微积分课后习题答案五
《微积分》(中国商业出版社 经管类)课后习题答案
习题五 （A ）
1．求函数)(x f ，使)3)(2()(x x x f --='，且0)1(=f .
解：6x 5x )(f 2++-='x
C x x x x f +++-=?625
31)(23
623
0625310)1(=?=+++-?=C C f
6
23
62531)(23+++-=x x x x f
2．一曲线)(x f y =过点（0，2），且其上任意点的斜率为x x e 32
1+，求)(x f .
解：x e x x f 32
1)(+=
C e x x f x ++=
?341)(2
1232)0(-=?=+?=C C f
134
1)(2
-+=
?x e x x f
3．已知)(x f 的一个原函数为2
e x ，求?
'x x f d )(.
解：2
2
2)()(x x xe e x f ='=
?
+=+='C xe C x f dx x f x 2
2)()(
4．一质点作直线运动，如果已知其速度为t t dt
dx
sin 32-=，初始位移为20=s ，求s 和t 的函数关系.
解：t t t S sin 3)(2-=
C t t t S ++=?cos )(3
1212)0(=?=+?=C C S 1cos )(3++=?t t t S
5．设[]2
11)(ln x x f +='，求)(x f .
解：[]12
arctan )(ln 11)(ln C x x f x x f +=?+=
'
)0()(arctan arctan 1>==?+C Ce e x f x C x
6．求函数)(x f ，使5e 1111
)(22
+--+
+='x x x
x f 且0)0(=f .
解：C x e x x x f e x x x f x x ++-++=?--++=
+521
arcsin 1ln )(1111)(252 2
1002100)0(=?=++-
+=C C f 2
1
521arcsin 1ln )(2++-
++=?x e x x x f x
7．求下列函数的不定积分 （1）
?-x x
x x d 2
（2）
?
-)
1(t a dt
（3）?
m
n x x d （4）
?+-x x
x d 1
1
2
2
（5）
?++x x
x d 1
1
2
4 （6）
?
++x x
x x
d cos sin 2sin 1
（7）?+x x x x d cos sin 2cos （8）?
++x x
x
d 2cos 1cos 12
（9）
?
x x x x
d cos sin 2cos 2
2
（10）x x x d sin 2cos 22?
??
?
??+
（11）?-x x
x x d cos sin
1
2cos 22
（12）
?+-x x
x d 1e 1
e 2 （13）
?
?-?x x
x
x d 85382 （14）
x x
x x d 10521
1?-+-
（15）?
-x x
x -x x d )
e (e （16）?
++x x x x d )31)(2e (
（17）x x x x
x d 1111??
??
?
?
?+-+-+ （18）?
----x x x x x x d 151)1(2
22 （19）
x x
x d 114
2?
-+ （20）
?-+-x x x x
d sin cos 1cos 122
2
（21）?+-+x x x x x d )
1(1
2
2
3 （22）
?+-x x
x x d 12
2
4
解：（1）=?
+-=-C x x dx
x x 25
232321
52
32)( （2）=
?
+-=
--C t
a
t
t d a
2
12
1)1(2)1()1(.
1
（3）=????
?
?
?????=+=-=+=≠-≠++=?
??+0 0
, m C x dx n
m C x In dx x m n m C x m n m dx x m n m m n m n
（4）=?+-=???
?
?
?
+-C x x dx x arctan 2 12
12 （5）=C x x x dx x x x x ++-=++-+?
arctan 231
1)1(3
2222
（6）=
??
++=
+++dx x
x x x dx x
x x
x x x cos sin )cos (sin cos sin cos sin 2cos sin 2
22
=?
+-=+C x x dx x x cos sin )cos (sin
（7）=?
?
-=+-dx x x dx x
x x
x )sin (cos cos sin sin cos 22
=C x x ++cos sin （8）=??
++=???
?
??+=
+C x x dx x dx x
x
2tan 21 1cos 12
1cos 2cos 122
2 （9）=
?
?
+--=???
? ??-=-C x x dx x x dx x x x
x tan cot cos 1sin 1
cos sin sin cos 222222 （10）=
??
??
? ??+-=-++dx x x dx x x 122cos 2cos 22cos 121cos =C x x x +-+2sin 4
1sin 21
（11）=
??
+-=-=---C x dx x
dx x
x x
x x x tan 2cos
1
2
cos sin sin cos sin cos 2
222222
（12）=(
)
?+-=-C x e dx e x x 1
（13）=??
+??
? ????? ??-=???
??-C x dx dx x
x
85ln 85328532
（14）=?
?
++-=??? ??-??
?
??--C dx dx x x x
x
22ln 5155ln 22151512
（15）=?+-=??
?
??-C x e dx x e x x ln 1
（16）=[]
?+++++=+++C e e dx e e x
x x x
x
x
x
x
6
ln 63ln l )3(2ln 2)3(26
（17）=
?
?
+=-=--++C x dx x
dx x
x x arcsin 2112
1112
2
（18）=?+--=????
?
?---C x x x dx x x
x arcsin 5ln 2115
1
222 （19）=?+=-C x dx x
arcsin 112
（20）=??
+-=???
?
??-=
-C x x dx x dx x
x
2tan 211cos 12
1cos 2cos 122
2 （21）=?
?
+++=???? ?
?++-=+-+C x x x dx x x x dx x x x x arctan 1ln 111
1)1(1
)1(22222 （22）=?
?
++-=???
? ??++-=+++--C x x x dx x x dx x x x arctan 22312212
)1(1322
224
8．用换元积分法计算下列各题. （1）?
+-x x x d 2
4 （2）?
-x x d )23(8
（3）
x x
x
d e
3e 42?+ （4）???
? ?
?+32cos d 2
πx x
（5）
?-x x x d 43
2 （6）
?+-5
2x
d 2
x x
（7）?-+x
x
x
e e
d （8）
?--x
x
x
e e d
（9）
?-1
tan cos d 2
x x
x
（10）
?
)
ln -(1d x x x
（11）?-x
x x
2
ln
1d （12）
?
-x x
x d e
9e 2
（13）?+x x
x
x d sin
2cos sin 2
（14）
?
-x x x d 212
（15）
x x x x d 1arctan 2
?
++ （16）
?+x
x
e
1d
（17）
x x x d 11
arctan 2
?
+ （18）?
+--x x x x d e )1(422 （19）
?
+x x
x d 13
3
5
（20）
?+x x
x
x d ln 2ln
（21）?
+x x
x d sin 1sin 2 （22）
?+-x x x
x d 2sin 1cos sin
（23）?+2
)
cos 2(sin d x x x
（24）?x x
x x
d cos sin tan ln
（25）?+x
x x
2
2
cos
3sin d （26）?
-++1
212d x x s
（27）
?+++3
)
1(1d x x x
（28）?++5
2d 24
x x
x
x
（29）?
+x x x x d )ln 1( （30）
x x x x d 1
2
?-+
（31）
?+)
1(ln ln d 2
x x x x
（32）
x x x x
d )
1(arcsin ?
- （33）?
x
x x x cos sin d （34）
x x x d )
1(x arctan ?
+
（35）
?+x x
x
d cos
1cos 2
（36）?
xdx x 3cos 2sin
（37）x x x x ?
-d 2cos )sin (cos （38）x x
x
x d sin
1cos sin 4
?+ （39）?x x
d sin
1
4
（40）?
xdx 3tan
解：（1）=
C x x x d x x dx x x ++-+=+???? ?
?
+-+=+-+?
?
21
23)2(12)2(32
)2(26
226
2
（2）=
?
+-=--C x x d x 98)23(27
1
)23()23(31 （3）=
()()
?+=
+C e e e d x x
x
3
arctan
3
2132122
22
（4）=C x x x d +??? ??+=?
?? ?
?
+??? ??
+?
32tan 2132cos 32212πππ
（5）=
?
?
+--=---=-C x x x d x x d 33
3334324)4(314)
(3
1
（6）=C x x x d +-=
+--?2
1arctan 214
)1()
1(2
（7）=
?+=+C e e
e d x x
x arctan 1
)(2
（8）=
C e e e
e d x x x
x ++-=-?1
1ln 211)
(2 （9）=
?
+-=--C x x x d 2
1)1(tan
21
tan )1(tan
（10）=C x
x d +--=---?
lnx 1ln ln 1)
ln 1(
（11）=
?
+=-C x x x d ln arcsin ln 1)(ln 2
（12）=C e e e d x x x +=????
? ?
?-????? ???
3
arcsin
292
2
2
2
2
（13）=
C x x
x d x x xd ++=++=+?
?
2222sin 2ln 21sin 2)sin 2(21sin 2)
(sin sin （14）=C x x x d +--
=---
?
22
2212
1
21)21(4
1
（15）=
C x x x d x x x d +++=+
++?
?
23
222)(arctan 3
2
)1ln(21)(arctan arctan 1)1(2
1
（16）=
???
?
+???
?
??+=++-
=
+=
+C e e e e d e e d e e e d dx e e e x x
x
x x
x x
x
x x
x
x
1ln 1)1()()1()
()
1( （17）=C x d x x
x d x +??? ??-=??? ??-=+??
? ??-
?
?
2
221arctan 211arctan 1arctan 1111arctan
（18）=
?
+=+-+-+-C e x x d e x x x x 422422
22
1)42(21 （19）=
)(13
1)(13
1
3
333
3
3
t d t
t
t
x x d x
x ?
?
+=+令
???
?
???
? ??+-+=+-+=-)()1()()1(31)(1113131323t d t t d t t d t t C x x C t t ++-+=++-+=32
335
33235)1(2
1
)1(51)1(21)1(51
（20）?
?
+=+=
t
t td t
x
x xd 2)(ln ln 2)(ln ln 令
?
?
?
++-++=
+-+=
t
t d t d t t
t d t 2)2(2
)2()2(2)
(2221
C x x C t t ++-+=++-+=21
23
2123
)ln 2(4)ln 2(3
2
)2(4)2(32 （21）?
+-=--=C x x
x d 2
cos arcsin
cos 2)(cos 2
（22）C x x x x x x d ++=++-=-?12
)cos (sin )
cos (sin )
cos (sin
（23）C x x x d ++-=++=-?12
)2(tan )
2(tan )
2(tan
（24）?
?
+===C x x xd x d x x 2)tan (ln 2
1
)tan (ln tan ln )(tan tan tan ln （25）??
+=
+=
+=
C x x x d x
x d )tan 3tan(3
1)tan 3(1)
tan 3(31
tan
31)
(tan 2
2
（26）C x x dx x x +???
?????--+=--+=
?
2323)12(3
2
)12(324121212
C x x +???
??
?
??
--+=2323)12()12(61
（27）??
+=+++++=
dt t
t t
t x x x x d 3
321)1(1)
1(令 ?++=+=+=C x C t dt t
1arctan 2arctan 211
22
（28）?
++=+++=
C x x x d 2
1
arctan 414)1()1(212222
（29）(
)
?
?+=+==+=C x C e e d dx x e x x x x x x x ln ln ln l )ln 1(
（30）?
?
?
++-=++-
=+-=C x x x d x dx x dx x x x 23
232
2
2
2
)1(3
1
31)1(12
1
)1(
（31）??+=+=
)
1()
(ln 令)
1(ln ln )
(ln 2
2
t
t t d t
x x x d
?
++=???
? ??++-=
C t t t t d t t d 1ln 211)1()(2
1
222222 C x x C x x ++-=++=)1ln(ln 2
1
ln ln 1ln ln ln 21222
（32）t x ==arcsin 令，则tdt t dt cos sin 2=
?
?
+=+==C x C t dt t tdt t t
t t 2
3
23
2
2
)(arcsin
3
4
342
cos sin 2cos sin
（33）??
+==
=C x x
x d x x x d tan ln 2tan )(tan cos sin
)(2 （34）??
+==+=C x x d x x d x x 22
)(arctan
arctan
arctan
2)(
1arctan
2
（35）?+-+=
-=
C x
x x
x d sin 2sin 2ln
2
21sin
2)
(sin 2
（36）?
?
+-=-==C x x xd xdx x x 543cos 5
2cos cos 2cos cos sin 2 （37）??
---=+-=)sin (cos )sin (cos )sin (cos )sin (cos 22x x d x x dx x x x x
C x x +--=3)sin (cos 3
1
（38）?
+=+=C x x x d 2
42sin arctan 2
1sin 1)(sin 21
（39）??
?
+--=+-=-==C x x x d x x
x d dx x
x cot cot 3
1)(cot )1(cot sin )(cot sin
sin 1
32
2
22 （40）???
+-=-=-=C x x xdx x xd xdx x cos ln )(tan 2
1
tan tan tan tan )1(sec 22
9．求下列函数的不定积分 （1）?+)
1(d 7
x x x
（2）?
-x x x d 12
（3）?+-x x d 3211 （4）
?+x x x
-1)(1d
（5）?
+3d x
x x （6）
?-+x x x
x d 2
1
（7）
x x x
d 1163
2?++ （8）
x x d e 1?
+ （9）?
+-+x x x x d 4
22
2
（10）
x x x d )1(3
23
?-
解：（1）??
++-=+=
+=
C x x x x dx dx x x x 7777
7
7
6
1ln 71
ln )
1(7
1
)
1( （2）令t x =-1，则tdt dx t x 2 , 16-=-=
??
+++-=+--=--=C t t t dt t t t dt t t t )3
1
5271(2)2(2)2()1(3572462
（3）令t x =-21，则tdt dx t x -=-= , 2
12
?
?
++-+--=+++-=+---+=
C x C t t dt t dt t t 321ln 3213ln 3)3
31()(31
（4）令t x =-1，则tdt dx t x 2 , 12-=-=
??+---+-=+-+-=-=--=
C x
x C t
t t
dt
dt t
t t
1212ln
2
21.
222ln
2
21.
22
2
).2(22
2
（5）令t x =6，则dt t dx t x 566 , ==
??
?
+-+-=+=+=
dt t t t dt t t dt t
t t 11
)1(616623235
C t t t t ++-+-=)1ln 21
31(623 C t t t t ++-+-=1ln 663223
（6）令t x =-2，则tdt dx t x 2 , 22=+=
??
++=++
=++=
C t t dt t tdt t
t 2
arctan
22)211(22.2
3
22
2
C x x +-+-=2
2arctan
222
（7）令t x =+31
2)
1(，则dt t xds 232=
??
+++-=++-=+=C t t t dt t t dt t t )1ln 2
1(9111919222
C x x x +++++-+=1)1(ln )1()1(2
9
31
2312322 （8）令t e x =+1，则1
2 , )1ln(22-=
-=t tdt dx t x
?
++++-++=++-+=-=C e e e C t t t dt t t x x x
)1111ln 211(2)11ln 21(21
222
（9）令t x =-1，则dt dx t x =+= , 1
?
?
?
+++++=++
+=
++=
C t t t
dt t dt t t dt t t 3ln 3)3(3
33
3
322
1
2
223
C x x x x x
++-+-++-=421ln 3)42(22
1
2
（10）令t x =2，则t x =
??
????
?
????-+--
=-+--=-=
dt t t dt t t dt t t
3233
)1(1)1(12
1
)1(1121)
1(2
1
C t t C t t +-+-=+???
?????-----=22)1(141)1(21)1(1211121 C x x C x x +--=+-+-=2
22222)1(412)1(141)1(21
10．设?
?
+=
+=
x x
b x a x
x x x
b x a x
x F d cos sin cos )G( ， d cos sin sin )(求)()(x bG x aF +；)()(x bF x aG -；)(x F ；
)(x G .
解：?
+=++=
+C x dx x
b x a x
b x a x bG x aF cos sin cos sin )()(
?
?
++=++=
+-=-C x b x a dx x
b x a x b x a d dx x
b x a x
b x a x bF x aG cos sin ln cos sin )
cos sin (sin sin sin cos )()(
C bx x b x a a b a x G +++-=?)cos sin ln (1)(22
C ax x b x a b b a x F +++--=
)cos sin ln (1)(2
2
11．用三角代换求下列不定积分. （1）
?-2
2
1x
d x x
（2）
?
3
2)
-(1d x x
（3）
?
-x x
x d 12
2
（4）
?-x x a x d 2
2 （5）?-3
22
)
1(d x x
x
（6）x x x d )1(2
101298?
-
解：（1）令t x sin =，则)2
t ( cos π
<=tdt dx
??+--
=+-=+-==
=
C x
x C x C t t
dt
dt t
t t
2
2
2
1)cot(arcsin cot sin cos sin cos （2）令t x sin =，则)2
t (
cos π
<=tdt dx C x
x C x C t t
dt
dt t
t
+-=
+=+==
=
??2
2
3
1)tan(arcsin tan cos
cos cos
（3）令t x sin =，则)2
t ( cos π
<=tdt dx
C t t dt t tdt dt t t t +-=-===??
?
2sin 4
1
2122cos 1sin cos cos sin 22 C x x x C x x +--=+-=
214
1
arcsin 21)(arcsin 2sin 41arcsin 21
（4）令t a x sec =，则t a dx tan sec =，)2
0(π
< ? ?? +-=-=== C t a dt t a tdt a dt t a t t a t a )1(tan )1(sec tan sec tan sec .tan 22 C s a a a x C x a a a x a +--=+--=arccos )arccos (2222 （5）令t x sin =，则tdt dx cos = 2 π < t ??? ? ??? ? ?? +-=-= = = dt t t dt t t dt t t dt t t t 22 2 2 2 2 3 2 cos 1cos 11cos )cos 1(1 cos sin 1 cos sin cos C x x x x C t t +---=++-=2 211tan cot （6）令t x sin =，则tdt dx cos = 2 π < t ? ? ? +??? ? ? ?-=+=== = C x x C td dt t dt t t t 99 2999810098 101981991tan 991tan tan cos sin cos cos sin 12．用分部积分法计算下列积分. （1）?++x x x x d e )31(2 （2）? --x x x d e 1 （3）?-x x x x d )sin (cos e （4）? x x x d cos （5）? x x d arcsin （6）? +x x d )4ln(2 （7）?x x x x d cos sin 4 （8）x x d l arctan 2? - （9） ? x x x d ) ln(ln （10）? x x x d sec 22 （11）? x x x d arctan 2 （12）x x d )(arccos 2 （13） ?+-x x x x d 4 4ln 2 （14） ?+x x x x d arctan 12 2 （15）?+x x x x d arctan )1(632 （16） ?x x x d cos tan ln 2 （17）? ?x x x d sin sec ln （18）? ?x x x d tan ln 2sin （19）x x x x d ln 3 2 ln 22? ?? ? ? ?+ （20）? x x x d arctan 2 解：（1）?? +-++=++=dx x e e x x de x x x x x )32()31()31(22 ? ++-++=dx e x e e x x x x x 2)32()31(2 （2）C e x C dx e xe xde e x x x x ++-=+??? ? ?--=- =+----?? ) 1()1(311 （3）??? ?-=-=xdx e xde xdx e xdx e x x x x sin cos sin cos ?? +=-+=C x e xdx e xdx e x e x x x x cos sin sin cos （4）?? ++=-==C x x x xdx x x x sd cos sin sin sin sin （5）? ? --+ =-- =2 22 1)1(2 1 arcsin 1arcsin x x d x x x x x x C x x x +-+=21arcsin （6）?? ? ??? ? ??+--+=+- +=+=dx x x x dx x x x x dx x 22 22 224412)4ln(42)4ln()4ln( C x x x x ++-+=2 arctan 42)4ln(2 （7）?? +--=+-=-=C x x x xdx x x x xd 2sin 2 12cos 2cos cos 2cos （8）? ? -- -=-+---=dx x x s dx x x x x x x 1 11arctan ) 1(121 12 1. 1arctan 2 22 2 2 2 C x x x x +-+--=1ln 1arctan 22 （9）??+-====C t t t tdt e x t x x d x t ln ln ln ) (ln )ln(ln C x x C x x x +-=+-=)1)(ln(ln ln ln )ln(ln .ln （10）?? ++=-==C x x x xdx x x x xd cos ln 2tan 2tan 2tan 2)(tan 2 （11）? ?? ???? ? ?+-+-=++- =-=dx x x x x x dx x x x x x xd 2211 arctan 111arctan )1(arctan C x x x x ++-+- =)1ln(2 1 ln arctan 2 （12）?? -=--=== tdt t t t tdt t tdt dx t x .cos 2cos sin sin arccos 22 ?? +--=--=-=C t t t t t tdt t t t t t td t t cos 2sin 2cos )sin sin (2cos sin 2cos 222 C x x x x x +---=21arccos 2arccos 2 （13）? ?? -+--=?? ? ??--=-= dx x x x x x xd dx x x 21.121. ln 21ln )2(ln 2 C x x x x dx x x x x +-+--=??? ??--+-- =? 2 ln 212ln 121212ln （14）?? ?+-=? ??? ? ? +- =xdx x xdx xdx x arctan 11arctan arctan 11 12 2 ?? -+- =)(arctan arctan 1arctan 2 x xd dx x x x x C x x x x +-+- =22arctan 2 1 )1ln(21arctan （15）( )() ( ) dx x x x x x xd 2 23232311.1arctan 11arctan ++-+=??????+=?? () ? +++- +=dx x x x x x 1 12arctan 12362 3 ( ) ? ???? ? ?+-++--+=dx x x x x x x x 1212arctan 12 2 423 ( ) () C x x x x x x x +++--+- +=1ln 3 151arctan 1223 52 3 （16）? ==t x x xd tan )(tan tan ln 令 ? +-=+-==C x x x C t t t tdt tan tan ln .tan ln ln （17）()?? +-=-=xdx x x x x x x xd tan .cos 1 . cos .cos cos .sec ln cos sec ln ? +--=+-=C x xdx x x cos sec ln .cos sin cos .sec ln ( ) C e x x ++= 2212 1 （18）( ) ? ? -==dx x x x x x x xd cos sin 1 sin tan ln .sin sin tan ln 222 ? ++=-=C x x x xdx x x cos ln tan ln .sin tan tan ln .sin 22 （19）() ? ? ??? ? ? ++- ??? ??+=??? ??+= dx x x x x x x x x d x x 1321.ln 231ln 32ln 31ln 32ln 3132332 ?? --?? ? ??+=dx x xdx x x x x 222392ln 32ln 32ln 31 ()? ? --??? ??+=dx x x xd x x 232392ln 9 2ln 32ln 31 ? ?- ??? ? ?--??? ??+=dx x dx x x x x x 2232392.ln 92ln 32ln 31 C x x x x x x x +=-??? ??+= 23323ln 31.ln 92 ln 32ln 31 （20）() ? ? +- = = dx x x x x x x d x 23 3.21 .1131arctan 3 1arctan 3 1 ? ? ????? ? ? ? +-++--=+- = dx x x x x x x x dx x x x x 1161arctan 3 1 161arctan 3 1212123 32 5 3 C x x x x x x ++-+-=arctan 3 1 3191151arctan 31 21 23253 13．计算下列有理函数的不定积分. （1）? +x x x d ) 31(1 （2） ? ---) 32)(1)((d x x x x （3）x x x x x d ) 2()1(12 2---- （4） ?-++x x x x d 3 23 22 （5）?-1 d 4 x x （6） ?++++x x x x x d 2 541 23 2 （7）?-+-x x x x x d 1 23 （8） ?+---x x x x x d ) 1)(1(1 22 （9）?+++x x x x x d 1 23 4 （10） ?+---x x x x x d )2()1(1 833 2 解： （1）C x C x x dx x x ++=++-=?? ? ??+-=?311 ln 31ln ln 311313 （2）C x x x dx x x x +---=???? ?? -+--+-=? 2)2() 3)(1(ln 21)3(2121)1(21 （3）C x x dx x x +-- -=??? ??? ?? -+ -=?11 2ln 21) 2(1 2 （4）C x x dx x x +--+=??????-++=? 1ln 45 3ln 43)1(45)3(43 （5）? +--+-=??? ? ??+--= C x x x dx x x arctan 2111ln 4111112 1 22 （6）C x x x dx x x x ++++-+-=??? ????? +++++- =? 2ln 51ln 41225)1(2142 （7）?? ??? ???-+???? ??+-+-=??? ??? ??-+ +-=dx x x x x dx x x x )1(2111121)1(21) 1(21222 ( ) C x x x +-+++-=1ln 2 1 arctan 211ln 412 （8）? ? ? ?+-++-- --=??? ? ??+-+-+-=dx x x dx x x x dx x dx x x x x 1 1 23121 1 1 1211 2 22 C x x x x +??? ? ??-++---=312arctan 31ln 21 1ln 2 （9）()() () () ?? ?++ ++-+-=??? ???? ? +++ -=dx x dx x x x x dx x x x 121 121 21111 12 2 2 () ? ?++ ++++??? ??-+-=1ln 2 1 1 1 211 141212 222x dx x x x d x x ()C x x x x x +++-++-= arctan 2 11ln 411ln 212 12 2 （10）() ()?? ? +--+-=--+-+--=C x x x dx x dx x dx x 21 ln 11211 1 12 2 3 （B ） 1．填空题 （1）设x x f 21)(ln +='，则)(x f = . （2）设函数)(x f 满足下列条件 ①2)0(=f ，0)2(=-f ； ②)(x f 在1-=x ，5=x 处有极值； ③)(x f 的导数是x 的二次函数，则)(x f = . （3）若C x x x xf x +=? e d )(2，则? x x f x d ) (e = . （4）设2 ln )1(222 -=-x x x f ，且[]x x f ln )(=?，则=? x x d )(? . （5）设x x f ln )(=，则='???? ? ?-? -x f x x x x d )e (e -2e e 43 . （6） ='?x x f x x f d ) (ln )(ln . （7）设)(x f 的一个原函数为 x x sin ，则='? x x f x d )2( . （8）若? ?-=x x f x f x x x f d )(cos )(sin d )(sin ，则=)(x f . 解：(1)()C e x x f x ++=2 ()()()C e x x f e x f e x x f x x x ++=?+='?+=+='2212121ln ln (2)215623+--x x x 由已知可设d cx bx ax x f +++=23)( 有()C bx ax x f ++='232 ()()()()???????=-=-==????????=++==+-=-'=+-+-=-==?2156101075502310248220d c b a c b a f c b a f d c b a f d f ()215623+--=?x x x x f （3）C x ++2ln ()()()x x x x x xe e x f e x xe x xf C e x dx x xf +=?+=?+=?2222 ? ? ++=+=? C x dx x dx x f e x 2ln 21 ) ( （4）C x x +++1ln 2 1 )(1 )(ln 11ln )(1 111ln 2 ln )1(2 22 22 -+?-+=?--+-=-=-x x x x x f x x x x x f ?? ?? ? +-+=-+=-+=?-+= ?C x x dx x dx x x dx x x x x 1ln 2)1 2 1(11)(1 1 )(?? （5）C e e e x x x ++-+ --22 ln 24121222 ?? ++-+-=??? ? ?? --=???? ? ?-- =---C e e e dx e e e dx e e e e x x x x x x x x x x 22ln 2412121.222242243原式 （6）C x f +)(ln 2 C x f x f x f d +== ? )(ln 2) (ln ))(ln (原式 （7） C x x x +-42sin 42cos ? -=?+= 2 sin cos )(sin )(x x x x c f C x x dx x f C x x x x x x x x x x dx x f x xf x f xd +-=--= -== ?? 42sin 42cos 22sin 4142sin 2cos 2.21)2(4 1)2(21))2((212 原式 （8）x ln ??'-=dx x f x f x x f x dx x g )()(cos )(sin )(sin C x x f x x f +=?= '∴ln )(1 )(，取x x f ln )(= 2．选择题 （1）设x x f 2cos )(sin ='，则? =dx x f )(（ B ） A ．C x x +-33 1 B ． 14 212 12C Cx x x ++- C ．C x x ++421212 C ．C x x ++4 212 12 （2）设)()( , )(1)()( , )(1)()(2x g x F x f x f x g x f x f x F ='+=- =，且14=?? ? ??πf ，则=)(x f （ A ） A ．x tan B ．x cot C ．x arctan D ．x arc cot （3）若? +=C x x x f 2 sin d )(，则 ? =--dx x x xf 1 2)12(22（ B ） A ．C x +22sin 4 1 B ． C x +-)12sin(2 12 C ．C x +-)12(sin 2 122 D ．C x +-)12sin(4 12 （4）设 ?? +?=xdx x f x g dx x x f 22 cot )()(sin ) (，则)(x f ，)(x g 分别是（ D ） A ．x x f cos ln )(=，x x g tan )(= B ．x x f cos ln )(=，x x g cot )(-= C ．x x f sin ln )(=，x x g tan )(= D ．x x f sin ln )(=，x x g cot )(-= 解：（1）B C +-=?-='?-=='322x 3 1 x )x (f x 1)x (f x sin 1x cos )x (sin f ? ++-=?14 2C x x 12 12x f (x)dx C （2）A 根据1)4 f (=π ，首先排除C 、D ，再将选项A 、B 分别代入原条件中，得A （3）B )1x 2sin(1x 2212x f 2xsinx f (x)2222--=-?= ? ? +--=--= -=?C )1x 2sin(2 1 )1d(2x )1x 2sin(2.41dx )1xsin(2x 22222原式，得B （4）D ??-=cotx)f (x)d(dx x sin f (x) 2 取cotx g(x)-=则 ? +=xdf (x)cot f (x)g(x)上式 与条件比较，得 cotx g(x) ,lnsinx f (x)cotx df (x)-==?=，得D 3．计算下列不定积分 （1）x x x x d 11ln 11 2-+-? （2）x x x x d cos 1)sin 1(e ? ++ （3） ?+) e 1(e d 2x x x （4） x x x d cos sin 1 4 4 ? （5）?x x x x d cos e （6）?+++x x x x d 1 12 （7） ?x x 4 cos d （8） ? ++x a ax x x d 2 2 （9） ?-+ 2 93d x x （10） ? -x x 1 （提示 令t x 2sin =） （11） x x x d 2 83? ++ （12） ?-x x x x d 1arcsin 2 2 （提示 令t x =arcsin ，t x sin =，再用分部积分法） （13）?x x x d )(arctan 2 （14）x x x x d e 1arctan arctan 2 ?+ （15）?+x x x x d ) 3(ln 2 2 （16）x x x d )sin(ln 3 ? （提示 经过两次分部积分，又出现原积分形式，移项后便可得到所要结 果） 解：（1）C x x x x d x x ++-=+-+-= ? 11ln 41)11(ln 11ln 212 （2）dx x tg x tg e dx x x x e x x )2221(212 cos )2cos 2(sin 222++=+= ? ? ?? ++=dx e x tg dx e x tg e x x x 2 212212 ?? +=++-+= C x tg e dx e x tg dx x tg e e x tg e x x x x x 2 221)12(2122122 （3）??+- =+= x x x x x x de e e e e de )111 ( ) 1(2222 C e e x x +--=-arctan （4）C x x dx x +--==? cot cot 31 sin 1 34 Θ C x x C x x x d x +--=?? ? ???+--=? 2cot 382cot 82cot 2cot 31822sin 1 8 3134 （5）= []c x x x x e x ++-cos sin )1(2 1 （6）? ? ? +++ ++++=++- + = dx x x x x x d dx x x x 2 22 22)2 3()21(12 1 1 )1(21 1 2121 C x x x x x C x x x x x ++++++++=++++++++= 12 1 ln 211121ln 2112.212222 （7）? ?++ =+== C x x x d x x d x 3 22 tan 3 1tan tan )tan 1()(tan cos 1 （8）? ? ? ++-+++++= ++-+ = dx a ax x a a ax x a ax x d dx a ax x a a x 2 2 2 2 222 21) 2 ()(212 2 C a ax x a x a a ax x +++++- ++=22222 ln 2 （9）t x sin 3==令，2 0π < ? ? ?+-=+=+dt t dt t t dt t t )cos 111(cos 1cos cos 33cos 3 ? +-=- C t t t d t t 2arctan )2(2cos 1 2 C x x x C x x +-+-=+-=2 933arcsin 23arcsin tan 3 arcsin （10）t x 2sin ==令，2 0π < ? ?? +==dt t tdt tdt t t t 2 2cos 12cos 2cos sin 2sin cos 2 C x x x t t dt t +-+=+ =+=? 2arcsin 2sin 2 1 )2cos 1( （11）C x x x dx x x dx x x x ++-=++=++++= ? ? 43 42)42(2 ) 42)(22(2 3 2 （12）t x =arcsin 令，t x sin =，则 ???? +-=-== = tdt t t t td dt t t tdt t t t cot cot )cot (sin cos cos sin 2 2 C x x x x C t t t ++-- =++-=ln arcsin 1sin ln cot 2 （13）xdx x x x x x d x arctan 1)(arctan 21)()(arctan 212 2 2222? ?+-== ?? ++-= xdx x xdx x x arctan 11arctan )(arctan 212 22 C x x x x x x ++++-= 2222)(arctan 2 1 )1ln(21arctan )(arctan 21 （14）?? ==dt te t x x d xe t x arctan )(arctan arctan arctan 令 ?? +-=+-=-==C e x C e t de te tde x t t t t arctan )1(arctan )1( （15）?? ?++ +-=+-=++= dx x x x x x xd x d x x ) 3(1 213ln 21)3 1(ln 21)3()3(ln 212 222 22 C x x x x dx x x x x ++-++-=+-++- =? )3ln(12 1 ln 613ln 21)311(613ln 212222 （16）?? +-=- =dx x x x x x d x 3 22ln cos 21)sin(ln 21)1()sin(ln 21 dx x x x x x x ? --- =3 2 2 ln sin 4 1 ln cos 41)sin(ln 21 []C x x x ++- =?ln cos ln sin 2512 原式 大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3分）定积分22 π π-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 20 1 lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分）设2 ,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. 微积分期末试卷 选择题（6×２） cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小 ３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线 Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘ ｘ２ ２１ １、（ ）＝ ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝ 相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１４、ｙ拐点为：ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函数ｆ(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求 解：3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限 0201《微积分(上)》20１5年0６月期末考试指导 一、考试说明 考试题型包括： 选择题(10道题，每题２分或者3分）。 填空题（５-10道题,每题2分或者3分)。 计算题（一般5-7道题,共4０分或者50分）。 证明题(2道题，平均每题10分）。 考试时间：90分钟。 二、课程章节要点 第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数 １．考试内容 集合的定义,集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法,分段函数,反函数，复合函数,隐函数，函数的性质（有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。 2.考试要求 （１)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。 （2）理解函数的概念。掌握函数的表示法,会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (４)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。 (二)极限 １．考试内容 数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。 2.考试要求 (1）理解数列及函数极限的概念 （2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 （3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性）。掌握极限的四则运算法则。 (４）理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。 （5）掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续 １．考试内容 函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性，反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，零点定理)。 2．考试要求 （1）理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。 微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3 三、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、 证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（） 六、应用题 1、 描绘下列函数的图形 21y x x =+ 第十二周习题课 一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2） 广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时，就是AG 不等式。 （3） Young 不等式：由（2）可得 设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。 （4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。 （5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。 （6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1 数学试题 热工二班 温馨提示：各位同学请认真答题，如果您看到有的题目有种 似曾相识的感觉，请不要激动也不要紧张，沉着冷静的面对，诚实作答，相信自己，你可以的。祝你成功！ 一、填空题（共5小题，每题4分，共20分） 1、 求极限2 2lim (1)(1)......(1)n n x x x →∞ +++= (1x <) 2、 曲线y=（2x-1）e x 1 的斜渐近线方程是（ ） 3、 计算I=dx e x e x x ? -+2 2 41sin π π =（ ） 4、 设y=x e x 1si n 1t an ，则'y =（ ） 5、 已知()()() 100 2 1000 ln 1212x y x t t t ??=++-+? ?? ? ?dt ，求( ) ()x y 1001 二、选择题（共5小题，每题4分，共20分） ６、设()0 ()ln 1sin 0,1,1lim x x f x x A a a a →? ?+ ? ? ?=>≠-求20 ()lim x f x x →＝（ ） Ａ．ln a Ｂ．Ａln a Ｃ２Ａln a Ｄ．Ａ ７、函数 1.01 ().12 x x x f x e e x -≤ （ ） Ａ.当()f x 是偶函数时，()F x 必是偶函数 Ｂ.当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数 Ｃ．当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数 Ｄ．当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数 ９、设函数()f x 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ） Ａ．2 0()x f t dt ? Ｂ．2 0()x f t dt ? Ｃ[]0 ()()x t f t f t - -?dt Ｄ．[]0 ()()x t f t f t + -?dt １０、设函数ｙ＝()f x 二阶导数，且 () f x 的一阶导数大于０， ()f x 二阶导数也大于０，x 为自变量ｘ在0x 处得增量，y 与dy 分 别为()f x 在点0 x 处的增量与微分，若x ＞０，则（ ） Ａ．０＜dy ＜ y Ｂ．０＜y ＜dy Ｃ．y ＜dy ＜０ Ｄ．dy ＜ y ＜０ 三、计算，证明题（共６０分） １１、求下列极限和积分 （１）222 22 sin cos (1)ln(1tan ) lim x x x x x x e x →--+（５分） （２）3 5 sin sin x xdx π -? （５分） （３）lim (cos 1cos x x x →∞ +-）（５分） １２．设函数()f x 具有一阶连续导数，且 " (0)f （二阶）存在，(0) f 《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -? 0201《微积分（上）》2015年06月期末考试指导 一、考试说明 考试题型包括： 选择题（10道题，每题2分或者3分）。 填空题（5-10道题，每题2分或者3分）。 计算题（一般5-7道题，共40分或者50分）。 证明题（2道题，平均每题10分）。 考试时间：90分钟。 二、课程章节要点 第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数 1．考试内容 集合的定义，集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法，分段函数，反函数，复合函数，隐函数，函数的性质(有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。 2．考试要求 (1)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。 (2)理解函数的概念。掌握函数的表示法，会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (4)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。 (二)极限 1．考试内容 数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质，函数的左极限与右极限，无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则)，两个重要极限。 2．考试要求 (1)理解数列及函数极限的概念 (2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 (3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性)。掌握极限的四则运算法则。 (4)理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。 (5)掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续 1．考试内容 函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点，连续函数的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理，零点定理)。 2．考试要求 (1)理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。 浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷 一 、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a = ,3b = ,3a b ?= ,则a b += . 3.设(,)f u v 可微，(,)y x z f x y =,则dz = . 4.设()f x 在[0，1]上连续，且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y = ≤≤≤≤,则 ()() ()() D af x bf y d f x f y σ++?? = . 5.设(,)f x y 为连续函数，交换二次积分次序 2220 (,)x x dx f x y dy -=? ? . 二 、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的，把所选字母填入题后的括号内） 6.直线l 1: 155 121x y z --+==-与直线l 2:623 x y y z -=??+=?的夹角为 （A ） 2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6 π . [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数，极坐标系中的二次积分 cos 2 0d (cos ,sin )d f r r r r π θθθθ? ? 可以写成直角坐标中的二次积分为 （A ）100(,)dy f x y dx ?? （B ）1 00(,)dy f x y dx ?? （C ） 10 (,)dx f x y dy ? ? （D ）10 (,)dx f x y dy ?? [ ] 8.设1, 02 ()122, 12 x x f x x x ? ≤≤??=??-≤?? ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数，则5()2S -= （A ） 12. （B ）12-. （C ）34. （D ）3 4 -. [ ] ＜ 安徽大学2011—2012 学年第一学期 《高等数学A（三）》考试试卷（A 卷） （闭卷时间120 分钟） 考场登记表序号 题号一二三四五总分 得分 阅卷人 一、选择题（每小题2 分，共10 分）得分 1.设A为n阶可逆矩阵，则下列各式正确的是（）。 （A）(2A)?1 =2A?1 ；（B）(2A?1)T=(2A T)?1 ；（C） ((A?1)?1)T=((A T)?1)?1 ；（D）((A T)T)?1 =((A?1)?1)T。 2.若向量组1, 2 , , r ααα可由另一向量组 （）。 βββ线性表示，则下列说法正确的 是 1, 2 , , sβββ线性表示，则下列说法 正确的是 （A）r≤s；（B）r≥s； （C）秩( 1, 2 , , r1, 2 , , s1, 2 , , r ααα)≤秩(βββ)；（D）秩(ααα)≥ 秩( ββ β)。 1, 2 , , sββ β)。 3.设A, B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则下列说法正确的是（）。 （A）λE?A=λE?B； （B）A与B有相同的特征值和特征向量； （C）A与B都相似于一个对角矩阵； （D）对任意常数k，kE?A与kE?B相似。 4.设1, 2 , 3 ααα为R3 的一组基，则下列向量组中，（）可作为R3 的另一组基。 （A）1, 1 2 ,3 1 2 1, 2 ,2 1 2 α+αα+αα+α。 αα?αα?α；（B）ααα+α； （C） 1 2 , 2 3, 1 3 α+αα+αα?α；（D） 1 2 , 2 3, 1 3 5.设P(A) =0.8 ，P(B) =0.7 ，P(A| B) =0.8 ，则下列结论正确的是（）。 《微积分（1）》练习题 一．单项选择题 1．设()0x f '存在，则下列等式成立的有（ ） A ． ()()()0000 lim x f x x f x x f x '=?-?-→? B ．()()()0000lim x f x x f x x f x '-=?-?-→? C ．()()()0000 2lim x f h x f h x f h '=-+→ D ．()()()00002 1 2lim x f h x f h x f h '=-+→ 2．下列极限不存在的有（ ） A ．201 sin lim x x x → B ．12lim 2+-+∞→x x x x C ． x x e 1 lim → D ．() x x x x +-∞ →63 2 21 3lim 3．设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ） A ．x e 22-- B ．x e 2- C ．x e 24- D ． x xe 22-- 4．函数?? ? ??>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为（ ）间断点。 A ．跳跃间断点； B ．无穷间断点； C ．可去间断点； D ．振荡间断点 5． 设函数()x f 在[]b a ,上有定义，在()b a ,内可导，则下列结论成立的有（ ） A ． 当()()0 电子科技大学期末微积分 一、选择题(每题2分) 1、设x ?()定义域为（1,2），则lg x ?()的定义域为（） A 、（0,lg2） B 、（0，lg2] C 、（10,100） D 、（1,2） 2、x=-1是函数x ?()=() 22 1x x x x --的（） A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点 3、试求02lim x x →等于（） A 、-1 4 B 、0 C 、1 D 、∞ 4、若 1y x x y +=，求y '等于（） A 、 22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y -- D 、22x y x y +- 5、曲线2 21x y x =-的渐近线条数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、下列函数中，那个不是映射（） A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈ B 、221y x =-+ C 、2y x = D 、ln y x = (0)x > 二、填空题（每题2分） 1、 __________ 2、、2(1))lim ()1 x n x f x f x nx →∞-=+设 （，则 的间断点为__________ 3、21lim 51x x bx a x →++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线 是 的切线，则 __________ 5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（， ）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分） 1、2 2 1x y x =+函数是有界函数 ( ) 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim β βαα =∞若，就说是比低阶的无穷小 ( ) 4、可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分） 1、1sin x y x =求函数 的导数 2、21 ()arctan ln(12 f x x x x dy =-+已知），求 3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求 4、20tan sin lim sin x x x x x →-求 5、 计算 6、2 1 lim(cos )x x x + →计算 五、应用题 1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2)100R x x x =-（，总成本函数为2()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润 最大的情况下，总税额最大（8分） 2、描绘函数21 y x x =+ 的图形（12分） 六、证明题（每题6分） 1、用极限的定义证明：设01 lim (),lim ()x x f x A f A x +→+∞→==则 电子科技大学微积分试题及答案 电子科技大学期末微积分 一、选择题(每题2分) 1、设x ?()定义域为（1,2），则lg x ?()的定义域为（） A 、（0,lg2） B 、（0，lg2] C 、（10,100） D 、（1,2） 2、x=-1是函数x ?()=() 22 1x x x x --的（） A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点 3、试求024 lim x x x →+等于（） A 、-1 4 B 、0 C 、1 D 、∞ 4、若 1y x x y +=，求y '等于（） A 、 22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y -- D 、22x y x y +- 5、曲线2 21x y x = -的渐近线条数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、下列函数中，那个不是映射（） A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈ B 、221y x =-+ C 、2y x = D 、ln y x = (0)x > 二、填空题（每题2分） 1、2 1x +__________ 2、、2(1))lim ()1 x n x f x f x nx →∞-=+设 （，则 的间断点为__________ 3、21lim 51x x bx a x →++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线 是 的切线，则 __________ 5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（， ）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分） 大一微积分练习题及答案 《微积分（1）》练习题 一． 单项选择题 1．设()0 x f '存在，则下列等式成立的有（ ） A ． ()() () 0000 lim x f x x f x x f x '=?-?-→? B ．()() () 0000 lim x f x x f x x f x '-=?-?-→? C ． ()() () 0000 2lim x f h x f h x f h '=-+→ D ．()()() 0000 2 1 2lim x f h x f h x f h '=-+→ 2．下列极限不存在的有（ ） A ． 201 sin lim x x x → B ．1 2lim 2+-+∞ →x x x x C ． x x e 1 lim → D ．()x x x x +-∞ →63 2 213lim 3．设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ） A ．x e 22-- B ．x e 2- C ．x e 24- D ． x xe 22-- 4．函数 ?? ???>+=<≤=1,11 ,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为 （ ）间断点。 A ．跳跃间断点； B ．无穷间断点； C ．可去间断点； D ．振 荡间断点 5． 设函数()x f 在[]b a ,上有定义，在()b a ,内可导，则下列结论成立的有（ ） A ． 当()()0+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为( )间断点。 A.跳跃间断点; B.无穷间断点; C.可去间断点; D.振荡间断点 5. 设函数()x f 在[]b a ,上有定义,在()b a ,内可导,则下列结论成立的有( ) A ． 当()()0 期 末总复习题 一、填空题 1、已知向量2a i j k =+-r r r r ，2b i j k =-+r r r r ，则a b ?r r = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞ =?? + ???∑的敛散性为 发散 。 4、设L 是上半圆周2 2 2 a y x =+（0≥y ），则曲线积分221 L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：?? --01 2 1),(y dx y x f dy ＝ dy y x dx ),(f 0 x -12 1 ? ? 6．级数∑ ∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 1 。 二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 （ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 （ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:2 2 >≤+y y x D ,则32222 ln(1) 1 D x x y dxdy x y ++=++?? （ A ） A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6 、 微 分 方 程 222()()0 y y y '''+-=的阶数为 （ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为 (3343)．微分方程0cos tan =-+'x x y y 的通解为 x C x y cos )(+=。 (4455)．过点)0,2 1(且满足关系式11arcsin 2 =-+ 'x y x y 的曲线方程为 2 1arcsin - =x x y 。 (4507)．微分方程03='+''y y x 的通解为 2 2 1x C C y + =。 (4508)．设)(),(),(321x y x y x y 是线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，且 C x y x y x y x y ≠--) ()() ()(1312，则该微分方程的通解为 )())()((())()((1132121x y x y x y C x y x y C y +-+-=。 (3081)．设x e x y x y -++=+=22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次方程的一个解为x y =3，则该微分方程的通解为x e C x C x y -+++=2123。 (4725)．设出微分方程x e xe x y y y x x 2cos 32++=-'-''-的一个特解形式 )2sin 2cos ()(*x F x E e e D Cx x B Ax y x x +++++=-。 (4476)．微分方程x e y y y =+'-''22的通解为 )sin cos 1(21x C x C e y x ++=。 (4474)．微分方程x e y y 24=-''的通解为 x x e x C e C y 222141??? ? ? ++=-。 (4477)．函数x C x C y 2s i n 2c o s 21+=满足的二阶线性常系数齐次微分方程为 04=+''y y 。 (4532)．若连续函数)(x f 满足关系式 2ln )2 ()(20 +=? x dt t f x f ，则=)(x f 2ln 2x e 。 (6808)．设曲线积分 ? --L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关，其中)(x f 具有一阶 连续导数，且0)0(=f ，则)(x f 等于[ ] (A) )(2 1x x e e --。 (B) )(21 x x e e --。大一高等数学期末考试试卷及答案详解
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