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四边形中的旋转、折叠问题

例题：如图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO．将纸片翻折后，点B恰好落在x

轴上，记为B′，折痕为CE，已知tan∠OB′C＝3

．

（1）求B′点的坐标；

（2）求折痕CE所在直线的解析式．

例题：（1）如图①，ABCD的对角线AC、BD交于点O。直线EF过点O，分别交AD、BC于点E、F 求证：AE=CF。

（2）如图②，将ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处。设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD、DE于点H、I。

求证：EI=FG。

例题：（2012?德州）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．

（1）求证：∠APB=∠BPH；

（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；

（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

（2012?南宁）如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．

（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；

（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；

（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．

解：（1）由折叠的性质可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，

∵DC∥AB，

∴∠EFG=∠AGF，

∴∠EFG=∠EGF，

∴EF=EG=AG，

∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF=AG），

又∵AG=GE，

∴四边形AGEF是菱形．

（2）连接ON，

∵△AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点，△AED的外接圆与BC相切于点N，∴ON⊥BC，

∵点O是AE的中点，

∴ON是梯形ABCE的中位线，

∴点N是线段BC的中点．

（3）作OM⊥AD，

设DE=x，则MO=x，

在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°，

故AE为△AED的外接圆的直径．

延长MO交BC于点N，则ON∥CD，

∵四边形MNCD是矩形，

∴MN=CD=4，

∴ON=MN﹣MO=4﹣x，

∵△AED的外接圆与BC相切，

∴ON是△AED的外接圆的半径，

∴OE=ON=4﹣x，AE=8﹣x，

在Rt△AED中，AD2+DE2=AE2，

∴22+x2=（8﹣x）2，

得x=DE=，OE=4﹣x=，

∵△FEO∽△AED，

∴=，

解得：FO=，

第17题

A ∴FG=2FO=．

故折痕FG 的长是

．

对应练习

1.（2012?泰安）如图，在矩形ABCD 中，AB=2，

BC=4，对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、AC 于点E 、O ，连接CE ，则CE 的长为（）

2.（2012?泰安）如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，∠B=120°，

OA=2，将菱形OABC 绕原点顺时针旋转105°至OA ′B ′C ′的位置，则点B ′的坐标为（）

3.（2012?泰安）如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB ′与△B ′DG 的面积之比为（）

4.如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD

于F 点，若CF =1，FD =2，则BC 的长为_______．

5.矩形纸片ABCD 的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，

折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为（）(试题82页）

B C

D ′

′N

F (第10题)

6.（2010山东潍坊）如图，直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，BC ＞AD ，AD ＝2，AB ＝4，点E 在AB 上，将△CBE 沿CE 翻折，使B 点与D 点重合，则∠BCE 的正切值是________．(89

页) 7.梯形中的对角线（88页）

8..如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半．这样的图形有【】

(A)4个

(B)3个

(D)1个

9如图所示，把一长方形纸片沿MN 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠AMD ′＝36°，则∠NMD ′等于

（A ）144° （B ）126° （C ）108° （D ）72°

10.一副三角板按图1所示的位置摆放.将△DEF 绕点A （F ）逆时针旋转60°后（图2），测得CG =10cm ，

则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为 (A) 75cm 2 (B) )32525(+cm 2

(C))33

25(+

cm 2 A B

C D

(F ) B

F )

D E

(第8题)

图2

图1

(D) )33

25( cm 2

例题：在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E ，作EF ⊥AB 交BD 于点F ，取FD 的中点G ，连结EG 、CG ，如图（1），易证 EG=CG 且EG ⊥CG. （1）将△BEF 绕点B 逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系？请

直接写出你的猜想.

（2）将△BEF 绕点B 逆时针

旋转180°，如图（3），则线段EG 和CG 又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.

解（1）EG=CG EG ⊥CG------------------------------------------------------------(2分) （2）EG=CG EG ⊥CG------------------------------------------------------------(2分)

证明：延长FE交DC延长线于M，连MG

∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°

∴四边形BEMC是矩形.

∴BE=CM，∠EMC=90°

又∵BE=EF

∴EF=CM

∵∠EMC=90°，FG=DG

∴MG=FD=FG

∵BC=EM ，BC=CD

∴EM=CD

∵EF=CM

∴F M=D M

∴∠F=45°

又FG=DG

∵∠CMG=∠EMC=45°

∴∠F=∠GMC

∴△GFE≌△GMC

∴EG=CG ，∠FGE=∠MGC------------------------------------------------------------------------(2分)

∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG

∴MG⊥FD

∴∠FGE+∠EGM=90°

∴∠MGC+∠EGM=90°

即∠EGC=90°

∴EG⊥CG------------------------------------------------------------------------------------------- (2分)

特殊平行四边形折叠问题

折叠问题 1．如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′为度． 2．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF ，若∠ABE ＝20°，那么∠EFC ′的度数为度． 3．如图,把一个长方形纸片对折两次,然后剪下一个角.为了得到一个正方形,剪刀与折痕所成的角的度数应为度． 4．如图，已知矩形纸片ABCD ，点E 是AB 的中点，点G 是BC 上的一点，? >∠60BEG ，现沿直线EG 将纸片折叠，使点B 落在约片上的点H 处，连接AH ，则与BEG ∠相等的角有个。 A.4 B. 3 C.2 D.1 E D B C′ F C D ′ A

5．如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B '处，点A 对应点为A '，且C B '=3，则AM 的长是 6.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，AB ＝3，BC ＝6，沿AE?翻折梯形ABCD ，使点B 落在AD 的延长线上，记为B ′，连结B ′E 交CD 于F ，则DE:FC= A. 13 B. 14 C. 15 D. 1 6 7.如图，在梯形ABCD 中，∠DCB ＝90°，AB ∥CD ，AB ＝25，BC ＝24. 将该梯形折叠，点A 恰好与点D 重合，BE 为折痕，那么AD 的长度为_______． 8．如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是 . 9.如图2是一张矩形纸片ABCD ，AD =10cm ，若将纸片沿DE 折叠，使DC 落在DA 上，点C 的对应点为点F ，若BE =6cm ，则CD 的长是 A B C D M N A ' B ' F E D B A C ① ② 3 4

初中绝招数学-四边形中的折叠问题

四边形中的折叠问题折叠可以带来全等图形，在平行四边形中，对角线把它分成全等的三角形，因此在四边形中经常会遇到折叠问题。解决此类问题的关键是要注意观察折叠前后的图形，发现它们之间的关系，找到边、角中的变量和不变量，寻找全等三角形，同时还会经常综合运用到四边形的有关知识。一、例题讲解例1 如图，将一张对边平行的纸条先沿EF 折叠，点A 、B 分别落在'A 、'B 处，线段FB '与AD 交于点M ，再将纸条的另一部分CFMD 沿MN 折叠，点C 、D 分别落在'C 、'D 处，且使MD '经过点F ．（1）求证：四边形MNFE 是平行四边形；（2）当翻折角BFE =∠ 度时，四边形MNFE 是菱形．（将答案直接填写在横线上）（1）证明：由题意可知21∠=∠， ∵AD ∥BC , ∴31∠=∠. ∴32∠=∠. ∴MF ME = 同理 FM FN =. ∴FN ME =. 又∵ME ∥FN , ∴四边形MNFE 是平行四边形. （2）60 例2 如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，EC 与AD 相交于点F. （1）求证：△FAC 是等腰三角形；（2）若AB=4，BC=6，求△FAC 的周长和面积. （1）证明：由题意可知△AB C ≌△ACD ≌△ACE, 所以∠DAC=∠ACE,所以△FAC 是等腰三角形；（2）解：设CF=AF=x ，且AD=BC=6,CD=AB=4 Rt △CDF 中，DF=AD-AF=6-x 由勾股定理得，2 2 2 4(6)x x +-= 133 x = A B C D A B C D

6-x= 5 3 Rt △ABC 中， AC=△FAC 的周长= 26 3 +△FAC 的面积=△ACD 的面积-△CDF 的面积= 263 例3如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知 cm CE 6=，cm AB 16=，求BF 的长．解：由题意可知△ADE ≌△AFE . ∴AF AD =，FE DE =. 在矩形ABCD 中， 16==AB CD ，CB AD =，?=∠=∠=∠90D C B , ∵6=CE , ∴10=-==CE CD DE EF . 在Rt △CEF 中，822=-= CE EF FC . 设x BF =，则x BF FC BC +=+=8, ∴x BC AD AF +===8. 在Rt △ABF 中，22 2 AF BF AB =+, 即22 2 )8(16x x +=+, 解得 12=x ，即12=BF （cm ）. 例4 在梯形纸片ABCD 中，AD BC ∥，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C '处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '．（1）求证：四边形CDC E '是菱形；（2）若BC CD AD =+，试判断四边形ABED 的形状，并加以证明．（1）证明：根据题意可知CDE C DE '△≌△， C D C D C D E C D E C E C '''∴===，，∠∠． A D B C ∥，C DE CED '∴=∠∠． C D E C E ∴=∠∠．CD CE ∴=． C D C D C E ''∴===． ∴四边形CDC E '为菱形．（2）解：当BC CD AD =+时，四边形ABED 为平行四边形．证明：由（1）知CE CD =．又BC CD AD =+ ，BE AD ∴=．又AD BE ∥，∴四边形ABED 为平行四边形． F E D C B A

四边形中的折叠问题2

平行四边形复习基础知识：如图，平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，则图中全等的三角形有，面积相等的三角形有 ___________ ，相等的线段有相等的角有 1,6,8,t ABC AC cm BC cm ?==.在R 中将此直角三角形折叠,使直角边AC 落在斜边AB 上, 点C 与点D 重合,折痕为AE,则BE 的长为 2.如图，把一张平行四边形纸片ABCD 沿BD 对折，使C 点落在E 点处，BE 与AD 相交于点O ，若∠DBC=15°，则∠BOD= 150° . 3已知，如图，将平行四边形ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点B1处，CB1交AD 于点M.求证：MB1=MD M B1 A D B C 4将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB=3，则BC 的长为（） A O C D D A C B C B O A E D

5:①如图，将矩形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点B 落在直角梯形AECD 的中位线FG 上，若 AE 的长为( )． A B C D E F G B' 6.将一个边长分别为8,16的长方形纸片ABCD 折叠,使C 点与A 点重合,则折痕EF 的长是 7矩形ABCD 沿对角线AC 折叠,点B 落在点B /处,B /C 与AD 相交于点M, (1) 求证 △MAC 是等腰三角形 (2) 若AB=4,BC=6,求△MAC 的周长和面积 8. （2008年江西省）如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B ′处，点A 落在点A ′处，(1)求证：B ′E=BF ；(2)设AE=a ，AB=b, BF=c,试猜想a 、b 、c 之间有何等量关系，并给予证明. 9如图，用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm,长BC 为10cm.当折叠时顶点D 落在BC 边上的点F 处，折痕为AE ，求EC 的长。 A B C D E F A ′ B ′ A /B

第18章平行四边形中的折叠问题

平行四边形与特殊平行四边形中的折叠型问题折叠型问题就是把一个图形一部分沿某条直线折叠后，所形成的图形问题。这类问题既是对称问题的应用，又可考查空间想象能力。此类问题可以涵盖三角形的全等、三角形的性质、勾股定理、图形变换、垂直、平行等很多知识。今天我们就一起学习折叠型问题在平行四边形与特殊平行四边形中的应用。一、平行四边形中的折叠问题 1．如图1，把一张平行四边形纸片ABCD 沿BD 对折，使C 点落在E 处。BE 与AD 相交于点O ，若∠DBC=15°,则∠BOD=________. 2．如图2，平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F 处，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为_________. 二、矩形中的折叠问题 3．如图3，把矩形纸条ABCD 沿EF ，GH 同时折叠，B ，C 两点恰好落在AD 边的P 点处，若∠FPH＝90°，PF ＝8，PH ＝6，则矩形ABCD 的边BC 长为（）Ａ．20 Ｂ．22 Ｃ．24 Ｄ．30 4．如图4，将一张矩形纸片ABCD 的角C 沿着GF 折叠（F 在BC 边上，不与B 、C 重合）使得C 点落在矩形ABCD 内部的E 处，FH 平分∠BFE，则∠GFH 的度数为_________度三、正方形中的折叠问题 5．如图5，四边形ABCD 为正方形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若 CD ＝8，则CF 等于（） A ．3 B ．5 C ．4 D ．8 6．如图6，已知正方形纸片ABCD ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，把BC 边向上翻折，使点C 恰好落在MN 上的P 点处，BQ 为折痕，则∠PBQ=_____度。 O E A B D C

四边形中的折叠问题+动点问题

F E D A B C 四边形中的折叠问题折叠可以带来全等图形，在平行四边形中，对角线把它分成全等的三角形，因此在四边形中经常会遇到折叠问题。解决此类问题的关键是要注意观察折叠前后的图形，发现它们之间的关系，找到边、角中的变量和不变量，寻找全等三角形，同时还会经常综合运用到四边形的有关知识。一、例题讲解例1 如图，将一张对边平行的纸条先沿EF 折叠，点A 、B 分别落在'A 、'B 处，线段FB '与AD 交于点M ，再将纸条的另一部分CFMD 沿MN 折叠，点C 、D 分别落在'C 、'D 处，且使MD '经过点F ．（1）求证：四边形MNFE 是平行四边形；（2）当翻折角BFE =∠ 度时，四边形MNFE 是菱形．（将答案直接填写在横线上）例2 如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，EC 与AD 相交于点F. （1）求证：△FAC 是等腰三角形；（2）若AB=4，BC=6，求△FAC 的周长和面积. 例3如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知 cm CE 6=，cm AB 16=，求BF 的长．例4 在梯形纸片ABCD 中，AD BC ∥，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C '处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '．（1）求证：四边形CDC E '是菱形；（2）若BC CD AD =+，试判断四边形ABED 的形状，并加以证明 N E F M D' A' B' C' A B C D F E D C B A

16．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝3 cm，BC＝4 cm．现将A，C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，试求AF的长和重叠部分△AEF的面积． 18．如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE＝ED，P是对角线BD上任意一点，PF ⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G．求证：PF＋PG＝AB．动点问题一、所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想数形结合思想转化思想类型： 1.利用图形想到三角形全等，相似及三角函数 2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度（动点怎么动） 3.结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据 4.分情况讨论，把每种可能情况列出来，不要漏 5.动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路 6.动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论

初中数学基础测试专项训练：特殊四边形相关的折叠问题(含答案)

特殊四边形相关的折叠问题一、选择题 1. 如图，将?ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在B ′处，若∠1=∠2=44°，则∠B 为（） A ．66° B ．104° C ．114° D ．124° 2．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，点E 在边CD 上，连接BE ，将△BCE 沿BE 折叠，若点C 恰好落在AD 边上的点F 处，则CE 的长为（） A. 53 B. 35 C. 43 D.3 4 3．如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ．若BE ：EC=2：1，则线段CH 的长是（） A.3 B. 4 C. 5 D.6 二、填空题 4．如图，折叠矩形纸片ABCD ，得折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DF ．若AB=4，BC=2，则AF= _________． 5. 如图，长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为________ cm 2．

6.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F 为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为_______. 三、解答题 7．在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处，BE和AD相交于点O. 求证：OA=OE 8.如图，将□ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点'D处，折痕l交CD边于点E，连接BE （1）求证：四边形' BCED是平行四边形（2）若BE平分∠ABC，求证：2 2 2BE AE AB+ = 9．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边 CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处。（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积。 10．将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若AB=4，BC=8， ①求菱形的边长； A B C D E O

四边形中的旋转、折叠问题.

四边形中的旋转、折叠问题例题：如图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO．将纸片翻折后，点B恰好落在x 轴上，记为B′，折痕为CE，已知tan∠OB′C＝3 4 ．（1）求B′点的坐标；（2）求折痕CE所在直线的解析式．例题：（1）如图①，ABCD的对角线AC、BD交于点O。直线EF过点O，分别交AD、BC于点E、F 求证：AE=CF。（2）如图②，将ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处。设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD、DE于点H、I。求证：EI=FG。例题：（2012?德州）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．

（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．（2012?南宁）如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．解：（1）由折叠的性质可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF， ∵DC∥AB， ∴∠EFG=∠AGF， ∴∠EFG=∠EGF， ∴EF=EG=AG， ∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF=AG），又∵AG=GE， ∴四边形AGEF是菱形．（2）连接ON，

(完整版)平行四边形与特殊平行四边形中的折叠型问题

(7题图) A B C D F E 平行四边形与特殊平行四边形中的折叠型问题折叠型问题就是把一个图形一部分沿某条直线折叠后，所形成的问题。这类问题既是对称问题的应用，又可考查空间想象能力。此类问题可以涵盖三角形的全等、三角形的性质、勾股定理、图形变换、垂直、平行等很多知识。今天我们就一起学习折叠型问题在平行四边形与特殊平行四边形中的应用。一、平行四边形中的折叠问题例1：如图1，把一张平行四边形纸片ABCD 沿BD 对折，使C 点落在E 处。BE 与AD 相交于点O ，若∠DBC=15°,则∠BOD=________. 图1 图2 例2：如图2，平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F 处，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为_________. 二、矩形中的折叠问题例3 ：如图3，把矩形纸条ABCD 沿EF ，GH 同时折叠，B ，C 两点恰好落在AD 边的P 点处，若∠FPH＝90°，PF ＝8，PH ＝6，则矩形ABCD 的边BC 长为（）Ａ．20 Ｂ．22 Ｃ．24 Ｄ．30 例4：如图4，将一张矩形纸片ABCD 的角C 沿着GF 折叠（F 在BC 边上，不与B 、C 重合）使得C 点落在矩形ABCD 内部的E 处，FH 平分∠BFE，则∠GFH 的度数为_________度图4 三、正方形中的折叠问题例5 ：如图5，四边形ABCD 为正方形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝8，则CF 等于（）A ．3 B ．5 C ．4 D ．8 图5 图6 例6：如图6，已知正方形纸片ABCD ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，把BC 边向上翻折，使点C 恰好落在MN 上的P 点处，BQ 为折痕，则∠PBQ=_____度。四、直角坐标系中关于特殊平行边形的折叠问题例7：将一矩形纸片OABC 放在直角坐标系中，O 为原点，C 在x 轴上，OA=6，OC=10。如图7，在OA 上取一点E ，将△EOC 沿EC 折叠，使O 点落在AB 边上的D 点，求E 点的坐标；图7 图8 例8:图8在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在点A 1处，已知OA=3，AB=1，则点A 1的坐标是（） A. 13(, )22 B.3(,3)2 C.33(,)22 D. 33 (,)22 小结：1．对称点的连线被对称轴垂直平分，连结两对称点既可以得到相等的线段，也可以构造直角三角形, 从而把折叠问题转化为轴对称问题， 2．利用三角形（或多边形）全等可以得到对应线段、对应角相等，要善于挖掘翻折前后所提供的相等线段与角度，从而将所给条件进行转移（集中在一起）。 3．利用勾股定理既可以计算线段的长度，又可以将已知、未知结合一起列出方程来求解（方程思想）。检测题： 1．把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C ，D 分别落在C′，D′的位置上，EC′交AD 于点G ．则△EFG 为三角形． 2．如图长方形纸片ABCD 中,AD=9,AB=3,将其折叠,使其点D 与点B 重合,点C 至点C′, 折痕为EF.求AE 的长. 3如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（） A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm 4如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF =3，则AB 的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 O E A B D C N M F E A （第7题

八年级数学下册小专题五四边形中的折叠问题练习(新版)新人教版

小专题(五) 四边形中的折叠问题 1．(2017·广州)如图，E，F分别是?ABCD的边AD，BC上的点，EF＝6，∠DEF＝60°，将四边形EFCD 沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为(C) A．6 B．12 C．18 D．24 2．(2017·舟山)一张矩形纸片ABCD，已知AB＝3，AD＝2，小明按下图步骤折叠纸片，则线段DG长为(A) A. 2 B．2 2 C．1 D．2

3．(2017·南宁)如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝2，BD＝23，将菱形按如图方式折叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的周长为7． 4．如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C 在y轴的正半轴上，OA＝5，OC＝4.在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．求D，E两点的坐标．解：在Rt△AB E中，AE＝OA＝5，AB＝4， ∴BE＝3.∴CE＝2. ∴E点坐标为(2，4)．在Rt△DCE中，DC2＋CE2＝DE2，又∵DE＝OD，

∴(4－OD)2＋22＝OD 2 .解得OD ＝52. ∴D 点坐标为(0，5 2 )． 5．(2017·鄂州)如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，FC 交AD 于E. (1)求证：△AFE≌△CDE； (2)若AB ＝4，BC ＝8，求图中阴影部分的面积．解：(1)证明：由翻折的性质可得AF ＝AB ，∠F ＝∠B＝90°. ∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D ＝90°. ∴AF ＝CD ，∠F ＝∠D . 又∵∠AEF ＝∠CED ， ∴△AFE ≌△CDE (AAS). (2)∵△AFE ≌△CDE ，∴AE ＝CE . 根据翻折的性质可知FC ＝BC ＝8. 在Rt △AFE 中，AE 2 ＝AF 2 ＋EF 2 ，即(8－EF )2 ＝42 ＋EF 2，解得EF ＝3.∴AE ＝5. ∴S 阴影＝12EC ·AF ＝1 2 ×5×4＝10. 6．(2017·济宁)(教材P 64“活动1”的变式)实验探究： (1)如图1，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；再次折叠纸片，

四边形、折叠问题几何题

1.（正方形）如图已知正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 是BC 边上的点，且AF 平分∠DAE ，求证：AE ＝EC ＋CD 2.如图，四边形ABCD,DEFG 都是正方形，求证：AE=CG 。 3.如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是OA 上任意一点，CF ⊥BE 于点F ，交OB 于点G 。求证：OE=OG 。 D F E C B A

4.如图，已知四边形ABCD 中，AD//BC ，BD ⊥AD ，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，DE=BF ，求证：∠A=∠C 。 5.如图，平行四边形ABCD 中，AE:AB=2：3，BF:BC=1:2,ABCD S =S ，求DEF S 。 6.已知如图，点E 是平行四边形ABCD 的对角线BD 上（与BD 中点不重合）的任意一点，连接AE 并延长至点F ，使AE=EF ，连接FC 。求证：FC//BD 。

7.如图，在矩形ABCD 中，PO ⊥BD ，交BC 于点P ，AB=2，BC=6，求证：PD ⊥AC 。 8.如图，在矩形ABCD 中，AB=3,BC=4,把三角形ABC 沿着AE 翻折。使点B 落在对角线AC 上，折痕AE 交BC 于点E ，求BE 的长。 9.(矩形)如图，把一张矩形的纸ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点E 处，BE 与AD 交于点F ． ⑴求证：ΔABF ≌ΔEDF ； ⑵若将折叠的图形恢复原状，点F 与BC 边上的点M 正好重合，连接DM ，试判断四边形BMDF 的形状，并说明理由． C D B A M 第22题图F E

四边形翻折问题知识分享

四边形翻折问题

四边形翻折问题 1、如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE 所在直线折叠得到△AGE，延长AG交CD于点F，已知CF=2， FD=1，则BC的长是（） A．3B．2 C．2 D．2 2、如图，在菱形ABCD中，AB=16，∠B=60°，P是AB上一点， BP=10，Q是CD边上一动点，将四边形APQD沿直线PQ折叠，A 的对应点A′．当CA′的长度最小时，则CQ的长为（） A．10 B．12 C．13 D．14 3、如图，正方形ABCD中，AB=1，M，N分别是AD，BC边的中点，沿BQ将△BCQ折叠，若点C恰好落在MN上的点P处，则PQ的长为（） A． B． C． D． 4、如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为________． 5、如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，展开后再过点B折叠矩形纸片，使按A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q，再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G．（1）连接AN，求证：△ABN是等边三角形；（2）求AM、QN的长；（3）P为线段BM上一动点，H是BN的中点，则PN+PH的最小值是多少？第3题第4题

6、如图所示，在矩形ABCD中，AB=CD=5，BC=AD=3，（1）如图①，E、F分别为CD、AB边上的点，将矩形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，设CE=x，则DE=（用含x的代数式表示），CD′=AD=3，在Rt△CD′E中，利用勾股定理列方程，可求得CE=．（2）如图②，将△ABD沿BD翻折至△A′BD，若A′B交CD于点E，求此时CE的长；（3）如图③，P为AD边上的一点，将△ABP沿BP翻折至△A′BP，A′B、A′P分别交CD边于E、F，且DF=A′F，请直接写出此时CE的长．

四边形中的折叠问题

四边形中的折叠问题教学设计一．教学内容分析折叠问题是中考中常见类型，以填空选择形式出现，应用到的知识较多，如四边形的性质、判定，勾股定理等，折叠前后的部分全等，注意总结“角平分线平行线等腰三角形来出现，折叠全等见勾股”二．教学目标： 1.知识与技能：在折纸的情境中，建立现实生活问题与几何的联系，培养联想、类比由特殊到一般等数学的思考方式，渗透转化与划归的数学思想，能较为综合运用角平分线、平行线及与三角形,多边形相关角的一些知识。 2.过程与方法：经历做数学（实践），思考，再合情推理的数学知识形成过程；通过观察一探索一猜想一验证的学习过程，体会科学发现的一般规律。 3.情感态度、价值观：建立一些活动(折纸)与几何世界的多种联系，激发学习几何的兴趣。感受到运动中蕴涵着静止，变与不变得辩证关系，在折纸中加强学生的发现探究能力和创造力。三．教学重点：折叠图形的中几何问题的发现和解决,让学生提问与质疑、尝试与探究、讨论与交流、归纳与总结。促使学生思维开放，在积极探索中形成创新性的思考与看待问题的方式，并藉此获得知识.

四．教学难点：折叠运动变化中存在的等量关系的发现和如何利用折叠中的不变量解决具体问题五．教学方式：探索式,启发式六．教学手段：计算机辅助，几何画版课件，flash课件七．教学过程（一）创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节课要研究的内容:折纸与几何解题例1：如图1，将一张长方形纸片如图1折叠，其中EF, FH为折痕，试判断∠EFH的度数？说明理由。 2.学生活动设计：学生将手中的长方形纸片折叠后，直角的结论明显，并积极思考理由。 3.教师活动设计：此题结论明显，易操作，主要目的使学生感受折叠过程中表现出重合（全等）的特性，从而造成的折痕为角平分线，从此题中得出本题实质是临补角的角平分线互相垂直，进一步得到思想方法，化复杂图形为基本图形；运动中有静止。

四边形的折叠问题

四边形的折叠问题丹阳市里庄初级中学甘浏教学目标：1.通过动手操作把握四边形折叠问题的实质； 2.在动手实践中发展学生的逆向思维和发散思维； 3.提高学生的自主探究能力、空间想象能力和判断推理能力。教学重点：准确掌握四边形折叠的相关知识。教学难点：把握折叠的变化规律，运用所学知识合理、有序、全面的解决问题。一、引入小游戏：折纸飞机（学生活动,激发学生兴趣，为本课教学埋下伏笔，并以此引出课题）二、情境创设问题1：刚才叠小飞机运用了什么知识点？问题2：对称的两个图会怎样？问题3：折痕所在直线是什么？问题4：对称两点的连线与折痕有什么关系？（通过操作、观察和联想，学生自己得出折叠的本质）透过现象看本质：透过折叠的现象，发现其本质就为_______，关键是___________ 三、合作探究（通过动手操作，联系已有知识经验，掌握寻找折痕条数的规律）将一张平行四边形纸片折一次，使折痕平分这个平行四边形的面积，这样的折叠方法有几种？这些折痕有什么共性？四、动手操作（通过动手操作，解决平行四边形中的折叠问题。小组代表展示交流，组间补充）问题5：将平行四边形纸片沿着∠BAD的角平分线AE折叠，你能找到点B 的对应点B′吗？问题6：此时构成的四边形ABEB′是什么四边形？你会证明吗？ A D

问题7：平行四边形ABCD，AC⊥AB，若将平行四边形沿AC进行折叠，你能找到点B的对应点B′吗？问题8：这时构成的四边形ACDE′是什么四边形？请证明你的结论。问题9：给平行四边形ABCD添一个什么条件，矩形ACDE′就能成为正方形？并证明。问题10：刚才研究的平行四边形，如果给它添一个直角，就成了________. （由平行四边形到矩形的过渡。先独立思考并完成，再小组交流，代表展示，最后学生自己总结解决此类问题的方法：勾股定理列方程）五、实战演练 1.已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B 与点D重合，折痕为EF，（1）BE与BF相等吗？

四边形中的折叠旋转动点问题

折叠问题如图，将一张对边平行的纸条先沿EF折叠，点A、B分别落在A’、B’处，线段FB’与AD交于点M，再将纸条的另一部分CFMD沿MN折叠，点C、D分别落在C’D’处，且使MD’经过点F。（1）求证：四边形MNFE是平行四边形；（2）当翻折角∠BFE=_______时，四边形MNEF是菱形。如图，把矩形纸片沿对角线折叠，点B落在点E处，EC与AD相交于点F。（1）求证：△FAC是等腰三角形；（2）若AB=4，BC=6，求△FAC的周长和面积。将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点恰好落在BC边上F点处，已知CE=6cm,AB=16cm,求BF的长。

在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C’处，折叠DE交BC于点E，连接C’E。（１）求证：四边形CDC’E是菱形；（２）若BC=CD+AD，试判断四边形ABED的形状，并加以证明。 1、在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A恰好落在 CD上的点F，若△FDE的周长为8cm，△FCB的周长为22cm,求FC的长。 2、在矩形ABCD中，将△ABC沿AC翻折至△AEC的位置，CE与AD交于点F；（1）试说明EF=DF；（2）若AB＝2，∠DAC＝30°，求DE两点间的距离。

3、如图，把矩形纸条ABCD沿EF、GH同时折叠，B、C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH ＝90°，PF=8，PH=6，求矩形ABCD周长和面积。 4、将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D’处，折痕为EF。（1）试说明△ABE≌△AD’F；（2）连接CF，判断四边形AECF的形状，并说明理由。如图Z10-11，在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD 于点E.将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F. (1)求证：四边形BFDE为平行四边形； (2)若四边形BFDE为菱形，且AB＝2，求BC的长．