关于常微分方程的发展及其应用的探悉

关于常微分方程的发展及其应用的探悉

姓名：

佳木斯大学理学院数学系

2015年6月

摘要

常微分方程是17世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一．常微分方程的形成与发展与力学、天文学、物理学及其他科学技术的发展密切相关，当前计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域本篇文章从常微分方程的产生背景谈起，分四个时期介绍其发展过程．文章从常微分方程的产生背景、发展、应用等方面出发，系统地介绍常微分方程的发展史及其应用在数学发展中的重要意义．

关键词:常微分方程；发展；应用

Abstract

Ordinary differential equation is the 17th century with the birth of calculus and a strong theoretical and one of the widely applied mathematics. The formation and development of ordinary differential equations with mechanics, astronomy, physics and other closely related to the development of science and technology, The current development of the computer for the application of ordinary differential equation and the theoretical research provides a very powerful tool. The theory and methods of ordinary differential equation is not only widely used in natural science,And more and more applied in various fields of social science.

This article from the background of ordinary differential equations, Point four periods to introduce its developing process.From the background of ordinary differential equation, development, application, etc, Systematically introduce the history of ordinary differential equation and its application in the important significance in the development of mathematics.

Keywords:Ordinary differential equation; develop; application

目录

摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．I Abstract．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．II

第1章绪论．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第2章常微分方程的发展史．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2.1常微分方程的产生背景．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

2.2常微分方程的发展．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

2.2.1常微分方程经典阶段．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

2.2.2常微分方程适定性理论阶段．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

2.2.3常微分方程解析理论阶段．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

2.2.4常微分方程定性理论阶段．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第3章常微分方程的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

3.1在物理学中的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

3.2在生物学中的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

3.3在经济学中的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

结论．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．致谢．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．附录1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．附录2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

第1章绪论

常微分方程是一个有长期历史，而又正在不断发展的学科；是一个既有理论研究意义，又有实际应用价值的学科；是一个既得力于其他数学分支的支持，又为其他数学分支服务的学科；是一个表现客观自然规律的工具学科，又是一个数学可以为实际服务的学科．常微分方程是17世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一，常微分方程的形成与发展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学技术的发展相互促进和相互推动的，数学的其他分支的发展如复变函数、李群、拓扑学等都给常微分方程的发展以深刻的影响．当前计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具．常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域．如自动控制，化学反应过程稳定性的研究等，这些问题都可以化为求常微分方程的解．所以说，应用常微分方程的理论已经取得了很大的成就，但是它的现有理论还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善．所以，研究常微分方程的发展及应用有重要的意义．

第2章 常微分方程的发展史

2.1 常微分方程的产生背景

随着微积分的建立，微分方程理论也发展起来了．牛顿和莱布尼茨创立的微积分是不严格的，在生产力的提高迫切要求力学、天文学等基础学科发展的前提下，18世纪的数学家们一方面努力探索微积分严格化的途径，一方面往往又在应用上大胆前进，大大地扩展了微积分的应用范围．尤其是微积分与力学的有机结合，极大地拓展了微积分的应用范围，并促进了微积分的萌芽．

微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求，如声学、流体力学、电磁学、几何学等．一般地，事物的规律很难完全靠实验观测认识清楚，因为人们不可能观测到所有运动的全过程，但是运动又的确服从一定的客观规律，把这个规律的式子用数学结构写下来就是微分方程．这就给我们提供了一种研究问题的新思路，先写出能表示运动关系的微分方程，然后通过对微分方程的求解来确定各个研究因素之间的关系，进而弄清楚变量之间的规律和动力学行为．如电磁学提出了著名的拉普拉斯方程0=+=?+u u u zz yy xx u ，光学和声学提出了波动方程0=?-u u tt ，热学提出了热传导方程

0=-u u t xx ，量子力学中提出了薛定谔方程01=?-u i

u t 等等． 常微分方程是伴随着微积分发展起来的，微积分是它的母体，生产生活实践是它生命的源泉．300年来，常微分方程诞生于数学与自然科学进行崭新结合的16、17世纪，牛顿和莱布尼茨都处理过与常微分方程有关的问题．成长于生产实践和数学的发展进程，表现出强大的生命力和活力，蕴含着丰富的数学思想方法，在日常生活和生产中起着十分重要的作用．如伽利略首先对动力学进行了系统研究，首创科学实验方法，并通过对落体和抛体等简单问题的研究，探索力与运动的普遍规律，发展了足以描述质点加速度运动的数学理论．牛顿则第一个大量运用数学方法来系统整理物理理论，他总结、阐明和推广了伽利略的动力学定理．1687年，牛顿在《原理》中建立了太阳系行星的运动方程，这是常微分

方程实际应用的第一次历史性成功．常微分方程从此成为研究天文、物理、航海等方面的工具．

2.2 常微分方程的发展

常微分方程的形成与发展和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关．数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响．对常微分方程来讲，它的发展主要经历了经典、适定性理论、解析理论和定性理论四个主要的阶段，其标志主要为求微分方程的通解，利普希茨条件的提出和李雅普诺夫的微分方程稳定性理论的建立．

2.2.1 常微分方程经典阶段

这一阶段以通解为主要研究内容，就像微积分在17世纪后期与18世纪前期的著作一样，常微分方程最早的著作出现在数学家们彼此的通信中．而且通信中所提到的解法可能仅仅是对某个特例的说明，所以现在很难确切地说是谁首先得到某些概念或结论的．1676年，莱布尼茨在给牛顿的信中第一次提出“微分方程”这个数学名词．

常微分方程是由人类生产实践的需要而产生的，其皱形的出现甚至比微积分的发明还早．纳皮尔发明对数，伽利略研究自由落体运动，笛卡尔在光学问题中由切线性质定出镜面的形状等等，实际上都需要建立和求解微分方程，牛顿和莱布尼茨在建立微分方程与积分运算时就指出了他们的互逆性．实际上是解决了最简单的微分方程=y )(x f '的求解问题．此外，牛顿、莱布尼茨也都用无穷级数和特定系数法解出了某些初等微分方程．最早用分离变量法求解微分方程的是莱布尼茨，他用这种方法解决了形=)()(y d x yd )()(x g x f 的方程，因为只要把它写成=)()(x f x d y y d x g )()(就在两边进行积分．但莱布尼茨并没有建立一般的方法，1691年他把自己在这方面的工作写信告诉了荷兰科学家惠更斯，同年他又解出了一阶齐次方程='y )(x y f ，他令ux y =代入方程就可以使变量分离．1693年惠更斯在《教师学报》中明确提到了微分方程，而莱布尼茨同年则在另一家杂志的另一篇文章中，称微分方程为特征三角形的边的函数，并给出了线性方程=dx dy )()(x q y x p +的通解表达式：

=)(x y e dx x p ?)())(()(?+?-c dx x q e dx x p

其中c 是任意常数．

1740年欧拉用自变量代换e x '=，把欧拉方程线性化而求

+dx d x a n n n

y 0+---dx d x a n n n y 111

1+ 0=y a n

的通解，其中a i ),,2,1(n i =是常数．

通解与特解的概念是1743年欧拉定义的，同时欧拉还给出恰当方程的解法和常系数线性齐次方程的特征根解法．微分方程的解有时也称该方程的积分，因为求微分方程解的问题在某种意义上正是普通积分问题的一种推广．1694年，瑞士数学家约翰?伯努利在《教师学报》上对分离变量法与齐次方程的求解做了更加完整的说明．他的哥哥雅科布?伯努利发表了关于等时问题的解答，虽然莱布尼茨已经给出了这个问题的一个分析解． 微分方程教材中所见到的伯努利方程y n x Q y x P dx

dy )()(+=（)(),(x Q x P 为x 的连续函数，1,0≠n 是常数)，最初就是雅科布?伯努利于1695年提出的．1696年莱布尼茨证明：利用变量替换y n x -=1，可以将方程化为线性方程（y 与y '的一次方程），同年，雅科布?伯努利实际上用分离变量法解决了这一方程，约翰?伯努利给出了另一种解法，还提出了常系数微分方程的解法．

17世纪到18世纪是常微分方程发展的经典理论阶段，以求通解为主要研究内容．在这一阶段，还出现了许多精彩的成果．例如1694年，莱布尼茨发现了方程解族的包络．1718年泰勒提出奇解的概念，克莱罗和欧拉对奇解进行了全面研究，给出从微分方程本身求得奇解的方法，参加奇解研究的数学家还有拉格朗日、凯莱和达布等人．

2.2.2 常微分方程适定性理论阶段

19世纪初期和中期是数学发展史上的一个转变时期．群的概念、复变函数的开创等都在这个时期，常微分方程深受这些新概念和新方法的影响，进入了它发展的第二个阶段，这一阶段主要以定解问题的适定性理论为研究内容，1685年，伟大的数学家莱布尼茨向数学界推出求解方程=dx dy y x 22+（里卡蒂方程的特例）的通解的挑战性问题，且直言自

己研究多年未果．这个方程虽形式简单，但经多年几代数学家的全力冲击仍不得其解．1841年法国数学家刘维尔证明了意大利数学家里卡蒂1724年提出的里卡蒂方程=dx dy )()()(2

x r y x q x p y ++的解一般不能通过初等函数的积分来表达，从而让大家明白了不是什么方程的通解都可以用积分手段求出的，能有初等解法的微分方程是很有限的，这就促使人们寻求别的方法研究微分方程的问题．

里卡蒂方程的研究迫使人们另辟蹊径，考虑不借助于解的表达式而从方程本身的特点去推断其解的性质（周期性、有界性、稳定性等），以及寻求各种近似求解的方法，从而导致微分方程理论的研究进入了一个多样化的发展时期．在物理、力学上所提出的微分方程问题，大都要求满足某种附加条件的特解，即所谓定解问题的解．这样，人们开始改变了原来的想法，不去求通解，而从事定解问题的研究，人们从求通解的热潮转向研究常微分方程定解问题的适定性理论．18世纪以后不断出现的特殊的微分方程的求解问题，迫使数学家们转向对解的存在性问题的思考．常微分方程理论研究中的一个基本问题是微分方程是否有解存在？如果有解存在，其解是否唯一？这个问题的解决不仅可以使数学家避免对一些根本无解的方程作无谓的研究，而且直接影响并得出了微分方程的基本理论．这些基本理论包括：解的存在及唯一性，延展性，解的整体存在性，解对初值和参数的连续依赖性和可微性等．

19世纪20年代，柯西建立了柯西问题

),(y x f dx dy = y x y 00)(=

解的存在唯一性定理．1873年，德国数学家利普希茨提出著名的“利普希茨条件”对柯西的解存在唯一性定理作了改进．

1838年，刘维尔在研究热传导方程时提出了逐步逼近法，1890年，皮卡给出了逐步逼近法的普遍形式，并逐渐形成了微分方程的一般理论．在微分方程理论中，逐步逼近法是比较经典的方法．最早，柯西、利普希茨等曾使用这种方法解决某些特殊类型方程解的存在性问题．1893年，皮卡把这一方法应用到一般非线性微分方程上，因而又被称为皮卡逐步逼近法，建立了解的存在唯一性定理．

解的存在唯一性定理是微分方程理论研究中最重要的基本问题，是微分方程理论研究的基础．从柯西起，对唯一性问题的研究已有非常之多，条件也是多种多样．1993年，阿格沃尔对解的存在唯一性问题的研究结果作了全面系统的总结，对各种不同的判据作了详尽的分析比较，为此问题的进一步研究提供了必要的思路．直到现在，解的存在唯一性问题仍是常微分方程理论中非常重要的一个研究课题．

常微分方程初值问题的解的存在性的研究，有力的推动了人们对各种方程的求解和探索．1833年，斯图姆首先着手研究二阶方程的边值问题，1836年至1837年间，他给出了具有变系数的齐次线性二阶常微分方程在给定条件下具有非零解的条件．同一时期，斯图姆和刘维尔还开创了边值问题和特征值问题，在近代物理和工程技术中有广泛的应用，并且构成了常微分方程的一个重要的分支，即二阶线性方程的边值问题和振动理论．

这一阶段主要以定解问题的适定性理论为研究内容，研究了初值问题解的存在性，初值问题解的唯一性，边值问题等．

2.2.3 常微分方程解析理论阶段

19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段，这一阶段的主要成果是微分方程的解析理论，运用幂级数和广义幂级数法，求出一些重要的二阶线性方程的级数解，并得到极其重要的一些特殊函数．

1816年贝塞尔研究行星运动时，开始系统的研究贝塞尔方程

+''y x 2+'y x 0)(2

2=-y n x 这个方程的特殊情形早在1703年雅科布?伯努利给莱布尼茨的信中就已提到．后来丹尼尔?伯努利、欧拉、傅里叶和泊松也都讨论过这一方程．对每个n ，贝塞尔得到了此方程存在的两个独立的基本解，记作)(x J n 和)(x J n -，)(x J n 称为第一类贝塞尔函数或n 阶贝

塞尔函数，)(x J n -称为第二类贝塞尔函数或n -阶贝塞尔函数．初等函数之外的函数称为

特殊函数．贝塞尔函数就是特别重要的特殊函数之一，贝塞尔求得贝塞尔方程的级数解

=)(x J n )2()1(20)1()1(x n

k k k k k n +∞=∑-+Γ++Γ

=)(-x J n )2()1(20)1()1(x n k k k k k n -∞=∑-+Γ++-Γ

令贝塞尔方程有形如=y x c k k k ρ+∞=∑0的级数解，代入贝塞尔方程得到n ±=ρ，且得到了

系数c n 的递推公式0)(2=+-+++-c c k k n k k n ρρ）（， ,2,1=k ，

进而得到了系数c k 2的表达式，012=+c k ．

1818年，贝塞尔证明了)(x J n 有无穷个零点．1824年，贝塞尔给出了递推公式

-+)(1x x J n +)(2x n J n 0)(1=-x J n

后来有众多数学家和天文学家得出贝塞尔函数的数以百计的关系式和表达式．1944年，剑桥大学出版了G.N.Watson 的巨著《贝塞尔函数教程》，是贝塞尔函数研究成果的集成．由此可见，贝塞尔为微分方程解析理论做出了巨大贡献．

在解析理论中另一个极重要的内容是勒让德方程的级数解和勒让德多项式方面的成果．1784年他出版的代表作《行星外形的研究》中研究了勒让德方程+'-''-y x y x 2)1(2

0)1(=+y n n 给出了幂级数形式的解．与此同时，厄米特研究了方程： 02=+'-''y y x y λ，),(+∞-∞∈x

得到了其幂级数解，当λ是非负偶数即为著名的厄米特多项式．切比雪夫在研究方程0-122=+'-''y y x y p x ）（（p 是常数）时，得出1≤x 时的两个线性无关解（基本解），且证明当p 是非负整数时，此方程有一个解为n 次多项式，此多项式即为著名的切比雪夫多项式．另外，在常微分方程的解析理论研究中，也有数学家高斯的成果．1821年，他研究了高斯几何方程

0})1({)1(=-'++-+''-y y x y x x αββαγ

得到级数解

++??+++?+=x x x F 2)

1(21)1()1(11);,,(γγββααγαβγβα

这个级数称为超几何级数．同时他还建立了公式

）

（）（）（）（），，，（βγαγβαγγγβα----1ΓΓΓΓ=F 并指出对γβα，，的不同值，此级数包括了几乎所有的初等函数和类似贝塞尔函数的特征函数．

19世纪方程解析理论中一个重点成果是关于奇点的富克斯理论，他看到著名的贝塞尔方程，勒让德方程和高斯几何方程等，如果表示成形如

0)()()1(1=+++-y x x p y p y n

n n ）（ 的形式，则系数有奇异性，于是富克斯深入研究这种齐次线性方程在奇异点邻域内解的性质．他把x 改成z 在复平面上讨论此种方程，得出许多成果．随后，经斯图姆和刘维尔各自相应的研究，丰富了方程解析理论的内容．1877年希尔研究二阶方程0)(22=+x t x dt d θ，其中）（t θ以π为周期的偶函数，用他研究的结论证实月球近地点的运动是周期性的，开创了周期系数方程的研究，庞加莱也参与了希尔方程的研究，并在希尔工作的启发下，庞加莱为支配行星运动以及行星和卫星轨道稳定性的微分方程的周期解的研究开辟了一条新的途径，开创了微分方程定性研究的新时代．

2.2.4 常微分方程定性理论阶段

早在19世纪，庞加莱开创了微分方程定性理论研究，李雅普诺夫则开创了微分方程运动稳定性理论的研究．稳定性问题的实质是考察系统由初始状态扰动引起的受扰运动能否趋近或返回到原平衡状态．而平衡状态是，若存在状态向量x e ，对所有的t ，都有

0),(≡t f x e 成立，则称x e 为系统的平衡状态，如果Ax t x f =),(，且A 非奇异，则原点是

系统唯一的平衡状态．到了20世纪是微分方程的定性理论阶段．

自从1841年刘维尔证明里卡蒂方程y x dx dy 22+=不存在初等函数积分表示的解之后，研究方程的方法有了明显变化，数学家们开始从方程本身（不求解）直接讨论解的性质．法国数学家们研究的三体问题就不能用已知函数解出，从而运动的稳定性问题就不可能通过考察解的性态而得到．庞加莱终于找到了从方程本身找出答案的诀窍，1881年到

1886年，他在《Jour,de Math》杂志上用同一标题《关于由微分方程确定的曲线的报告》发表了四篇论文，他说“要解答的问题是动点是否描出一条闭曲线？它是否永远逗留在平面某一部分内部？换句话说，并且用天文学的话来说，我们要问轨道是稳定的还是不稳定的？从1881年起，庞加莱独创出常微分方程的定性理论，定性理论的实质是在不求解的情况下，直接考察微分方程的系数和方程本身的结构，从而研究解的性质（如曲线的形状、结构和趋势等等）．此后，为了寻求只通过考察微分方程本身就可以回答关于稳定性等问题的方法，他从非线性方程出发，发现微分方程的奇点起关键作用，并把奇点分为四类（焦点，鞍点，结点，中心），讨论了解在各种奇点附近的性状，同时还发现了一些与描述满足微分方程的解曲线有关的重要的闭曲线如无接触环，极限环等，同时，庞加莱关于常微分方程定性理论的一系列课题，成为动力系统理论的开端．美国数学家伯克霍夫以三体问题为背景，扩展了动力系统的研究．另一位常微分方程定性理论的主要创始人是挪威数学家班迪克逊从1900年起，他开始从事由庞加莱开创的微分方程轨线的拓扑性质的研究工作，1901年发表著名论文《由微分方程定义的曲线》．

常微分方程定性理论中另一个重要领域是1892年由俄国数学家李雅普诺夫创立的运动稳定性理论．1892年李雅普诺夫的博士论文《关于运动稳定性的一般问题》给出了判定运动稳定性的普遍的数学方法与理论基础．关于李雅普诺夫意义下的稳定性和伯克霍夫意义下的极限集的表现形式是多姿多彩的．到1937年数学家庞特里亚金提出结构稳定性概念，结构稳定理论就其性质而言属于结构力学的一个分支，其发展过程与金属结构工程的发展息息相关．例如在各类钢结构中，都会遇到稳定问题，而任何结构体系在荷载作用下都应处于稳定平衡状态，否则偶然的扰动都可能使结构产生过大的变形而失稳．同时他严格证明了其充要条件，使动力系统的研究向大范围转化．

20世纪中期以后是常微分方程的定性理论阶段，这一阶段主要以定性和稳定性理论为研究内容，庞加莱开创了常微分方程的定性理论，李雅普诺夫则在庞加莱定性分析的基础上，开创了常微分方程的稳定性理论，将庞加莱关于奇点附近积分曲线随时间变化的定性研究进一步完善和发展了定性理论

总之，微分方程是一门十分有用又十分有魅力的学科，自1693年微分方程概念的提出到动力系统的长足发展，常微分方程经历漫长而又迅速的发展，极大丰富了数学家园的

内容．随着社会技术的发展和需求，微分方程会有更大的发展，比如偏微分方程的迅速发展．

第3章 常微分方程的应用

常微分方程的应用十分广泛，无论是在工程技术、自动控制理论、物理等自然科学领域，还是在经济、金融、保险等社会科学领域．它不仅可以描述某些实际问题的演化规律，而且可以明确解释在数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象产生的原因．同时可以解决许多与导数有关的问题．物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如受与速度成比例空气的阻力时的落体运动等问题，很多可以用常微分方程求解．因此，我们常利用这些规律对某些实际问题列出微分方程，进而建立数学模型解决数学问题.本部分将举出常微分方程在物理学、生物学、经济学领域中的应用．

3.1 在物理学中的应用

例 3.1.1 包含电阻R 、电感L 、电容C 及电源的电路称为RLC 电路，RLC 电路是电子电路的基础．根据电学知识，电流I 经过R ，L ，C 的电压降分别为RI ,dt dI L 和C Q ，其中Q 为电量，它与电流的关系为dt

dQ I =，根据基尔霍夫第二定律：在闭合回路中，所以支路上的电压的代数和等于零．假设R ，L ，C 为常数，电源电压)(t e 是时间t 的已知函数．当开关S 合上时有关系式

C

Q RI dt dI L t e ++=)(， 微分上式，代入dt

dQ I =，便得到以时间t 为自变量、电流I 为未知函数的常微分方程 dt t de L LC I dt dI L R I dt d )(122

=++ 当电源电压是常数E t e =)(时，上述微分方程变为

022

=++LC I dt dI L R I dt d 如还有0=R ，微分方程进一步化简为

022

=+LC I I dt d 3.2 在生物学中的应用

例 3.2.1 生物学中的SIR 传染病模型：假设传染病传播期间其地区总人数不变，为常数n ．开始时染病人数为x 0，在时刻t 的健康人数为)(t y ，染病人数为)(t x ．传染系

数为k ，在时刻t 的愈后免疫人数为)(t r ，治愈率为μ，可得

)()(t x dt

t dr μ=， n t r t y t x =++)()()(，

dt

t dr t x t ky dt t dx )()()()(-=． 由上三式可消去)(t r ，得

x kxy dt

dx μ-=，x x 0)0(=， kxy dt dy -=，x y n y 00)0(-==．

SIR 模型曾被克马克等用于检验本世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫，其理论曲线与实际数据相当吻合．

3.3 在经济学中的应用

一个公司的资产运营可以被看作有两个方面的作用．一方面，它的资产可以像银行存款一样获得利息（盈取），另一方面还要用于发放职工工资．用w 0表示该公司的初始资产，

若用w 表示t 时某公司的净资产，则dt

dw 就表示净资产的增长速率，净资产的增长速率=利息盈取（增长）的速率-工资支付速率．

例 3.3.1 某公司t 年净资产有)(t w （单位：百万元），并且资产以每年5%的速度

增长，同时该公司每年要以200百万元的数额连续支付职工工资．

（1）给出描述净资产)(t w 的微分方程；

（2）假设初始净资产为w 0，求解方程；

（3）当w 0=3000,4000,5000三种情况下)(t w 的变化特点．

解：（1）根据：

净资产的增长速率=利息盈取（增长）的速率-工资支付速率． 得，20005.0-=w dt

dw =0.05（4000-w ） 这就是该公司的净资产w 所满足的微分方程． （2）分离变量得， dt w dw 05.04000

=- ln c t w 105.04000+=- ? w =4000+e

t c 05.0 由于 0=t 时，得40000-=w c

所以，该公司净资产表达式为：

e w t t w 05.00)4000(4000)(-+=

（3）若w 0=4000，则w =4000为平衡解；

w 0=5000 ?)(t w =e t 05.010004000+，公司净资产将不断增长；

w 0=3000 ?)(t w =4000—e t

05.01000，公司净资产将不断减少． 例3.3.2 某商品的需求量x 对价格p 的弹性为3ln p -，若该商品的最大需求量为1200（即0=p 时，1200=x ）（p 的单位为元，x 的单位为公斤）试求需求量x 与价格p 的函数关系，并求当价格为1元时市场上对该产品的需求量．

解：由已知

3ln p dp

dx x p -=?，

即

3ln x dp

dx -=， 分离变量解此方程的 dp x

dx 3ln -= 两边积分得 C p x ln 3ln ln +-=

e p C x 3ln -=

再由0=p ，1200=x 的1200=C

31200p

x -?= 当价格为1元时，市场上对该产品的需求量为

400120031

=?=-x （公斤）

结 论

目前常微分方程的研究领域比以往任何时候都广泛，已经发展出了九个分支学

科，它们是：常微分方程一般理论、边值问题、定性理论、稳定性理论、泛函微分方程和差分方程、微分方程的渐进理论、巴拿赫空间及其他抽象空间的微分方程、控制理论问题以及随机微分方程和方程组等．这些领域每年发表的文献总数在1000篇以上，这些文章不仅和基础理论有关，与科学前沿的发展密不可分，它们从一个侧面说明了微分方程的重要性．

了解微分方程的发展史不仅可以使我们了解该学科的产生发展以及应用状况，而且还会为学科以后的发展方向提供方向和思路．近二十年来，由于研究继电控制系统等实际问题提出了一类右端不连续常微分方程系统和广义常微分方程．对这些问题的研究不仅要求对解重新定义广义解，也要研究这类解的存在性、唯一性问题，而这些问题正是19世纪就研究的微分方程的一般理论．再如，在自动痉制生物学、医学、经济学等领域中提出

了一类数学模型，类似一般的常微分方程，但其解的未来状态，不仅依赖于初始状态，而且与过去的状态有关．这类方程早在1750年欧拉就已提出，1900年至1948年间从各个方面提出的FDE逐渐增多，但未形成一个独立分支．1949年后贝尔曼等建立了普退存在唯一性、稳定性定理后，才成为一个独立的数学分支．最后，值得指出的是常微分方程的许多理论和方法，都可以移植到偏微分方程中去，从而使常微分方程的应用又多了一个平台．例如，李雅普诺夫稳定性理论及其判定方法斯图姆比较理论等等．

参考文献

[1] 李文林.数学史概论.北京：高等教育出版社,2011:80-97

[2]王青建.数学史简编.北京：科学出版社,2004:50-87

[3]周义仓,靳祯,秦军林.常微分方程及其应用---方法、理论、建模、计算机．

北京：科学出版社,2003:201-222

[4]葛渭高,田玉,廉海荣.应用常微分方程.北京：科学出版社,2010:28-58

[5]阮炯.差分方程和常微分方程.复旦大学出版社,2002:24-38

[6]丁同仁,李承治.常微分方程教程.北京：高等教育出版社,2008:

[7]王高雄,周之铭等.常微分方程.高等教育出版社,2007:1-40

常微分方程的实际应用

常微分方程的实际应用 于萍 摘要：常微分方程在当代数学中是极为重要的一个分支，它的实用价值很高，应用也很广泛，本文主要介绍常微分方程在几何、机械运动、电磁振荡方面的应用，并举例说明，体会常微分方程对解决实际问题的作用，在解决实际问题过程中通常是建立起实际问题的数学模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程，求解这个微分方程，用所得的数学结果解释实际问题，从而预测到某些物理过程的特定性质，以便达到能动地改造世界，解决实际问题的目的。 关键字：常微分方程，几何，机械运动，电磁振荡，应用

Abstract: Nomal differential equation is an important part of math at it has a high practical value. This thesis shows the use in geometry, mechaics and electrothermal and makes some examples. Also, it summarizes the normal move of dealing with practical problems by the normal differential equation. Normal, we set up the maths matic model of the problem, solute the normal differentical equation make the use of the result to explain practical problems and make a forecast of some special character of physical process. Key: Normal differetial equation geometry mechanics electrothermal use

常微分方程知识点总结

常微分方程知识点总结 常微分方程知识点你学得怎么样呢？下面是的常微分方程知识 点总结，欢迎大家阅读！ 微分方程的概念 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中 就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和数之间的关系找出来，列出包含一个数或几个数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。 但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的 问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。 物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个的函数。 解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似， 也是要把研究的问题中已知函数和函数之间的关系找出来，从列出的包含函数的一个或几个方程中去求得函数的表达式。但是无论在方程

的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。 在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常 有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星 的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。

(完整版)常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3常微分

第三讲 常微分方程发展简史——解析理论 与定性理论阶段 3、常微分方程解析理论阶段：19世纪 19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段. 作为微分方程向复数域的推广, 微分方程解析理论是由Cauchy 开创的. 在Cauchy 之后,重点转向大范围的研究。 级数解和特殊函数 这一阶段的主要结果之一是运用幂级数和广义幂级数解法, 求出一些重要的二阶线性方程的级数解, 并得到极其重要的一些特殊函数. 常微分方程是17、18世纪在直接回答物理问题中兴起的. 在着手处理更为复杂的物理现象, 特别是在弦振动的研究中, 数学家们得到了偏微分方程. 用变量分离法解偏微分方程的努力导致求解常微分方程的问题. 此外, 因为偏微分方程都是以各种不同的坐标系表出的, 所以得到的常微分方程是陌生的, 并且不能用封闭形式解出. 为了求解应用分离变量法与偏微分方程后得到的常微分方程, 数学家们没有过分忧虑解的存在性和解应具有的形式, 而转向无穷级数的方法. 应用分离变量法解偏微分方程而得到的常微分方程中最重要的是Bessel 方程. 222 ()0x y xy x n y '''++-= 其中参数n 和x 都可以是复的. 对Bessel 来说, n 和x 都是实的. 此方程的特殊情形早在1703年Bernoulli Jacobi 给Leibnitz 的信中就已提到, 后来Bernoulli Daniel 、Euler 、Fourier 、Poisson 等都讨论过此问题. 对此方程的解的最早的系统研究是由Bessel 在研究行星运动时作出的. 对每个n , 此方程存在两个独立的基本解, 记作()n J x 和()n Y x , 分别称为第一类Bessel 函数和第二类Bessel 函数, 它们都是特殊函数或广义函数（初等函数之外的函数）. Bessel 自1816年开始研究此方程, 首先给出了积分关系式 20 ()cos(sin ).2n q J x nu x u du ππ=-? 1818年Bessel 证明了()n J x 有无穷多个零点. 1824年, Bessel 对整数n 给出了递推关系式 11()2()()0n n n xJ x nJ x xJ x +--+= 和其他的关于第一类Bessel 函数的关系式. 后来又有众多的数学家（研究天体力学的数学家）独立地得到了Bessel 函数及其表达式和关系式. Bessel 为微分方程解析理论作出了巨大贡献。 解析理论中另一重要内容是Legendre 方程的级数解和Legendre 多项式方面的结果. 1784年, Legendre 研究了Legendre 方程2 (1)20x y xy y λ'''-++=, 给出了幂级数形式的解, 得到

常微分方程练习题及答案复习题)

常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

(整理)常微分方程发展简史经典阶段

第一讲 常微分方程发展简史——经典阶段 一、引 言 Newton 和Lebinitz 创立的微积分是不严格的, 18世纪的数学家们一方面努力探索微积分严格化的途径, 一方面往往又不顾基础问题的困难而大胆前进, 大大地扩展了微积分的应用范围, 尤其是与力学的有机结合, 当时几乎所有的数学家也是力学家. Newton 和Lebinitz 都处理过与常微分方程有关的问题. 微积分的产生的一个重要的动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求. 一般地, 认识规律 很难完全靠实验观测认识清楚,因为人们不太可能观测到运动的全过程. 运动是服从一定的客观规律的, 物质运动与瞬时变化率之间有着紧密的联系, 而这种联系, 用数学语言表述出来, 即抽象为某种数学结构, 其结果往往形成一个微分方程, 一旦求出其解或研究清楚其动力学行为, 运动规律就一目了然了. 在微分方程模型建立过程中, 平衡原理扮演着重要的角色. 微分方程模型通常均是建立在平衡原理基础之上的.``平衡"是我们在现实生活中随处可见的现象. 如：物理学中的能量守恒和动量守恒等定律以及力的平衡等都是在描述物理中的一些平衡现象. 再如考虑一段时间内（或一定范围内）物质的变化,容易发现这段时间内物质的改变量与它的增加量和减少量之差也处于平衡的状态, 这种平衡规律称为物质平衡.所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理无疑应该是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题. 作为例子, 我们介绍著名的Malthus 模型, 它是最简单的生态学模型, 也是本书中唯一的线性模型. 给定一个种群, 我们的目的是确定种群的数量是如何随着时间而发展变化的. 为此,我们作出如下假设: 模型假设: 121()H 初始种群规模已知00()x t x =，种群数量非常大,世代互相重叠,因此种群的数量可以看作是连续变化的； 221()H 种群在空间分布均匀,没有迁入和迁出 (或迁入和迁出平衡)； 321()H 种群的出生率和死亡率为常数,即不区分种群个体的大小、年龄、性别等. 421()H 环境资源是无限的. 确定变量和参数: 为了把问题转化为数学问题, 我们首先确定建模中需要考虑的变量和参数: t: 自变量， x(t): t 时刻的种群密度, b: 瞬时出生率, d: 瞬时死亡率. 模型的建立与求解: 考查时间段[,]t t t +? (不失一般性, 设0t ?>), 由物质平衡原理,在此时间段内种群的数量满足: t t ?+时刻种群数量 – t 时刻种群数量 = t ?内新出生个体数 – t ?内死亡个体数,

常微分方程在数学建模中的应用.

微分方程应用 1 引言 常微分方程的形成与发展和很多学科有着密切的联系，例如力学、天文学、物理学等.数学的其他分支的快速发展，产生出很多新兴学科，这些新兴学科的产生都对常微分方程的发展有着深刻的影响，而且当前计算机的快速发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具. 数学解决实际问题就必须建立模型，而数学建模就是把数学语言描述实际现象的过程.利用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分重要的一步，但是也是最困难的一步.建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.要通过大量调查、收集相关数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题. 因此本文先简要介绍了如何建立微分方程模型，并通过具体的实例来简单地介绍了微分方程在数学建模中的应用. 2 数学模型简介 通常我们把现实问题的一个模拟称为模型．如交通图、地质图、航空模型和建筑模型等．利用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等来模拟现实的模型称为数学模型．数学模型在实际生活中经常碰到，如求不规则图形的面积，可建立定积分的数学模型，求变化率的问题可建立导数模型，统计学中抽样调查，买彩票中奖的概率问题等等．学会建立数学模型对解决实际生活问题会有很大的帮助． 建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁．随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学技术到工农业生产建设，从经济生活到社会生活的各个领域．一般地说，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学的应用，而建立数学模型则是这个过程的关键环节． 3 常微分方程模型 3．1 常微分方程的简介

常微分方程的大致知识点

常微分方程的大致知识点Last revision on 21 December 2020

常微分方程的大致知识点 （一）初等积分法 1、线素场与等倾线 2、可分离变量方程 3、齐次方程（一般含有x y y x 或的项） 4、一阶线性非齐次方程 常数变易法，或])([)()(?+??=-C dx e x b e y dx x a dx x a 5、伯努力方程 令n y z -=1，则dx dy y n dx dz n --=)1(，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 6、全微分方程 若x N y M ??=??，则C y x u =),(，（留意书上公式） 若 x N y M ??≠??，则找积分因子，（留意书上公式） 7、可降阶的二阶微分方程 ),(22dx dy x f dx y d =，令dx dy dx y d p dx dy ==22,则 ),(22dx dy y f dx y d =，令dy dp p dx y d p dx dy ==22,则 8、正交轨线族 （二）毕卡序列 ?+=x x dx y x f y y 0),(001，?+=x x dx y x f y y 0),(102，?+=x x dx y x f y y 0),(203，其余类推 （三）常系数方程 1、常系数齐次0)(=y D L 方法：特征方程 单的实根21,λλ，x x e C e C y 2121λλ+= 单的复根i βαλ±=2,1，)sin cos (21x C x C e y x ββα+= 重的实根λλλ==21，x e x C C y λ)(21+= 重的复根i βαλ±=2,1，i βαλ±=4,3，]sin )(cos )[(4321x x C C x x C C e y x ββα+++=

常微分方程期末复习提要(1)

常微分方程期末复习提要 中央电大 顾静相 常微分方程是广播电视大学本科开放教育数学与应用数学专业的统设必修课程．本课程的主要任务是要使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，增强运用数学手段解决实际问题的能力．本课程计划学时为54，3学分，主要讲授初等积分法、基本定理、线性微分方程组、线性微分方程、定性理论简介等内容。本课程的文字教材是由潘家齐教授主编、中央电大出版社出版的主辅合一型教材《常微分方程》．现已编制了28学时的IP 课件供学生在网上学习． 一、复习要求和重点 第一章 初等积分法 1．了解常微分方程、常微分方程的解的概念，掌握常微分方程类型的判别方法． 常微分方程与解的基本概念主要有：常微分方程，方程的阶，线性方程与非线性方程，解，通解，特解，初值问题。 2．了解变量分离方程的类型，熟练掌握变量分离方程解法． （1）显式变量可分离方程为： )()(d d y g x f x y = ； 当0≠g 时，通过积分??+=C x x f y g y d )()(d 求出通解。 （2）微分形式变量可分离方程为： y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211=； 当0)()(21≠x M y N 时，通过积分 ??+=C x x M x M y y N y N d ) ()(d )()(2112求出通解。 3．了解齐次方程的类型，熟练掌握齐次方程（即第一类可化为变量可分离的方程）的解法． 第一类可化为变量可分离方程的一阶齐次微分方程为： )(d d x y g x y = ； 令x y u =，代入方程得x u u g x u -=)(d d ，当0)(≠-u u g 时，分离变量并积分，得?=-u u g u x C )(d 1e ，即)(e u C x ?=，用x y u =回代，得通解)(e x y C x ?=. 4．了解一阶线性方程的类型，熟练掌握常数变易法，掌握伯努利方程的解法． （1）一阶线性齐次微分方程为： 0)(d d =+y x p x y 通解为：?=-x x p C y d )(e 。 （2）一阶线性非齐次微分方程为： )()(d d x f y x p x y =+； 用常数变易法可以求出线性非齐次方程的通解：??+?=-]d e )([e d )(d )(x x f C y x x p x x p 。 （3）伯努利方程为：)1,0()()(d d ≠=+n y x f y x p x y n ，

常微分方程的应用

常微分方程的应用

17 《常微分方程应用》结课作业 学院：轻工与纺织学院 班级：服装设计与工程13-1班 学号：201321805024 姓名：周志彬

常微分方程经济应用 微分方程在不仅在物理学、力学上有广泛的应用，在经济学和管理科学等实际问题中也比比皆是，本次我们将集中讨论微分方程的经济应用。读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决经济管理实际问题的魅力. 随着社会经济的迅速发展,数学在我们的生活中可以说无处不在,尤其是在经济管理中的应用越来越广泛.经济学必须进行定量研究.而常微分方程是对经济管理问题进行定量研究的最重要、最基本的数学工具之一，为了研究经济变量之间的联系及其内在规律,常常需要建立某一经济函数及其导数所满足的关系式,并由此确定所研究函数的形式,从而根据一些已知条件来确定该函数的表达式.从数学上讲,就是建立微分方程并求解微分方程.用微分方程解决问题，下面就是几个例子：

一、公司资产函数 例。某公司t 年净资产有)(t W (百万元), 并且资产本身以每年5%的速度连续增长, 同时该公司每年要以300百万元的数额连续支付职工工资. (1) 给出描述净资产)(t W 的微分方程; (2) 求解方程, 这时假设初始净资产为;0 W (3) 讨论在700,600,5000=W 三种情况下, )(t W 变化 特点. 解 (1) 利用平衡法，即由净资产增长速度＝资产本身增长速度－职工工资支付速度 得到所求微分方程 .3005.0-=W dt dW (2) 分离变量，得 .05.0600 dt W dW =- 两边积分，得 11(ln 05.0|600|ln C C t W +=-为正常数），于是 , |600|05.01t e C W =- 或 ).(600105.0C C Ce W t ±==- 将0)0(W W =代入，得方程通解： .)600(60005.00 t e W W -+= 上式推导过程中,600≠W 当600=W 时，0=dt dW 知

常微分方程解题方法总结.doc

常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半， 课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来， 如何将零散的知 识点有机地结合起来， 而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆， 使知识自成 体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴， 他强调读 书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx

伯努利方程 解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ， dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程：2 pq 三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根：1, 2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根：1 2 通解： y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解 y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]

常微分方程的发展史

常微分方程的发展史 摘要：20世纪以来,随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展,也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）.70年代随着数学向化学和生物学的渗透,出现了大量的反应扩散方程. 从“求通解”到“求解定解问题”数学家们首先发现微分方程有无穷个解.常微分方程的解会含有一个或多个任意常数,其个数就是方程的阶数.偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数,其个数随方程的阶数而定.命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化,人们就可能得到方程所有的解,于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”.在很长一段时间里,人们致力于“求通解”. 关键词：常微分方程，发展，起源 正：常微分方程是由用微积分处理新问题而产生的，它主要经历了创立及解析理论阶段、定性理论阶段和深入发展阶段。17 世纪，牛顿(I.Newton ，英国，1642-1727)和莱布尼兹(G.W.Leibniz ，德国，1646-1716)发明了微积分，同时也开创了微分方程的研究最初，牛顿在他的著作《自然哲学的数学原理机(1687年)中，主要研究了微分方程在天文学中的应用，随后微积分在解决物理问题上逐步显示出了巨大的威力。但是，随着物理学提出日益复杂的问题，就需要更专门的技术，需要建立物理问题的数学模型，即建立反映该问题的微分方程。1690 年，雅可比·伯努利(Jakob Bernouli，瑞士，1654-1705)

提出了等时间题和悬链线问题．这是探求微分方程解的早期工作。雅可比·伯努利自己解决了前者。翌年，约翰伯努利(Johann Bernouli ，瑞士，1667-1748)、莱布尼兹和惠更斯（C.Huygens ，荷兰，1629-1695)独立地解决了后者。 有了微分方程，紧接着就是解微分方程，并对所得的结果进行物理解释，从而预测物理过程的特定性质．所以求解就成为微分方程的核心，但求解的困难很大，一个看似很简单的微分方程也没有普遍适用的方法能使我们在所有的情况下得出它的解。因此，最初人们的注意力放在某些类型的微分方程的一般解法上。 1691 年，莱布尼兹给出了变量分离法。他还把一阶齐次方程使其变量分离。1694 年，他使用了常数变易法把一阶常微分方程化成积分。 1695 年，雅可比·伯努利给出著名的伯努利方程。莱布尼兹用变换，将其化为线性方程。约翰和雅可比给出了各自的解法，其本质上都是变量分离法。 1734 年，欧拉(L.Euler，瑞士，1707-1783)给出了恰当方程的定义。他与克莱罗(A.C. Clairaut，法国，1713-1765)各自找到了方程是恰当方程的条件，并发现：若方程是恰当的，则它是可积的。那么对非恰当方程如何求解呢？1739 年克莱罗提出了积分因子的概念，欧拉确定了可采用积分因子的方程类属。这样，到 18 世纪 40 年

〈常微分方程》应用题及答案

应 用 题（每题10分） 1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零，又()f x '存在并对任意,x y 恒有()()()f x y f x f y +=，求()f x 。 2、设()()()F x f x g x =，其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件 ()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+= （1）求()F x 所满足的一阶微分方程； （2）求出()F x 的表达式。 3、已知连续函数()f x 满足条件320 ()3x x t f x f dt e ??=+ ??? ?，求()f x 。 ; 4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导，()0,lim ()1x f x f x →+∞ >=，且满足 1 1 0()lim ()h x h f x hx e f x →? ?+ ?= ? ?? ? ，求()f x 。 5、设函数()f x 在(0,)+∞内连续，5 (1)2 f = ，且对所有,(0,)x t ∈+∞，满足条件 1 1 1 ()()()xt x t f u du t f u du x f u du =+? ??，求()f x 。 6、求连续函数()f x ，使它满足10 ()()sin f tx dt f x x x =+?? 。 7、已知可微函数()f t 满足 31() ()1()x f t dt f x t f t t =-+?，试求()f x 。 8、设有微分方程 '2()y y x ?-=， 其中21 ()01 x x x ??。试求在(,)-∞∞内的连续函 数()y y x =使之在(,1)-∞和()1,+∞内部满足所给方程，且满足条件(0)0y =。 9、设位于第一象限的曲线()y f x = 过点122?? ? ? ?? ，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分。 （1）求曲线()y f x =的方程； （2）已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ，试用l 表示曲线()y f x =的弧长s 。 ' 10、求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =，使得由曲线()y y x =与直线 1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。 11、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内，L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交，交点记

常微分方程期末试题知识点复习考点归纳总结参考

期末考试 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．方程22d d y x x y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 2. 方程组 n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 维空间中的一条积分曲线. 3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f x y =初值唯一的 条件． 4．方程组???????=-=x t y y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 5．方程2)(2 1y y x y '+'=的通解是 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=成为其基本解组的充要条件是 8．方程440y y y '''++=的基本解组是 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。 9．一阶线性微分方程 d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ ）． （A ）?=x x p d )(e μ （B ）?=x x q d )(e μ （C ）?=-x x p d )(e μ （D ）?=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ ） （A ）可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）贝努利方程 11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ ）． (A) 1±=x (B)1±=y

(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-='x y y （ ）奇解． （A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无 三、计算题（每小题8分，共48分）。 14．求方程22 2d d x y xy x y -=的通解 15．求方程0d )ln (d 3=++y x y x x y 的通解 16．求方程2 221)(x y x y y +'-'=的通解

最新常微分方程发展简史经典阶段

常微分方程发展简史 经典阶段

第一讲常微分方程发展简史——经典阶段一、引言 Newton 和Lebinitz创立的微积分是不严格的, 18世纪的数学家们一方面努力探索微积分严格化的途径, 一方面往往又不顾基础问题的困难而大胆前进, 大大地扩展了微积分的应用范围, 尤其是与力学的有机结合, 当时几乎所有的数学家也是力学家. Newton和Lebinitz都处理过与常微分方程有关的问题. 微积分的产生的一 个重要的动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求. 一般地, 认识规律很难完全靠实验观测认识清楚,因为人们不太可能观测到运动的全过程. 运动是服从一定的客观规律的, 物质运动与瞬时变化率之间有着紧密的联系, 而这种联系, 用数学语言表述出来, 即抽象为某种数学结构, 其结果往往形成一个微分方程, 一旦求出其解或研究清楚其动力学行为, 运动规律就一目了然了. 在微分方程模型建立过程中, 平衡原理扮演着重要的角色. 微分方程模型通常均是建立在平衡原理基础之上的.``平衡"是我们在现实生活中随处可见的现象. 如：物理学中的能量守恒和动量守恒等定律以及力的平衡等都是在描述物理中的一些平衡现象. 再如考虑一段时间内（或一定范围内）物质的变化,容易发现这段时间内物质的改变量与它的增加量和减少量之差也处于平衡的状态, 这种平衡规律称为物质平衡.所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理无疑应该是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题. 作为例子, 我们介绍著名的Malthus模型, 它是最简单的生态学模型, 也是本书中唯一的线性模型.

常微分方程基本知识点

常微分方程基本知识点 第一章 绪论 1. 微分方程的概念（常微分与偏微），什么是方程的阶数，线性与非线性，齐次与非齐次，解、特解、部分解和通解的概念及判断！ （重要） 例：03)(22=-+y dx dy x dx dy （1阶非线性）； x e dx y d y =+22sin 。 2.运用导数的几何意义建立简单的微分方程。（以书后练习题为主） （习题1，2，9题） 例：曲线簇cx x y -=3满足的微分方程是：__________. 第二章 一阶方程的初等解法 1.变量分离方程的解法（要能通过适当的变化化成变量分离方程）；（重要） 2.齐次方程的解法（变量代换）；（重要） 3.线性非齐次方程的常数变易法； 4.分式线性方程、贝努利方程、恰当方程的概念及判断（要能熟练的判断各种类型的一阶方程）（重要）； 例题：(1).经变换_____y c u os =___________后， 方程1cos sin '+=+x y y y 可化为___线性_____方程； (2).经变换_____y x u 32-=____________后， 方程1 )32(1 '2+-=y x y 可化为____变量分离__方程； (3).方程0)1(222=+-dy e dx ye x x x 为：线性方程。

(4).方程221 'y x y -=为：线性方程。 5.积分因子的概念，会判断某个函数是不是方程的积分因子； 6.恰当方程的解法（分项组合方法）。（重要） 第三章 一阶方程的存在唯一性定理 1.存在唯一性定理的内容要熟记，并能准确确定其中的h ； 2.会构造皮卡逐步逼近函数序列来求第k 次近似解！（参见书上例题和习题 3.1的1，2，3题） 第四章 高阶微分方程 1.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的概念，解的概念，基本解组，解的线性相关与线性无关，齐次与非齐次方程解的性质； 2.n 阶线性方程解的Wronskey 行列式与解的线性相关与线性无关的关系； 3.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的通解结构定理！！（重要） 4.n 阶线性非齐次微分方程的常数变易法（了解）； 5.n 阶常系数线性齐次与非齐次微分方程的解法（Eurler 待定指数函数法确定基本解组），特解的确定（比较系数法、复数法）；（重要） 例题：t te x x 24=-''，确定特解类型？ （习题4.2相关题目） 6.2阶线性方程已知一个特解的解法（作线性齐次变换）。（重要） 7.其他如Euler 方程、高阶方程降阶、拉普拉斯变换法等了解。

如何求解常微分方程

如何求解常微分方程？ 常数变易法、积分因子法，函数变换法。 大致与微积分同时产生。事实上，求y′＝f(x)的原函数问题便是最简单的微分方程。I.牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用现在叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型……。因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。当初，数学家们把精力集中放在求微分方程的通解上，后来证明这一般不可能，于是逐步放弃了这一奢望，而转向定解问题：初值问题、边值问题、混合问题等。但是，即便是一阶常微分方程，初等解(化为积分形式)也被证明不可能，于是转向定量方法（数值计算）、定性方法，而这首先要解决解的存在性、唯一性等理论上的问题。 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。 但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数。 解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。 在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。

郑州大学研究生课程数值分析复习---第八章 常微分方程数值解法

郑州大学研究生课程（2012-2013学年第一学期）数值分析 Numerical Analysis 习题课 第八章常微分方程数值解法

待求解的问题：一阶常微分方程的初值问题/* Initial-Value Problem */: ?????=∈=0 )(] ,[),(y a y b a x y x f dx dy 解的存在唯一性（“常微分方程”理论）：只要f (x , y ) 在[a , b ] ×R 1 上连续，且关于y 满足Lipschitz 条件，即存在与x , y 无关的常数L 使 对任意定义在[a , b ] 上的y 1(x ) 和y 2(x ) 都成立，则上述IVP 存在唯一解。 1212|(,)(,)||| f x y f x y L y y ?≤?一、要点回顾

§8.2 欧拉(Euler)法 通常取(常数),则Euler 法的计算格式 h h x x i i i ==?+1?? ?=+=+) (),(001x y y y x hf y y i i i i i =0,1,…,n ( 8.2 )

§8.2 欧拉(Euler)法(1) 用差商近似导数 )) (,()()()()(1n n n n n n x y x hf x y x y h x y x y +=′+≈+?? ?=+=+) (),(01a y y y x hf y y n n n n 差分方程初值问题向前Euler 方法h x y x y x y n n n ) ()()(1?≈ ′+)) (,() ()(1n n n n x y x f h x y x y ≈?+))(,()(n n n x y x f x y =′

二阶常微分方程的解法及其应用.

目录 1 引言 (1) 2 二阶常系数常微分方程的几种解法 (1) 2.1 特征方程法 (1) 2.1.1 特征根是两个实根的情形 (2) 2.1.2 特征根有重根的情形 (2) 2.2 常数变异法 (4) 2.3 拉普拉斯变化法 (5) 3 常微分方程的简单应用 (6) 3.1 特征方程法 (7) 3.2 常数变异法 (9) 3.3 拉普拉斯变化法 (10) 4 总结及意义 (11) 参考文献 (12)

二阶常微分方程的解法及其应用 摘要：本文通过对特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种二阶常系数常微分方程解法进行介绍，特别是其中的特征方程法分为特征根是两个实根的情形和特征根有重根的情形这两种情况，分别使用特征值法、常数变异法以及拉普拉斯变换法来求动力学方程，现今对于二阶常微分方程解法的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题方面卓有成效。应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。 关键词：二阶常微分方程;特征分析法；常数变异法；拉普拉斯变换

METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION AND ITS APPLICATION Abstract:This paper introduces the solution of the characteristic equation method, the method of variation of parameters, the Laplasse transform method the three kind of two order ordinary differential equations with constant coefficients, especially the characteristic equation method which is characteristic of the root is the two of two real roots and characteristics of root root, branch and don't use eigenvalue method, method of variation of constants and Laplasse transform method to obtain the dynamic equation, the current studies on solution of ordinary differential equations of order two has made many achievements, especially in the aspect of solving the problem of two order linear differential equation with constant coefficients very fruitful. Application of the theory of ordinary differential equations has made great achievements, however, the existing theory it is still far from meeting the need, needs further development, to make the discipline theory more perfect. Keywords:second ord er ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform 1 引言 数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程