数学建模实验报告：定积分数值计算(复化梯形法,蒙特卡罗法)
云南财经大学实验报告
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浅析蒙特卡洛方法原理及应用
浅析蒙特卡洛方法原理及应用 于希明 （英才学院1236103班测控技术与仪器专业6120110304） 摘要：本文概述了蒙特卡洛方法产生的历史及基本原理，介绍了蒙特卡洛方法的最初应用——蒲丰投针问题求圆周率，并介绍了蒙特卡洛方法在数学及生活中的一些简单应用，最后总结了蒙特卡洛方法的特点。 关键词：蒙特卡洛方法蒲丰投针生活应用 蒙特卡洛方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。它是以概率统计理论为基础, 依据大数定律( 样本均值代替总体均值) , 利用电子计算机数字模拟技术, 解决一些很难直接用数学运算求解或用其他方法不能解决的复杂问题的一种近似计算法。蒙特卡洛方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）等领域应用广泛。 一、蒙特卡洛方法的产生及原理 蒙特卡洛方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼首先提出。数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。在这之前，蒙特卡洛方法就已经存在。1777年，法国数学家蒲丰（Georges Louis Leclere de Buffon，1707—1788）提出用投针实验的方法求圆周率π。这被认为是蒙特卡洛方法的起源。 其基本原理如下：由概率定义知，某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算，当样本容量足够大时，可以认为该事件的发生频率即为其概率。因此，可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样，然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式，确定结构是否失效，最后从中求得结构的失效概率。蒙特卡洛法正是基于此思路进行分析的。 设有统计独立的随机变量Xi(i=1，2，3，…，k)，其对应的概率密度函数分别为fx1，fx2，…，fxk，功能函数式为Z=g(x1，x2，…，xk)。首先根据各随机变量的相应分布，产生N组随机数x1，x2，…，xk值，计算功能函数值Zi=g(x1，x2，…，xk)(i=1，2，…，N)，若其中有L组随机数对应的功能函数值Zi≤0，则当N→∞时，根据伯努利大数定理及正态随机变量的特性有：结构失效概率，可靠指标。 二、蒲丰投针问题 作为蒙特卡洛方法的最初应用, 是解决蒲丰投针问题。1777 年, 法国数学家蒲丰提出利用投针实验求解圆周率的问题。设平面上等距离( 如为2a) 画有一些平行线, 将一根长度为2l( l< a) 的针任意投掷到平面上, 针与任一平行线相交的频率为p 。针的位置可以用针的中心坐标x 和针与平行线的夹角θ来决定。任意方向投针, 便意味着x与θ可以任意取一值, 只是0≤x ≤a, 0≤θ≤π。那么, 投针与任意平行线相交的条件为x ≤ l sinθ。相交频率p 便可用下式求
设计采用梯形法和辛普生法求定积分的程序
河北工业大学计算机软件技术基础（VC）课程设计报告 学院信息工程学院院班级通信101 姓名崔羽飞学号 102117 成绩 __ ____ 一、题目： 设计采用梯形法和辛普生法求定积分的程序 二、设计思路 1、总体设计 1）分析程序的功能 本题目的功能是对梯形法和辛普森法，在不同区间数下计算所得的定积分的值，进行精度比较。 2）系统总体结构： 设计程序的组成模块，简述各模块功能。 该程序共分为以下几个模块 模块一：各函数原型的声明。 模块二：主函数。 模块三：各函数的定义。 包括两个数学函数y1=1+x*x、y2=1+x+x*x+x*x*x的定义和两个函数指针double integralt(double ,double ,int ,double(*f)(double)) double integrals(double ,double ,int ,double(*f)(double)) 的定义。 2、各功能模块的设计：说明各功能模块的实现方法 模块一：对各种函数进行声明。 模块二：求梯形法和辛普森法，在不同区间数下计算所得的定积分的值。 模块三：将各函数写出来。 3、设计中的主要困难及解决方案 在这部分论述设计中遇到的主要困难及解决方案。 1）困难1：函数指针的应用。解决方案：仔细阅读课本，以及与同学之间的讨论，和向老师求助。 2）困难2：将程序分成不同的.cpp文件。解决方案：与同学讨论。 4、你所设计的程序最终完成的功能 1）说明你编制的程序能完成的功能 在数学上求一个函数与x轴在一定范围内所围的面积即求定积分，对梯形法和辛普森法求定积分的比较。 2）准备的测试数据及运行结果
蒙特卡罗 算法
1、蒙特卡罗定位 足球机器人中自定位方法是由Fox提出的蒙特卡罗定位。这是一种概率方法，把足球机器人当前位置看成许多粒子的密度模型。每个粒子可以看成机器人在此位置定位的假设。在多数应用中，蒙特卡罗定位用在带有距离传感器的机器人设备上，如激光扫描声纳传感器。只有一些方法，视觉用于自定位。在足球机器人自定位有些不同，因为机器人占的面积相对比较小，但是机器人所在位置的面积必须相当准确的确定，以便允许同组不同机器人交流有关场地物体信息和遵守比赛规则。这种定位方法分为如下步骤，首先所有粒子按照一起那机器人的活动的运动模型移动。概率pi取决于在感知模型的基础上所有粒子在当前传感器上的读数。基于这些概率，就提出了所谓的重采样，将更多粒子移向很高概率的采样位置。概率平均分布的确定用来表示当前机器人的位置的最优估计。最后返回开始。 2、蒙塔卡罗 基本思想 当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。 工作过程 蒙特卡罗方法的解题过程可以归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。 蒙特卡罗方法解题过程的三个主要步骤： （1）构造或描述概率过程 对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。 2）实现从已知概率分布抽样 构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是（0，1）上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。 （3）建立各种估计量
大学数学实验之蒙特卡洛方法
《数学实验》报告 班级：序号：姓名： 1．问题描述 I、用蒙特卡罗方法计算以下函数在区间上的积分，并改变随机点数 目观察对结果的影响。 （1）y=1/(1+x), 0=
0.6975 >> p=shell1(0,1,10000) p = 0.6922 >> p=shell1(0,1,100) p = 0.7001 >> p=shell1(0,1,500) p = 0.6890 结果分析：改变了四次随机点数，结果都趋近于0.69，说明积分值约等于 0.69，但是点数越多，值越接近。 I、(2)使用均值估计法 程序： function p=shell2(a,b,n) z=0; x=unifrnd(a,b,1,n); fori=1:n u=(exp(3*x(i)))*sin(2*x(i)); z=z+u; end p=(b-a)*z/n; 运行结果： >> p=shell2(0,2,1000) p = -24.4911 >> p=shell2(0,2,100) p = -43.8720 >> p=shell2(0,2,10000) p = -30.8699 >> p=shell2(0,2,500) p = -23.2955 >> p=shell2(0,2,100000) p =
第一题.矩阵法,梯形法积分
梯形法数值积分 A ．算法说明： 梯形法数值积分采用的梯形公式是最简单的数值积分公式，函数()f x 在区间[a,b]上计算梯形法数值积分表达式为： ()[()()]2b a b a f x dx f a f b -≈+? 由于用梯形公式来求积分十分粗糙，误差也比较大，后来改进后提出了复合梯形公式：b a h n -=,其中，n 为积分区间划分的个数；h 为积分步长。 在MATLAB 中编程实现的复合梯形公式的函数为：Combine Traprl. 功能：复合梯形公式求函数的数值积分。 调用格式：[I,step]=CombineTraprl(f,a,b,eps). 其中，f 为函数名； a 为积分下限； b 为积分上限； eps 为积分精度； I 为积分值； Step 为积分划分的区间个数 B ．流程图
C．复合梯形公式的原程序代码： function[I,step]=CombineTraprl(f,a,b,eps) % 复合梯形公式求函数f在区间[a,b]上的定积分 %函数名：f %积分下限：a %积分上限：b %积分精度：eps %积分值：I %积分划分的子区间个数：step if(nargin==3) eps=1.0e-4; %默认精度为0.0001 end n=1; h=(b-a)/2; I1=0; I2=(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b))/h; while abs(I2-I1)>eps n=n+1 h=(b-a)/n; I1=I2; I2=0; for i=0:n-1 %第年n次的复合梯形公式积分 x=a+h*i; %i=0 和n-1时，分别代表积分区间的左右端点 x1=x+h I2=I2+(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),x)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),x1)); end end I=I2; step=n; D．应用举例 复合梯形法求数值积分应用举例，利用复合梯形法计算定积分 dx x ? - 4 221 1 流程图
蒙特卡罗方法学习总结
图1-1 蒙特卡罗方法学习总结 核工程与核技术2014级3班张振华20144530317 一、蒙特卡罗方法概述 1.1蒙特卡罗方法的基本思想 1.1.1基本思想 蒙特卡罗方的基本思想就是，当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。 1.1.2计算机模拟打靶游戏 为了能更为深刻地理解蒙特卡罗方法的基本思想，我们学习了蒲丰氏问题和打靶游戏两大经典例子。下面主要对打靶游戏进行剖析、计算机模拟（MATLAB 程序）。 设某射击运动员的弹着点分布如表1-1 所示， 首先用一维数轴刻画出已知该运动员的弹 着点的分布如图1-1所示。研究打靶游戏，我 们不用考察子弹的运动轨迹，只需研究每次“扣动扳机”后的子弹弹着点。每一环数对应唯一确定的概率，且注意到概率分布函数有单调不减和归一化的性质。首先我们产生一个在(0,1)上均匀分布的随机数（模拟扣动扳机），然后将该随机数代表的点投到P 轴上（模拟子弹射向靶上的一个确定点），得到对应的环数（即子弹的弹着点），模拟打靶完成。反复进行N 次试验，统计出试验结果的样本均值。样本均值应当等于数学期望值，但允许存在一定的偏差，即理论计算值应该约等于模拟试验结果。 clear all;clc; N=100000;s=0; for n=1:N %step 4.重复N 次打靶游戏试验
x=rand(); %step 1.产生在(0,1)上均匀分布的随机数if(x<=0.1) %step 2.若随机数落在(0.0,0.1)上，则代表弹着点在7环g=7; s=s+g; %step 3.统计总环数elseif(x<=0.2) %step 2.若随机数落在(0.1,0.2)上，则代表弹着点在8环g=8;s=s+g; elseif(x<=0.5) %step 2.若随机数落在(0.2,0.5)上，则代表弹着点在9环g=9;s=s+g; else %step 2.若随机数落在(0.5,1.0)上，则代表弹着点在10环 g=10;s=s+g; end end gn_th=7*0.1+8*0.1+9*0.3+10*0.5; %step 5.计算、输出理论值fprintf('理论值：%f\n',gn_th); gn=s/N; %step 6.计算、输出试验结果 fprintf('试验结果：%f\n',gn);1.2蒙特卡罗方法的收敛性与误差 1.2.1收敛性 由大数定律可知，应用蒙特卡罗方法求近似解，当随机变量Z 的简单子样数N 趋向于无穷大（N 充分大）时，其均值依概率收敛于它的数学期望。 1.2.2误差 由中心极限定理可知，近似值与真值的误差为N Z E Z N αλ<-)(?。式中的αλ的值可以根据给出的置信水平，查阅标准正态分布表来确定。 1.2.3收敛性与误差的关系 在一般情况下，求具有有限r 阶原点矩()∞ 钦州学院数学与计算机科学学院 数 学 实 验 报 告 实验完成日期 2010 年 11 月 5 日 ， 第 10 周 ， 星期五 成绩等级（五级分制） 评阅教师 评阅日期 年 月 日 数学实验报告填写要求：思路清晰，中间结果和最终结果真实；字迹工整，报告完整。 [实验题目及内容] 实验题目：（1）通过矩形法、梯形法分别计算定积分? ++-= b a x x x f 32.0)(2 的黎曼和； （2）通过10=n ，50=n ，200=n 时黎曼和的值分析两种方法逼近定积分的 速度。 内容：黎曼和逼近定积分值的动态过程演示，可利用几何画板制作 [问题描述]（用自己组织的相关数学语言重述现实问题；注意对约定的条件作说明） 将AB 边n 等分，过这些分点作E B '的垂线，将抛物线32.0)(2 ++-=x x x f 和以AB 为边形成的图形分割为n 个直角小梯形或小矩形，求这些小梯形或小矩形面积的和，即可求出定积分? ++-= b a x x x f 32.0)(2 黎曼和即面积。当n 充分大时，直角小梯形或小矩形的 面积之和可近似代替定积分? ++-=b a x x x f 32.0)(2 黎曼和。因此可通过计算梯形或矩形 面积求出定积分? ++-= b a x x x f 32.0)(2 的黎曼和。 定积分dx x f b a ?)(在数值上等于以曲线)(x f y =和三直线0=y 、a x =、b x =所围 成的曲边梯形的面积。解决的办法是分割后再求和：设想将区间],[b a 分为n 个小区间，以每个小区间左端点对应的函数值为高，以小区间的长度为宽，构作n 个梯形或矩形，并以这些小梯形或小矩形的面积的和（即黎曼和）近似代替定积分的面积。当改变参数n 的大小时，随着n 的逐渐增大（并且每个小区间的长度逐渐缩小），黎曼和的值逐渐趋近定积分的值。 [模型建立或思路分析]（建立合理，可解释的数学模型，通过公式、表格或图形直观明确地描述模型的结构；无法通过建立模型解决的，给出解题的思路及办法。） 利用几何画板作图： 蒙特卡罗方法的解题过程可以归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。 蒙特卡罗方法解题过程的三个主要步骤： （1）构造或描述概率过程 对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。 （2）实现从已知概率分布抽样 构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是（0，1）上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。 （3）建立各种估计量 一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计。建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。 蒙特卡洛法模拟蒲丰（Buffon）投针实验-使用Matlab 2010年03月31日星期三8:47 蒲丰投针实验是一个著名的概率实验，其原理请参见此页： https://www.wendangku.net/doc/9910670599.html,/reese/buffon/buffon.html 现在我们利用Matlab来做模拟，顺便说一下，这种随机模拟方法便是传说中的“蒙特- 统计计算课程设计 题目基于蒙特卡洛方法求数值积分 中文摘要 蒙特卡洛方法，又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，它是在上世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。传统的经验方法由于不能逼近真实的 物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问 题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。 利用随机投点法，平均值法，重要性采样法，分层抽样法，控制变量法，对偶变量法，运用R 软件求 1 d x e x θ- =?，42d x e x θ- =?和12 d 1 x e x x θ - = + ?数值积分。计算以上各种估计的方差，给出 精度与样本量的关系，比较各种方法的效率， 关键字蒙特卡洛随机投点法平均值法R软件 1 绪论 蒙特卡洛的基本思想是，当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。 蒙特卡洛方法解题过程的三个主要步骤： （1）构造或描述概率过程 对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。 （2）实现从已知概率分布抽样 构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡洛方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡洛方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是（0，1）上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡洛模拟的基本工具。 （3）建立各种估计量 一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计。建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。 用蒙特卡洛方法估计积分 方法及matlab编程实现 专业班级：材料43 学生姓名：王宏辉 学号： 指导教师：李耀武 完成时间：2016年6月8日 用蒙特卡洛方法估计积分 方法及matlab编程实现 实验内容: 31 2 乂 1用蒙特卡洛方法估计积分xsin xdx , e-x dx和II e x y dxdy的值， 0 0 x2：:;y2 d 并将估计值与真值进行比较。 2用蒙特卡洛方法估计积分e x dx和 __ dxdy的值，并对误 0 x2#g J l + x4+ y4 差进行估计。 要求： （1）针对要估计的积分选择适当的概率分布设计蒙特卡洛方 法； （2）利用计算机产生所选分布的随机数以估计积分值； （3）进行重复试验，通过计算样本均值以评价估计的无偏性； 通过计算均方误差（针对第1类题）或样本方差（针对第2类题）以评价估计结果的精度。 目的： （1）能通过MATLAB或其他数学软件了解随机变量的概率密 度、分布函数及其期望、方差、协方差等； （2）熟练使用MATLAB对样本进行基本统计，从而获取数据的 基本信息； （3）能用MATLAB熟练进行样本的一元回归分析 实验原理： 蒙特卡洛方法估计积分值，总的思想是将积分改写为某个随机变 量的数学期望，借助相应的随机数，利用样本均值估计数学期望，从 而估计相应的积分值。 具体操作如下: 式，(其中为f(x) 一随机变量 X 的概率密度函数，且f(x)的支持域 {x|f(x)〉O}=( a,b)) , h(x^-g ^x) )；令 Y=h(X)，则积分 S=E( Y ；利用 f(x) matlab 软件，编程产生随机变量X 的随机数，在由 y = h(x)l(x), l(x) =」 公匸⑻①，得到随机变量丫的随机数，求出样本均 0 X(a,b) 值，以此估计积分值。 积分S = .. g(x, y)dxdy 的求法与上述方法类似，在此不赘述。 A 概率密度函数的选取： 一重积分，由于要求f(x)的支持域｛x|f(x)?0｝二(a,b)，为使方法普 1 故选用 f(x F 彳 ￥廿 类似的，二重积分选用f(x, y) — e 2，支持域为R 2 2兀 估计评价: 进行重复试验，通过计算样本均值以评价估计的无偏性；通过计 算均方误（针对第1类题，积得出）或样本方差（针对第2类题，积 不出）以评价 般地，积分 b S = g(x)dx 改写成 a b g(x) a f(X ) b f (x)dx = j h(x) f (x)dx 的形 遍适用，考虑到标准正态分布概率密度函数 2 x _ f (x)二-^—e 2支持域为 第一章：Monte Carlo方法概述 一、Monte Carlo历史渊源 Monte Carlo方法的实质是通过大量随机试验，利用概率论解决问题的一种数值方法，基本思想是基于概率和体积间的相似性。它和Simulation有细微区别。单独的Simulation只是模拟一些随机的运动，其结果是不确定的；Monte Carlo在计算的中间过程中出现的数是随机的，但是它要解决的问题的结果却是确定的。 历史上有记载的Monte Carlo试验始于十八世纪末期（约1777年），当时布丰（Buffon）为了计算圆周率，设计了一个“投针试验”。（后文会给出一个更加简单的计算圆周率的例子）。虽然方法已经存在了200多年，此方法命名为Monte Carlo则是在二十世纪四十年，美国原子弹计划的一个子项目需要使用Monte Carlo方法模拟中子对某种特殊材料的穿透作用。出于保密缘故，每个项目都要一个代号，传闻命名代号时，项目负责人之一von Neumann灵犀一点选择摩洛哥著名赌城蒙特卡洛作为该项目名称，自此这种方法也就被命名为Monte Carlo 方法广为流传。 十一、Monte Carlo方法适用用途 （一）数值积分 计算一个定积分，如，如果我们能够得到f(x)的原函数F(x)，那么直接由表达式: F(x1)-F(x0)可以得到该定积分的值。但是，很多情况下，由于f(x)太复杂，我们无法计算得到原函数F(x)的显示解，这时我们就只能用数值积分的办法。如下是一个简单的数值积分的例子。 数值积分简单示例 如图，数值积分的基本原理是在自变量x的区间上取多个离散的点，用单个点的值来代替该小段上函数f(x)值。 常规的数值积分方法是在分段之后，将所有的柱子（粉红色方块）的面积全部加起来，用这个面积来近似函数f(x)（蓝色曲线）与x轴围成的面积。这样做当然是不精确的，但是随着分段数量增加，误差将减小，近似面积将逐渐逼近真实的面积。 Monte Carlo数值积分方法和上述类似。差别在于，Monte Carlo方法中，我们不需要将所有方柱的面积相加，而只需要随机地抽取一些函数值，将他们的面积累加后计算平均值就够了。通过相关数学知识可以证明，随着抽取点增加，近似面积也将逼近真实面积。 在金融产品定价中，我们接触到的大多数求基于某个随机变量的函数的期望值。考虑一个欧式期权，假定我们已经知道在期权行权日的股票服从某种分布（理论模型中一般是正态分布），那么用期权收益在这种分布上做积分求期望即可。 （五）随机最优化 一.写一个用矩形法求定积分的函数，求sin(x)在（0,1）上的定积分。 #include 用蒙特卡洛方法估计积分方法及matlab编程实现 专业班级：材料43 学生姓名：王宏辉 学号：2140201060 指导教师：李耀武 完成时间：2016年6月8日 用蒙特卡洛方法估计积分 方法及matlab 编程实现 实验内容： 1用蒙特卡洛方法估计积分 2 0sin x xdx π?，2 -0x e dx +∞ ?和 2 2 221 x y x y e dxdy ++≤?? 的值， 并将估计值与真值进行比较。 2用蒙特卡洛方法估计积分 21 0x e dx ? 和 22x y +≤?? 的值， 并对误差进行估计。 要求： （1）针对要估计的积分选择适当的概率分布设计蒙特卡洛方法； （2）利用计算机产生所选分布的随机数以估计积分值； （3）进行重复试验，通过计算样本均值以评价估计的无偏性；通过计算均方误差（针 对第1类题）或样本方差（针对第2类 题）以评价估计结果的精度。 目的： （1）能通过 MATLAB 或其他数学软件了解随机变量的概率密度、分布函数 及其期望、方差、协方差等； （2） 熟练使用 MATLAB 对样本进行基本统计，从而获取数据的基本信息； （3） 能用 MATLAB 熟练进行样本的一元回归分析。 实验原理： 蒙特卡洛方法估计积分值，总的思想是将积分改写为某个随机变量的数学期望，借助相应的随机数，利用样本均值估计数学期望，从而估计相应的积分值。 具体操作如下： 一般地，积分?=b dx x g a )(S 改写成??==b b dx f h dx f g a a )(x )(x )(x f(x)) (x S 的形 式，（其中为)f(x 一随机变量X 的概率密度函数，且)f(x 的支持域 ）（｝｛b f ,a 0)(x |x ?>)，f(x ) ) (x )(x g h = ）;令Y=h(X)，则积分S=E （Y ）；利用matlab 软件，编程产生随机变量X 的随机数，在由 ?? ??∈==) b (a,,) b (a,,01I(x) ,)(x )(x y x x I h ，得到随机变量Y 的随机数，求出样本均值，以此估计积分值。 积分??=A dxdy g S )y (x,的求法与上述方法类似，在此不赘述。 概率密度函数的选取： 一重积分，由于要求)f(x 的支持域）（｝｛b f ,a 0)(x |x ?>，为使方法普 遍适用，考虑到标准正态分布概率密度函数2 2 e 21)(x x f -=π 支持域为 R ，故选用2 2e 21)(x x f - = π 。 类似的，二重积分选用2 2 221)y (x,y x e f +-=π ，支持域为2R 。 Monte Carlo Methods in Parallel Computing Chuanyi Ding ding@https://www.wendangku.net/doc/9910670599.html, Eric Haskin haskin@https://www.wendangku.net/doc/9910670599.html, Copyright by UNM/ARC November 1995 Outline What Is Monte Carlo? Example 1 - Monte Carlo Integration To Estimate Pi Example 2 - Monte Carlo solutions of Poisson's Equation Example 3 - Monte Carlo Estimates of Thermodynamic Properties General Remarks on Parallel Monte Carlo What is Monte Carlo? ? A powerful method that can be applied to otherwise intractable problems ? A game of chance devised so that the outcome from a large number of plays is the value of the quantity sought ?On computers random number generators let us play the game ?The game of chance can be a direct analog of the process being studied or artificial ?Different games can often be devised to solve the same problem ?The art of Monte Carlo is in devising a suitably efficient game. 本科生实验报告 实验课程蒙特卡罗模拟 学院名称核技术与自动化工程学院专业名称核技术及应用 学生姓名王明 学生学号2017020405 指导教师 邮箱511951451@https://www.wendangku.net/doc/9910670599.html, 实验成绩 二〇一七年九月二〇一八年一月 实验一、选择一种编程语言模拟出π的值 一、实验目的 1、理解并掌握蒙特卡罗模拟的基本原理； 2、运用蒙特卡洛思想解决实际问题； 3、分析总结蒙特卡洛解决问题的优缺点。 二、实验原理 用蒙特卡洛思想计算π的值分为如下几部： 第一步构建几何原理：构建单位圆外切正方形的几何图形。单位圆的面积为S0=π，正方形的面积S1=4； 第二步产生随机数进行打把：这里用MATLAB产生均匀随机数。分别生产均匀随机数(x,y)二维坐标。X,y的范围为-1到1.总共生成N个坐标(x,y).统计随机生成的坐标(x,y)在单位圆内的个数M。 第三步打把结构处理：根据S0/S1=M/N计算出π的值。因此π=4*M/N。 第四步改变N的值分析π的收敛性：总数1000开始打把，依次增长10倍到1百 万个计数。 三、实验内容 1、用matlab编写的实验代码，总计数率为1000。zfx_x=[1,-1,-1,1,1]; zfx_y=[1,1,-1,-1,1]; plot(zfx_x,zfx_y) axis([-3 3 -3 3]); hold on; r=1; theta=0:pi/100:2*pi; x=r*cos(theta); y=r*sin(theta); rho=r*sin(theta); figure(1) plot(x,y,'-') N=1000; mcnp_x=zeros(1,N); mcnp_y=zeros(1,N); M=0; for i=1:N x=2*(rand(1,1)-0.5); y=2*(rand(1,1)-0.5); if((x^2+y^2)<1) M=M+1; mcnp_x(i)=x; mcnp_y(i)=y; end end plot(mcnp_x,mcnp_y,'.') PI1=4*M/N; 2、用matlab绘制的图形 蒙特卡洛方法与定积分计算 By 邓一硕 @ 2010/03/08 关键词：Monte-Carlo, 定积分, 模拟, 蒙特卡洛分类：统计计算 作者信息：来自中央财经大学;统计学专业。 版权声明：本文版权归原作者所有，未经许可不得转载。原文可能随时需要修改纰漏，全文复制转载会带来不必要的误导，若您想推荐给朋友阅读，敬请以负责的态度提供原文链接；点此查看如何在学术刊物中引用本文 本文讲述一下蒙特卡洛模拟方法与定积分计算，首先从一个题目开始：设，用蒙特卡洛模拟法求定积分的值。 随机投点法 设服从正方形上的均匀分布，则可知分别服从[0,1]上的均匀分布，且相互独立。记事件，则的概率为 即定积分的值就是事件出现的频率。同时，由伯努利大数定律，我们可以用重复试验中出现的频率作为的估计值。即将看成是正方形 内的随机投点，用随机点落在区域中的频率作为定积分的近似值。这种方法就叫随机投点法，具体做法如下： 图1 随机投点法示意图 1、首先产生服从上的均匀分布的个随机数（为随机投点个数，可以取很大，如）并将其配对。 2、对这对数据，记录满足不等式的个数，这就是事件发生的频数，由此可得事件发生的频率，则。 举一实例，譬如要计算，模拟次数时，R代码如下：n=10^4; x=runif(n); y=runif(n); f=function(x) { exp(-x^2/2)/sqrt(2*pi) } mu_n=sum(y Monte Carlo 法 §8.1 概述 Monte Carlo 法不同于前面几章所介绍的确定性数值方法，它是用来解决数学和物理问题的非确定性的（概率统计的或随机的）数值方法。Monte Carlo 方法（MCM ），也称为统计试验方法，是理论物理学两大主要学科的合并：即随机过程的概率统计理论（用于处理布朗运动或随机游动实验）和位势理论，主要是研究均匀介质的稳定状态[1]。它是用一系列随机数来近似解决问题的一种方法，是通过寻找一个概率统计的相似体并用实验取样过程来获得该相似体的近似解的处理数学问题的一种手段。运用该近似方法所获得的问题的解in spirit 更接近于物理实验结果，而不是经典数值计算结果。 普遍认为我们当前所应用的MC 技术，其发展约可追溯至1944年，尽管在早些时候仍有许多未解决的实例。MCM 的发展归功于核武器早期工作期间Los Alamos （美国国家实验室中子散射研究中心）的一批科学家。Los Alamos 小组的基础工作刺激了一次巨大的学科文化的迸发，并鼓励了MCM 在各种问题中的应用[2]-[4]。“Monte Carlo ”的名称取自于Monaco （摩纳哥）内以赌博娱乐而闻名的一座城市。 Monte Carlo 方法的应用有两种途径：仿真和取样。仿真是指提供实际随机现象的数学上的模仿的方法。一个典型的例子就是对中子进入反应堆屏障的运动进行仿真，用随机游动来模仿中子的锯齿形路径。取样是指通过研究少量的随机的子集来演绎大量元素的特性的方法。例如，)(x f 在b x a <<上的平均值可以通过间歇性随机选取的有限个数的点的平均值来进行估计。这就是数值积分的Monte Carlo 方法。MCM 已被成功地用于求解微分方程和积分方程，求解本征值，矩阵转置，以及尤其用于计算多重积分。 任何本质上属随机组员的过程或系统的仿真都需要一种产生或获得随机数的方法。这种仿真的例子在中子随机碰撞，数值统计，队列模型，战略游戏，以及其它竞赛活动中都会出现。Monte Carlo 计算方法需要有可得的、服从特定概率分布的、随机选取的数值序列。 §8.2 随机数和随机变量的产生 [5]－[10]全面的论述了产生随机数的各类方法。其中较为普遍应用的产生随机数的方法是选取一个函数)(x g ，使其将整数变换为随机数。以某种方法选取 0x ，并按照)(1k k x g x =+产生下一个随机数。最一般的方程)(x g 具有如下形式： m c ax x g mod )()(+= （8.1） 其中 =0x 初始值或种子（00>x ） =a 乘法器（0≥a ） =c 增值（0≥c ） =m 模数 实验 目 的 或 要 求1、利用复化梯形公式、复化simpson 公式计算积分 2、比较计算误差与实际误差 实 验 原 理 （ 算 法 流 程 图 或 者 含 注 释 的 源 代 码 ） 取n=2,3,…,10分别利用复化梯形公式、复化simpson 公式计算积分1 20I x dx =?，并与真值进行比较，并画出计算误差与实际误差之间的曲线。 利用复化梯形公式的程序代码如下： function f=fx(x) f=x.^2; ％首先建立被积函数，以便于计算真实值。 a=0; ％积分下线 b=1; ％积分上线 T=[]; ％用来装不同n 值所计算出的结果 for n=2:10; h=(b-a)/n; ％步长 x=zeros(1,n+1); ％给节点定初值 for i=1:n+1 x(i)=a+(i-1)*h; ％给节点赋值 end y=x.^2; ％给相应节点处的函数值赋值 t=0; for i=1:n t=t+h/2*(y(i)+y(i+1)); ％利用复化梯形公式求值 end T=[T,t]; ％把不同n 值所计算出的结果装入 T 中 end R=ones(1,9)*(-(b-a)/12*h.^ 2*2); ％积分余项（计算误差） true=quad(@fx,0,1); ％积分的真实值 A=T-true; ％计算的值与真实值之差（实际误差） x=linspace(0,1,9); plot(x,A,'r',x,R,'*') ％将计算误差与实际误差用图像画出来 注：由于被积函数是x.^2，它的二阶倒数为2，所以积分余项为：(-(b-a)/12*h.^ 2*2) 实 验 原 理 （ 算 法 流 程 图 或 者 含 注 释 的 源 代 码）利用复化simpson 公式的程序代码如下： 同样首先建立被积函数的函数文件： function f=fx1(x) f=x.^4; a=0; ％积分下线 b=1; ％积分上线 T=[]; ％用来装不同n值所计算出的结果 for n=2:10 h=(b-a)/(2*n); ％步长 x=zeros(1,2*n+1); ％给节点定初值 for i=1:2*n+1 x(i)=a+(i-1)*h; ％给节点赋值 end y=x.^4; ％给相应节点处的函数值赋值 t=0; for i=1:n t=t+h/3*(y(2*i-1)+4*y(2*i)+y(2*i+1)); ％利用复化simpson公式求值end T=[T,t] ; ％把不同n值所计算出的结果装入T中 end R=ones(1,9)*(-(b-a)/180*((b-a)/2).^4*24) ; ％积分余项（计算误差） true=quad(@fx1,0,1); ％积分的真实值 A=T-true; ％计算的值与真实值之差（实际误差） x=linspace(0,1,9); plot(x,A,'r',x,R,'*')矩形、梯形法计算定积分的黎曼和
蒙特卡罗方法的解题过程可以归结为三个主要步骤
基于蒙特卡洛方法求数值积分与R
用蒙特卡洛方法估计积分方法及matlab编程实现
matlab算法和蒙特卡罗计算教程
C语言-用矩形法和梯形法求定积分
用蒙特卡洛方法估计积分方法及matlab编程实现
蒙特卡罗方法并行计算
用蒙特卡罗方法计算π值实验报告
蒙特卡洛方法与定积分计算
(完整版)蒙特卡洛算法详讲
利用复化梯形公式复化simpson 公式计算积分