(完整)数学必修一零点题型总结,推荐文档

第三章 第一节 函数与方程

一、函数的零点

1、实例：填表函数f(x)

图像与x 轴交点零点方程f(x)=0方程的根

f(x)=2x-1

f(x)=x2-4x+5

f(x)=

x2-4x+4

f(x)=

x2-5x+6

2、函数零点的定义：____________________________叫做函数的零点

（注意：________________________）

题型一 求函数的零点1．y ＝x －2的图象与x 轴的交点坐标及其零点分别是( )

A ．2；2

B ．(2,0)；2

C ．－2；－2

D ．(－2,0)；－2

2．函数f(x)＝x 2＋4x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( )

A ．a<4

B ．a>4

C ．a ≤4

D ．a ≥4

3．函数f(x)＝ax 2＋2ax ＋c(a ≠0)的一个零点是－3，则它的另一个零点是( )

A ．－1

B ．1

C ．－2

D ．2

4．函数f(x)＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx 2－ax －1的零点．

5、求下列函数的零点

（1） （2）9

127)(-=x x f )1(log 2)(3+-=x x f

二、零点定理

1、方程的根与函数零点的关系：

方程f(x)=0的根函数f(x)的零点函数与x 轴交点的横坐标

??2、零点定理：

如果函数在区间上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有

()y f x =[,]a b 那么函数在区间内有零点，即存在，使得()()0f a f b ?<()y f x =(,)a b (,)c a b ∈，这个也就是方程的实数根。

()0f c =c ()0f x =问题1：去掉“连续不断”可以吗？

问题2：如果函数在区间上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有()y f x =[,]a b 那么函数在区间内有一个零点，对不对？

()()0f a f b ?<()y f x =(,)a b 问题3：如果函数在区间上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有()y f x =[,]a b 那么函数在区间上无零点，对不对？

0)()(>b f a f ()y f x =(,)a b 题型二、判断区间内有无零点

1．函数y ＝f (x )在区间(－2,2)上的图象是连续的，且方程f (x )＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f (－1)·f (1)的值( )

A ．大于0

B ．小于0

C ．等于0

D ．无法确定

2． 函数的零点所在的大致区间是（ ）2()ln f x x x =-

A ．（1，2）

B ．（2，3）

C ．和（3，4）

D ．1(1,)e (,)

e +∞3．设函数f(x)=2x

-x 2-2x ，则在下列区间中不存在零点的是（ ）

A.（-3，0）

B.（0，3）

C.（3，6）

D.（6，9）

4、方程在下列哪个区间内一定有根？（ ）

521=+-x x A 、（0，1） B 、（1，2） C 、（2，3） D 、（3，4）

5、根据表格中的数据，可以判定方程20x e x --=的一个根所在的区间为( )x

1-0123x e 0.371 2.727.3920.09

2x +12

345A ．(1,0)- B ． (0,1) C ．(1,2) D ．(2,3)

三、判断零点的个数

方法①：转化为判断方程f(x)=0的根的个数，解方程

例：函数f(x)=的零点有______个

x

-x 1方法②：从图像判断零点个数

例1：已知函数f(x)为R 上奇函数，且在（0，+）上有1003个零点，则f(x)在R 上的零∞点的总个数为______

例2：已知函数?????<<≥=3

0,log 3,3)(3x x x x x f （1）方程f(x)=0有几个根？ （2）方程f(x)=1有几个根？

（3）方程f(x)=k 有几个根？ （4）方程f(x)=-x 有几个跟？总结：如何利用图像判断f(x)=g(x)有几个根？

题型三 判断零点个数（方程根的个数）

1、函数的零点有_______个???>-≤-+=0ln 0,32x 2x x

x x x f ）（2、的零点个数为（ ）23,(1)(),()()23,(1)

x x x f x g x f x e x x x +≤?==-?-++>?则函数A ．1B ．2 C ．3

D ．4

3、方程lnx+2x-6=0有几个根？

4、若函数，若方程f(x)=k 有两个不同实根，求实数k 的取值范

?????<<≥=3

0,log 3,3)(f 3x x x x x 围

高中数学必修五知识点总结及例题学习资料

高中数学必修5知识点 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径， 则有 2sin sin sin a b c R A B C ===． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；（边化角） ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R =；（角化边） ③::sin :sin :sin a b c A B C =； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C ++=== ++． 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc A ab C ac B ?AB ===． 4、余弦定理：在C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc A =+-， 2222cos b a c ac B =+-， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=． 6、设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边， 则：①若222 a b c +=，则90C =；（.C A B C ?? 为直角为直角三角形） ②若2 2 2 a b c +>，则90C <；（.C A B C ??为锐角不一定是锐角三角形） ③若2 2 2 a b c +<，则90C >．（.C A B C ?? 为钝角为钝角三角形） 注：在C ?AB 中，则有 （1）A B C π++=，sin 0,sin 0,sin 0A B C >>>（正弦值都大于0） （2）,,.a b c a c b b c a +>+>+>（两边之和大于第三边） （3）sin sin A B A B a b >?>?>（大角对大边，大边对大角） 7、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．10n n a a +-> 8、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．10n n a a +-< 9、常数列：各项相等的数列．11,.n n a a S na == 10、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 11、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 12、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．11()n n n n a a d a a d -+-=-= 13、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2 a c b += ，则

人教版数学必修二知识点总结

第一章立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱' ' ' ' 'E D C B A ABCDE-或用对角线的端点字母，如五棱柱' AD。 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥：定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥' ' ' ' 'E D C B A P- 几何特征：侧面、对角面是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比。（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台' ' ' ' 'E D C B A P- 几何特征：①上下底面是相似平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点。 （4）圆柱：定义：以矩形一边所在直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义：以直角三角形一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体。 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥顶点；③侧面展开图是一弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段与'x轴平行且长度不变； ②原来与y轴平行的线段与'y轴平行，长度减为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，'h为斜高，l为母线） ch S= 直棱柱侧面积 rh Sπ 2 = 圆柱侧 ' 2 1 ch S= 正棱锥侧面积 rl Sπ = 圆锥侧面积 ') ( 2 1 2 1 h c c S+ = 正棱台侧面积 l R r Sπ) (+ = 圆台侧面积 ()l r r S+ =π2 圆柱表 ()l r r S+ =π 圆锥表 ()2 2R Rl rl r S+ + + =π 圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式

高中数学必修一函数题型方法总结

这份资料是全部内容已经完成的一部分， 写中。此资料是必修一函数部分的总结， 同学有所帮助。 路。部分题目仅仅是题目。 的题目，总结这一类题目的思路与方法。活学活用。 第一部分典型例题解析 一、函数部分 一、函数的值域：求函数值域的常用方法有 方法、判别式、换元、分离常数法、方程法）。 1、函数y=的值域是（）。A、[0,+ B、[0,4) C[0,4] D（0,4） 解析：本题是指数函数与幂函数复合， 各自的取值范围。所以本题我们用直接分析法。 [) 40160 0160,4 x x x x ∴∴≥ ≤ Q＞16-4＜；要根号有意义，16-4 综上可知：16-4＜ 2、若函数() y f x =的值域是 1 ,3 2 ?? ?? ?? ，则函 1 ()() () F x f x f x =+的值域是（）。 11051010 .,3.2,.,.3, 23223 A B C D ???????? ???????? ???????? 解析：本题是复合函数求值域，可变 11 (),()(),,3 2 f x t F x F t t t t ?? ===+∈?? ?? 。 方法一：定义求单调区间 21 212121 2112 212112 12 12 12 1212 12 12 11 (),()(),,3,, 2 111 ()()()()(1). 1 011 1 11(1)0 1 1111 1 (1)0 f x t F x g t t t t t t g t g t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t ?? ===+∈?? ?? ∴-=+-+=-- -∴? - ? - Q 令＞ ＞，∴＞。当＞时，求得＜ ＜，＜。此时＜，函数递减。 当＜时，求得＞＞，＞。 此时＞，函数递增 [] 1 ,1,1,3.. 2 151010 (),(1)2,(3).()2,. 2233 x x g g g F x ?? ∴∈∈ ?? ?? ?? ∴===∴∈?? ?? 。 时函数递减.时函数递增 学了不等式的话，我们可以由基本不等式求单调 11 0,2, 1. 1 1 ,3 2 t t t t t t t ∴+≥=?= = = 此时 时，函数取得最小值。然后判断 时的函数值即可。 2 34 x y x = - 的值域是（） 44 ,)(,) 33 -∞+∞ U B. 22 (,)(,) 33 -∞+∞ U C.R 24 ,)(,) 33 -∞+∞ U 分离常数法。希望同学自己探究分离常数的方法。 22882 .0,. 3439129123 22 ,, 33 x y x x x =+≠∴≠ --- ???? ∈-∞+∞ ? ? ???? Q U 24 .(34)2.. 3432 2 320. 3 22 ,, 33 x y y x x x x y y y ?∴-=?= -- ∴-≠?≠ ???? ∈-∞+∞ ? ? ???? U 2 1 22 x y x x + = ++ 的值域是（）。 11 (,) 22 - B.(11 ,,) 22 ?? -∞-+∞ ?? ?? U C. 11 , 22 ?? -?? ?? ]1,1 - () 2 2 2 2 2 (21)210. 22110, , (21)210 11 =40.,. 22 ) yx y x y x x R y x y b a c y ?+-+-= ++=++≠ ∈ +-+-= ?? -≥∈-?? ?? 方程有意义。 在R上有根。 解得 讨论一元一次方程情况 1 1 (1) 1 y x x = ++ + ，参考例题2两个方法。 R的函数() y f x =的值域为[],a b，则函数

人教版高中数学必修一至必修五知识点总结大全

高中数学必修一常用公式及结论归纳总结 1、集合的含义与表示 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。它具有三大特性：确定性、互异性、无序性。集合的表示有列举法、描述法。 描述法格式为：{元素|元素的特征}，例如},5|{N x x x ∈<且 2、常用数集及其表示方法 （1）自然数集N （又称非负整数集）：0、1、2、3、…… （2）正整数集N * 或N + ：1、2、3、…… （3）整数集Z ：-2、-1、0、1、…… （4）有理数集Q ：包含分数、整数、有限小数等 （5）实数集R ：全体实数的集合 （6）空集Ф：不含任何元素的集合 3、元素与集合的关系：属于∈，不属于? 例如：a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A 4、集合与集合的关系：子集、真子集、相等 （1）子集的概念 如果集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集(如图1)，记作 B A ?或A B ?. 若集合P 中存在元素不是集合Q 的元素，那么P 不包含于Q ， 记作Q P ? （2）真子集的概念 若集合A 是集合B 的子集，且B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A (如图2). A ≠?B 或B ≠?A . （3）集合相等：若集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同则称集合A 等于集合B,记作A=B. 5、重要结论（1）传递性：若B A ? ，C B ?，则C A ? （2 ）空Ф集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集. 6、含有n 个元素的集合,它的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个(即不计空集)；非空的真子集有2n –2个. 7、集合的运算：交集、并集、补集 （1）一般地，由所有属于A 又属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集． 记作A ∩B （读作＂A 交B ＂），即A ∩B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝． （2）一般地，对于给定的两个集合A,B 记作A ∪B （读作＂A 并B ＂），即A ∪B=｛x|x ∈A ，或x ∈B ｝． 图1) 或 (图2)

人教版高中 数学必修二 全册知识点 归纳总结

人教版高中 数学必修二 全册知识点 归纳总结 必修2数学知识点 1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 2、空间几何体的三视图和直观图 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。 3、空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积；l r S ??=π2侧面 ⑵圆锥侧面积：l r S ??=π侧面 ⑶圆台侧面积：l R l r S ??+??=ππ侧面 ⑷体积公式：

h S V ?=柱体；h S V ?=3 1锥体； () h S S S S V 下下上上台体+?+=31 ⑸球的表面积和体积： 323 44R V R S ππ==球球，. 第二章：点、直线、平面之间的位置关系 1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 6、线线位置关系：平行、相交、异面。 7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。 8、面面位置关系：平行、相交。 9、线面平行： ⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 ⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 10、面面平行： ⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 ⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 11、线面垂直： ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。 ⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 ⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。

高中数学必修一集合经典题型总结高分必备

慧诚教育2017年秋季高中数学讲义 必修一第一章复习 知识点一集合的概念 1．集合 一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示． 2．元素 构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示． 3．空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为?.

知识点二 集合与元素的关系 1．属于 如果a 是集合A 的元素，就说a ________集合A ，记作a ________A . 2．不属于 如果a 不是集合A 中的元素，就说a ________集合A ，记作a ________A . 知识点三 集合的特性及分类 1．集合元素的特性 ________、________、________. 2．集合的分类 (1)有限集：含有________元素的集合． (2)无限集：含有________元素的集合． 3．常用数集及符号表示 知识点四 1．列举法 把集合的元素________________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法 用集合所含元素的 ________表示集合的方法称为描述法． 知识点五 集合与集合的关系 1．子集与真子集

2.子集的性质 (1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________． (2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________． (3)如果A?B，B?C，则________． (4)如果A?B，B?C，则________． 3．集合相等 4.集合相等的性质 如果A?B，B?A，则A＝B；反之，________________________. 知识点六集合的运算 1．交集

人教版数学必修二知识点总结归纳

精心整理 第一章立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四 （2 （3 表示：用各顶点字母，如五棱台'''''E D A P- C B 几何特征：①上下底面是相似平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点。 （4）圆柱：定义：以矩形一边所在直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。

几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体。 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥顶（7 2 3 4 （1 （2h l为母线） （3）柱体、锥体、台体的体积公式 （4）球体的表面积和体积公式：V 球=3 4 3 R π ；S 球面 =2 4R π 第二章空间点、直线、平面的位置关系 1、平面 ①平面的概念：A.描述性说明；B.平面是无限伸展的；

②平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）； 也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC；或用所有字母表示，如平面ABCD。 ③点与平面的关系：点A在平面α内，记作Aα∈；点A不在平面α内，记作Aα? 点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l；点A在直线l外，记作A?l； 直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作l?α；直线l 不在平面α内，记作l?α。 2 ?=∈ , A B A B l P l ①它是判定两个平面相交的方法。 ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交3 ④异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。 注：求异面直线所成角步骤：

高中数学必修五 知识点总结【经典】

《必修五 知识点总结》 第一章：解三角形知识要点 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 4、余弦定理：在 C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，推论：bc a c b A 2cos 2 22-+= B ac c a b cos 2222-+=，推论： C ab b a c cos 22 2 2 -+=，推论：ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、解三角形 处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 1、三角形中的边角关系 （1）三角形内角和等于180°； （2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ac b c a B 2cos 2 22-+=

（3）三角形中大边对大角，小边对小角； （4）正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ，其中R 是△ABC 外接圆半径. （5）在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. （6）三角形的面积公式有:S = 21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=2 1 ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --?-其中，h 是BC 边上高，P 是半周长. 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 （1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理. （2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理. （3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理. （4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理. （5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是：①化边为角；②化角为边. 4、三角形中的三角变换 （1）角的变换 因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半 （3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列.

高中必修二数学知识点全面总结

第1章 空间几何体1 1 .1柱、锥、台、球的结构特征 1. 2空间几何体的三视图和直观图 11 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 22 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 33直观图：斜二测画法 44斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底31 3台体的体积 h S S S S V ?++=)31 下下上上（ 4球体的体积 33 4 R V π= 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 222r rl S ππ+=

2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形， 锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2 作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2

高中数学全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解

高中数学全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解

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(经典)高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解 分析 一、函数的概念与表示 1、映射：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射 集合A ，B 是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A →B 的映射f:(x,y)→(x 2+y 2,xy)，求象(5，2)的原象. 3.已知集合A 到集合B ＝｛0，1，2，3｝的映射f:x →11 -x ，则集合A 中的元素最多有几个?写出元素最多时的集合A. 2、函数。构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域 两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同 1、下列各对函数中，相同的是 （ ） A 、x x g x x f lg 2)(,lg )(2== B 、)1lg()1lg()(,1 1 lg )(--+=-+=x x x g x x x f C 、 v v v g u u u f -+= -+= 11)(,11)( D 、f （x ）=x ，2)(x x f = 2、}30|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合 N 的函数关系的有 （ ） A 、 0个 B 、 1个 C 、 2个 D 、3个 二、函数的解析式与定义域 函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 例2 已知221 )1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f x x x x 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 y y y y 3 O O O O

高中数学必修2知识点总结归纳整理

高中数学必修二 ·空间几何体 1.1空间几何体的结构 棱柱 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边 形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、 五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如 五棱柱 ' ''''E D C B A ABCDE - 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行 且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形， 由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、 五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥' ''''E D C B A P - 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 棱台 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间 的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、 五棱台等 表示：用各顶点字母，如四棱台ABCD —A'B'C'D' 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 圆柱 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的 曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面 圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

圆锥 定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的 曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面 展开图是一个扇形。 圆台 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之 间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点； ③侧面展开图是一个弓形。 球体 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 1.中心投影与平行投影 中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。 平行投影：在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。 2.三视图 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：斜二测画法 斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；（3）.画法要写好。

高中数学必修一函数知识点总结

高中数学必修一函数知识点总结 同学们，今天开始讲解函数章节学习，函数这章极其重要，因为函数是高中数学重要的枢纽章节，高中数学除了立体几何和概率统计和函数没有关系之外，所有章节多多少少和函数有关系，所以函数学不好高中数学很难突破100以上，那么从第一堂开始往下面讲，认真往下听把所有题目听懂按照肖老师的要求掌握函数，学好函数是没有问题。函数这章我们应该讲什么内容呢？ 函数先看他的树枝图，第一个点要了解函数定义讲完，讲解函数三要素（定义域、解析式、值域）

接下来讲解函数四性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性） 接下来讲解函数类型主要讲解二次函数、指数、对数、幂函数、反函数这些内容讲完后，这个就是函数基础内容。 函数基础内容讲完后，准备了函数专题一：讲解函数零点问题分为了四个题型格外重要，一出题就是高考压轴题

那么第二个专题讲到恒成立问题 第三个专题总结一下函数压轴小题不能常规做，如果常规做，极有可能时间浪费掉正确答案也做不出来，有技巧的，有三个技巧方法非常高效。 第一种题型：三次函数的单调性、极值、最值及其应用，其实这个点，我们在六类不等式提到过。 第二种题型：差异取值验证法在解决函数选择难题中的妙用，全国卷做完百分之八十压轴选择题，除了一点函数题之外，其他章节题目也能用这个思想去做，同学可能或多或少有了解，带着大家把这种方法彻底让你掌握，高效去做压轴选择题 第三种题型：已知函数不等式求解抽象不等式这种题型是构造函数这些内容全部讲完相信你对函数这章体系特别完整，那么后续学习其他章节就不会因为函数这章没有学好而影响后面的学习。 那么开始进入第一个点函数三要素，一个点定义域，给大家讲解三个

数学必修五第三章不等式知识点总结

数学必修五 第三章 不等式 一、知识点总结： 1、 比较实数大小的依据：①作差：0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b ->>?>时,1a a b b =?=,1a a b b ?<时，,1a a b b =?=,1a a b b 2、 不等式的性质 3、一元二次不等式的解法步骤：①将不等式变形，使一端为0且二次项的系数大于0；②计算相应的判别式；③当0?≥时，求出相应的一元二次方程的根；④根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集。（大于0取两边，小于0取中间）.含参数的不等式如20(0)ax bx c a ++>≠解题时需根据参数的取值范围依次进行分类讨论：①二次项系数的正负；②方程20(0)ax bx c a ++=≠中?与0的关系；③方程20(0)ax bx c a ++=≠两根的大小。 4、一元二次方程根的分布：一般借助二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的等价条件，常常用以下几个关键点去限制：（1）判别式；（2）对称轴；（3）根所在区间端点函数值的符号。设12,x x 是实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两个实根，则12,x x 的分布情况列表如下：（画出函数图象并在理解的基础上记忆）

5、一元高次不等式()0f x >常用数轴穿根法（或称根轴法、区间法）求解，其步骤如下：①将()f x 最高次项的系数化为正数；②将()f x 分解为若干一次因式或二次不可分解因式的积；③将每一个根标在数轴上，从右上方向下依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶重根穿而不过，奇重根既穿 又过）；④根据曲线显现出的符号变化规律，写出不等式的解集。 6、简单的线性规划问题的几个概念：①线性约束条件：由关于,x y 的二元一次不等式组成的不等式组是对,x y 的线性约束条件；②目标函数：要求最值的关于,x y 的解析式，如：22z x y =+，

高中必修二数学知识点全面总结

第1章空间几何体1 1 .1柱、锥、台、球的结构特征 1. 2空间几何体的三视图和直观图 11 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 22 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 33直观图：斜二测画法 44斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图

1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积2 2R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底31 3台体的体积 h S S S S V ?++=)31 下下上上（ 4球体的体积 33 4 R V π= 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形， 锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） 2 22r rl S ππ+= D C B A α

（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线

高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解

(经典)高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解 分析 一、函数的概念与表示 1、映射：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射 集合A ，B 是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A →B 的映射f:(x,y)→(x 2+y 2,xy)，求象(5，2)的原象. 3.已知集合A 到集合B ＝｛0，1，2，3｝的映射f:x →11 -x ，则集合A 中的元素最多有几个?写出元素最多时的集合A. 2、函数。构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域 函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 例2 已知221 )1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式

五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过 解方程组求得函数解析式。例5 设,)1 (2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,1 1 )()(-= +x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式 六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。 例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f 七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。 例8 设)(x f 是+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求 )(x f 1、求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3 2（1） ()x 已知f 的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。 （2） (21)x x 已知f －的定义域是[-1,3],求f()的定义域 1求函数值域的方法 ①直接法：从自变量x 的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数； ②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式； ③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y 的取值范围；适合分母为二次且x ∈R 的分式； ④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x 有范围限制时要画图）； ⑤单调性法：利用函数的单调性求值域； ⑥图象法：二次函数必画草图求其值域； ⑦利用对号函数

北师高中数学必修五知识点归纳(纯)

必修5知识点 第一章 解三角形 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的 半径，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB =A ==B ． 4、余弦定理：在C ?AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=． 6、设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C = ； ②若222a b c +>，则90C < ；③若222a b c +<，则90C > ． —1—

第二章 数列 7、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 8、数列的项：数列中的每一个数． 9、有穷数列：项数有限的数列． 10、无穷数列：项数无限的数列． 11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 13、常数列：各项相等的数列． 14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 15、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 16、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差． 18、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差 中项．若2 a c b +=，则称b 为a 与 c 的等差中项． 19、若等差数列 {}n a 的首项是1 a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-． 20、通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②()11n a a n d =--；③1 1 n a a d n -=-； ④1 1n a a n d -=+；⑤n m a a d n m -=-． 21、若{}n a 是等差数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a +=+；若{} n a 是等差数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2n p q a a a =+． —2—