微分方程习题(附答案)

微分方程习题

§1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.

（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22

（2）?'=''=+y 0 22

2t -)(,1e y y y x dt

2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）

（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.） （1）1)(22=++y C x ； （2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.

3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 （1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。

（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。

（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程

1.求下列微分方程的通解 （1）2211y y x -='-；

（2）0tan sec tan sec 22=?+?xdy y ydx x ； （3）

23xy xy dx

dy

=-； （4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y

x .

2．求下列微分方程的特解

（1）0 ,02=='=-x y x y

e y ；

（2）2

1 ,12=

=+'=x y

y y y x 3. 求下列微分方程的通解 （1）)1(ln

+='x

y

y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解 （1）

1 ,0

22=-==x y y

x xy dx dy ；

（2）1 ,02)3(0

2

2

==+-=x y

xydx dy x y .

5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程 （1）2

)(y x y +='； （2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11

+-=

'y

x y （4）0)1()1(2

2

=++++dy y x xy x dx xy y

6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等

2

7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.

8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉

%40染色，

现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？

9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？

§3 一阶线性方程与贝努利方程

1．求下列微分方程的通解 （1）2x x

y

y =-

'； （2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ； （3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ； （4）)

(ln 2x y y

y -=

'；

（5）

1sin 4-=-x e dx

dy

y 2．求下列微分方程的特解

（1）0 ,sec tan 0

==-'=x y x x y y ；

(2)1|,sin 0==+

'=x y x

x x y y 3．一 曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程. 4．设可导函数)(x ?满足方程

?+=+ x

1sin )(2cos )(x tdt t x x ??，求)(x ?.

5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，

合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系. 6．求下列贝努利方程的通解 (1) 62y x x

y

y =+

' （2）x y x y y tan cos 4+=' （3）0ln 2=-+y x x dy

dx

y

（4）2

12

1

xy x xy y +

-='

§4 可降阶的高阶方程

1.求下列方程通解。 (1)y y x '''=+；（2）1

22+'=''x y x y ；2

(3)20yy y '''-=()341y y ''=

()2

002.1,0,1

x x y y y y ==''''===-求下列方程的特解

（2）0 ,0 ,20

2

='

=='+''==-x x x y y

e y x y

3．求x y =''的经过)1 ,0(且在与直线12

+=x

y 相切的积分曲线 4．证明曲率恒为常数的曲线是圆或直线.

证明：

0,0(,)1(2

32=≠='+''K K K y y 可推出y 是线性函数；K 可取正或负

5．枪弹垂直射穿厚度为δ的钢板，入板速度为a ，出板速度为b )(b a >，设枪弹在板内受到阻力与速度成正比，问枪弹穿过钢板的时间是多少？

§5 高阶线性微分方程

1.已知)( ),(21x y x y 是二阶线性微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的解，试证

)()(21x y x y -是0)()(=+'+''y x q y x p y 的解

2.已知二阶线性微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的三个特解x e y x y x y 33221 , ,===，

试求此方程满足3)0( ,0)0(='=y y 的特解.

3．验证1 ,121+=+=x e y x y 是微分方程1)1(=+'-''-y y x y x 的解，并求其通解.

§6 二阶常系数齐次线性微分方程

1.求下列微分方程的通解 （1）02=-'+''y y y ； （2）0136=+'+''y y y ； （3）044=+'+''y y y ； （4）02)4(=+''+y y y .

2．求下列微分方程的特解 （1）10y ,6 ,0340

x 0

='

==+'-''==x y y y y

（2）5y ,2 ,0250

x 0

='

==+''==x y

y y

（3）3y ,2 ,01340

x 0

='==+'-''==x y y y y

3.设单摆摆长为l ，质量为m ，开始时偏移一个小角度0θ，然后放开，开始自由摆动.在不

θ随时间t 变化的规律.

4

. 圆柱形浮筒直径为0.5m ，铅垂放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒周期为2s ，

求浮筒质量

.。

5.长为6m 的链条自桌上无摩察地向下滑动，设运动开始时，链条自桌上垂下部分长为1m ，

.

§7 二阶常系数非齐次线性微分方程

1.求下列微分方程的通解 （1）x xe y y y -=+'+''323； （2）x y y y 2345-=+'+''；

（3）x x y y cos 4='+''；

（4）x y y 2sin =-''；

（5）)4(2+='-''+'''x e x y y y . 2．求下列微分方程的特解

（1）2(0)y ,6)0( ,523='==+'-''y y y y ；

（2）1)(y ,1)( ,02sin ='==++''ππy x y y

3.设连续函数)(x f 满足 ?-+=x

x dt t f x t e x f 0 )()( )( 求)(x f .

4.一质量为m 的质点由静止开始沉入水中，下沉时水的反作用力与速度成正比（比例系数

为k ）

5.一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离开钉子8m ，另一端离开钉子12m ，若不计摩擦力，求链条全部滑下所需时间.

6.大炮以仰角α、初速0v 发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线.

§

8 欧拉方程及常系数线性微分方程组

1.求下列微分方程的通解

（1）32322x y y x y x y x =-'+''-'''； （2）x

x y x y y 22=+'-

''.

2．求下列微分方程组的通解

（1）?????-+=-++-=+33y x dt

dy dt dx y x dt dy

dt dx

（2）???

????=++=--00432222y x dt y d y x dt x

d

自测题

1.求下列微分方程的解。 （1）x

y x y y tan +=

'； （2）0)2(2=-+dy x y x ydx ； （3）x

xy y y y -+='22

2；

（4）x x y y 2sin ='-''.

2．求连续函数)(x ?，使得0>x 时有?=1

0 )(2)( x dt xt ??. 3．求以x e x x C C y 2221)(-++=为通解的二阶微分方程.

4．某个三阶常系数微分方程 0=+'+''+'''cy y b y a y 有两个解x e 和x ，求c b a , ,.

5．设)()(x f y x p y ='+''有一个解为x

1

，对应齐次方程有一特解2x ，试求： （1）)( ),(x f x p 的表达式； （2）该微分方程的通解.

6．已知可导函数)(x f 满足关系式： 1)(1

)()

( 1 2

-=+?x f dt t f t f x

求)(x f .

7．已知曲线)(x y y =上原点处的切线垂直于直线012=-+y x ，且)(x y 满足微分方程

x e y y y x 2cos 52=+'-''，求此曲线方程.

微分方程习题答案

§1 基本概念

1．验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22

y

x y y x y y y x y x -='-='+'--2)2(:0

22::移项求导解

故所给出的隐函数是微分方程的解

（2）?'=''=+y

0 22

2t -)(,1e y y y x dt .

解：隐函数方程两边对x 求导

012

2=+'-

y e

y

方程两边再对x 求导

()0][2

2=''+''--

y y y y e

y

指数函数非零，即有

2)(y y y '=''

故所给出的隐函数是微分方程的解

2．已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）

（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.） （1）1)(22=++y C x ；

()1

02)(2:222=+''

-=+='++y y y y y c x y y c x 代入原方程得解出求导得

（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.

4:,2cos 42sin 4:)2sin (22cos 2:212121=+''--=''-+='y y c c x c x c y x c x c y 得消去再求导得求导得

3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 （1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。

解：设曲线为 y = y ( x )则曲线上的点()y x ,处的切线斜率为y '，由题意知所求方程为

2x y ='

（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。 解：曲线上的点()y x ,处法线方程：()1

Y y X x y -=-

-'

。

故法线x 轴的交点为Q 坐标应为(),0yy x '+，又PQ 为y 轴平分，故()102

yy x x '++=????， 便得曲线所满足的微分方程：

02=+'x y y

（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。 解：点P ()y x ,处切线方程：()Y y y X x '-=- 故Q 坐标为()0,y y x '-，则有

2PQ =

=

则得初值问题为： 222(1)40

x x y y ='?+=??=??

§2可分离变量与齐次方程

1．求下列微分方程的通解 （1）2211y y x -='-； 解:分离变量

c

x y x dx y dy x dx y dy +=-=--=

-?

?

arcsin arcsin 11,1122

2

2

得两边积分

（2）0tan sec tan sec 22=?+?xdy y ydx x ； 解:分离变量

22sec sec tan tan xdx ydy

x y

=-?(tan )(tan )

tan tan d x d y x y =-?

??1ln tan ln tan x y C =-+?

1ln tan tan x y C =

1ln tan tan x y

C e

e =?

1tan tan C x y e =?1tan tan C x y e =±?

tan tan x y C =其中1

C C e =±

（3）23xy xy dx

dy

=-； 解

:

23dy

xy xy dx

-=?(3)dy

xy y dx

=+分离变量得

(3)dy xdx y y =?+(3)

dy

xdx y y =?

+(3)

dy

xdx y y =+?

?

133dy dy xdx y y ??

-=???+?????2

111ln ln 332y y x C ?-+?=+??

?213

ln

332

y x C y =+?+ 2

13ln

33

2

y x C y e e

++=?

213323x C y e e y =±?+2323

x y Ce y =+其中1

3C C e =± （4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y

x .

解

：

分

离

变

量

得

222121y x y

x dy dx =-?-+222121

y x

y x dy dx =-?-+??()()212121

21

y x y

x

d d --=-?-+?

?

1ln 21ln 21y

x

C -=-++?()()1ln 2121y

x

C -+=?

()()

1ln 2121

y x C e

e -+=?

()()1ln 2121C y x e -+=?()()1

2121C y x e -+=±?

()()2

121y

x C

-+=其中1

C C e =±

2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,02=='=-x y x y

e y ；

)

1(2

1

21021

20222+==

=+====??x y x x y x y x y e e c y c

e e dx

e dy e dx

e dy e 所以特解为：解得由解：

（2）2

1 ,12=

=+'=x y

y y y x 解：分离变量得

2dy dx y y x =?-?

?11()1dx dy y y x -=?-?? 11

ln ln y x C y

-=+

1

1ln

ln y x C y

e

e

-+=?

1

1C y e x y

-=?11C y e x y -=±? 1

y Cx y

-=，其中1C C e =±，

由1

1

2

x y

==

得1C =-，故特解为1y xy =-

3．求下列微分方程的通解 （1）)1(ln

+='x

y

y y x ； 解：方程变形为齐次方程

(ln 1)dy y y dx x x =+，y u x =令，则dy du u x dx dx

=+，故原方程变为

(ln 1)dy u x u u dx +=+，分离变量得ln du dx u u x =，两边积分ln du dx

u u x

=??

，即ln ln d u u ?dx

x =?，故1ln ln ln u x C =+，得

1

ln ln ln u x C e e

+=?

1

ln C u e

x =?1

ln C u e x =±?ln y

Cx x

=，其中1

C C e

=±

（2）03)(233=-+dy xy dx y x .

解：方程变形为齐次方程3

2

13y dy x

dx y x ??+ ?

??=??

???，令y u x =则dy du u x dx dx =+，故原方程变为3

2

13du u u x dx u ++=，分离变量得

2

3312u du dx u x =-，两边积分2

3312u du dx u x =-??，即()3

3

112212d u dx u x

--=-??，即()33

12212d u dx

u x

-=--?

?

， 得

31ln 122ln u x C -=-+?31ln 122ln u x C -+=?

()321ln 12u x C -=?

()

32

1ln 12u x C e

e -=?

()132

12C u x e -=?13212C y x e x ????-=±??? ???????13

212C y x e x ????-=±??? ?

??????

332x y Cx -=其中1C C e =±

4． 求下列微分方程的特解 （1）

1 ,0

2

2=-==x y y x xy

dx dy ；

解：原方程化为21y

dy x dx y x =??

- ???，令y u x =则dy du u x dx dx =+，故原方程变为2

1du u

u x dx u +=

-，分离变量得231u dx du u x -= 两

边

积

分

231u dx du u x

-=??，即

311dx du u u x ??

-= ???

??，得

211ln ln 2u u x C --?-=+?211

ln ln 2

u u x C --?=++? 211ln 2

u ux C --?=+?211ln 2u y C e e --?+=?2

11

2u C e e y --?=? 2

112x y C e

e y ??-? ???

=±?2

12x y e

Cy ??-? ???

=其中1

C C e =±1

C

C e =±，由0

1x y

==得1C =，故

特解为2

12x y e y ??-? ???

=

（2）1 ,02)3(0

2

2==+-=x y

xydx dy x y .

解：原方程可化为,322

-??? ?????

??-=

x y x y dx dy 令y u x =则dy du u x dx dx =+，故原方程变为,322--=+u u

dx du x

u 分离变量得23

3,u dx du u u x

-=-两边积分233u dx

du u u x -=-??，即

11311dx du u u u x ??+-= ?-+??

??得233

1ln ln 1ln 1ln ln ln u u u u x C u --++-=+即

231ln ln u Cx

u -=得231u Cx u -=，即2

31y x Cx y x ??- ???=??

???

，又0

1x y ==得特解为.223x y y -= 5． 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程 （1）2

)(y x y +='； 解：令u x y

=+则

1dy du dx dx =+，原方程变为21du u dx -=，分离变量并积分21

du

dx

u =+??得arctan u x C =+

故方程通解为arctan()x y x c +=+ （2）)ln (ln y x y y y x +=+' 解：,

x y u ?=令则dy du x

y dx dx +=，原方程变为ln du u

u dx x

=，分离变量并积分

ln du dx u u x =??，即ln ln d u dx

u x =??

得1ln ln ln u x C =+，得ln u Cx =，即ln xy Cx =，其中1C

C e =±故方程通解为c x

xy e = （1

1ln ln ln ln ln u

x C C e

e

u e x u Cx +=?=?=，其中1

C C e =±）

（3）11

+-=

'y

x y 解：x y u -=令，则1dy du dx dx -

=，原方程变为1

11du dx u

-=+，分离变量并积分

udu dx -=??得

22u x C -=+故方程通解为2

()2

x y x C --=+ （4）0)1()1(2

2

=++++dy y x xy x dx xy y

解：,

x y u ?=令则dy du

x y dx dx

+=，原方程变为221du u u x u dx u u +=-++，分离变量并积分231u u dx

du u x ++=??，

得2

111ln ln 2

u

u u x C ----+=+，即()23212x y C xy =+其中1C

C e =±

（分析原方程可变形为()

()

2

2

1xy xy dy x x

y xy dx xy xy +??

+=- ???++，故令,x y u ?=令）

（32111dx du u u

u x ??

++= ?????，

2111ln ln 2

u u u x C ----+=+?2111ln 2u C u u x --=++?，2111ln 2

u

C u u x

e e --++=? ()1

2

112C y e xy xy ??

=±+? ? ???

()23212x y C xy =+其中1C C e =±） 2

2222

3222222212ln 2:ln 21

1ln :11)1

1()1(1

1,1,)1()1(:

y cx xy y y x c x u u u x dx du u u u u u x u x u u u x u x u x y u x y u xy xy dx

dy y x xy y x =--+=--=++--='+-++'+-='==+-=++??得通解解得代入上式

令解 6． 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等

2

解：曲线点P （x , y ）的切线方程为： )(x X y y Y -'=-

该曲线与x 轴交点记为B ，则B 坐标为,0y x y ??-

?'??

， 过点P （x , y ）平行于y 轴的直线和x 轴交点记为A ，则A 坐标为(),0x

故三角形面积为

212y AB AP x x y a y ??

=--= ?'?

? 即有微分方程2

2

2dy

y a dx

=± 当2

2

2dy y a

dx

=时用分离变量法解得2

()2y C x a -= 当222dy y a dx

=-时用分离变量法解得2()2y C x a +=

7． 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度

为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.

).

1()

ln(0)ln(0

.).(,||00

|t m

k t t e k mg v mg k

m

c v c kv mg k m

t kv

mg mdv dt v dt

dv m kv mg v k kv mg F dt

dv

m ma F -==-===+--

=-=

==--===所以得：解得由积分得：求解方程：

及初始条件：满足微分方程：便得为比例常数而解：根据

8． 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉

%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色

后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？ 解: t 以分为单位,因此,每分钟正常胰脏吸收40%染色可得

p dt dp

4.0-=

通解为: c

t p +-=ln 25

加以初始 p(0)=0.3, 便可求出 p(t)=0.3e

t

4.0-及p(30)=0.3e

12

-

然后与实测比较知,此人胰脏不正常.

9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？

解：设t 时刻容器内含盐)(t P ，10)0(=P ，由于t 时刻容器内液体为：100+t ，因此t 时刻容器内浓度为：t

t P t Q +=100)

()(.于是在t 时刻盐的流失速度为：)(2t Q ，从而有)(t P 满足的方

程为：

t t

t P t dP 2100)

()(+-

=

初始化条件为:

)

(9.325600100000

60.)

100(100000

100000,10)100()100(ln ln )100ln(2ln 100210602

02

2

0kg p ，

t t P c P t c P t c c t P dt t

p dp P t t t ≈==+=

==+=

+==+-=+-=====分钟时当于是求得由

§3 一阶线性方程与贝努利方程

1．求下列微分方程的通解 （1）2x x

y

y =-

'； 解：法一：常系数变易法：解齐次方程0y

y x

'-

=，分离变量得dy dx y x =， 积分得1ln ln y x C =+，即y Cx =，其中1C C e =±（注：在常系数变易法时求解齐次方

程通解时写成显式解；

1ln ln y x C =+?1

ln ln y

x C e

e

+=?1C y e x =?y Cx =其中1C C e =±。

设非齐次方程有解()y u x x =，代入非齐次方程有()()()2

u x x u x u x x '+-=，即

()u x x '=，

故()2

12u x x C =+，非齐次微分方程的通解22x y x C ??=+ ???

法二（公式法）

112dx dx x x

y e x e

dx C -????=+ ???

?()

ln 2ln x x

e x e

dx C -=+?

()x

xdx C =+?

22x x C ??

=+ ???

（2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ；

22

2cos 11

x x

y y x x '+

=--解： 故

2222112cos []1

x

x

dx

dx

x x x y e

e dx C x -

--??=+-? 21[cos ]

1xdx C x =

+-?

2sin 1x C

x +=- （()22212)11

d x x

dx x x -=--??

（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ； 解：方程变形为

11

ln dx x dy y y y

+= 故1

ln ln 11dy dy

y y y y x e e dy C y -????=?+??????

?ln ln ln ln 11y y y e e dy C -??=+??? 1

11ln ln y ydy C y

??=

+??? ()2111ln ln 2y C y ??

=

+????

即2

2ln ln x y y C =+，其中12C C = （4）)

(ln 2x y y

y -=

'；

解：方程变形为

22

ln dx x y dy y y

+=， 故22

2ln dy dy y y x e y e dy C y -

????=?+??????

?2ln 2ln 2ln y y

e y e dy C y -??=?+????? 2

212ln y y dy C y y ??=

?+?????()212ln y ydy C y

=+?2

2

11ln 2y

y C y ????=-+ ??????

?

即2

2

1ln 2xy y y C ?

?

=-+ ???

（

分

部

积

分

法：

2

2ln ln y ydy ydy =??2

2

ln ln y y y d y =-?2

ln y y yd y =-?2

2

ln 2y y y C =-+）

（5）

1sin 4-=-x e dx

dy

y 解：两边同乘y

e 得4sin y

y

dy e x e dx

=-，即4sin y y de x e dx =-， 故令y

u e =，则原方程变为

4sin du

u x dx

+= 故(4sin )dx dx

u e x e dx C -??=?+?，即(4sin )x x u e x e dx C -=?+?

得[2(sin cos )]x

x

x

u e x e x e C -=?-?+

即原方程通解为2(sin cos )y

x

e x x Ce -=-+

（sin x x e dx ??

用分部积分法积分）

2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,sec tan 0

==-'=x y

x x y y ；

解：tan tan [sec ]xdx xdx y e x e dx C -??=?+?sin sin cos cos [sec ]x

x

dx dx x x e x e dx C -??=?+?

cos cos cos cos [sec ]d x

d x x

x

e x e dx C -

?

?

=?+?lncos lncos [sec ]x x e x e dx C -=?+?()1cos dx C x

=

+?

(0)00y c =?=代:cos x y x

=

特解 (2)1|,sin 0==+

'=x y x

x x y y

偏微分方程数值解期末试题及标准答案

偏微分方程数值解试题(０6B ） 参考答案与评分标准 信息与计算科学专业 一(10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(2 1)(n R x x b x Ax x J ∈-=，)()(0x x J λλ?+=.若0)0('=?，则称称0x 是)(x J 的驻点(或稳定点).矩阵A 对称(不必正定)，求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是:0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点，对于任意的n R x ∈,令 ),(2),()()()(2 000x Ax x b Ax x J x x J λλλλ?+-+=+=, （3分) 0)0('=?,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0，则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ，得到b Ax =0． (3分) 反之,若n R x ∈0满足b Ax =0,则对于任意的x ,)(),(2 1)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+??,因此0x 是)(x J 的最小值点. (４分） 评分标准：)(λ?的展开式3分, 每问3分，推理逻辑性１分 二（10分）、 对于两点边值问题:?????==∈=+-=0 )(,0)(),()('b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。 解: 设}0)(),,(|{11=∈=a u b a H u u H E 为求解函数空间,检验函数空间．取),(1b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (３分) )().(),(v f fvdx dx quv dx dv dx du p v u a b a b a ==+=??,),(1 b a H v E ∈? 即变分问题的Galerkin 形式. （3分)

微分方程习题及答案

微分方程习题及答案

微分方程习题 §1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 （2）?'=''=+y 0 222 t -)(,1e y y y x dt 2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数） （一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.） （1）1) (22=++y C x ； （2）x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 （1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。 （2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。 （3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程

1.求下列微分方程的通解 （1）2211y y x -='-； （2）0tan sec tan sec 22=?+?xdy y ydx x ； （3）23xy xy dx dy =-； （4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x . 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,02=='=-x y x y e y ； （2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解 （1）)1(ln +='x y y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解 （1）1 ,022=-==x y y x xy dx dy ； （2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程 （1）2)(y x y +='； （2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11 +-='y x y

第七章 微分方程经典例题

第七章 微分方程 例7 有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h (水面与孔口中心间的距离)随时间t 的变化规律. 解 由力学知识得，水从孔口流出的流量为 62.0dt dV Q ?=＝ 孔口截面面积 重力加速度 ,12cm S = .262.0dt gh dV =∴ ① 设在微小的时间间隔],,[t t t ?+水面的高度由h 降至,h h ?+则,2dh r dV π-= ,200)100(100222h h h r -=--= .)200(2dh h h dV --=∴π ② 比较①和②得: ,262.0)200(2dt gh dh h h =--π 即为未知函数得微分方程. ,)200(262.03dh h h g dt --- =π ,1000==t h ,1015 14 262.05?? = ∴g C π 所求规律为 ).310107(265.45335h h g t +-?= π 例10 求解微分方程 .2222xy y dy y xy x dx -=+- 解 原方程变形为=+--=222 2y xy x xy y dx dy ,1222 ? ?? ??+--??? ??x y x y x y x y 令,x y u =则,dx du x u dx dy +=方程化为,1222u u u u dx du x u +--=+ 分离变量得? ? ????-+--??? ??--112212121u u u u ,x dx du = 两边积分得 ,ln ln ln 2 1 )2ln(23)1ln(C x u u u +=----

微分方程复习题(1)

常微分方程复习题 一、填空题 1．微分方程0)(22=+-+x y dx dy dx dy n 的阶数是____________. 答：1 2．形如_ 的方程称为齐次方程. 答： )(x y g dx dy = 3．方程04=+''y y 的基本解组是 ． 答：cos 2,sin 2x x . 1. 二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 ． 答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） 2. 方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ． 答：x x x e ,e 3. 若()t ?和()t ψ都是()X A t X ''=的基解矩阵，则()t ?和()t ψ具有的关系是 。 4.一阶微分方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 是全微分方程的充分必要条件是 。 5. 方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只含x 的积分因子的充要条件是 。有只含y 的积分因子的充要条件是 。 6. 一曲线经过原点，且曲线上任意一点()y x ,处 的切线斜率为y x +2，则曲线方程为 。 7. 称为n 阶齐线性微分方程。 8. 常系数非齐线性方程()(1)11()n n x n n m y a y a y a y e P x α--'+++=(其中()m P x 是m 次多项式)中，则方程有形如 的特解。 9. 二阶常系数线性微分方程32x y y y e '''-+=有一个形如 的特解。

10. 微分方程4210y y y ''''''+-=的一般解为 。 9. 微分方程4 230xy y y ''''++=的阶数为 。 10. 若()(0,1,2, ,)i x t i n =为齐次线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的 通解可表为 . 11. 设()x t 为非齐次线性方程的一个特解, ()(0,1,2, ,)i x t i n =是其对应的齐次线性 方程的一个基本解组, 则非齐线性方程的所有解可表为 . 12. 若()(0,1,2, ,)i x t i n =是齐次线性方程()(1)11()()()0 n n n n y a x y a x y a x y --'+++=的n 个解，)(t w 为其朗斯基行列式，则)(t w 满足一阶线性方程 。 答：1()0w a x w '+= 13. 函数 是微分方程02=-'-''y y y 的通解. 14. 方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ． 15. 常系数方程有四个特征根分别为11,0,1λ=-(二重根)，那么该方程有基本解组 ． 16. ()Y A x Y '=一定存在一个基解矩阵()x Φ，如果()x ψ是()Y A x Y '=的任一解，那么()x ψ= 。 17.若)(t Φ是()X A t X '=的基解矩阵，则向量函数)(t ?= 是 ()()X A t X F t '=+的满足初始条件0)(0=t ?的解；向量函数)(t ?= 是()()X A t X F t '=+的满足初始条件η?=)(0t 的解。 18. 设12(),()X t X t 分别是方程组1()()X A t X F t '=+，2()()X A t X F t '=+的解，则满足方程12()()()X A t X F t F t '=++的一个解可以为 。 19. 设* X 为非齐次线性方程组()()X A t X F t '=+的一个特解, )(t Φ是其对应的齐次线性方程组()X A t X '=的基解矩阵, 则非齐线性方程组()()X A t X F t '=+的所有解可表为 . 20.方程组()X A t X '=的n 个解12(),(), ,()n X t X t X t 线性无关的充要条件

【习题】第二章一阶微分方程的初等解法

第二章 一阶微分方程的初等解法 x 2-1已知f(x) f(t)dt 1, x 0,试求函数f (x)的一般表达式。 0 x 解 对方程f(x) f (t)dt 1，两边关于x 求导得 x f (x) f (t)dt f 2(x) 0， f (X)丄 f(x) f 2(x) 0 ， 分离变量，可求得 代入原方程可得 C 0,从而f(x)的一般表达式为f (x) 评注：本题中常数的确定不能直接通过所给积分方程得到, 确定。 解由导数的定义可得 x(t s) x(t) x (t) lim s 0 s 2 |im x(s) x (t)x(s) s 0 [1 x(t)x(s)]s lim 丄辿型 s 01 x(t)x(s) s 显然可得x(0) 0，故 分离变量，再积分可得 x(t) [1 2 x (t)] !i 叫 x(s) x(0) s x (0) [1 x 2(t)] f(x) 、2(x C)' 1 2x 。 而是需将通解代回原方程来 2-2求具有性质x(t S) x(t) x(s) 1 x(t)x(s) 的函数x(t)，已知x (0)存在。

x(t) tan[x(O)t C], 再由x(0) 0,知C 0,从而x(t) ta n[x(0)t]。 评注：本题是函数方程的求解问题，利用导数定义建立微分关系，转化为求解常微分方程的初值问题。 2-3 若M(x,y)x N(x,y)y 0，证明齐次方程M (x, y)dx N(x,y)dy 0 有积分因 1 xM(x,y) yN(x, y) 证方法1用凑微分法求积分因子。 我们有恒等式 M (x, y)dx N (x, y)dy 1 dx dv 2 {(M(x，y)x N(x，v)v)U 寺(M(x，v)x 鱼din (xy)， x y 空翌din仝， x y y 所以原方程变为 -{( M (x, y)x N (x, y)y)d ln(xy) (M (x, y)x N (x, y)y)d ln —} 0。 2 y 1 1 M (x, y)x N(x, y)y「x -d ln(xy) d in 0， 2 2 M(x,y)x N(x,y)y y 由于M( x ,y) x N(x, y)y 为零次齐次函数，故它可表成仝的某一函数，记为f (上)，M (x,y)x N(x, y)y y y I X MX" N(x,y)y % 巧F(in^)， M(x,y)x N(x,y)y y y N (x，y)y)(￥3)} y 用(x,y) 1 M(x,y)x 乘上式两边，得 N(x,y)y

偏微分方程数值解复习题(2011硕士)

偏微分方程数值解期末复习（2011硕士） 一、考题类型 本次试卷共六道题目，题型及其所占比例分别为： 填空题20%；计算题80% 二、按章节复习内容 第一章 知识点：Euler法、向前差商、向后差商、中心差商、局部截断误差、整体截断误差、相容性、收敛性、阶、稳定性、显格式、隐格式、线性多步法、第一特征多项式、第二特征多项式、稳定多项式、绝对稳定等； 要求: 会辨认差分格式, 判断线性多步法的误差和阶; 第二章 知识点：矩形网格、(正则,非正则)内点、边界点、偏向前(向后,中心)差商、五点差分格式、增设虚点法、积分插值法、线性椭圆型差分格式、极值原理、比较定理、五点差分格式的相容收敛和、稳定性等； 要求: 建立椭圆型方程边值问题的差分格式, 极值原理; 第四章 知识点：最简显格式、最简隐格式、CN格式、双层加权格式、Richardson 格式、网格比、传播因子法(分离变量法) 、传播因子、传播矩阵、谱半径、von Neumann条件、跳点格式、ADI格式、线性椭圆型差分格式、极值原理、比较定理、五点差分格式的相容收敛和稳定性等； 要求: 建立抛物型方程边值问题的差分格式, 计算局部截断误差; 第五章 知识点：左偏心格式、右偏心格式、中心格式、LF格式、LW格式、Wendroff 格式、跳蛙格式、特征线、CFL条件等； 要求: 建立双曲型方程边值问题的差分格式, 计算局部截断误差; 第七章 要求: 会用线性元(线性基)建立常微分方程边值问题的有限元格式

三 练习题 1、 已知显格式21131()22 n n n n u u h f f +++-=-，试证明格式是相容的，并求它的阶。 P39+P41 2、用Taylor 展开原理构造一元函数一阶导数和二阶导数的数值微分公式。 提示：向前、向后和中心差商与一阶导数间关系，二阶中心差商与二阶导数 之间的关系 课件 3、用数值微分方法或数值积分方法建立椭圆型方程 2222(,),(,),u u f x y x y x y ??--=?∈Ω?? :01,01x y Ω≤≤≤≤ 内点差分格式。 P75+课件 4、构造椭圆型方程边值问题的差分格式. P101 (4)题 5、构建一维热传导方程220,(0)u u Lu a a t x ??=-=>??的数值差分格式(显隐格式等)。 参考P132-135相关知识点 6、设有逼近热传导方程22(0)u u Lu a f a const t x ??≡-==>??的带权双层格式 ()()1111111122(1)2k k j j k k k k k k j j j j j j u u a u u u u u u h θθτ++++-+-+-??=-++--+?? 其中[0,1]θ∈，试求其截断误差。并证明当2 1212h a θτ=-时，截断误差的阶最 高阶为24()O h τ+。 P135+P165+课件 7、传播因子法证明抛物型方程22(0)u u Lu a f a const t x ??≡-==>??的最简显隐和六点CN 格式稳定性。 P156+课件 8、对一阶常系数双曲型方程的初边值问题 0,0,0,0,(,0)(),0,(0,)(),0, u u a t T x a t x u x x x u t t t T φψ???+=<≤<<∞>?????=≤<∞??=≤≤?

微分方程例题选解

微分方程例题选解 1. 求解微分方程3ln (ln )0,|2 x e x xdy y x dx y =+-==。 解：原方程化为 x y x x dx dy 1ln 1=+， 通解为 ?+? ?=-]1[ln 1ln 1C dx e x e y dx x x dx x x ?+=]ln [ln 1C dx x x x ]ln 21[ln 12C x x += 由e x =，23=y ，得1=C ，所求特解为 11 ln ln 2 y x x = +。 2. 求解微分方程22'0x y xy y -+=。 解：令ux y =，u x u y '+='，原方程化为 2 u u u x u -='+， 分离变量得 dx x u du 1 2 =-， 积分得 C x u +=ln 1 ， 原方程的通解为 ln x y x C = +。 3. 求解微分方程dy y y x dx xy x )()(3223+=-。 解：此题为全微分方程。下面利用“凑微分”的方法求解。 原方程化为 03 2 2 3 =---dy y ydy x dx xy dx x ， 由 dy y ydy x dx xy dx x 3 2 2 3 --- 42222441 )(2141dy dy x dx y dx -+-= )2(41 4224y y x x d --=， 得 0)2(4 224=--y y x x d ， 原方程的通解为 C y y x x =--4 2 2 4 2。 注：此题也为齐次方程。 4. 求解微分方程2''1(')y y =+。 解：设y p '=，则dx dp y =''，原方程化为 21p dx dp +=， 分离变量得 dx p dp =+2 1，积分得 1arctan C x p +=， 于是 )tan(1C x p y +=='， 积分得通解为 12ln cos()y x C C =-++。 5. 求解微分方程''2'20y y y -+=。 解：特征方程为 0222 =--r r ，特征根为 i r ±=1， 通解为12(cos sin )x y e C x C x =+。

偏微分方程数值解期末试题及答案(内容参考)

偏微分方程数值解试题(06B) 参考答案与评分标准 信息与计算科学专业 一（10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(2 1 )(n R x x b x Ax x J ∈-= ，)()(0x x J λλ?+=.若0)0('=?,则称称0x 是)(x J 的驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点,对于任意的n R x ∈,令 ),(2 ),()()()(2 000x Ax x b Ax x J x x J λλλλ?+ -+=+=, (3分) 0)0('=?,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有 0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若 n R x ∈0满足 b Ax =0,则对于任意的 x ,)(),(2 1 )0()1()(00x J x Ax x x J >+ ==+??,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分) 评分标准:)(λ?的展开式3分, 每问3分,推理逻辑性1分 二（10分）、 对于两点边值问题：????? ==∈=+-=0 )(,0)() ,()(' b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ] ,[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和 Galerkin 形式的变分方程。 解: 设}0)(),,(|{11 =∈=a u b a H u u H E 为求解函数空间,检验函数空间.取),(1 b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分) )().(),(v f fvdx dx quv dx dv dx du p v u a b a b a ==+=??,),(1 b a H v E ∈? 即变分问题的Galerkin 形式. (3分)

一阶微分方程典型例题

一阶微分方程典型例题 例1 在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为N ，在0=t 时刻已掌握新技术的人数为0x ，在任意时刻t 已掌握新技术的人数为)(t x (将)(t x 视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术的人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数0>k ，求)(t x . 解 由题设知未掌握新技术人数为)(t x N ?，且有 )(x N kx dt dx ?=，00x x t == 变量分离后，有 kdt x N x dx =?)(，积分之，kNt kNt ce cNe x +=1，由00x x t ==，求得 0 0x N x c ?= 例2 求2 sin 2sin y x y x y ?=++′的通解. 解：利用三角公式将方程改写为2sin 2cos 2y x y ?=′.当02 sin ≠y 时，用它除方程的两端，得变量分离方程dx x y dy 2cos 22 sin ?=, 积分之，得通积分 2 sin 44tan ln x c y ?=. 对应于02 sin =x ，再加特解 ),2,1,0(2"±±==n n y π. 在变量分离时，这里假设02sin ≠y ，故所求通解中可能会失去使 02 sin =y 的解.因此，如果它们不能含于通解之中的话，还要外加上这种形式的特解. 例3 求微分方程 x xe y y x =+′ 满足条件11==x y 的特解.

解法1 把原方程改写为x e y x y =+′1，它是一阶线性方程，其通解为 ()11()()1()1dx dx p x dx p x dx x x x x y e q x e c e e e dx c x e c x ????∫∫??∫∫??=+=?+=?+?????????? ∫∫ 用1,1==y x 代入，得 1=c ，所以特解为x e x x y x 11+?=. 解法2 原方程等价于x xe xy dx d =)(，积分后，得c e x xy x +?=)1(. 当 1,1==y x 时， 1=c 故所求特解为x e x x y x 11+?=. 例4 求方程 0)cos 2()1(2=?+?dx x xy dy x 满足初始条件 10 ==x y 之特解. 解 将原方程改写为1 cos 1222?=?+x x y x x dx dy . 于是，通解为 ????????+∫?∫=∫??? c dx e x x e y dx x x dx x x 12212221cos 即 1sin 2?+=x c x y ， 由01x y ==，得1c =?，故特解为2sin 11 x y x ?=?. 例5 求方程 4y x y dx dy +=的通解. 解 将原方程改写成以 为未知函数的方程 31y x y dx dy =?. 于是，由一阶线性方程的通解公式，得 ?? ????+=????????+∫∫=∫?c y y c dy e y e x dy y dy y 313131 在判断方程的类型时，不能只考虑以y 为因变量的情况.因有些方程在以 x 为因变量时方能为线性方程或伯努利方程，解题时必须全面分析.

北京理工大学数学专业偏微分方程期末试题2014级A卷(MTH17178)

课程编号：MTH17178 北京理工大学2016-2017学年第一学期 2014级偏微分方程期终考试（A ） 1.（10分）利用特征线方法求解一阶波动方程初值问题：()22,,0,0,t x x u u u x t u x e x -+=∈>???=∈?? 。 2.（10分）利用Fourier 变换方法求解：()() (),,,0,0,t x u bu cu f x t x t u x x x ?--=∈>???=∈?? 。 3.（10分）利用行波法求解：()()()()0,,,0,,0 tt xx u u t x u x x x x u x x x x ?ψ?-=>?-=?。 给出适当的相容性条件。如果?在(],0a -上给定，ψ在[)0,b 上给定，给出其决定区域。 4.（15分）求解初边值问题：()()()20,01,00,0,1,0,0,0,01 t xx x x u a u u x t u t u t t u x A x ?-+=<<>?==>??=<?==∈??=+=≥? 推导边界条件齐次化的公式（不需要解方程）。 6.（13分）对于有界区域()(],0,T Q a b T =?上的热方程()2 ,0t xx u a u c x t u -+=，其中(),c x t 下有界，证明如果(),u x t 在抛物边界上非正，则(),u x t 在T Q 上非正。 7.（15分）考虑波动方程初边值问题[]()()()()[]()()()20,0,,0,0,,0,0,0,0,,,0,0 tt xx t x x u a u x L t u x x u x x x L u t u L t u L t t ?ψσ?-=∈>?==∈??=+=≥?，其中 0σ>，令t 时刻的能量()()()22222011,22 L t x E t u a u dx a u L t σ=++?，证明()E t 守恒，并由此证明相应的一般非齐次方程非齐次初边值问题的解的唯一性。 8.（20分）设() ()1,02,1T T u C Q C Q ∈ 且满足初边值问题()()()()[]()()[] ,,,,0,0,0,,0,0,t xx T x u u f x t x t Q u x x x L u t u L t t T ??-=∈?=∈??==∈?，证明：[]()()()()22220000000,sup ,,,L T L L T L x t T u x t dx dt u x t dx M x dx dt f x t dx ?∈??+≤+??????????，其中M 仅依赖于T 。 提示：Gronwall 不等式：设(][]1 0,0,G C T C T ∈ ，()00G =，且对于任意的[]0,t T ∈，有()()()G t CG t F t '≤+，其中C>0，F 非负单调递增，则有 ()()()()()11,Ct Ct G t C e F t G t e F t -'≤-≤。

【典型例题】 第三章 一阶微分方程的解的存在定理

第三章 一阶微分方程的解的存在定理 例3-1 求方程 22y x dx dy += 满足初始条件0)0(=y 的解的逐次逼近)(),(),(321x y x y x y ，并求出h 的最大值，其中h 的意义同解的存在唯一性定理中的h 。 解 函数2 2 ),(y x y x f +=在整个平面上有意义，则在以原点为中心的任一闭矩形区域 b y a x D ≤≤,:上均满足解的存在唯一性定理的条件，初值问题?????=+=0 )0(22y y x dx dy 的解在],[h h -上存在唯一，其中)(max ),, min(22),(y x M M b a h D y x +==∈。 因为逐次逼近函数序列为 ?-+=x x n n dx x y x f y x y 0 ))(,()(10， 此时，2 200),(,0,0y x y x f y x +===，所以 0)(0=x y ， ?=+=x x dx x y x x y 03 2 02 13 )]([)(， | 63 3)]([)(7 032 12 2x x dx x y x x y x +=+=?， ?? +++=+=x x dx x x x x dx x y x x y 0 14 1062 2 223)3969 18929()]([)( 59535 20792633151173x x x x +++=。 现在求h 的最大值。 因为 ),, min(2 2b a b a h += 对任给的正数b a ,，ab b a 22 2 ≥+，上式中，当 b a = 时， 2 2b a b +取得最大值

a ab b 21 2= 。 此时，)21,min()2, min(a a ab b a h ==，当且仅当a a 21 = ，即22==b a 时，h 取得最大值为 2 2 。 评注：本题主要考查对初值问题的解的存在唯一定理及其证明过程的基本思想（逐次逼近方法）的理解。特别地，对其中的b y a x D y x f M M b a h D y x ≤≤==∈,:),,(max ),, min(),(等常数意义的理解和对逐次逼近函数列? -+=x x n n dx x y x f y x y 0 ))(,()(10的构造过程的理 解。 例3-2 证明下列初值问题的解在指定区间上存在且唯一。 1） 2 1 0,0)0(cos 2 2≤ ≤=+='x y x y y ，。 2） 32 2 )2 1 (0,0)0(≤≤=+='x y y x y ， 。 | 证 1） 以原点为中心作闭矩形区域1,2 1 :≤≤ y x D 。 易验证2 2 cos ),(x y y x f +=在区域D 上满足解的存在唯一性定理的条件，求得 2cos m ax 22),(=+=∈x y M D y x ，则2 1 )21,21min(==h 。 因此初值问题 ?? ?=+='0 )0(cos 2 2y x y y 的解在]21,21[- 上存在唯一，从而在区间]2 1 ,0[上方程 cos 22， x y y +='满足条件0)0( =y 的解存在唯一。 2） 以原点为中心作闭矩形区域b y a x D ≤≤,:。 易验证x y y x f +=2 ),(在D 上满足解的存在唯一性定理的条件，并求得 22),(m ax b a x y M D y x +=+=∈，

最新偏微分方程期末复习笔记

《偏微分方程》期末考试复习 一、波动方程(双曲型方程)U tt -a 2U xx 二f (x,t) (一)初值问题(柯西问题) < 2 U tt —a U xx = f(x,t) 1、一维情形 Ut t^a (x) (1) 解法(传播波法)： 由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之 和， * 2 * 2 U tt —a U xx =o U tt —a U xx = f (x,t) (i) J U t^=

②决定区域：区间［x1，X2】的决定区域为：{(x,t)|捲? at込x込X2-at}

微分方程习题及答案

微分方程习题 §1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 （2）?'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt 2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数） （一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.） （1）1)(22=++y C x ； （2）x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 （1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。 （2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。 （3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程 1.求下列微分方程的通解 （1）2211y y x -='-； （2）0tan sec tan sec 22=?+?xdy y ydx x ； （3） 23xy xy dx dy =-； （4）0)22()22 (=++-++dy dx y y x x y x . 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,02=='=-x y x y e y ； （2）2 1 ,12= =+'=x y y y y x

3. 求下列微分方程的通解 （1）)1(ln +='x y y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解 （1） 1 ,0 22=-==x y y x xy dx dy ； （2）1 ,02)3(0 22==+-=x y xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程 （1）2)(y x y +='； （2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11 +-= 'y x y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y 6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a . 7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系. 8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？ 9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？

偏微分方程期末试题A卷

安徽大学20 08 —20 09 学年第 二 学期 《 偏微分方程 》考试试卷（A 卷） （闭卷 时间120分钟） 院/系 年级 专业 姓名 学号 一、填空题（每小题3分，共15分） 1.对常系数方程x y z u au bu cu du f ?++++=作未知函数的变换 可以将所有一阶微商消失. 2.设:R R Φ→是光滑凸函数，(,)u x t 是热传导放程0t u u -?=的解，则()u Φ是热传导方程 的 (下解;上解；解). 3.上半平面的Green 函数G(x,y)为 ，其中12(,)y y y =为上半平面中某固定点. 4．设函数u 在以曲面Γ为边界的区域Ω内调和，在ΩΓ 上有连续的一阶偏导数，则u dS n Γ ????= ，其中n 是Γ的外法方向. 5.热传导方程2()0t xx yy u a u u -+=的特征曲面为 ．

二、计算题（每小题10分，共40分） 1．求解初值问题 0,(,)(0,)(,0),,t x u bu cu x t R u x g x R ++=∈?∞??=∈? 其中，,b c R ∈都是常数. 2.试用延拓法求解半有界直线上的热传导方程的边值问题： 200 0,0,0,|(), |0.t xx t x u a u x t u x u ?==?-=>>? =??=?

3．试求解 2 2 008(), |,|.tt xx yy zz t t t u u u u t u xy u z ==?-++=??==?? 4．写出定解问题： 200 (),0,0,|0,|0, |().t xx x x l t u a u f x x l t u u u g x ===?-=<<>? ==??=? 解的一般形式.

高等数学第九章微分方程试题及答案

第九章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意 常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。 三、可降阶的高阶微分方程

微分方程例题选解演示教学

微分方程例题选解

微分方程例题选解 1. 求解微分方程3ln (ln )0,|2x e x xdy y x dx y =+-== 。 解：原方程化为 x y x x dx dy 1ln 1=+， 通解为 ?+??=-]1[ln 1ln 1C dx e x e y dx x x dx x x ?+=]ln [ln 1C dx x x x ]ln 2 1[ln 12C x x += 由e x =，23=y ，得1=C ，所求特解为 11ln ln 2 y x x =+。 2. 求解微分方程22'0x y xy y -+=。 解：令ux y =，u x u y '+='，原方程化为 2u u u x u -='+， 分离变量得 dx x u du 12=-， 积分得 C x u +=ln 1， 原方程的通解为 ln x y x C =+。 3. 求解微分方程dy y y x dx xy x )()(3223+=-。 解：此题为全微分方程。下面利用“凑微分”的方法求解。 原方程化为 03223=---dy y ydy x dx xy dx x ， 由 dy y ydy x dx xy dx x 3223--- 4222244 1)(2141dy dy x dx y dx -+-= )2(4 14224y y x x d --=， 得 0)2(4224=--y y x x d ， 原方程的通解为 C y y x x =--42242。 注：此题也为齐次方程。 4. 求解微分方程2''1(')y y =+。 解：设y p '=，则dx dp y =''，原方程化为 21p dx dp +=， 分离变量得 dx p dp =+2 1，积分得 1arctan C x p +=， 于是 )tan(1C x p y +=='， 积分得通解为 12ln cos()y x C C =-++。 5. 求解微分方程''2'20y y y -+=。 解：特征方程为 0222=--r r ，特征根为 i r ±=1，

偏微分方程期末考试试题(06)

课程名称：偏微分方程数值解法 课程编号：24014110 适用专业（班级）：数学 共1页 命题人：潘晓丽 教研室主任： 第1页 一、（15分）写出三类典型泛定方程并分别说明其名称和特点. 二、（10分）求一维波动方程()()()()()22 222 ,,0,0,,0t u u a x t t x u x x u x x ?ψ???=-∞<<+∞>?????==? 的通解. 三、（15分）写出达朗贝尔公式并利用公式求解 ()()()2,0,,0sin ,0cos tt xx t u a u t x u x x u x x ?=>-∞<<+∞? =?? =? 四、（10分）计算积分()32x J x dx -?. 五、（15分）设1,1≥≥n m ，证明 ()()()dx x p x m dx x p x n m n m n m ??--=++1 111 1 六、（15分）用分离变量法求解 ()()()()()20,0,0,00,,00,0,,0 tt xx t u a u x l t u x u x x u t u l t ?-=<<>? ==?? ==? 七、（10分）解固有值问题()()()''0,''0 y y l x l y l y l λ+=-<

课程名称：偏微分方程数值解法 课程编号：24014110 适用专业（班级）：数学 共1页 命题人：潘晓丽 教研室主任： 第1页 一、解：波动方程：()22 2,u a u f t x t ?=?+? 热传导方程： ()2,u a u f t x t ?=?+? 位势方程：()u f x ?= ……………………….5分 其中()12,,,n x x x x = ，a 为常数，(),f t x 及()f x 为已知函数，在波动方程及 热传导方程中，未知函数u 是时间变量t 和空间坐标变量()12,,,n x x x x = 的函数，在位势方程中，未知函数u 是空间坐标变量()12,,,n x x x x = 的函数，而与时间t 无关，三类典型方程均为二阶线性偏微分方程。……………………….15分 二、解：首先判别方程的类型， 20a ?=> ………………………2分 即此方程在整个全平面上都是双曲型的。 特征方程为：()()2 2 20dx a dt -= () ()2 2 200dx a dt dx adt -=?= 特征曲线为1 2 x at c x at c -=??+=? ………………………6分 做变量替换，令x at x at ξη=-??=+?， 由链式法则得 0u ξη= 通解()()()()u f g f x at g x at ξη=+=-++ ……………………….10分