江苏省扬州市高二(上)期末）函数f(x)=x 3?3x +2的单调递减区间为______．

【推荐理由】夯实基础题，可以直接使用导数，求单调性，让学生明确导数求单调性的典型步骤

【思路点拨】求导，解导数不等式，求出单调区间

【点评】让学生明确利用导数求单调性的基本步骤，巩固基本方法. 典型三次函数问题. 【答案】(?1,1)

【解析】解：(1)∵f(x)=x 3?3x +2， ∴f′(x)=3x 2?3，

由f′(x)<0得，?1

∴f(x)=x3?3x+2的单调递减区间为：(?1,1)；

故答案为：(?1,1)．

由f(x)=x3?3x+2，知f′(x)=3x2?3，由此能求出f(x)=x3?3x+2的单调递减区间．

本题考查函数的单调性的求法，解题时要认真审题，仔细解答．

例3：（2017-2018学年江苏省南通市通州区高二(下) 期中）函数y=1

2

x?sinx(x∈

[?π

2,π

2

])的单调递减区间为______．

【推荐理由】易错题，三角函数与导数的结合

【思路点拨】求导，解导数不等式，求出单调区间

【点评】关键需要学生求导后，正确解出三角不等式，同时需要注意自变量的取值范围问题.

【答案】[?π

3,π3 ]

【分析】

本题考查利用导数分析函数的单调区间，注意函数的单调性与函数导数的关系．

根据题意，由函数的解析式求出函数的导数，解y′=1

2

?cosx≤0可得x的取值范围，由函数的导数与函数单调性的关系，分析可得答案．

【解答】

解：根据题意，函数y=1

2

x?sinx，

其导数y′=1

2

?cosx，

若y′=1

2?cosx≤0，则cosx≥1

2

，

又由x∈[?π

2,π

2

]，则?π

3

≤x≤π

3

，

则函数的递减区间为[?π

3,π

3 ]；

故答案为：[?π

3,π3 ].

例4：（2018-2019学年常州市高二(上)期末）若函数f(x)=kx?lnx在区间(1,+∞)上单调递增，则k的取值范围是()

A. (?∞,?2]

B. (?∞,?1]

C. [2,+∞)

D. [1,+∞)

【推荐理由】易错题

【思路点拨】先考虑定义，再求导

【点评】（1）定义域很多学生容易遗漏，此题需要考虑. （2）解决不等式恒成立问题，区间端点是否能取到，要仔细思考.

【答案】D

【分析】

本题考查利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．

求出导函数f′(x)，由于函数f(x)=kx?lnx在区间(1,+∞)单调递增，可得f′(x)≥0在区间(1,+∞)上恒成立，解出即可．

【解答】

，

解：f′(x)=k?1

x

∵函数f(x)=kx?lnx在区间(1,+∞)单调递增，

∴f′(x)≥0在区间(1,+∞)上恒成立．

∴k≥1

，

x

在区间(1,+∞)上单调递减，

而y=1

x

∴k≥1．

∴k的取值范围是：[1,+∞)．

故选D．

六、拓展应用

1、知识拓展

【拓展类型一】

对于导数结构比较复杂的问题. 有时需要构造函数

．．．．，凑配题设条件，然后解决问题.

【拓展类型二】

对于题目条件已知函数单调性，求参数范围问题. 基本上由两种思路（1）求导后，用不等式恒成立思想，常使用分离参数方法，求出参数范围. （2）观察整体函数图形随参数变化的形态，利用“数形结合”来解决问题.

【拓展类型三】

对于含参数的函数，确定单调区间问题. 需要对参数进行讨论，抓住参数对导数的正负

．．．．．性．的决定作用这个关键点切入解题.

2、典型例题

类型一：构造函数，求导解题

例题1：（江苏省苏州市外国语学校2017~2018学年高三期末）

已知函数f(x)=1

2x2+ln x.求证：在区间(1,?+∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)=2

3

x3的

图象的下方.

【推荐理由】典型题，需要构造函数解题，转为证明函数单调性，求最值问题解决

【答案】设F(x)=g(x)?f(x)，即F(x)=2

3x3?1

2

x2?ln x，

则F′(x)=2x2?x?1

x =(x?1)(2x2+x+1)

x

当x>1时，F′(x)=(x?1)(2x2+x+1)

x

从而F(x)在(1,?+∞)上为增函数，∴F(x)>F(1)=1

6

>0∴当x>1时g(x)?f(x)>0，即f(x)

故在区间(1,?+∞)上，函数

)

(x

f的图象在函数g(x)=2

3

x3的图象的下方。

例题2：（江苏省无锡锡山高级中学2017~2018高二期中）

若函数y=f(x)在R 上可导且满足不等式x f ′(x) >－f(x)恒成立，且常数a ，b 满足a >b ，那么 af (a ) 和bf(b)的大小关系为___________ 【推荐理由】易错题，由导数特征联想到构造函数 【答案】>

由已知 x f ′(x) +f(x) >0 ∴构造函数 F(x)=xf(x)， 则F ′(x)= xf ′(x) +f(x)>0， 从而F(x)在R 上为增函数。

a >

b ∴F(a)>F(b) 即 af (a )>bf(b)

例题3：（2018~2019学年江苏省扬州市高二(上)期末）已知可导函数f(x)的定义域为R ，f(1)=2，其导函数f′(x)满足f′(x)>3x 2，则不等式f(2x)<8x 3+1的解集为______． 【推荐理由】易错题，思路不易寻找，需要构造函数解题. 【答案】(?∞,1

2)

【解析】解：不等式f(2x)<8x 3+1， 构造函数F(x)=f(x)?x 3?1，则 F′(x)=f′(x)?3x 2>0， ∴函数F(x)在R 上单调递增函数， ∵f(x)

∴f(x)?x 3?1

2)=f(2×1

2)?8×(1

2)3?1=0， f(2x)?8x 3?1<0， 即F(x)

2)，

根据函数F(x)在R 上单调递增函数可知x <1

2． 故答案为：(?∞,1

2).

先构造函数F(x)=f(x)?x 3?1，根据条件求出函数F(x)的单调性，结合不等式f(x)

本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，解决本题的关键是构造法的运用，属于基础题．

例题4：（2018年江苏省高考数学二模预测卷）已知函数f ′(x)是函数f(x)在定义域上的导数，f(0)=1且f ′(x)?2f(x)=2，则不等式f(ln(x 2?x))<7的解集是______． 【推荐理由】易错题，思路不易寻找，需要构造函数解题. 【答案】(?1,0)∪(1,2) 【解析】【分析】

本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，不等式求解，也考查了构造函数的解题方法，属于较难题．

首先构造新函数，再利用此函数的单调性，求解不等式即可． 【解答】

解：构造函数f(x)=2e 2x ?1，满足f(0)=1且f ′(x)?2f(x)=2， f(ln2)=2e 2ln2?1=7， 又f(x)=2e 2x ?1，x ∈R ，

则f ′(x)=4e 2x >0，所以f(x)在R 上是单调增函数； 所以不等式f(ln(x 2?x))<7等价于ln(x 2?x)

即{x 2

?x >0x 2?x <2

， 解得{x >1或x <0?1

即?1

所以该不等式的解集为(?1,0)∪(1,2)． 故答案为(?1,0)∪(1,2)．

类型三：已知函数单调性，求参数范围问题.

例题1:（2017-2018学年江苏省徐州市高二(上)期末）设f(x)=4x 3+mx 2+(m ?3)x +n(m,n ∈R)是R 上的单调增函数，则m 的值为______． 【推荐理由】典型题，三次函数求导转化为二次函数问题 【答案】6

【解析】解：根据题意，得f′(x)=12x 2+2mx +m ?3， ∵f(x)是R 上的单调增函数，

∴f′(x)≥0，

∴△=(2m)2?4×12×(m?3)≤0

即4(m?6)2≤0，

所以m=6，

故答案为：6．

由函数为单调增函数可得f′(x)≥0，故只需△≤0即可．

本题考查函数的单调性，利用二次函数根的判别式小于等于0是解决本题的关键，属中档题．

x2?alnx 例题2：（2017-2018学年江苏省淮安市高二(上)期末数学试卷）若函数f(x)=1

2

在其定义域内的一个子区间(a?2,a+2)上不单调，则实数a的取值范围是______．

【推荐理由】易错题，“不单调”条件的把握需要仔细思考.

【答案】[2,4)

【解析】解：函数f(x)的定义域是(0,+∞)，

故a?2≥0，解得：a≥2，

而f′(x)=x?a

，

x

=0，解得：x=√a，

令x?a

x

由题意得：a?2<√a

解得：0≤a<4，

综上：a∈[2,4)，

故答案为：[2,4)．

求出函数的导数，结合函数的定义域得到关于a的不等式，解出即可．

本题考查了函数的单调性问题，导数的应用，是一道常规题．

例题3：（2017年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学一模试卷）已知函数f(x)=(x+ 1)lnx?ax+a(a为正实数，且为常数)，若f(x)在(0,+∞)上单调递增，求a的取值范围；

【推荐理由】典型题，分参解决.

+1?a，

【答案】解：(1)f(x)=(x+1)lnx?ax+a，f′(x)=lnx+1

x

若f(x)在(0,+∞)上单调递增，

+1在(0,+∞)恒成立，(a>0)，

则a≤lnx+1

x

+1，(x>0)，

令g(x)=lnx+1

x

g′(x)=x?1

，

x2

令g′(x)>0，解得：x>1，令g′(x)<0，解得：0

故g(x)在(0,1)递减，在(1,+∞)递增，

故g(x)min=g(1)=2，

故0

例题4：（2018年江苏省徐州市铜山区高考数学热身试卷）已知函数f(x)=(x2?3x+ 3)e x， t>?2．试确定t的取值范围，使得函数f(x)在[?2,t]上为单调函数

【推荐理由】易错题，“数形结合”的基本思想

【答案】解：因为f′(x)=x(x?1)·e x，

令f′(x)>0，得：x>1或x<0，令f′(x)<0，得：0

所以f(x)在(?∞,0)，(1,+∞)上递增，在(0,1)上递减，

要使f(x)在[?2,t]为单调函数，则?2

所以t的取值范围为(?2,0]；

类型三：含参数的函数，确定单调区间问题

例题1：（2016年江苏省苏州中学高二（下）期末）函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)在区间(1,2)上是增函数，求a的取值范围．

【推荐理由】典型题，三次函数问题，注意讨论

【答案】解：(1)函数f(x)=ax3+3x2+3x，

∴f′(x)=3ax2+6x+3，

令f′(x)=0，即3ax2+6x+3=0，则△=36(1?a)，

①若a≥1时，则△≤0，f′(x)≥0，∴f(x)在R上是增函数；

②因为a≠0，∴当a≤1，△>0，f′(x)=0方程有两个根，x1=?1+√1?a

a ，x2=?1?√1?a

a

，

当00，故函数在(?∞,x2)或(x1,+∞)是增函数；在(x2,x1)是减函数；

当a<0时，则当x∈(?∞,x1)或(x2,+∞)时，f′(x)<0，故函数在(?∞,x1)或(x2,+∞)是减函数；在(x1,x2)是增函数；

(2)当a>0，x>0时，f′(x)=3ax2+6x+3>0恒成立，故a>0时，f(x)在区间(1,2)是增函数，

当a<0时，f(x)在区间(1,2)是增函数，

当且仅当：f′(1)≥0且f′(2)≥0，解得?5

4

≤a<0，

所以a的取值范围[?5

4

,0)∪(0,+∞)．

例题2：（2018-2019学年南京南师大附中高二(下)期末）已知函数f(x)=lnx+ax2+ (2a+1)x．讨论f(x)的单调性；

【推荐理由】易错题，对参数讨论，注意定义域优先.

【答案】(1)解：因为f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x，且f(x)的定义域为{x|x>0}，

所以f′(x)=1

x +2ax+(2a+1)=2ax2+(2a+1)x+1

x

=(2ax+1)(x+1)

x

，

①当a=0时，f′(x)=1

x

+1>0恒成立，此时y=f(x)在(0,+∞)上单调递增；

②当a>0，由于x>0，所以(2ax+1)(x+1)>0恒成立，此时y=f(x)在(0,+∞)上单调递增；

③当a<0时，令f′(x)=0，解得：x=?1

2a

，

因为当x∈(0,?1

2a )时f′(x)>0；当x∈(?1

2a

,+∞)时，f′(x)<0，

所以y=f(x)在(0,?1

2a )上单调递增、在(?1

2a

,+∞)上单调递减；

综上可知：当a≥0时f(x)在(0,+∞)上单调递增，

当a<0时，f(x)在(0,?1

2a )上单调递增、在(?1

2a

,+∞)上单调递减.

例题3：（2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) ）已知函数f(x)=x3+ax2+ b(a,b∈R)．试讨论f(x)的单调性

【推荐理由】高考题，典型题

【答案】解：∵f(x)=x3+ax2+b，

∴f′(x)=3x2+2ax，

令f′(x)=0，可得x=0或?2a

3

．

a=0时，f′(x)>0，∴f(x)在(?∞,+∞)上单调递增；

a>0时，x∈(?∞,?2a

3)∪(0,+∞)时，f′(x)>0，x∈(?2a

3

,0)时，f′(x)<0，

∴函数f(x)在(?∞,?2a

3)，(0,+∞)上单调递增，在(?2a

3

,0)上单调递减；

a<0时，x∈(?∞,0)∪(?2a

3,+∞)时，f′(x)>0，x∈(0,?2a

3

)时，f′(x)<0，

∴函数f(x)在(?∞,0)，(?2a

3,+∞)上单调递增，在(0,?2a

3

)上单调递减；

例题4：（2017年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国1卷) ）已知函数f(x)= e x(e x?a)?a2x.讨论f(x)的单调性；

【推荐理由】高考题，典型题

【答案】解：(1)f(x)=e x(e x?a)?a2x=e2x?e x a?a2x，

∴f′(x)=2e2x?ae x?a2=(2e x+a)(e x?a)，

①当a=0时，f′(x)>0恒成立，∴f(x)在R上单调递增，

②当a>0时，2e x+a>0，令f′(x)=0，解得x=lna，

当x

当x>lna时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，

③当a<0时，e x?a>0，令f′(x)=0，解得x=ln(?a

2

)，

当x

2

)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，

当x>ln(?a

2

)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，

综上所述，当a=0时，f(x)在R上单调递增，

当a>0时，f(x)在(?∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，

当a<0时，f(x)在(?∞,ln(?a

2))上单调递减，在(ln(?a

2

),+∞)上单调递增，

知识点一-导数与函数的单调性

1.函数的单调性：在某个区间( a,b )内，如果f (x) . 0 ,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果f (x) ：：：0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减?如果f(x)=0,那么函数y = f(x)在这个区间上是常数函数? 注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x)亠0，f (x) . 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的充分不必要条件? 2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为 负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正. 一般地，当函数 y = f(x)在点沧处连续时，判断f(X。)是极大(小)值的方法是： (1)如果在X。附近的左侧f ' (x) 0 ，右侧f'(x)：：： ，那么f(X0)是极大值. (2)如果在X o附近的左侧f '(X)：：：0 ,右侧f'(x) 0，那么f(X0)是极小值. 注：导数为0的点不一定是极值点 知识点一：导数与函数的单调性 方法归纳： 在某个区间(a,b )内，如果f (x) ?0,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果「(x) ：：：0，那 么函数y二f(x)在这个区间内单调递减?如果f (x) =0，那么函数y二f(x)在这个区间上是常数函数?注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x) _ 0 , f (x) 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的 充分不必要条件? 例1】(B类)已知函数f(x)=x3 bx2 cx d的图象过点P(0, 2)，且在点M(-1, f(-1))处的切线方程为6x「y ?7 = 0 ? (I)求函数y = f(x)的解析式；(n)求函数y=f(x)的单调区间? 【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上?函数f(x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0 ；函数 f (x)在区间［a,b］上递减可得：f'(x) E0. 3 【例2】(A类)若f(x)二ax x在区间［—1,1］上单调递增，求a的取值范围? 【解题思路】利用函数 f (x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0;函数f(x)在区间［a,b］上递减可得： f '(x)岂0.得出恒成立的条件，再利用处理不等式恒成立的方法获解 a 【例 3 】(B 类)已知函数f(x)=l nx,g(x) (a 0),设F(x^ f (x) - g(x). x (I)求函数F(x)的单调区间；

专题5 导数的应用-含参函数的单调性讨论(答案)

〖专题5〗导数的应用—含参函数的单调性讨论 “含参数函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容，也是我们高考复习的重点．从这几年来的高考试题来看，含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数的单调性、极值以及最值中，因此在高考复习中更应引起我们的重视． 一、思想方法： 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈? 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论． 二、典例讲解 [典例1]讨论x a x x f + =)(的单调性，求其单调区间． 解：x a x x f + =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('2 22≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2 )(同号) I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立， 此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数， 即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f > -或)0(0)(' a x x a x x f <<<<-?≠<00)0(0)('或 此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数， )(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数， 即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ; )(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并． [变式练习1]讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间．

导数的应用—单调性与极值的习题课

导数的应用—单调性与极值的习题课 【复习目标】 1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用； 2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。 3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的 单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； 4.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三 次的多项式函数的极大值、极小值，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 【重点难点】 ①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；④利用导数证明函数的单调性； ⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题； 【基础过关】1． 函数的单调性 ⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为 ；若)(x f '＜0，则) (x f 为 .（逆命题不成立） (2) 如果在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f . 注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ① 确定函数)(x f 的 ； ② 求)(x f '，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； ③ 把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺 序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间； ④ 确定)(x f '在各小开区间内的 ，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区 间内的增减性. 2．可导函数的极值 ⑴ 极值的概念 设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有 （或 ），则称 )(0x f 为函数的一个极大（小）值．称0x 为极大（小）值点. ⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数)(x f '； ② 求方程)(x f '＝0的 ； ③ 检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负， 那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函 数y ＝)(x f 在这个根处取得 . 【基础训练】 例1．如果函数()y f x =的图像如右图,那么导函数, ()y f x =的图像可能是（ ） 例2. 曲线x x y ln 22-= 的单调减区间是( )

导数与函数的单调性练习题

2.2.1导数与函数的单调性 基础巩固题： 1.函数f(x)= 21 ++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.021 C.a>2 1 D.a>-2 答案：C 解析：∵f(x)=a+221+-x a 在(-2,+∞)递增，∴1-2a<0,即a>2 1 . 2．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数f (x )在(0,1)上单调，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥0 B ．a <－4 C ．a ≥0或a ≤－4 D ．a >0或a <－4 答案：C 解析：∵f ′(x )＝2x ＋2＋a x ，f (x )在(0,1)上单调， ∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0,1) 上恒成立，即2x 2＋2x ＋a ≥0或2x 2＋2x ＋a ≤0在(0,1)上恒成立， 所以a ≥－(2x 2＋2x )或a ≤－(2x 2＋2x )在(0,1)上恒成立．记g (x )＝－(2x 2＋2x ),02 [解析] 若y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2≥0恒成立，则Δ＝4b 2－4(b ＋

利用导数求函数的单调区间

利用导数求函数的单调区间 一学习目标： 1结合实例，找出函数的单调性与导数的关系； 2会利用导数研究函数的单调性，会求简单函数的单调区间。 二重点、难点： 重点：求函数的单调区间. 难点：求含参数函数的单调区间。. 三教材分析 本节课主要对函数单调性求法的学习； 它是在学习导数的概念的基础上进行学习的，同时又为导数的应用学习奠定了基础，所以他在教材中起着承前启后的重要作用；（可以看看这一课题的前后章节来写） 它是历年高考的热点、难点问题 四教学方法 开放式探究法、启发式引导法、小组合作讨论法、反馈式评价法 五教学过程 预习学案: 1.函数单调性的定义是什么？函数的单调区间怎样求？ 2.讨论以下问题 （1）求函数y=x的导数，判断其导数的符号； （2）求函数y=x2的导数，判断其导数的符号. 3.根据上述问题，思考导数的符号与函数的单调性之间的关系，并加以总结： 设函数y=f(x)在区间（a,b）内可导： 如果在(a,b)内，______________,则f(x)在此区间是增函数； 如果在(a,b)内，______________,则f(x)在此区间是减函数. 4.根据上述总结，思考一下，函数在某个区间上是单调递增函数，是不是其导数就一定大于零呢？如果函数在某个区间上是单调递减函数，是不是其导数就一定小于零?能否举个例子说明一下？

小测验： 1.当0>x 时，()x x x f 4+ =的单调减区间 2.函数53 123++-=x x y 的单调增区间为_______________,单调减区间为______________. 利用导数求函数的单调区间（讲授学案）——冯秀转 题型：求函数的单调区间 例1、求下列函数的单调区间; (1)x x y 23+= (2)()221 ln x x x f -= 注意：求函数单调区间时必须先考虑函数的定义域. （小结）求函数单调区间的步骤： 练习：求()x e x x f 2=的单调区间。

导数在函数中的应用

第二课时 导数在函数中的应用 【学习目标】 1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用； 2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。 3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； 4.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 【重点难点】 ①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；⑦导数与解析几何相综合的问题。 【高考要求】B 级 【自主学习】1． 函数的单调性 ⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为 ；若)(x f '＜0，则)(x f 为 .（逆命题不成立） (2) 如果在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f . 注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ① 确定函数)(x f 的 ； ② 求)(x f '，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； ③ 把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间； ④ 确定)(x f '在各小开区间内的 ，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区间内的增减性. 2．可导函数的极值 ⑴ 极值的概念：设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有 （或 ），则称)(0x f 为函数的一个极大（小）值．称0x 为极大（小）值点. ⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数)(x f '；

《导数在研究函数中的应用-函数的单调性与导数》说课稿

《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿 周国会 一、教材分析 1教材的地位和作用 “函数的单调性和导数”这节新知识是在教材选修1—1，第三章《导数及其应用》的函数的单调性与导数.本节计划两个课时完成。在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后，结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。例题精讲强化函数单调性的判断方法，例题的选择有梯度，由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式，再解关于含参数的问题，最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，形成初步的知识体系，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。 （一）知识与技能目标： 1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间； 2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。 （二）过程与方法目标： 1、通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。 2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。 （三）情感、态度与价值观目标： 1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结， 2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。激发学生独立思考和创新的意识，让学生有创新的机会，充分体验成功的喜悦，开发了学生的自我潜能。（四）教学重点，难点 教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。 教学难点：探求含参数函数的单调性的问题。 二、教法分析 针对本知识点在高考中的地位、作用，以及学生前期预备基础，应注重理解函数单调性与导数的关系，进行合理的推理，引导学生明确求可导函数单调区间的一般步骤和方法，无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式。解关于含参数的问题，注意分类讨论点的确认，灵活应用已知函数的单调性求参数的取值范围。采用启发式教学，强调数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想的应用，

用导数求函数的单调性

用导数求函数的单调性 南江县第四中学 何其孝 指导老师：范永德 一、第一段：点明课题、展示目标、自主学习 1、展示学习目标 （1）理解)0(0(x)f <>'时，f(x)在0x x =附近单调性； （2）掌握用导数求函数的单调区间。 2、板书课题：用导数求函数的单调性 3、学生围绕学习目标看教材第89-93页，进行自主学习。（约10分钟） 二、第二段：合作探究、启发点拨 1、探究1：怎样从导数的几何意义，判断)0(0(x)f <>'时，f(x)在0x x =附近单调性？点拨：以直代曲 探究2：用导数求函数单调性的步骤 点拨：(1)求定义域 (2)求导函数(x)f ' (3)求)0(0(x)f <>'，判断函数的单调性 (4)写出f(x)的单调区间 2、应用举例 例 判断下列函数的单调性，写出f(x)区间 (1) )(0,x x,-sinx f(x)π∈= (2) 12432f(x)23+-+=x x x

解：f′(x)=6x2 + 6x -24 当f′(x)＞0，解得：2 1712171+->--'，判断函数的单调性 (4)写出f(x)的单调区间 作业：课本第98页 习题3.3A 组1、(3) (4) 2、(3) (4)

导数应用：含参函数的单调性讨论(二)

导数应用：含参函数的单调性讨论(二) 对函数(可求导函数)的单调性讨论可归结为对相应导函数在何处正何处负的讨论，若有多个讨论点时，要注意讨论层次与顺序，一般先根据参数对导函数类型进行分类，从简单到复杂。 一、典型例题 例1、已知函数3 2 ()331,f x ax x x a R =+++∈,讨论函数)(x f 的单调性. 分析：讨论单调性就是确定函数在何区间上单调递增，在何区间单调递减。而确定函数的增区间就是确定0)('>x f 的解区间；确定函数的减区间就是确定0)('时，/2 ()3(21)f x ax x =++的图像开口向上，36(1)a ?=- I) 当136(1)0,a a ≥?=-≤时，时，/ ()0f x ≥，所以函数()f x 在R 上递增； II) 当0136(1)0,a a <时，时，方程/ ()0f x =的两个根分别为 121111,,a a x x a a ----+-= =且12,x x < 所以函数()f x 在11(, )a a ----∞，11(,)a a -+-+∞上单调递增， 在1111( ,)a a a a ----+-上单调递减； (3) 当0a <时，/2 ()3(21)f x ax x =++的图像开口向下，且36(1)0a ?=-> 方程/ ()0f x =的两个根分别为121111,,a a x x a a ----+-= =且12,x x > 所以函数()f x 在11(, )a a -+--∞，11(,)a a ---+∞上单调递减， 在1111( ,)a a a a -+----上单调递增。 综上所述，当0a <时，所以函数()f x 在1111( ,)a a a a -+----上单调递增， 在11(, )a a -+--∞，11(,)a a ---+∞上单调递减； 当0a =时，()f x 在1(,]2-∞-上单调递增，在1 [,)2 -+∞上单调递减； 当01a <<时，所以函数()f x 在11(,)a a ----∞，11(,)a a -+-+∞上单调递增， 在1111( ,)a a a a ----+-上单调递减； 当1a ≥时，函数()f x 在R 上递增； 小结： 导函数为二次型的一股先根据二次项系数分三种情况讨论（先讨论其为0情形），然后讨论判别式（先讨论判别式为负或为0的情形，对应导函数只有一种符号，原函数在定义域上为单调的），判别式为正的情况下还要确定两根的大小（若不能确定的要进行一步讨论），最后根据导函数正负确定原函数相应单调性，记得写出综述结论。

高中数学选修2-2函数的单调性与导数

1.3.1函数的单调性与导数 [学习目标] 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数的最高次数一般不超过三次). 知识点一函数的单调性与其导数的关系 在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系： 思考以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1＜x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小，在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易，如何利用导数来判断函数的单调性？ 答案根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减. 知识点二利用导数求函数的单调区间 利用导数确定函数的单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求出函数的导数f′(x). (3)解不等式f′(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f′(x)＜0，得函数的单调递减区间. 知识点三导数绝对值的大小与函数图象的关系

一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些.也就是说导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度. 如图，函数y ＝f (x )在(a,0)和(0，b )内的图象“陡峭”，在(－∞，a )和(b ，＋∞)内的图象“平缓”. 题型一 利用导数确定函数的单调区间 例1 求下列函数的单调区间. (1)f (x )＝3x 2－2ln x ；(2)f (x )＝x 2·e － x ； (3)f (x )＝x ＋1x . 解 (1)函数的定义域为D ＝(0，＋∞).∵f ′(x )＝6x －2x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝33，x 2＝－ 3 3(舍去)，用x 1分割定义域D ，得下表： ∴函数f (x )的单调递减区间为? ???0， 33，单调递增区间为??? ?3 3，＋∞. (2)函数的定义域为D ＝(－∞，＋∞).∵f ′(x )＝(x 2)′e － x ＋x 2(e － x )′＝2x e － x －x 2e － x ＝e － x (2x －x 2)，令f ′(x )＝0，由于e － x ＞0，∴x 1＝0，x 2＝2，用x 1，x 2分割定义域D ，得下表： ∴f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2). (3)函数的定义域为D ＝(－∞，0)∪(0，＋∞). ∵f ′(x )＝1－1 x 2，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1，用x 1，x 2分割定义域D ，得下表：

导数及其应用单调性

选修2-2 第1章 导数及其应用 §1.3.1 单调性 第1课时 总第53教案 一、教学目的：1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 二、教学重点：利用导数判断函数单调性. 教学难点：利用导数判断函数单调性. 三、教学过程： 预习测评：1. 函数的导数与函数的单调性的关系： 我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342 +-=x x y 的图像可以看到： 定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/ y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/ y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数 . 2.用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f (x )的导数f ′(x ). ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间. 典题互动： 例1、确定下列函数的单调区间 ①x x x f -=3 )( ②x x x f ln )(-= ③x x f 21)(= ④x x x f sin 2 1 )(+= ⑤1+-=x e y x ⑥)34(4 134 +--=x x y ⑦x x y -=3 ⑧x x y 1+= ⑨1 2-=x bx y y =f (x )=x 2 －4x +3 切线的斜率 f ′(x ) (2，+∞) (－∞，2) 3 2 1 f x () = x 2-4?x ()+3 x O y B A

例2： 若x ax x f +=3 )(恰有三个单调区间，试确定实数a 的取值范围，并求出这三个单调区间。 例3： 要使函数2)1(3)(2 -++=x a x x f 在区间]3,(-∞上是减函数，求实数a 的取值范围。 例4：已知x>1，求证：)1ln(x x +> 学效自测： 1、讨论函数)(x f 的单调性 (1)b kx y += (2)x k y = (3))0( 2 ≠++=a c bx ax y 2、证明：(1) x e x f =)(在区间),(+∞-∞上是增函数；(2) x e x f x -=)(在区间)0,(-∞上是减函数。

(完整版)利用导数研究函数的单调性(超好复习题型)

利用导数研究函数的单调性 考点一 函数单调性的判断 知识点： 函数()f x 在某个区间(),a b 内的单调性与其导数的正负关系 （1）若 ，则()f x 在(),a b 上单调递增； （2）若 ，则()f x 在(),a b 上单调递减； （3）若 ，则()f x 在(),a b 是常数函数. 1、求下列函数的单调区间. （1）()ln f x x e x =+ （2）2 1()ln 2 f x x x =- （3）()()3x f x x e =- （4）()2x f x e x =- （5）()3ln f x x x =+ （6）ln ()x f x x = （7）2()(0)1 ax f x a x =>+ （8）32333()x x x x f x e +--=

2、讨论下列函数的单调性. （1）()ln (1),f x x a x a R =+-∈ （2）3(),f x x ax b a R =--∈ （3）2 ()ln ,2 x f x a x a R =-∈ （4）32(),,f x x ax b a b R =++∈ （5）2()(22),0x f x e ax x a =-+> （6）2 1()2ln (2),2 f x x a x a x a R =-+-∈ （7）2()1ln ,0f x x a x a x =-+-> （8）221 ()(ln ),x f x a x x a R x -=-+∈

3、已知函数32(),f x ax x a R =+∈在4 3 x =-处取得极值. （1）确定a 的值； （2）若()()x g x f x e =，讨论函数()g x 的单调性. 4、设2()(5)6ln ,f x a x x a R =-+∈，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线与y 轴相交于点()0,6. （1）确定a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间. 5、（2016全国卷2节选）讨论2()2 x x f x e x -=+的单调性， 并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>. 6、(2016年全国卷1节选)已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-.讨论()f x 的单调性.

导数在函数单调性中的应用——分类讨论专题复习

高三二轮复习函数单调性讨论（文科压轴第（1）问） 一、解答题 1．已知函数，．讨论的单调性； 【解】：Ⅰ，． 当时，，在上是单调增函数； 当时，． 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上是单调增函数，当时，在上单调递增，在上单调递减； 2．已知函数．试讨论函数的单调性； 【解】：1， 时，在恒成立，故在递增， 时，由，解得：，由，解得：，故在递减，在递增； 3．已知函数（a＞0）．讨论函数f（x）的单调性； 【解】：（1）解：．①当0＜a≤1时，由f'（x）＜0，得[（1＋a）x－1][（1－a）x＋1]＜0， 解得； 由f'（x）＞0，得[（1＋a）x－1][（1－a）x＋1]＞0，解得． 故函数f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，＋∞）． ②当a＞1时，由f'（x）＜0，得或； 由f'（x）＞0，得． 故函数f（x）的单调递减区间为（0，），（，＋∞），单调递增区间为． 4．已知函数． 当时，求函数的单调增区间； 若函数在上是增函数，求实数a的取值范围； 【解】：当时，． 则 令，得，即，解得：或． 因为函数的定义域为， 所以函数的单调增区间为． 由函数．因为函数在上是增函数，所以 对恒成立 即对恒成立．所以即实数a的取值范围是． 5．设函数． 当为自然对数的底数时，求的极小值； 若在上为单调增函数，求m的取值范围． 【解】：（1）由题设，当时，，则，（）∴当，，在 上单调递减，当，，在上单调递增，当时，取得极小值，，∴的极小值为2. （2）因为在上为单调增函数，所以对于恒成立，即对于恒成立，进而

6．已知函数. （1）讨论的单调区间； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【解】：（1）的定义域为，， ①当时，，所以的减区间为，无增区间. ②当时，令得；令得；所以的单调递增区间为， 单调递减区间为. 综上可知，当时，的减区间为，无增区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 7．设函数．求函数的单调区间和极值． 【解】：由，得， 当时，，函数在上单调递增，函数无极大值，也无极小值； 当时，由，得或舍去． ． 函数在处取得极小值，无极大值． 综上可知，当时，函数的单调递增区间为，函数既无极大值也无极小值； 当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间为， 函数有极小值，无极大值． 8．已知函数．(1)求的单调区间； 【解】：（1）. 当时，由，得，，∴函数的递减区间是； 当时，由得，∴当时，；当时，. ∴函数的递增区间是，递减区间是； 综上，当时，函数的递减区间是； 当时，函数的递增区间是，递减区间是． 9．已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若对任意，函数的图像不在轴上方，求的取值范围. 【解】：（1）函数的定义域为，. 当时，恒成立，函数的单调递增区间为. 当时，由，得或（舍去）， 则由，得，由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）对任意，函数的图像不在轴上方，等价于对任意，都有恒成立，即在上. 由（1）知，当时，在上是增函数，又，不合题意； 当时，在处取得极大值也是最大值，所以. 令，所以.

(完整版)用导数求函数的单调区间含参问题

用导数求函数的单调区间——含参问题 一、问题的提出 应用导数研究函数的性质：单调性、极值、最值等，最关键的是求函数的单调区间，这是每年高考的重点，这也是学生学习和复习的一个难点。其中，学生用导数求单调区间最困难的是对参数分类讨论。尽管学生有分类讨论的意识，但是找不到分类讨论的标准，不能全面、准确分类 二、课堂简介 请学生求解一下问题，写出每一题求单调区间的分类讨论的特点。 例1、 求函数R a a x x x f ∈-= ),()(的单调区间。 解：定义域为),0[+∞ ,23)('x a x x f -=令,0)('=x f 得,3 a x = (1) 0≤a ,0)('≥x f 恒成立，)(x f 在),0[+∞上单调递增； (2) 0>a ,令0)('>x f 得∴> 3a x )(x f 在)3,0[a 上单调递减，在),3 [+∞a 上单调递增。 所以，当0≤a 时，)(x f 在),0[+∞上单调递增；当0>a 时，)(x f 在)3 ,0[a 上单调递减，在),3 [+∞a 上单调递增。 分类讨论特点：一次型，根3 a 和区间端点0比较 例2、 求函数R a x a ax x x f ∈+-+-=,1)1(2131)(23的单调区间。 解：定义域R ),1)](1([1)('2---=-+-=x a x a ax x x f 令,0)('=x f 得1,121=-=x a x (1) 211>>-a a 即，令0)('>x f 得∴<->11x a x 或)(x f 在)1,(-∞上单调递增，)1,1(-a 上单调递减，),1(+∞-a 上单调递增。 (2) 21 1==-a a 即，0)('≥x f 恒成立，所以)(x f 在R 上单调递增。 (3) 211<<-a a 即，令0)('>x f 得∴>-<11x a x 或)(x f 在)1,(--∞a 上单调递增，)1,1(-a 上单调递减，),1(+∞上单调递增。 所以，当2>a 时，)(x f 在)1,(-∞上单调递增，)1,1(-a 上单调递减，),1(+∞-a 上单调

导数讨论含参函数的单调性

导数讨论含参函数的单调性 【思想方法】 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈? 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。 【典例讲解】 例1 讨论x a x x f +=)(的单调性，求其单调区间 解：x a x x f + =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('2 22≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2 )(同号)I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立，此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数，即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f > -或)0(0)('， a x x a x x f <<<<-?≠<00)0(0)('或，此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调 增函数，)(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数，即)(x f 的增区间为),(a --∞和 ),(+∞a ;)(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。 变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间 解：x a x x f ln )(+=的定义域为),0(+∞ )0(1)('>+=+ =x x a x x a x f (它与a x x g +=)(同号) I ）当0≥a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立，此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数， 即)(x f 的增区间为),0(+∞，不存在减区间; II) 当0?>>)0(0)(';a x x x f -<<0)0(0)(' 此时)(x f 在),(+∞-a 为单调增函数，)(x f 在),0(a -是单调减函数， 即)(x f 的增区间为),(+∞-a ;)(x f 的减区间为),0(a -. 例2．讨论x ax x f ln )(+=的单调性 解：x ax x f ln )(+=的定义域为),0(+∞ )0(11)('>+=+ =x x ax x a x f (它与1)(+=ax x g 同号)

导数的应用(-)单调性

函数的单调性 沈阳第十一中学 赵拥权 1.已知函数1)(3--=ax x x f 在实数集R 上单调递增，求a 的取值范围 2.设函数ax x x f -=ln )(在),1(+∞上是单调减函数求a 的取值范围 3.函数ax e x g x -=)(在),1(+∞-上是单调增函数求a 的取值范围 4.设ax x x x f 22131)(23++- =.若)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围； 5.的取值范围；则在定义域内是增函数，函数m x x mx x f 2ln )(2-+= 6.[]的取值范围；上不单调，则在函数t t t x x x x f 1,ln 3421)(2+-+- = 7.3)2(3 1)(23++++=x b bx x x f 函数在R 上不单调，则b 的取值范围； 9.(]的取值范围；时增函数，则函数a x x ax x f 1,0,12)(2∈-= 10.已知函数若f(x)在区间 上是减函数，求实数a 的取值范围; 11. 已知函数 若f(x)在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围; 10.已知函数ln ()x x k f x e +=（k 为常数， 2.71828e =???是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. （Ⅰ）求k 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调区间； 11.已知a 、b 为常数，且a ≠0，函数f (x )＝－ax ＋b ＋ax ln x ，f (e )＝2，（e ＝2.71828…是自然对数的底数）。 （Ⅰ）求实数b 的值； （Ⅱ）求函数f (x )的单调区间；

专题2.13 利用导数求函数的单调性、极值、最值(解析版)

第十三讲 利用导数求函数的单调性、极值 、最值 【套路秘籍】 一．函数的单调性 在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． 二．函数的极值 (1)一般地，求函数y ＝f (x )的极值的方法 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时： ①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )； ②求方程f ′(x )＝0的根； ③考查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 三．函数的最值 (1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值． (2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值． 【套路修炼】 考向一 单调区间 【例1】求下列函数的单调区间： （1）3 ()23f x x x =-； （2）2 ()ln f x x x =-. （3）)f (x )＝2x －x 2. 【答案】见解析 【解析】（1）由题意得2 ()63f x x '=-. 令2 ()630f x x '=->，解得2x <- 或2 x >. 当(,2x ∈-∞- 时，函数为增函数；当)2 x ∈+∞时，函数也为增函数. 令2 ()630f x x '=-<，解得22x - <<.当(22 x ∈-时，函数为减函数.

导数的应用(单调性)专题

导数第2节 导数的应用（1）单调性 1.（优质专题天津文20（1）） 已知函数4 ()4,,f x x x x =-∈R 求()f x 的单调性； 2.(优质专题广东文21）设函数32()()f x x kx x k =-+∈R ． (1) 当1k =，求函数()f x 的单调区间； 3.（优质专题四川文21（1））已知函数()2 2 2ln 2f x x x x ax a =-+-+，其中0a >. 设()g x 为()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性； 4.（优质专题全国2文21(1)）设函数()() 21e x f x x =-. （1）讨论()f x 的单调性； 5.（优质专题重庆文19（1））已知函数()()32f x ax x a =+∈R 在4 3 x =-处取得极值. 若()()e x g x f x =，讨论()g x 的单调性. 6.（优质专题湖北文21） 设0a >，0b >，已知函数()1 ax b f x x += +． （1） 当a b ≠时，讨论函数()f x 的单调性；

7.（优质专题江苏19（1））已知函数()32f x x ax b =++(),a b ∈R ．试讨论()f x 的单调性. 8.（优质专题山东文20（1））设()()2 ln 21f x x x ax a x =-+-，a ∈R . （1）令()()g x f x '=，求()g x 的单调区间； 9.（优质专题新课标2卷文21(1)）已知函数()()=ln +1f x x a x -.讨论()f x 的单调性. 10.（优质专题全国1文21*（1））已知函数()() 2 e e x x f x a a x =--. （1）讨论()f x 的单调性；