简述数学期望的性质及其应用

编号：08005110111

南阳师范学院2012届毕业生

毕业论文（设计）

题目：简述数学期望的性质及其应用

完成人：xxx

班级：2008-01

学制：4年

专业：数学与应用数学

指导教师：xxx

完成日期：2012-03-31

目录

摘要 (1)

关键词 (1)

0引言 (1)

1 数学期望的定义 (1)

2 数学期望的性质 (1)

2.1一维随机变量数学期望的性质 (1)

2.2多维随机变量数学期望的性质 (3)

3数学期望的应用 (5)

3.1数学期望在农业中的应用 (5)

3.2数学期望在生活中的应用 (7)

3.3数学期望在经济中的应用 (9)

3.4数学期望在数学中的应用 (11)

参考文献 (12)

Abst ract (12)

简述数学期望的性质及其应用

作者：xxx

指导老师：xxx

摘要：在概率论及数理统计中，数学期望是随机变量最重要的数字特征之一，许多随机变量的分布都与他的期望有关，文章解析了数学期望在日常生活中的应用,如求职决策问题,投资问题,彩票问题等, 从而不断激发学生学习数学的积极性和主动性,让学生在兴趣中学习探索,并应用于生活,让数学改变生活.

关键词：随机变量；风险概率；数学期望

0引言

概率论同其他数学分支一样，是在一定的社会条件下，通过人类

的社会实践和生产活动发展起来的一种智力积累.今日的概率论被广

泛应用于各个领域，已成为一棵参天大树，枝繁叶茂，硕果累累.人

类认识到随即现象的存在是很早的，从太古时代起，估计各种可能性

就一直是人类的一件要事.早在古希腊，哲学家就已经注意到必然性

和偶然性问题；我国春秋时代也已有可考词语（辞海）；即使提到数

学家记事日程上的可考记载，也至少可推到中世纪.数学期望是概率

论早期发展中就已产生的一个概念，当时研究的概率问题大多于赌博

有关.通过对数学期望定义和性质的深刻理解和领悟，明白了数学期

望在当今乃至未来的重要作用。列举一些生产和生活实际中具有重要

指导意义的问题，加深对数学期望的性质及其应用的理解，对于学生

学习数学期望具有启发意义，结合生活实际和当今金融社会动荡不安

的情形，运用数学期望的性质综合分析，解决问题.

1数学期望的定义

数学期望是最基本的数学特征之一，它反映随即变量平均取值的

大小，又称期望或均值，随即变量可分为连续型随即变量和离散型随

即变量，其定义如下：

广义定义：一次随机抽样中所期望的某随机变量的取值.

数学定义：设ξ为随机变量，其分布函数为()F x ，若()xdF x ∞

-∞∞?p ，

则记()()xdF x ξ∞

-∞

E =

?

，并称()E ξ为ξ的数学期望.

2数学期望的性质

2.1一维随机变量数学期望的性质

性质[]11：设随机变量ξ有数学期望()E ξ，则η=a ξ+b ，（,a b 均为常数）的数学期望是E (η)=a E （ξ）+b ,特别当a =0时有E （b ）=b ，即常数b 的数学期望就是他自己本身. 例（均匀分布）

设随机变量ξ的密度函数为()1,;

0,a x b b a f x ?≤≤?-=???

当其他，试求()E ξ与()D ξ.

解()()221=-b x b a E xf x dx dx a ξ∞-==???∞

=2

a b +.

()()()2

2D x f x dx E ξξ∞

-∞

=

-?????

=()

222

b x b a dx a b a +-?-

=

332221b a b a ab -++?- =2222234

b ab a b a ab ++++-

=()2222.1212

b a b ab a --+=

故 ()()(),22.12b a E b a D ξξ?

+?=??-?=??

性质[]12：设ξ唯一随机变量，()2E ξ<∞，则E （ξ）及D （ξ）存在且()()()2

2.D ξξξ=E -E ????

证 由R-S 积分的性质，利用熟知得不等式2

1x x ≤+

有 ()()2

1x dF x x dF x ξ∞

∞

-∞-∞??E =≤+??

?? ()()()221.dF x x dF x ξ∞∞

-∞

-∞

=+=+E ∞??p 故E

（ξ）存在.

另一方面：()()()()2

2D x dF x ξξξξ∞

-∞=E -E =-E ????????? ()()()()()2

22x dF x xdF x dF x ξξ∞

∞

∞

-∞-∞-∞

=-E +E ????

???

=()()2

2.ξξE -E <∞????

最后由()0D ξ≥即得.

性质[]13：设随机变量ξ的分布函数为()F x ，方差D （ξ）存在， 则a b ηξ=+的方差()()()2.D D a b a D ηξξ=+=特别当a =0则有D （b ）=0. 证 由性质1得()()()2

D D a b a b a b ηξξξ=+=

E +-E +????

()2

a b a b ξξ=E +-E -????

(){}

2

a ξξ=E -E ???? ()()2

2a x dF x ξ∞

∞

=-E ????? =()()2

2

a

x dF x ξ∞

-∞

-E ?????

=()2.a D ξ

性质[]14：函数()F x =()2

x ξ??E -??

，x ∈R,当x = E （ξ）时达到 最小值.

例 设ξ与η相互独立，且都服从()0,1,N 求()min ,.E ξη 解 有对称性，得

()22

12min ,22x y x E y e

dydx ξηπ

+-

∞=???-∞-∞ =22221y x e

y x

e

dx y π

??

?- ?-?- ? ?=∞???-∞=-∞

=21x e dx π-∞-=?-∞

性质[]15：若D （ξ）=0，则ξ以概率为1地等于它的数学期望E （ξ），即P {ξ= E （ξ）}=1.

2.2多维随机变量数学期望的性质

性质[]16：数学期望具有单调性.

性质[]17：设n 维随机变量（12,,...,n ξξξ）的数学期望存在，则有（1）线性性质：对任意常数()1,2,...,i c i n =有

()11

.n n

i i i i i i c c ξξ==??E =E ???∑∑

（2）若12,,...,n ξξξ相互独立，则

()1

1

().n

n

i i i i ξξ==E =E ∏∏

证 （1）由R-S 积分的性质得

()1211...,,...,n n i i i i n i i c c x dF x x x ξ∞∞∞-∞-∞-∞==????

E = ? ?????

∑∑???

=()121...,,...,n

i i n i c x dF x x x ∞∞∞

-∞-∞-∞=∑???

()1

.n

i i i c ξ==E ∑

（2）仅证n=2并设()12,ξξ为连续性的情形.

设12(,)f x x 及()()1122,f x f x 为()12,ξξ及12,ξξ的密度函数，按性质7（1），并有12,ξξ的独立性，有

()2

12121(),i i x x dF x x ξ∞

∞

-∞-∞=E =∏??

()121212,x x f x x dx dx ∞∞

-∞-∞=?? ()()12112212x x f x f x dx dx ∞

∞

-∞-∞=?? ()()11112222x f x dx x f x dx ∞

∞

-∞-∞=??? ()()12.ξξ=E ?E

性质[]18：设i c 为常数，i ξ为随机变量，且()()21,2,...,,i i n ξE ∞=p

则（1）()

2,11

,1n n n D c c D c c b i i i i i k ik

i i i k i k

ξξ??=+∑∑∑ ? ?===??≠ 其中ik b ()(){}.i i k k ξξξξ=E -E -E ????????

特别，若12,,...,n ξξξ相互独立，则ik b =0（当i k ≠），且

()

2.11

n n D c c D i i i i i i ξξ??

=∑∑

? ?==?? （2）()()()()2

221212.ξξξξE ?≤E ?E （施瓦兹不等式）

3数学期望的应用

3.1数学期望在农业中的应用 (1)案列1

某农场种植某种蔬菜，根据以往经验，这种蔬菜的市场需求量 X （t ）服从（500，800）上的均匀分布.每售出一t 此种蔬菜，农场可 获利2.0万元；若销售不出去，则农场每吨亏损0.5万元.问该农场应 该生产这种蔬菜多少吨才能使平均收益最大？

解析：该农场种植此种蔬菜m t ，则有500≤m ≤800，设Y 为 在生产m t 蔬菜条件下的收益额（万元），则收益额Y 和蔬菜需求量 X 的函数关系为Y=f （X ）.有所设条件知，当X ≥m 时，则此m t 蔬 菜全部售出，获利2.0 m ；当X m 时，则售出X ，获利2.0 X ，还有 （m-X ）t 卖不出去，获利-0.5（m-X ），因此共获利2.5X-0.5m ， 故有：

(){

2.0;2.50.5;m X m f X X m X m

≥=-p 由定理可得：

()()()M

x M Y f x p x dx +-E =?

()800

1300500f x dx =?

800

1300

500

2.0(2.50.5)m

M mdx X m dx ??=+-????

?? =()221

2401480500m m -+-

根据极值定理，易知当m=740 t 时，能使E (Y) 达到最大值，即该 农场生产此种蔬菜740 t. (2)案列2

某农产拟投资2个项目：生产西红柿和辣椒，其收益都与市场 状态有关.若把未来市场划分为好，中，差三个等级，根据市场调查 研究，其发生的概率分别为0.3，0.5，0.2，生产西红柿的收益X （万 元）分别为12，7，-4时，对应的P 值分别为0.3，0.5，0.2；生产辣 椒的收益Y （万元）分别为9，5，-2时，对应的P 值分别为0.3，0.5 ，0.2.该农场是生产西红柿还是生产辣椒好呢?

解析：先考察数学期望

()()3

1 6.5i i X x p x E ==∑万元

()()3

1

4.8i i Y x p x E ==∑万元

从数学期望来看，生产西红柿收益大，比生产辣椒多收益1.5 万元.再考察它们各自的方差于标准差. ()31.21Var X = ()14.56Var Y = () 5.59X σ= () 3.82Y σ=

因为方差于标准差越大，收益的波动越大，从而风险也越大. 因此，从方差于标准差来看，种植辣椒较稳妥，减少风险约3200， 但少收入1.5万元.若农场的负责人敢于冒险，就选择种西红柿，成功 后可以增加收益1.5万元.

3.2数学期望在生活中的应用 (1)求职决策问题

设想某大学生甲在求职过程中收到了三个公司的面试结果，如果 按照面试时间的顺序来划分，我们将其标记为A 公司，B 公司，C 公 司.假定这三个公司每个公司有三种不同的职位：极好，好及一般.估 计能得到这些职位的概率为0.2,0.3,0.4，被拒绝的可能性为0.1，按规 定，双方在面试后要立即作出决定提供，接受或是拒接某种职位，那 么应该遵循什么策略应答呢？ 三家公司的工资承诺如下表：

300035002200

2950390025003000

4000

2500

A B C

公司

好极好一般 我们的方案是采取最大期望收益最大原则.

按照面试顺序的规则来看，我们先从A 公司开始面试，这样甲 在面试A 公司时必然会权衡考虑B ，C 公司的机会和待遇.同样道理，

在选择面试B 公司时自然也会考虑C 公司的机会和待遇.通过三个公 司机会和待遇的横向和纵向比较，从而选择一个效益最大化的公司. 一般来说，从第三次的面试期望值来看，也就是从C 公司来看，其 工资的期望值表现为：2700元1(=4000*0.23000*0.32500*0.4)E ++.而B 公司的职位工资是2500元，这样经过横向比较，往往会选择去C 公 司.而第二次面试的期望值可有以下数据求出：极好的职位工资3900 元，好的职位工资2950元，接受第三次面试期望工资2700.所以在最 后考虑A 公司时，只有极好的职位工资超过3015元，甲才会接受. 这样，对于三次面试应采取的策略是：A 公司只接受极好的职位， 否则去B 公司，在B 公司可接受极好的和好的职位，否则去C 公司， 在C 公司可接受任何可能提供的职位.在这一策略下甲工资总的期望 值为3500*0.2+3015*0.8=3112元.因此，当我们在求职时如果得到多份面 试时，应该进行横向纵向的衡量比较，遵循效益期望最大化原则，从 而提高决策的满意度和期望值. (2)风险投资问题

假设这样的情形：一个人想用10万元进行一年的短期投资.常 见的做法往往是进行购买股票和存入银行.股票的收益要取决于经济 的运行趋势，如果经济运行较好则获利较多，运行一般则获利中等， 运行不好则要损失许多.当时如果存入银行，假定年利率为500，则利 息为5000元.我们假定经济运行情况的良好，中等，较差的概率为 2000,4000,1000，那么我们该选择哪种方案才能获得利益最大呢? 我们可以看出，如果在经济运行良好的情况下，显然购买股票时 最划算的.但如果经济运行较差的话，存入银行有比较合适.然而，在 现实情况中，我们无法估计这种不确定性，就要估计二者直接的获利 期望大小.通过二者期望值的综合比较，发现购买股票的获利收益更 大，因此，选择购买购买股票这一方案更为合适. (3)彩票概率问题

我们首先假设福利彩票每张为2元钱，每张彩票对应一个中奖号 码，每售出一百万张设置一个开组奖项.中奖号码为一个6位数（可 以认为从000000到999999中的每一个数出现的可能性相同），兑奖 股则如下：如果兑奖号码与中奖号码的最后一位是一致的，则获六等

奖，奖励为4元钱（中奖概率为0.1），以此类推，如果最后两位一致， 则获五等奖，奖励为20元（中奖概率为0.01），最后三位如果一致， 则获四等奖，奖励为200元（中奖概率为0.001），最后四位一致，则 获三等奖，奖励为2000元（中奖概率为0.0001），接着后五位相同， 则获二等奖，奖励为20000元（中奖概率为0.00001），同时规定，奖 项不叠加，只取最高奖励，那么每张彩票的平均所得应该是多少？ 我们可以算出，彩民对每张彩票的期望值为：

0.1*4+0.01*20+0.001*200+0.0001*2000+0.00001*20000=1.4元.而同样我们

也可以算出一个开组奖项在得到200万元的销售中，其中140万元作 为奖励返还为彩民，但是剩余的60万元却作为剩余所得用于福利事 业等其他费用的支出，实际而言，就是将多数人的钱以一种概率的形 式转移给某些少数人.因此，我们可以看出，谁中奖虽然是随机的， 但是彩票得期望所得却是可以预算出来的，这也是彩票事业生存下来 的条件和原因.

3.3数学期望在经济中的应用 (1)保险公司获利问题

一年中一个家庭万元被盗的概率是0.01，保险公司开办一年期万 元以上家庭财产保险，参加者需缴纳保险费100元，若在一年内，万 元以上财产被盗，保险公司赔偿a 元（232026a ≤≤），试问a 如何确定，

才能是保险公司期望获利？

解析：只需考察保险公司对任一参保家庭的获利情况，设ξ表示 保险公司对任一参保家庭的收益，则ξ的取值为100或100-a ，其分 布为

100100-a

0.990.01

P ξ

根据题意，

()()=100*0.99+100-a *0.01ξE =100-0.01a 0p

解得10000a p ，又100a f ，所以()a 100,10000∈时保险公司才能期望获

利.

(2)机器故障问题

一部机器一天内发生故障的概率是0.2，机器发生故障则全天停 工，如果一周5个工作日均无故障，工厂可获利润10万元，发生一 次故障可获利5万元，发生两次故障不获利也不亏损，而发生三次或 三次以上的故障，则要亏损2万元，求这个工厂每周的期望利润. 解：以ξ表示一周内机器发生故障的天数，则ξ是n=5的二次分

布B （5,0.2），()()55P =K =0.20.80,1,2,3,4K K

K C K ξ-

?

=，

以η表示工厂一周内 所获利润，则

()10 =0

5 =1

0 =2-2 3

=g =ξξξξηξ≥???

η的概率分布为：10

50-2

0.3280.4100.2050.057

P η

()()=10*0.328+5*0.410+0*0.205+-2*0.057=5.216ηE

故工厂一周的期望利润是5.216万元. (3)进货问题

设某种商品每周的需求ξ是取从区间[]10,30上均匀分布的随机变 量，经销商进货量为区间[]10,30中的某一整数，商店每销售一单位商 品可获利5000元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏 损100元.若供不应求，则可以外部调剂供应，此时一单位商品可多 获利300元.为使商品所获利润期望不少于9280元，试确定进货量. 解：设进货量为a ，则利润为 ()=g ηξ

()

()500a+300-a) ( a x 30

=500-100a-) (10x x ξξξ?≤?

≤≤?p 300200-a x a a ξξ+≤=≤≤p ａｘ３0

600100 10

期望利润为 ()()301

20

=g x dx ηE ?

()()30

110

600100300200a a

x a dx x a dx =

-++??

27.535052509280a a =-++≥ 以题意有：

27.535052509280a a -++≥ 解得：232026

a ≤≤ 故利润期望值不少于9280元的最少进货量为21单位.

3.4数学期望在数学上的应用

(1)例 向上抛一颗制造均匀对称的骰子，当它落地时，其向上的 表面出现的点数是一个随机变量ξ，求E ξ. 解：随机变量ξ可能取值为1,2,3,4,5,6

ξ的概率分布为

1

111116

6

6

6

6

6

1

23456

P

ξ

()ξE 111111

666666*1*2*3*4*5*6

=+++++ =216

从以上内容我们可以看出，生活中的方方面面都有着概率的影子，小到天气预报，大到火箭升天，并且随着农业产业化和现代化的发展，农业生产对数学的依赖会越来越密切，保险业，金融业的风险预测更适于概率论休戚相关，在理性决策中多运用概率论可以让我们的生活更明智.

参 考 文 献

[1] 中山大学，概率论及数理统计[M].高等教育出版社,2009：213-235. [2] 赵舜仁，一个数学期望性质的推广[J].青岛建筑工程学院学报，1997,04：

86.

[3] studa20，开发学生数学潜能优化学生数学能力结构[J].中国教育资源网，

2006,11,27：201.

[4] 陈洪波谭桂艳，高中数学教师新课改下的新角色[J].维普中文期刊，

2012,02,14：196.

[5] 侯文高洋，有关数学期望计算的一个典型错误[J].高等数学研究，

2011,03：10.

[6] 张志强，随机置换的有关概率问题[J].通信学报，2006,27：18.

[7] 王妍，概率统计在实际问题中的应用举例[J].中国传媒大学学报自然科学

版，2010,24：28.

[8] 张慧，条件概率与条件数学期望及其在期权定价中的应用[J].山东师范大学

学报，2009，02：69.

[9] 徐丽君，浅谈数学期望的计算与应用[J].攀枝花学院学报，2005,06：108.

[10] 姚仲明，条件数学期望与随机变量独立性的一个冲要条件[J].计算机教与

学，2007,03：23.

Brief mathematical expectation Properties and Applications

Zhai Zhong-liang

Abst ract：In the theory of probability and mathematical statistics，Mathematical expectation is random variable of the most important one of digital features，Many of the random variables and the expectations of his distribution related, the article analyzes the mathematical expectation in daily life application, such as job decision making problems, investment, the lottery, etc, so as to constantly motivating students to learn mathematics the enthusiasm and initiative, get them interested in learning to explore, and applied to life, let math changes life.

Key words：Random variable, Probability; Mathematical expectation

计量经济学简答题及答案

计量经济学简答题及答案 1、比较普通最小二乘法、加权最小二乘法和广义最小二乘法的异同。 答：普通最小二乘法的思想是使样本回归函数尽可能好的拟合样本数据，反映在 图上就是是样本点偏离样本回归线的距离总体上最小，即残差平方和最小 ∑=n i i e 12min 。 只有在满足了线性回归模型的古典假设时候，采用OLS 才能保证参数估计结果的可靠性。 在不满足基本假设时，如出现异方差，就不能采用OLS 。加权最小二乘法是对原 模型加权，对较小残差平方和2i e 赋予较大的权重，对较大2i e 赋予较小的权重，消除异方差，然后在采用OLS 估计其参数。 在出现序列相关时，可以采用广义最小二乘法，这是最具有普遍意义的最小二乘 法。 最小二乘法是加权最小二乘法的特例，普通最小二乘法和加权最小二乘法是广义 最小二乘法的特列。 6、虚拟变量有哪几种基本的引入方式? 它们各适用于什么情况? 答: 在模型中引入虚拟变量的主要方式有加法方式与乘法方式，前者主要适用于 定性因素对截距项产生影响的情况，后者主要适用于定性因素对斜率项产生影响的情况。除此外，还可以加法与乘法组合的方式引入虚拟变量，这时可测度定性因素对截距项与斜率项同时产生影响的情况。 7、联立方程计量经济学模型中结构式方程的结构参数为什么不能直接应用OLS 估计？ 答：主要的原因有三：第一，结构方程解释变量中的内生解释变量是随机解释变 量,不能直接用OLS 来估计；第二，在估计联立方程系统中某一个随机方程参数时，需要考虑没有包含在该方程中的变量的数据信息，而单方程的OLS 估计做不到这一点；第三，联立方程计量经济学模型系统中每个随机方程之间往往存在某种相关性，表现于不同方程随机干扰项之间，如果采用单方程方法估计某一个方程，是不可能考虑这种相关性的，造成信息的损失。 2、计量经济模型有哪些应用。 答：①结构分析，即是利用模型对经济变量之间的相互关系做出研究，分析当其 他条件不变时，模型中的解释变量发生一定的变动对被解释变量的影响程度。②经济预测，即是利用建立起来的计量经济模型对被解释变量的未来值做出预测估计或推算。③政策评价，对不同的政策方案可能产生的后果进行评价对比，从中做出选择的过程。④检验和发展经济理论，计量经济模型可用来检验经济理论的正确性，并揭示经济活动所遵循的经济规律。 6、简述建立与应用计量经济模型的主要步骤。 答：一般分为5个步骤：①根据经济理论建立计量经济模型；②样本数据的收集； ③估计参数；④模型的检验；⑤计量经济模型的应用。 7、对计量经济模型的检验应从几个方面入手。 答：①经济意义检验；②统计准则检验；③计量经济学准则检验；④模型预测检 验。

数学期望的计算及应用

数学期望的计算及应用 数学与应用数学111 第四小组 引言： 我们知道，随机变量的概率分布是随机变量的一种最完整的数学描述，而数学期望又是显现概率分布特性的最重要的特征数字之一。因此，掌握数学期望的计算并应用他来分析和解决实际问题显得尤为重要。在学习了概率论以后，我们计算数学期望一般有三种方法：1.从定义入手，即∑∞ == 1 )(k k k p x X E ；2. 应用随机变量函数的期望公式 ∑∞ ==1 )())((k k k p x q x q E 3. 利用期望的有关性质。但是还是会碰到许多麻烦，这里我们将 介绍一些解决这些难题的简单方法。在现实生活中，许多地方都需要用到数学期望。如果我们可以在学会怎么解决数学期望的计算之后，将数学期望应用到现实生活中。就可以解决许多问题，例如农业上，经济上等多个方面难以解决的难题。 下面就让我们来看看，除了最常用的三种计算方法之外还有哪些可以计算较为棘手的数学期望的方法。 1. 变量分解法 ] 1[ 如果可以把不易求得的随机变量X 分解成若干个随机变量之和,应用)(...)()()...(2121n n X E X E X E E E X E ++=++再进行求解得值， 这种方法就叫做变量分解法。这种方法化解了直接用定义求数学期望时的难点问题，因为每一种结果比较好计算，分开来计算便可以比较简单的获得结果。 例题1 ： 从甲地到乙地的旅游车上载有20位旅客，自甲地开出，沿途有10个车站，如到达一个车站没有旅客下车，就不停车，以X 表示停车次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的) 分析 ： 汽车沿途10站的停车次数X 所以可能取值为0，1，….，10，如果先求出X 的分布列，再由定义计算E(X)，则需要分别计算{X=0}，{X=1}，…，{X=10}等事件的概率，计算相当麻烦。注意到经过每一站时是否停车，只有两种可能，把这两种结果分别与0，1对应起来，映入随机变量i X 每一种结果的概率较易求得。把X 分解成若干个随机变量i X 之和，然后应用公式)(...)()()...(2121n n X E X E X E E E X E ++=++就能最终求出E(X)。

概率论中数学期望的概念

毕业论文（设计） 题目：概率论中数学期望的概念 姓名： 学号：0411******* 教学院：数学与计算机科学学院 专业班级：数学与应用数学专业2008级1班 指导教师： 完成时间：2012年04月10日 毕节学院教务处制

概率论中数学期望概念 摘要：数学期望是现代概率论中最重要的基本概念之一，无论在理论上还是在应用中都具有重要的地位和作用。但是，数学期望这一概念对许多学者来说却又是一个难点，特别是对概念的理解和对这一数学工具的使用上都很难掌握。本文从离散型随机变量的来源、定义、分布及其理解上详细阐述概率论中的数学期望的概念及其性质，并介绍说明这一数学工具在实际生活中的应用。目的是希望能给更多的学者提供一些参考及帮助。 关键词：离散型；随机变量；分布；函数；期望 Mathematical expection concept

in theory of probability Candidate:Xiong Xiao-ping Major:Mathematics and applied mathematics Student No:0411******* Advisor:Xue Chao-kui(Lecturer) Abstract:Mathematical expectation is the modern theory of probability in the most important one of the basic concept, whether in theory or in the applications has an important position and role. But, mathematical expectation is a difficult concept for many scholars, especially for the understanding of concepts and the mathematical tools to the use of all difficult to master. This article from source of discrete random variable, definition, distribution and understand the detail on the mathematics of the concept of probability theory and its properties expectations, and introduces the mathematical tools that in the actual life application. The main purpose is to give more scholars can provide some reference and help. Keywords:discrete; Random variable, Distribution; Functions; expect

数学期望与方差的运算性质

数学期望与方差的运算性质 教程 一：复习公式 离散随机变量(),(,)(,)(,)(,)i j ij i j ij i j P X Y a b p Eh X Y h a b p ==→=∑ 连续随机变量()()()2 ,~,(,)(,),R f x y Eg g x y f x y dxdy ξηξη→=?? 二：期望运算性质 ()E aX bY c aEX bEY c ++=++ 应用例题、袋中装有m 个不同色小球，有返回取球n 次，出现X 种不同颜色，求EX 解答：用i X ?=?? １第ｉ颜色球在n次取球中出现０第ｉ颜色球在n次取球中没出现，则 m X X X ++= 1 由于()()1101,111,n n i i P X P X m m ????==-==-- ? ????? ()111/n i EX m =--， ()??????????? ??--==++=∑=n m i i m m m EX X X E EX 11111 三、协方差：若,EX EY θμ==，()()cov(,)X Y E X Y θμ=--????称为随机变量X 、Y 的协方差.covariance ()()cov(,)X Y E X Y θμ=--???? ()()()()() ()()()()()()EY EX XY E XY E XY E Y E X E XY E E Y E X E XY E Y X XY E ?-=-=+--=+--=+-+-+=+--=θμθμθμμθθμ θμθμθμθμθμ 例题：害虫一生产卵个数X 服从参数为λ的Ｐｏｉｓｓｏｎ分布，若每个卵能孵化成下一代的概率都是p ，假定害虫后代个数为Y ，求cov(,)X Y 解答：(,)()()(1)!i i j j j i j i e P X i Y j P X i P Y j X i C p p i λλ-≥-=======-

条件数学期望及其应用

条件数学期望及其应用 The ways of finding the inverse matrix and it ’s application Abstract ：The passage lists the ways of calculating the first type of curvilinear integral,and discusses it ’s application in geometry and in physical. Keywords ：Curvilinear integral;Continuous;Integrable; Lateral area. 0前言 在曲线积分中，被积函数可以是标量函数或向量函数.积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和.带有权重是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点.物理学中的许多公式在推广之后都是以曲线积分的形式出现.曲线积分是物理学中重要的工具. 1条件数学期望 1.1条件数学期望的定义 定义1 设X 是一个离散型随机变量，取值为},,{21 x x ，分布列为 },,{21 p p .又事件A 有0)( A P ，这时 ,2,1,) () }({)|(| i A P A x X P A x X P P i i A i 为在事件A 发生条件下X 的条件分布列.如果有 A i i i p x | 则称 A i i i p x A X E |]|[ ． 为随机变量X 在条件A 下的条件数学期望（简称条件期望）． 定义2 设X 是一个连续型随机变量，事件A 有0)( A P ，且X 在条件A 之

概率论与数理统计：数学期望的性质

数学期望的性质 利用4.1.3中的定理可以得到数学期望的几条重要性质： 性质1 设C 为常数, 则()E C C =. 性质2 设C 为常数,X 为随机变量, 则()()E CX CE X =. 证明 设X 的概率密度为()f x ,则 ()()d E CX Cxf x x +∞-∞ =?()d C xf x x +∞ -∞ =? (). CE X = 性质3 设,X Y 为任意两个随机变量,则 ()()()E X Y E X E Y +=+. 证明 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y ,边缘概率密度分别为()X f x 和 ()Y f y ,则 ()()(,)d d E X Y x y f x y x y +∞ +∞ -∞ -∞ +=+? ? (,)d d xf x y x y +∞ +∞-∞ -∞ =?? (,)d d yf x y x y +∞ +∞ -∞ -∞ +? ? ()d X xf x x +∞ -∞ = ? ()d Y yf y y +∞ -∞ +? ()()E X E Y =+. 性质4 设,X Y 为相互独立的随机变量,则 ()()()E XY E X E Y =. 证明 因为 X 与Y 相互独立,其联合概率密度与边缘概率密度满足 (,)()()X Y f x y f x f y =, 所以 ()(,)d d E XY xyf x y x y +∞ +∞ -∞ -∞ =?? ()()d d X Y xyf x f y x y +∞ +∞ -∞ -∞ =? ? ()d ()d X Y xf x x yf y y +∞ +∞-∞ -∞ = ? ? ()()E X E Y =. 性质5 若,X Y 相互独立，则()()()E XY E X E Y =； 这一结论推广到有限多个，若12,, ,n X X X 相互独立，则

数学期望的性质

知识点4.2 数学期望的性质

1. 随机变量函数的数学期望 定理1设Y 是随机变量X 的函数：Y =g(X)(g 是连续函数). (1)设离散型随机变量X 的分布律为 p k =P{X =x k },k =1,2,?. 若?k=1+∞g x k p k <+∞,则有E Y =E g X =?k=1 +∞g x k p k .

(2)设连续型随机变量X 的密度函数为f(x)，若 ? ?∞+∞ g(x)f(x)dx <+∞, 则有 E(Y)=E g X =? ?∞+∞g(x)f(x)dx.

定理2设Z 是随机变量X,Y 的函数：Z =g(X,Y)(g 是连续函数). (1) 设离散型随机变量(X,Y)的分布律为 p ij =P(X =x i ,Y =y j ),(i,j =1,2,?), 若?j=1+∞?i=1+∞ g(x i ,y j )p ij <+∞, 则有 E(Z)=E g X,Y =?j=1+∞?i=1 +∞g x i ,y j p ij .

(2) 设连续型随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)， 若 ? ?∞+∞??∞+∞ g(x,y)f(x,y)dxdy <+∞, 则有 E(Z)=E g X,Y =? ?∞+∞??∞+∞ g(x,y)f(x,y)dxdy.

2. 数学期望的性质 （1）设C是常数,则有E(C)=C. （2）设X是一个随机变量, C是常数,则有E(CX)=CE(X).（3）设X,Y是两个随机变量,则有E(X+Y)=E(X)+E(Y).（4）设X,Y是两个相互独立的随机变量,则有E(XY)=E(X)E(Y). 性质3和4可以推广到有限个随机变量的和及积的情况.

数学期望(均值)、方差和协方差的定义与性质

均值、方差和协方差的定义和基本性质 1 数学期望（均值）的定义和性质 定义：设离散型随机变量X 的分布律为 {}, 1,2,k k P X x p k === 若级数 1k k k x p ∞=∑ 绝对收敛，则称级数1k k k x p ∞=∑的和为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。即 ()1k k k E X x p ∞==∑。 设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，若积分 ()xf x dx ∞?∞? 绝对收敛，则称积分 ()xf x dx ∞?∞?的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。即 ()()E X xf x dx ∞ ?∞=? 数学期望简称期望，又称为均值。 性质：下面给出数学期望的几个重要的性质 （1）设C 是常数，则有()E C C =； （2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()E CX CE X =； （3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()E X Y E X E Y +=+，这一性质可以推 广至任意有限个随机变量之和的情况； （4）设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有()()()E XY E X E Y =。 2 方差的定义和性质 定义：设X 是一个随机变量，若(){}2E X E X ?????存在，则称(){}2E X E X ?????为X

的方差，记为()D X 或()Var X ，即 性质：下面给出方差的几个重要性质 （1）设C 是常数，则有()0D C =； （2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有 ()()2D CX C D X =，()()D X C D X +=； （3）设X 和Y 是两个随机变量，则有 ()()()()()()(){}2D X Y D X D Y E X E X Y E Y +=++?? 特别地，若X 和Y 相互独立，则有()()()D X Y D X D Y +=+ （4）()0D X =的充分必要条件是以概率1取常数()E X ，即(){}1P X E X ==。 3 协方差的定义和性质 定义：量()(){} E X E X Y E Y ??????????称为随机变量X 与Y 的协方差。记为(),Cov X Y ，即 ()()(){},Cov X Y E X E X Y E Y =?????????? 性质：下面给出协方差的几个重要性质 （1）()(),,Cov X Y Cov Y X = （2）()(),Cov X X D X = （3）()()()(),Cov X Y E XY E X E Y =? （4）()(),,,,Cov aX bY abCov X Y a b =是常数 （5）()()()1212,,,Cov X X Y Cov X Y Cov X Y +=+ 参考文献 [1]概率论与数理统计（第四版），浙江大学

随机变量的数学期望与方差

第9讲随机变量的数学期望与方差 教学目的：1.掌握随机变量的数学期望及方差的定义。 2.熟练能计算随机变量的数学期望与方差。 教学重点： 1．随机变量的数学期望 For personal use only in study and research; not for commercial use 2．随机变量函数的数学期望 3．数学期望的性质 4．方差的定义 For personal use only in study and research; not for commercial use 5．方差的性质 教学难点：数学期望与方差的统计意义。 教学学时：2学时。 For personal use only in study and research; not for commercial use 教学过程： 第三章随机变量的数字特征 §3.1 数学期望 For personal use only in study and research; not for commercial use 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了。然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的，而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了。因此，在对随机变量的研究中，确定其某些数字特征是重要的，而在这些数字特征中，最常用的是随机变量的数学期望和方差。

1．离散随机变量的数学期望 我们来看一个问题： 某车间对工人的生产情况进行考察。车工小张每天生产的废品数X 是一个随机变 量，如何定义X 取值的平均值呢？ 若统计100天，32天没有出废品，30天每天出一件废品，17天每天出两件废品， 21天每天出三件废品。这样可以得到这100天中每天的平均废品数为 27.1100 213100172100301100320=?+?+?+? 这个数能作为X 取值的平均值吗？ 可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的 天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是 1.27。 对于一个随机变量X ，若它全部可能取的值是 ,,21x x ， 相应的概率为 ,,21P P ， 则对X 作一系列观察(试验)所得X 的试验值的平均值是随机的。但是，如果试验次数 很大，出现k x 的频率会接近于K P ，于是试验值的平均值应接近 ∑∞=1k k k p x 由此引入离散随机变量数学期望的定义。 定义1 设X 是离散随机变量，它的概率函数是 ,2 ,1,)()(====k P x X P x p K K k 如果 ∑∞ =1||k k k p x 收敛，定义X 的数学期望为 ∑∞ ==1)(k k k p x X E 也就是说,离散随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。 例1 某人的一串钥匙上有n 把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地 试用这串钥匙中的某一把去开门。若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数 的数学期望。

数学期望

§2.2 随机变量的数学期望 每个随机变量都有一个概率分布（分布函数，或分布列、概率密度），这种分布完整地刻画了随机变量取值的统计规律性。由概率分布可以计算出有关随机变量的各个事件的概率。此外，概率分布还可以确定随机变量的各种特征数，比如，数学期望、方差、中位数等，这些特征数都是用以刻画随机变量（或其概率分布）的某一方面的特征。 例如，考虑某种元件的寿命，如果知道了寿命X 的概率分布，就可以计算出寿命在任一指定范围内的概率，对这种元件的寿命状况提供了一幅完整图景。根据这一分布，还可以确定用以反映寿命平均水平的特征数-数学期望，用以刻画寿命值的散布程度（或稳定程度）的特征数-方差.这些特征数虽不能对寿命状况提供完整刻画,但却往往是人们最为关注的一个方面.无论在理论上还是在实用中，这些特征数都有着极重要的意义.尤其是实用中,概率分布虽很“完美”,但难以把握;而特征数则容易把握,并且特征数是以一个“醒目”的数值刻画随机变量的某种特征,是概率分布某个方面的概括，这使得应用方便. 一. 数学期望的定义 定义 设离散型随机变量X 的分布列为 i i p x X P ==)(， ,2,1=i 如果 ∞<∑∞=1 ||i i i p x 则称∑∞=1i i i p x 为X 的数学期望，记为)(X E ，即 ∑∞== 1 )(i i i p x X E 若级数∑∞=1i i i p x 不绝对收敛，则称X 的数学期望不存在。 由以上定义可看出，若X 只取有限个值，则它的数学期望总是存在的。而若X 取可列个值，则它的数学期望不一定存在，是否存在就看级数∑∞=1i i i p x 是否绝对收敛，这个要求的目 的在于使期望值唯一。因为若无穷级数∑∞=1i i i p x 只是条件收敛，则可通过改变这个级数各项 的次序，使得改变后的级数不收敛或收敛到任意指定的值，这意味着这个级数的和存在与否，以及等于多少，与X 的取值的排列次序有关，而)(X E 作为刻画X 取值的平均水平的特征数，具有客观意义，不应与X 的取值的排列次序有关。 由定义，X 的期望值就是其所有可能取值的加权平均，每个可能值的权重就是X 取该值的概率，因此X 的数学期望又称为X 的均值。同时还可看出X 的数学期望完全由X 的概率分布所决定，所以X 的数学期望又叫做X 的分布的数学期望（对一般的随机变量的期望

条件数学期望及其应用

实用文档 文案大全条件数学期望及其应用 The ways of finding the inverse matrix and it's application Abstract：The passage lists the ways of calculating the first type of curvilinear integral,and discusses it's application in geometry and in physical. Keywords：Curvilinear integral;Continuous;Integrable; Lateral area. 0前言 在曲线积分中，被积函数可以是标量函数或向量函数.积分的值是路径各 点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和.带有权重是曲线积 分与一般区间上的积分的主要不同点.物理学中的许多公式在推广之后都 是以曲线积分的形式出现.曲线积分是物理学中重要的工具. 1条件数学期望 1.1条件数学期望的定义 定义1设X是一个离散型随机变量，取值为},,{21?xx，分布列 为},,{21?pp.又事件A有0)(?AP，这时 ,2,1,)()}({)|(|??????iAPAxXPAxXPP iiAi

为在事件A发生条件下X的条件分布列.如果有 ???Aiii px| 则称 ??． Aiii pxAXE|]|[ 为随机变量X在条件A下的条件数学期望（简称条件期望）． 定义2设X是一个连续型随机变量，事件A有0)(?AP，且X在条件A 之 实用文档 ??????dxAXxf)|(称为随机变量文案大全下的条件分布密度函数为)|(Axf．若 X在条件A下的条件数学期望． 定义3设),(YX是离散型二维随机变量，其取值全体为 },2,1,),,{(??jiyx ii， 联合分布列为 ?,2,1,),,(????jiyYxXPp iiij， 在i yY?的条件下X的条件分布列为?,2,1),|(|????iyYxXPp iiji若 ???jiii px|， 则 ??? jiiii pxyYXE|]|[ 为随机变量X在i yY?条件下的条件数学期望． 定义4 设),(YX是连续型二维随机变量，随机变量X在yY?的条件下的条件密度函数为)|(|yxp YX，若 ??????dxyxpx YX)|(|， 则称

数学期望的性质

梁烨 0417

数学期望的性质 . )(,.1c c E c =则有是常数设). ()(,,.2X cE cX E c X =则有是常数是一个随机变量设). ()()(,,.3Y E X E Y X E Y X +=+则是两个随机变量设).()()(,,.4Y E X E XY E Y X =则是相互独立的随机变量设4证明()(,)d d ()()d d X Y E XY xyf x y x y xyf x f y x y +∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞== ??????+∞∞-+∞ ∞-==) ()(d )(d )(Y E X E y y yf x x xf Y X Note:性质3和4可推广到n 个随机变量的情形.

例12 (,),,().X N Y aX b E Y μσ=+设～求:解(), E X μ=()()()E Y E aX b aE X b a b μ=+=+=+所以 Note ：正态分布r.v 的线性组合的期望为其期望的线性组合.

2例). (),(~X E p n b X ，求设:解引入计数随机变量 11,2,,0i i A X i n i A ?==?????第次试验中事件发生第次试验中事件不发生其中.)(p A P =则且分布为p X E X i i =-)(,)10(故.1∑==n i i X X ) ()(21n X X X E X E +???++=12()()()n E X E X E X np =++???+=Note ：该解法具有一般性，引入计数变量可简化计算：将一复杂变量分解成n 个相互独立的服从（0-1）分布的变量之和.

数学期望的含义

数学期望的含义是什么？ 06月282014年 【知乎用户的回答(24票)】: 简单明了地告诉你结论：期望就是均值。 首先需要明确的一点是：只有随机变量才有期望值。 何谓随机变量？简单地说，一个变量 ，它的取值是随机遇而定的，即我们不能预先知道它取值多少。所以自然地，面对一个如此奇怪充满未知的东西，我们希望用某些工具来刻画它，对它的性质有一点点了解，比如用分布函数，比如用期望方差偏度峰度等诸多统计量。 期望定义： 连续型随机变量： 离散型随机变量： 从数学上来说，这两个奇怪的公式实际上就是求加权平均数。从这个定义告诉我们，期望就是平均数，是随机变量各个取值对取这个值的概率的加权平均。如果我们知道 的分布函数，可以通过这个公式算出来它的期望。 但是现实情况往往不会那么好，对于一个随机变量 ，我们经过很多次观察，获得了一组观察值 ，并且我们对于它的分布不了解，不能直接计算出来期望。所以换一个方法“估计”它的期望。它的期望是多少？它的平均值是多少？我们对这个随机变量的“期待”是多少？在统计学上，这都是一个问题。用同样的思路，那就是取平均了， ，在统计学中，这个样本均值对随机变量期望是无偏估计，即当n充分大的时候，这个估计会和期望“非常非常接近”。 再提到你的例子，扔一个均匀硬币，正面+1分反面-1分，则数学“预期”是0。 设一个随机变量 表示丢硬币的结果，这是一个离散的随机变量，取1和-1的概率都是0.5。其实我们已经知道 的分布了，可以按照公式直接求期望。 但是为了解释清楚什么叫期望，我们还按照上述第二种情况来算。 我们丢了 次硬币，得到了一组观察值 ，这里面有1有-1，肯定没有0。 但是随着

数学期望在生活中地应用原文

一、数学期望的定义及性质 （一）数学期望分为离散型和连续型 1、离散型 离散型随机变量的一切可能的取值Xi与对应的概率Pi(=Xi)之积的和称为该离散型随机变量的数学期望（设级数绝对收敛），记为E（X）。数学期望是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。如果随机变量只取得有限个值，称之为离散型随机变量的数学期望。它是简单算术平均的一种推广，类似加权平均。E(X) = X1*P(X1）+ X2*P(X2)+ …… + Xn*P(Xn)。X1,X2,X3，……，Xn 为这几个数据，P(X1）,P(X2）,P(X3），……，P(Xn)为这几个数据的概率函数。在随机出现的几个数据中，P(X1）,P(X2）,P(X3），……，P(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3，……，Xn出现的频率f(Xi),则：E(X) = X1*P(X1）+ X2*P(X2）+ …… + Xn*P(Xn) = X1*f1(X1） + X2*f2(X2）+ …… + Xn*fn(Xn)。 2、连续型 连续型则是：设连续性随机变量X的概率密度函数为f（X），若积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量的数学期望，记为E(X)。若随机变量X的分布函数F(X)可表示成一个非负可积函数f(X)的积分，则称X为连续随机变量，f(X)称为X的概率密度函数（分布密度函数）。能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为连续型随机变量。 （二）数学期望的常用性质 1.设X是随机变量，C是常数，则E（CX）=CE（X）； 2.设X，Y是任意两个随机变量，则有E（X+Y）=E（X）+E（Y）； 3.设X,Y是相互独立的随机变量，则有E（XY）=E（X）E（Y）。 对于第一条性质，假设E（X）你的考试成绩，C为你们全班人数，则你们全班总分的期望等于全班人数乘以个人的期望，这很好理解。 对于第二条性质，E（X）为你的考试成绩，E(Y)是小明的考试成绩，你和他成绩总和的期望当然等于你和他的期望值和。 对于第三条性质，我们一再强调是独立的，也就是相互没有关联，有关联是肯定是不是不等的。

概率、期望与方差的计算和性质

概率与统计 知识点一：常见的概率类型与概率计算公式； 类型一：古典概型； 1、 古典概型的基本特点： （1） 基本事件数有限多个； （2） 每个基本事件之间互斥且等可能； 2、 概率计算公式： A 事件发生的概率()A P A = 事件所包含的基本事件数 总的基本事件数 ; 类型二：几何概型； 1、 几何概型的基本特点： （1） 基本事件数有无限多个； （2） 每个基本事件之间互斥且等可能； 2、 概率计算公式： A 事件发生的概率()A P A = 构成事件的区域长度（或面积或体积或角度） 总的区域长度（或面积或体积或角度） ； 注意： （1） 究竟是长度比还是面积比还是体积比，关键是看表达该概率问题需要几个变量，如 果需要一个变量，则应该是长度比或者角度比；若需要两个变量则应该是面积比；当然如果是必须要三个变量则必为体积比； （2） 如果是用一个变量，到底是角度问题还是长度问题，关键是看谁是变化的主体，哪 一个是等可能的； 例如：等腰ABC ?中，角C= 23 π ，则： （1） 若点M 是线段AB 上一点，求使得AM AC ≤的概率； （2） 若射线CA 绕着点C 向射线CB 旋转，且射线CA 与线段AB 始终相交且交点是M ，求 使得AM AC ≤的概率； 解析：第一问中明确M 为AB 上动点，即点M 是在AB 上均匀分布，所以这一问应该是长度 之比，所求概率： 13P =; 而第二问中真正变化的主体是射线的转动，所以角度的变化是均匀的，所以这一问应该是角度之比的问题，所以所求的概率：2755 = =1208 P ?； 知识点二：常见的概率计算性质； 类型一：事件间的关系与运算； A+B （和事件）：表示A 、B 两个事件至少有一个发生； A B ?（积事件） ：表示A 、B 两个事件同时发生； A （对立事件） ：表示事件A 的对立事件；

数学期望的计算方法及其应用

数学期望的计算方法及其应用

数学期望的计算方法及其应用 摘要：在概率论中，数学期望是随机变量一个重要的数字特征，它比较集中的反映了随机变量的某个侧面的平均性，而且随机变量的其他数字特征都是由数学期望来定义的，因此对随机变量的数学期望的计算方法的研究与探讨具有很深的实际意义。本论文着重总结了随机变量的数学期望在离散型随机变量分布与连续型随机变量分布下的一些常用的计算方法，如利用数学期望的定义和性质，利用不同分布的数学期望公式等等，并通过一些具体的例子说明不停的计算方法在不同情况下的应用，以达到计算最简化的目的。本文还通过介绍了一些随机变量数学期望的计算技巧，并探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法，利用一些特殊求和与积分公式，利用数学期望定义的不同形式，利用随机变量分布的对称性、重期望公式以及特征函数等，并通过例题使我们更加了解和掌握这些计算技巧，已达到学习该内容的目的。 关键词：离散型随机变量连续型随机变量数学期望计算方法 ABSTRACT：

第一节离散型随机变量数学期望的计算方法及应用1.1利用数学期望的定义，即定义法[1] 定义：设离散型随机变量Ｘ分布列为 则随机变量Ｘ的数学期望E(X)=)( 1i n i i x p x ∑=

注意：这里要求级数)( 1i n i i x p x ∑ = 绝对收敛，若级数 []2 例1 某推销人与工厂约定，永川把一箱货物按期无损地运到目的地可得佣金10元，若不按期则扣2元，若货物有损则扣5元，若既不按期又有损坏则扣16元。推销人按他的经验认为，一箱货物按期无损的的运到目的地有60﹪把握，不按期到达占20﹪，货物有损占10﹪，不按期又有损的占10﹪。试问推销人在用船运送货物时，每箱期望得到多少？ 解设Ｘ表示该推销人用船运送货物时每箱可得钱数，则按题意，Ｘ的分布为 按数学期望定义，该推销人每箱期望可得= ) (X E10×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5元1.2公式法 对于实际问题中的随机变量，假如我能够判定它服从某重点性分布特征（如二项分布，泊松

概率论与数理统计第三、四章答案

第三章 习题参考答案 1.计算习题二第2题中随机变量的期望值。 解：由习题二第2题计算结果 01 12{0}={1}= 3 3 p p p p ξξ====， 得 122 01333 E ξ=?+?= 一般对0-1分布的随机变量ξ有{1}E p p ξξ=== 2．用两种方法计算习题二第30题中周长的期望值，一种是利用矩形长与宽的期望计算，另一种是利用周长期望的分布计算。 解：方法一：先按定义计算长的数学期望 290.3300.5310.229.9E ξ=?+?+?= 和宽的数学期望 190.3200.4210.320E η=?+?+?= 再利用数学期望的性质计算周长的数学期望 (22)229.922099.8E E ζξη=+=?+?= 方法二：利用习题二地30题的计算结果(见下表)，按定义计算周长的数学期望 960.09980.271000.351020.231040.0698.8 E ξ=?+?+?+?+?=3.对习题二第31题，（1）计算圆半径的期望值；（2）(2)E R π是否等于2ER π？（3）能否用2 ()ER π来计算远面积的期望值，如果不能

用，又该如何计算？其结果是什么？ 解（1）100.1110.4120.3130.211.6ER =?+?+?+?= （2）由数学期望的性质有 (2)223.2E R ER πππ== （3）因为22()()E R E R ππ≠，所以不能用2 ()E R π来计算圆面积 的期望值。利用随机变量函数的期望公式可求得 222222()()(100.1110.4120.3130.2)135.4E R E R ππππ==?+?+?+?= 或者由习题二第31题计算结果，按求圆面积的数学期望 1000.11210.41440.31690.2)135.4E ηπππ=?+?+?+?= 4． 连续随机变量ξ的概率密度为 ,01(,0) ()0,a kx x k a x ??<<>=?? 其它 又知0.75E ξ= ，求k 和a 的值 解 由 1 010()11324 a a k x dx kx dx a k E kx x dx a ?ξ+∞ -∞== =+=?== +??? 解得 2,3 a k == 5．计算服从拉普拉斯分布的随机变量的期望和方差（参看习题二第16题）。 解 因为奇函数在对称区域的积分为零，所以|| 102x E x e dx ξ+∞ --∞==?， 同样由偶函数在对称区域积分的性质可计算

数学期望的计算方法及其应用概要

数学期望的计算方法及其应用 摘要：在概率论中，数学期望是随机变量一个重要的数字特征，它比较集中的反映了随机变量的某个侧面的平均性，而且随机变量的其他数字特征都是由数学期望来定义的，因此对随机变量的数学期望的计算方法的研究与探讨具有很深的实际意义。本论文着重总结了随机变量的数学期望在离散型随机变量分布与连续型随机变量分布下的一些常用的计算方法，如利用数学期望的定义和性质，利用不同分布的数学期望公式等等，并通过一些具体的例子说明不停的计算方法在不同情况下的应用，以达到计算最简化的目的。本文还通过介绍了一些随机变量数学期望的计算技巧，并探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法，利用一些特殊求和与积分公式，利用数学期望定义的不同形式，利用随机变量分布的对称性、重期望公式以及特征函数等，并通过例题使我们更加了解和掌握这些计算技巧，已达到学习该内容的目的。 关键词：离散型随机变量 连续型随机变量 数学期望 计算方法 ABSTRACT ： 第一节 离散型随机变量数学期望的计算方法及应用 1.1 利用数学期望的定义，即定义法[1] 则随机变量Ｘ的数学期望E(X)= )(1 i n i i x p x ∑=

学期望不存在 [] 2 例1 某推销人与工厂约定，永川把一箱货物按期无损地运到目的地可得佣金10元，若不按期则扣2元，若货物有损则扣5元，若既不按期又有损坏则扣16元。推销人按他的经验认为，一箱货物按期无损的的运到目的地有60﹪把握，不按期到达占20﹪，货物有损占10﹪，不按期又有损的占10﹪。试问推销人在用船运送货物时，每箱期望得到多少？ 按数学期望定义，该推销人每箱期望可得 =)(X E 10×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5元 1.2 公式法 对于实际问题中的随机变量，假如我能够判定它服从某重点性分布特征（如二项分布，泊松分布，超几何分布等），则我们就可以直接利用典型分布的数学期望公式来求此随机变量的期望。 （1） 二点分布：X ~??? ? ??-p p 101 ，则()p X E = （2） 二项分布：),(~p n B X ，10 p ，则np X E =)( （3） 几何分布：)(~p G X ,则有p X E 1 )(= （4） 泊松分布：) (~λP X ，有λ=)(X E （5） 超几何分布： ),,(~M N n h X ,有N M n X E =)( 例2 一个实验竞赛考试方式为：参赛者从6道题中一次性随机抽取3道题,按要求独立完成题目.竞赛规定：至少正确完成其中2题者方可通过,已知6道备选题中参赛者甲有4题能正确分别求出甲、乙两参赛者正确完成题数的数学期望. 解 设参赛者甲正确完成的题数为X ,则X 服从超几何分布,其中 6,4,3N M n ===, 设参赛者乙正确完成的题数为Y ,则 )32,3(~B Y ,23 2 3)(=?==np Y E 1.3 性质法

概率论与数理统计各章思考题

《概率论与数理统计》思考题 概率论与数理统计第一章思考题 1．何谓随机事件？事件之间有几种关系、几种运算？ 2．对立事件与互斥事件有何联系与区别？ 3．概率的古典定义、统计定义和公理化定义各是什么？ 4．何谓古典概型？如何计算古典概型中事件的概率？ 5．何谓条件概率？计算条件概率有几种方法？ 6．何谓全概率公式、贝叶斯公式？如何使用？ 7．何谓两事件独立？在实际应用中，如何判断两事件的独立性？ 8．两事件B A ,相互独立与B A ,互不相容（互斥）这两个概念有何关系？ 9．何谓n 重贝努利试验，计算有关事件概率的方法是什么？ 10．计算概率的常用公式有哪些？ 11．何谓实际推断原理？它有什么作用？ 概率论与数理统计第二章思考题 1．何谓随机变量？为什么要引入随机变量？ 2．何谓离散型随机变量？分布律？其分布律有哪些主要性质？ 3．何谓随机变量的分布函数？它有哪些主要性质？ 4．何谓连续型随机变量？概率密度？其概率密度有哪些主要性质？ 5．如何求一维随机变量的分布函数？ 6．如何求一维随机变量在某一区间的概率？ 7．常见随机变量的概率分布有哪些？它们的分布律或概率密度是什么？ 8．为什么说正态分布是概率论中最重要的分布？ 9．标准正态分布的概率密度)(x ?、分布函数)(x Φ有哪些主要性质？ 10．一般正态分布与标准正态分布的关系是什么？怎样计算正态随机变量在某一

区间的概率？ 11．如何求一维随机变量函数的分布？ 概率论与数理统计第三章思考题 1．何谓二维随机变量？ 2．何谓二维随机变量的分布函数？它有哪些主要性质？ 3．何谓二维离散型随机变量？分布律？其分布律有哪些主要性质？ 4．何谓二维连续型随机变量？概率密度？其概率密度有哪些主要性质？ 5．如何求二维随机变量的分布函数？ 6．边缘分布与联合分布的关系如何？ 7．如何由联合分布确定两个边缘分布？ 8．何谓随机变量X 与Y 相互独立？如何判别X 与Y 相互独立？ 9．若X 与Y 相互独立，如何求Y X Z +=的概率密度？ 10．相互独立的正态随机变量的线性组合是否仍为正态随机变量？一般性的结论是什么？ 11．二维均匀分布和二维正态分布的概率密度是什么？ 概率论与数理统计第四章思考题 1．随机变量的数字特征有哪些？ 2．随机变量的分布与数字特征有何关系？ 3．何谓数学期望？它有哪些主要性质？ 4．何谓是方差？它有哪主要些性质？ 5．随机变量的数学期望和方差，在随机变量的研究和实际应用中，有何重要意义？ 6．常用分布的期望、方差是什么？ 7．何谓切比雪夫（Chebyshev ）不等式？