电子科技大学期末微积分
一、选择题(每题2分)
1、设x ?()定义域为(1,2),则lg x ?()的定义域为() A 、(0,lg2)
B 、(0,lg2]
C 、(10,100)
D 、(1,2)
2、x=-1是函数x ?()=
()
2
21x x x x --的()
A 、跳跃间断点
B 、可去间断点
C 、无穷间断点
D 、不是间断点
3、试求0
2lim x x
→-等于()
A 、-14
B 、0
C 、1
D 、∞
4、若
1y x x
y
+=,求y '等于()
A 、
22x y y x
-- B 、
22y x y x
-- C 、
22y x x y
-- D 、
22x y x y
+-
5、曲线2
21x y x
=-的渐近线条数为()
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
6、下列函数中,那个不是映射()
A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈
B 、221y x =-+
C 、2y x =
D 、ln y x = (0)x > 二、填空题(每题2分) 1、
y=
反函数为
__________
2、、2
(1
))l i m ()1
x n x
f x f x nx →∞
-=+设 (
,则 的间断点为
__________
3、2
1
lim
51x x bx a x
→++=-已知常数 a 、b,,则此函数的最大值为__________
4、263y x k y x k =-==已知直线 是 的切线,则 __________
5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ,在点(,
)的法线方程是__________ 三、判断题(每题2分)
1、22
1x
y x
=
+函数是有界函数 ( )
2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( )
3、lim
ββαα
=∞若,就说是比低阶的无穷小
( )
4、可导函数的极值点未必是它的驻点 ( )
5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题(每题6分) 1、1sin
x
y x
=求函数 的导数
2、2
1()arctan ln(12
f x x x x dy
=-+已知),求
3、2326x xy y y x y -+="已知,确定是的函数,求
4、2
tan sin lim
sin x x x x x
→-求 5、
?
计算
6、2
1
lim (cos )x x x +
→计算
五、应用题
1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2
)100R x x x =-(,总成本函数为
2
()20050C x x x
=++,问政府对每件商品征收货物税为多少时,在企业获得利润
最大的情况下,总税额最大?(8分) 2、描绘函数21y x x
=+
的图形(12分)
六、证明题(每题6分)
1、用极限的定义证明:设0
1
lim (),lim ()x x f x A f A x
+
→+∞
→==则
2、证明方程10,1x xe =在区间()内有且仅有一个实数
一、 选择题
1、C
2、C
3、A
4、B
5、D
6、B 二、填空题
1、0x =
2、6,7a b ==-
3、18
4、3
5、20x y +-= 三、判断题
1、√
2、×
3、√
4、×
5、× 四、计算题 1、
1sin
1sin
1sin
ln 1sin
ln 22
))1111cos ()ln sin 1111(cos
ln sin
)
x
x
x
x
x
x
y x e
e
x x x x x x
x x
x
x
x
'='='
?
?=-+????=-+
(( 2、
2
2
()112(arctan )121arctan dy f x dx x
x x dx
x
x
xdx
='=+-
++=
3、
解:
2
2
2
2)
2)
222302323(23)(23(22)(26)
(23x y xy y y x y y x y
y x y x y yy y x y
--'+'=-∴'=
--'----'∴''=
-
4、 解:
2
2
2
30
0tan sin ,1cos 21
tan (1cos )
12lim
lim
sin 2
x x x
x x x x x x x
x x x x
x
→→→--∴==
当时,原式=
5、 解:
6
5
2
3
2
2
2
2
2
61)6111
6116(1)
166arctan 6arctan
x t d x t t
t
t t
t
t
t
t t C C
===
+=++-=+=-
+=-+=-+???
?令t 原式(
6、
解:
2
2
1
ln co s 0
1lim
ln co s 2
2
12
lim 1lim ln c o s ln c o s lim 1
(s in )c o s lim 2ta n 1lim 22
x x
x
x x
x
x x x x e
e
x
x
x
x x x
x
x x
e
++
→+
+
++
→→→→→-===-=-==-
∴= 原式其中:原式
五、应用题
1、解:设每件商品征收的货物税为a ,利润为()L x
2
2
2
()()()100(20050)2(50)200()45050()0,,()4(50)
4
1(502)
4
10250
225L x R x C x ax
x x x x ax x a x L x x a a L x x L x a a ax T a T a T a =--=--++-=-+--'=-+--'==-=
'=
-'==''=-
<∴=令得此时取得最大值税收T=令得当时,T 取得最大值
2、 解:
()(
)2
3
00,01202201
D x y x x
y x y x
y x =-∞?+∞='=-
'==''=+
''==-,间断点为令则令则
渐进线:
3
2
lim lim 001lim
x x x y y y x y y x y x
x
→∞
→→∞
=∞∴=∴=+=
=∞∴无水平渐近线
是的铅直渐近线
无斜渐近线
图象
六、证明题 1、 证明:
lim ()0,0
()11101
()1
lim ()x x f x A
M x M f x A x M
M M x f A x f A x
εεξε
→∞
→∞=∴?>?>>-<><<
>∴-<= 当时,有取=
,则当0时,有
即
2、 证明:
[]()1()0,1(0)10,(1)10
0,1()0,1()(1)0,(0,1)()0,110,1x
x
x
f x xe f x f f e f e f x x e x f x xe ξ
ξξξ=-=-<=->∈=='=+>∈∴- 令在()上连续由零点定理:至少存在一个(),使得即又则在上单调递增
方程在()内有且仅有一个实根
微积分试题及答案 一、填空题(每小题2分,共20分) 1. =∞→2 arctan lim x x x . 2. 设函数??? ??=<<-=0 , 10 )21()(1 x k x ,x x f x 在0=x 处连续,则=k 。 3. 若x x f 2e )(-=,则=')(ln x f 。 4. 设2sin x y =,则=)0() 7(y 。 5. 函数2 x y =在点0x 处的函数改变量与微分之差=-?y y d 。 6. 若)(x f 在[]b a ,上连续, 则=?x a x x f x d )(d d ; =? b x x x f x 2d )(d d . 7. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ,则方程0)(='x f 有 个实根。 8. 曲线x x y -=e 的拐点是 。 9. 曲线)1ln(+=x y 的铅垂渐近线是 。 10. 若 C x x x f x ++=? 2d )(,则=)(x f 。 二、单项选择(每小题2分,共10分) 1. 设x x f ln )(=,2)(+=x x g 则)]([x g f 的定义域是( ) (A )()+∞-,2 (B )[)+∞-,2 (C )()2,-∞- (D )(]2,-∞- 2. 当0→x 时,下列变量中与x 相比为高阶无穷小的是( ) (A )x sin (B )2 x x + (C )3x (D )x cos 1- 3. 函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上取得最大值和最小值的( ) (A )必要条件 (B )充分条件 (C )充分必要条件 (D )无关条件 4. 设函数)(x f 在]0[a , 上二次可微,且0)()(>'-''x f x f x ,则x x f ) ('在区间)0(a ,内是( ) (A )不增的 (B )不减的 (C )单调增加的 (D )单调减少的 5. 若 C x x x f +=?2d )(,则=-?x x xf d )1(2 。 (A )C x +-2 2)1(2 (B )C x +--2 2)1(2
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题(共12分) 1. (3分)若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. (3分)已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为( ). (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. (3分)定积分22 π π-?的值为( ). (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. (3分)若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共12分) 1.(3分) 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. (3分) 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. (3分) 20 1 lim sin x x x →= . 4. (3分) 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题(共42分) 1. (6分)求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. (6分)设2 ,1 y x =+求.y ' 3. (6分)求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. (6分)求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. (6分)设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. (6分)设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. (6分)求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题(共28分) 1. (7分)设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. (7分)求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. (7分)求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. (7 分)求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分