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解含绝对值的方程讲解学习

解含绝对值的方程

“解含绝对值的方程”例题解析

绝对值概念在初中代数，乃至初等数学中，均占有相当重要的地位。解含绝对值的方程在初中数学竞赛中经常出现，同学们往往感到困惑，难于解答。下面举例说明解这类方程的几种常用方法。

一. 运用基本公式：若，则解方程

例1. 解方程

解：去掉第一重绝对值符号，得

移项，得或

所以

所以原方程的解为：

例2. 解方程

解：因为

所以

即

或

解方程（1），得

解方程（2），得

又因为，所以

所以原方程的解为

二. 运用绝对值的代数意义解方程例3. 方程的解的个数是（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4或4以上

解：方程可化为

所以

所以方程的解有无数个，故选（D）。

三. 运用绝对值的非负性解方程

例4. 方程的图像是（）

A. 三条直线：

B. 两条直线：

C. 一点和一条直线：（0，0），

D. 两个点：（0，1），（-1，0）

解：因为

而

所以

所以原方程的图象为两个点（0，1），（-1，0）

故选（D）。

四. 运用绝对值的几何意义解方程

例5. 解方程

解：设，由绝对值的几何意义知

所以

又因为

所以

从数轴上看，点落在点与点的内部（包括点与点在内），即原方程的解为。

五. 运用方程的图象研究方程的解

例6. 若关于x的方程有三个整数解，则a的值是（）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

解：作的图象，如图1所示，由于方程解的个数就是直线与的图象的交点个数，把直线平行于x轴上、下移动，通过观察得仅当时方程有三个整数解。故选（B）。

图1

同时，我们还可以得到以下几个结论：

（1）当时，方程没有解；

（2）当或时，方程有两个解；

（3）当时，方程有4个解。

中考数学试题分类解析汇编

专题1：实数

一、选择题

1. （2012广东省3分）﹣5的绝对值是【】

A． 5 B．

﹣5 C． D．﹣【答案】A。

【考点】绝对值。

【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣5|=5。故选A。

2. （2012广东省3分）地球半径约为6400000米，用科学记数法表示为【】

A． 0.64×

107 B． 6.4×106 C． 64×105 D． 640×104

【答案】B。

【考点】科学记数法。

【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值。在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）。6400000一共7位，从而6400000=6.4×106。故选B。

3. （2012广东佛山3分）的绝对值是【】

A．2 B． C． D．

【答案】C。

【考点】绝对值。

【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴

上，点到原点的距离是，所以的绝对值是。故选C。

4. （2012广东佛山3分）与2÷3÷4运算结果相同的是【】

A．4÷2÷3 B．2÷（3×4）C．2÷（4÷2） D．3÷2÷4

【答案】B。

【考点】有理数的乘除运算。

【分析】根据连除的性质可得：2÷3÷4=2÷（3×4）。故选B。

5. （2012广东广州3分）实数3的倒数是【】

A．﹣B．C．﹣3 D．3

【答案】B。

【考点】倒数。

【分析】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用1除以这个数．所以3的倒数为1÷3=。故选B。

6. （2012广东广州3分）已知，则a+b=【】

A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8

【答案】B。

【考点】非负数的性质，绝对值，算术平方，求代数式的值。

【分析】∵，，∴a﹣1=0，7+b=0，解得

a=1，b=﹣7。

∴a+b=1+（﹣7）=﹣6。故选B。

7. （2012广东梅州3分）=【】

A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1

【答案】D。

【考点】零指数幂。

【分析】根据任何非0数的0次幂等于1解答即可：。故选D。

8. （2012广东汕头4分）﹣5的绝对值是【】

A． 5 B．

﹣5 C． D．﹣【答案】A。

【考点】绝对值。

【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣5|=5。故选A。

9.（2012广东汕头4分）地球半径约为6400000米，用科学记数法表示为【】

A． 0.64×107 B． 6.4×106 C． 64×105 D． 640×104【答案】B。

【考点】科学记数法。

10. （2012广东深圳3分）－3的倒数是【】

A．3 B．－3 C. D。

【答案】D。

【考点】倒数。

【分析】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数

即用1除以这个数．所以－3的倒数为1÷（－3）=。故选D。

11.（2012广东深圳3分）第八届中国（深圳）文博会以总成交额143 300 000 000元再创新高．将数143 300 000 000用科学记数法表示为【】

A， B。 C。 D。

【答案】B。

【考点】科学记数法。

【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值。在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点

前的1个0）。143 300 000 000一共12位，从而143 300 000 000=1.433×1011。故选B。

12. （2012广东湛江4分）2的倒数是【】

A．2 B．﹣2 C．D．﹣

【答案】C。

【考点】倒数。

【分析】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用

1除以这个数．所以2的倒数为1÷2=。故选C。

13. （2012广东湛江4分）国家发改委已于2012年5月24日核准广东湛江钢铁基地项目，项目由宝钢湛江钢铁有限公司投资建设，预计投产后年产10200000吨钢铁，数据10200000用科学记数法表示为【】A．102×105 B．10.2×106 C．1.02×106 D．1.02×107

【答案】D。

【考点】科学记数法。

【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值。在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）。10200000一共8位，从而10200000=1.02×107。故选D。

14. （2012广东肇庆3分）计算的结果是【】

A．1 B． C． 5 D．

【答案】B。

【考点】有理数的加法。

【分析】根据有理数的加法运算法则计算即可得解：－3+2=－（3－2）=－1。故选B。

15. （2012广东肇庆3分）用科学记数法表示5700000，正确的是【】

A． B． C． D ．

【答案】A。

【考点】科学记数法。

【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值。在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）。5700000一共7位，从而5700000=5.7×106。故选A。

16. （2012广东珠海3分）2的倒数是【】

A．2 B．﹣2 C．D．﹣

【答案】C。

【考点】倒数。

【分析】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数

即用1除以这个数．所以2的倒数为1÷2=。故选C。

二、填空题

1. （2012广东省4分）若x，y为实数，且满足，则

的值是▲．

【答案】1。

【考点】非负数的性质，算术平方根，绝对值。

【分析】根据算术平方根和绝对值非负数的性质，要使，必须有且，即x=3，y=3。∴。

2. （2012广东梅州3分）使式子有意义的最小整数m是

▲．

【答案】2。

【考点】二次根式有意义的条件。

【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须。所以最小整数m是2。

3. （2012广东梅州3分）梅州水资源丰富，水力资源的理论发电量为775000千瓦，这个数据用科学记数法可表示为▲千瓦．【答案】7.75×105。

【考点】科学记数法。

【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值。在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）。775000一共6位，从而775000=7.75×105。

4. （2012广东湛江4分）若二次根式有意义，则x的取值范围是▲．

【答案】。

【考点】二次根式有意义的条件。

【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须。

5. （2012广东肇庆3分）计算的结果是▲．

【答案】2。

【考点】二次根式的乘法。

【分析】根据二次根式乘法进行计算：。

8. （2012广东珠海4分）使有意义的x的取值范围

是▲．

【答案】。

【考点】二次根式有意义的条件。

【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须。

三、解答题

1. （2012广东省6分）计算：．

【答案】解：原式=。

【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂。

【分析】针对特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂3个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。

2. （2012广东省7分）观察下列等式：

第1个等式：；第2个等式：；

第3个等式：；第4个等式：；…

请解答下列问题：

（1）按以上规律列出第5个等式：a

= = ；

（2）用含有n的代数式表示第n个等式：a

= = （n为正整数）；

（3）求a

1+a

+…+a

100

的值．

【答案】解：（1）。（2）

。

（3）a

1+a

+…+a

100

。

【考点】分类归纳（数字的变化类）。

【分析】（1）（2）观察知，找等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为：序号的2倍减1和序号的2倍加1。

（3）运用变化规律计算。

3. （2012广东梅州7分）计算：．

【答案】解：原式=。

【考点】实数的运算，绝对值，算术平方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂。

【分析】针对绝对值，算术平方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。

4. （2012广东汕头7分）计算：．

【答案】解：原式=。

【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂。

【分析】针对特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂3个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。

8. （2012广东珠海6分）计算：．

【答案】解：原式=2－1＋1－2=0。

【考点】实数的运算，算术平方根，绝对值，零指数幂，负整数指数幂。

【分析】针对算术平方根，绝对值，零指数幂，负整数指数幂4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。

专题2：代数式和因式分解

一、选择题

1. （2012广东佛山3分）等于【】

A． B． C． D．

【答案】A。

【考点】同底数幂的乘法。

【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即：。故选A。

2. （2012广东广州3分）下面的计算正确的是【】

A．6a﹣5a=1 B．a+2a2=3a3C．﹣（a﹣b）=﹣a+b D．2（a+b）=2a+b

【答案】C。

【考点】去括号与添括号，合并同类项。

【分析】根据合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反，进行计算，即可选出答案：

A、6a﹣5a=a，故此选项错误；

B、a与2a2不是同类项，不能合并，故此选项错误；

C、﹣（a﹣b）=﹣a+b，故此选项正确；

D、2（a+b）=2a+2b，故此选项错误。

故选C。

3. （2012广东汕头4分）下列运算正确的是【】

A．a+a=a2 B．（﹣a3）2=a5 C．3a?a2=a3 D．

【答案】D。

【考点】合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法。

【分析】根据合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法运算法则逐一计算作出判断：

A、a+a=2a，故此选项错误；

B、（﹣a3）2=a6，故此选项错误；

C、3a?a2=3a3，故此选项错误；

D、，故此选项正确。

故选D。

4. （2012广东深圳3分）下列运算正确的是【】

A， B。 C。 D。

【答案】B。

【考点】合并同类项，同底幂乘法和除法，幂的乘方和积的乘方。

【分析】根据合并同类项，同底幂乘法和除法，幂的乘方和积的乘方运算法则逐一计算作出判断：

A. 和不是同类项，不可以合并，选项错误；

B. ，选项正确；

C. ，选项错误；

D. ，选项错误。故选B。

5. （2012广东湛江4分）下列运算中，正确的是【】

A．3a2﹣a2=2 B．（a2）3=a5 C．a3?a6=a9 D．（2a2）2=2a4

【答案】C。

【考点】合并同类项，同底幂乘法，幂的乘方和积的乘方。

【分析】根据合并同类项，同底幂乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则逐一计算作出判断：

A、3a2﹣a2=2a2，故本选项错误；

B、（a2）3=a6，故本选项错误；

C、a3?a6=a9，故本选项正确；

D、（2a2）2=4a4，故本选项错误。

故选C。

6. （2012广东肇庆3分）要使式子有意义，则的取值范围是【】

A． B． C． D．

【答案】A。

【考点】二次根式有意义的条件。

【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在有意义，必须。故选A。

7. （2012广东珠海3分）计算﹣2a2+a2的结果为【】

A．﹣3a B．﹣a C．﹣3a2 D．﹣a2

【答案】D。

【考点】合并同类项。

【分析】根据合并同类项法则（把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变）相加即可得出答案：﹣2a2+a2=﹣a2。。故选D。

二、填空题

1. （2012广东省4分）分解因式：2x2﹣10x= ▲．

【答案】2x（x﹣5）。

【考点】提公因式法因式分解。

【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，直接提取公因式2x即可：2x2﹣10x==2x（x﹣5）。

2. （2012广东广州3分）分解因式：a3﹣8a= ▲．

【答案】a（a+2）（a﹣2）。

【考点】提公因式法和公式法因式分解。

【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解：a3﹣8a=a（a2﹣8）=a（a+2）（a﹣2）。

3. （2012广东梅州3分）若代数式﹣4x6y与x2n y是同类项，则常数n的值为▲．

【答案】3。

【考点】同类项。

【分析】根据同类项的定义列式求解即可：

∵代数式﹣4x6y与x2n y是同类项，∴2n=6，解得：n=3。

4. （2012广东汕头4分）分解因式：2x2﹣10x= ▲．

【答案】2x（x﹣5）。

【考点】提公因式法因式分解。

5. （2012广东汕头4分）若x，y为实数，且满足，则

的值是▲．

【答案】1。

【考点】非负数的性质，算术平方根，绝对值。

【分析】根据算术平方根和绝对值非负数的性质，要使，必须有

且，即x=3，y=3。∴。

2. （2012广东佛山6分）化简：

【答案】解：原式=。

【考点】分式的加减法。

【分析】应用分配率较简便，也可先通分，再计算。

3. （2012广东广州10分）已知（a≠b），求的值．

【答案】解：∵，∴，

∴。

【考点】分式的化简求值。

【分析】由得出，对通分（最简公分母为），分子因式分解，约分，化简得出，代入求出即可。

4. （2012广东汕头7分）先化简，再求值：（x+3）（x﹣3）﹣x（x﹣2），其中x=4．

【答案】解：原式=x2﹣9﹣x2+2x=2x﹣9。

当x=4时，原式=2×4﹣9=﹣1。

【考点】整式的混合运算（化简求值）。

【分析】先把整式进行化简，再把x=4代入进行计算即可。

5. （2012广东汕头9分）观察下列等式：

第1个等式：；

第2个等式：；

第3个等式：；

第4个等式：；

…

请解答下列问题：

（1）按以上规律列出第5个等式：a

= = ；

（2）用含有n的代数式表示第n个等式：a

= = （n为正整数）；

（3）求a

1+a

+…+a

100

的值．

【答案】解：（1）。

（2）。

（3）a

1+a

+…

100

谈谈如何解含绝对值的方程

谈谈如何解含绝对值的方程施静忠绝对值概念在初中代数，乃至初等数学中，均占有相当重要的地位。解含绝对值的方程在初中数学竞赛中经常出现，同学们往往感到困惑，难于解答。下面举例说明解这类方程的几种常用方法。一. 运用基本公式：若，则解方程例1. 解方程解：去掉第一重绝对值符号，得移项，得或所以所以原方程的解为：例2. 解方程解：因为所以即或解方程（1），得解方程（2），得又因为，所以所以原方程的解为

二. 运用绝对值的代数意义解方程例3. 方程的解的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4或4以上解：方程可化为所以所以方程的解有无数个，故选（D）。三. 运用绝对值的非负性解方程例4. 方程的图像是（） A. 三条直线： B. 两条直线： C. 一点和一条直线：（0，0）， D. 两个点：（0，1），（-1，0）解：因为而所以所以原方程的图象为两个点（0，1），（-1，0）故选（D）。

四. 运用绝对值的几何意义解方程例5. 解方程解：设，由绝对值的几何意义知所以又因为所以从数轴上看，点落在点与点的内部（包括点与点在内），即原方程的解为。五. 运用方程的图象研究方程的解例6. 若关于x的方程有三个整数解，则a的值是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解：作的图象，如图1所示，由于方程解的个数就是直线与的图象的交点个数，把直线平行于x轴上、下移动，通过观察得仅当时方程有三个整数解。故选（B）。图1 同时，我们还可以得到以下几个结论：（1）当时，方程没有解；（2）当或时，方程有两个解；（3）当时，方程有4个解。

绝对值方程专项训练

绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程．解绝对值方程的基本方法是设法去掉绝对值符号．将绝对值方程转化为常见的方程求解,今天我们主要学习两种类型的绝对值方程：一种是绝对值外只有常数；一种是绝对值外还有未知数。对于前一种我们可以利用绝对值的意义直接去掉绝对值符号，转化为两个一元一次方程分别求解即可；对于后一种我们有两种方法：方法一是把绝对值外面的项当做一个整体视为非负数，直接去掉绝对值，转化为两个一元一次方程，求出两个解之后要检验去掉一个不符合的绝对值意义的解；方法二是直接转化为两个一元一次方程和一个不等式，分别求解这三个方程和不等式，把不满足不等式的解去掉。一、典型例题【例1】如果｜x ｜＝8，求x ．思路点拨设法去掉绝对值符号，将原方程转化为一般的一元一次方程来求解（转化思想）．【例2】解方程：|2x -1|=3. 思路点拨利用整体思想设法去掉绝对值符号，将原方程转化为一般的一元一次方程来求解．【例3】解方程：方程. 5665-=+x x 思路点拨形如的绝对值方程可变形为且。 d cx b ax +=+)(d cx b ax +±=+0≥+d cx 【例4】解方程：.1112x x -=-思路点拨形如的绝对值方程可变形为且。d cx b ax +=+)(d cx b ax +±=+0≥+d cx 二、解方程专项训练：

1． 2． 15)1(3+=-x x 199519953990=+x 3． 4. 2+=x x 2000 2020002000?=+x 5. 6. 0223=++x 055=-+-x x 7. 8. 0121=--x 523x -=9. 10. 43234+=--x x 121 x x -=-+ 11． 12. 21513x --=x x -=-2008200813.152 x x --+=思考：形如该怎么解呢？()ax b cx d e e +++=是常数

含参数的一元一次方程.含绝对值的一元一次方程

含参数的一元一次方程、含绝对值的一元一次方程一．含有参数的一元一次方程 1. 整数解问题 2. 两个一元一次方程同解问题 3. 已知方程解的情况求参数 4. 一元一次方程解的情况（分类讨论）二：解含有绝对值的一元一次方程一. 含有参数的一元一次方程 1. 整数解问题（常数分离法）例题1：⑴ 【中】已知关于x 的方程9314x kx +=+有整数解，求整数_____k = 答案：(9)11k x -= 119x k =- ∵,x k 均为整数 ∴91,11k -=±± ∴2,8,10,20k =- ⑵ 【中】关于x 的方程()2 (1)130n x m x -+--=是一元一次方程 (1)则,m n 应满足的条件为:___m ,____n ; (2)若此方程的根为整数,求整数=____m 答案：(1)1,1≠=; (2)由(1)可知方程为(1)3m x -=, 则31 x m = - ∵此方程的根为整数.

∴31 m -为整数又∵m 为整数,则13,1,1,3m -=-- ∴2,0,2,4m =- 测一测1：【中】关于x 的方程143+=+x ax 的解为正整数，则整数a 的值为( ) A.2 B.3 C.1或2 D.2或3 答案：D 方程143+=+x ax 可化简为：()24-=-x a 解得4 2--=a x 解为正整数，()214--=-或a 32或=a 测一测2：【中】关于x 的方程917x kx -=的解为正整数,则k 的值为___________ 答案：917x kx -=可以转化为(9)17k x -= 即:179x k = -,x 为正整数,则88k =或- 测一测3: 【中】m 为整数，关于x 的方程 6x mx =- 的解为正整数，求_____m = 答案：由原方程得：61 x m =+ ，x 是正整数，所以1m + 只能为6的正约数， 11,2,3,6m += 所以0,1,2,5m = 2. 两个一元一次方程同解问题例题2：⑴ 【易】若方程29ax x -=与方程215x -=的解相同，则a 的值为_________ 【答案】第二个方程的解为3x =，将3x =代入到第一个方程中，得到369a -= 解得 5a =

含绝对值的一元一次方程解法

含绝对值的一元一次方程解法一、绝对值的代数和几何意义。值的代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。用字母表示为绝对值的几何意义：表示这个数的点离开原点的距离。因此任何数的绝对值是非负数。 1、求下列方程的解：（1）| x | = 7；（2）5 | x | = 10；（3）| x | = 0；（4）| x | = – 3；（5）| 3x | = 9. 解：二、根据绝对值的意义，我们可以得到：当 > 0时 x =± | x | =当 = 0时 x = 0 当 < 0时方程无解. （三）例1：解方程：（1） 19 – | x | = 100 – 10 | x | （2）解：（1）例2、思考：如何解 | x – 1 | = 2 分析：用换元（整体思想）法去解决，把 x – 1 看成一个字母y，则原方程变为： | y | = 2，这个方程的解为 y = ±2，即 x – 1 = ±2，解得 x = 3或x = –

1. 解：例3：解方程：| 2x – 1 | – 3 = 0 解方程：解：三：形如的绝对值的一元一次方程可变形为：且才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值方程时必须检验。例1：解方程：练习：（1）解方程：（2）解方程：

四：“零点分段法”解含多个绝对值的代数问题 “零点分段法”即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可。例1：化简下列各式 1、 2、练习：化简：例2：解下列方程 1、 2、练习： 1、 2、

含绝对值符号的一元一次方程习题附答案

6.2.5含绝对值符号的一元一次方程完成时间：40min 一．选择题（共30小题） 1．已知|2﹣x|=4，则x的值是（） A．﹣3 B．9 C．﹣3或9 D．以上结论都不对 2．已知关于x的方程|5x﹣4|+a=0无解，|4x﹣3|+b=0有两个解，|3x﹣2|+c=0只有一个解，则化简|a﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣b|的结果是（） A．2a B．2b C．2c D．0 3．方程|3x|+|x﹣2|=4的解的个数是（） A．0B．1C．2D．3 4．已知关于x的方程mx+2=2（m﹣x）的解满足方程|x﹣|=0，则m的值为（） A．B．2C．D．3 5．方程|2x﹣6|=0的解是（） A．3B．﹣3 C．±3 D． 6．若|x﹣1|=3，则x=（） A．4B．﹣2 C．±4 D．4或﹣2 7．方程|2x﹣1|=4x+5的解是（） A． x=﹣3或x=﹣B． x=3或x= C． x=﹣ D．x=﹣3 8．若关于x的方程|x|=2x+1的解为负数，则x的值为（）A．B．C．D．﹣1 9．方程|x﹣3|+|x+3|=6的解的个数是（） A．2B．3C．4D．无数个 10．若|x﹣2|=3，则x的值是（） A．1B．﹣1 C．﹣1或5 D．以上都不对 11．方程|3x|=18的解的情况是（） A．有一个解是6 B．有两个解，是±6 C．无解D．有无数个解 12．如果|x﹣1|+x﹣1=0，那么x的取值范围是（） A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1 13．若|2000x+2000|=20×2000，则x等于（）

14．已知关于x的方程|x|=ax﹣a有正根且没有负根，则a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≤﹣1 C．a＞2或a≤﹣2 D．a＞1或a≤﹣1 15．适合|2a+7|+|2a﹣1|=8的整数a的值的个数有（） A．2B．4C．8D．16 16．若|x|=3x+1，则（4x+2）2005=（） A．﹣1 B．0C．0或1 D．1 17．方程|2x﹣1|﹣a=0恰有两个正数解，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜0 B．﹣1＜a＜1 C．0＜a＜1 D．＜a＜1 18．已知x﹣y=4，|x|+|y|=7，那么x+y的值是（） A． ±B． ± C．±7 D．±1 19．适合关系式|3x﹣4|+|3x+2|=6的整数x的值有（）个． A．0B．1C．2D．大于2的自然数 20．若单项式﹣2a|x|b|4x|和32ab3﹣x的相同字母的指数相同，则x的整数值等于（）A．1B．﹣1 C．±1 D．±1以外的数 21．方程|2007x﹣2007|=2007的解是（） A．0B．2C．1或2 D．2或0 22．满足||x﹣1|﹣|x||﹣|x﹣1|+|x|=1的x的值是（） A．0B． ±C．D． ± 23．如果方程|3x|﹣ax﹣1=0的根是负数，那么a的取值范围是（）A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3 24．关于x的含有绝对值的方程|2x﹣1|﹣|x|=2的不同实数解共有（）个．A．1B．2C．3D．4 25．方程|x﹣19|+|x﹣93|=74的有理数解（） A．至少有3个B．恰好有2个C．恰有1个D．不存在 26．方程2|x|+3=5的解是（） A．1B．﹣1 C．1和﹣1 D．无解 27．绝对值方程||x﹣2|﹣|x﹣6||=l的不同实数解共有多少个（）A．2B．4C．l D．0 28．||||x﹣1|﹣1|﹣1|﹣1|=0是一个含有4重绝对值符号的方程，则（）A．0，2，4全是根B．0，2，4全不是C．0，2，4不全是D．0，2，4之外没

绝对值方程详解及答案.doc

第九讲绝对值与一元一次方程绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程．解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号．将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解．前者是通法，后者是技巧．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．例题【例 1】方程5x 6 6x 5 的解是． (重庆市竞赛题) 思路点拨没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解．【例 2】适合2a7 2a 1 8 的整数a的值的个数有()． A．5B．4C． 3D． 2 ( “希望杯；邀请赛试题) 思路点拨用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径．注：形如 ax b cx d 的绝对值方程可变形为ax b(cx d ) 且cx d0 ，才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验．【例 3】解方程：x 3x 1 4 ；思路点拨从内向外，根据绝对值定义性质简化方程． (天津市竞赛题 ) 【例 4】解下列方程： (1) x 3 x 1 x 1 (北京市“迎春杯”竞赛题) (2) x 1 x 5 4 ．(“祖冲之杯”邀请赛试题) 思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解．【例 5】已知关于 x 的方程x 2 x 3 a ，研究a存在的条件，对这个方程的解进行讨论．思路点拨方程解的情况取决于 a 的情况， a 与方程中常数2、 3 有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解．注本例给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究．

如何解含有多个绝对值符号的方程

5.如何解含有多个绝对值符号的方程题目解方程 |1|||3|1|2|2|2x x x x x +-+---=+ （*）这是《你能解吗？——献给数学爱好者》一书p3的第14题. 对于含有多个绝对值符号的方程问题，常规解法都是利用分段讨论的方法脱掉绝对值符号的. 本文介绍一种简便的新方法. 设121()||(1,,)n i i n i f x a x b cx d n b b b == -++><，则在 1i i b x b +≤≤中()f x = 0无根；若1()()0i i f b f b +?<，则在1i i b x b +≤≤中()f x = 0只有一个根，此根可由公式1111()()() i i i i i i b b x b f b f b f b ++++-=--表之；对于1x b <和n x b >时根的情况再分别讨论. 对这一方法笔者称之为 “讨论两端,中间挑选.” 例1 见题（*）解设()|1|||3|1|2|2|2f x x x x x x =+-+-----，则(1)2,(0)2,f f -=-=- (1)4,(2)0.f f =-= 可见当12x -≤<时, ()f x = 0无根.x = 2是()f x = 0的一个根. 当1x <-时, ()242f x x =-->-, 令240x --=, 2x =-. 当2x >时，()0f x ≡. 故原方程的解是2x =-和2x ≥的所有实数. 例2 方程|21||2||1|x x x -+-=+的实数解的个数是: (A)1; (B)2; (C)3; (D)无穷多. (上海市1984年初中数学竞赛题) 解设1()|21||2||1||1|2|||2|2 f x x x x x x x =-+--+=-++-+-, 则1 (1)6,()0,(2)0.2 f f f -=== 那么不论1x <-和2x >时有没有根,我们至少知道122 x ≤≤都是()f x = 0的根, 答案应选择(D). 例3 解方程|1|2|2|3|3|4x x x ---++=. (《初等代数难点释疑》一书p4的例4). 解设()|1|2|2|3|3|4f x x x x =---++-，则(1)0,(2)0,(3) 4.f f f ===- 当1x <时，()220f x x =-+>；当3x >时，()2104f x x =->-，令2100x -=，得5x =. 故原方程的解是5x =和12x ≤≤的所有实数. 例4 解方程|2||3||28|9x x x -+-+-=. （华东师大《数学教学》1984年第5期p9）

绝对值与方程及几何意义解题

绝对值与一元一次方程一、形如| x +a | = b 方法：去绝对值符号例1：| 2x – 1 | = 3 例2：4+2|x| = 3 |x|+2 二、绝对值的嵌套方法：由外向内逐层去绝对值符号例1：| 3x – 4|+1| = 2 例2：x– 2|-1| =3 三、形如：| ax + b | = cx+d绝对值方程方法：变形为ax + b =±（cx+d）且 cx+d≧0才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值方程时必须检验。例1: | 5x + 6 | = 6x+5 例2: | x - 5 |+2x =-5 利用“零点分段“法化简方法：求零点，分区间，定正负，去符号例1：化简：| x + 5 |+| 2x - 3 | 例2：|| x -1 |-2|+ |x +1| 练习化简：1、| x + 5 |+| x - 7 | +| x+ 10 | 2、

四、“零点分段法”解方程 “零点分段法”即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可。例1：| x + 1 |+| x - 5 | =4 例2：| 2x - 1 |+| x - 2 | =2| x +1 | 练习：解方程 1、3| 2x – 1 | = |-6| 2、││3x-5│+4│=8 3、│4x-3│-2=3x+4 4、│2x-1│+│x-2│=│x+1│

提高题： 1、若关于X的方程││x-2│-1│=a有三个解，求a的值和方程的解 2、设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,?求b 的值. (“华杯赛”邀请赛试题) 3、讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.

绝对值方程详解及答案精编

第九讲绝对值与一元一次方程绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程．解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号．将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解．前者是通法，后者是技巧．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．例题【例1】方程5665-=+x x 的解是． (重庆市竞赛题) 思路点拨没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解．【例2】适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数有( )． A ．5 B ．4 C ． 3 D ．2 ( “希望杯；邀请赛试题) 思路点拨用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径．注：形如d cx b ax +=+的绝对值方程可变形为)(d cx b ax +±=+且0≥+d cx ，才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验．【例3】解方程：413=+-x x ；思路点拨从内向外，根据绝对值定义性质简化方程． (天津市竞赛题) 【例4】解下列方程： (1)113+=--+x x x (北京市“迎春杯”竞赛题) (2)451=-+-x x ． (“祖冲之杯”邀请赛试题) 思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解．【例5】已知关于x 的方程a x x =-+-32，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论．思路点拨方程解的情况取决于a 的情况，a 与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解．注本例给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘

含绝对值的一元一次方程解法

含绝对值的一元一次方程解法形如| x | = a（a≥0）方程的解法（2课时）一、教学目的： 1、掌握形如| x | = a（a≥0）方程的解法； 2、掌握形如| x – a | = b（b≥0）方程的解法。二、教学重点与难点：教学重点：解形如| x | = a（a≥0）和| x – a | = b（b≥0）的方程。教学难点：解含绝对值方程时如何去掉绝对值。（一） 1、绝对值的代数和几何意义。绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。 a （a > 0）用字母表示为| a | = 0 （a = 0） – a （a < 0）绝对值的几何意义：表示这个数的点离开原点的距离。因此任何数的绝对值是非负数。 2、求下列方程的解：（1）| x | = 7；（2）5 | x | = 10；（3）| x | = 0；（4）| x | = – 3；（5）| 3x | = 9. 解：（1）x =±7；（2）x = ±2；（3）x = 0；（4）方程无解；（5）x = ±3. （二）根据绝对值的意义，我们可以得到：当a > 0时x =± a | x | = a当a = 0时x = 0 当a < 0时方程无解. （三）例1：解方程：（1）19 – | x | = 100 – 10 | x | （2）2||3 3|| 4 x x + =- 解：（1）– | x | + 10 | x | = 100 – 19 （2） 2 | x | + 3 = 12 – 4 | x | 9 | x | = 81 2 | x | + 4 | x | = 12 – 3 | x | = 9 6 | x | = 9 x = ±9 | x | = 1.5 x = ±1.5 例2、思考：如何解| x – 1 | = 2 分析：用换元（整体思想）法去解决，把x – 1 看成一个字母y，则原方程变为：| y | = 2，这个方程的解为y = ±2，即x – 1 = ±2，解得x = 3或x = – 1. 解：x – 1 = 2 或x – 1 = – 2 x = 3 x = – 1 例题小结：

含绝对值的一元一次方程的解法

含绝对值的一元一次方程的解法【小故事】银条一位银矿勘探员无力预付3月份的房租。他有一根长31英寸（英制长度单位。1英寸合2.54厘米）的纯银条，如图5-3所示，因此他和女房东达成如下协议。他说，他将把银条切成小段。3月份的第一天，他给女房东1英雨的一段，然后每天给她增加1英寸，以此作为抵押。勘探员预期到3月份的最后一天，他能全数付清租金，而届时女房东将把银条小段全部还给他。 3月份有31天，一种方法是把银条切成31段，每段长1英寸。可是晕得花很多的功夫。勘探员希望既履行协义，又能使银条的分段数目尽量减少。例如，他可以第一天给女房东1英寸的一段，第二天再给1英寸的一段，第三天他取回这两段1英寸的而给她3英寸的一段。假设银条的各段是按照这种方式来回倒换的，看看你能不能回答这样一个问题：勘探员至少需要把他的银条切成多少段？为了信守协议，勘探员可以把31英寸的银条只切成5段，它们的长度分别为1英寸、2英寸、4英寸、8英寸和16英寸。第一天，他女房东1英寸的一小段银条；第二天，给她2英寸的一段，取回1英寸的那两段，第三天，再给她1英寸的一段；第四天，取回1英寸和2英寸的那两段，给她4英寸的一段。按照这样的方式来回倒换，在3月份全月的31天中，他就能每天给房东增加1英寸银条。【知识要点】解绝对值方程和不等式的关键，就是根据绝对值的定义或性质，去掉绝对值符号，代为一般的方程和不等式，从而解决问题！ 1．不等式的基本性质主要有：（1）0 -a b >；0 a b （2）a b >b a ； <；a b b a （3）, >>?>； a b b c a c >?+>+；（4）a b a c b c （5）,0 >>?>； a b c ac bc a b c ac bc >>>>?>。 a b c d ac bd