点的平面位置的测设方法

点的平面位置的测设方法

点的平面位置的测设方法有直角坐标法、极坐标法、角度交会法和距离交会法。至于采用那种方法，应根据控制网的形式、地形情况、现场条件及精度要求等因素确定。

一、直角坐标法

直角坐标法是根据直角坐标原理，利用纵横坐标之差，测设点的平面位置。直角坐标法适用于施工控制网为建筑方格网或建筑基线的形式，且量距方便的建筑施工场地。

1．计算测设数据

如上图所示，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ为建筑施工场地的建筑方格网点，a 、b 、c 、d 为欲测设建筑物的四个角点，根据设计图上各点坐标值，可求出建筑物的长度、宽度及测设数据。

m 00.50m 00.530m 00.580=-=-=a c y y 建筑物的长度 m 00.30m 00.620m 00.650=-=-=a c x x 建筑物的宽度

x :700.00m x :650.00m x :620.00m x :600.00m y :600.00m

y :580.00m y :530.00m

y :500.00m

a b

c

d m

n

Ⅰ Ⅱ

Ⅲ

Ⅳ

图1 直角坐标法

测设a点的测设数据（Ⅰ点与a点的纵横坐标之差）：

-

620=

.

-

?I x

x a

x

00

=

=

20

.

m

m

m

00

00

.

600

=

-

530=

-

?I y

.

y a

y

=

00

.

00

m

30

m

m

00

500

.

2．点位测设方法

（1）在Ⅰ点安置经纬仪，瞄准Ⅳ点，沿视线方向测设距离30.00m，定出m点，继续向前测设50.00m，定出n点。

（2）在m点安置经纬仪，瞄准Ⅳ点，按逆时针方向测设90?角，由m点沿视线方向测设距离20.00m，定出a点，作出标志，再向前测设30.00m，定出b点，作出标志。

（3）在n点安置经纬仪，瞄准Ⅰ点，按顺时针方向测设90?角，由n点沿视线方向测设距离20.00m，定出d点，作出标志，再向前测设30.00m，定出c点，作出标志。

（4）检查建筑物四角是否等于90?，各边长是否等于设计长度，其误差均应在限差以内。

测设上述距离和角度时，可根据精度要求分别采用一般方法或精密方法。

二、极坐标法

极坐标法是根据一个水平角和一段水平距离，测设点的平面位置。极坐标法适用于量距方便，且待测设点距控制点较近的建筑施工场地。

1．计算测设数据

如上图所示，A 、B 为已知平面控制点，其坐标值分别为A （x A ，y A ）、B （x B 、y B ），P 点为建筑物的一个角点，其坐标为P （x P 、y P ）。现根据A 、B 两点，用极坐标法测设 P 点，其测设数据计算方法如下：

（1）计算AB 边的坐标方位角αAB 和AP 边的坐标方位角αAP 按坐标反算公式计算。

AB AB

AB x y ??=arctan

α AP AP

AP

x y ??=arctan

α

注意：每条边在计算时，应根据?x 和?y 的正负情况，判断该边所属象限。 （2）计算AP 与AB 之间的夹角。

AP AB ααβ-=

（3）计算A 、P 两点间的水平距离。

2

222)()(AP

AP A P A P AP y x y y x x D ?+?=-+-=

例10-1 已知x P =370.000m ，y P =458.000m ，x A =348.758m ，y A =433.570m

，

图2 极坐标法

αAB =103?48′48″，试计算测设数据β和D AP 。

解

439548m 758.348m 000.370m

570.433m 000.458arctan arctan '

''?=--=??=AP AP AP

x y α

4194544395488484103'''?='''?-'''?=-=AP AB ααβ

m 374.32m )570.433m 000.458(m )758.348m 000.370(22=-+-=AP D

2．点位测设方法

（1）在A 点安置经纬仪，瞄准B 点，按逆时针方向测设β角，定出AP 方向。 （2）沿AP 方向自A 点测设水平距离D AP ，定出P 点，作出标志。

（3）用同样的方法测设Q 、R 、S 点。全部测设完毕后，检查建筑物四角是否等于90?，各边长是否等于设计长度，其误差均应在限差以内。

同样，在测设距离和角度时，可根据精度要求分别采用一般方法或精密方法。 三、角度交会法

角度交会法适用于待测设点距控制点较远，且量距较困难的建筑施工场地。 1．计算测设数据

a ）

b ）

图3 角度交会法

如图所示，A、B、C为已知平面控制点，P为待测设点，现根据A、B、C三点坐标（x A659.232，

y

A 355.537）、（x

B

406.593， y

B

654.051）. （C点忽略）

用角度交会法测设P点(869.198, 735.228)，其测设数据计算方法如下：

（1）按坐标反算公式，分别计算出αAB、αAP、αBP、αCB和αCP。

（2）计算水平角βA(69°11′03″)、βB(59°42′39″)和βC。

2．点位测设方法

（1）在A、B两点同时安置经纬仪，同时测设水平角β1和β2定出两条视线，在两条

视线相交处钉下一个大木桩，并在木桩上依AP、BP绘出方向线及其交点。

（2）在控制点C上安置经纬仪，测设水平角β3，同样在木桩上依CP绘出方向线。

（3）如果交会没有误差，此方向应通过前两方向线的交点，否则将形成一个“示误三角形”，如图所示。若示误三角形边长在限差以内，则取示误三角形重心作为待测设点P的最终位置。

测设β1、β2和β3时，视具体情况，可采用一般方法和精密方法。

四、距离交会法

距离交会法是由两个控制点测设两段已知水平距离，交会定出点的平面位置。距离交会法适用于待测设点至控制点的距离不超过一尺段长，且地势平坦、量距方便的建筑施工场地。

图4 距离交会法

1．计算测设数据

如上图所示，A、B为已知平面控制点，P为待测设点，现根据A、B两点，用距离交会法测设P点，其测设数据计算方法如下：

根据A、B、P三点的坐标值，分别计算出D AP和D BP。（坐标反算，勾股定理法）2．点位测设方法

（1）将钢尺的零点对准A点，以D AP（假定计算结果为15米）为半径在地面上画一圆弧。

（2）再将钢尺的零点对准B点，以D BP（假定计算结果为20米）为半径在地面上再画一圆弧。两圆弧的交点即为P点的平面位置。

（3）用同样的方法，测设出Q的平面位置。

（4）丈量P、Q两点间的水平距离，与设计长度进行比较，其误差应在限差以内。

点、直线、平面之间的位置关系知识点总结

点、直线、平面之间的位置关系 一、线、面之间的平行、垂直关系的证明 书中所涉及的定理和性质可分为以下三类： 1、平行关系与平行关系互推； 2、垂直关系与垂直关系互推； 线面垂直判定定理 线面垂直的定义 两平面的法线垂 直则两平面垂直 面面垂直判定定理 线面平行判定定理 线面平行性质定理 线面平行转化 面面平行判定定理 面面平行性质定理

3、平行关系与垂直关系互推。 以线或面为元素，互推的本质是以某一元素为中介，通过另外两元素与中介元素的垂直或平行关系，推导出该两元素的关系，总共有21种情况，能得出结论的有以下9种情况。 线线平行传递性：b c c a b a //////?? ??； 面面平行传递性：γαβγβα//////?? ??； 线面垂直、线面垂直?线面平行： ααββα//a a a ??? ????⊥⊥； 线面垂直?线线平行（线面垂直性质定理）：b a b a //?? ??⊥⊥αα； 线面垂直?面面平行：βαβα//?? ??⊥⊥a a ； 线面垂直、面面平行?线面垂直：βαβα⊥?? ??⊥a a //； 线线平行、线面垂直?线面垂直：αα⊥?? ??⊥b a b a //； 线面垂直、线面平行?面面垂直：βααβ⊥?? ??⊥a a //。 备注：另外证明平行关系时可以从最基本的定义交点入手，证明垂直关系时可以从最基本的定义角度入手。 符号化语言一览表 ①线面平行ααα////a a b b a ????????；αββα////a a ?????；ααββα//a a a ??? ????⊥⊥； ②线线平行:////a a a b b α βαβ??????=?；b a b a //????⊥⊥αα；////a a b b αβαγβγ??=???=? ；b c c a b a //////????； ③面面平行:,////,//a b a b O a b αααβββ????=????；βαβα//????⊥⊥a a ；γαβγβα//////????；

高三数学上册 14.4《空间平面与平面的位置关系》教案(1) 沪教版

14.4（1）空间平面与平面的位置关系 一、教学内容分析 二面角是我们日常生活中经常见到的一个图形，它是在学生学过空间异面直线所成的角、直线和平面所成角之后，研究的一种空间的角，二面角进一步完善了空间角的概念.掌握好本节课的知识，对学生系统地理解直线和平面的知识、空间想象能力的培养，乃至创新能力的培养都具有十分重要的意义. 二、教学目标设计 理解二面角及其平面角的概念；能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角；能作出二面角的平面角，并能初步运用它们解决相关问题. 三、教学重点及难点 二面角的平面角的概念的形成以及二面角的平面角的作法. 四、教学流程设计 五、教学过程设计 一、 新课引入 1.复习和回顾平面角的有关知识 .

平面中的角 定义从一个顶点出发的两条射线 所组成的图形，叫做角 图形 结构射线—点—射线 表示法∠AOB,∠O等 2.复习和回顾异面直线所成的角、直线和平面所成的角的定义，及其共同特征.（空间角转化为平面角） 3.观察：陡峭与否，跟山坡面与水平面所成的角大小有关，而山坡面与水平面所成的角就是两个平面所成的角.在实际生活当中，能够转化为两个平面所成角例子非常多，比如在这间教室里，谁能举出能够体现两个平面所成角的实例？（如图1，课本的开合、门或窗的开关.）从而，引出“二面角”的定义及相关内容. 二、学习新课 （一）二面角的定义 平面中的角二面角 定义从一个顶点出发的两条射线 所组成的图形，叫做角 课本P17

图形 结构射线—点—射线半平面—直线—半平面 表示法∠AOB,∠O等二面角α—a—β或α-AB-β （二）二面角的图示 1.画出直立式、平卧式二面角各一个，并分别给予表示. 2.在正方体中认识二面角. （三）二面角的平面角 平面几何中的“角”可以看作是一条射线绕其端点旋转而成，它有一个旋转量，它的大小可以度量，类似地，"二面角"也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成，它也有一个旋转量，那么，二面角的大小应该怎样度量？ 1.二面角的平面角的定义（课本P17）. 2.∠AOB的大小与点O在棱上的位置无关. [说明]①平面与平面的位置关系，只有相交或平行两种情况，为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，有必要来研究二面角的度量问题. ②与两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角做类比，用“平面角”去度量. ③二面角的平面角的三个主要特征：角的顶点在棱上；角的两边分别在两个半平面内；角的两边分别与棱垂直. 3.二面角的平面角的范围：[0,] （四）例题分析

点的平面位置的放样方法

点的平面位置的放样方法 施工之前，需将图纸上设计建（构）筑物的平面位置测设于实地，其实质是将该房屋诸特点（例如各转角点）在地面上标定出来，作为施工依据。放样时，应根据施工控制网的形式、控制点的分布、建（构）筑物的大小、放样的精度要求及施工现场条件等因素，选用合理的，适当的方法。 （一） 直角坐标法 用已知坐标差△x 、△y 测设点位。当根据建筑方格网或矩形控制网放样时，采用此法准确、简便。如图10-21，已知某厂房矩形控制网四角点A 、B 、C 、D 的坐标，设计总平面图中已确定某车间四角点1、2、3、4的设计坐标。现以根据B 点测设点1为例，说明其放样步骤： 1．先算出B 与点1的坐标差： 2．在B 点安置经纬仪，瞄准C 点，在此方向上测设距离值△x B1得E 点。 3．在E 点安置经纬仪，瞄准C 点，用盘左、盘右位置两次向左测设90°角，在两次平均方向E1上从E 点起测设距离值△x B1，即得车间角点1。 4．同法，从C 点测设点2，从D 测设点3，从A 点测设点4。 5．检查车间的四个角是否等于90°,各边长度是否等于设计长度，若误差在允许范围内，即认为放样合格。 （二） 极坐标法 本法系根据已知水平角度和水平距离测设点位。测设前须根据施工控制点（例如导线点）及测设点的坐标，按坐标反算公式求出ij 方向的坐标方位角αij 和水平距离D ij 再根据坐标方位角求出水平角。如图10-22，水平角β=αAP -αAB ,水平距离为D AP 。 求出放样数据β、D 后，即可安置经纬仪于控制点A ，测设β角，以定出AP 方向。在AP 方向上，从A 点起用钢尺测设水平距离D AP 定出P 点的位置。 设计建筑物上各点测设之后，应按设计建筑物的形状、尺寸检核角度和长度误差，若在允许范围内，才认为放样合格。 （三） 角度交会法 该法是在两个已知点上设站，以两个已知得水平角度测设放样点位的方法，适应于许多场合。但必须有第三个方向进行检核，以免放样发生错误。 如图10-23，A 、B 、C 为三个控制点，其坐标为已知，P 为待放样点，其设计坐标亦为已知。先用坐标反算公式求出αAP 、αBP 和αCP ，为了保证计算的准确性，可以采用下式检核反算的方位角： ij ij ij ij ij y x y x tg ?-??+?=+)45(α （10-14） 然后由相应的坐标方位角之差求出放样数据β1、β2、β3与β4。 AP AB ααβ-=1, BA BP ααβ-=2 BP BC ααβ-=3, CB CP ααβ-=4 实地放样的步骤如下： 用经纬仪先定出P 点的概略位置，在概略位置处打一个顶面积约为10cm×10cm 的大木桩。然后在大木桩的顶面上精确放样，由仪器指挥，用铅笔在顶面上分别在AP 、BP 、CP 方向上各标定点两点（见小图中a 、p ；b 、p ；c 、p ），将各方向上的两点连起来，就得ap 、

平面之间的位置关系

第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面 1．以下是一些命题的叙述语言 ① 点αα平面点平面??B A ,，∴ 直线α平面?AB ； ② 点αα平面点平面∈∈B A ,，∴ 直线α平面∈AB ； ③ 点βα平面点平面∈∈B A ,，∴ 平面AB =βα ； ④ 直线βα平面直线平面∈∈a a ,，∴ 平面a =βα ； 则其中命题和叙述方法都正确的个数是 【 】 A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.给定下面四个命题： (1)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； (2)两条直线可以确定一个平面； (3)若b M M =∈∈βαβα ,,,则b M ∈； (4)空间中，相交于同一点的三条直线在同一个平面内； 其中真命题的个数是 【 】 A.1 B.2 C.3 D.4 3.空间三条直线交于同一点，它们中的两条确定的平面个数记为n ，则n 的可值可能为 【 】 A.1 B.1,3 C.1,2,3 D.1,2,3,4 4．ABC ?在平面α外，AB P α=，BC Q α=，AC R α=，求证：P ，Q ，R 三点 共线. 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1．正方体1111D C B A ABCD -的各面的对角线中，与1AB 成?60角的异面直线有【 】 A.4条 B.6条 C.8条 D.12条 2．空间四边形ABCD 中AB BC CD ,,的中点分别是P Q R ,,，且3,5,2===PR QR PQ ， 那么异面直线AC 和BD 所成的角是 【 】 A ．?90 B ．?60 C ．?45 D ．?30 3.已知异面直线a ，b 所成的角为60°，直线l 与a ，b 所成的角都为θ，那么θ的取值范 围是什么？ 4.Ｐ是△ＡＢＣ所在平面外一点，Ｄ，Ｅ分别是△ＰＡＢ和△ＰＢＣ的重心. 求证：Ｄ Ｅ∥ＡＣ.

各种测量方法

各种测量方法 一、轴径 在单件小批生产中，中低精度轴径的实际尺寸通常用卡尺、千分尺、专用量表等普通计量器具进行检测；在大批量生产中，多用光滑极限量规判断轴的实际尺寸和形状误差是否合格；；高精度的轴径常用机械式测微仪、电动式测微仪或光学仪器进行比较测量，用立式光学计测量轴径是最常用的测量方法。 二、孔径 单件小批生产通常用卡尺、内径千分尺、内径规、内径摇表、内测卡规等普通量具、通用量仪；大批量生产多用光滑极限量规；高精度深孔和精密孔等的测量常用内径百分表（千分表）或卧式测长仪（也叫万能测长仪）测量，用小孔内视镜、反射内视镜等检测小孔径，用电子深度卡尺测量细孔（细孔专用）。 三、长度、厚度 长度尺寸一般用卡尺、千分尺、专用量表、测长仪、比测仪、高度仪、气动量仪等；厚度尺寸一般用塞尺、间隙片结合卡尺、千分尺、高度尺、量规；壁厚尺寸可使用超声波测厚仪或壁厚千分尺来检测管类、薄壁件等的厚度，用膜厚计、涂层测厚计检测刀片或其他零件涂镀层的厚度；用偏心检查器检测偏心距值，用半径规检测圆弧角半径值，

用螺距规检测螺距尺寸值，用孔距卡尺测量孔距尺寸。 四、表面粗糙度 借助放大镜、比较显微镜等用表面粗糙度比较样块直接进行比较；用光切显微镜（又称为双管显微镜测量用车、铣、刨等加工方法完成的金属平面或外圆表面；用干涉显微镜（如双光束干涉显微镜、多光束干涉显微镜）测量表面粗糙度要求高的表面；用电动轮廓仪可直接显示Ra0.025～6.3μm 的值；用某些塑性材料做成块状印模贴在大型笨重零件和难以用仪器直接测量或样板比较的表面（如深孔、盲孔、凹槽、内螺纹等）零件表面上，将零件表面轮廓印制印模上，然后对印模进行测量，得出粗糙度参数值（测得印模的表面粗糙度参数值比零件实际参数值要小，因此糙度测量结果需要凭经验进行修正）；用激光测微仪激光结合图谱法和激光光能法测量Ra0.01～0.32μm的表面粗糙度。 五、角度 1．相对测量：用角度量块直接检测精度高的工件；用直角尺检验直角；用多面棱体测量分度盘精密齿轮、涡轮等的分度误差。 2．直接测量：用角度仪、电子角度规测量角度量块、多面棱体、棱镜等具有反射面的工作角度；用光学分度头测量工件的圆周分度或；用样板、角尺、万能角度尺直接测量精度要求不高的角度零件。3．间接测量：常用的测量器具有正弦规、滚柱和钢球等，也可使用三坐标测量机。 4．小角度测量：测量器具有水平仪、自准直仪、激光小角度测量仪

平面与平面之间地位置关系(附问题详解)

平面与平面之间的位置关系 [学习目标] 1.了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.2.了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示. 知识点一 直线与平面的位置关系 1.直线与平面的位置关系 2.直线与平面的位置关系的分类 (1)按公共点个数分类 ?? ? 有无公共点??? ?? 直线和平面相交——有且只有一个公共点 直线在平面内——有无数个公共点无公共点——直线和平面平行 (2)按直线是否在平面分类 ??? 直线在平面内——所有点在平面内 直线在平面外? ?? ?? 直线与平面相交直线与平面平行 思考 “直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗？ 答 不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面这两种情况；而后者仅指直线与平面平行. 知识点二 两个平面的位置关系

思考分别位于两个平行平面的两条直线有什么位置关系？ 答这两条直线没有公共点，故它们的位置关系是平行或异面. 题型一直线与平面的位置关系 例1下列命题中，正确命题的个数是() ①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面； ②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α的任何一条直线平行； ③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b； ④如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α. A.0 B.2 C.1 D.3 答案 C 解析如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中， AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′，故命题①不正确；AA′∥平面B′C，BC?平面B′C，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④显然正确.故答案为C. 跟踪训练1以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b?α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b?α，则a∥b.其中正确命题的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 答案A 解析如图所示在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB∥CD，AB?平面 ABCD，但CD?平面ABCD，故①错误； A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交， 故②错误； AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB?平面ABCD，故③错误； A′B′∥平面ABCD，BC?平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误.

§3.3 两平面的相关位置

§3.3 两平面的相关位置 一、位置关系 1.两平面的位置关系有：相交，平行，重合三种. 2.设两平面πi：A i x+B i y+C i z+D i＝0 (i=1,2) , 则π1, π2的法矢量为 ＝{A1, B1 ,C1}, ＝{A2, B2, C2}. (1)π1, π2相交的充要条件是: A1:B1:C1 ≠A2:B2:C2（与不平行）. (2)π1, π2平行的充要条件是: ＝＝≠ (∥). (3)π1, π2重合的充要条件是: ＝＝＝ (∥). 二、夹角 1. 如图3-5, 在{O;,,}下，两平面的夹角为：∠(π1, π2)＝θ或 (π－θ)，其中θ＝∠(,), (i＝1, 2)是平面πi的法矢量，从而 cos∠(π1, π2)＝±cosθ＝±＝±. 2. 两平面π1与π2相互垂直的充要条件是：⊥即 A1A2＋B1B2＋C1C2＝0. 例 1. 由cos∠(π1, π2)＝±，证明π1//π2的充要条件 是＝＝. 证明：因为π1//π2 （∠(π1, π2)＝0或π）, 所以 cos∠(π1, π2)＝±1, 所以 ±＝±1, 平方得 (A1A2+B1B2+C1C2)2＝(A21+B12+C21)(A22+B22+C22),

A21A22+B12B22+C21C22+2A1A2B1B2+2B1B2C1C2+2C1C2A1A2 ＝A21A22+B12B22+C21C22+A21B22+A21C22+A22B12+A22C21+B12C22+B22C21, 整理得 (A1B2－A2B1)2＋(B1C2－B2C1)2＋(C1A2－C2A1)2＝0, 所以A1B2－A2B1＝0, B1C2－B2C1＝0, C1A2－C2A1＝0, 从而. 例2. 求过一点P0(x0, y0, z0)且垂直于两相交平面 A1x＋B1y＋C1z＋D1＝0和A2x＋B2y＋C2z＋D2＝0 的平面方程. 解：由于已知两平面相交, 所以它们的法矢量＝{A1, B1 ,C1},＝{A2, B2, C2}不共线，从而可作为所求平面的方位矢量，由平面的点位式方程就有 ＝0. 例3. 设三平行平面 πi：Ax+By+Cz+D i＝0 (i=1, 2, 3), L, M, N是分别属于平面π1,π2, π3的任意点，求△LMN的重心的轨迹. 解：设点L, M, N的坐标分别为(x i, y i, z i)(i=1, 2, 3), 则△LMN的重心坐标为 x＝(x1＋x2＋x3), y＝(y1＋y2＋y3), z＝(z1＋z2＋z3), 因为L, M, N分别属于π1,π2, π3， 所以Ax i+By i+Cz i+D i＝0 (i=1, 2, 3). 两边对i求和得 A(x1+x2+x3)+B(y1+y2+y3)+C(z1+z2+z3)+(D1+D2+D3)＝0 或 3Ax+3By+3Cz+(D1+D2+D3)＝0, 所以所求轨迹为 Ax+By+Cz+(D1+D2+D3)＝0. 它是平行于πi (i=1, 2, 3)的一个平面. 例4. 证明两平行平面Ax+By+Cz+D i＝0 (i＝1, 2) 间的距离为 d＝. 证明：设P(x0, y0, z0)是Ax+By+Cz+D1＝0上一点，即Ax0+By0+Cz0+ D1＝0，则两平面间距离就是P到平面Ax+By+Cz+D2＝0的距离，所以 d＝＝. 作业题： 1. 判别下列各对平面的相关位置： （1）x+3y+6z+2＝0与x+y+2z+1＝0， （2）2x－2y+z－5＝0与x－y + z－1＝0.

隧道测量方法(一)

隧道测量方法（一） 隧道施工的特点开挖顺着中线不断地向洞内延伸，衬砌和洞内建筑物（避车洞、排水沟、电缆槽等）的施工紧跟其后，不等贯通，隧道内的大部分建筑物已经建成；为了保证工期，常利用增加开挖面的方法，将整个隧道分成若干段同时施工；增加开挖面的主要方法有：设置平行导坑或在隧道中部设置横洞、斜井或竖井。 两个开挖面相向开挖，在预定位置挖通称为贯通。贯通后，由两端分别引进的线路中线，应按设计规定的精度正确衔接。隧道施工测量任务(1)保证相向开挖的工作面，按照规定的精度在预定位置贯通； (2)保证洞内各项建筑物以规定的精度按照设计位置修建，不得侵入建筑限界。隧道施工测量的特点1、洞外总体控制作为指导隧道施工的测量工作，在隧道开挖前一般要建立具有必要精度的、独立的隧道洞外施工控制网，作为引测进洞的依据；对于较短的隧道，可不必单独建立洞外施工控制网，而以经隧道施工复测、调整后并确认的洞外线路中线控制桩为引测进洞的依据。2、洞内分级控制洞内控制点控制正 式中线点（正式中线点是洞内衬砌和洞内建筑物施工放样的依据），正式中线点控制临时中线点；临时中线点控制掘 进方向。洞内高程控制与平面相仿，临时水准点控制开挖面

的高低，正式水准点控制洞内衬砌和洞内建筑物的高程位置。 3、开挖方法影响测量方式先导坑后扩大成型法对隧道的位 置还有一定的纠正余地，隧道施工测量可先粗后精；全断面开挖法一次成型，隧道施工测量必须一次到位。对于采用全断面开挖法开挖的隧道，其测量过程与先挖导坑后扩大成型开挖的隧道基本一样，不同的是对临时中线点、临时水准点的测设精度要求较高，或者是直接测设正式中线点、正式水准点。因盾构机的钻头架是专门根据隧道断面而设计的，可以保证隧道断面在掘进时一次成形，混凝土预制衬砌块的组装一般与掘进同步或交替进行，所以，不需要测量人员放样断面。 当采用盾构工法或自动顶管工法施工时，可以使用激光指向仪或激光经纬仪配合光电跟踪靶，指示掘进方向。如图所示，光电跟踪靶安装在掘进机器上，激光指向仪或激光经纬仪安置在工作点上并调整好视准轴的方向和坡度，其发射的激光束照射在光电跟踪靶上，当掘进方向发生偏差时，安装至掘进机上的光电跟踪靶输出偏差信号给掘进机，掘进机通过液压控制系统自动纠偏，使掘进机沿着激光束指引的方向和坡度正确掘进。4、隧道施工对控制点布设的特殊要求隧 道贯通前，洞内平面控制测量只能采用支导线的形式，测量误差随着开挖的延伸而积累。洞外控制网和洞内施工控制测量应保证必要的精度。控制点应设置在不易被破坏的位

点直线平面之间的位置关系知识点总结

点直线平面之间的位置关系知识点总结 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

点、直线、平面之间的位置关系 一、线、面之间的平行、垂直关系的证明 书中所涉及的定理和性质可分为以下三类： 1、平行关系与平行关系互推； 2、垂直关系与垂直关系互推； 线面垂直判定定线面垂直的定面面垂直性质定理（需加线线 两平面的法线 垂 面面垂直判定定垂直的两平面的法线互相线面平行判定定线面平行性质定面面平行定义（交线面平行转面面平行判定定 面面平行性质定 两平面内分别垂直于交线的直线互相 两平面内分别垂直于交线的直线互相垂直，则两 面面垂直定

3、平行关系与垂直关系互推。 以线或面为元素，互推的本质是以某一元素为中介，通过另外两元素与中介元素的垂直或平行关系，推导出该两元素的关系，总共有21种情况，能得出结论的有以下9种情况。 线线平行传递性：b c c a b a //////?? ??； 面面平行传递性：γαβγβα//////?? ??； 线面垂直、线面垂直?线面平行： ααββα//a a a ??? ????⊥⊥； 线面垂直?线线平行（线面垂直性质定理）：b a b a //?? ??⊥⊥αα； 线面垂直?面面平行：βαβα//?? ??⊥⊥a a ； 线面垂直、面面平行?线面垂直：βαβα⊥?? ??⊥a a //； 线线平行、线面垂直?线面垂直：αα⊥?? ??⊥b a b a //； 线面垂直、线面平行?面面垂直：βααβ⊥?? ??⊥a a //。 备注：另外证明平行关系时可以从最基本的定义交点入手，证明垂直关系时可以从最基本的定义角度入手。 符号化语言一览表 ①线面平行ααα////a a b b a ????????；αββα////a a ?????；ααββα//a a a ??? ????⊥⊥；

点直线平面之间的位置关系知识点归纳

第二章点、直线、平面之间的位置关系 知识点总结 1、平面的性质 一、空间点、直线、平面之间的位置关系 四个公理： 公理1 文字语言： 符号语言： 公理2： 文字语言： 符号语言： 公理3： 文字语言： 符号语言： 推论： （1）过一条直线及直线外一点，有且只有一个平面。 （2）过两条相交直线，有且只有一个平面。 （3）过两条相互平行的直线，有且只有一个平面。 2、空间中直线与直线之间的位置关系 异面直线： 空间中两条直线有且只有三种位置关系（它们的特征）： 相交直线：

平行直线： 异面直线： 公理4 ：（平行线的传递性） 文字语言： 符号语言： 等角定理： 异面直线所成的角： 3、空间中直线与平面与直线间的位置关系 （1）直线在平面内： （2）直线与平面相交： （3）直线与平面平行： 4、平面与平面之间的位置关系 （1）两个平面平行： （2）两个平面相交： 二、直线、平面平行的判定的判定及其性质 1、直线与平面平行的判定及其性质 （1）直线与平面平行的判定（线线平行，则线面平行）： 符号语言： （2）直线与平面平行的性质（线面平行，则线线平行）：

符号语言： 2、平面与平面平行的判定及其性质 （1）平面与平面平行的判定（线线平行，则面面平行）: 符号语言： （2）平面与平面平行的性质（面面平行，则线线平行）： 符号语言： 三、直线、平面垂直的判定及其性质 1、直线平面垂直的的判断及其性质 （1）直线与平面垂直的定义： （2）直线与平面垂直的判定2、2（线线垂直，则线面垂直）： 符号语言： （3）直线与平面垂直的性质： 符号语言： （4）平面与直线所成角的角：

点的平面位置的测设方法

点的平面位置的测设方法 点的平面位置的测设方法有直角坐标法、极坐标法、角度交会法与距离交会法。至于采用那种方法,应根据控制网的形式、地形情况、现场条件及精度要求等因素确定。 一、直角坐标法 直角坐标法就是根据直角坐标原理,利用纵横坐标之差,测设点的平面位置。直角坐标法适用于施工控制网为建筑方格网或建筑基线的形式,且量距方便的建筑施工场地。 1.计算测设数据 如上图所示,Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ为建筑施工场地的建筑方格网点,a 、b 、c 、d 为欲测设建筑物的四个角点,根据设计图上各点坐标值,可求出建筑物的长度、宽度及测设数据。 m 00.50m 00.530m 00.580=-=-=a c y y 建筑物的长度 m 00.30m 00.620m 00.650=-=-=a c x x 建筑物的宽度 测设a 点的测设数据(Ⅰ点与a 点的纵横坐标之差): x :700、00m x :650、00m x :620、00m x :600、00m y :600、00m y :580、00m y :530、00m y :500、00m a b c d m n Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 图1 直角坐标法

m 00.20m 00.600m 00.620=-=-=?I x x x a m 00.30m 00.500m 00.530=-=-=?I y y y a 2.点位测设方法 (1)在Ⅰ点安置经纬仪,瞄准Ⅳ点,沿视线方向测设距离30、00m,定出m 点,继续向前测设50、00m,定出n 点。 (2)在m 点安置经纬仪,瞄准Ⅳ点,按逆时针方向测设90?角,由m 点沿视线方向测设距离20、00m,定出a 点,作出标志,再向前测设30、00m,定出b 点,作出标志。 (3)在n 点安置经纬仪,瞄准Ⅰ点,按顺时针方向测设90?角,由n 点沿视线方向测设距离20、00m,定出d 点,作出标志,再向前测设30、00m,定出c 点,作出标志。 (4)检查建筑物四角就是否等于90?,各边长就是否等于设计长度,其误差均应在限差以内。 测设上述距离与角度时,可根据精度要求分别采用一般方法或精密方法。 二、极坐标法 极坐标法就是根据一个水平角与一段水平距离,测设点的平面位置。极坐标法适用于量距方便,且待测设点距控制点较近的建筑施工场地。 图2 极坐标法

点 线 面之间的位置关系知识易错点及例题合集

点、线、面之间的位置关系知识易错点及例题合集 最近许多高二的同学问必修二点线面之间的知识点，普遍感觉这块非常难学，小数老师今天整理了易错点和例题给大家，作为参考！ [整合·网络构建]

[警示·易错提醒] 1、不要随意推广平面几何中的结论 平面几何中有些概念和性质，推广到空间中不一定成立．例如“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”、“垂直于同一条直线的两条直线平行”等性质在空间中就不成立． 2、弄清楚空间点、线、面的位置关系 解决这类问题的基本思路有两个：一是逐个寻找反例作出否定的判断或逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如课桌、教室）作出判断，要注意定理应用准确、考虑问题全面细致。 3、不要忽略异面直线所成的角的范围 求异面直线所成的角的时候，要注意它的取值范围是（0°，90°]。 两异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时，容易忽略这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角． 4、透彻理解直线与平面的关系 直线与平面位置关系的分类要清晰，一种分法是直线在平面内与直线在平面外（包括直线与平面平行和相交）；另一种分法是直线与平面平行（无公共点）和直线与平面不平行（直线在平面内和直线与平面相交）。 5、使用判定定理时不要忽略条件 应用直线与平面垂直的判定定理时，要熟记定理的应用条件，不能忽略“两条相交直线”这一关键点。 专题1共点、共线、共面问题 （1）、证明共面问题

证明共面问题，一般有两种证法：一是先由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是先分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合。 （2）、证明三点共线问题 证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上。 （3）、证明三线共点问题 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题。 [例1]如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F 分别为AB，AD 的中点，G，H分别在BC，CD上，且 BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，求证： （1）、E，F，G，H四点共面； （2）、EG与HF的交点在直线AC上。 证明：（1）、因为BG∶GC＝DH∶HC，所以GH∥BD。 又因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以EF∥GH，所以E，F，G，H四点共面。 （2）、因为G，H不是BC，CD的中点，所以EF∥GH，且EF≠GH，所以EG 与FH必相交。 设交点为M，而EG?平面ABC，HF?平面ACD，所以M∈平面ABC，且M ∈平面ACD。 因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M∈AC，即EG与HF的交点在直线AC 上。 归纳升华：证明共点、共线、共面问题的关键是合理地利用三个公理，做

空间点,直线,平面之间的位置关系教案.

§2.1.1 平面 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）利用生活中的实物对平面进行描述； （2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图； （3）掌握平面的基本性质及作用； （4）培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法 （1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识； （2）让学生归纳整理本节所学知识。 3、情感与价值 使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。 二、教学重点、难点 重点：1、平面的概念及表示； 2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。 难点：平面基本性质的掌握与运用。 三、学法与教学用具 1、学法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板 四、教学思想 （一）实物引入、揭示课题 师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗引导学生观察、思考、举例和互相交流。与此同时，教师对学生的活动给予评价。 师：那么，平面的含义是什么呢这就是我们这节课所要学习的内容。 （二）研探新知 1、平面含义 师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。 2、平面的画法及表示 师：在平面几何中，怎样画直线（一学生上黑板画） 之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） 平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 D C B A α

(完整版)物理测量的基本方法

物理测量的基本方法 你问的是物理实验的基本方法吗？有以下几种： 1.1 比较法 1.1.1 直接比较法 直接比较法是将待测量与经过校准的仪器或量具进行直接比较，测出其大小。例如：用米尺测量长度就是最简单的直接比较法。用经过标定的电表、秒表、电子秤测量电量、时间、质量等量时，其直接测出的读数也可看作是直接比较的结果。要注意的是采用直接比较法的量具及仪器必须是经过标定的。 1.1.2 补偿平衡比较法 平衡测量、补偿测量或示零测量是物理实验与科学研究中常用的测量方法。 例如：用等臂天平称物体的质量是一种平衡测量。又如图3-1-1所示的惠斯登电桥测量电阻x R ，从原理上讲，也是一种平衡测量，因为只有当电桥平衡时（电流计G 示零）才能得出 1x s 2 () R R R R = (3-1-1) 从而计算出x R 。图3-1-2所示的是电位差计测电池电动势的基本电路，则是补偿测量的一个典型例子。合上电键K ，调节R ，使电阻丝AB 上通有特定电流I ，然后合上电键1K ，在AB 上滑动触头C ，使电流计G 示零，则待测电动势x E 被电势差AC U 所补偿，这时 AC AC x E U IR == (3-1-2) 以上两例均在电流计G 的指针示零时获得测量结果，所以又可称为示零测量。经过补偿达到平衡的比较实验方法的最大优点是平衡时，电表（平衡臂）示零，对被测物理量的影响最小，故大大提高了测量的精确度。 图3-1-2 电位差计基本电路 图3-1-1 惠斯登电桥电路

1.1.3 替代比较法 我国古代少年曹冲用船称象是一例典型的替代比较法。在 现代测量技术中，当某些物理量无法直接比较时，往往利用物 理量之间的函数关系制成相应的仪表、仪器进行比较测量，例 如糖量计、比重计、密度计等。 图3-1-3所示是用替代比较法测电表内阻的电路图。将 2K 置于1处，合上1K ，调节R 使安培表指针指在较大示值 处（同时注意表头G 指针不能超过量程），然后断开1K （为 了保护安培表），2K 将置于2处，再合上1K ，调节原先处在最低阻值上的0R ，使安培表指示值不变，此时，0R 代替了表头内阻x R ，若0R 为电阻箱，则x R 可直接读得。 在进行替代比较法测量时，要特别注意“不同时”的替代比较，在异时比较时必须是以实验条件的稳定性为基础。 1.2 放大法 将被测物理量按照一定规律加以放大后进行测量的方法，称为放大法。这种方法对于微小物理量或对物理量的微小变化量的测量是十分有效的。例如，用秒表测单摆的周期，手按秒表起、止“反应时”给测量带来的不确定度=?T 0.2s ，若周期=T 2s ，则 =?T T /10％，测量的相对不确定度很大。如果用秒表连续测量100个周期，时间为200s ，而反应时的不确定度仍为=?T 0.2s ，此时=?t T /0.1％，提高了测量的准确度。这种在不改变待测物理量性质的条件下，将待测量延展若干倍，以增加待测量有效数字的位数，减小其测量相对不确定度的方法是放大法的一种特例，这种方法也叫测量宽度延展法。 放大法按性质可分为两大类：⑴直接放大。借助于光学实验中的放大镜（例如测微目镜）、显微镜、望远镜等将被测量本身加以放大而实现测量的，属于直接放大测量。⑵ 间接放大。将所要观测的对象通过某种原理和关系变换成另一个扩大了的现象进行测量的，属于间接放大测量。比如光杠杆放大法就是一种间接放大。放大法提高了实验的可观察性和测量的准确度，是一种十分有用的实验方法，对微小量的观测具有重要意义。放大法按放大原理可分为：机械放大法、积累（或累计）放大法、光学放大法、电子学放大法等。 1.2.1 机械放大法 测量微小长度与角度时，为了提高测量读数的精度，常将其最小刻度用游标、螺距的方式进行机械放大。图3-1-4中螺旋测微计主刻度上最小标度0.5mm 以下读数，可通过转动微分套筒放大读出，精度达到0.01mm （原理与读数方法详见下节3.2.1.3）。 1.2.2 积累（或累计）放大法 图3-1-3 比较法测电表内阻的电路图 图3-1-4 螺旋测微计主刻度 图3-1-5 干涉条纹间距

平面与点的相关位置.

－34－ §3.2 平面与点的相关位置 平面与点的位置关系，有两种情形，就是点在平面上和点不在平面上. 前者的条件是点的坐标满足平面方程. 点不在平面上时，一般要求点到平面的距离，并用离差反映点在曲面的哪一侧. 1．点到平面的距离 定义3.2.1 自点M 0向平面π 引垂线，垂足为Q . 向量0QM 在平面π的单位法向量n 0 上的射影叫做M 0与平面π之间的离差，记作 δ = 射影n 00QM (3.2－1) 显然 δ = 射影n 00QM = 0QM ·n 0 =∣0QM ∣cos ∠(0QM ，n 0) =±∣0QM ∣ 当0QM 与n 0同向时，离差δ > 0；当0QM 与n 0反向时，离差δ < 0. 当且仅当M 0在平面上时，离差δ = 0. 显然，离差的绝对值就是点M 0到平面π 的距离. 定理3.2.1 点M 0与平面（3.1－13）之间的离差为 δ = n 0r 0－p (3.2－2) 推论 1 若平面π 的法式方程为 0cos cos cos =-++p z y x γβα，则),,(0000z y x M 与π 间的离差 =δp z y x -++γβαcos cos cos 000 (3.2－3) 推论2 点),,(0000z y x M 与平面Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0间的距离为 ()2 2 2 0000,C B A D Cz By Ax M d +++++= π (3.2－4) 2．平面划分空间问题 三元一次不等式的几何意义 设平面π的一般方程为 Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0 则空间中任一点M （x ，y ，z ）与π间的离差为 =δp z y x -++γβαcos cos cos = λ (Ax ＋By ＋Cz ＋D )

实例说明利用坐标方位角测设点的平面位置

实例说明利用坐标方位角测设点的平面位置 发表时间：2009-11-30T11:23:51.920Z 来源：《中小企业管理与科技》2009年8月上旬刊供稿作者：陈建梅高莉[导读] 明确坐标方位角概念，根据已知点坐标计算坐标方位角来确定点的平面位置及未知点坐标陈建梅高莉（洛阳市市政工程公司）摘要：明确坐标方位角概念，根据已知点坐标计算坐标方位角来确定点的平面位置及未知点坐标 关键词：坐标方位角坐标 0 引言 在市政工程施工测量过程中，经常会遇到根据已知导线控制点，利用经纬仪、钢尺测设待定点的实际问题，解决此类问题往往需要计算坐标方位角或点位坐标，根据工作中的实践体会将计算方法总结如下： 1 根据已知控制点计算坐标方位角，测设放样点平面位置(极坐标法) 首先明确方位角的概念，方位角是指从直线起点的标准方向北端开始，顺时针量到直线的夹角，以坐标纵轴作为标准方向的称为坐标方位角（以下简称方位角）。测量上选用的平面直角坐标系，规定纵坐标轴为x轴，横坐标轴为y轴，象限名称按顺时针方向排列（图1），即第Ⅰ象限x＞0 y＞0；第Ⅱ象限x＜0 y＞0；第Ⅲ象限x＜0 y＜0；第Ⅳ象限x＞0 y＜0，或许对于测量坐标系与数学坐标系的x、y轴位置不同，象限规定不同，觉得难理解，其实能注意到测量上的平面直角坐标系与数学上的平面直角坐标系只是规定不同，x轴与y轴互换，象限的顺序与相反，因为轴向与象限顺序同时都改变，只要真正理解了方位角的定义，测量坐标系的实质与数学上的坐标系是一致的，因此数学中的公式可以直接应用到测量计算中。 1.1 按给定的坐标数据计算方位角αBA、αBP ΔxBA=xA-xB=+123.461m ΔyBA=yA-yB=+91.508m 由于ΔxBA＞0，ΔyBA＞0 可知αBA位于第Ⅰ象限，即 αBA=arctg =36°32＇43.64＂ ΔxBP=xP-xB=-37.819m ΔyBP=yP-yB=+9.048m 由于ΔxBP＜0，ΔyBP＞0 可知αBP位于第Ⅱ象限， αBP=180o-α=180o-arctg=180o-13o27＇17.33＂=166°32＇42.67＂此外，当Δx＜0，Δy＜0；位于第Ⅲ象限，方位角=180°+ arctg 当Δx＞0，Δy＜0；位于第Ⅳ象限，方位角=360°+ arctg 1.2 计算放样数据∠PBA、DBP ∠PBA=αBP-αBA=129°59＇59.03＂ 1.3 测设时，把经纬仪安置在B点，瞄准A点，按顺时针方向测设∠PBA，得到BP方向，沿此方向测设水平距离DBP，就得到P点的平面位置。 2 当受地形限制不便于量距时，可采用角度交会法测设放样点平面位置 上例中，当BP间量距受限时，通过计算测设∠PAB、∠PBA来定P点 2.1 根据给定坐标计算∠PAB ΔxAP=xP-xA=-161.28m ΔyAP=yP-yA=-82.46m αAP=180°+arctg =207°4＇47.88＂又αAB=180°+αBA=180°+36°32＇43.64＂=216°32＇43.64＂∠PAB=αAB-αAP=9°27＇55.76＂ 2.2 测设时，在A、B上各架设一台经纬仪，根据已知方向分别测设∠PAB、∠PBA，定出AP、BP方向，得P点的大概位置，打上大木桩，在桩顶面上沿每个方向线各标出两点，将相应点连起来，其交点即为P点位置。 上述（一）、（二）为基本计算方法，如果利用计算机计算可利用下面推导公式直接计算，免去判断方位角所在象限及取值范围，方便快速。 α=180°-90°×sign(Δy)-arctg 注： sign(number)函数返回数字的正负号，数字为正时，返回1；为零时，返回0；为负时，返回-1。 3 根据已知控制点计算坐标方位角，求加设控制点坐标 上例中当AP、BP间有障碍物不能通视时，可加设控制点，在BP连线附近选定C点使之与B、P均能通视。 3.1 将经纬仪安置在B点，瞄准A点，分别按盘左、盘右位置测出水平角，取平均值∠ABC=170°15＇22＂，钢尺量出距离DBC =25.355m。 3.2 计算BC方位角 αBC=αBA+∠ABC =36°32＇43.64＂+170°15＇22＂ =206°48＇5.64＂ 3.3 计算C点坐标 xC=xB+DBC·cosαBC=32332.50m

两平面的相关位置讲解

§3 两平面的相关位置 一 两平面的夹角： 定义 两平面的法线向量的夹角称作两平面间的夹角. 下面，我们阐述一下用两平面间法线向量的夹角来定义两平面间夹角的合理性. 如图3-4所示，设想平面1π与平面2π重合在一起的，于是它们的法线向量应平行，即 12//n n .将平面2π的一侧向上提起，与1π之间产生倾角θ，与此同时，2π的法线向量2n 发生转动，与平面1π的法线向量1n 产生的角度θ . 下面，我们导出计算两平面夹角θ的公式.设平面π1与π2的方程分别是 π1： 11110A x B y C z D +++=， （1） π2： 22220A x B y C z D +++=， （2） 则π1与π2的法线向量分别为 11112222{,,},{,,}n A B C n A B C ==， 因两向量间夹角的余弦为 cos θ= ++++?++A A B B C C A B C A B C 121212121212222222， 所以两平面的夹角的余弦为 12cos (,)ππ∠ = . (3.3-1) 由(3.3-1)式，立刻可给出如下结论： 121212120A A B B C C ππ⊥?++=， （3.3-2） 二 两平面位置关系的解析条件： 平面π1与π2是相交还是平行或重合，就决定由方程（1）与（2）构成的方程组是有解还是无解或无数个解，从而我们可得下面的定理. 定理 两平面（1）与（2）相交的充要条件是 111222::::A B C A B C ≠， （3.3-3） 平行的充要条件是 (图3.3)

11112222A B C D A B C D ==≠， （3.3-4） 重合的充要条件是 11112222A B C D A B C D ===. （3.3-5） 例 一平面过两点 1(1,1,1)M 和 2(0,1,1)M - 且垂直于平面 x y z ++=0，求它的方程. 解 设所求平面的法线向量为 {,,}n A B C =， 显然， 12{01,11,11}{1,0,2}M M =----=--在所求平面上， 故 12M M n ⊥， 120M M n ?=， 即 20A C --= . 又 n 垂直于平面x y z ++=0的法线向量'= n {,,}111， 故有 0A B C ++= 解方程组 20,0,A C A B C --=??++=? 得 2,,A C B C =-??=? 据点法式方程有 2(1)(1)(1)0C x C y C z --+-+-=， 约去非零因子 (0)C ≠ 得 2(1)(1)(1)0x y z --+-+-=， 故所求方程为 02=--z y x