七年级上册数学全册单元试卷测试卷附答案

七年级上册数学全册单元试卷测试卷附答案

一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）

1．

（1）如图①，已知：Rt△ABC中，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE=BD+CE；

（2）如图②，将(1)中的条件改为：△ABC中，AB=AC，并且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC=2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和．

【答案】（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，

∴∠BDA=∠CEA=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=90°，

∵∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠CAE=∠ABD，

在△ADB和△CEA中，

∴△ADB≌△CEA(AAS)，

∴AE=BD，AD=CE，

∴DE=AE+AD=BD+CE；

（2）解：结论DE=BD+CE成立；理由如下：

∵∠BDA=∠BAC=α，

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，

∴∠CAE=∠ABD，

在△ADB和△CEA中，

∴△ADB≌△CEA(AAS)，

∴AE=BD，AD=CE，

∴DE=AE+AD=BD+CE；

（3）解：∵∠BAD>∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，

∴∠CAE=∠ABD，

在△ABD和△CEA中，

∴△ABD≌△CEA(AAS)，

∴S△ABD=S△CEA，

设△ABC的底边BC上的高为h，则△ACF的底边CF上的高为h，

∴S△ABC= BC?h=12，S△ACF= CF?h，

∵BC=2CF，

∴S△ACF=6，

∵S△ACF=S△CEF+S△CEA=S△CEF+S△ABD=6，

∴△ABD与△CEF的面积之和为6．

【解析】【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA，则AE=BD，AD=CE，即可得出结论；（2）由∠BDA=∠BAC=α，则∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，得出∠CAE=∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA即可得出答案；（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，∴∠CAE=∠ABD，得出∠CAE=∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA，得出S△ABD=S△CEA，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S△ACF即可得出结果．

2．

（1）问题发现：如图 1，已知点 F，G 分别在直线 AB，CD 上，且 AB∥CD，若∠BFE=40°，∠CGE=130°，则∠GEF 的度数为________；

（2）拓展探究：∠GEF，∠BFE，∠CGE 之间有怎样的数量关系？写出结论并给出证明；答：∠GEF=▲ .

证明：过点 E 作 EH∥AB，

∴∠FEH=∠BFE（▲），

∵AB∥CD，EH∥AB，（辅助线的作法）

∴EH∥CD（▲），

∴∠HEG=180°-∠CGE（▲），

∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=▲ .

（3）深入探究：如图 2，∠BFE 的平分线 FQ 所在直线与∠CGE 的平分线相交于点 P，试探究∠GPQ 与∠GEF 之间的数量关系，请直接写出你的结论.

【答案】（1）90°

（2）解：∠GEF＝∠BFE＋180°?∠CGE，

证明：过点 E 作 EH∥AB，

∴∠FEH=∠BFE（两直线平行，内错角相等），

∵AB∥CD，EH∥AB，（辅助线的作法）

∴EH∥CD（平行线的迁移性），

∴∠HEG=180°-∠CGE（两直线平行，同旁内角互补），

∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=∠BFE＋180°?∠CGE ，

故答案为：∠BFE＋180°?∠CGE；两直线平行，内错角相等；平行线的迁移性；两直线平行，同旁内角互补；∠BFE＋180°?∠CGE；

（3）解：∠GPQ＋∠GEF＝90°，

理由是：如图2，∵FQ平分∠BFE，GP平分∠CGE，

∴∠BFQ＝∠BFE，∠CGP＝∠CGE，

在△PMF中，∠GPQ＝∠GMF?∠PFM＝∠CGP?∠BFQ，

∴∠GPQ＋∠GEF＝∠CGE? ∠BFE＋∠GEF＝ ×180°＝90°.

即∠GPQ＋∠GEF＝90°.

【解析】【解答】（1）解：如图1，过E作EH∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EH，

∴∠HEF＝∠BFE＝40°，∠HEG＋∠CGE＝180°，

∵∠CGE＝130°，

∴∠HEG＝50°，

∴∠GEF＝∠HEF＋∠HEG＝40°＋50°＝90°；

故答案为：90°；

【分析】（1）如图1，过E作EH∥AB，根据平行线的性质可得∠HEF＝∠BFE＝40 ，∠HEG＝50 ，相加可得结论；（2）由①知：∠HEF＝∠BFE，∠HEG＋∠CGE＝180°，则∠HEG＝180°?∠CGE，两式相加可得∠GEF＝∠BFE＋180°?∠CGE；（3）如图2，根据角平

分线的定义得：∠BFQ＝∠BFE，∠CGP＝∠CGE，由三角形的外角的性质得：∠GPQ＝

∠GMF?∠PFM＝∠CGP?∠BFQ，计算∠GPQ＋∠GEF并结合②的结论可得结果.

3．将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O

（1）如图①，若∠AOB=155°，求∠AOD、∠BOC、∠DOC的度数.

（2）如图①，你发现∠AOD与∠BOC的大小有何关系？∠AOB与∠DOC有何关系？直接写出你发现的结论.

（3）如图②，当△AOC与△BOD没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由.

【答案】（1）解：∵

而

同理：

∴

∴

（2）解：∠AOD与∠BOC的大小关系为：∠AOB与∠DOC存在的数量关系为：

（3）解：仍然成立.

理由如下：∵

又∵

∴

【解析】【分析】（1）先计算出

再根据

（2）根据(1)中得出的度数直接写出结论即可.（3）根据

即可得到利用周角定义得∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD=360°，而∠AOC=∠BOD=90°，即可得到∠AOB+∠DOC=180°．

4．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

（1）探究：

①数轴上表示5和2的两点之间的距离是多少．

②数轴上表示﹣2和﹣6的两点之间的距离是多少．

③数轴上表示﹣4和3的两点之间的距离是多少．

（2）归纳：

一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．

应用：

①如果表示数a和3的两点之间的距离是7，则可记为：|a﹣3|=7，求a的值．

②若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，求|a+4|+|a﹣3|的值．

③当a取何值时，|a+4|+|a﹣1|+|a﹣3|的值最小，最小值是多少？请说明理由．

（3）拓展：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：A1， A2， A3，A4， A5，…A2014，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在什么线段上，才能使这2014户居民到点P的距离总和最小.

【答案】（1）解：①数轴上表示5和2的两点之间的距离是3．

②数轴上表示﹣2和﹣6的两点之间的距离是4．

③数轴上表示﹣4和3的两点之间的距离是7．

（2）解：①如果表示数a和3的两点之间的距离是7，则可记为：|a﹣3|=7，a=10或﹣4．

②若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，

|a+4|+|a﹣3|=a+4+3﹣a=7；

③当a=1时，|a+4|+|a﹣1|+|a﹣3|取最小值，|a+4|+|a﹣1|+|a﹣3|最小=5+0+2=7，

理由是：a=1时，正好是3与﹣4两点间的距离．

（3）解：点P选在A1007A1008这条线段上

【解析】【分析】（1）根据两点间的距离公式：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|，分别计算可得出答案。

（2）① 利用绝对值等于7的数是±7，就可得出a-3=±7，解方程即可；② 由已知数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，可得出a+4＞0，a-3＜0，先去掉绝对值，再合并同类项即可；③ 根据线段上的点到线段两端的距离的和最短，可得出答案。

（3）画出数轴，即可解答此题。

5．如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD．

（1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，∠MON＝________°；

（2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度

数；

（3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜120），则n＝________时，∠MON＝2∠BOC．

【答案】（1）100

（2）解：①当0＜n＜60°时，∠AOC=∠AOB-∠BOC=120°－n，∠BOD=60°－n，

∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON= ∠AOC+n+ ∠BOD= （120°-n）+n+ （60°－n）=100°；

②当60°＜n＜120°时，∠AOC=120°－n，∠COD=60°，∠BOD=n-60°，∠MOC= ∠AOC，

∠DON= ∠BOD，∴∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON= （120°-n）+60°+ （n-60°）=100°．

综上所述：∠MON的度数恒为100°

（3）解：①当0＜n＜60°时，∠BOC=n，∠MON=2n，∴∠MON= （120°+n）+60°-

（60°+n）=100°；解得：n=50°；

②当60°＜n＜120°时，∠AOC=360°-（120°+n）=240°－n，∠BOD=60°+n，∴∠MON=360°

－∠AOM－∠AOB－∠BON=360°－（240°-n）－120°－（60°+n）=140°，解得：n=70°．

综上所述：n=50°或70°

【解析】【解答】解：（1）∠MON= ∠AOB+ ∠COD=100°；

【分析】（1）由∠AOM＝∠AOC，∠AOC= ∠AOB，∠AOC=∠AOM+∠MOC得出

∠MOC= ∠AOB，又∠BON＝∠BOD，从而由∠MON= ∠AOB+ ∠COD即可算出答案；

（2）需要分类讨论：①当0＜n＜60°时，根据旋转的性质得出∠AOC=∠AOB-∠BOC=120°－n，∠BOD=60°－n，由∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON整体替换再化简即可得出答案；

②当60°＜n＜120°时，根据旋转的性质得出∠AOC=120°－n，∠COD=60°，∠BOD=n-

60°，∠MOC= ∠AOC，∠DON= ∠BOD，由∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON整体替换再化简即可得出答案；

（3）分类讨论：①当0＜n＜60°时，∠BOC=n，∠MON=2n，又∠MON=∠MOB+∠BOC-

∠NOC = （120°+n）+60°- （60°+n）=100°，从而列出方程，求解得出n的值；②当60°＜n＜120°时，∠BOC=n，∠MON=2n，∠AOC=360°-（120°+n）=240°－n，∠BOD=60°+n，又∠MON=360°－∠AOM－∠AOB－∠BON，从而整体整体代入化简并列出方程，求解即可。

6．如图，在数轴上有两点A、B，点A表示的数是8，点B在点A的左侧，且AB=14，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．

（1）写出数轴上点B表示的数：________ ；点P表示的数用含t的代数式表示为________ ．

（2）动点Q从点B出发沿数轴向左匀速运动，速度是点P速度的一半，动点P、Q同时出发，问点P运动多少秒后与点Q的距离为2个单位？

（3）若点M为线段AP的中点，点N为线段BP的中点，在点P的运动过程中，线段MN 的长度是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段MN的长．

【答案】（1）点B表示的数－6；点P表示的数8－4t

（2）解：设点P运动x秒时，点P与点Q的距离是2个单位长度，则AP=4x，BQ=2x，

如图1时，AP+2=14+BQ，即4x+2=14+2x，解得：x=6，

如图2时，AP=14+BQ+2，即4x=14+2x+2，解得：x=8，

综上，当点P运动6秒或8秒后与点Q的距离为2个单位

（3）解：线段MN的长度不发生变化，都等于7；理由如下：

∵①当点P在点A、B两点之间运动时：

MN=MP+NP= AP+ BP= （AP+BP）= AB= ×14=7，

②当点P运动到点B的左侧时：

MN=MP-NP= AP- BP= （AP-BP）= AB=7，

∴线段MN的长度不发生变化，其值为7．

【解析】【解答】解：（1）∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=14，

∴点B表示的数是8-14=-6，

∵动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t＞0）秒，

∴点P表示的数是8-4t．

故答案为：-6，8-4t；

【分析】（1）根据题意由点A表示的数为8，B在A点左边，AB=14，得到点B表示的数，求出动点P表示的数的代数式；（2）由点P与点Q的距离是2个单位长度，得到AP+2=14+BQ和AP=14+BQ+2，求出点P运的时间；（3）当点P在点A、B两点之间运动时，MN=MP+NP，再由中点定义求出MN的值，当点P运动到点B的左侧时，MN=MP-NP，再由中点定义求出MN的值.

7．如图1，是直线上的点，线段，点分别是线段的中点.

（1）求线段的长；

（2）若，点在直线上，，求线段的长；

（3）若，点在直线上，，请直接写出线段的长________ .

（用含的式子表示）

【答案】（1）解：∵点分别是线段的中点，

∴，

∴

（2）解：由（1）知由，

当点在点左侧时，

，当点在点右侧时，

；∴OE的长为8cm或18cm.

（3）或或

【解析】【解答】解：（3）∵E为BC中点，

∴BE= ，

当点O在点A左边时，OE=16- +b，

当点O在线段AE上时，OE=16- -b，

当点O在线段BE上时，OE= -(16-b)=b+ -16，

当点O在B点右边时，OE=b+ -16，

故答案为：或或 .

【分析】（1）由中点的定义可得DC= AC，BE= BC，根据DE=DC+CE即可得答案；（2）由中点定义可求出BE的长，分别讨论点O在点A左边和右边两种情况，根据线段间的和差关系求出OE的长即可；（3）分别讨论点O在点A左边、线段AE上、线段BE上和点B 右边的情况，根据线段的和差关系即可得答案.

8．已知：在和中，，，将如图摆放，使得的两条边分别经过点和点 .

（1）当将如图1摆放时，则 ________度.

（2）当将如图2摆放时，请求出的度数，并说明理由.

（3）能否将摆放到某个位置时，使得、同时平分和？直接写出结论________（填“能”或“不能”）

【答案】（1）240

（2）∠ABD+∠ACD=40°；

理由如下：

∵∠E+∠F=100°

∴∠D=180°?(∠E+∠F)=80°

∴∠ABD+∠ACD=180°?∠A?∠DBC?∠DCB=180°?40°?(180°?80°)=40°；

（3）不能

【解析】【解答】解：(1)在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠A=40°

∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A=180°?40°=140°

在△BCD中,∠D+∠BCD+∠CBD=180°

∴∠BCD+∠CBD=180°?∠D

在△DEF中,∠D+∠E+∠F=180°

∴∠E+∠F=180°?∠D

∴∠CBD+∠BCD=∠E+∠F=100°

∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠CBD+∠ACB+∠BCD=140°+100°=240°；

故答案为：240；

( 3 )不能.假设能将△DEF摆放到某个位置时,使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB.则∠CBD+∠BCD=∠ABD+∠ACD=100°,那么∠ABC+∠ACB=200°，与三角形内角和定理矛盾，所以不能.

【分析】（1）要求∠ABD+∠ACD的度数,只要求出∠ABC+∠CBD+∠ACB+∠BCD,利用三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-40°=140°;∠CBD+∠BCD=∠E+∠F=100°,从而得出答案；

（2）要求∠ABD+∠ACD的度数，只要求出∠ABC+∠ACB-（∠BCD+∠CBD）的度数.根据三角形内角和定理，∠CBD+∠BCD=∠E+∠F=100°；根据三角形内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，得出∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-（∠BCD+∠CBD）=140°-100°=40°；

（3）不能，假设能将△DEF摆放到某个位置时，使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB，则∠CBD+∠BCD=∠ABD+∠ACD=100°，那么∠ABC+∠ACB=200°，与三角形内角和定理矛盾，所以不能.

9．如图

（1）如图1，AB∥CD，∠AEP=40°，∠PFD=130°。求∠EPF的度数。

小明想到了以下方法(不完整)，请填写以下结论的依据：

如图1，过点P作PM∥AB，

∴∠1=∠AEP=40°(________)

∵AB∥CD，(已知)

∴PM∥CD，(________)

∠2+∠PFD=180°(________)

∵∠PFD=130°，∴∠2=180°-130°=50°

∴∠1+∠2=40°+50°=90°

即∠EPF=90°

（2）如图2，AB∥CD，点P在AB，CD外，问∠PEA，∠PFC，∠P之间有何数量关系?请说明理由；

（3）如图3所示，在(2)的条件下，已知∠P=α，∠PEA的平分线和ZPFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数是________。(直接写出答案，不需要写出过程)

【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补

（2）解：

理由如下：过点作，则

∴

∵

∴

∵

∴

∴

即 .

（3）

【解析】【解答】（3）如图：

∵EG平分∠PEA，FG平分∠PFC，

∴∠1=∠PFC，∠2=∠PEA，

∴∠1-∠2=∠PFC-∠PEA=（∠PFC-∠PEA），

∵∠PFC=∠PEA+∠P，

∴∠PFC-∠PEA=∠P，

∴∠1-∠2=∠P，

∵∠3=∠P+∠2，

∴∠G=∠3-∠1=∠P+∠2-∠1=∠P=α.

【分析】（1）根据平行线的性质及平行公理，即可求解；

（2）过点P作PN∥AB，根据平行公理得PN∥CD，得出∠PFC=∠FPN，由AB∥CD得出∠PEA=∠NPE，

从而得出∠FPN=∠PEA+∠FPE，即可求出∠PFC=∠PEA+∠FPE，即可求解；

（3）根据角平分线的定义得出∠1=∠PFC，∠2=-∠PEA，由∠PFC=∠PEA+∠P，得出∠1-∠2=

∠P，由三角形的外角性质得出∠G=∠3-∠1，∠3=∠P+∠2，从而求出∠G=α.

10．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CE是∠ACB的平分线.

（1）若∠A=40°，∠B=76°，求∠DCE的度数；

（2）若∠A=α，∠B=β，求∠DCE的度数(用含α，β的式子表示)；

（3）当线段CD沿DA方向平移时，平移后的线段与线段CE交于G点，与AB交于H点，若∠A=α，∠B=β，求∠HGE与α、β的数量关系.

【答案】（1）解：∵∠A=40°，∠B=76°，

∴∠ACB=64°.

∵CE是∠ACB的平分线，

∴∠ECB ∠ACB=32°.

∵CD是AB边上的高，

∴∠BDC=90°，

∴∠BCD=90°﹣∠B=14°，

∴∠DCE=∠ECB﹣∠BCD=32°﹣14°=18°；

（2）解：∵∠A=α，∠B=β，

∴∠ACB=180°﹣α﹣β.

∵CE是∠ACB的平分线，

∴∠ECB ∠ACB (180°﹣α﹣β).

∵CD是AB边上的高，

∴∠BDC=90°，

∴∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣β，

∴∠DCE=∠ECB﹣∠BCD β α；

（3）解：如图所示.

∵∠A=α，∠B=β，

∴∠ACB=180°﹣α﹣β.

∵CE是∠ACB的平分线，

∴∠ECB ∠ACB (180°﹣α﹣β).

∵CD是AB边上的高，

∴∠BDC=90°，

∴∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣β，

∴∠DCE=∠ECB﹣∠BCD β α，

由平移可得：GH∥CD，

∴∠HGE=∠DCE β α.

【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠ACB的度数，根据角平分线的定义得到∠ECB的度数，根据余角的定义得到∠BCD=90°-∠B，于是得到结论；（2）根据角平分线

的定义得到∠ACB=180°-α-β，根据角平分线的定义得到∠ECB= ∠ACB= （180°-α-β），根据余角的定义得到∠BCD=90°-∠B=90°-β，于是得到结论；（3）运用（2）中的方法，得到

∠DCE=∠ECB-∠BCD= β- α，再根据平行线的性质，即可得出结论.

11．课题学习近平行线的“等角转化”功能．

阅读理解：

如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．

求∠BAC+∠B+∠C的度数．

（1）阅读并补充下面推理过程

解：过点A作ED∥BC，所以∠B＝∠EAB，∠C＝________．

又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，

所以∠B+∠BAC+∠C＝180°

解题反思：

从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．

方法运用：

（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．（提示：过点C作CF∥AB）

深化拓展：

（3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°．点B在点A的左侧，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间，求∠BED的度数．

【答案】（1）∠DAC

（2）解：如图2，过C作CF∥AB，

∵AB∥DE，

∴CF∥DE，

∴∠D＝∠FCD，

∵CF∥AB，

∴∠B＝∠BCF，

∵∠BCF+∠BCD+∠DCF＝360°，

∴∠B+∠BCD+∠D＝360°，

（3）解：如图3，过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，

∴∠ABE＝∠ABC＝30°，∠CDE＝∠ADC＝35°，

∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝30°+35°＝65°．

【解析】【解答】解：（1）∵ED∥BC，

∴∠C＝∠DAC，

故答案为∠DAC；

【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论；（2）过C作CF∥AB根据平行线的性质得到∠D=∠FCD，∠B=∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；（3）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数．

12．如图

（1）图中，∠ABC的两边和∠DEF的两边分别互相平行，既AB∥DE，BC∥EF，试说明∠ABC=∠DEF.

（2）一个角的两边分别平行于另一个角的两边，除了图1中相等情形外，是否存在其他不相等情形，探究此情形下两个角的关系（画出图形，写出结论并说明理由）.

（3）如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角是什么关系？（画出图形，直接写出结论）

（4）如果一个角的两边和另一个角的两边，其中一边互相平行，另一边互相垂直，则这两个角是什么关系？（画出图形，直接写出结论）

【答案】（1）∵ AB∥DE，∴∠E=∠EOB,∵BC∥EF ,∴∠EOB=∠B,∴∠ABC=∠DEF;

（2）如图，

∵ AB∥DC，∴∠1=∠DMB,∵BE∥FD ,∴∠BMD+∠2=180°,∴∠2+∠1=180°；

（3）此题分两种情况，

如图①∵PE⊥OA,PF⊥OB,∴∠PEO=∠PFO=90°,∴∠P＋∠O=360°-∠PEO-∠PFO=180°;

如图② ∵PE⊥OA,PF⊥OB,∴∠PEO=∠PFO=90°，∴∠P=∠O；综上所述：一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等或互补；

（4）如图所示，

①∵AB∥EH,∴∠ABC=∠BDE,∵BC⊥EG,∴∠CFE=90°,∴∠BDE＋∠E=90°,∴∠E＋∠ABC=90°;②∵BC⊥EG,∴∠CFE=90°,∵AB∥EH∴∠MBC=∠HDB,∵∠HDB=∠E＋∠CFE=∠E ＋90°,∴∠MBC=∠E＋90°,即∠MBC-∠E=90°，综上所述，如果一个角的两边和另一个角的两边，其中一边互相平行，另一边互相垂直，则这两个角是和为90°，或差为90°。

【解析】【分析】（1）根据二直线平行内错角相等得出∠E=∠EOB,∠EOB=∠B，故∠ABC=∠DEF;

（2）根据二直线平行内错角相等得出∠1=∠DMB，根据二直线平行，同旁内角互补得出∠BMD+∠2=180°,故∠2+∠1=180°；

（3）①根据垂直的定义得出∠PEO=∠PFO=90°，根据四边形的内角和得出∠P＋∠O=360°-∠PEO-∠PFO=180°;②根据垂直的定义得出，∠PEO=∠PFO=90°，根据等角的余角相等得出∠P=∠O，综上所述：一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等或互补；

（4）①根据二直线平行，内错角相等得出∠ABC=∠BDE,根据垂直的定义得出∠CFE=90°,根据直角三角形的两锐角互余得出∠BDE＋∠E=90°，故∠E＋∠ABC=90°;②根据垂直的定义得出∠CFE=90°,根据二直线平行，内错角相等得出∠MBC=∠HDB,根据三角形外角定理得出∠HDB=∠E＋∠CFE=∠E＋90°,故∠MBC=∠E＋90°,即∠MBC-∠E=90°，综上所述，如果一个角的两边和另一个角的两边，其中一边互相平行，另一边互相垂直，则这两个角是和为90°，或差为90°。

13．如图①，已知AB//CD， AC//EF

（1）若∠A=75°，∠E=45°，求∠C和∠CDE的度数；

（2）探究：∠A、∠CDE与∠E之间有怎样的等量关系？并说明理由.

（3）若将图①变为图②，题设的条件不变，此时∠A、∠CDE 与∠E之间又有怎样的等量关系，请直接写出你探究的结论.

【答案】（1）解：在图①中，

∵AB∥CD

∴∠A+∠C=180°，

∵∠A=75°，

∴∠C=180°-∠A=180°-75°=105°，

过点D作DG∥AC，

∵AC∥EF，

∴DG∥AC∥EF，

∴∠C+∠CDG=180°，∠E=∠GDE，

∵∠C=105°，∠E=45°，

∴∠CDG=180°-105°=75°，∠GDE=45°，

∵∠CDE=∠CDG+∠GDE，

∴∠CDE=75°+45°=120°；

（2）解：如图①，通过探究发现，∠CDE=∠A+∠E.

理由如下：∵AB∥CD，

∴∠A+∠C=180°，

过点D作DG∥AC，

∵AC∥EF，

∴DG∥AC∥EF，

∴∠C+∠CDG=180°，∠GDE=∠E，

∴∠CDG=∠A，

∵∠CDE=∠CDG+∠GDE，

∴∠CDE=∠A+∠E；

（3）解：如图②，通过探究发现，∠CDE=∠A-∠E.

∵AB∥CD，

∴∠A+∠C=180°，

∵AC∥EF，

∴∠E=∠CHD，

∵∠CHD+∠C+∠CDE=180°，

∴∠E+∠C+∠CDE=180°，

∴∠E+∠CDE=∠A，

即∠CDE=∠A-∠E.

【解析】【分析】（1）利用平行线的性质定理可得∠C，过点D作DG∥AC，可得DG∥AC∥EF，利用平行线的性质定理可得∠CDG，由∠CDE=∠CDG+∠GDE，代入数值可得结果；

（2）利用平行线的性质和同角的补角相等得∠A=∠CDG，由角的和及等量代换可得；（3）利用平行线的性质定理和三角形的内角和定理可得结论.

14．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题.

小明:老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”.即

已知:如图1，，为、之间一点，连接，得到 .