原创理科数学专题卷 专题 导数及其应用
考点13:导数的概念及运算(1,2题)
考点14:导数的应用(3-11题,13-15题,17-22题) 考点15:定积分的计算(12题,16题)
考试时间:120分钟 满分:150分
说明:请将选择题正确答案填写在答题卡上,主观题写在答题纸上
第I 卷(选择题)
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的。)
1.【来源】2016-2017年河北武邑中学高二理周考 考点13 易 函数()2sin f x x =的导数是( )
A.2sin x
B.22sin x
C.2cos x
D.sin 2x 2.【来源】2016-2017年河北武邑中学高二理周考 考点13 易 已知()2
1cos 4
f x x x =
+,()'f x 为()f x 的导函数,则()'f x 的图像是( )
3.【2017课标II ,理11】 考点14 易
若2x =-是函数21
()(1)x f x x ax e -=+-的极值点,则()f x 的极小值为( )
A.1-
B.32e --
C.3
5e - D.1 4.【来源】2017届湖北孝感市高三理上学期第一次统考 考点14 中难 若曲线()ln y x a =+的一条切线为y ex b =+,其中,a b 为正实数,则2
e
a b ++的取值范围是( ) A.2,2e e ??
++∞
???
B.[),e +∞
C.[)2,+∞
D.[)2,e 5.【来源】2017届福建闽侯县三中高三上期中 考点14 难
已知函数2
x y =的图象在点),(2
00x x 处的切线为l ,若l 也与函数x y ln =,)1,0(∈x 的图象相切,则0x 必满足( )
A .210
0<
1 0< 已知函数()f x 的导数为()f x ′,且()()()10x f x xf x ++>′对x R ∈恒成立,则下列函数在实数集内一定是增函数的为( ) A.()f x B.()xf x C.()x e f x D.()x xe f x 7.【来源】2017届江西抚州市七校高三上学期联考 考点14 易 已知函数()f x 与()'f x 的图象如图所示,则函数()() x f x g x e = 的递减区间为( ) A.()0,4 B.()4,1,,43??-∞ ??? C.40, 3?? ??? D.()()0,1,4,+∞ 8.【来源】2017届山东省青州市高三10月段测 考点14中难 定义在R 上的函数()f x 满足:'()1()f x f x >-,(0)6f =,'()f x 是()f x 的导函数,则不等式()5x x e f x e >+(其中e 为自然对数的底数)的解集为( ) A .(0,)+∞ B .(,0)(3,)-∞+∞U C .(,0)(1,)-∞+∞U D .(3,)+∞ 9.【2017课标3,理11】考点14 难 已知函数 211 ()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点,则a =( ) A .12- B .13 C .1 2 D .1 10.【来源】2017届河南中原名校高三理上质检三 考点14 难 已知函数()f x 的定义域为R ,()' f x 为函数()f x 的导函数,当[)0,x ∈+∞时, ()'2sin cos 0x x f x ->且x R ?∈,()()cos21f x f x x -++=.则下列说法一定正确的 是( ) A. 15324 643 f f ππ???? -->-- ? ????? B. 15344 643 f f ππ????-->-- ? ????? C 3134 324 f f ππ???? ->- ? ????? D. 1332 4 43f f ππ????-->- ? ????? 11.【来源】2017届辽宁沈阳二中高三理上学期期中 考点14 中难 已知函数 ()()()()232 5ln ,26,2 f x x ax a x a R g x x x x g x =--∈=-+ +-在[]1,4上的最大值为 b ,当[)1,x ∈+∞时,()f x b ≥恒成立,则a 的取值范围是( ) A.2a ≤ B.1a ≤ C.1a ≤- D.0a ≤ 12.【来源】2017届辽宁盘锦高级中学高三11月月考 考点15 中难 已知0a >,0b >, '()f x 为()f x 的导函数,若()ln 2 x f x =,且31112'()12 b b dx f a b x =+-? ,则a b +的最小值为( ) A . B ..9 2 D .92+第Ⅱ卷(非选择题) 二.填空题(每题5分,共20分) 13.【来源】2017届广东省仲元中学高三9月月考 考点14易 已知函数ln 4 ()x f x x += ,求曲线)(x f 在点(1,(1))f 处的切线方程____________ 14.【来源】2017届广西陆川县中学高三8月月考 考点14 中难 若函数2 ()x f x x e ax =--在R 上存在单调递增区间,则实数a 的取值范围是 . 15.【来源】2017届湖北襄阳四中高三七月周考二 考点14 中难 若函数21()ln 12 f x x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)a a -+内存在极值,则实数a 的取值范围 . 16.【来源】2015-2016新疆哈密地区二中高二下期末考试 考点15易 如图,阴影部分的面积是_________. 三.解答题(共70分) 17.(本题满分10分) 【来源】2017届四川遂宁等四市高三一诊联考 考点14 易 已知函数()()x f x ae x a R =-∈,其中e 为自然对数的底数, 2.71828e =…. (Ⅰ)判断函数()f x 的单调性,并说明理由; (Ⅱ)若[]1,2x ∈,不等式()x f x e -≥恒成立,求a 的取值范围. 18.(本题满分12分) 【来源】2017届河南百校联盟高三文11月质监 考点14 中难 已知函数()x f x e ax =-,(0a >). (Ⅰ)记()f x 的极小值为()g a ,求()g a 的最大值; (Ⅱ)若对任意实数x 恒有()0f x ≥,求()f a 的取值范围. 19.(本题满分12分) 【来源】2017届河北唐山市高三理上学期期末 考点14中难 已知函数()()ln ,ln 12x ax f x g x x x x ? ?= =-- ??? . (1)求()y f x =的最大值; (2)当10,a e ??∈???? 时,函数()(]() ,0,y g x x e =∈有最小值. 记()g x 的最小值为()h a , 求函数()h a 的值域. 20.(本题满分12分) 【来源】2016-2017学年江苏南通海安县实验中学高二上学期期中 考点14中难 已知函数2 2()()x f x x x ce c R -=-+∈. (1)若()f x 是在定义域内的增函数,求c 的取值范围; (2)若函数5 ()()'()2 F x f x f x =+- (其中'()f x 为()f x 的导函数)存在三个零点,求c 的取值范围. 21.(本题满分12分) 【来源】2017届四川自贡市高三一诊考试 考点14中难 已知函数()()()()()121 '10'2 x f x f e f x x f x -=-+是()f x 的导数,e 为自然对数的底数), ()()21 2 g x x ax b a R b R =++∈∈,. (Ⅰ)求()f x 的解析式及极值; (Ⅱ)若()()f x g x ≥,求()12 b a +的最大值. 22.(本题满分12分) 【2017课标1,理21】已知函数 2()(2)x x f x ae a e x =+--. (1)讨论()f x 的单调性; (2)若 () f x有两个零点,求a的取值范围. 参考答案1.D 【解析】由题意得,函数的导数为()2 (sin)2sin(sin)2sin cos sin2 f x x x x x x x ''' ==?==. 2.A 【解析】由题意得,() 1 sin 2 f x x x '=-, 所以() 11 ()sin()[sin]() 22 f x x x x x f x '' -=---=--=-,所以函数() f x '为奇函数,即 函数的图象关于原点对称,当 2 x π =时, 1 ()10 24 f π π '=-<,当2 x>时,()0 f x '>恒成立,故选A. 3.【答案】A 【解析】 4.C 【解析】设切点为) , ( y x,则有2 ) ln( 1 - = ? ? ? ? ? ? + = + = +ae b b ex a x e e x, e a b 2 ,0> ∴ > Θ,2 1 2 ≥ + = + + a a b e a,故选C. 5.D 【解析】函数2 y x =的导数y'2x =,2 y x =在点2 00 (,) x x处的切线斜率为 2 k x =,切线方程为() 2 000 2 y x x x x -=-,设切线与ln y x =相交的切点为() ,ln m m,(01 m <<),由ln y x =的导数为 1 'y x =可得 1 2x m =,切线方程为() 1 ln y m x m m -=-,令0 x=,可 得2 ln1 y m x =-=-,由01 m <<可得 1 2 x>,且2 1 x>,解得 1 x>由 1 2 m x =,可得() 2 00 ,ln210 x x --=,令()() 2ln21, f x x x =-- ()()1 1,'20,x f x x f x x >=- >在1x >递增, 且2ln 10,3ln 10f f =-<=->,则有()2 00ln 210x x --=的根 x ∈,故选D. 6.D 【解析】 设()()x F x xe f x =,则()()()()()()()11x x x F x x e f x xe f x e x f x xf x =++=++????′′′. ()()()10x f x xf x ++>Q ′对R x ∈恒成立,且0x e >.()()0,F x F x >∴′∴在R 上递增. 7.D 【解析】()()()() ()()x x x x e x f x f e e x f e x f x g -'= -'= '2 ,令()0<'x g 即()()0<-'x f x f ,由图可得()()+∞∈,41,0Y x ,故函数单调减区间为()()0,1,4,+∞,故选D. 8.A 【解析】设x x g x e f x e x R =-∈()(),(), []1'1x x x x g x e f x e f x e e f x f x f x f x '=+'-=+'--Q ()()()()(),()>(), 100f x f x g x y g x ∴+'-∴'∴=()()>,()>,() 在定义域上单调递增, 55x x e f x e g x +∴Q ()>,()>, 又0 0061500g e f e g x g x =-=-=∴∴Q ()(),()>(),>,∴不等式的解集为0+∞(,) . 9.【答案】C 【解析】函数的零点满足()2 112x x x x a e e --+-=-+, 设()1 1 x x g x e e --+=+,则()()211 1 1 1 1 11 x x x x x x e g x e e e e e ---+----'=-=- =, 当()0g x ' =时,1x =,当1x <时,()0g x '<,函数()g x 单调递减, 当1x >时,()0g x ' >,函数()g x 单调递增, 当1x =时,函数取得最小值()12g =, 设()2 2h x x x =- ,当1x =时,函数取得最小值1- , 10.B 【解析】令()()2sin F x x f x =-,则()()''sin 2F x x f x =-.因为当[)0,x ∈+∞时, ()'2sin cos 0x x f x ->,即()'sin 2x f x >,所以()()''sin 20F x x f x =->,所以()()2sin F x x f x =-在[)0,x ∈+∞上单调递增.又x R ?∈,()()cos21f x f x x -++=, 所以()()22sin f x f x x -+=, 所 以 , , 故 ()()2sin F x x f x =-为奇函数,所以()()2sin F x x f x =-在R 上单调递增,所以 546 3F F ππ???? ->- ? ? ????.即15344643 f f π π???? -->-- ? ????? ,故选B. 11.B 【解析】)13)(2(253)(2 ' +--=++-=x x x x x g ,所以)(x g 在]2,1[上是增函数,]4,2[上是减函数0)(,0)2()(≥==x f g x g 在),1[+∞∈x 上恒成立, 由),1[+∞∈x 知, 0ln >+x x ,所以0)(≥x f 恒成立等价于x x x a ln 2 +≤ 在),1[+∞∈x ,时恒成立,令),1[,ln )(2+∞∈+=x x x x x h ,有0)ln (ln 2)1()(2 '>++-=x x x x x x h ,所以)(x h 在),1[+∞上是增 函数,有1)1()(=≥h x h ,所以1≤a . 12.C 【解析】∵()x x f 1= ',∴()a a f 1=',∵2212111213b b x b dx x b b b +-=?? ? ??-=?,()121 211 3 -+'=? b a f dx x b b ,∴12 12221-+=+-b a b b ,∴121 2=+b a ,∵0a >,0 b >,∴()()292222 52225212=?+≥+ +=??? ??++=+a b b a a b b a b a b a b a ,当a b b a 22=且1212=+b a , 即2 3 ,3==b a 时 等号成立,故选C. 13.370x y +-= 【解析】()2 3 ln x x x f +- = ',所以(1)3,(1)4k f f '==-=,切线方程为 43(1),y x -=--即370x y +-= 14.2ln 22a ≤- 【解析】因为函数2 ()x f x x e ax =--,所以()2x f x x e a '=--,因为2 ()x f x x e ax =--在R 上存在单调递增区间,所以()20x f x x e a '=-->,即2x a x e <-有解,令 ()2x g x x e =-,则()2x g x e '=-,则()20ln 2x g x e x '=-=?=,所以当ln 2x <时, ()20x g x e '=->;当ln 2x >时,()20x g x e '=-<,当ln 2x =时,()max 2ln 22g x =-,所以2ln 22a <-. 15.)2 3 ,1[ 【解析】函数的定义域为),0(+∞,令0214212)(2=-=-='x x x x x f ,解得21=x 或2 1-=x (不在定义域内舍),所以要使函数在子区间)1,1(+-a a 内存在极值等价于 ),0()1,1(21+∞?+-∈a a ,即??? ??? ??? >+<-≥-2112110 1a a a ,解得231<≤a ,答案为)23,1[. 16. 32 3 【解析】由题意得,直线2y x =与抛物线2 3y x =-,解得交点分别为(3,6)--和(1,2), 抛物线2 3y x =-与x 轴负半轴交 点(,设阴影部分的面积为S , 则 10 220(32))S x x dx x dx =--+-?? 23 3 2)xdx x dx ---+-? 532933 = +-=. 17.(Ⅰ)理由见解析;(Ⅱ) ? ?? ????+∞+,1 12e e 【解析】(Ⅰ)由题可知,()x f x ae x =-,则()1x f x ae '=-, (i )当0a ≤时,()0f x '<,函数()x f x ae x =-为R 上的减函数, (ii )当0a >时,令10x ae -=,得ln x a =-, ② (),ln x a ∈-∞-,则()0f x '<,此时函数()f x 为单调递减函数; ②若()ln ,x a ∈-+∞,则()0f x '>,此时函数()f x 为单调递增函数.………………(4分) (Ⅱ)由题意,问题等价于[]1,2x ∈,不等式x x ae x e --≥恒成立, 即[]1,2x ∈,21x x xe a e +≥恒成立, 令()21x x xe g x e +=,则问题等价于a 不小于函数()g x 在[]1,2上的最大值.………………(6分) 由()()() ()221214212x x x x xe e xe e x e x x x e g x e '+-+--'= = , 当[]1,2x ∈时,()0g x '<,所以函数()g x 在[]1,2上单调递减,……………………………(8分) 所以函数()g x 在[]1,2x ∈的最大值为()2 111g e e = +, 故[]1,2x ∈,不等式()x f x e -≥恒成立,实数a 的取值范围为???? ???+∞+ ,1 12 e e .…………(10分) 18.(Ⅰ)()max 1g a =(Ⅱ)()f a 的取值范围是( 21,e e e ?-?. 【解析】(Ⅰ)函数()f x 的定义域是(),-∞+∞,()'x f x e a =-.在定义域上单调递增。 ()'0f x >,得ln x a >,所以()f x 的单调区间是()ln ,a +∞,函数()f x 在ln x a =处取 极小值, a a a a a e a f x f a g a ln ln )(ln )()(ln 极小值-=-=== . ()()'11ln ln g a a a =-+=-,当01a <<时,()'0g a >,()g a 在()0,1上单调递增; 当1a >时,()'0g a <,()g a 在()1,+∞上单调递减. 所以1a =是函数()g a 在()0,+∞上唯一的极大值点,也是最大值点,所以 ()()max 11g a g ==. …………………………………………………………………………………………………………………………………….(6分) (Ⅱ)当0x ≤时,0a >,0x e ax -≥恒成立. 当0x >时,()0f x ≥,即0x e ax -≥,即x e a x ≤. 令()x e h x x =,()0,x ∈+∞,()()22 1'x x x e x e x e h x x x --==, 当01x <<时,()'0h x <,当()'0h x >,故()h x 的最小值为()1h e =, 所以a e ≤,故实数a 的取值范围是(]0,e . ()2a f a e a =-,(]0,a e ∈,()'2a f a e a =-,由上面可知20a e a -≥恒成立, 故()f a 在(]0,e 上单调递增,所以()()201e f f e e e =<=-, 即 () f a 的取值范围是 (21,e e e ?-?. ………………………………………………………………(12分) 19.(1)1 e ;(2)[,1]2 e - -. 【解析】(1)f ′(x)=1-ln x x 2 (x >0), 当x ∈(0,e)时,f ′(x)>0,f (x)单调递增; 当x ∈(e ,+∞)时,f ′(x)<0,f (x)单调递减, 所以当x =e 时,f (x)取得最大值f (e)= 1 e . ………………………………………(3分) (2)g ′(x)=ln x -ax =x (ln x x -a ),由(1)及x ∈(0,e]得: ①当a = 1 e 时,ln x x -a ≤0,g ′(x)≤0,g (x)单调递减, 当x =e 时,g (x)取得最小值g (e)=h (a)=- e 2 . .....................(5分) ②当a ∈[0, 1 e ), f (1)=0≤a ,f (e)= 1 e >a , 所以存在t ∈[1,e),g ′(t)=0且ln t =at , 当x ∈(0,t)时,g ′(x)<0,g (x)单调递减,当x ∈(t ,e]时,g ′(x)>0,g (x)单调递增, 所以g (x)的最小值为g (t)=h (a). ...................................(7分) 令h (a)=G (t)=t ln t 2 -t , 因为G ′(t)=ln t -12<0,所以G(t)在[1,e)单调递减,此时G (t)∈(- e 2,-1]. ...(11 分) 综上,h (a)∈[- e 2 ,-1]. ...........................................(12分) 20.(1)1 (,]2-∞-(2)65(0, )2 e - 【解析】(1)因为 22()()x f x x x ce c R -=-+∈, 所以函数()f x 的定义域为R ,且2'()212x f x x ce -=--, 由'()0f x ≥得 22120x x c e ---≥g 即21 (21)2x c x e ≤-对于一切实数都成立. 再令21 ()(21)2x g x x e =-,则2'()2x g x xe =,令'()0g x =得0x =. 而当0x <时'()0g x <,当0x >时'()0g x >, 所以当0x =时()g x 取得极小值也是最小值,即 min 1 ()(0)2g x g ==- . 所以c 的取值范围是 1(,] 2-∞-. ……………………………………(6分) (2)由(1)知2'()212x f x x c e -=-- g ,所以由()0F x =得 2225(212)2x x x x ce x ce ---++--= ,整理得227 ()2x c x x e =+-. 令227 ()()2x h x x x e =+-,则222'()2(23)2(3)(1)x x h x x x e x x e =+-=+-, 令'()0h x =,解得3x =-或1x =. 列表得: 由表可知当3x =-时,()h x 取得极大值6 52e -; 当1x =时,()h x 取得极小值2 32e -. 又当3x <-时, 2702x x +- >,20x e >,所以此时()0h x >. 因此当3x <-时,65()(0,)2h x e -∈;当31x -<<时,2635()(,) 22h x e e -∈-; 当1x >时,23()(,)2h x e ∈-+∞;因此满足条件c 的取值范围是65 (0,) 2e -. ……(12分) 21.(Ⅰ)()212x f x e x x =-+;()f x 的极大值为1)0(=f ,无极小值;(Ⅱ)4 e . 【解析】(Ⅰ)由已知得()()()1''10x f x f e f x -=-+, 令1x =,得()()()'1'101f f f =-+, 即()01f = 又()()'10f f e = ,∴()'1f e =, 从而()21 2 x f x e x x =-+ ∴()'1x f x e x =+-, 又()'1x f x e x =+-在R 上递增,且()'00f =, ∴当0x <时,()'0f x <;0x >时,()'0f x >, 故0x =为极大值点,且1)0(=f …………………………………………(4分) (Ⅱ)()()()2 1102 x f x x ax b h x e a x b ≥ ++?=-+-≥得()()'1x h x e a =-+, ① 当10a +≤时,()()'0h x y h x >?=在x R ∈上单调递增,x ∈-∞时, ()h x -∞→与()0h x ≥相矛盾; ……………………………………………(5分) ②当10a +>时, )1ln(0)(+>?>'a x x h ,()()'0ln 1h x x a <+得:当 ()ln 1x a =+时,()()()()min 11ln 10h x a a a b =+-++-≥, 即()()()11ln 1a a a b +-++≥, ∴()()()()2 2 111ln 1a b a a a +≤+-++,()10a +> 令()()22ln 0F x x x x x =->,则 ()()'12ln F x x x =-, ∴()'00F x x e >?<<,()'0F x x e >, 当x e =时,()max 2 e F x =, 即当1a e =-,e b =时,()1a b +的最大值为2e , …………………………(11分) ∴ ()12 a b +的最大值为4 e . …………………………(12分) 22. 专题七 不等式 1.【2015高考四川,理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥, 在区间122?????? ,上单调递减,则mn 的最大值为( ) (A )16 (B )18 (C )25 (D )812 【答案】B 【解析】 2m ≠时,抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意,当2m >时,8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时,抛物线开口向下,据题意得,81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>,故应舍去.要使得mn 取得最大值,应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=,所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴,结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件,然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查,检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题,这是高考的一个方向,这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京,理2】若x ,y 满足010x y x y x -?? +??? ≤, ≤,≥,则2z x y =+的最大值为( ) A .0 B .1 C . 3 2 D .2 【答案】D 【解析】如图,先画出可行域,由于2z x y = +,则11 22 y x z =- +,令0Z =,作直线1 2 y x =- ,在可行域中作平行线,得最优解(0,1),此时直线的截距最大,Z 取 2012年高考真题理科数学解析汇编:导数与积分 一、选择题 1 .(2012年高考(新课标理))已知函数1 ()ln(1)f x x x = +-;则()y f x =的图像大致为 2 .(2012年高考(浙江理))设a >0,b >0. ( ) A .若2223a b a b +=+,则a >b B .若2223a b a b +=+,则a b D .若2223a b a b -=-,则a 5 .(2012年高考(山东理))设0a >且1a ≠,则“函数()x f x a =在R 上是减函数 ”,是 “函数3 ()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 6 .(2012年高考(湖北理))已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴 所围图形的面积为 ( ) A . 2π 5 B . 43 C . 32 D . π2 7 .(2012年高考(福建理))如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点 P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 ( ) A . 14 B . 15 C . 16 D . 17 8 .(2012年高考(大纲理))已知函数3 3y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个 公共点,则c = ( ) A .2-或2 B .9-或3 C .1-或1 D .3-或1 二、填空题 9 .(2012年高考(上海理))已知函数 )(x f y =的图像是折线段ABC ,若中 A (0,0), B (21,5), C (1,0). 函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为_______ . 10.(2012年高考(山东理))设0a >.若曲线y x = 与直线,0x a y ==所围成封闭图形 的面积为2 a ,则a =______. 11.(2012年高考(江西理))计算定积分 1 21 (sin )x x dx -+=? ___________. 12.(2012年高考(广东理))曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程为 ___________________. 三、解答题 13.(2012年高考(天津理))已知函数 ()=ln (+)f x x x a -的最小值为0,其中>0a . (Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)若对任意的[0,+)x ∈∞,有2 ()f x kx ≤成立,求实数k 的最小值; 1-y x O 第3题图 1 1高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
高考真题理科数学导数
最新高考数学压轴题专题训练(共20题)[1]