小学奥数教程：分解质因数(一)全国通用(含答案)

1.

能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...???☆☆☆△△△的结构，而且

表达形式唯一”

一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.

（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.

（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.

例如：30235=??.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=??=?，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.

（4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212

263

，（┖是短除法的符号） 所以12223=??；

二、唯一分解定理

任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =????其中为质数，

12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.

分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.

三、部分特殊数的分解

111337=?；100171113=??；1111141271=?；1000173137=?；199535719=???；1998233337=????；200733223=??；2008222251=???；10101371337=???

.

模块一、分解质因数 【例 1】 分解质因数20034= 。

【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空

【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第2题，10分

3例题精讲

知识点拨

教学目标

5-3-4.分解质因数（一）

【例 2】 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？

【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空

【解析】 210分解质因数：2102357=???，可知这三个数是5、6和7。

【答案】5、6和7

【例 3】 两个连续奇数的乘积是111555，这两个奇数之和是多少?

【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空

【解析】 111555分解质因数：1115553353767=????=(3337??)?(567?)333335=?，

所以和为668.本讲不仅要求学生熟练掌握分解质因数，而且要注意一些技巧，例如本题中的111337=?。

【答案】668

【巩固】 已知两个自然数的积是35，差是2，则这两个自然数的和是_______.

【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】希望杯，四年级，二试，第8题

【解析】 35=1×35=5×7，5、7差2，两个自然数的和是5+7=12

【答案】12元

【例 4】 今年是2010年，从今年起年份数正好为三个连续正整数乘积的第一个年份是 。

【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】而思杯，6年级，1试，第3题

【解析】 1112131716??=，1213142184??=，所以是2184

【答案】2184

【例 5】 如果两个合数互质，它们的最小公倍数是126，那么，它们的和是 ．

【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第3题

【解析】

2126237=??，因为两个数互质且都是合数，所以这两个数只能为9和14，它们的和为23． 【答案】23

【例 6】 4个一位数的乘积是360，并且其中只有一个是合数，那么在这4个数字所组成的四位数中，最大

的一个是多少？

【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 将360分解质因数得360222335=?????，它是6个质因数的乘积.因为题述的四个数中只有一个

是合数，所有该合数必至少为633-=个质因数的积，又只有3个2相乘才能是一位数，所以这4个乘数分别为3，3，5，8，所组成的最大四位数是8533.

【答案】8533

【例 7】 已知5个人都属牛，它们年龄的乘积是589225，那么他们年龄的和为多少？

【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 基本思路与上题一样，重点还是在“1”这个因数的使用上，所以分解因数得到

589225113253749=????，五个人的年龄和为125岁。

【答案】125岁

【例 8】 如果两个自然数的和与差的积是23，那么这两个自然数的和除以这两个数的差的商是

___________。

【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】希望杯，4年级，初赛，4题

【解析】 根据题意列式子如下：()()23a b a b +-=，因为23分解质因数是1与23，所以23,1a b a b +=-=，

根据和差关系算出12a =，11b =，所以这两个自然数的和除以这两个自然数的差的商为23，

【答案】23

【例 9】 2004720??的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和最小是多少？

【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 首先分解质因数，20047202222357167??=???????，其中最大的质因数是167，所以所要求

的三个连续自然数中必定有167本身或者其倍数. 165351=??，166283=?，16822237=????，1691313=?，所以165166167??，166167168??，167168169??都没有4个2，不满足题意.说明167不可行.尝试3341=?，335567=?，336222237=?????，3343353362222235767167??=?????????，包括了2004720??中的所有质因数，所以这组符合题意，以此三数之和最小为1005.

【答案】1005

【例 10】 A 是乘积为2007的5个自然数之和，B 是乘积为2007的4个自然数之和。那么A 、B 两数之差的

最大值是 。

【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第8题，10分

【解析】

2007=1×1×3×3×223=1×1×1×9×223=1×1×1×3×669=1×1×1×1×2007，所以A 的可能值是231或235或675或2011，又2007=1×3×3×223=1×1×9×223=1×1×3×669=1×1×1×2007，所以B 的可能值是230或234或674或2010，A 、B 两数之差的最大值为 2011－230=1781。

【答案】1781

【例 11】 （老师可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？）

大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年龄一个比一个大2岁，他们四个人年龄的乘积是48384。问他们四个人的年龄各是几岁？

【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空

【解析】 题中告诉我们，48384是四个人年龄的乘积，只要我们把48384分解质因数，再按照每组相差2来

分成四个数相乘，这四个数就是四个人的年龄了。

4838428337=??(223)(27)24(232)=??????12141618=???，由此得出这四个人的年龄分别

是12岁、14岁、16岁、18岁。由题意可知，这四个数是相差2的四个整数。它们的积是偶数，

当然这四个数不是奇数，一定是偶数。又因为48384的个位数字不是0，显然这四个数中，没有

个位数字是0的，那么这四个数的个位数字一定是2、4、6、8。又因为41048384<，而44838420<，

所以可以断定，这四个数一定是12、14、16、18。也就是说，这四个人的年龄分别是12岁、14

岁、16岁、18岁。答：这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。

【答案】12岁、14岁、16岁、18岁

【例 12】 甲数比乙数大5，乙数比丙数大5，三个数的乘积是6384，求这三个数？

【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 将6384分解质因数，638422223719=??????，则其中必有一个数是19或19的倍数；经试算，

1951427-==?，195242223+==???，恰好1419246384??=，所以这三个数即为14，19，24.

一般象这种类型的题，都是从最大的那个质因数去分析.如果这道题里19不符合要求，下一个该考虑38，再下一个该考虑57，依此类推．

【答案】14，19，24

【例 13】 四个连续自然数的乘积是3024，这四个自然数中最大的一个是多少？

【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空

【解析】 分解质因数433024237=??，考虑其中最大的质因数7，说明这四个自然数中必定有一个是7的倍

数.若为7，因3024不含有质因数5，那么这四个自然数可能是6、7、8、9或7、8、9、10(10仍含有5，不行)，经检验6、7、8、9恰符合.

【答案】9

【例 14】 植树节到了，某市举行大型植树活动，共有1430人参加植树，要把人数分成相等的若干队，且每

队人数在100至200之间，则有分法（ ）。

A 、3种

B 、7种

C 、11种

D 、13种

【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】选择

【关键词】华杯赛，五年级，初赛，第4题

【解析】 只要找到100到200之间可以整除1430的数即可。1430可分解成2，5，11，13的乘积，所以可以

按每组110人，130人，143人分组，共有3个方案。所以答案为A

【答案】A

【例 15】 a 、b 、c 、d 、e 这五个无数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次为：3，6，15，18，

20，50，60，100，120，300.那么，这五个数中从小大大排列第2个数的平方是___________。

A ． 1 B. 3 C. 5 D. 10

【考点】分解质因数 【难度】5星 【题型】选择

【关键词】迎春杯，中年级，复试，2题

【解析】 D ，解：设a b c d e <<<<。由3,6ab ac ==推知2c b =；由120,300ce de ==推知552

d c b ==。222bc b b b ==?，255bd b b b ==?，22510cd b b b ==?。在15,18,20,50,60,100中，满足2:5:10的三个数是20,50,100,所以21001010b ==÷。

【答案】D

【例 16】 a 、b 、c 、d 、e 这五个数各不相同，他们两两相乘后的积从小到大排列依次为：0.3、0.6、1.5、1.8、

2、5、6、10、12、30。将这五个数从小到大排成一行，那么，左起第2个数是_________。

（A ）0.3 （B ）0.5 （C ）1 （D ）1.5

【考点】分解质因数 【难度】5星 【题型】选择

【关键词】迎春杯，高年级，复试，2题

【解析】 C ，设a b c d e <<<<。由题意知，0.3ab =，0.6ac =，推知2c b =；由12ce =，30de =，推知

3055122

d c c b ===，222bc b b b ==?，255bd b b b =?=，22510cd b b b =?=，在1.5,1.8,2,5,6,10中，满足2:5:10的三个数是2,5,10，所以21010b =，21b =，1b =。

【答案】1

【例 17】 将1～9九个自然数分成三组，每组三个数.第一组三个数的乘积是48，第二组三个数的乘积是45，

第三组三个数字之和最大是多少？

【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 分解质因数45335=??，4822223=????，可知45只能是1，5，9的乘积，而48可能是2，4，

6或2，3，8或1，6，8(舍去)，则第三组的三个数可能是3，7，8或4，6，7，其中和最大的是37818++=.

【答案】18

【例 18】 一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的

最小可能值是多少厘米?

【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和越小．如3个数的积为18，则

三个数为2、3、3时和最小，为8．1998=2×3×3×3×37，37是质数，不能再分解，所以2×3×3×3对应的两个数应越接近越好．有2×3×3×3=6×9时，即1998=6×9×37时，这三个自然数最接近．它们的和为6+9+37=52(厘米)．

【答案】52

【例 19】 一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米，那么这个长方体的表

面积是多少平方厘米?

【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 39270=2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘积，而34×34×34最接近39270，39270的约数中接

2×(长×宽+宽×高+高×长)=2×(33×34+34×35+35×33)=6934(平方厘米)．

方法二：39270=2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘积，考虑质因数17，如果17作为长、宽或高显然不满足．当17与2结合即34作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数7，与34接近的数32～36中，只有35含有7，于是7与5的乘积作为长方体的一条边的长度．而39270的质因数中只剩下了3和1l ，所以这个长方体的大小为33×34×35．长方体的表面积为

2×(

3927033+3927034+3927035

)=2×(1190+1155+1122)=2×3467=6934(平方厘米)． 【答案】6934

【例 20】 如果两数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差等于多少？

【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 4875=3×5×5×5×13，有a ×b 为4875的约数，且这两个数的和为64．发现39=3×13、25=5×5这两个

数的和为64，所以39、25为满足题意的两个数．那么它们的差为39-25=14。

【答案】14

【例 21】 有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数.

求这两个整数分别是多少？

【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个数都

可以表示成两个整数相加的形式，例如331322313301617=+=+=+==+，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了.可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每个数都是111的倍数，而111373=?，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37或37的倍数，但只能是37的2倍(想想为什么？)3倍就不是两位数了.

把九个三位数分解：111373=?、222376743=?=?、333379=?、4443712746=?=?、5553715=?、6663718749=?=?、7773721=?、88837247412=?=?、9993727=?.

把两个因数相加，只有(743+)77=和(3718+)55=的两位数字相同.所以满足题意的答案是74和3，37和18.

【答案】74和3，37和18

【例 22】 如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们称这个数为回文数．如年份数1991，

具有如下两个性质：①1991是一个回文数．②1991可以分解成一个两位质数回文数和一个三位质

数回文数的积．在1000年到2000年之间的一千年中，除了1991外，具有性质①和②的年份数，

有哪些？

【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 这一千年间回文数年份共有10个，除去1991外，还有1001，1111，1221，1331，1441，1551，1661，

1771，1881．符合条件②的两位质数只能是11，所以符合条件②的只有三个，即

11?101=1111， 11?131=1441，11?15l =1661．

【答案】11?101=1111， 11?131=1441，11?15l =1661

【例 23】 有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140．如果把所有这样的分数从小到大排列，那

么第三个分数是多少？

【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 有140=2×2×5×7，要保证分数最简即要让分子与分母是互质的，那么两个质因数2必须同时位于分

子或者同时位于分母的位置上。这样由小到大的最简分数依次是．

112245577,,,225714057352272822520?====????????，倒数第三小的是528。

【例 24】 纯循环小数0.abc 写成最简分数时,分子和分母的和是58,则三位数_________abc =

【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】填空

【解析】 如果直接把0.abc 转化为分数,应该是999

abc ,因此,化成最简分数后的分母应该是999的约数,我们 将999分解质因数得: 3999337=?,这个最简分数的分母应小于58,而且大于29,否则该分 数就变成了假分数了,符合这个要求的999的约数就只有37了,因此,分母应当为37,分子就是

583721-=,也就是说210.999372737abc abc abc ===?,因此2127567abc =?=. 【答案】567

模块二、分解质因式

【例 25】 三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数.

【考点】分解质因式 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足11abc a b c =++()，则可知a 、b 、c 中必有一个为11，不妨

记为a ，那么11bc b c =++，整理得(1b -)(1c -)12=，又121122634=?=?=?，对应的2b =、13c =或3b =、7c =或4b =、5c = (舍去)，所以这三个质数可能是2，11，13或3，7，11.

【答案】2、11、13或3、7、11

【例 26】 三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数．

【考点】分解质因式 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足7()abc a b c =++，则可知a 、b 、c 中必有一个为7，不妨记

为a ，那么7bc b c =++，整理得(1)(1)8b c --=，又81824

=?=?，对应的b =2、c =9(舍去)或b =3、c =5，所以这三个质数可能是3，5，7

【答案】3、5、7

【例 27】 如图，长方形周长为20，面积为24。另一个长方形，面积为20，周长为24。它的长是 ，

宽是 。

6

4

【考点】分解质因式 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】走美杯，3年级，决赛，第7题，10分

【解析】 周长为24则，长和宽的和为24212÷=，因为2012021045=?=?=?，因为10212+=，所以它的

长是10，宽是2。

【答案】长是10，宽是2

【例 28】 在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这

个长方体的体积是多少?

【考点】分解质因式 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 如下图，设长、宽、高依次为a 、b 、c ，有正面和上面的和为ac +ab =209．

ac +ab =a ×(c +b )=209，而209=11×19．

所以它们的乘积为11×2×17=374．

【答案】374

【例 29】 两个不同的两位质数接起来可以得到一个四位数,比如由17，19可得到一个四位数1719,由19，17

也可得到一个四位数1917.已知这样的四位数能被这两个两位质数的平均数所整除,试写出所有这样的四位数。

【考点】分解质因式 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 设这2个两位质数分别是a 和b ，则这个四位数是100a b +，根据条件可知：(100)2

a b a b ++,即(a b +)|(2002a b +)，设2002a b k a b

+=+，则2002a b k +=（a b +），化简得(200k -)a = (2k -)b ，因此2002

b k a k -=-,其中k 是整数，a 和b 均为两位质数，设200k bm -=, 2k am -=，则两式相加得(a b +)198m =，注意到a 和b 都是质数即也是奇数，所以a b +是198的约数. 21982311=??，由于a 、b 都是两位不同的质数，因为11138997a b +<+<+中的偶数，所以66a b +=

【答案】1353、5313、1947、4719、2343、4323、2937、3729

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目录 第一讲奇妙的幻方 (3) 练习卷 (9) 第二讲可能性的大小（游戏与对策） (10) 练习卷 (12) 第三讲图形的面积（一） (13) 第四讲认识分数 (17) 练习卷 (21) 第五讲行程中的相遇（相遇问题） (22) 练习卷 (26) 第六讲公因数与公倍数 (27) 综合演练 (31) 第一讲幻方（第一课时） 【知识概述】 在一个n×n的正方形方格中，填入一些连续的数字，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。幻方一般分为奇数幻方和偶数幻方。（n是几就表示为几阶幻

方）。本讲，我们将来学习这方面的知识。 例题讲学 例1在一个3×3的表格内，填入1-9九个数，（不能重复，不能遗漏），使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。可以怎样填？【和为15】 【思路分析】 这样的3×3幻方，在填写时有一定的规律和口诀： 二、四为肩，六、八为足， 左七右三，戴九履一，五为中央。【注：戴指头，履指脚。】 试试填一填吧！ 幻方（第二课时） 知识概述： 上一讲中，我们讲述了如何填写3×3的幻方，其实在幻方的知识世界里，像3×3、5×5、7×7……像这样幻方，称之为奇数

幻方，这一讲我们将来学习如何填写五阶幻方。 例题：在一个5×5的方格中，填入1-25这25个数字，使5个横列、5个竖列、2个斜列所加之和都相等。先试试看！ 看样子，要想顺利填写好这么多的表格，还真的不容易，没有口诀真的不行，下面这个口诀要记牢： 一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边放，双出占位写下方。29 你能按顺序继续写下去吗？试试看吧！ 幻方（第三课时） 根据上讲中的方法，把口诀运用到所有的奇数幻方中，可以继续填写七阶幻方、九阶幻方、十一阶幻方……，本讲，我们继续试着填写七阶幻方和九阶幻方。 【思路点拨】 再来重温一下口诀吧！

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小学奥数基础教程（四年级） 第1讲速算与巧算（一） 第2讲速算与巧算（二） 第3讲高斯求和 第4讲 4，8，9整除的数的特征 第5讲弃九法 第6讲数的整除性（二） 第7讲找规律（一） 第8讲找规律（二） 第9讲数字谜（一） 第10讲数字谜（二） 第11讲归一问题与归总问题 第12讲年龄问题 第13讲鸡兔同笼问题与假设法 第14讲盈亏问题与比较法（一） 第15讲盈亏问题与比较法（二） 第16讲数阵图（一） 第17讲数阵图（二） 第18讲数阵图（三） 第19将乘法原理 第20讲加法原理（一） 第21讲加法原理（二） 第22讲还原问题（一） 第23讲还原问题（二） 第24讲页码问题 第25讲智取火柴 第26讲逻辑问题（一） 第27讲逻辑问题（二） 第28讲最不利原则 第29讲抽屉原理（一） 第30讲抽屉原理（二） 第1讲速算与巧算（一） 计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思 维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。 我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补 速算法。 例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下： 86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。 求这10名同学的总分。 分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。观察这些数不难发现，这些数 虽然大小不等，但相差不大。我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。于是得到 总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11- ＝800＋9＝809。 实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。为了清楚起见，将这一过程表示如下：

五年级奥数之分解质因数

分解质因数 例1：判断269、439是质数还是合数? 例2：两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 例3：36的全部因数有多少个?216的全部因数有多少个? 例4：36的因数和是多少?216的因数和是多少? 例5: 李聪是个中学生，他参加了全市的数学竞赛(满分100分)。

他说：“我的名次、分数和我的年龄乘起来是3738。”李聪得了多少分，获得了第几名? 例6: 小亚、小美和小欧是三个好朋友，他们三人的年龄依次相差2岁，已知他们三人的年龄之积是1680，他们中年龄最大的上了初中，小亚和小欧在同一学校学习，小亚不是年龄最小的，那么三个好朋友的年龄分别是多少? 例7: 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？ 例8：把14、33、35、30、75、39、143、169这八个数平均分成两组，使每组数的乘积相等。

例9：一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数，求a的最小值与这个平方数。 例10：有3个自然数a、b、c.已知a×b=6，b×c=15，a×c＝10.求a×b×c是多少？ 应用与拓展 1. 两个质数和是45，这两个质数的积是多少?

2.一个两位质数，将它们的十位数字和个位数字对调后仍是一个两位质数，这样的数共有几个，求它们的和是多少? 3.求100以内所有只有三个因数的自然数的和是多少? 4．把1008分解质因数，并求出它们因数的个数及因数和。 5.冬冬参加小学数学竞赛，满分是100分。他说：“我的分数、我的岁数和我竞赛得的名次乘起来，积是2134。”你能否求出冬冬的年龄、考试成绩和名次分别是多少?

6．a、b、c、d都是不同的质数，a+b+c=d，那么a×b×c×d的最小值是多少？ 7. 1，2，3，4，5，6，7，8，9九张卡片，甲、乙、丙各拿了三张。甲拿的三张卡片上的数字乘积是24，乙拿的三张卡片上的数字乘积是48，丙拿的三张卡片上的数字之和是21，丙拿的是哪三张卡? 8．在射箭运动中，运动员每射一箭的环数只能是下列数之一：0、

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目录 第一讲奇妙的幻方 (3) 练习卷 (9) 第二讲可能性的大小（游戏与对策） (10) 练习卷 (12) 第三讲图形的面积（一） (13) 第四讲认识分数 (17) 练习卷 (21) 第五讲行程中的相遇（相遇问题） (22) 练习卷 (26) 第六讲公因数与公倍数 (27) 综合演练 (31) 第一讲幻方（第一课时） 【知识概述】 在一个n×n的正方形方格中，填入一些连续的数字，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。幻方一般分为奇数幻方和偶数幻

方。（n 是几就表示为几阶幻方）。本讲，我们将来学习这方面的知识。 例题讲学 例1 在一个3×3的表格内，填入1-9九个数，（不能重复，不能遗漏），使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。可以怎样填【 和为15】 【思路分析】 这样的3×3幻方，在填写时有一定的规律和口诀： 二、四为肩，六、八为足， 左七右三，戴九履一，五为中央。【注：戴指头，履指脚。】 试试填一填吧！

幻方（第二课时） 知识概述： 上一讲中，我们讲述了如何填写3×3的幻方，其实在幻方的知识世界里，像3×3、5×5、7×7……像这样幻方，称之为奇数幻方，这一讲我们将来学习如何填写五阶幻方。 例题：在一个5×5的方格中，填入1-25这25个数字，使5个横列、5个竖列、2个斜列所加之和都相等。先试试看！ 看样子，要想顺利填写好这么多的表格，还真的不容易，没有口诀真的不行，下面这个口诀要记牢： 一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边放，双出占位写下方。 2 9

五年级奥数分解质因数(一)学生版

1.五年级奥数分解质因数（一）学生 版 2.整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...???☆☆☆△△△的结构,而且表达形式唯一” 一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数. （2）.互质数：公约数只有1的两个自然数,叫做互质数. （3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数. 例如：30235=??.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=??=?,2、3都叫做12的质因数,其中后一个式子叫做分解质因数的标准式,在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口,因为这样可以帮助我们分析数字的特征. （4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212263 ,（┖是短除法的符号） 所以12223=??； 二、唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积,即：312123k a a a a k n p p p p =????其中为质数,12k a a a << <为自然数,并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210,求这三个数. 分析：∵210=2×3×5×7,∴可知这三个数是5、6和7. 三、部分特殊数的分解 111337=?；100171113=??；1111141271=?；1000173137=?；199535719=???；1998233337=????；200733223=??；2008222251=???；10101371337=???. 知识点拨 教学目标 5-3-4.分解质因数（一）

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1．和差倍问题 【和差问题】【和倍问题】【差倍问题】 已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系 公式? ①(和－差)÷2=较小数较小数＋差=较大数和－较小数=较大数 ②(和＋差)÷2=较大数较大数－差=较小数和－较大数=较小数 和÷(倍数＋1)=小数小数×倍数=大数和－小数=大数 差÷(倍数-1)=小数小数×倍数=大数小数＋差=大数 关键问题求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数 2．年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3．归一问题的基本特点：

问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题根据题目中的条件确定并求出单一量； 4．植树问题 基本类型? ①在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树； ②在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树； ③在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树；④封闭曲线上植树。 基本公式棵数=段数＋1?棵距×段数=总长 棵数=段数－1?棵距×段数=总长 棵数=段数棵距×段数=总长 关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 5．鸡兔同笼问题 基本概念鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路

①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式 ①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数） 关键问题找出总量的差与单位量的差。 6．盈亏问题 基本概念一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量． 基本思路先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．基本题型

小学五年级奥数分解质因数题

第二十七讲长方体和正方体 我们已经学习了长方体和正方体的有关知识，如长方体和正方体的特征，长方体和正方体表面积、体积的计算。在数学竞赛中，有许多问题涉及到长方体和正方体的知识，这些问题既有趣，又具有一定的思考性，解答这些问题，不仅需要我们具备较扎实的基础知识和较强的观察能力、作图能力和空间想象能力，还要能掌握一此致解题的思路的技巧。通过本讲的学习，同学们将从解题的过程中得到一些启示，悟出一些道理，从而提高空间想象能力和分析推理能力。 例题与方法 例1．一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘米为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？ 例2．在一个长15分米，宽12分米的长方体水箱中，有10分米深的小。如果在水中沉入一个棱长为30厘米的正方体铁块，那么，水箱中水深多少分米？ 例3．一个长方体容器内装满水，现在有大、中、小三个铁球。每一次把小球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次把中球取出，把小球和大球一起沉入水中。已知每次从容器中溢出的水量的情况：第二次是第一次的3倍，第三次是第一次的2.5倍。问：大球的体积是小球的多少倍？ 例4．一个长方体容器的底面是一个边长60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米，底面边长15厘米的长方体铁块。这时容器里的水深0.5米。如果把铁块取出，容器里水深多少厘米？ 练习与思考

1．一个长方体棱长的总和是48厘米，已知长是宽的1.5倍，宽是高的2倍，求这个长方体的体积。 2．用2100个棱长是1厘米的正方体木块堆成一个实心的长方体。已知长方体的高是10厘米，并且长和宽都大于高。这个长方体的长和宽各是多少厘米？ 3．在一个长20分米，宽15分米的长方体容器中，有20分米深的水。现在在水中沉入一个棱长30厘米的正方体铁块，这时容器中水深多少分米？ 4．把一个长9厘米，宽7厘米，高3厘米的长方体铁块和一块棱长5厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是20平方厘米的长方体。求这个长方体的高。 5.有大、中、小三个长方体水池，它们的池口都是正方形，边长分别为6分米、3分米、2分米。现在把堆碎石分别沉入水中、小水池内，这两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米。如果把这两堆碎石都沉入大水池内，那么，大水池的水面将升高多少厘米？（得数保留整数） 6．有一块长方形的铁皮。长30厘米，宽20厘米，在这块铁皮的四角各剪下一个边长为2厘米的小正方形，然后制成一个无盖的长方体盒子。 （1）求这个盒子的容积。 （2）做这个盒子用了多少平方厘米铁皮？ 7．有一块长方形的铁皮，长32厘米。在这块铁皮的四角各剪下一个边长为4厘米的小正方形，然后制成一个无盖的长方体盒子。已知这个盒子的容积是768厘米，求原来长方形铁皮的面积。 8．把一根长 6.4米粗铁丝截成几段，焊成一个长方体的框架，再用铁皮包上各个面。要使做成的带盖的长方形铁皮箱尽量能多装棱长为1分米的正方体（铁丝架所占的空间不计），做这个长方体铁皮箱需多少面积的铁皮？（焊接处不计。） 9．有一个长方体，它的前面和上面的面积之和是156平方厘米，并且

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小学奥数基础教程（四年级）第1讲速算与巧算（一） 第2讲速算与巧算（二） 第3讲高斯求和 第4讲 4，8，9整除的数的特征 第5讲弃九法 第6讲数的整除性（二） 第7讲找规律（一） 第8讲找规律（二） 第9讲数字谜（一） 第10讲数字谜（二） 第11讲归一问题与归总问题 第12讲年龄问题 第13讲鸡兔同笼问题与假设法 第14讲盈亏问题与比较法（一） 第15讲盈亏问题与比较法（二） 第16讲数阵图（一） 第17讲数阵图（二） 第18讲数阵图（三） 第19将乘法原理 第20讲加法原理（一） 第21讲加法原理（二） 第22讲还原问题（一） 第23讲还原问题（二）

第24讲页码问题 第25讲智取火柴 第26讲逻辑问题（一） 第27讲逻辑问题（二） 第28讲最不利原则 第29讲抽屉原理（一） 第30讲抽屉原理（二） 第1讲速算与巧算（一） 计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。 我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。 例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下： 86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。 求这10名同学的总分。 分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下： 6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。于是得到

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勇于尝试，把握过程，关注细节 目录 第一讲奇妙的幻方 (3) 练习卷 (9) 第二讲可能性的大小（游戏与对策） (10) 练习卷 (12) 第三讲图形的面积（一） (13) 第四讲认识分数 (17) 练习卷 (21) 第五讲行程中的相遇（相遇问题） (22) 练习卷 (26) 第六讲公因数与公倍数 (27)

综合演练 (31) - 1 - 勇于尝试，把握过程，关注细节 第一讲幻方（第一课时） 【知识概述】 在一个n×n的正方形方格中，填入一些连续的数字，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。幻方一般分为奇数幻方和偶数幻方。（n 是几就表示为几阶幻方）。本讲，我们将来学习这方面的知识。 例题讲学 在一个3×3的表格内，填入1-9九个数，（不能重复，不能1例遗漏），使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。可以怎样填？【和为15】

【思路分析】 这样的3×3幻方，在填写时有一定的规律和口诀： 二、四为肩，六、八为足， 左七右三，戴九履一，五为中央。【注：戴指头，履指脚。】 试试填一填吧！ - 2 - 勇于尝试，把握过程，关注细节 （第二课时）幻方 知识概述：的幻方，其实在幻方的知识世3×3上一讲中，我们讲述了如何填写像这样幻方，称之为奇数幻方，这一讲我7……×5、7×3界里，像3×、5 们将来学习如何填写五阶幻方。个横列、使51-25这25个数字，×例题：在一个55的方格中，填入2个斜列所加之和都相等。先试试看！5个竖列、

表格，还真的的好这么多利要看样子，想顺填写牢：要个口诀记不行，下真不容易，没有口诀的面这一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边9 2 放，双出占位写下方。 8 1 7 5 6 4 10 - 3 - 勇于尝试，把握过程，关注细节 310 9 2 11

小学奥数 分解质因数(二) 精选例题练习习题(含知识点拨)

1. 能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...???☆☆☆△△△的结构，而且 表达形式唯一” 一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. （2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数. （3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如：30235=??.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=??=?，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. （4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212 263 ，（┖是短除法的符号） 所以12223=??； 二、唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =????其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7. 三、部分特殊数的分解 111337=?；100171113=??；1111141271=?；1000173137=?；199535719=???；1998233337=????；200733223=??；2008222251=???；10101371337=??? . 模块一、分数的拆分 【例 1】 算式“ 1希＋1望＋1杯 ＝1”中，不同的汉字表示不同的自然数，则“希＋望＋杯”＝ 。 例题精讲 知识点拨 教学目标 5-3-4.分解质因数

2020-2021小学奥数教程∶比例和反比例 计算题

2020-2021小学奥数教程∶比例和反比例计算题 一、比例和反比例 1．工人铺一条路，用边长4分米的方砖铺需要500块，如果改用边长5分米的方砖铺，需要多少块？ 【答案】解：设需要x块， 4×4×500＝5×5×x 25x＝8000 x＝320 答：如果改用边长5分米的方砖铺地，需要320块。 【解析】【分析】此题主要考查了反比例应用题，这条路的总面积是一定的，每块砖的面积与铺的块数成反比例，据此列比例解答. 2．如果10千克菜籽可以榨6.5千克菜油，那么有这种菜籽360千克，可以榨多少千克油?（用比例解） 【答案】解：设可以榨x千克油。 10：6.5=360：x 10x=6.5×360 x=2340÷10 x=234 答：可以榨油234千克。 【解析】【分析】菜籽的重量和榨油的质量的比值是不变的，二者成正比例，设出未知数，根据正比例关系列出比例，解比例求出可以榨油的重量即可。 3．表中x和y是两个成比例的量，观察表格并填完整。 X36181210 y51020 X361812109 y510151820 空位中x和y的值。 4．甲乙两地相距440千米，一辆汽车从甲地开往乙地，3时行了240千米，照这样计算，几小时可以到达乙地？（用比例解） 【答案】解：设小时可以到达乙地，

答：5.5小时可以到达乙地。 【解析】【分析】“照这样计算”的意思就是汽车的速度不变，路程与时间成正比例；设出未知数，根据速度不变列出比例，解比例求出到达乙地的速度即可。 5．小明打算12天看完一本故事书，平均每天看15页。如果要提前2天看完，平均每天应看多少页?(用比例知识解) 【答案】解：设平均每天应看x页，则 （12-2）x=12×15 x=18 答：平均每天应看15页。 【解析】【分析】根据故事书的总页数不变可得等量关系式：实际看的天数×实际平均每天应看多少页=计划看的天数×计划平均每天看多少页，据此代入数据列方程解答即可。 6．30kg花生仁能榨出花生油12kg。照这样计算，要榨出48t花生油,需要花生仁多少吨? 【答案】解：设需要花生仁x吨， 12：30=48：x 12x=30×48 x=1440÷12 x=120 答：需要花生仁120t. 【解析】【分析】花生油的出油率是不变的，花生仁的质量和花生油的质量成正比例，设出未知数，根据出油率不变列出比例解答即可. 7．一批零件20人去做需要15天，照这样计算，如果增加5人，几天可以做完？ 【答案】解：20×15÷(20+5) =300÷25 =12(天) 答：12天可以做完. 【解析】【分析】做这批零件的工作量是不变的，用20乘15求出工作量，然后除以现在的人数即可求出可以做完的天数. 8．圆柱的高一定，圆柱的体积和底面积成________比例；圆柱的侧面积一定，底面周长和高成________比例。

小学数学奥数基础教程(五年级)--12

小学数学奥数基础教程(五年级) 本教程共30讲 最大公约数与最小公倍数（一） 如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a 的约数。 如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。自然数a1，a2，…，a n的最大公约数通常用符号（a1，a2，…，a n）表示，例如，（8，12）=4，（6，9，15）=3。 如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。自然数a1，a2，…，a n的最小公倍数通常用符号[a1，a2，…，a n]表示，例如[8，12]=24，[6，9，15]=90。 常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。 例1 用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？ 分析与解：因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是144，180，240的公约数。题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是144，180，240的最大公约数。 所以（144，180，240）=2×2×3=12，即每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是60÷12=5（元）。 为节约篇幅，除必要时外，在求最大公约数和最小公倍数时，将不再写出短除式。 例2 用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？

小学奥数-分解质因数(一)

5-3-4.分解质因数（一） 教学目标 1. 能够利用短除法分解2.整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...???☆☆☆△△△的结构，而且 表达形式唯一” 知识点拨 一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. （2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数. （3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如：30235=??.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=??=?，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. （4）.分解质因数的方法：短除法例如：212 263 ，（┖是短除法的符号）所以12223=??； 二、唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =???? 其中为质数，12k a a a <<< 为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7. 三、部分特殊数的分解 111337=?；100171113=??；1111141271=?；1000173137=?；199535719=???；1998233337=????；200733223=??；2008222251=???；10101371337=???. 例题精讲 模块一、分解质因数 【例1】分解质因数20034=。

小学奥数教程：角度计算_全国通用(含答案)

4-1-3.角度计算 知识点拨 一、角 1、角的定义：自一点引两条射线所成的图形叫角 2、表示角的符号：∠ 3、角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0角这10种 （1）锐角：大于0°，小于90°的角叫做锐角。 （2）直角：等于90°的角叫做直角。 （3）钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。 （4）平角：等于180°的角叫做平角。 （5）优角：大于180°小于360°叫优角。 （6）劣角：大于0°小于180°叫做劣角，锐角、直角、钝角都是劣角。 （7）周角：等于360°的角叫做周角。 （8）负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角。 （9）正角：逆时针旋转的角为正角。 （10）0角：等于零度的角。 4、角的大小：角的大小与边的长短没有关系；角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的越大， 角就越大，相反，张开的越小，角则越小。 二、三角形 1、三角形的定义：由三条边首尾相接组成的封闭图形叫做三角形 2、内角和：三角形的内角和为180度； 外角：（1）三角形的一个外角等于另外两个内角的和； （2）三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。 3、三角形的分类 （1）按角分：锐角三角形：三个角都小于90度。 直角三角形：有一个角等于90度。 钝角三角形：有一个角大于90度。 注：锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形 （2）按边分：不等腰三角形；等腰三角形（含等边三角形）。 模块一、角度计算 【例1】有下列说法： (1)一个钝角减去一个直角，得到的角一定是锐角， (2)一个钝角减去一个锐姥，得到的角不可能还是钝角． (3)三角形的三个内麓中至多有一个钝角． (4)三角形的三个内角中至少有两个锐角． (5)三角形的三个内角可以都是锐角． (6)直角三角形中可胄邕有钝角． (7)25?的角用10倍的放大镜看就变成了250? 其中，正确说法的个数是 【考点】角度计算【难度】3星【题型】填空 【解析】几何问题(1)、(3)、(4)、(5)是正确的说法． 【答案】(1)、(3)、(4)、(5)是正确的说法 【例2】下图是3×3的正方形方格，∠1与∠2相比，较大的是_____。

小学奥数教程(最完美)

小学奥数教程(最完美)

目录 第一讲奇妙的幻方 (3) 练习卷 (9) 第二讲可能性的大小（游戏与对策） (10) 练习卷 (12) 第三讲图形的面积（一） (13) 第四讲认识分数 (17) 练习卷 (21) 第五讲行程中的相遇（相遇问题） (22) 练习卷 (26) 第六讲公因数与公倍数 (27) 综合演练 (31)

第一讲幻方（第一课时） 【知识概述】 在一个n×n的正方形方格中，填入一些连续的数字，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。幻方一般分为奇数幻方和偶数幻方。（n 是几就表示为几阶幻方）。本讲，我们将来学习这方面的知识。 例题讲学 例1在一个3×3的表格内，填入1-9九个数，（不能重复，不能遗漏），使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。可以怎样填？【和为15】 【思路分析】 这样的3×3幻方，在填写时有一定的规律和口诀： 二、四为肩，六、八为足， 左七右三，戴九履一，五为中央。【注：戴指头，履指脚。】试试填一填吧！

幻方 （第二课时） 知识概述： 上一讲中，我们讲述了如何填写3×3的幻方，其实在幻方的知识世界里，像3×3、5×5、7×7……像这样幻方，称之为奇数幻方，这一讲我们将来学习如何填写五阶幻方。 例题：在一个5×5的方格中，填入1-25这25个数字，使5个横列、5个竖列、2个斜列所加之和都相等。先试试看！ 看 样 子 ，要 想 顺 利 填 写 好 这 么 多 的 表格，还真 的 不容易，没有 口诀 真 的 不行，下 面这 个 口诀 要 记 牢： 一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边放，双出占位写下方。

小学二年级奥数教程1

加减法中的简便运算 一：凑整法 例1、计算2+4+6+8+10+12+14+16+18 随堂练习1、11+13+15+17+19+21+23+25+27+29 例2、计算2+12+16+18+17+12+13 随堂练习2、计算1+13+15+17+11+14+!9 例3、计算9+18+17+26+11+19 随堂练习3、8+17+16+25+13+12+19

例4、计算3998+407+89 随堂练习4、798+4003+91 二：灵活应用运算法则，改变运算顺序，使运算过程中尽量出现小的数或相同的数例5、38+37—36—35+34+33—32—31+30+29—28—27+26 随堂练习5、40+39+38—37—36—35+34+33+32—31—30—29+28+27+26—25—24—23 例6、15+14—13+12+11—10+9+8—7+6+5—4+3+2—1 随堂练习6、50+49+48—47+46+45+44—43+42+41+40—39

例7、（2+4+6+8+10）—（1+3+5+7+9） 随堂练习7、（2+4+6+......+20）—(1+3+5+7+9+ (19) 1、同级运算：括号外面是减号的，添上或去掉括号，括号里面的加减符号要改变，加号 要变成减号，减号要变成加号 括号外面是加号的，添上或去掉括号，不变 去括号后，可以将数与前面的符号一起移动（带着符号搬家），第一个数前面的为加号可以省略 2、简便计算方法：（1）加法A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C) （2）减法A-B-C=A-(B+C) A-B+C=A-(B-C) 例1、运用加法中的凑整计算： 64+97 999+99+9

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1．和差倍问题 【和差问题】【和倍问题】【差倍问题】 已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数 公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系 公式 ①(和－差)÷2=较小数较小数＋差=较大数和－较小数=较大数 ②(和＋差)÷2=较大数较大数－差=较小数和－较大数=较小数 和÷(倍数＋1)=小数小数×倍数=大数和－小数=大数 差÷(倍数-1)=小数小数×倍数=大数小数＋差=大数 关键问题求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数 2．年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3．归一问题的基本特点： 问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题根据题目中的条件确定并求出单一量； 4．植树问题

基本类型 ①在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树； ②在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树； ③在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树；④封闭曲线上植树。 基本公式棵数=段数＋1棵距×段数=总长 棵数=段数－1棵距×段数=总长 棵数=段数棵距×段数=总长 关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 5．鸡兔同笼问题 基本概念鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路 ①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式

奥数分解质因数

第二十三周分解质因数 专题简析： 一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。 把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：24=2×2×2×3，75=3×5×5。 我们数学课本上介绍的分解质因数，是为求最大公约数和最小公倍数服务的。其实，把一个数分解成质因数相乘的形式，能启发我们寻找解答许多难题的突破口，从而顺利解题。 例题1 把18个苹果平均分成若干份，每份大于 1个，小于18个。一共有多少种不同的分法？ 分析先把18分解质因数：18=2×3×3，可以看出：18的约数是1、2、3、6、9、18，除去1和18，还有4个约数，所以，一共有4种不同的分法。 练习一 1，有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6人，不多于15人。有哪几种分法？ 2，195个同学排成长方形队伍做早操，行数和列数都大于1，共有几种排法？ 3，甲数比乙数大9，两个数的积是792，求甲、乙两数分别是多少。 例题2 有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗。共有多少种分法？ 分析先把168分解质因数，168=2×2×2×3×7，由于每份不得少于10颗，也不能多于50颗，所以，每份有2×2×3=12颗，2×7=14颗，3×7=21颗，2×2×2×3=24颗，2×3×7=42颗，共有5种分法。 练习二 1，把462名学生分成人数相等的若干组去参加课外活动小组， 每小组人数在10至25人之间，求每组的人数及分成的组数。 2，四个连续奇数的和是19305，这个四奇数分别是多少？ 3，把1、2、3、4、5、6、7、8、9九张卡片分给甲、乙、丙三人，每人各3张。甲说：“我的三个数的积是48。”乙说：“我的三个数的和是16。”丙说：“我的三个数的积是63。”甲、乙、丙各拿了哪几张卡片？ 例题3 将下面八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。 2、5、14、24、27、55、56、99 分析 14=2×7 55=5×11 24=2×2×2×3 56=2×2×2×7 27=3×3×3 99=3×3×11 可以看出，这八个数中，共含有八个2，六个3，二个5，二个7和二个11。因为要把这八个数分成两组，且积相等，所以，每组数中应含有四个2，三个3，一个5，一个7和一个11。经排列为（5、99、24、14）和（55、27、56、2）。 练习三 1，下面四张小纸片各盖住一个数字，如果这四个数字是连续的偶数，请写出这个完整的算式。 □□×□□=1288 2，有三个自然数a、b、c，已知a×b=30，b×c=35，c×a=42，求a×b×c的积是多少？ 3，把40、45、63、65、78、99、105这八个数平分成两组，使两组四个数的乘积相等。 例题4 王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4组。如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植了539棵。这个班有多少个学生？每人植树多少棵？ 分析根据每人植树棵数×人数=539棵，把539分解质因数。539=7×7×11，如果每人植7棵，这个班就有7×11－1=76人；如果每人植树11棵，这个班共有7×7－1=48人。 练习四 1，3月12日是植树节，李老师带领同学们排成两路人数相等的纵队去植树。已知李老师和同学们每人植树的棵数相等，一共植了111棵树，求有多少个学生。 2，小青去看电影，他买的票的排数与座位号数的积是391，而且排数比座位号数大6。小青买的电影票是几排几座？ 3，把一篮苹果分给4人，使四人的苹果数一个比一个多2，且他们的苹果个数之积是1920。这篮苹果共有多少个？ 例题5 下面的算式里，□里数字各不相同，求这四个数字的和。 □□×□□=1995 分析要使两个两位数的积等于1995，那么，这两个数的积应和1995有相同的质因数。1995=3×5×7×19，可以有35×57=1995和21×95=1995。因为要满足“数字各不相同”的条件，所以取21×95=1995，这四个数字的和是：2＋1＋9＋5=17。 练习五

小学奥数教程：完全平方数及应用(一)全国通用(含答案)

1. 学习完全平方数的性质； 2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程 3. 掌握完全平方数的综合运用。 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。 2.性质 性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9． 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数． 性质3：自然数N 为完全平方数?自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因 数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则 2|n p N ． 性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数． 性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个 位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个． 性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数． 3.一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。 2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。 7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 3.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+- 模块一、完全平方数计算及判断 【例 1】 已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方? 例题精讲 知识点拨 教学目标 5-4-4.完全平方数及应用（一）

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实用文档 文案大全 目录 第一讲奇妙的幻方 (3) 练习卷 (9) 第二讲可能性的大小（游戏与对策） (10) 练习卷 (12) 第三讲图形的面积（一）.............................................13 第四讲认识分数 (17) 练习卷 (21) 第五讲行程中的相遇（相遇问题） (22) 练习卷 (26) 第六讲公因数与公倍数 (27) 综合演练…………………………………………………….…

实用文档 文案大全 第一讲幻方（第一课时） 【知识概述】 在一个n×n的正方形方格中，填入一些连续的数字，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。幻方一般分为奇数幻方和偶数幻方。（n 是几就表示为几阶幻方）。本讲，我们将来学习这方面的知识。例题讲学 例1在一个3×3的表格内，填入1-9九个数，（不能重复，不能遗漏），使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。可以怎样填？【和为15】

【思路分析】 这样的3×3幻方，在填写时有一定的规律和口诀： 二、四为肩，六、八为足， 左七右三，戴九履一，五为中央。【注：戴指头，履指脚。】 试试填一填吧！ 实用文档 文案大全 幻方（第二课时） 知识概述： 上一讲中，我们讲述了如何填写3×3的幻方，其实在幻方的知识世界里，像3×3、5×5、7×7……像这样幻方，称之为奇数幻方，这一讲我们将来学习如何填写五阶幻方。 例题：在一个5×5的方格中，填入1-25这25个数字，使5个横列、5个竖列、2个斜列所加之和都相等。先试试看！

看样子，要想顺利填写好这么多的表格，还真的 不容易，没有口诀真的不行，下面这个口诀要记牢：一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边放，双出占位写下方。 2 9 1 5 74 6 10 3 11 2