高中理科数学解题方法23.2(函数与导数2)

专题二函数与导数

一．专题综述

函数是整个高中数学的核心内容，所有知识都围绕这一主线展开，均可以与函数建立联系，函数知识的运用也贯穿高中学习的全过程，理所当然是高考的重点。

1.考纲要求

（1）掌握集合的概念与运算；

（2）了解映射的概念；

（3）掌握函数、反函数的概念，会建立简单的函数关系，并能求简单函数的反函数；

（4）理解函数图像及函数图像关系的重要结论，能借助函数的图像解决函数自身、方程、不等式的有关问题；

（5）掌握函数的性质（定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、周期性）；能借助函数的性质去解决问题；

（6）掌握函数的极限的定义，能求简单函数的极限；掌握函数连续的概念，了解函数有极限、连续的关系；

（7）掌握导数的概念及意义，掌握常见函数的导数公式，能用导数求曲线的切线方程，能求简单函数的导数，能利用导数研究函数的单调性、最值。

2.考题设置与分值：

每年高考试题涉及函数的题目都占有相当大的比重（约30分），具体表现在：

（1）以客观题的形式独立（或简单综合）考查函数的概念、图像、性质及其应用；（1-2题）

（2）以主观题（解答题后三题之一）的形式考函数与导数的综合（1个解答题）

（3）在其它知识考查时加入函数的成分，主要体现在：①不等式与函数综合；②数列与函数综合；③解析几何与函数综合。

3.考试重点及难度：

（1）函数的基本性质，是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数。

研究基本性质：①不可忽略定义域对函数性质的影响。函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度；②对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，同时掌握运用导数方法研究函数单调性的方法步骤，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系。掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等；③要善于挖掘抽象函数定义内涵，研究抽象函数的一些性质。会利用单调性、奇偶性解抽象函数值域问题，解抽象不等式等。

(2)函数的图像。函数图像是函数形的体现，高考着力考查学生作图、识图、用图能力。作图是会应用基本函数图形或图形变换的方法，画出给定的图像；识图是要能从图像中分析函数性质或生成另外的图像；用图是会用数形结合思想，善于将代数问题图像化或图像问题代数化。

(3)函数的一些小结论。要重视并加强一些小结论形成过程的理解：例如：

设函数()f x 的定义域为R ，则有：

①如()()f a x f b x +=-恒成立?函数()f x 图像关于2

b a x +=对称；

②如()f x 经过变换得到两函数()y f a x =+和()y f b x =-，则所得两个函数图像关于2

b a x -=对称；

③如()()f a x f x b +=-恒成立?函数()f x 是以T a b =+为周期的周期函数； ④如()(2)2f x f a x b +-=恒成立?函数图像关于点(,)a b 对称；

⑤如函数()f x 的图像关于x a =对称，又关于()x b a b =≠对称，则函数()f x 一定是以2T a b =-为一个周期的周期函数；

⑥如函数()f x 的图像关于x a =对称，又关于点(,)b c 对称，则函数()f x 一定是以4T a b =-为一个周期的周期函数；

再如：抽象函数是有特殊、具体的函数抽象而得到。头脑中要有满足抽象条件的具体函数的模型。如()()()f xy f x f y =，()()()f xy f x f y =+，

()()()1()()

f x f y f x y f x f y ++=

-

再如：指数函数()b

f x ax x

=+

图像大致形状，单调区间，值域应快速求出，等等。

(4)函数思想与方法。函数是高中数学的主线，在考查其他知识时（如：方程、不等式、数列、解析几何、立体几何等）运用函数观念和方法找出解决问题的突破口这也是高考一种趋势；

(5)导数。利用导数去研究函数，进而研究方程、不等式，这是高考的一个重要考点，一般以解答题的后三题的形式出现，所以有一定的难度。

二．考点选讲

【考点1】函数的图像及其应用：

以客观题的形式考察函数的图像及其应用，这是高考的必考点，他体现了数形结合的数学思想。这类题一般以客观题的形式出现，虽说难度不大，但往往比较灵巧。对函数的图像我们不仅要会作，还要能识图、用图。

【例1】单位圆中弧AB 长为x ，()f x 表示弧AB 与弦AB 所围成弓形面积的2倍。则函数()f x 的图像是（ ）

【解析】解一：定量分析。可列出()sin f x x x =-，知0x π<<时，()f x x <，()f x 图像在y x =下方；2x ππ<<时，()f x x >，()f x 图像在y x =上方。选D

解二：定性分析。当x 从0增至2π时，()f x 变化经历了从慢到快，从快到慢的过程。

解三：观察()f x 满足：()()2()f t f t f πππ++-=，故()f x 图像以(),ππ为对称中心。

【注】 此题考查作图、识图、用图的能力。解析二与解析三直接避开求()f x 解析式，把图像与性质对应，通过性质，作出判断，本题对学生分析思考能力，要求较高。

【练习1】已知函数(21)y f x =+为偶函数，则函数(2)y f x =图像关于直线 对称，函数()y f x =图像关于直线 对称。

【练习2】设定义域为R 函数()f x 满足()(4),f x f x -=-+且当2x >时，()f x 单调递增，如果124x x +<且()()02221<--x x ，则12()()f x f x +的值（ ） A 、恒小于0 B 、恒大于0 C 、可能为0 D 、可正可负

【练习3】设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，g(x)是定义在R 上的恒大于零的

偶函数，且当x>0时有f /(x) g(x)

(x)，若f(1)=0，则不等式f(x)≥0的解集是 ( ) A ．（-∞，-1）?(1，+∞） B.[-1，0）?(0，1] C.（-∞，-1]? [0，1] D.（-1，0）?(0，+∞)

【注】通过构造函数来研究不等式（解不等式或证明不等式）是一种很重要的思路；

A B

C

D

【考点2】函数性质的研究及应用

用客观题的形式综合考察函数的性质及其应用，这是近几年高考的必考点。 【例2】函数y=f(x)（x ∈R ）满足：)()(x f x f -=-，)1()1(x f x f -=+，当x ∈[-1，1]时，f(x)=x 3,则f(2007)的值是

A ．-1 B. 0 C.1 D. 2

【解析】函数即关于原点对称，又关于直线x ＝1对称，∴f （x ）是以4为周期的周期函数

∴f （2007）＝f （3）=f （-1）＝-1，选A

【注】本题考查周期函数的应用，要注意关于周期函数的几个小结论。

【练习1】（06上海卷）三个同学对问题“关于x 的不等式232255x x x ax ++-≥在

[]1,11上恒成立，求实数a 的范围”提出各自的解题思路：

甲说：只需不等式左边最小值不小于右边最大值。

乙说：把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数最值。 丙说：把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数的图像。

参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的范围是

【练习2】定义在R 上的函数f ( x )满足f (x+2)=3f ( x )， 当]2,0[∈x 时，f (x ) = x 2-2x ，则当x ∈[-4,-2]时，f(x)的最小值是（ ）

A ．91 B. 91- C.3

1

- D. -1

【注】这是一种呈周期萎缩的函数，一般的是f （x+T ）=kf （x ）（k ≠1)，注意它的图像。

【考点3】反函数的概念

函数的反函数的概念、求法，反函数的定义域、值域与原函数的定义域、值域的关系在复习中要引起重视。 【例3】已知f(x)是定义在R 上的函数它的反函数是f -1(x)，若f -1(x+a)与f(x+a)互为反函数，且f(a)=a （a 为非零常数），则f(2a)的值为 A ．-a B. 0 C. a D. 2a

【注】反函数是高考的必考点，在求反函数时要关注反函数的定义域——原函数的值域。

【考点4】导数的意义及应用

【例4】已知函数x x x f 3)(3-=，过点)6,2(-P 作曲线)(x f y =的切线的方程为________.

【解析】54243-=-=x y x y 或

【注】利用导数求切线的斜率，从而的切线的方程，这是基本思路；本题要注意;过某点的切线与再某点的切线是不同的概念。

【练习1】设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =

的图象如右图所示，

则导函数y =f

'(x )可能为（ ）

C D 【注】考查原函数的单调性与其导函数的正负关系；也可根据原函数的极值点的情况做出判断。

【练习2】.设球的半径为时间t 的函数()R t 。若球的体积以均匀速度c 增长，则球的表面积的增长速度与球半径

A.成正比，比例系数为C

B. 成正比，比例系数为2C

C.成反比，比例系数为C

D. 成反比，比例系数为2C 【考点5】抽象函数的问题

给出一个抽象函数的条件，要你研究其性质，这类题最近几年高考大题未考，但在客观题中却不时出现，要掌握解这类题的基本思路——赋值

【例5】. 设函数)(x f 定义在R +上，对任意的+∈R m n 、，恒有

)()()(n f m f n m f +=?，且当x>1时，0)(

（1）求)1(f 的值，并判断)(x f 的单调性； （2）设{}0)()(|)(>-++=y x f y x f y x A ，，

{}R a y ax f x B ∈=+-=，，0)2(|)y (，若 A ∩B ≠φ，求实数a 的取值范

围；

（3）若b a <<0，满足|)2

(|2|)(||)(|b a f b f a f +==

求证：223+<

【练习1】 定义在（-1，1）上的函数f(x)满足：对任意x 、y ∈(-1,1)都有

)1()()(xy

y

x f y f x f ++=+。

（I ）求证：函数f(x)是奇函数；

（II ）如果当 )01(，-∈x 时，有f(x)>0，判断f(x)在 (-1,1)上的单调性，并加以证明；

（III ）设-1-+x

f a f

【考点6】函数、导数的综合问题

用导数研究函数的性质，进而解决其他问题（方程的根的问题、不等式恒成立的问题），这是近几年高考的趋势，一般以后三题的形式出现，题目有一定的难度，但这类题易入手。 【例6】.设函数f(x)=4

ln

4

2x x x +

-- （1）求f(x)的极值； （2）求f(x)的对称中心；

（3）设 f(x)的定义域是D ，是否存在[a ，b]?D ，当x ∈[a ，b]时，f(x)的值域[4

,4a b

] ?若存在，求出实数a ，b 的值；若不存在，说明理由。

【练习1】. .已知函数x a x x x f ln 2)(2++=.

(1)若函数)(x f 在区间(0,1)上恒为单调函数，求实数a 的取值范围； (2)当1≥t 时，不等式3)(2)12(-≥-t f t f 恒成立，求实数的取值范围。 【练习2】 已知函数14)(234-+-=ax x x x f 在区间[0，1]上单调递增，在区间 [1，2]上单调递减；

（1）求a 的值；

（2）求证：x=1是该函数的一条对称轴；

（3）是否存在实数b ，使函数1)(2-=bx x g 的图象与函数f(x)的图象恰好有两个交点？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由.

【练习3】已知函数f (x )=x lnx (1) 求函数)(x f 的单调区间和最小值；

（2）当b>0时，证明：e

b e b 11?

?

?

??≥

（3）若a>0,b>0, 证明：

()()()()b f b a f b a a f -+≥++2ln

三．专题训练

《函数与导数》测试题 满分：150分 时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的．请把所选项前的字母填在答题卷的表格内）

1．设2:f x x →是集合A 到集合B 的映射，若{}1,2B =，则A B 为 ( )

A ．?

B ．{1}

C ．?或{2}

D ．?或{1}

2．函数x x x f ln )(+=的零点所在的区间为 （ ）

A ．（－1，0）

B ．（0，1）

C ．（1，2）

D ．（1，e ）

3．若函数2()log (3)a f x x ax =-+在区间(,]2

a

-∞上为减函数，则a 的取值范围是

( )

A ．(0，1)

B ．(1，＋∞)

C ．(1，23)

D ．(0，1)∪(1，

23)

4．已知函数)(x f 存在反函数)(1

x f

-，且)1(+x f 的图象过定点（3，1），则函数

)(1

x f

-的图象一定过点

（ ）

A ．)1,4(

B ．)1,2(

C ．)4,1(

D ．)2,1(

5．若

0()ln 0

x

e x g x x

x ?≤=?

>?，则

1

(())2

g g =

（ ）

A 、1

2

B 、1

C 、1

2e D 、ln 2-

6．曲线313y x x =

+在点4

(1,)3

处的切线与坐标轴围成三角形面积为 （ ） A 、19 B 、29 C 、13 D 、2

3

7．已知

32()f x ax bx cx d

=+++的图象如图所示，则有

( )

A ．0b <

B ．01b <<

C ．12b <<

D ．2b >

8．函数)(x f 的定义域为（a,b ），其导函数

),()(b a x f y 在'=内的图象如图所示，

则函数)(x f 在区间（a,b ）内极小值点的个数是 （ ）

（A ）1 （B ）2 （C ）3

（D ）4

9. 已知函数()f x 定义域为R ，则下列命题：

①若()y f x =为偶函数，则(2)y f x =+的图象关于y 轴对称. ②若(2)y f x =+为偶函数，则()y f x =关于直线2x =对称. ③若函数(21)y f x =+是偶函数，则(2)y f x =的图象关于直线1

2

x 对称. ④若(2)(2)f x f x -=-，则则()y f x =关于直线2x =对称. ⑤函数(2)y f x =-和(2)y f x =-的图象关于2x =对称.

其中正确的命题序号是 ( )

A 、①②④

B 、①③④

C 、②③⑤

D 、②③④ 10. 设()f x 是连续的偶函数，且当x >0时()f x 是单调函数，则满足

y

x

o

1

2

3()4x f x f x +??

= ?+??

的所有x 之和为 （ ）

A ．3-

B ．3

C ．8-

D ．8

11．某工厂从2000年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越快，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的产量y 与时间t 的函数图像可能是 (

12． 函数)(x f 在定义域R 内可导，若)2()(x f x f -=，且当)1,(-∞∈x 时，

)()1(<'-x f x ，设

).

3(),2

1

(),0(f c f b f a ===则

（ ） A ．c b a << B ．b a c << C ．a b c << D ．a c b << 二.填空题(每小题4分,共16分) 13.对任意实数x ，定义[]x 为不大于x 的最大整数（例如[3.4]3,[ 3.4]4=-=-等），设函数()[]f x x x =-，给出下列四个结论：①()0f x ≥；②()1f x <；③()f x 是周期函数；④()f x 是偶函数。 其中正确结论的是

14．定义非空集合A 的真子集的真子集为A 的“孙集”，则集合{}1,3,5,7,9的“孙集”的个数有 个．

15.若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为2y x =，值域为{1,4}的“同族函数”共有______个.

16.设()f x 是定义在R 上且以3为周期的奇函数，若(1)1f ≤，23(2)1

a f a -=+，

则实数a 的取值范围是 ．

三.解答题（本大题共6小题。共74分，解答应写出文字说明。证明过程或运算步骤）

17、 对于函数()f x ），若()f x x =，则称x 为()f x 的“不动点”.若[()]f f x x =，则称x 为()f x ）的“稳定点”；函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即{}|()A x f x x ==，{}|[()]B x f f x x ==.

（1）求证：A B ?；

（2）若2()1f x ax =-(,)a R x R ∈∈，且A B φ=≠，求实数a 的取值范围.

18.设函数22()(1)ln(1)f x x x =+-+ (1)求函数)(x f 的单调区间;

(2)当]1,11[--∈e e

x 时，不等式()f x m <恒成立,求实数m 的取值范围;

(3)关于x 的方程2()f x x x a =++在[0,2]上恰有两个相异实根，求a 的取值范围.

19设函数()f x 的定义域为R ，对于任意实数,x y ，总有()()()f x y f x f y +=?，且当0x >时，0()1f x <<．

(1)求(0)f 的值；(2)证明：当0x <时，()1f x >； (3)证明：()f x 在(,)-∞+∞上单调递减；

(4)若{}|()(1)(1)M y f y f a f =-≥，{}2|(1)1,N y f ax x y x R =++-=∈，且

M

N φ≠，求a 的取值范围．

20．（本小题满分14分）

对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:

）物体质量（含污物）

污物质量

-

1为8.0, 要求清洗完后的清洁度为99.0. 有两种方

案可供选择, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为)31(≤≤a a . 设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是

1

8

.0++x x )1(->a x , 用y 单位质量的水第二次清洗后的清洁

度是

a

y ac

y ++, 其中c )99.08.0(<

(Ⅱ)若采用方案乙, 当a 为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并讨论a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.

21．（本小题满分12分

已知二次函数),,0(1)(2R b a bx ax x f ∈>++=设方程()f x x =有两个实数根12,x x .

(Ⅰ)如果4221<<-; (Ⅱ)如果201<

22.定义函数()(1)1n n f x x =+-，2x >-，n *∈N ，其导函数记为()n f x '。

（Ⅰ）求证：()n f x nx ≥；

（Ⅱ）设

0101()(1)

()(1)

n n

n n f x f f x f ++'='，求证：001x <<； （Ⅲ）是否存在区间[,](,0]a b ?-∞，使函数32()()()h x f x f x =-在区间[,]a b 上的值域为[,]ka kb ？若存在，求出最小的k 值及相应的区间[,]a b ；若不存在，请说明理由。

参考答案

一、选择题

DCCCA DABCD CB 二、填空题

13 ①②③ 14 26 15 9 16 ]2,4

9

(--

三、解答题

17 （1）【证明】：若A ＝?，则A B ?显然成立；若A ≠?，设t A ∈，并且()f t t =，于是[()]()f f t f t t ==，即t B ∈，从而A B ?.

（2）【解】：A 中元素是方程()f x x =，即21ax x -=的实根.

由A ≠?，知0a =或0140

a a ≠???=+≥? 即14a ≥-.

B 中元素是方程22(1)1a ax x --=，即3422210a x a x x a --+-=的实根. 由A B ?知上方程左边含有一个因式21ax x --，即方程可化为

222(1)(1)0ax x a x ax a --+-+=

因此，要A B =，即方程2210

a x ax a +-+=①没有实根或实根是方程

210

ax x --=②的实根.

若①没有实根，则0a =或22

1

04(1)0a a a a ≠???=--

4a <. 若①有实根，则①的实根是②的实根。

当34a =时①有唯一根2

3x =-，检验发现是②的根。

当34a >时，方程①②同解，由此解得12x a =-，再代入②得111042a a +-=，

由此解得3

4

a =.舍去。

故a 的取值范围是［－14，3

4］

18. (1)函数定义域为),1()1,(+∞---∞ ,,1

)2(2]11)1[(2)(++=+-

+='x x x x x x f 由,0)(>'x f 得210x x -<<->或 ；由,0)(<'x f 得.012<<--

(2)由（1）知, )(x f 在]0,11

[-e 上递减,在]1,0[-e 上递增.又212,2)1(,21)11(2222+>--=-+=-e

e e e

f e e f 且.

]1,11

[--∈∴e e

x 时, ,2)]([2max -=e x f 故22->e m 时,不等式m x f <)(恒成立.

(3)方程,)(2a x x x f ++= 即0)1ln(12=+-+-x a x .记2)1ln(1)(x a x x g +-+-=,

1

1121)(+-=+-

='x x x x g 则.由,0)(>'x g 得,11>-

在[0，1）和（1，2]上各有一个实根,于是(0)0

(1)0.

(2)0g g g ≥??

解得22ln 232ln 2a -<≤- 19解：(1)令1,0x y ==时，得(0)1f =；

(2)

令

y x =-，则1＝()()()f x x f x f x -=-，即

()()1f x f x -=1

()()

f x f x ?=

-． 当0x <时，由于0()1() 1.f x f x <-<∴>；

(3)设12x x <，则210x x ->，由题设知211()0f x x >->．

212111121()()[()]()()[()1]0f x f x f x x x f x f x f x x -=-+-=--<

∴21()()f x f x <．

∴()f x 在(,)-∞+∞上单调递减；

(4)由已知及(3)得：{}|M y y a =≤，{

2|1,N y y ax x x ==++显然，当0a ≤时，M

N ≠?。0.a ∴≤

当0a >时，211|()1,24N y y a x x R a a ??

==++-∈????

要使M N ≠?，必须1

14a a

-

≤． 即24410a a -+≥0a ∴>。 故所求的a 的取值范围是a R ∈．

a

y

x

x

20． 解（1）设方案甲与乙的用水量分别为x 与z ，

由题设0.1

0.991

x x +=+，解得19x =。

由0.95c =得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y 满足0.950.99y a

y a

+=+，

解得4y a =，故34.z a =+

即两种方案的用水量分别为19和43a +。

因为13a ≤≤时，4(4)0x z a -=->，即x z >。故方案乙的用水量较少。 （2）设初次和第二次的用水量分别为x 与y 。类似（1）得

54

,(99100)

5(1)

c x y a c c -=

=--（*）

于是541

(99100)100(1) 1.5(1)5(1)

c x y a c a c a c c -+=

+-=+-----

当a 为定值时，1 1.x y a a +≥-=-+ 当且仅当

1100(1)

5(1)a c c =--时等号成立，此时1c =舍去）或1(0.8,0.99)

c =。 将1

c =*）式得

1,.x y a ==

故1

c =时总用水量最少，此时第一次与第二次的用水量分别为

1与.a 最少总用水量是() 1.T a a =-+

当13a ≤≤时，'()10T a =->，故()T a 是增函数，这说明随着a 的值的增加，最少总水量增加。

21(Ⅰ)设212()()(1)1()(),0,g x f x x ax b x a x x x x a =-=+-+=-->且

于是12121()1b a x x ax x =-+??=?，

01212212222111111

()(1)(1)21 1.2222222

b x x x x x x x x x x x a =-=---=--+>--?+=-+>-

（Ⅱ）由121ax x =知12,x x 同号，又1

1

2

2

1

02,

2

4,2,x x x x x

由于12121x x b x x +=-

，所以121111144b x x

24

x x ?+

>+ 而后者左端看成1x 的函数其正确性是显然的。故1

.4

b <

22.【略解】（Ⅰ）证明：令()()n n g x f x nx =-，则由1()(1)0n n

g x n x n -'=+-=得0x =，且，

0x =是()n g x 的唯一极小值点，故min [()](0)0n n g x g ==，

因此，有()n f x nx ≥；

（Ⅱ）00101()(1)(1)21

()(1)(1)(21)

n n n n n n f x f n x f x f n ++'-+=?='+-：显然00x >，且 10221(1)(21)

n n n x n +---=-

+-，而1101

112(11)2n n n n C C n ++++=+>+=+，故001x <<；

（Ⅲ）k 的最小值为19，相应区间4[,][,0].3

a b =-

高中数学导数与积分知识点

高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

高中高考数学专题复习《函数与导数》

高中高考数学专题复习<函数与导数> 1．下列函数中，在区间()0,+∞上是增函数的是 （ ） A ．1y x = B. 12x y ?? = ??? C. 2log y x = D.2x y -= 2．函数()x x x f -= 1 的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y ＝x 对称 3．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ．y y C ．y ＝4lgx 与y ＝2lgx 2 D ．y ＝lgx －2与y ＝lg x 100 4．下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数，且在)0,(-∞上为减函数的是（ ） A ．x x f ?? ? ??=23)( B ．1)(2+=x x f Ｃ．3)(x x f -= Ｄ．)lg()(x x f -= 5．已知0,0a b >>，且12 (2)y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为 A ． 18 B ．14 C ．12 D ．34 6．下列函数中哪个是幂函数（ ） A ．3 1-??? ??=x y B ．2 2-?? ? ??=x y C ．3 2-=x y D ．()3 2--=x y 7．)43lg(12x x y -++=的定义域为（ ） A. )43 ,21(- B. )43 ,21[- C. ),0()0,2 1(+∞?- D. ),43 []21 ,(+∞?-∞ 8．如果对数函数(2)log a y x +=在()0,x ∈+∞上是减函数，则a 的取值范围是 A.2a >- B.1a <- C.21a -<<- D.1a >- 9．曲线3 ()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）

高中数学(函数和导数)综合练习含解析

高中数学（函数和导数）综合练习含解析 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（题型注释） 1．已知函数2()ln ()f x x ax a x a R =--∈．3253()422 g x x x x =-+-+ （1）当1a =时，求证：()12,1,x x ?∈+∞，均有12()()f x g x ≥ （2）当[)1,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 2．已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=，当0≠x 时，0)()(>+'x x f x f ，若)1(f a =，)2(2--=f b ， )21(ln )21(ln f c =，则c b a ,,的大小关系正确的是（ ） A ．b c a << B ．a c b << C ．c b a << D ．b a c << 3．函数3()3f x x ax a =-+在()0,2内有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)0,4 B ．()0,1 C ．()0,4 D ．()4,4- 4．在函数()y f x =的图象上有点列(),n n x y ，若数列{}n x 是等差数列，数列{}n y 是等比数列，则函数()y f x =的解析式可能为（ ） A ．()21f x x =+ B ．()2 4f x x = C ．()3log f x x = D ．()34x f x ??= ??? 5．设:x p y c =是R 上的单调递减函数；q ：函数()() 2lg 221g x cx x =++的值域为R ．如果“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，则正实数c 的取值范围是（ ） A ．1,12?? ??? B ．1,2??+∞ ??? C ．[)10,1,2??+∞ ??? D ．10,2?? ??? 6．如果函数y ||2x =-的图像与曲线22:C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围 是（ ） A ．{2}∪(4,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．{2,4} D ．(4,)+∞

2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析

2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析 已知函数2()x f x e ax =-. （1） 若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥. （2） 若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a . 题目分析： 本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用，综合考察学生化归与分类讨论的数学思想，题目设置相对较易，利于选拔不同能力层次的学生。第1小问，通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。官方标准答案中通过()()x g x e f x -=的变形化成2()x ax bx c e C -+++的形式，这种形式的函数求导之后仍为2()x ax bx c e -++这种形式的函数，指数函数的系数为代数函数，非常容易求解零点，并且这种变形并不影响函数零点的变化。这种变形思想值得引起注意，对以后导数命题有着很大的指引作用。但是，这种变形对大多数高考考生而言很难想到。因此，以下求解针对函数()f x 本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论，始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点，力求完整的解答该类题目。 题目解答： （1）若1a =，2()x f x e x =-，()2x f x e x '=-，()2x f x e ''=-. 当[0,ln 2)x ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增； 所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->，从而()f x 在[0,)+∞单调递增；所以()(0)1f x f ≥=，得证. （2）当0a ≤时，()0f x >恒成立，无零点，不合题意. 当0a >时，()2x f x e ax '=-，()2x f x e a ''=-. 当[0,ln 2)x a ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增；所以()(ln 2)2(1ln 2)f x f a a a ''≥=-. 当02 e a <≤ 时，()0f x '≥，从而()f x 在[0,)+∞单调递增，()(0)1f x f ≥=，在(0,)+∞无零点，不合题意.

高中数学函数解题技巧方法总结(高考)

高中数学函数知识点总结 1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 2. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()()（答：，，，）022334Y Y 函数定义域求法： ● 分式中的分母不为零； ● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ● 指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ● 正切函数x y tan = ??? ??∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且 ● 余切函数x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且 ● 反三角函数的定义域 函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是 ，函数y ＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ， 值域是 [0, π] ，函数y ＝arctgx 的定义域是 R ，值域是.，函数y ＝arcctgx 的定义域是 R ， 值域是 (0, π) . 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 3. 如何求复合函数的定义域？ [] 的定，则函数，，的定义域是如：函数)()()(0)(x f x f x F a b b a x f -+=>-> 义域是_____________。 [] （答：，）a a - 复合函数定义域的求法：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围，即为[])(x g f y =的定义域。 例 若函数)(x f y =的定义域为?? ? ???2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。 分析：由函数)(x f y =的定义域为?? ? ???2,21可知：221≤≤x ；所以)(log 2x f y =中有2log 212≤≤x 。 解：依题意知： 2log 2 1 2≤≤x 解之，得 42≤≤x ∴ )(log 2x f 的定义域为{} 42|≤≤x x

高中数学 多项式函数的导数素材

多项式函数的导数 教学目的：会用导数的运算法则求简单多项式函数的导数 教学重点：导数运算法则的应用 教学难点：多项式函数的求导 一、复习引入 1、已知函数2)(x x f =，由定义求)4()(/ /f x f ，并求 2、根据导数的定义求下列函数的导数： （1）常数函数C y = （2）函数)(*N n x y n ∈= 二、新课讲授 1、两个常用函数的导数： 2、导数的运算法则： 如果函数)()(x g x f 、有导数，那么 也就是说，两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差；常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数. 例1：求下列函数的导数： （1）37x y = （2）43x y -= （3）3 534x x y += （4）)2)(1(2-+=x x y （5）b a b ax x f 、()()(2+=为常数 )

例2：已知曲线331x y =上一点)3 82(，P ，求： （1）过点P 的切线的斜率； （2）过点P 的切线方程. 三、课堂小结：多项式函数求导法则的应用 四、课堂练习：1、求下列函数的导数： （1）28x y = （2）12-=x y （3）x x y +=2 2 （4）x x y 433-= （5）)23)(12(+-=x x y （6）)4(32-=x x y 2、已知曲线24x x y -=上有两点A （4，0），B （2，4），求： （1）割线AB 的斜率AB k ；（2）过点A 处的切线的斜率AT k ；（3）点A 处的切线的方程. 3、求曲线2432+-=x x y 在点M （2，6）处的切线方程. 五、课堂作业 1、求下列函数的导数： （1）1452+-=x x y （2）7352++-=x x y （3）101372-+=x x y （4）333x x y -+= （5）453223-+-=x x x y （6）)3)(2()(x x x f -+= （7）1040233)(34-+-=x x x x f （8）x x x f +-=2)2()( （9）)3)(12()(23x x x x f +-= （10）x x y 4)12(32-+= 2、求曲线32x x y -=在1-=x 处的切线的斜率。 3、求抛物线241x y = 在2=x 处及2-=x 处的切线的方程。 4、求曲线1323+-=x x y 在点P （2，－3）处的切线的方程。

高二数学 几种常见函数的导数

高二数学 几种常见函数的导数 一、教学目标：熟记公式(C )'＝0 (C 为常数)， (x )'＝1， ( x 2 )'＝2x ， 2'11x x -=??? ??．x x 21 )'(= 二、教学重点：牢固、准确地记住五种常见函数的导数，为求导数打下坚实的基础. 教学难点：灵活运用五种常见函数的导数. 三、教学过程： （一）公式1：(C )'＝0 (C 为常数)． 证明：y ＝f (x )＝C , Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝C －C ＝0, ,0=??x y .0lim ')('0=??==∴→?x y C x f x 也就是说，常数函数的导数等于0． 公式2： 函数x x f y ==)(的导数 证明：（略） 公式3： 函数2)(x x f y ==的导数 公式4： 函数x x f y 1)(==的导数 公式5： 函数x x f y ==)(的导数 （二）举例分析 例1. 求下列函数的导数． ⑴3x ⑵21x ⑶x 解：⑴=')(3x 133-x 23x = ⑵='?? ? ??21x )(2'-x 32--=x 32x -= ⑶=')(x )(2 1'x 12121-=x 2121-=x .21x = 练习

求下列函数的导数： ⑴ y ＝x 5； ⑵ y ＝x 6； （3）;13x y = （4）.3x y = （5）x x y 2= 例2．求曲线x y 1=和2x y =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积。 例3．已知曲线2x y =上有两点A （1，1），B （2，2）。 求：（1）割线AB 的斜率； （2）在[1，1+△x ]内的平均变化率； （3）点A 处的切线的斜率； （4）点A 处的切线方程 例4．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0 的最短距离． （三）课堂小结 几种常见函数的导数公式 (C )'＝0 (C 为常数)， (x )'＝1， ( x 2 )'＝2x ， 2'11x x -=?? ? ??．x x 21)'(= （四）课后作业 《习案》作业四

2007——2014高考数学新课标卷(理)函数与导数压轴题汇总

2007——2014高考数学新课标卷（理）函数与导数综合大题 【2007新课标卷（海南宁夏卷）】 21．（本小题满分12分） 设函数2()ln()f x x a x =++ （I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln 2 ． 【解析】（Ⅰ）1()2f x x x a '= ++，依题意有(1)0f '-=，故32a =． 从而2231(21)(1) ()3322 x x x x f x x x ++++'==++． ()f x 的定义域为32?? -+ ??? ，∞，当312x -<<-时，()0f x '>； 当1 12 x -<<-时，()0f x '<； 当1 2 x >- 时，()0f x '>． 从而，()f x 分别在区间3 1122????---+ ? ?????，，， ∞单调增加，在区间112?? -- ??? ，单调减少． （Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221 ()x ax f x x a ++'=+． 方程2 2210x ax ++=的判别式2 48a ?=-． （ⅰ）若0?< ，即a << ()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值． （ⅱ）若0?= ，则a a = 若a = ()x ∈+ ，2 ()f x '= ． 当x =时，()0f x '=，

当2 x ? ??∈-+ ? ????? ，∞时， ()0f x '>，所以()f x 无极值． 若a =)x ∈+，()0f x '= >，()f x 也无极值． （ⅲ）若0?>，即a > a <22210x ax ++=有两个不同的实根 1x = 2x = 当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点， 故()f x 无极值． 当a > 1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点， 由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值． 综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为)+． ()f x 的极值之和为 2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22 e f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=． 【2008新课标卷（海南宁夏卷）】 21．（本小题满分12分） 设函数1 ()()f x ax a b x b =+ ∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为y =3． （Ⅰ）求()f x 的解析式： （Ⅱ）证明：函数()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心； （Ⅲ）证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 21．解：（Ⅰ）2 1 ()() f x a x b '=- +，

高中数学函数解题技巧及方法

专题1 函数 (理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫． 复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是： 1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解． 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制． 对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x＋a)＝f(a－x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求． 函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。

高三数学导数压轴题

导数压轴 一．解答题（共20小题） 1．已知函数f（x）＝e x（1+alnx），设f'（x）为f（x）的导函数． （1）设g（x）＝e﹣x f（x）+x2﹣x在区间[1，2]上单调递增，求a的取值范围； （2）若a＞2时，函数f（x）的零点为x0，函f′（x）的极小值点为x1，求证：x0＞x1． 2．设． （1）求证：当x≥1时，f（x）≥0恒成立； （2）讨论关于x的方程根的个数． 3．已知函数f（x）＝﹣x2+ax+a﹣e﹣x+1（a∈R）．

（1）当a＝1时，判断g（x）＝e x f（x）的单调性； （2）若函数f（x）无零点，求a的取值范围． 4．已知函数． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若存在成立，求整数a的最小值．5．已知函数f（x）＝e x﹣lnx+ax（a∈R）．

（Ⅰ）当a＝﹣e+1时，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）当a≥﹣1时，求证：f（x）＞0． 6．已知函数f（x）＝e x﹣x2﹣ax﹣1． （Ⅰ）若f（x）在定义域内单调递增，求实数a的范围； （Ⅱ）设函数g（x）＝xf（x）﹣e x+x3+x，若g（x）至多有一个极值点，求a的取值集合．7．已知函数f（x）＝x﹣1﹣lnx﹣a（x﹣1）2（a∈R）．

（2）若对?x∈（0，+∞），f（x）≥0，求实数a的取值范围． 8．设f′（x）是函数f（x）的导函数，我们把使f′（x）＝x的实数x叫做函数y＝f（x）的好点．已知函数f（x）＝． （Ⅰ）若0是函数f（x）的好点，求a； （Ⅱ）若函数f（x）不存在好点，求a的取值范围． 9．已知函数f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+2（a为常数）．

高中数学函数与导数常考题型归纳

高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1 x －a . 若a≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a ＞0，则当x ∈? ???? 0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈? ?? ?? 1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ? ?? ??1a ＝ln 1 a ＋a ? ?? ??1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ? ?? ?? 1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0； 当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，实数a 的取值范围是(0，1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.

高考理科数学全国卷三导数压轴题解析

2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析 已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++- （1） 若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2） 若0x =是()f x 的极大值点，求a . 考点分析 综合历年试题来看，全国卷理科数学题目中，全国卷三的题目相对容易。但在2018年全国卷三的考察中，很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第1小问，主要通过函数的单调性证明不等式，第2小问以函数极值点的判断为切入点，综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题，对思维能力（化归思想与分类讨论）的要求较高。 具体而言，第1问，给定参数a 的值，证明函数值与0这一特殊值的大小关系，结合函数以及其导函数的单调性，比较容易证明，这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式，比较常规。如果能结合给定函数中20x +>这一隐藏特点，把ln(1)x +前面的系数化为1，判断ln(1)x +与2/(2)x x +之间的大小关系，仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数，解法更加容易，思维比较巧妙。总体来讲，题目设置比较灵活，不同能力层次的学生皆可上手。 理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。极值点与导数为0点之间有什么关系：对于任意函数，在极值点，导函数一定等于0么（存在不存在）？导函数等于0的点一定是函数的极值点么？因此，任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。在本题目中，0x =是()f x 的极大值点的充要条件是存在10δ<和20δ>使得对于任意1(,0)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递增)，对于任意2(0,)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递减)，因此解答本题的关键是讨论函数()f x 在0x =附近的单调性或者判断()f x 与(0)f 的大小关系。题目中并没有限定参数a 的取值范围，所以要对实数范围内不同a 取值时的情况都进行分类讨论。在第1小问的基础上，可以很容易判断0a =以及0a >时并不能满足极大值点的要求，难点是在于判断0a <时的情况。官方标准答案中将问题等价转化为讨论函数2 ()ln(1)/(2)h x x x x =+++在0x =点的极值情况，非常巧妙，但是思维跨度比较大，在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是，官方答案中的函数命题等价转化思想需要引起大家的重视，这种思想在2018年全国卷2以及2011年新课标卷1的压轴题中均有体现，这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势，对学生概念理解以及思维变通的能力要求更高，符合高考命题的思想。 下面就a 值变化对函数()f x 本身在0x =附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。

高中数学函数解题技巧与方法

专题1 函数(理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫． 复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是： 1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解． 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制． 对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x＋a)＝f(a－x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求．

高中数学题型归纳大全函数与导数题专题练习二

高中数学题型归纳大全函数与导数题专题练习二 9．已知函数f（x）＝x（e2x﹣a）． （1）若y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，求a的值； （2）若f（x）≥1+x+lnx，求a的取值范围． 10．已知函数f（x）＝x2+ax+b，g（x）＝e x（cx+d），若曲线y＝f（x）和曲线y＝g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y＝4x+2． （Ⅰ）求a，b，c，d的值； （Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围． 11．已知函数f（x）=alnx x+1 +b x，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3 ＝0． （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞lnx x?1．

12．已知函数f(x)=(a ?1 x )lnx （a ∈R ）． （1）若曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为x +y ﹣1＝0，求a 的值； （2）若f （x ）的导函数f '（x ）存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围； （3）当a ＝2时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式f （x ）≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，说明理由． 13．已知函数f （x ）＝4lnx ﹣ax +a+3 x （a ≥0） （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性； （Ⅱ）当a ≥1时，设g （x ）＝2e x ﹣4x +2a ，若存在x 1，x 2∈[1 2，2]，使f （x 1）＞g （x 2）， 求实数a 的取值范围．（e 为自然对数的底数，e ＝2.71828…） 14．已知函数f （x ）＝a x +x 2﹣xlna （a ＞0且a ≠1） （1）求函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；

2020高考数学函数与导数综合题型分类总结

函数综合题分类复习 题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 0)('=x f 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种： 第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征 )()(x g x f >恒成立 0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立；参考例4； 例1.已知函数32 1()23 f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，2 2()3 f x a ->恒成立，求a 的取值范围． 例2.已知函数b ax ax x x f +++=2 3)(的图象过点)2,0(P . （1）若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6，求函数)(x f y =的解析式；（2）若3>a ，求函数)(x f y =的单调区间。 例3.设2 2(),1 x f x x = +()52(0)g x ax a a =+->。 （1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域； （2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。 例4.已知函数 32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-， 32 6()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域； （Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。 例5.已知定义在R 上的函数 32()2f x ax ax b =-+） （0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围. 例6.已知函数 2233)(m nx mx x x f +++=，在1-=x 时有极值0，则=+n m 例7.已知函数23)(a x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为 510 2，函数33)()(2 2 +-=a bx x f x g ． （1） 若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式； （2） 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42 x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数m 的取值范围． 答案： 1、解：（Ⅰ） '2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点， ∴2x =是方程2 220x bx -+=的一个根，解得32 b =. 令'()0f x >，则2 320x x -+>，解得1x <或2x >. ∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞，(2, +)∞. （Ⅱ）∵当(1,2)x ∈时 '()0f x <，(2,3)x ∈时'()0f x >， ∴ ()f x 在（1，2）上单调递减，()f x 在（2，3）上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1，3]上的最小值，且 2 (2)3 f a = +. 若当[1, 3]x ∈时，要使 22()3f x a -> 恒成立，只需22(2)3f a >+， 即2 2233 a a +>+，解得 01a <<. 2、解：（Ⅰ）a ax x x f ++='23)(2 ． 由题意知? ??=+-=-'==623)1(2)0(a a f b f ，得 ???=-=23b a ． ∴ 233)(23+--=x x x x f ． （Ⅱ）023)(2=++='a ax x x f ． ∵ 3>a ，∴ 01242>-=?a a ．

2015高考复习专题五 函数与导数 含近年高考试题

2015专题五：函数与导数 在解题中常用的有关结论（需要熟记）： (1)曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+ (2)若可导函数()y f x =在0x x =处取得极值，则0()0f x '=。反之，不成立。 (3)对于可导函数()f x ，不等式()f x '0>0<（）的解集决定函数()f x 的递增（减）区间。 (4)函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：x I ?∈()f x '0≥(0)≤恒成立 (5)函数()f x 在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值，则可等价转化为方程 ()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。 （若()f x '为二次函数且I=R ，则有0?>）。 (6)()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数，进而得到()f x '0≥或 ()f x '0≤在I 上恒成立 (7)若x I ?∈，()f x 0>恒成立，则min ()f x 0>; 若x I ?∈，()f x 0<恒成立，则max ()f x 0< (8)若0x I ?∈，使得0()f x 0>，则max ()f x 0>；若0x I ?∈，使得0()f x 0<，则min ()f x 0<. (9)设()f x 与()g x 的定义域的交集为D 若x ?∈D ()()f x g x >恒成立则有[]min ()()0f x g x -> (10)若对11x I ?∈、22x I ∈，12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <. （11）已知()f x 在区间1I 上的值域为A,，()g x 在区间2I 上值域为B ， 若对11x I ?∈,22x I ?∈，使得1()f x =2()g x 成立，则A B ?。 (12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、，且极大值大 于0，极小值小于0. (13)证题中常用的不等式: ① ln 1(0)x x x ≤->② ln +1(1)x x x ≤>-（）③ 1x e x ≥+ ④ 1x e x -≥-⑤ ln 1 (1)12 x x x x -<>+⑥ 22 ln 11(0)22x x x x <->

高中数学函数与导数练习题

1、讨论函数在内的单调性 2、作出函数22||3y x x =--的图像，指出单调区间和单调性 3、求函数[]()251x f x x = -在区间，的最大值和最小值 4 、使函数y = 的最小值是 2的实数a 共有_______个。 5、已知函数()f x 的定义域为R ，且对m 、n R ∈，恒有()()()1f m n f m f n +=+-，且1()02f -=，当12 x >-时，()0f x > （1）求证：()f x 是单调递增函数；（2）试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证. 6、已知()f x 是定义在[1,1]-上的增函数，且(1)(23)f x f x -<-，求x 的取值范围。 四、强化训练 1、已知()f x 是定义在R 上的增函数，对x R ∈有()0f x >，且(5)1f =，设1()()()F x f x f x =+，讨论()F x 的单调性，并证明你的结论。 2、设函数2 ()22f x x x =-+（其中[,1]x t t ∈+，t R ∈）的最小值为()g t ，求()g t 的表达式 3、定义域在(0,)+∞上的函数()f x 满足：（1）(2)1f =；（2）()()()f xy f x f y =+； （3）当x y >时，有()()f x f y >，若()(3)2f x f x +-≤，求x 的取值范围。 4、已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的,a b R ∈， 都满足()()()f ab af b bf a =+ （1）求(0)f ，(1)f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性，并加以证明 223f(x)x ax =-+(2,2)-

三角函数解题技巧和公式(已整理)

浅论关于三角函数的几种解题技巧 本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下： 一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用： 1、由于α αααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道 )cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,3 3cos sin -=-求。 分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=- ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--= 其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。 解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：3 1cos sin 31)33(cos sin 212=?==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 39 43133]313)33[(332=?=?+= 2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ，sin θcos θ的关系应用： 由于tg θ+ctg θ=θ θθθθθθθθθcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+ 故：tg θ+ctg θ，θθcos sin ±，sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。 例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。 A ．m 2=n B ．m 2=12+n C ．n m 22= D ．22m n = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系： sin θcos θ=2 121)cos (sin 22-=-+m θθ