绝对值练习题(精)100道
绝对值综合练习题一
1、有理数的绝对值一定是（ ）
2、绝对值等于它本身的数有（ ）个
3、下列说法正确的是（ ）
A 、—|a|一定是负数
B 只有两个数相等时它们的绝对值才相等
C 、若|a|=|b|，则a 与b 互为相反数
D 、若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数
4.若有理数在数轴上的对应点如下图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A 、a>|b| 5、相反数等于-5的数是______,绝对值等于5的数是________。
6、-4的倒数的相反数是______。
7、绝对值小于2的整数有________。
8、若|-x|=2，则x=____；若|x －3|=0，则x=_ __；若|x －3|=1，则x=_______。
9、实数a 、b 在数轴上位置如图所示，则|a|、|b|的大小关系是_______。
10、已知
11、已知|a|=3,|b|=2,|c|=1,且a 12、如果m>0， n<0， m<|n|，那么m ，n ，-m ， -n 的大小关系（ ） 13、如果，则的取值范围是（ ） A ．＞O B ． ≥O C ． ≤O D ． ＜O 14、绝对值不大于11.1的整数有（ ） A ．11个 B ．12个 C ．22个 D ．23个 15、│a │= －a,a 一定是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、非正数 D 、非负数 16、有理数m ，n 在数轴上的位置如图， 17、若|x-1| =0， 则x=__________，若|1-x |=1，则x=_______． 18、如果 ，则 ， ． 19、已知│x+y+3│=0, 求│x+y │的值。 20、│a －2│+│b －3│+│c －4│=0,则a+2b+3c= 21、如果a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，x 的绝对值是1， 求代数式x b a ++x 2 +cd 的值。 22、已知│a │=3，│b │=5，a 与b 异号，求│a －b │的值。 23.如果 a,b 互为相反数,那么a + b = ,2a + 2b = . 24. a+5的相反数是3,那么, a = . 26、若X 的相反数是—5，则X=___;若—X 的相反数是—3.7，则X=_______ 27、若一个数的倒数是1.2，则这个数的相反数是________,绝对值是________ 28、若—a=1,则a=____; 若—a=—2，则a=_______;如果—a=a,那么a=_______ 29、已知|x —4|+|y+2|=0，求2x —|y|的值。 30.若)5(--=-x ，则=x ________，42=-x ，则=x ________ 31、绝对值小于4且不小于2的整数是____ 32.已知｜ａ｜＝3, ｜b ｜＝5,且ａ＜ｂ,则a ＋b 等于 33.若1＜a ＜3，则 =-+-a a 13__________ 34.若∣x －2│＝7，则x= 35.给出两个结论：① a b b a -=-；②- 21>-3 1 .其中 . A.只有①正确 B.只有②正确 C.①②都正确 D.①②都不正确 36.．若|a|=2,|b|=5,则a+b=( ) 1. 如果|a|=4，|b|=3，且a>b ，求a ，b 的值. b c a 1 37.对于式子|x|+13，当x 等于什么值时，有最小值？最小值是多少？ 38对于式子2-|x|，当x 等于什么值时，有最大值？最大值是多少 39.a<0时,化简|| 3a a a +结果为_______ 40.有理数a,b,c 在数轴上的位置如图所示: 试化简:│a+b │-│b-1│-│a-c │-│1-c │=___________. 41.已知│a-3│+│-b+5│+│c-2│=0,计算2a+b+c 的值. 42.如果a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,x 的绝对值是1,求代数式x 2 +(a+b)x-?cd 的值. 43.化简│1-a │+│2a+1│+│a │(a<-2). 44.已知-a 45.若|x |=51 ，则x 的相反数是_______. 46.若|m －1|=m －1,则m _______1. 47若|m －1|>m －1,则m _______1. 48若|x |=|－4|,则x =_______. 49若|－x |=|21 -|,则x =_______. 50.若|x －2|+|y +3|+|z －5|=0 计算:（1）x ,y ,z 的值.（2）求|x |+|y |+|z |的值. 51.若2 56、当b 为何值时，5-12-b 有最大值，最大值是多少？ 58、若｜x ｜=3，｜y ｜=2，且｜x-y ｜=y-x ，求x+y 的值． 61、已知 2-ab 与1-b 互为相反数，设法求代数式 .) 1999)(1999(1)2)(2(1)1)(1(11的值++++++++++b a b a b a ab 62.已知5=a ，3=b 且b a b a +=+，求b a +的值。 63.a 与b 互为相反数，且54= -b a ，求1 2+++-ab a b ab a 的值. 66、若m n n m -=-,且4m =,3n =,则2()m n += ． 74.已知 2-ab 与1-b 互为相反数，设法求代数式 .) 1999)(1999(1)2)(2(1)1)(1(11的值++++++++++b a b a b a ab 76.若 97,19==b a ，且b a b a +≠+，那么b a -= ． 77.已知 5=a ，3=b 且b a b a +=+，求b a +的值。 82.a 与b 互为相反数，且 54= -b a ，求1 2+++-ab a b ab a 的值. 轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a ｜+｜a+c ｜+｜c-b ｜． 88..若 y x -+3-y =0 ，求2x+y 的值. 89. 当b 为何值时，5-12-b 有最大值，最大值是多少？ 92. 若｜x ｜=3，｜y ｜=2，且｜x-y ｜=y-x ，求x+y 的值． 98、b a --9 有最 值，其值为 2、 3++b a 有最 值，其值为 99.、若033=-+-x x ， 则 x 的取值范围为 101、若 a a -= ，则=---a a 21 104、若 b a b a -=+ ，则=ab 105、若 b a b a +=-，则a 、b 应满足的关系是 108．对任意有理数a ，式子1a -， 1a +，1a -+，1a +中，结果不为0的是 。 109．如果2- ，那么=+-x 11 。 110．已知a<0，b>0，求 51---+-b a a b 的值。 115、若0432=-+-+-c b a ，求c b a ++2的值． 有理数的加法 姓名_________ 一、 填空题 1.（1）同号两数相加，取 并把 。 （2）绝对值不相等的异号两数相加，取 的符号，并用较大的绝对值 较小的绝对值。 （3）互为相反数的两数相加得 。 （4）一个数与零相加，仍得 。 2．计算： （1）（+5）+（+2）= （2）（-8）+（-6）= （3）（+8）+（-3）= （4）（-15）+（+10）= （5）（+208）+0= 3．小华向东走了-8米，又向东走了-5米，他一共向东走了 米。 4．在下列括号内填上适当的数。 （1）0+（ ）= -8 （2）5+（ ）=-2 （3）10+（ ）=0 （4）12 +（ ）= -1 2 二选择题 1. 下列计算正确的是（ ） A. (+6) +(-13) =+7 B. (+6) +(-13) =-19 C. (+6) +(-13) =-7 D. (-5) +(-3) =8 2. 下列计算结果错误的是（ ） A. (-5) +(-3) =-8 B. (-5) +(=3) =2 C. (-3) +5 =2 D. 3 +(-5) =-2 3. 下列说法正确的是（ ） A ．两数相加，其和大于任何一个加数 B. 0与任何数相加都得0 C ．若两数互为相反数，则这两数的和为0 D.两数相加，取较大一个加数的符号 ◎ 能力提高 一、 填空题 1. 若a+3=0，则a= 。 2. - 31的绝对值的相反数与33 2 的相反数的和为 。 3. 绝对值小于2010的所有整数的和为 。 4. 已知两个数是18和-15，这两个数的和的绝对值是 ，绝对值的和是 。 5. a 的相反数是最大的负整数，b 是最小的正整数，那么a+b= 。 二、选择题 1. 下列计算中错误的是（ ） A. (+2) +(-13) =- (13-2) =-11 B. (+20) +(+12) =+(20+12) =32 C. (-1 21) +(-132) =+ (121+132) =36 1 D. (-3.4) +(+4.3) =0.9 2. 在1，-1，-2这三个数中任意两数之和的最大值是（ ） A ．1 B.0 C.-1 D.-3 4. 张老师和同学们做了这样一个游戏：张老师左手和右手分别拿一个写有数字的卡片，请同学们说出它们的和，其中小 亮说出的结果比每个加数都小，那么这两个加数（ ） A. 都为正数 B. 都为负数 C. 一正一负 D.都不能确定 三、计算题 1.（-13）+（+19） 2. （-4.7）+（-5.3） 3.（-2009）+ (+2010) 4. (+125) + (-128) 5. (+0.1) + (-0.01) 6. （-1.375）+（-1.125） 7.（-0.25）+ (+43) 8. (-831)) + (-42 1) 9. (-1.125) + (+8 7 ) 10. (-15.8) + (+3.6) 1. 如果a+b=0，那么a+b 两个数一定是（ ） A. 都等于0 B. 一正一负 C. 互为相反数 D. 互为倒数 2、计算： (1)(－0.9)+(－2.7)； (2)3.8+(－8.4)； (3)(－0.5)+3； (4)3.92+1.78； (5)7+(－3.04)； (6)(－2.9)+(－0.31)； (7)(－9.18)+6.18； (8)4.23+(－6.77)； 3、计算： (1)52+(－53)； (2)(－31)+(－32)； (3)(－31)+52 ； (4)(－ 6 5)+(－8 3 )； (5)21+(－232)； (6)(－21)+(－131)； (7)(－131)+(－2 6 1)； (8)341+(－112 1 )； 七年级（上）相反数与绝对值精选习题 姓名________成绩____________ 一、判断题（每小题1分，共9分） 1．一个数的相反数一定比原数小。 （ ） 2.如果两个有理数不相等，那么这两个有理数的绝对值也不相等。 （ ） 3．|-2.7|>|-2.6| ( ) 4.若a+b=0，则a,b 互为相反数。 ( ) 5、符号不同的两个数互为相反数； （ ） 6、0没有相反数 （ ） 7、数轴上原点两旁的两个点表示的数互为相反数；； （ ） 8、+3和-3都是相反数； （ ） 9、互为相反数的两个数不一定一个是正数，一个是负数。 （ ） 二．选择题（每小题1分，共18分） 1．相反数是它本身的数是（ ） A. 1 B. -1 C. 0 D.不存在 2．下列语句中，正确的是（ ） A.不存在最小的自然数 B.不存在最小的正有理数 C.存在最大的正有理数 D.存在最小的负有理数 3．两个数的和是正数，那么这两个数（ ） A.都是正数 B.一正一负 C.都是负数 D.至少有一个是正数 4、下列各式中，等号成立的是 （ ） A 、－ 6-=6 B 、(6)--=－6 C 、－11 2 =－1 1 2 D 、 3.14+=－3.14 5、在数轴上表示的数8与－2这两个点之间的距离是 （ ） A 、6 B 、10 C 、-10 D-6 6、一个有理数的绝对值等于其本身，这个数是 （ ） A 、正数 B 、非负数 C 、零 D 、负数 7. 如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ） 8. 下列说法正确的是（ ） A. 有原点.正方向的直线是数轴 B. 数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数 C. 有些有理数不能在数轴上表示出来 D. 任何一个有理数都可以用数轴上的点表示 9.下列判断正确的是 （ ） A. ()33?-- B. 221-+??? ? ??+- C. ()05?-- D. ()()22--=-+ 10.甲、乙两位同学在学完绝对值与相反数以后，总结了这样几个结论： ①相反数等于它本身的数是0 ②绝对值最小的有理数是0；③只有0的绝对值是它本身； ④一个数的绝对值总比它的相反数大．你认为正确的有 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 若 n m =，则n m 与（ ） A. 相等 B. 互为相反数 C. 都是0 D. 相等或互为相反数 12、若 x =-x ，则x 一定是（ ）A ．零 B.负数 C.正数 D.负数或零 13、下列说法正确的是（ ） A ．两数相加，其和大于任何一个加数 B. 0与任何数相加都得0 C ．若两数互为相反数，则这两数的和为0 D.两数相加，取较大一个加数的符号 14、下列说法错误的是（ ） A 、减去–2等于加上2 B 、a –b ＜0,说明b 大于a C 、a 与b 互为相反数,则a+b=0 D 、若a 与b 的绝对值相等,则这两个数相等 15、两个负数的和为a,它们的差为b ，则a 与b 的大小关系是（ ） A 、a ＞b B 、a=b C 、a ＜bD 、a ≤b 16 、数m 和n ，满足m 为正数，n 为负数，则m,m –n,m+n 的大小关系是（ ） A 、m ＞m –n ＞m+n B 、m+n ＞m ＞m –n C 、m –n ＞m+n ＞m D 、m –n ＞m ＞m+n 17 =a+b –c –d, 则 的值是（ ） A 、4 B 、–4 C 、10 D 、–10 18、在1，-1，-2这三个数中任意两数之和的最大值是（ ）A ．1 B.0 C.-1 D.-3 三、填空题（每空0.5分，共34分） 1. 相反数是2的数是____________,绝对值等于2的数是_____________ 2. |－4|－|－2.5|+|－10|＝__________;|－24|÷|－3|×|－2|＝_________ 3. 最大的负整数是_____________;最小的正整数是____________ 4. 绝对值小于5的整数有______个；绝对值小于6的负整数有_______个 5. 数轴三要素是__________,___________,___________ 6. 若上升6米记作＋6米，那么－8米表示 。 7. 在数轴上表示的两个数， 总比 的数大。 8. 的相反数是4，0得相反数是 ，－（－4）的相反数是 。 9. 绝对值最小的数是 ，－3 1 3 的绝对值是 。3.14-π= －2 1 2 －313。 10. 数轴上与表示－2的点距离1个单位长度的点所表示的数 。在有理数中最大的负整数是 ，最小 的正整数是 ，最小的非负整数是 ，最小的非负数是 。 12.数轴上与原点距离是5的点有 个，表示的数是 ． 13.在数轴上点A 表示的数是－3，与点A 相距两个单位的点表示的数是 14.已知x 是整数，并且－3＜x ＜4，那么在数轴上表示x 的所有可能的数值有 ． 15.在数轴上，点A.B 分别表示－5和2，则线段AB 的长度是 ． 16.从数轴上表示－1的点出发，向左移动两个单位长度到点B ，则点B 表示的数是 ，再向右移动两个单位长度到达点C,则点C 表示的数是 ． 17.数轴上的点A 表示－3，将点A 先向右移动7个单位长度，再向左移动5个单位长度，那么终点到原点的距离是 个单位长度． 18、+（+9 5 1 ）= ， +（-10.1） ， -（+0.78）= ， -（-3.14）= ； -[+（-3）]= ， -[-（-4）]= ， )2 13(+- = ， ) 5.6(--= 19.（1若m=-2 1 ，则-m= （2）a-1的相反数是-3，则a= ；（3）若 -（a-7）是负数，则a-7 0 20.数轴上，若点A 和点B 分别表示互为相反数的两个数，并且这两点的距离是 6.4，则这两点所表示的数分别是 和 。 21.绝对值小于5的整数有__ _个,分别是________ _____ 绝对值小于3的整数有 ；绝对值小于3非负整数有 。 22、（1）若x =5，则x = ； （2）若x =3-，则x= ；（3）若x -=6-，则x= ； 23、若 a +b =4，且a=-1，则b= 。 24、绝对值小于3的正整数是 ；绝对值小于5的负整数是 绝对值在2和5之间的整数是 。 25、若a+3=0，则a= 。26. － 31的绝对值的相反数与33 2 的相反数的和为 。 27. 绝对值小于2010的所有整数的和为 。 28. 已知两个数是18和-15，这两个数的和的绝对值是 ，绝对值的和是 。 29. a 的相反数是最大的负整数，b 是最小的正整数，那么a+b= 。 30、（–2）+（–7）–（–5）+（–6）写成省略括号的和的形式是 读作 。 = +--)3 1 1()312(31、要求出数轴上– 4和4.5所对应的两点之间的距离,可列算式 。 三、解答题; 1把下列各数填在相应的大括号里：(每小题1分，共6分) ＋12，－6，0.54，7，0，3.14，200%，3万，－124，3.4365，－4 13 ，－2.543。 正整数集合{ …}，负整数集合{ …}， 分数集合{ …}，自然数集合{ …}， 负数集合{ … }， 正数集合{ … }。 2/直接写出计算结果（本题共3分，每题０.5分） 1．（-4.6）+（8.4）=_______ 2． _________ 3．3.6- (-6.4)= _________ 4．（-5.93）-|-5.93|=________ _5． _______ 6． __________ 3、把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“?”号把数连接起来。 3.5，－3，1 3 ，5.4，0，－2 （４分） 4、比较大小：（每小题1分，共8分） （1）0 -25 （2）1 -1， （3） - 4 1， （4 ） -； （5） - -， （6）- 43 -32， （7）-31 -0.3, (8)43. 5、计算（本题共12分，每题2分） ) 43 5()41()813()25.0(-+-+-++. 0-29.8-17.5+16.5-2.2+7.5 6.走进生活：某交警骑着摩托车在东西方向的公路上来回巡视车辆情况，如果规定向东为正，他这一天行进的情况如下（单位：千米） +20，+4，—25，—12，—3，+16 （1）问该交警实际走了多少千米？（8分（2）如果摩托车每千米耗油0.2升，则他这一天共耗油多少升？ 7、某电信线路维护员骑着自行车在对一条靠近公路的东西走向的线路维护，他骑过的路程记录如下（向东为正，单位： 米）：1023，1200-，1156，987-，876，1203- 请问该线路维护员共跑了多少米？（6分） 8、已知有理数a.b 在数轴上的对应点位置如图所示： ? ? ? （4分） b o a 化简：①│a │–a= ③│a │+│b │= ②│a+b │= │b –a │= |) 4 3||315(||)312(213|-------)5 3 2()]57()323(6.8[324-+-++-+)]}3 2 3212(5[412{)213(312+-+--+-) 702.11()6 5 14()537()6155()5213(---++++-+=---)54()2.0(=+-4.110 36 绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程． 解绝对值方程的基本方法是设法去掉绝对值符号．将绝对值方程转化为常见的方程求解,今天我们主要学习两种类型的绝对值方程：一种是绝对值外只有常数；一种是绝对值外还有未知数。对于前一种我们可以利用绝对值的意义直接去掉绝对值符号，转化为两个一元一次方程分别求解即可；对于后一种我们有两种方法：方法一是把绝对值外面的项当做一个整体视为非负数，直接去掉绝对值，转化为两个一元一次方程，求出两个解之后要检验去掉一个不符合的绝对值意义的解；方法二是直接转化为两个一元一次方程和一个不等式，分别求解这三个方程和不等式，把不满足不等式的解去掉。 一、典型例题 【例1】如果｜x ｜＝8，求x ． 思路点拨 设法去掉绝对值符号，将原方程转化为一般的一元一次方程来求解（转化思想）． 【例2】解方程：|2x -1|=3. 思路点拨 利用整体思想设法去掉绝对值符号，将原方程转化为一般的一元一次方程来求解． 【例3】解方程：方程. 5665-=+x x 思路点拨 形如的绝对值方程可变形为且。 d cx b ax +=+)(d cx b ax +±=+0≥+d cx 【例4】解方程：.1112x x -=-思路点拨 形如的绝对值方程可变形为且。d cx b ax +=+)(d cx b ax +±=+0≥+d cx 二、解方程专项训练： 1． 2． 15)1(3+=-x x 199519953990=+x 3． 4. 2+=x x 2000 2020002000?=+x 5. 6. 0223=++x 055=-+-x x 7. 8. 0121=--x 523x -=9. 10. 43234+=--x x 121 x x -=-+ 11． 12. 21513x --=x x -=-2008200813.152 x x --+=思考：形如该怎么解呢？()ax b cx d e e +++=是常数 6.2.5含绝对值符号的一元一次方程 完成时间：40min 一．选择题（共30小题） 1．已知|2﹣x|=4，则x的值是（） A．﹣3 B．9 C．﹣3或9 D．以上结论都不对 2．已知关于x的方程|5x﹣4|+a=0无解，|4x﹣3|+b=0有两个解，|3x﹣2|+c=0只有一个解，则化简|a﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣b|的结果是（） A．2a B．2b C．2c D．0 3．方程|3x|+|x﹣2|=4的解的个数是（） A．0B．1C．2D．3 4．已知关于x的方程mx+2=2（m﹣x）的解满足方程|x﹣|=0，则m的值为（） A．B．2C．D．3 5．方程|2x﹣6|=0的解是（） A．3B．﹣3 C．±3 D． 6．若|x﹣1|=3，则x=（） A．4B．﹣2 C．±4 D．4或﹣2 7．方程|2x﹣1|=4x+5的解是（） A． x=﹣3或x=﹣B． x=3或x= C． x=﹣ D．x=﹣3 8．若关于x的方程|x|=2x+1的解为负数，则x的值为（）A．B．C．D．﹣1 9．方程|x﹣3|+|x+3|=6的解的个数是（） A．2B．3C．4D．无数个 10．若|x﹣2|=3，则x的值是（） A．1B．﹣1 C．﹣1或5 D．以上都不对 11．方程|3x|=18的解的情况是（） A．有一个解是6 B．有两个解，是±6 C．无解D．有无数个解 12．如果|x﹣1|+x﹣1=0，那么x的取值范围是（） A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1 13．若|2000x+2000|=20×2000，则x等于（） 14．已知关于x的方程|x|=ax﹣a有正根且没有负根，则a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≤﹣1 C．a＞2或a≤﹣2 D．a＞1或a≤﹣1 15．适合|2a+7|+|2a﹣1|=8的整数a的值的个数有（） A．2B．4C．8D．16 16．若|x|=3x+1，则（4x+2）2005=（） A．﹣1 B．0C．0或1 D．1 17．方程|2x﹣1|﹣a=0恰有两个正数解，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜0 B．﹣1＜a＜1 C．0＜a＜1 D． ＜a＜1 18．已知x﹣y=4，|x|+|y|=7，那么x+y的值是（） A． ±B． ± C．±7 D．±1 19．适合关系式|3x﹣4|+|3x+2|=6的整数x的值有（）个． A．0B．1C．2D．大于2的自然数 20．若单项式﹣2a|x|b|4x|和32ab3﹣x的相同字母的指数相同，则x的整数值等于（）A．1B．﹣1 C．±1 D．±1以外的数 21．方程|2007x﹣2007|=2007的解是（） A．0B．2C．1或2 D．2或0 22．满足||x﹣1|﹣|x||﹣|x﹣1|+|x|=1的x的值是（） A．0B． ±C．D． ± 23．如果方程|3x|﹣ax﹣1=0的根是负数，那么a的取值范围是（）A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3 24．关于x的含有绝对值的方程|2x﹣1|﹣|x|=2的不同实数解共有（）个．A．1B．2C．3D．4 25．方程|x﹣19|+|x﹣93|=74的有理数解（） A．至少有3个B．恰好有2个C．恰有1个D．不存在 26．方程2|x|+3=5的解是（） A．1B．﹣1 C．1和﹣1 D．无解 27．绝对值方程||x﹣2|﹣|x﹣6||=l的不同实数解共有多少个（）A．2B．4C．l D．0 28．||||x﹣1|﹣1|﹣1|﹣1|=0是一个含有4重绝对值符号的方程，则（）A．0，2，4全是根B．0，2，4全不是C．0，2，4不全是D．0，2，4之外没 第九讲绝对值与一元一次方程 绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程． 解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号．将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解．前者是通法，后者是技巧． 解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法． 例题 【例 1】方程5x 6 6x 5 的解是． (重庆市竞赛题) 思路点拨没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解． 【例 2】适合2a7 2a 1 8 的整数a的值的个数有()． A．5B．4C． 3D． 2 ( “希望杯；邀请赛试题) 思路点拨用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径． 注：形如 ax b cx d 的绝对值方程可变形为ax b(cx d ) 且cx d0 ， 才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验． 【例 3】解方程：x 3x 1 4 ； 思路点拨从内向外，根据绝对值定义性质简化方程． (天津市竞赛题 ) 【例 4】解下列方程： (1) x 3 x 1 x 1 (北京市“迎春杯”竞赛题) (2) x 1 x 5 4 ．(“祖冲之杯”邀请赛试题) 思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何 意义迅速求解． 【例 5】已知关于 x 的方程x 2 x 3 a ，研究a存在的条件，对这个方程的解进行讨论． 思路点拨方程解的情况取决于 a 的情况， a 与方程中常数2、 3 有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴 是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解． 注本例给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究． 绝对值与一元一次方程 一、形如| x +a | = b 方法：去绝对值符号 例1：| 2x – 1 | = 3 例2：4+2|x| = 3 |x|+2 二、绝对值的嵌套方法：由外向内逐层去绝对值符号 例1：| 3x – 4|+1| = 2 例2：x– 2|-1| =3 三、形如：| ax + b | = cx+d绝对值方程 方法：变形为ax + b =±（cx+d）且 cx+d≧0才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值方程时必须检验。 例1: | 5x + 6 | = 6x+5 例2: | x - 5 |+2x =-5 利用“零点分段“法化简 方法：求零点，分区间，定正负，去符号 例1：化简：| x + 5 |+| 2x - 3 | 例2：|| x -1 |-2|+ |x +1| 练习化简：1、| x + 5 |+| x - 7 | +| x+ 10 | 2、 四、“零点分段法”解方程 “零点分段法”即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可。 例1：| x + 1 |+| x - 5 | =4 例2：| 2x - 1 |+| x - 2 | =2| x +1 | 练习：解方程 1、3| 2x – 1 | = |-6| 2、││3x-5│+4│=8 3、│4x-3│-2=3x+4 4、│2x-1│+│x-2│=│x+1│ 提高题： 1、若关于X的方程││x-2│-1│=a有三个解，求a的值和方程的解 2、设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,?求b 的值. (“华杯赛”邀请赛试题) 3、讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况. 第九讲 绝对值与一元一次方程 绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程． 解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号．将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解．前者是通法，后者是技巧． 解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法． 例题 【例1】方程5665-=+x x 的解是 ． (重庆市竞赛题) 思路点拨 没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解． 【例2】 适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数有( )． A ．5 B ．4 C ． 3 D ．2 ( “希望杯；邀请赛试题) 思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径． 注：形如d cx b ax +=+的绝对值方程可变形为)(d cx b ax +±=+且0≥+d cx ， 才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验． 【例3】解方程：413=+-x x ； 思路点拨 从内向外，根据绝对值定义性质简化方程． (天津市竞赛题) 【例4】解下列方程： (1)113+=--+x x x (北京市“迎春杯”竞赛题) (2)451=-+-x x ． (“祖冲之杯”邀请赛试题) 思路点拨 解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解． 【例5】已知关于x 的方程a x x =-+-32，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论． 思路点拨 方程解的情况取决于a 的情况，a 与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解． 注 本例给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘 答案与评分标准 一、解答题（共18小题，满分150分） 1、a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？ （1）|a+b|=|a|+|b|； （2）|ab|=|a||b|； （3）|a﹣b|=|b﹣a|； （4）若|a|=b，则a=b； （5）若|a|＜|b|，则a＜b； （6）若a＞b，则|a|＞|b|． 考点：绝对值；不等式的性质。 分析：根据绝对值和不等式的性质对每一小题进行分析． 解答：解：（1）错误．当a，b同号或其中一个为0时成立． （2）正确． （3）正确． （4）错误．当a≥0时成立． （5）错误．当b＞0时成立． （6）错误．当a+b＞0时成立． 点评：本题主要考查了绝对值和不等式的有关内容．需熟练掌握和运用绝对值和不等式的性质． 2、已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：|b﹣a|+|a+c|﹣2|c﹣b|． 考点：整式的加减；数轴；绝对值。 分析：解决此题关键要对a，b，c与0进行比较，进而确定b﹣a，a+c，c﹣b与0的关系，从而很好的去掉绝对值符号． 解答：解：由数轴可知：a＞b＞0＞c，|a|＞|c|， 则b﹣a＜0，a+c＞0，c﹣b＜0． ∴|b﹣a|+|a+c|﹣2|c﹣b| =﹣（b﹣a）+（a+c）﹣2[﹣（c﹣b）] =﹣b+a+a+c+2c﹣2b =2a﹣3b+3c． 点评：在去绝对值符号时要注意：大于0的数值绝对值是它本身，小于零的数值绝对值是它的相反数． 3、已知x＜﹣3，化简：|3+|2﹣|1+x|||． 考点：绝对值。 专题：计算题。 分析：这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号． 解答：解：∵x＜﹣3， ∵1+x＜0，3+x＜0， ∴原式=|3+|2+（1+x）||， =|3+|3+x||， =|3﹣（3+x）|， =|﹣x|， =﹣x． 点评：本题考查了绝对值的知识，注意对于含有多层绝对值符号的问题，要从里往外一层一层地去绝对值符号．4、若abc≠0，则++的所有可能值是什么？ 考点：绝对值。 含绝对值的一元一次方程解法 形如| x | = a（a≥0）方程的解法（2课时） 一、教学目的： 1、掌握形如| x | = a（a≥0）方程的解法； 2、掌握形如| x – a | = b（b≥0）方程的解法。 二、教学重点与难点： 教学重点：解形如| x | = a（a≥0）和| x – a | = b（b≥0）的方程。 教学难点：解含绝对值方程时如何去掉绝对值。 （一） 1、绝对值的代数和几何意义。 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值 是零。 a （a > 0） 用字母表示为| a | = 0 （a = 0） – a （a < 0） 绝对值的几何意义：表示这个数的点离开原点的距离。因此任何数的绝对值是非负 数。 2、求下列方程的解： （1）| x | = 7；（2）5 | x | = 10；（3）| x | = 0；（4）| x | = – 3；（5）| 3x | = 9. 解：（1）x =±7； （2）x = ±2； （3）x = 0； （4）方程无解； （5）x = ±3. （二）根据绝对值的意义，我们可以得到： 当a > 0时x =± a | x | = a当a = 0时x = 0 当a < 0时方程无解. （三） 例1：解方程： （1）19 – | x | = 100 – 10 | x | （2）2||3 3|| 4 x x + =- 解：（1）– | x | + 10 | x | = 100 – 19 （2） 2 | x | + 3 = 12 – 4 | x | 9 | x | = 81 2 | x | + 4 | x | = 12 – 3 | x | = 9 6 | x | = 9 x = ±9 | x | = 1.5 x = ±1.5 例2、思考：如何解| x – 1 | = 2 分析：用换元（整体思想）法去解决，把x – 1 看成一个字母y，则原方程变为：| y | = 2，这个方程的解为y = ±2，即x – 1 = ±2，解得x = 3或x = – 1. 解：x – 1 = 2 或x – 1 = – 2 x = 3 x = – 1 例题小结： 初一数学绝对值计算题及答案过程 例1求下列各数的绝对值： (1)－38； (2)0.15； (3)a(a＜0)； (4)3b(b＞0)； (5)a－2(a＜2)； (6)a－b． 例2判断下列各式是否正确(正确入“T”，错误入“F”)： (1)｜－a｜＝｜a｜； ( ) (2)－｜a｜＝｜－a｜； ( ) (4)若｜a｜＝｜b｜，则a＝b； ( ) (5)若a＝b，则｜a｜＝｜b｜； ( ) (6)若｜a｜＞｜b｜，则a＞b； ( ) (7)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜； ( ) (8)若a＞b，则｜b－a｜＝a－b． ( ) 例3判断对错．(对的入“T”，错的入“F”) (1)如果一个数的相反数是它本身，那么这个数是0． ( ) (2)如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是1和0． ( ) (3)如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是0或1． ( ) (4)如果说“一个数的绝对值是负数”，那么这句话是错的． ( ) (5)如果一个数的绝对值是它的相反数，那么这个数是负数． ( ) 例4 已知(a－1)2＋｜b＋3｜＝0，求a、b． 例5填空： (1)若｜a｜＝6，则a＝______； (2)若｜－b｜＝0.87，则b＝______； (4)若x＋｜x｜＝0，则x是______数． 例6 判断对错：(对的入“T”，错的入“F”) (1)没有最大的自然数． ( ) (2)有最小的偶数0． ( ) (3)没有最小的正有理数． ( ) (4)没有最小的正整数． ( ) (5)有最大的负有理数． ( ) (6)有最大的负整数－1． ( ) (7)没有最小的有理数． ( ) (8)有绝对值最小的有理数． ( ) 例7 比较下列每组数的大小，在横线上填上适当的关系符号 (“＜”“＝”“＞”) (1)｜－0.01｜______－｜100｜； (2)－(－3)______－｜－3｜； (3)－[－(－90)]_______0； (4)当a＜3时，a－3______0；｜3－a｜______a－3． 例8在数轴上画出下列各题中x的范围： (1)｜x｜≥4；(2)｜x｜＜3；(3)2＜｜x｜≤5．例9 (1)求绝对值不大于2的整数； (2)已知x是整数，且2.5＜|x|＜7，求x． 例10解方程： (1) 已知｜14－x｜＝6，求x； *(2)已知｜x＋1｜＋4＝2x，求x． 含绝对值的一元一次方程 我们把绝对值内含有未知数的方程，叫做含有绝对值的方程， 1．解方程：||1|1|3x x +-=． 2．解方程：|1||3|5x x -+-=． 解：方程可化为： ①1,135,x x x ??-+-=?由①得1,1,x x x+1 构造函数图形如下：从而求解 第九讲 绝对值与一元一次方程 绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程． 解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号．将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解．前者是通法，后者是技巧． 解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法． 例题 【例1】方程5665-=+x x 的解是 ． (重庆市竞赛题) 思路点拨 没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解． 【例2】 适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数有( )． A ．5 B ．4 C ． 3 D ．2 ( “希望杯；邀请赛试题) 思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径． 注：形如d cx b ax +=+的绝对值方程可变形为)(d cx b ax +±=+且0≥+d cx ， 才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验． 【例3】解方程：413=+-x x ； 思路点拨 从内向外，根据绝对值定义性质简化方程． (天津市竞赛题) 【例4】解下列方程： (1)113+=--+x x x (北京市“迎春杯”竞赛题) (2)451=-+-x x ． (“祖冲之杯”邀请赛试题) 思路点拨 解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解． 【例5】已知关于x 的方程a x x =-+-32，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论． 思路点拨 方程解的情况取决于a 的情况，a 与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解． 注 本例给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究． 含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是} a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{ } c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-; 当0 含绝对值一次方程及方程组的解法 一、绝对值的代数和几何意义。 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对 值是零。 用字母表示为 ?? ???-=a a a 0 000<=>a a a 绝对值的几何意义：表示这个数的点离开原点的距离。因此任何数的绝对值是非负 数。 根据绝对值的意义，我们可以得到： 当a > 0时 x =± a | x | =a 当a = 0时 x = 0 当a < 0时 方程无解. 二、含绝对值的一次方程的解法 （1）形如(0)ax b c a +=≠型的绝对值方程的解法： ①当0c <时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解； ②当0c =时，原方程变为0ax b +=，即0ax b +=，解得b x a =-； ③当0c >时，原方程变为ax b c +=或ax b c +=-，解得c b x a -=或c b x a --=． （2）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值的非负性可知0cx d +≥，求出x 的取值范围； ②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+； ③分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+； ④将求得的解代入0cx d +≥检验，舍去不合条件的解． （3）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+或()ax b cx d +=-+； ②分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+． （4）形如()x a x b c a b -+-=<型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值的几何意义可知x a x b a b -+-≥-； ②当c a b <-时，此时方程无解；当c a b =-时，此时方程的解为a x b ≤≤；当c a b >-时，分两 种情况：①当x a <时，原方程的解为2 a b c x +-=；②当x b >时，原方程的解为2a b c x ++= ． （5）形如(0)ax b cx d ex f ac +±+=+≠型的绝对值方程的解法： ①找绝对值零点：令0ax b +=，得1x x =，令0cx d +=得2x x =； ②零点分段讨论：不妨设12x x <，将数轴分为三个区段，即①1x x <；②12x x x ≤<；③2x x ≥； ③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解． （6）形如(0)ax b cx d ex f a +++=+≠型的绝对值方程的解法： 解法一：由内而外去绝对值符号： 按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解． 解法二：由外而内去绝对值符号： ①根据绝对值的非负性可知0ex f +≥，求出x 的取值范围； 聚焦《绝对值》 【图解考点】 【技法透析】 1．绝对值的基本性质 在含有绝对值式子的运算及变形中，绝对值的性质有很重要的作用，其主要性质有：若a 、b 为有理数，则： (1)非负性：①a ≥0；②若a ＋b ＝0，则a ＝b ＝0； (2)若a ＝b ，则a ＝±b ；2 22a a a == (3)ab a b =?； a a b b =（b ≠0）； ④a b a b a b -≤±≤+． 特别关注：若干个非负数之和为0，则这几个非负数必须同时为0，即：a ＋b ＋…＋n ＝0，则a ＝b ＝…＝n ＝0． 2．去绝对值符号的方法 去掉绝对值符号是绝对值化简的关键，而绝对值符号内的数（或式）的正负性的判断是化简的关键，在实际运用中常见的去绝对值符号的方法有： (1)由已知条件去绝对值． (2)从数轴上“读取”相关信息，运用数形结合去绝对值． (3)运用“零点分段法”分类讨论去绝对值， 特别关注：对于多个绝对值问题，其解题思路为：求零点、分区间、定性质、去符号，即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成若干个区间，再在各区间内化简求值即可． 3．绝对值方程 (1)最简单的绝对值方程为x ＝a ，它的解法情况如下： ①当a>0时，方程有两解：x ＝a 或x ＝－a ， ②当a ＝0时，方程有一解：x ＝0， ③当a<0时，方程无解． (2)解绝对值方程的一般步骤 ①求出各个零界点． ②根据未知数的取值范围分类讨论． ③去绝对值符号，化为一般方程求解，在转化过程中，经常荽用到分类讨论，数形结合等方法．在解题过程中，要充分利用绝对值的意义和性质，善于观察，发掘题目中的隐含条件，从而简化解题过程． 特别关注：对于解绝对值方程，零点分段法是一种非常重要的方法． 4．绝对值的几何意义在生活中的应用 在实际生活中经常要通过借助数轴模型使复杂的数量关系形象化，简单化，同时又使实际问题数学化，从而运用绝对倌的几何定义求解．一般地，设a 1，a 2，a 3，…a n 是数轴上依次排列的点表示的有理数，对于12n x a x a x a -+-+- ，则： (1)当n 为奇数时，此式在x ＝12 n a +时取最小值； (2)当n 为偶数时，此式在2n a ≤x ≤1 2n a +时取最小值． 【名题精讲】 赛点1 绝对值的化简 解含绝对值的方程 “解含绝对值的方程”例题解析 绝对值概念在初中代数，乃至初等数学中，均占有相当重要的地位。解含绝对值的方程在初中数学竞赛中经常出现，同学们往往感到困惑，难于解答。下面举例说明解这类方程的几种常用方法。 一. 运用基本公式：若，则解方程 例1. 解方程 解：去掉第一重绝对值符号，得 移项，得或 所以 所以原方程的解为： 例2. 解方程 解：因为 所以 即 或 解方程（1），得 解方程（2），得 又因为，所以 所以原方程的解为 二. 运用绝对值的代数意义解方程例3. 方程的解的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4或4以上 解：方程可化为 所以 所以方程的解有无数个，故选（D）。 三. 运用绝对值的非负性解方程 例4. 方程的图像是（） A. 三条直线： B. 两条直线： C. 一点和一条直线：（0，0）， D. 两个点：（0，1），（-1，0） 解：因为 而 所以 所以原方程的图象为两个点（0，1），（-1，0） 故选（D）。 四. 运用绝对值的几何意义解方程 例5. 解方程 解：设，由绝对值的几何意义知 所以 又因为 所以 从数轴上看，点落在点与点的内部（包括点与点在内），即原方程的解为。 五. 运用方程的图象研究方程的解 例6. 若关于x的方程有三个整数解，则a的值是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解：作的图象，如图1所示，由于方程解的个数就是直线与的图象的交点个数，把直线平行于x轴上、下移动，通过观察得仅当时方程有三个整数解。故选（B）。 图1 同时，我们还可以得到以下几个结论： （1）当时，方程没有解； （2）当或时，方程有两个解； （3）当时，方程有4个解。 中考数学试题分类解析汇编 专题1：实数 一、选择题 1. （2012广东省3分）﹣5的绝对值是【】 A． 5 B． ﹣5 C． D．﹣【答案】A。 【考点】绝对值。绝对值方程专项训练
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