复变函数积分变换模拟试卷及答案

习题一

一、填空题（每空3分，共30分） 1.

121

1,,2

z i z i =+=

+则12z z ?= ，12arg()z z ?= ． 2.

3. ()exp(2/2z π'+=

4. (2)Ln i = ，

cos i =

5．.沿圆周C 的正向积分:12

1

1z C z ze dz z -=+=-?? ． 6. 级数

(1)

(1)n

n n i z ∞

=--∑的收敛半径R = ．

7. ()sin(2)f z z =的泰勒展开式是 ８．函数()sin(3)f t t =的拉普拉斯变换为 二、选择题（每题3分，共15分）

1.方程52z -=所表示的曲线是 （ ）

（A ）椭圆 （B ）直线3x =- （C ）直线2y = （D ）圆周

2. 已知1

()z e f z z

-=，则]0),([Re z f s （ ）

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 3. 0=z 为

4

sin z z

z

-的( ) （A ）一级极点 （B ）二级极点 （C ）三级极点 （D ）四级极点 4. 设s F()=L [()]f t ，则L 0

[()]t

f t dt ?

的值是（ ）

（A ）

()F s js （B ）()(0)F s f s

- （C ）()

F s s （D ）()F s

5. w 1F()=F 1[()]f t ，

w 2F ()=F 2[()]f t ，下列关于Fourier 变换的卷积公式说法错误的是（ ） （A ）1221()()=()()f t f t f t f t ** （B ）F 1212[()()]()()f t f t F w F w *=?

（C ）F 12121

[()()]()()2f t f t F w F w π

?=* （D ）F 1212[()()]()()f t f t F w F w ?=* 三．1.（本题5分）

24,12C dz z z i ??+ ?--?

???其中:3C z =为正向. 2．（本题5分）利用留数计算

221

,1C

z dz C z +-??为正向圆周：3z = 3. （本题5分）计算1

sin z zdz ?

.

四．假设

1. （本题8分）假设2222

()()f z x axy by i cx dxy y =+++++为解析函数，试确定,,,a b c d 的值.

2.（本题8分）将函数2

z z

e e shz --=展开成z 的幂级数,并指出它的收敛半径.

3.（本题8分）将函数2

1

()(1)(2)f z z z =--分别在0|1|1,0|2|1z z <-<<-<内展成洛朗

级数.

4. （本题8分）函数

2

(1)(2)()(sin )z z f z z π--=有哪些奇点？如果是极点，指出它是几级极点。

5.利用留数的方法求2

1

()(1)(2)F s s s =--的laplace 逆变换。

习题二 一．填空

1．121,12,z i z i =+=-则12z z ?= ； 2．方程52z -=所表示的曲线是 ； 3．(2)Ln i = ；

4.设2

()1f z z =+，则()f i '= ；

5．1=z 为

2

sin (1)z

z -的 级极点；

6．已知 z

z f sinz

)(=

，求]0),([Re z f s = ； 7．()cos(2)f z z =的泰勒展开式是 ；

8．设()t δ为单位脉冲函数，则

-()(1sin )t t dt δ+∞

∞

+=?

；

9．级数

21

1[

]2

n n i n ∞

=+∑是 （收敛或发散）；阿 10. 若()=s F L [()]f t ，则L 3[()]t e f t 的值是 ； 二．选择

１．复数方程 Re(2)3z -=表示的曲线是 （ ） A 、直线 B 、圆周 C 、椭圆 D 、双曲线

2．在复变函数中，下列等式中不正确的是 （ ） （A ）()212121sin sin cos cos cos z z z z z z +=- （B ）z

z

e e =')(

（C ）2

2Lnz Lnz = （D ）z z z cos sin 22sin = 3．设w F()=F [()]f t ，则F 0[(+)]f t t 的值是（ ） （A ）0

()jwt e

F w （B ）0()jwt e F w - （C ）0()F w t - （D ）0()F w t +

4．1=z 为

2

sin (1)z

z -的( )

（A ）一级极点 （B ）二级极点 （C ）可去奇点 （D ）本性奇点 5．设()Λ,2,1=+=n ib a n n n α，其中{}n a 、{}n b 为实数列，若级数

∑∞

=1

n n

α

绝对收敛，下

列说法中不正确的是 （ ） （A ）0lim =∞→n n α （B ）

∑∞

=1n n

a

、

∑∞

=1

n n

b

同时收敛

（C ）

∑∞

=1

n n

a

收敛，

∑∞

=1

n n

b

条件收敛 （D ）

||1

∑∞

=n n

α

收敛

三．

1．（本题5分）计算积分

1+1

i

z ze dz ?

。

2． 求33(),2z C

e dz C z z +-??为圆周：3z =。 3. 求

3

1

12n

n n z n ∞

=∑幂级数的收敛半径

四．1.判断函数33

()23f z x y i =+的解析性。

2.将函数()2

z z

e e ch z -+=展开成z 的幂级数，并指出它的收敛半径

3. 计算

20

1

5+3sin d π

θθ

?

。

4. 利用Fourier 变换求积分方程

()cos ()g t d f t ωωω+∞

=?

的解()g ω,其中

1,01

()0,

1.t t f t t -≤

>? 5. 利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：2(0)0t

y y e y '?-=?=?

。

习题三

一．填空

1．

arg(1)= ；2Im

1i

i

=- ； 2．2

()1,(1)f z z f i '=++=则 ； 3．积分cos C z

I dz z

=??= ，其中:||4C z =取正方向； 4．

i

z ze dz ?

= ；

5．(1)Ln -= ； 6． 25i

e

+= ；

7．级数

1

1(1)n i n n ∞

=+∑的敛散性为： ；（收敛或发散） 8．1Re [,0]=z e s z -_____ __；0=z 是函数5sin z

z

的______ ____级极点。 二．选择

１．复数方程arg 3

z π

=

表示的曲线是 （ ）

（A ）直线 （B ）射线 （C ）椭圆 （D ）圆周

2．在复变函数中，下列等式中不正确的是 （ ） （A ）z z sin )(cos -=' （B ）sin 1z ≤（C ）1cos sin 2

2

=+z z （D ）z z z cos sin 22sin = 3.0=z 为

ln(1)

z z

+的 （ ）

（A ）一级极点 （B ）解析点 （C ）可去奇点 （D ）本性奇点 4．()-

=z z f 的解析性为 （ ） （A ）复平面上处处解析 （B ）仅在点0=z 处解析 （C ）复平面上处处不解析 （D ）复平面上处处可导 5．

?==-2||2)

(sin z i z zdz

（ ） （A ）0 （B ）1

（C ）2i π （D ）2cos i i π 三．

1.已知w F()=F [()]f t ，求F [(2)()]t f t -。

2. 求3sin (),24z C

e z

dz C z z +--??为圆周：3z =。 3. 计算幂级数n

n 3n 0z 2n

∞

=∑的收敛半径

四．1.设f(z)=my 3+nx 2y+i(x 3-3xy 2)为解析函数，试确定m 、n 的值。 2.将函数2

)2(1

)(+=

z z f 在0z =处展开为泰勒级数

3. 函数22

(2)

()(sin )

z z f z z π-=有哪些奇点？如果是极点，指出它是几级极点。 4. 求函数21

()(1)

f z z z =

-在孤立奇点处的留数。

5.求方程23t

y y y e -'''+-=满足初始条件00|0,|0t t y y =='==的解

2007年《复变函数与积分变换》试卷

一、填空题（本小题共5小题，每小题3分，满分15分）

（1）已知函数)()(2

3

2

3

lxy x i y nx my z f -+-=是解析函数，则=l ，

=m ，=n .

（2）设))(1()(2i z z z e z f z --=的Taylor 级数为∑+∞

=--0

)23(n n

n i z c ，则该级数的收敛

半径为 . （3）已知

[]2

224βωββ

πAe Ae t =

-，则

[]2

2t e t - .

（4）计算=+i

i )1( .

（5）设??????≥<=≥<=,0,,

0,0)( ,

0,,0 ,0)(21t e t t f t t t t f t

则=*)()(21t f t f . 二、选择题（本小题共5小题，每小题3分，满分15分）

（1）下列说法正确的是（ ）

（A ）若)(z f 在区域D 内可导，则)(z f 在区域D 内解析。 （B ）若)(z f 在点0z 解析，D z ∈0，则)(z f 在区域D 内可导。 （C ）若)(z f 在点0z 连续，则)(z f 在点0z 可导。 （D ）若)(z f 在点0z 可导，则)(z f 在点0z 解析。 （2）z w 1=

将z 平面上的曲线42

2=+y x 映射成w 平面上的图形为（ ） （A ）21=u 。 （B ）2=u 。 （C ）422=+v u 。 （D ）4

12

2=+v u 。

（3）设C 为正向圆周1=z ，则积分

?

=C

dz z

z

（ ） （A ）π4 （B ）π2 （C ）i π2 （D ）i π4 （4）级数

∑

+∞

=02

cos n n

in

（ ） （A ）敛散性不定。 （B ）发散。 （C ）条件收敛。 （D ）绝对收敛。 （5）0=z 是函数2sin )(z

z

z f =

的（ ） （A ）非孤立奇点。 （B ）可去奇点。 （C ）一级极点。 （D ）本性奇点。 三、（超出范围）（12分）验证2

2),(y

x y

y x v +=

在右半平面内是调和函数，并求以此为虚部的解析函数)(z f ，且使2)1(=f .

四、计算下列各题（本小题共6小题，每小题5分，满分30分）

（1）?i

zdz z 0

sin ；

（2）

?C dz z cos 1，其中2

3

:=z C ，取正向；

（3）

?

-

C

dz z z 2

)

2(cos π

，其中2:=z C ，取正向；

（4）?---C dz z z z 3

21

32，其中4:=z C ，取正向；

（5）?-C dz z z

14，其中2:=z C ，取正向；

（6）?-πθθ

20cos 6101d 。

五、（12分）将函数)

4)(3(10

3)(---=

z z z z f 分别在下列圆环域内展开成洛朗级数：

（1）120<-

e

y y y 254-=-'+''，1)0(,0)0(='=y y .

七、（超出范围）（4分）设在1≤z 上)(z f 解析，且1)(≤z f ，证明1)0(≤'f .

2008年《复变函数与积分变换》试卷

一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分。） （1）i

)1(-的主值是 。

（2）已知)()(2

323lxy x i y nx my z f +++=为解析函数，则m = ，=n ，l = 。

（3）如果)2)((cos )(--=z i z z z f 的Taylor 级数为∑∞

=-0

)3(n n

n z c ，则该级数的收敛半径为

。

（4）设z

e z z

f 13)(=，则Res []=0),(z f 。 （5）设??

?≥<=,0,2,0,0)(1t t t f ???≥<=,

0,sin ,

0,0)(2t t t t f 则=*)()(21t f t f 。

二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分。） （1）若21z

z

e e =，则（ ）

（A ）21z z =。 （B ）πk z z 221+=（k 为任意整数）。 （C ）πik z z +=21。 （D ）πk i z z 221-=（k 为任意整数）。

（2）设曲线C 为单位圆1=z ，取正向，则积分

?=+C dz z z

2cos 2（ ）

（A ）0． （B ）i π。 （C ）i π-。 （D ）i π2。

（3）如果级数

∑∞

=-0

)

3(n n

n z c 在点1=z 处收敛，则该级数必在（ ）

（A ）点4=z 处绝对收敛。 （B ）点4=z 处条件收敛。 （C ）点5=z 处收敛。 （D ）点6=z 处发散。

（4）z w 1=

将z 平面上的曲线1)1(2

2=+-y x 映射成w 平面上的曲线（ ） （A ）21=u 。 （B ）2

1=v 。 （C ）12

2=+v u 。 （D ）1)1(22=+-v u 。

（5）0=z 是函数2sin )(z

z

z f =的（ ）

（A ）本性奇点。 （B ）可去奇点。 （C ）一级极点。 （D ）二级极点 三、（10分）已知调和函数)0(2

2>+=

x y x y

v ，求调和函数u ，使iv u z f +=)(成为解析

函数，并满足0)2(=f 。 四、（25分）计算下列积分： （1）

dz z C

?

，其中C 是从0=z 到i z +=1的直线段；

（2）

?+=++-C y x y x C dz z z )(2:,)1()1(12

222，正向

（3）?=-+C iz i z C dz z e 2

3

2:,12

，正向 （4）?∞

+∞-++dx x x x )

4)(1(222

；

（5）

θθ

θ

π

d ?

-20

cos 452cos 。

五、（15分）将函数2

)

1(1

)(z z z f -=

分别在下列圆环域内展开成Laurent 级数。 （1）10<

六、（5分）已知函数???≥<=-0

,,0,0)(t e t t f t β（0>β），求)()(0t tf e t g t jw =的Fourier 变换。

七、（10分）应用Laplace 变换解微分方程：

????

?='==+'-''==.

1,0,

3400t t t

y y e y y y 八、（5分）如果),(),(y x iv y x u +是区域D 内的解析函数，那么),(),(y x iu y x v +在D 内

是否一定也是解析函数？为什么？

专业： 电学类各专业 课程名称： 复变函数与积分变换 学分： 3 试卷编号(A)

课程编号： 4110731 考试方式： 闭 卷 考试时间： 100 分钟 拟卷人(签字)： 拟卷日期： 2009.05.25 审核人(签字)： 得分统计表：

一．选择、填空题：（共45分，每题3分）

1．arg(i 31-)= ;

()()sin t t e t dt δ+∞-∞

-=?

；2．若C 取正向, ()f z 在复平面上解析，则:1()

cos C z f z dz z

==?? ；

3．()1

2f z z

=

+在圆域1

i += (化简到基本复数形式) ；

5． sin Re ,0z s z ??

=????

_____ __；0=z 是函数1cos z -的__________级零点； 6． 8sin Re ,0z z s z -??

=?

???

_____ __；0

cos z zdz π=? ； 7．若

()

1n

n n i z ∞

=+∑ 的收敛半径R= ；

8．由1

w z

=将z 平面上的曲线y x =映射成w 平面的曲线轨迹是 （ ）

（A ）直线 （B ）圆 （C ）射线 （D ）角形区域

9．在复变函数中，下列等式中不正确的是 （ ）

（A ）()212121sin sin cos cos cos z z z z z z +=- （B ）1cos sin 2

2

=+z z

（C ）sin 1z ≤ （D ）z z z cos sin 22sin = 10．关于sin C

zdz ?

的值，下列说法中最准确的说法是

（ ）

（A ）可能与C 的积分路径有关 （B ）有时与C 的积分路径有关，有时无关

（C ）始终与C 的积分路径无关，只与C 的起点和终点有关 （D ）不仅与C 的积分路径有关，且与C 的起点和终点有关 11

．

()f z z

=的解析性为

（ ）

（A ）复平面上处处解析 （B ）复平面上有时解析，有时不解析 （C ）复平面上处处不解析 （D ）复平面有时可导，有时不可导 12

．

拉

氏

变

换

下

的

卷

积

2t t

e e *为

（ ）

（A ）2t

t

e e - （B ）2t

e （C ）2t

t

e e - （D ）t

e

二、解答题（共15分，每题5分）

1、（本题5分）若()=ωF F [()]f t ，试计算()()g t tf t ''=的傅氏变换。

2、（本题5分）求2:21z C z ze I dz z ==-??，其中C 为正向。

3、（本题5分）设()f z u iv =+为区域D 上的解析函数，试证明：当()f z 在D 上也解析时，

()f z

为常数。

三、解答题（40分，每题10分）

1、（本题共10分）将

2

)

1(1

z z -在011z <-<内展开成洛朗级数 2、（本题共10分）利用拉氏变换的性质求积分

22

sin t

dt t +∞?

3、（本题共10分）利用留数计算广义积分20

2cos d πθ

θ

+?

4、（本题共10分）求()()

2

2

1

22F s s

s =++的拉氏逆变换

专业： 电学类各专业 课程名称： 复变函数与积分变换 学分： 3 试卷编号(B)

课程编号： 4110731 考试方式： 闭 卷 考试时间： 100 分钟 拟卷人(签字)：

拟卷日期： 2009.06.05 审核人(签字)：

一、客观题

㈠填空题（每空3分，共30分）

1．121,22,z i z i =+=-则12z z ?= ，12arg()z z ?= ． 23i ．

3. ln 22

i

e

π

+= ，Ln i = .

4．()sin(2)z π'+= .

５.沿圆周C 的正向积分:21

2z

C z e dz z -==-?? ． ６．级数

(1)

n

n n i z ∞

=+∑的收敛半径R = ．

７.()cos(2)f z z =的泰勒展开式是 ． ８. 函数()sin(2)f t t =的拉普拉斯变换为 ．

㈡选择题（每题3分，共15分）

１．将13i +化为三角形式，正确的是 （ ）

（A ）??? ??+ππ32sin 3cos 2i （B ）sin cos 33i ππ+（C ）i e 6

2π

（D ）??? ?

?+3sin 3cos 2ππi

2. 方程

1

)2Re(-=+z 所表示的曲线是

（ ）

（A ）扇形 （B ）直线3x =- （C ）直线2x = （D ）圆周

3．()i y x z f 3

3

32+=的解析性为 ( )

（A ）复平面上处处解析 （B ）仅在直线032=±y x 上解析 （C ）复平面上处处不解析 （D ）复平面上处处可导 4．关于幂级数

()∑

∞

=-1

1n n n

z ，

下列说法中正确的是 ( )

（A ）在11≤-z 内收敛 （B ）在11<-z 内收敛，在11=-z 有时收敛，有时发散 （C ）在11≤-z 内发散 （D ）在11<-z 内收敛，但在11=-z 发散

5. 设()=ω1F F ()[]t f 1,()=ω2F F ()[]t f 2,下列关于Fourier 变换的卷积公式说法错误．．的是 ( )

（A ）()()()()1221f t f t f t f t *=* （B ） F ()()()()1212*f t f t F F ωω=?????

（C ）F ()()()()12121

2f t f t F F ωωπ

?=*???? （D ）F ()()()()1212f t f t F F ωω?=*???? 二、计算下列积分（3小题，共15分） 1．（本题5分）

4

3,12C dz z z i ??+ ?++?

???其中:4C z =为正向. 2．（本题5分）利用留数计算

22

,2C

z dz C z z +-??为正向圆周：3z =. 3. （本题5分）计算1

sin z zdz ?.

三、计算题（5小题，共40分）

1. （本题8分）设3232()()f z my nx y i x lxy =+++为解析函数，

试确定,,l m n 的值.

2. （本题8分）将函数()2

z z

e e

f z -+=展开成z 的幂级数,并指出它的收敛半径.

3.（本题8分）将函数2

1

()(1)

f z z z =

-分别在0||1,0|1|1z z <<<-<内展成洛朗级数. 4.（本题8分）函数22

3

(1)(2)()(sin())

z z f z z π--=有哪些奇点？如果是极点，指出它是几级极点。

5. （本题8分）求()()211

s s e F s s --=+的拉氏逆变换

答案

1-3参考答案

试题一

一 1.

11)),22i -++ 2.

5266

3

2,2,2i

i i e e e

πππ 3.

2exp(2)2

z π+ 4. 1

ln 2(2)22e e i k k π

π-+++为整数

5. 2(1)i e π+

6. 2

7.

21

(2)(1)(21)!n n

n z n +∞

=-+∑ 823

Re()09

s s >+ 二．1-5 D A A C D

三．1. 解:由于=1z ，=2z i ，均位于圆周内，由柯西积分公式得

2343

1212C C

C

dz dz dz z z i z z i ??+=+ ?--++?

???

?蜒? 224212i i i πππ=?+?=

注:其他解法正确也应给分

2. 解: ()f z 在C 所围成的区域内有121,1z z ==-两个孤立奇点,

221

1213211Re [(),1]lim(1)

,Re [(),1]lim(1)1212

z z z z s f z z s f z z z z →→-++=-=-=+=--,2' 所以由留数定理,原式()2Re [(),1]Re [(),1]224i s f z s f z i i πππ=?+-=?=.

注:其他解法正确也应给分 3. 解:

1

1

sin cos z zdz z d z ?=-?

?

1

11000cos |cos cos1sin |z z z zdz z =????=--=--??????

?

sin1cos1.=-

四．1. 解:因为2

2

u x axy by =++,2

2

v cx dxy y =++

2,2,2,2u u v v

x ay ax by cx dy dx y x y x y ????=+=+=+=+???? 要使

,u v u v x y y x

????==-???? 只需22,22x ay dx y ax by cx dy +=++=--

得到2,1,1,2a b c d ==-=-=

2. 解:

23231,

2!3!!(1)1,

2!3!!

n

z

n z

n z z z e z n z z e z z n -=++++++-=-+-+++L L L L 3521

0()23!5!(21)!

z z n n e e z z z f z z n -+∞=-∴==+++=+∑L

收敛半径.R =+∞

3. 解:

011z <-<时，()2

1111

()()(1)(1)2

2f z z z z z '=

?=?----- 因为()()0111121111n

n z z z z ∞

===-=----+---∑

所以()1

1

1()12n n n z z ∞-='=---∑ 所以 ()()12

11

1()111n n n n f z n z n z z ∞∞

--===-=--∑∑ 当 021z <-<时，220

111()(1)(2)(2)12(2)n n

n f z z z z z ∞

==?=?---+--∑ 20

(1)

(2)n

n n z ∞

-==--∑

4. 22

(2)

()(sin )

z z f z z π-= sin()0z z k πππ=?=，故()f z 的奇点为,0,1,2,z k k ==±±L ---------

当()(),sin |0,sin |0z k z k z k z z ππ=='==≠，z k ∴=是sin()z π的一级零点， 是2

(sin())z π的二级零点 ------------------ 又由于12z =，是(1)(2)z z --的一级零点

所以12z =，是()f z 的一级极点，-------

当,1,2z k z =≠时，k 是()f z 的二级极点。 --------------------2'

5. 1s =是分母的单零点，2s =是二阶零点，则

12()|lim []2st st s s e d e f t ds =→=

++2

22(s-2)(s-2)(s-2)(s-1)(s-1)(s-2) 22+lim []=+lim()st st st t

t

s s d e te e e e ds →→=-2s-1s-1(s-1)

22t t t e te e =+- 0t >

习题二

一．1、3i - 2、圆周 3、1

ln 2(2)2

k i π++， k 为整数 4、2i 5、二

6、0

7、

20

(2)(1)(2)!n

n

n z n ∞

=-∑ 8、1 9、收敛 10. (3)F s - 二．1-5 ACABC 三．1．解：

11111

1

1

1

|

i

i

i

z

z

z i

z ze dz zde ze e dz ++++==-?

?

?……………………………………

111(1)()(sin1cos1)i

i i i e

e e e ie e i +++=+---==-+……………

2.解：3333

()=+22z z C C C

e e dz dz dz z z z z +--???蜒? 01=2()|+32=72!

z

z i e i i πππ=''?

? 3.由于31

2n n c n =，所以，311321lim lim 2(1)2n n n n n n

c n c n ++→∞→∞==+ ……… 故收敛半径为2R = ………………………………… 四．1解：因为3

2u x =,3

3v y = 226,0,0,9u u v v

x y x y x y

????====???? 要使

,u v u v

x y y x

????==-????′

则 22

690=0

x y ?=??

所以函数仅在=3

y x ±

可导，在整个复平面处处不解析。 2.解：()f z 函数()f z 在||+z <∞内处处解析。………………………

当||+z <∞时，21......2!!

n

z

z z e z n =+++++， 2(1)1......2!!

n n

z

z z e

z n --=-++++………………………

22201......22!(2)!(2)!

z z n n

n e e z z z chz n n -∞

=+==++++=∑。………… 收敛半径为R=+∞。……

3. 解：令,,i i dz

z e dz ie d d iz

θ

θ

θθ===

则，于是

2220

|z|=1

|z|=1112

=z 15+3sin 3z 1035+3

2dz d dz iz iz iz

π

θθ=-+-?

??蜒

|z|=13

2121

23332

)(33

i z dz i i z i z z i π

π=-

=

=??=

+++??()

4.解：由于

2

2

()cos ()g t d f t ωωωππ

+∞

=

?

则

2

()f t π

为()g ω的傅立叶余弦逆变换，从而，

1

2

2

()=()cos (1)cos g f t t dt t t dt ωωωπ

π

+∞

=

-?

?

12

2

2

=

cos cos =

1cos t t tdt ωωωππω

--?

（）

5.解：设方程的解为()y t ，方程两端同取拉普拉斯变换，可得： 1

()()2

sY s Y s s -=- 所以1

()(1)(2)

Y s s s =

--，

两边同取拉普拉斯逆变换，可得2()t t

y t e e =-′ 习题三 一．1. 13

π

-

， 2. 2(1)i + 3. 2i π 4. (1)1i i e -+ 5. (2)k i k ππ+为整数

6. 2

(cos5sin 5)e i + 7.发散 8. 0，2 二．1-5 BBCCD

三．1.解：F [(2)()]t f t -= F [()2()]tf t f t -=()2()d

j

F w F w dw

- 2. 解：2z e z -在圆周内满足柯西积分公式，3sin 4

z

z -在圆周内处处解析，则

3sin 3sin ()=+2424z z C C C

e z e z dz dz dz z z z z +----???蜒? 22

=202z z i e

e i ππ=?+=

3. 由于31

2n n c n =，所以，311321lim lim 2(1)2n n n n n n

c n c n ++→∞→∞==+ ……… 故收敛半径为2R = …… 四．1. 因为3

2

u my nx y =+,3

2

3v x xy =-

22222,3,33,6u u v v

nxy my nx x y xy x y x y

????==+=-=-???? 要使

,u v u v

x y y x

????==-????′ 只需22222=6,3=3+3nxy xy my nx x y -+-

解得3,

1n m =-=

2. ()f z 奇点为2z =-，则函数()f z 在||2z <内处处解析。

2111()(2)22(1)2z z z '

????'=-=-??++??

+??

1

111011

11[(1)](1)(1)22222n

n n n n n n n n n n n z n n z z ∞∞∞

-+-+==='=--=--=-∑∑∑

3. 22

(2)

()(sin )

z z f z z π-= sin()0z z k πππ=?=，故()f z 的奇点为,0,1,2,z k k ==±±L ---------

当()(),sin |0,sin |0z k z k z k z z ππ=='==≠，z k ∴=是sin()z π的一级零点， 是2

(sin())z π的二级零点 ------------------

又由于2z =是2

(2)z z -的一级零点， 0z =是2

(2)z z -的二级零点 所以2z =是()f z 的一级极点，-------

由于222222

00(2)1()2

lim lim(2)(sin )(sin )z z z z z z z z πππππ→→--=-?=

所以0z =是()f z 的可去奇点。

当,0,2z k z =≠时，k 是()f z 的二级极点。 --------------------2' 4.函数()f z 孤立奇点为0z =二级极点，1z = 一级极点 …

22011

Re [(),0]lim()1(21)!(1)z s f z z z z →'=

=---

21

1

Re [(),1]lim(1)

1(1)

z s f z z z z →=-=- …

5. 求方程23t

y y y e -'''+-=满足初始条件00|0,|1t t y y =='==的解

解：设方程的解为()y t ，方程两端同取拉普拉斯变换，可得： 2

1

()12()3()1

s Y s sY s Y s s -+-=

+ 所以 (+2)()(+1)(1)(+3)s Y s s s s =

-，可化为13111

()(+1)8(1)8(+3)

Y s s s s -=++-

两边同取拉普拉斯逆变换，可得3131()488

t t t

y t e e e --=-+-…………4′

2007年《复变函数与积分变换》试题解答

一、（1）-3，1，-3； （2）22； （3）422

4

)2(ωπω--e ；

（4）()2ln sin 2ln cos )4

1

2(i e k ++-π（5）1--t e t .

二、（1）A ； （2）D ； （3）C ； （4）B ； （5）C.

三、.)(,)(22

2222222y x y x y v y x xy x v +-=??+-=??

由R C -方程，

).()().()(2,)(22

22222

22222

22x y x y x x u x y x x

dy y x xy u y x xy

x v y u ??'++-=??++-=+=+-=??-=??? 又2

22

22)

(y x y x y v x u +-=??=??，故有 0)(='x ?， C x =)(?.

所以C y

x x

u ++-

=2

2， .

1

)(2

222C z

y x y

i

C y x x iv u z f +-=++++-=+=

由2)1(=f 得3=C ，所以z

z f 13)(-

=. 四、（1）原式.sin cos cos cos )(cos 0

0?

?

-=+-=+-=-=i

i

i

i

ie i i i zdz z z z zd

（2）因为

z

cos 1

在C 上及C 内部解析，由Cauchy-Coursat 基本定理，原式=0. （3）原式.2)sin (2cos 22

2i z i z dz d

i

z z πππππ-=-===

=

（4）原式.6423211i i i dz z z C πππ=+=?

?

? ??-++=

? （5）原式?=--+=?

?? ??--+--++=

C i i i i dz i z i z z z .0)2222(4

1

11111141ππππ （6）令θ

i e z =，则.1

,22cos 1dz iz

d z z

e e i i =+=+=--θθθθ

原式?=--=

1

.)3)(13(z dz z z z i

记)

3)(13()(--=

z z z i

z f ，则

Res i z f z z f z 8

3

)(31lim 31),(3

1-=??

? ??-=??

???

?

→,

Res [].3

)(lim 0),(0

i

z zf z f z =

=→ 原积分12

3832π

π=??

? ??+-=i i i .

五、4

2

31)(-+

-=

z z z f . （1）在120<-

[]

().

2211 )2()2(1 2

2

11

)2(112)2(21)2(1)(02

2∑∞

=-??? ?

?+-=+-+-+-=---

---=--+--=

n n z z z z z z z z f Λ （2）在43<

Λ

Λ+---+++=--

-?=

52

32322221133 4

11213111)(z z z z z z

z z z f （3）在+∞<

复变函数试题及答案

1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得 z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数

4、根式31-的值之一是（ ） A i 2321- B 2 23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =-12 3z z dz B ? =-1 2 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1w 的分式线性变换是（ ） A )1(1>--=a z a a z e w i β B )1(1<--=a z a a z e w i β C )1(>--=a a z a z e w i β D )1(<--=a a z a z e w i β 三、判断题（每小题2分）

复变函数与积分变换期末考试试卷A及答案

复变函数与积分变换期末试题（A ）答案及评分标准 复变函数与积分变换期末试题（A ） 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 231i -的幅角是（Λ2,1,0,23 ±±=+-k k ππ ）；2.)1(i Ln +-的主值是 （ i 4 32ln 21π+ ）；3. 211)(z z f += ， =)0() 5(f （ 0 ）； 4．0=z 是 4 sin z z z -的（一级）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1）； 二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ B ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2 ) 1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在（ C ） （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( B ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；

(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析， 则 0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ D ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞ (B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞ (D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分） （1）设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算 ? -C z z z z e d ) 1(2 其中C 是正向圆周：2=z ； （3）计算?=++33 42215 d )2()1(z z z z z （4）函数3 2 32) (sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点，如果有极点，请指出它的级. 四、（本题14分）将函数) 1(1 )(2 -= z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<-

复变函数经典习题及答案

练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13

复变函数_期末试卷及答案

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 ．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ） 8．已知3 1z i =+，则下列正确的是（ ） 9．积分 ||342z dz z =-??的值为（ ） A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于（ ） A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ） A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上，条件收敛 12．0=z 是函数(1cos ) z e z z -的（ ） A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点

复变函数试题与答案

第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3

７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续

复变函数与积分变换模拟试卷(一)

复变函数与积分变换模拟试卷一 一、选择题 （选出一个正确答案，并将正确答案的字母填写在括号内。每小题 2 分，共 20 分） 1．已知4 z arg 2π = ，则argz= （ ） A ． 8π B ．4π C ．2 π D ．π 2．已知方程(1+2i)z=4+3i ，则z 为 ( ) A. 2+i B. -2+I C. 2-i D. -2-i 3．下列区域为有界单连通区域的是 ( ) A ．0<|z-i|<1 B ．0

C.z z dz C sin ? ，其中C 为正向圆周|z|=1 D.cos z z dz C -?1 ，其中 C 为正向圆周|z|=2 5.z= π3 是函数f(z)= sin() z z - -ππ 33的（ ） A.一阶极点 B.可去奇点 C.一阶零点 D.本性奇点 三、(10分) 设 d c b a ,,,为实数, 试求二次方程 0)(2=++++di c x bi a x 至少有一实根的条件. 四. (10分) 设? -++= C d z z f λλλλ1 73)(2 ，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 五. (10分) 计算积分 ? -+= C z z z dz I ) 2)(1(3 的值, 其中.2,1,|:|≠=r r z C 六. (10分) 求函数 (1)(2) z z z --在1||2z <<内的罗朗展式。 七. (10分) 求积分 ? =-1 ||)1(2.z z z a dz e 八. (10分) 试作一个解析函数，它把上半平面Im 0z >保形双射成w 平面的半带域 R e 2 2 w π π - << ，Im 0w > . 九、(10分) 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析， |()|f z 等于常数，则()f z 在D 内恒等于常数。 复变函数模拟试题 试题(四)答案 一. 填空题 1. .2532 ,251 -- 2. e i z z c +. 3. 101 (1)112362n n n n z z ∞ +=??--+- ? ?? ∑ 4. 2πi -. 5. i 000 e ()(Im 0)z z z z z θ ->-

复变函数试题与答案

复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-

第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 321+- （D ）i 2 1 23+- 3．复数)2 (tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ） )]2 3sin()23[cos( sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小

５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i -- 4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无 界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ）

复变函数测试题及答案

第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ）

（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z

（C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z

复变函数与积分变换 期末试卷及答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2007－08 学年第1学期 考试科目： 复变函数与积分变换 考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 4 .34arctan 3 A i π-+-的主辐角为 .arg(3)arg()B i i -=- 2.rg(34)2arg(34)C a i i -+=-+ 2 .||D z z z ?= 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） .z A z e + 2 sin . 1 z B z + .tan z C z e + .sin z D z e + 6．在复平面上，下列命题中，正确．． 的是（ ） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = .cos sin iz C e z i z =+ . ||D z = 7．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ）

浙江大学复变函数模拟试卷2份word资料6页

第一部分（共40分） 一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1、设z=1-√3i，则（） ππ A、|z|=2，arg z=- --- B、|z|=1，arg z=--- 3 3 ππ C、|z|=4，argz=- --- D、|z|=2，argz=--- 3 3 2、下列复数表达式中正确的是（）π A、-1=eiπ B、-1=-e-iπ C、-1=-eiπ D、-1=e-2i （1+i）（2-i） 3、-------------=（） I 2A、1+2iB、2+iC、1-3iD、-1-3i 4、函数f（z）=|z|2在复面上（） A、处处不连续 B、处处连续，处处不可导 C、处处连续，仅在z=0点可导 D、处处连续，在z=0点解析 5、在复数域内，下列数中为实数的是（） A、（1-i）3 B、ii C、1ni D、√-8 6、解析函数的实部u（x，y），和虚部v(x,y)所满足的柯西-黎曼条件为（） u υ u υ u υ u υ A、---=---,---=--- B、---=---,---=- --- x y y x x y y x u υ u υ u υ u υ C、---=---,---=--- D、---=- ---,---=--- x x y x x y y x 7、2sini=（） A、（e-1-e）i B、（e+e-1）i C、（e-e-1）i D、e-e-1 8、设f（z）=u（x，y）+iυ（z，y）是一个解析函数。若u=y，则f′（z）=（）

复变函数及积分变换试题及答案

第一套 第一套 一、选择题（每小题3分，共21分） 1. 若（ ），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。 A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。 2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（ ）。 A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C + 3. 2|2|1(2)z dz z -==-?（ ） 。 A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（ ）。 A. 1 01 ()2()n n f d c i z ξξ πξ+= -? B. 0()!n n f z c n = C. 2 01()2n k f d c i z ξξπξ= -? D. 210! ()2()n n k n f d c i z ξξ πξ+= -? 5. z=0是函数z z sin 2 的（ ）。 A.本性奇点 B.极点 C. 连续点 D.可去奇点 6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ）。 A.1 z z w -= B. z 1z w -= C. z z 1w -= D. z 11 w -= 7. sin kt =（）L （ ），（()Re 0s >）。 A. 22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. k s 1 . 二、填空题（每小题3分，共18分） 1. 23 (1)i += [1] ； ---------------------------------------- 装 --------------------------------------订 ------------------------------------- 线 ----------------------------------------------------

《复变函数与积分变换》试题及答案.

年级专业： 教学班号： 学号： 姓名: 装订线 课程名称：复变函数与积分变换考试时间：110_分钟 课程代码：7100031试卷总分：100_分 一、计算下列各题（本大题共3小题，每小题5分，总计15分） 1 ; 2、； 3、' |和它的主值 二、（8分）设 '，函数 '■在?平面的哪些点可导？若可导， 求出在可导点的导数值。 三、（10分）证明为调和函数，并求出它的共轭调和函 数。 四、（25分，每小题各5分）计算下列积分: 的正向; -de + sin 0 5. 五、（10分）将函数 gm 在下列圆环域内分别展开为洛朗级数 1. 2. ；?伫一 15界 ^： M=i ? ? 的正向; 3. ，■: 的正向; 4. 们；＜：6山「： 的正向;

(1) (2) 六、（10）1、求将上半平面lm（z>0映射到单位圆域，且满足 arg r（n =匸 ■，的分式线性映射，。 I U-1"=—- 2、平面的区域恥环犬-.被映射映射到’平面的什么区域？ 「2 （f f（t）-- 七、（5分）求矩形脉冲函数〔° 曲我的傅氏变换。 八、（6分）求’1的拉普拉斯变换。 九、（5分）求的拉氏逆变换。 十、（6分）利用拉氏变换（其它方法不得分）求解微分方程： 一、参考答案及评分标准：（本大题共3小题，每小题5分，总计15分） 1、 * _ JT It & (1 - = ]6[oos( ——) + /sin( ——)] - m + + 4 4 =16(QDS(-2JT)-F /SII M -2?)) =16 (2) 3 3、

2 1 四、参考答案及评分标准：（每小题 5分，共25分） 由柯西-黎曼方程得： ' 即 '.所以’在 ’可导. 三、参考答案及评分标准：（10分） v^= 2-3?十3穴二…欣空二= “ &x J A 2 dy 得, 卩二 J(-6砂必=-3A y 十 g(y} - r 故 -?」；、’；J/' 二、参考答案及评分标准：（ 8 分) 解： ■ 异上F ，因为 dv ov =乩——= 0,——=2y Ex d 2u 沪 口 W C?j/ ，所以 为调和函数. 证明:

复变函数测试试题库

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《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内

复变函数试题及答案

一、填空题（每小题2分） 1、复数i 212-- 的指数形式是 2、函数w =z 1将Z S 上的曲线()1122=+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 2222= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11- -的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续

B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ） A i 232 1- B 2 23i - C 223i +- D i 2 3 21+ - 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1 cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =- 1 2 3 z z dz B ?=- 1 2 1 z z dz C ?=++12 42z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-0 2121n n n n z （z <1） B () ∑∞ =+-0 1 221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-0 1 2121n n n n z （z <1） D () ∑∞ =-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1