2019年高考全国2卷理科数学

绝密★启用前

2019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷共23题，共150分，共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在

条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字 笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

2

－5x ＋6>0}，B ＝{x|x －1<0}，则A ∩B ＝

1．设集合A ＝{x|x

A ．(－∞，1）

B ．(－2，1）

C ．(－3，－1）

D ．(3，＋∞） 2．设z ＝－3＋2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限

u u u r 3．已知AB

uu r u uu r u u u u r u u u r ＝(2,3），AC ＝(3，t ），BC ＝1，则

ABBC ＝

A ．－3

B ．－2

C ．2

D ．3

4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事

业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测 器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉

格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 月球质量为M ２，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力 定律，r 满足方程：

１，

MMM 121

22(Rr)3

(R r )rR

．

设

r R

，由于的值很小，因此在近似计算中 345 33

2

(1)

3 3

，则r 的近似

值为

A ． M 2 M 1

R B ．

M 2 1

R

C ． 3

3M 2 M 1

R D ． 3

M 2 1

R

2M 3M 理科数学试题第1页（共4页）

5．演讲比赛共

有9位评委分别

给出某选

手的

原始

评

分

，评定该选绩9个原始 评分

1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分 相比，不变的数字特征是

A ．中位数

B ．平均数

C ．方差

D ．极差 6．若a>b ，则 A ．ln(a-b ）>0B ．3

a <3

b C ．a 3-b 3

>0D ．│a │>│b │ 7．设α，β为两个平α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面 22 xy 2

＝2p 8．若抛物线y 3p p 1 的一个焦点，则p ＝ A ．2B ．3C ．4D ．8 9．下列函数中，以，）单的是 为周期且在区间( 242 A ．f(x ）＝│cos2x │B ．f(x ）＝│sin2x │C ．f(x ）＝cos │x │D ．f(x ）＝sin │x │ ），2sin2α＝cos2α＋1，则s in α＝ 10．已知α∈(0， 2 A ．

1 5

B ． 5 5

C ． 3 3

D ． 2 5

5 11．设F 为双曲线C ：

22 xy 221(a0,b0) ab

的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆 222

x y a

交于P ，Q 两点．

若P Q O C 的离心率为与圆 A ．2B ．3C ．2D ．5 12．设函数f (x )的为R

f(x1)2f(x)，且当x(0,1]时，f(x)x(x1)．若 x(,m]，都有()8 f m 的

取是 9 A ． 9 (,] 4 B ． 7 (,] 3 C ． 5 (,]

2 D ． 8 (,]

3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正 点率为0．97，有20个

车停该站高铁列车所有车次的14．已知f(x)是奇函数，且当x0时，()e

fx ．若f(ln2)8，则a __________． ax 15．积为__________． π b6,a2c,B ，则△ABC 的面 3

16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E

在棱AA1上，BE⊥EC1．

（1）证明：BE⊥平面EB1C1；

（2）若AE＝A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值．

18．（12分）

11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的

概率为0．5，乙发球时甲得分的概率为0．4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．

（1）求P（X＝2）；

（2）求事件“X＝4且甲获胜”的概率．

19．（12分）

已知数列{a n}和{b n}满足a1＝1，b1＝0，4a n13a n b n4，4b n13b n a n4．

（1）证明：{a n＋bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；

（2）求{a n}和{bn}的通项公式．

理科数学试题第3页（共4页）

20．（12分）

已知函数fxlnx

x

x 1

1 ．

（1）讨论f(x）的单调性，并证明f(x）有且仅有两个零点；

（2）设x0是f(x）的一个零点，证明曲线y＝lnx在点A(x0，lnx0）处的切线也是曲线

x

ye的切线．

21．（12分）

已知点A(-2,0），B(2,0），动点M(x,y）满足直线AM与BM的斜率之积为-

1

2

．记M 的轨迹为曲线C．

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，

连结QE并延长交C于点G．

（i）证明：△PQG是直角三角形；

（ii）求△PQG面积的最大值．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

在极坐标系中，O为极点，点M(,)(0)在曲线C:4sin上，直线l过点

000

A(4,0)且与OM垂直，垂足为P．

（1）当

0=时，求0及l的极坐标方程；

3

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．

23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）

已知f(x)|xa|x|x2|(x a).

（1）当a1时，求不等式f(x)0的解集；

（2）若x(,1)时，f(x)0，求a的取值范围．

理科数学试题第4页（共4页）