偏最小二乘法回归建模案例

偏最小二乘法回归建模案例

1.问题陈述

假设我们有一份关于电子产品销售的数据集，包含了多个特征变量和一个连续的目标变量（销售量）。我们希望通过分析这些特征变量与销售量之间的关系，建立一个准确的预测模型。

2.数据预处理

在进行任何分析之前，我们首先需要对数据进行预处理。这包括处理缺失值、异常值和标准化数据。我们还可以使用特征选择方法，从所有特征变量中选择出最重要的变量。这一步骤有助于减少模型复杂度，并提高模型的准确性。

3.拆分数据集

为了评估模型的性能，我们将数据集拆分为训练集和测试集。训练集用于建立模型，而测试集用于评估模型的预测性能。通常，约80%的数据用于训练，20%的数据用于测试。

4.PLS回归建模

在拆分数据集后，我们可以使用PLS回归算法来建立预测模型。PLS 回归的主要目标是最大化解释方差，并建立特征与目标变量之间的线性关系。通过计算得到的权重系数可以解释每个特征变量与目标变量之间的重要程度。

5.模型评估

建立模型后，我们需要评估模型的性能。常用的评估指标包括均方根误差（Root Mean Squared Error，RMSE）、均方误差（Mean Squared

Error，MSE）和决定系数（Coefficient of Determination，R²）。这些

指标可以帮助我们了解模型的精确性和泛化能力。

6.模型优化

如果模型的性能不令人满意，我们可以尝试优化模型。一种优化方法

是调整PLS回归模型的参数，如成分个数。此外，我们还可以尝试使用其

他机器学习算法，如岭回归、支持向量回归等。这些方法可以帮助我们找

到更好的模型。

7.模型应用

通过建立准确的预测模型，我们可以对新的数据进行销售量预测。这

有助于制定合理的生产计划和销售策略，以满足市场需求并最大化利润。

总结：

本文使用了PLS回归建模方法来预测电子产品的销售量。通过对数据

进行预处理、拆分数据集、PLS回归建模、模型评估和优化等步骤，我们

得到了一个准确的预测模型。这个模型可以帮助企业更好地了解市场需求，制定合理的生产计划和销售策略。同时，我们也提到了其他优化方法和模

型应用的相关问题。

利用Eviews软件进行最小二乘法回归实例

例题中国居民人均消费支出与人均GDP（1978-2000），数据（例题1-2），预测，2001年人均GDP为4033.1元，求点预测、区间预测。（李子奈，p50）解答： 一、打开Eviews软件，点击主界面File按钮，从下拉菜单中选择Workfile。 在弹出的对话框中，先在工作文件结构类型栏（Workfile structure type）选择固定频率标注日期（Dated – regular frequency），然后在日期标注说明栏中（Date specification）将频率（Frequency）选为年度（Annual），再依次填入起止日期，如果希望给文件命名（可选项），可以在命名栏（Names - optional）的WF项填入自己选择的名称，然后点击确定。 此时建立好的工作文件如下图所示：

在主界面点击快捷方式（Quick）按钮，从下拉菜单中选空白数据组（Empty Group）选项。 此时空白数据组出现，可以在其中通过键盘输入数据或者将数据粘贴过来。 在Excel文件（例题1-2）中选定要粘贴的数据，然后在主界面中点击编辑（Edit）按钮，从下拉菜单中选择粘贴（Paste），数据将被导入Eviews软件。

将右侧的滚动条拖至最上方，可以在最上方的单元格中给变量命名。 二、估计参数 在主界面中点击快捷方式（Quick）按钮，从下拉菜单中选择估计方程（Estimate Equation） 在弹出的对话框中设定回归方程的形式。

在方程表示式栏中（Equation specification ），按照被解释变量（Consp ）、常数项（c ）、解释变量（Gdpp ）的顺序填入变量名，在估计设置（Estimation settings ）栏中选择估计方法（Method ）为最小二乘法（LS – Least Squares ），样本（Sample ）栏中选择全部样本（本例中即为1978－2000），然后点击确定，即可得到回归结果。 以上得到的回归结果可以表示为： 201.1190.3862(13.51)(53.47)Consp GDPP =+? 如果你试图关闭回归方程页面（或Eviews 主程序），这时将会弹出一个对话框，询问是否删除未命名的回归方程，如下图所示

偏最小二乘法回归建模案例

偏最小二乘法回归建模案例 1.问题陈述 假设我们有一份关于电子产品销售的数据集，包含了多个特征变量和一个连续的目标变量（销售量）。我们希望通过分析这些特征变量与销售量之间的关系，建立一个准确的预测模型。 2.数据预处理 在进行任何分析之前，我们首先需要对数据进行预处理。这包括处理缺失值、异常值和标准化数据。我们还可以使用特征选择方法，从所有特征变量中选择出最重要的变量。这一步骤有助于减少模型复杂度，并提高模型的准确性。 3.拆分数据集 为了评估模型的性能，我们将数据集拆分为训练集和测试集。训练集用于建立模型，而测试集用于评估模型的预测性能。通常，约80%的数据用于训练，20%的数据用于测试。 4.PLS回归建模 在拆分数据集后，我们可以使用PLS回归算法来建立预测模型。PLS 回归的主要目标是最大化解释方差，并建立特征与目标变量之间的线性关系。通过计算得到的权重系数可以解释每个特征变量与目标变量之间的重要程度。 5.模型评估 建立模型后，我们需要评估模型的性能。常用的评估指标包括均方根误差（Root Mean Squared Error，RMSE）、均方误差（Mean Squared

Error，MSE）和决定系数（Coefficient of Determination，R²）。这些 指标可以帮助我们了解模型的精确性和泛化能力。 6.模型优化 如果模型的性能不令人满意，我们可以尝试优化模型。一种优化方法 是调整PLS回归模型的参数，如成分个数。此外，我们还可以尝试使用其 他机器学习算法，如岭回归、支持向量回归等。这些方法可以帮助我们找 到更好的模型。 7.模型应用 通过建立准确的预测模型，我们可以对新的数据进行销售量预测。这 有助于制定合理的生产计划和销售策略，以满足市场需求并最大化利润。 总结： 本文使用了PLS回归建模方法来预测电子产品的销售量。通过对数据 进行预处理、拆分数据集、PLS回归建模、模型评估和优化等步骤，我们 得到了一个准确的预测模型。这个模型可以帮助企业更好地了解市场需求，制定合理的生产计划和销售策略。同时，我们也提到了其他优化方法和模 型应用的相关问题。

偏最小二乘回归分析

偏最小二乘回归分析 偏最小二乘回归（Partial Least Squares Regression）是一种多元 统计分析方法，用于建立预测模型，可以同时考虑多个自变量之间的共线 性问题。与传统的最小二乘回归方法相比，偏最小二乘回归通过引入主成 分分析的思想，将原始自变量空间转换为一组最佳主成分，从而降低变量 之间的相关性，提高模型的预测能力。 在偏最小二乘回归分析中，我们有一个自变量矩阵X，其中包含n个 样本和p个自变量，和一个因变量向量Y，包含n个样本。我们的目标是 找到一组新的变量T，使得X投影到T上后Y的方差最大。这一过程可以 通过以下几个步骤来实现： 1.数据预处理：对于自变量矩阵X和因变量向量Y，进行标准化处理，使其均值为0，方差为1、这样做的目的是消除量纲的影响，保证特征的 权重在同一尺度上。 2.建立主成分回归模型：偏最小二乘回归使用主成分分析的思想进行 变量压缩。通过对变量矩阵X进行奇异值分解，得到一组新的主成分向量，这些主成分向量对原始自变量矩阵进行正交变换。可以选择前k个主成分 作为新的自变量矩阵X'。 3.计算权重系数：利用最小二乘法，估计主成分回归模型中每个主成 分对因变量Y的影响程度。这些权重系数可以通过回归方程的计算得到。 4.选择最佳主成分数：通过交叉验证等方法，选择最佳的主成分数， 以避免模型过拟合现象。 5.预测模型构建：将主成分回归模型中的权重系数应用到待预测的自 变量矩阵X'上，得到因变量Y的预测值。

与传统的最小二乘回归方法相比，偏最小二乘回归具有以下几个优点： 1.克服自变量之间的共线性问题：通过主成分分析的方法，可以将原 始自变量空间转换为一组不相关的主成分，从而降低各个自变量之间的相 关性。 2.减少噪声的影响：主成分分析可以通过去除各个主成分中的噪声部分，减少模型的误差，提高预测精度。 3.降低变量维度：偏最小二乘回归将原始自变量矩阵通过压缩降维的 方式转换为新的自变量矩阵，减少需要考虑的变量个数。这不仅可以提高 计算效率，还可以避免过拟合问题。 4.提高模型的稳定性：偏最小二乘回归采用交叉验证等方法选择最佳 的主成分数，可以提高模型的稳定性和鲁棒性。 总之，偏最小二乘回归是一种强大的预测建模方法，可以在多个自变 量之间存在共线性的情况下，建立准确的预测模型。它在化学、生物、医 学等领域都有广泛的应用，并且逐渐在其他学科中得到推广和应用。

回归系数最小二乘法

回归系数的最小二乘法 现在我们用最小二乘法来估计模型中的未知参数0β和1β.假设有n 组独立观测值：)()()( 1122,,,,...,,n n x y x y x y （例1中的n=16）,则由（2）有 01,1,2,...,i i i y x i n ββε=++= ()21,2,n,n 2 20101=1=10,...==(--)i i n i i i i i E D Q Q y x εεσεεεββεββ===∑∑且，，，相互独立 记 ， 称()01,Q ββ为偏离真实直线的偏差平方和。最小二乘法就是10ββ和的估计 ^^ ,01ββ，使得()01^^0,1,,=min 01Q Q ββββββ⎛⎫ ⎪⎭⎝为此，将上式分别对01ββ、求偏导数，得n 01=10n 01=11 -2(--)=-2(--)i i i i i i Q y x Q y x ββββββ∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪⎪∂⎩∑∑令上式^^0101,,ββββ取代，得 n ^^0=1^^01=1 (y --)=0(y --)=0i i i i n i i i i x x x ββββ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∑∑于是有 ^^0111^^2011 11n n i i i i n n n i i i i i i i n x y x x x y ββββ=====⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∑∑∑∑∑此方程组称为正规方程。 由正规方程解得^^0 1^122y x xy x y x x βββ--⎧=-⎪⎪⎨-=⎪⎪-⎩ 或^1 12 1()()()n i i i n i i x x y y x x β==--=-∑∑ 其中221111 1111,,,n n n n i i i i i i i i i x x y y x x xy x y n n n n ========∑∑∑∑

正交偏最小二乘法

正交偏最小二乘法 正交偏最小二乘法（Orthogonal Partial Least Squares, OPLS）是一种常用的多元统计分析方法，广泛应用于数据建模、特征选择、变量筛选等领域。本文将介绍正交偏最小二乘法的原理、应用和优势，以及其在实际问题中的应用案例。 正交偏最小二乘法是基于偏最小二乘法（Partial Least Squares, PLS）的改进方法。偏最小二乘法是一种回归分析的方法，通过将自变量和因变量进行线性组合，建立回归模型。但是在应用过程中，偏最小二乘法可能存在多个潜在的自变量对应一个因变量的情况，这就导致了模型的不稳定性和可解释性差。 正交偏最小二乘法通过引入正交化的步骤，解决了偏最小二乘法的不足。其基本思想是，在建立回归模型的过程中，除了考虑与因变量相关的部分（预测分量），还引入与因变量不相关的部分（正交分量），从而提高模型的解释能力和稳定性。通过正交化的操作，正交偏最小二乘法能够将数据进行更好的降维，去除噪声和冗余信息，提取出对预测结果有用的信息。 正交偏最小二乘法在实际问题中具有广泛的应用。例如，在药物研发领域，研究人员可以利用正交偏最小二乘法对大量的分子结构和活性数据进行建模和预测，快速筛选出具有潜在药效的化合物。在工业过程控制中，正交偏最小二乘法可以用于建立传感器数据与产品质量之间的关系，实现对产品质量的在线监测和控制。此外，正

交偏最小二乘法还可以应用于生物信息学、化学分析、图像处理等领域。 与其他方法相比，正交偏最小二乘法具有以下优势。首先，正交偏最小二乘法能够解决多重共线性问题，降低模型的复杂度，提高模型的解释能力。其次，正交偏最小二乘法能够处理高维数据，提取出对预测结果有用的特征，减少冗余信息的干扰。此外，正交偏最小二乘法还可以进行特征选择，帮助研究人员挖掘出对预测结果具有重要影响的变量。 下面以一个实际应用案例来说明正交偏最小二乘法的应用。假设我们需要建立一个模型来预测商品的销售量。我们收集了一系列与销售量相关的特征变量，如商品的价格、促销活动的力度、季节性因素等。利用正交偏最小二乘法，我们可以将这些特征变量与销售量进行线性组合，建立一个回归模型。通过模型，我们可以了解哪些因素对销售量具有重要影响，并根据模型的预测结果进行销售策略的调整。 正交偏最小二乘法是一种强大的多元统计分析方法，具有广泛的应用领域和优势。通过引入正交化的步骤，正交偏最小二乘法能够提高模型的解释能力和稳定性，降低数据的维度，并挖掘出对预测结果具有重要影响的特征。在实际应用中，正交偏最小二乘法可以帮助研究人员解决各种问题，实现数据建模、特征选择、变量筛选等目标。因此，正交偏最小二乘法在数据分析和建模领域具有重要的

偏最小二乘法回归建模案例

《人工智能》课程论文 论文题目：偏最小二乘算法（PLS）回归建模 学生姓名：张帅帅 学号： 172341392 专业：机械制造及其自动化 所在学院：机械工程学院 年月日

目录 偏最小二乘回归....................................... - 2 -摘要................................................. - 2 -§1偏最小二乘回归原理................................ - 2 -§2一种更简洁的计算方法.............................. - 6 -§3案例分析 ......................................... - 7 -致谢................................................ - 16 -附件：.............................................. - 17 -

偏最小二乘回归 摘要 在实际问题中，经常遇到需要研究两组多重相关变量间的相互依赖关系，并研究用一组变量（常称为自变量或预测变量）去预测另一组变量（常称为因变量或响应变量），除了最小二乘准则下的经典多元线性回归分析（MLR ），提取自变量组主成分的主成分回归分析（PCR ）等方法外，还有近年发展起来的偏最小二乘（PLS ）回归方法。 偏最小二乘回归提供一种多对多线性回归建模的方法，特别当两组变量的个数很多，且都存在多重相关性，而观测数据的数量（样本量）又较少时，用偏最小二乘回归建立的模型具有传统的经典回归分析等方法所没有的优点。 偏最小二乘回归分析在建模过程中集中了主成分分析，典型相关分析和线性回归分析方法的特点，因此在分析结果中，除了可以提供一个更为合理的回归模型外，还可以同时完成一些类似于主成分分析和典型相关分析的研究内容，提供更丰富、深入的一些信息。 本文介绍偏最小二乘回归分析的建模方法；通过例子从预测角度对所建立的回归模型进行比较。 关键词：主元分析、主元回归、回归建模 1 偏最小二乘回归原理 考虑p 个变量p y y y ,...,21与m 个自变量m x x x ,...,21 的建模问题。偏最小二乘回归的基本作法是首先在自变量集中提出第一成分t ₁（t ₁是 m x x x ,...,21 的线性组合，且尽可能多地提取原自变量集中的变异信息）；同时在因变量集中也提取第一成分u ₁，并要求t ₁与u ₁相关程度达到最大。然后建立因变量 p y y y , (21) t ₁的回归，如果回归方程已达到满意的精度，则算法中止。否则 继续第二对成分的提取，直到能达到满意的精度为止。若最终对自变量集提取r 个成分r t t t ,...,21,偏最小二乘回归将通过建立 p y y y ,...,21与r t t t ,...,21的回归 式，然后再表示为p y y y ,...,21与原自变量的回归方程式，即偏最小二乘回归方程式。 为了方便起见，不妨假定p 个因变量p y y y ,...,21与m 个自变量m x x x ,...,21均为

偏最小二乘回归分析—案例

案例教育投入对经济影响问题的P L S建模与分析 1 数据资料及相关概念 为研究教育投入与产业发展之间存在着具体怎样的相关关系，特收集了如下数据资料. 表1 辽宁省1984-2005年教育投入与经济产出数据资料 年份L1L2L3L4K Y1Y2Y3 1984122 15612 564419 512965 73961 80.4 268.2 89.6 1985584 17495 522327 689598 102450 74.9 328.1 115.6 1986670 20583 517410 704016 123383 92.9 357.8 154.6 19871193 29394 549709 680861 124532 109.5 417.0 192.6 19881929 31552 615839 637753 155617 141.9 492.5 246.6 19891763 32708 598834 593257 194395 141.9 545.1 316.9 19901677 33768 580075 591654 201077 168.6 540.8 353.3 19911500 33530 571569 660343 229033 180.8 590.1 429.2 19921245 35208 573509 685996 254712 194.6 741.9 536.5 19931307 33615 572612 630759 305120 260.8 1039.3 710.8 19941273 35923 606148 636786 398399 319.0 1259.1 883.8 19951425 44072 635387 672482 439517 392.2 1390.0 1011.2 19961962 51068 611379 576164 496190 474.1 1537.7 1145.9 19972316 49591 666386 500252 546883 474.1 1743.9 1364.2 19982126 47557 724391 555892 562770 531.5 1855.2 1459.1 19992426 49964 658165 644042 642559 520.8 2001.5 1649.4 20002910 49834 587000 722325 760719 503.4 2344.4 1821.2 20012971 60271 623975 679852 855043 544.4 2440.6 2048.1 20023674 72791 709233 622536 991450 590.2 2609.9 2258.2 20035027 98908 788473 595278 1108785 615.8 2898.9 2487.9 20046726 115889 792228 511757 1387080 798.4 3061.6 2812.0 20059342 144984 815905 499069 1629956 882.4 3953.3 3173.3 注释表中数据摘自《辽宁统计年鉴2006》. 变量说明 ⑴衡量教育投入水平的具体指标集 L－研究生教育程度（硕士及博士）劳动力数（单位：人）； 1 L－高等教育程度（大学本科及专科）劳动力数（单位：人）； 2 L－中等教育程度（高中及中专）劳动力数（单位：人）； 3 L－初等以下教育程度（小学及文盲）劳动力数（单位：人）； 4 K－教育的财政投入（单位：万元）.

偏最小二乘回归方法(PLS)

偏最小二乘回归方法 1 偏最小二乘回归方法(PLS)背景介绍 在经济管理、教育学、农业、社会科学、工程技术、医学和生物学中，多元线性回归分析是一种普遍应用的统计分析与预测技术。多元线性回归中，一般采用最小二乘方法(Ordinary Least Squares :OLS)估计回归系数，以使残差平方和达到最小，但当自变量之间存在多重相关性时，最小二乘估计方法往往失效。而这种变量之间多重相关性问题在多元线性回归分析中危害非常严重，但又普遍存在。为消除这种影响，常采用主成分分析(principal Components Analysis :PCA)的方法，但采用主成分分析提取的主成分，虽然能较好地概括自变量系统中的信息，却带进了许多无用的噪声，从而对因变量缺乏解释能力。 最小偏二乘回归方法(Partial Least Squares Regression：PLS)就是应这种实际需要而产生和发展的一种有广泛适用性的多元统计分析方法。它于1983年由S.Wold和C.Albano等人首次提出并成功地应用在化学领域。近十年来，偏最小二乘回归方法在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展，己经广泛地应用在许多领域，如生物信息学、机器学习和文本分类等领域。 偏最小二乘回归方法主要的研究焦点是多因变量对多自变量的回归建模，它与普通多元回归方法在思路上的主要区别是它在回归建模过程中采用了信息综合与筛选技术。它不再是直接考虑因变量集合与自变量集合的回归建模，而是在变量系统中提取若干对系统具有最佳解释能力的新综合变量(又称成分)，然后对它们进行回归建模。偏最小二乘回归可以将建模类型的预测分析方法与非模型式的数据内涵分析方法有机地结合起来，可以同时实现回归建模、数据结构简化(主成分分析)以及两组变量间的相关性分析(典型性关分析)，即集多元线性回归分析、典型相关分析和主成分分析的基本功能为一体。下面将简单地叙述偏最小二乘回归的基本原理。 2 偏最小二乘法的工作目标 2.1 偏最小二乘法的工作目标 在一般的多元线性回归模型中，如果有一组因变量Y={y1,…,y q}和一组自变量X={x1,…,x p}，当数据总体能够满足高斯—马尔科夫假设条件时，根据最小二乘法，有 ⋂ Y=X（X T X）-1X T Y ⋂ Y将是Y的一个很好的估计量。从这个公式容易看出，由于（X T X）必须是可逆矩阵，所以当X中的变量存在严重的多重相关性时，或者在X中的样本点数与变量个数相比显然过少时，

最小二乘法求解线性回归问题

最小二乘法求解线性回归问题最小二乘法是回归分析中常用的一种模型估计方法。它通过最 小化样本数据与模型预测值之间的误差平方和来拟合出一个线性 模型，解决了线性回归中的参数估计问题。在本文中，我将详细 介绍最小二乘法在线性回归问题中的应用。 一、线性回归模型 在介绍最小二乘法之前，先了解一下线性回归模型的基本形式。假设我们有一个包含$n$个观测值的数据集 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n)$，其中$x_i$表示自变量， $y_i$表示因变量。线性回归模型的一般形式如下： $$y=\beta_0+\beta_1 x_1+\beta_2 x_2+\dots+\beta_p x_p+\epsilon$$ 其中，$\beta_0$表示截距，$\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_p$表示 自变量$x_1,x_2,\dots,x_p$的系数，$\epsilon$表示误差项。我们希 望通过数据集中的观测值拟合出一个线性模型，即确定

$\beta_0,\beta_1,\dots,\beta_p$这些未知参数的值，使得模型对未知数据的预测误差最小化。 二、最小二乘法的思想 最小二乘法是一种模型拟合的优化方法，其基本思想是通过最小化优化问题的目标函数来确定模型参数的值。在线性回归问题中，我们通常采用最小化残差平方和的方式来拟合出一个符合数据集的线性模型。 残差代表观测值与模型估计值之间的差异。假设我们有一个数据集$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n)$，并且已经选定了线性模型$y=\beta_0+\beta_1 x_1+\beta_2 x_2+\dots+\beta_p x_p$。我们希望选择一组系数$\beta_0,\beta_1,\dots,\beta_p$，使得模型对数据集中的观测值的预测误差最小，即最小化残差平方和（RSS）： $$RSS=\sum_{i=1}^n(y_i-\hat{y}_i)^2$$

最小二乘法在回归分析中的应用

最小二乘法在回归分析中的应用 在统计学中，回归分析是一种广泛应用的分析方法。它的主要目的是探讨自变 量与因变量之间的关系，并用数学模型来解释它们之间的关联。在这个过程中，最小二乘法是一种非常重要的工具，它可以帮助我们找到最佳的拟合直线或者曲线，从而最大限度地减小预测误差。 最小二乘法的基本原理 最小二乘法是一种常用的参数估计方法，在回归分析中，它被用来估计自变量 与因变量之间的线性关系。假设我们有一个包含n个观测值的数据集，其中自变量为X1, X2, ..., Xn，因变量为Y1, Y2, ..., Yn。最小二乘法的目标是找到一个方程 y=\beta_0+\beta_1X_i来拟合这些数据，使得预测值与观测值的离差平方和最小。 最小二乘法的实现过程是先确定回归系数（β0, β1），然后计算每个观测值与 拟合直线的离差（也称为残差），然后计算这些残差的平方和。由于残差可以是正数也可以是负数，所以用平方和而非绝对值和来求和，可以保证残差的平均值为0。最终的目标是将这个平方和最小化，从而得到最佳的回归系数。 图1：最小二乘法的目标是找到一条拟合直线，使得残差平方和最小 最小二乘法的优点 最小二乘法在回归分析中有很多优点。首先，它是一种可靠且简单的方法，可 以处理大部分数据集和模型类型。其次，最小二乘法所得到的结果是可解释的，它可以帮助我们理解自变量和因变量之间的关系，预测未来的趋势。最后，最小二乘法还具有抗干扰性，即使数据中存在离群点（比如数据中的异常值），它也能够找到最佳的拟合直线。 最小二乘法的应用

最小二乘法在回归分析中有广泛的应用。例如，在金融学中，我们可以用最小二乘法来研究股票价格与宏观经济指标之间的关系。在医学研究中，我们可以用最小二乘法来研究某个疾病的风险因素，例如高血压、肥胖等。在教育研究中，我们可以用最小二乘法来研究学习成就与教育资源之间的关系。 最小二乘法的限制 尽管最小二乘法在回归分析中有很多优点，但它也有一些局限性。首先，最小二乘法要求自变量和因变量之间是线性关系，如果数据呈现出非线性关系，最小二乘法就不再适用。其次，最小二乘法假设残差是独立同分布的，如果数据集中存在相关性，最小二乘法就会产生偏差。最后，最小二乘法对异常值非常敏感，一些极端值可能会影响回归系数的估计，从而导致预测偏差。 结论 总之，最小二乘法是回归分析中一种重要的工具，它可以帮助我们找到最佳的拟合直线或曲线，从而最大限度地减小预测误差。在使用最小二乘法时，我们要注意数据集的特点，并进行合理的数据变换和模型选择。此外，我们还需要注意最小二乘法的局限性，尤其是数据集中存在相关性和异常值的情况。

回归分析中的偏最小二乘回归模型构建技巧(Ⅱ)

回归分析中的偏最小二乘回归模型构建技巧 回归分析是一种用于探索和建模变量之间关系的统计方法，通过对自变量和因变量之间的关系进行建模，可以帮助我们理解和预测变量之间的相互影响。在回归分析中，偏最小二乘回归模型是一种常用的技术，它可以在面对高维数据和多重共线性等问题时，提供更稳健和可靠的建模结果。 偏最小二乘回归模型是一种在多元统计分析中广泛应用的技术，它可以帮助我们处理多重共线性问题，同时还可以在高维数据下进行降维和变量选择。在构建偏最小二乘回归模型时，有一些技巧和注意事项需要我们注意。本文将讨论回归分析中偏最小二乘回归模型的构建技巧，希望能够为读者提供一些有益的参考。 数据预处理 在构建偏最小二乘回归模型之前，首先需要进行数据预处理。这包括对数据进行清洗、缺失值处理、异常值处理等步骤。同时，还需要对数据进行标准化或归一化，以便在建模过程中能够更好地比较不同变量之间的影响。 特征选择 在构建偏最小二乘回归模型时，特征选择是一个非常重要的步骤。由于偏最小二乘回归模型可以处理高维数据，但是在变量太多的情况下，模型的稳定性和可解释性可能会受到影响。因此，需要通过特征选择的方法，筛选出对因变量影响最显著的自变量。

交叉验证 在构建偏最小二乘回归模型时，为了保证模型的泛化能力和稳定性，我们通常会使用交叉验证的方法来评估模型的性能。通过划分训练集和测试集，并重复多次交叉验证，可以更好地评估模型在不同数据集上的表现。 多元共线性处理 多元共线性是回归分析中常见的问题，它会导致模型参数估计不准确，以及模型的解释性受到影响。在构建偏最小二乘回归模型时，需要通过一些技巧来处理多元共线性，例如通过主成分分析或岭回归等方法来降低变量之间的相关性。 模型评估和调优 在构建偏最小二乘回归模型之后，需要对模型进行评估和调优。这包括对模型的拟合优度、残差分布、变量的显著性等进行检验，同时还可以通过调整模型的超参数或结构，来进一步提高模型的性能。 案例分析 除了理论知识，通过案例分析也可以更好地理解偏最小二乘回归模型的构建技巧。通过实际的数据案例，可以帮助我们更好地掌握模型构建的步骤和技巧，同时还可以理解模型在实际问题中的应用。 结论

用最小二乘法求线性回归方程

最小二乘法主要用来求解两个具有线性相关关系的变量的回归方程，该方法适用于求解与线性回归方程相关的问题，如求解回归直线方程，并应用其分析预报变量的取值等．破解此类问题的关键点如下： ①析数据，分析相关数据，求得相关系数 r ，或利用散点图判断两变量之间是否存在线性相关关系，若呈非线性相关关系，则需要通过变量的变换转化构造线性相关关系． ②建模型．根据题意确定两个变量，结合数据分析的结果建立回归模型． ③求参数．利用回归直线 y=bx+a 的斜率和截距的最小二乘估计公式，求出 b ，a，的值．从而确定线性回归方程． ④求估值．将已知的解释变量的值代入线性回归方程 y=bx+a 中，即可求得 y 的预测值． 注意:回归直线方程的求解与应用中要注意两个方面：一是求解回归直线方程时，利用样本点的中心（ x，y）必在回归直线上求解相关参数的值；二是回归直线方程的应用，利用回归直线方程求出的数值应是一个估计值，不是真实值． 经典例题： 下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量的值依次为 1,2.，⋯⋯ 17 ）建立模型①： y=-30.4+13.5t ；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②： y=99+17.5t ． （ 1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 思路分析：（ 1）两个回归直线方程中无参数，所以分别求自变量为 2018 时所对应的函数值，就得结果，（ 2）根据折线图知 2000 到 2009 ，与 2010 到 2016 是两个有明显区别的直线，且 2010 到 2016 的增幅明显高于 2000 到 2009 ，也高于模型 1 的增幅，因此所以用模型 2 更能较好得到 2018 的预测. 解析：（ 1）利用模型①，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 = –30.4+13.5 ×19=226.1 （亿元）． 利用模型②，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+17.5 ×9=256.5 （亿元）（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下： （ i）从折线图可以看出， 2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线y= –30.4+13.5t 上下，这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势． 2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加， 2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型 =99+17.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠． （ ii）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型①得到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠． 以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．

【原创】R语言多元线性回归特征降维：主成分回归和偏最小二乘案例分析报告附代码数据

主成分分析（Principal Component Analysis, PCA） 一个优秀的模型应该是用尽可能少的特征来涵盖尽可能多的信息。对于多元线性回归模型，除了对全部特征进行筛选和压缩——这些都是针对原特征本身，那么是否可以把多个特征组合成少数的几个新特征，使模型更加简洁？特别是多个特征之间往往还存在多重共线性关系。 主成分分析的核心思想就是降维，把高维空间上的多个特征组合成少数几个无关的主成分，同时包含原数据中大部分的变异信息。举个例子，在二维平面中，如果大部分的点都在一条直线附近，是不是就可以直接用这条直线当作一维坐标轴来反映原始数据？在三维空间中，如果大部分的点都在一个平面附近，是不是就可以直接用这个平面当作二维平面来反映原始数据？ 以上概念中的变异信息就用方差来衡量，第一主成分是高维空间上的一个向量，所有的点沿着这条线波动最大，或者说所有的点到直线的距离的平方和最小。如下图所示，所有的点沿着绿色直线的波动最大，它就代表着第一主成分向量。 主成分分析几何意义 有了第一主成分，还可以依次往后选择主成分，各主成分之间是相互正交的向量。如下左图所示，右图是左图的旋转，以第一主成分作为x轴，第二主成分作为y轴与之垂直。

第一主成分与第二主成分 以上是主成分的几何意义，那么它的数学意义是什么？如何去求解主成分向量？ 首先，我们定义主成分是原特征的线性组合，即： 主成分定义 找到一组Φ（其平方和为1），使Z1的方差最大，它的优化问题变成： 主成分优化目标 第一主成分确定之后，如果是二维空间那么第二主成分就可以通过正交关系直接确定；对于高维空间，一个向量的正交向量可以有无数个，则在其正交向量中继续优化上式至最大值；之后的主成分依次类推。 以下以美国的犯罪记录数据为例，对特征进行PCA： > library(ISLR) > apply(USArrests,2,mean) # 各变量均值差异很大 Murder Assault UrbanPop Rape 7.788170.76065.54021.232 > apply(USArrests,2,var) # 各变量方差差异也很大 Murder Assault UrbanPop Rape 18.970476945.16571209.5187887.72916 > > ## 必须要对变量进行标准化，否则主成分就由Assault一个变量决定 > > pr.out = prcomp(USArrests,scale. = T) > names(pr.out) [1] "sdev""rotation""center""scale""x" > pr.out$center # 标准化之后的均值

利用Eviews软件进行最小二乘法回归实例

利用Eviews软件进行最小二乘法回归实例

例题中国居民人均消费支出与人均GDP（1978-2000），数据（例题1-2），预测，2001年人均GDP为4033.1元，求点预测、区间预测。（李子奈，p50）解答： 一、打开Eviews软件，点击主界面File按钮，从下拉菜单中选择Workfile。 在弹出的对话框中，先在工作文件结构类型栏（Workfile structure type）选择固定频率标注日期（Dated – regular frequency），然后在日期标注说明栏中（Date specification）将频率（Frequency）选为年度（Annual），再依次填入起止日期，如果希望给文件命名（可选项），可以在命名栏（Names - optional）的WF项填入自己选择的名称，然后点击确定。 此时建立好的工作文件如下图所示：

在主界面点击快捷方式（Quick）按钮，从下拉菜单中选空白数据组（Empty Group）选项。 此时空白数据组出现，可以在其中通过键盘输入数据或者将数据粘贴过来。 在Excel文件（例题1-2）中选定要粘贴的数据，然后在主界面中点击编辑（Edit）按钮，从下拉菜单中选择粘贴（Paste），数据将被导入Eviews软件。

此时如果同意删除，可以点击Yes，如果想把回归结果保存下来，可以点击命名（Name），这时就会弹出一个对话框，在其中填入为方程取的名字，点击OK即可。本例中方程自动命名为方程－1（eq01）。 点击确定之后，方程页面关闭，同时在工作文件页面内可以发现多了一个表示回归方程的对象（图中的eq01）。如果以后需要用到回归结果时，就不需要象前面那样逐步地去做，而只需要双击eq01图标即可。 如果试图关闭工作文件或Eviews主程序，将会弹出警示框询问是否对该工作文件进行保存，此时如果不计划对工作文件进行保存，直接点击No即可，如果点击取消（Cancel），将回到关闭前的状态。如果计划保存工作文件以备将来使用，则可以点击Yes。

(真正的好东西)偏最小二乘回归=多元线性回归分析+典型相关分析+主成分分析

偏最小二乘回归是一种新型的多元统计数据分析方法，它与1983年由伍德和阿巴诺等人首次提出。近十年来，它在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展。密西根大学的弗耐尔教授称偏最小二乘回归为第二代回归分析方法。 偏最小二乘回归方法在统计应用中的重要性主要的有以下几个方面：（1）偏最小二乘回归是一种多因变量对多自变量的回归建模方法。 （2）偏最小二乘回归可以较好地解决许多以往用普通多元回归无法解决的问题。在普通多元线形回归的应用中，我们常受到许多限制。最典型的问题就是自变量之间的多重相关性。如果采用普通的最小二乘方法，这种变量多重相关性就会严重危害参数估计，扩大模型误差，并破坏模型的稳定性。变量多重相关问题十分复杂，长期以来在理论和方法上都未给出满意的答案，这一直困扰着从事实际系统分析的工作人员。在偏最小二乘回归中开辟了一种有效的技术途径，它利用对系统中的数据信息进行分解和筛选的方式，提取对因变量的解释性最强的综合变量，辨识系统中的信息与噪声，从而更好地克服变量多重相关性在系统建模中的不良作用。 （3）偏最小二乘回归之所以被称为第二代回归方法，还由于它可以实现多种数据分析方法的综合应用。 由于偏最小二乘回归在建模的同时实现了数据结构的简化，因此，可以在二维平面图上对多维数据的特性进行观察，这使得偏最小二乘回归分析的图形功能十分强大。在一次偏最小二乘回归分析计算后，不但可以得到多因变量对多自变量的回归模型，而且可以在平面图上直接观察两组变量之间的相关关系，以及观察样本点间的相似性结构。这种高维数据多个层面的可视见性，可以使数据系统的分析内容更加丰富，同时又可以对所建立的回归模型给予许多更详细深入的实际解释。 一、偏最小二乘回归的建模策略\原理\方法

数学建模解多元线性回归问题

公司年销售额的分析 摘要 公司年销售额通常和很多因素有关，但它们之间并不是确定性关系，所以我们用回归分析来处理，并建立了多元线性回归模型。本文用最小二乘的方法给出了变量间相关关系的回归方程，针对各因素对公司年销售额的影响我们与偏回归平方和联系起来，并将各因素的影响程度进行了排序。还通过F 检验和T 检验分别验证了回归方程的显著性和方程系数的显著性。最后我们采用了逐个剔除的方法找出了影响年销售额的主要因素，并且建立了新的回归方程，再次进行检验，新回归方程高度显著，最后得到了个人可支配收入、价格、投资和广告费密切相关的结论。 第一问：我们首先对附表1的数据进行处理，利用MATLAB 对残差向量进行分析，剔除其中的异常点。然后建立起多元线性回归模型，采用最小二乘的方法来估计回归方程的参数i 。我们引入偏回归平方和i Q 的概念来判定各因素对年销售额的影响程度，并对各因素的影响程度由深到浅进行了排序。 第二问：通过对回归平方和回S 和剩余平方和剩S 的分析，并且运用F 检验法 来判定线性回归方程的显著性。由于回归方程显著并不意味着每个自变量1x ，2x ，3x ,…8x 对因变量y 的影响都是重要的。所以我们对方程系数的显著性用T 检验 法进行了检验。最后通过逐个剔除的方法找出了其中的主要因素,主要因素为：个人可支配的收入、价格、投资、广告费这四个方面。 第三问：通过逐个剔除的方法建立了新的回归方程，并对新的回归方程进行显著性检验，对方程系数进行显著性检验。得到了公司的年销售额与个人可支配收入、价格、投资和广告费密切相关的结论。

关键词：多元线性回归 最小二乘法 F 检验 T 检验 偏回归平方和 1 问题重述 在经济流通领域中，某公司的年销售额（y ）与个人可支配的收入（1x ）；商人的回扣（2x ）；价格（3x ）；研究与发展费（4x ）；投资（5x ）；广告费（6x ）；销售费用（7x ）；总的工业广告预算（8x ）等有关。附表1中是某公司的原始数据。建立模型，分析各因素对年销售额的影响程度。并对所做模型进行检验，找出影响销售额的主要因素。最后分析主要因素与销售额的关系，并给出结论。