太原理工大学研究生期末考试组合数学

1. 填空(本题共20分，共10空，每空2分)

1) 三只白色棋子和两只红色棋子摆放在5*5的棋盘上，要求每行每列只放

置一个棋子，则共有 1200 种不同的摆放方法。

答案：

1200!52

5=?C 2) 在(5a 1-2a 2+3a 3)6的展开式中，a 12?a 2?a 33的系数是 -81000 。

答案：81000

3)2(5!3!1!2!

632-=?-????

3) 有n 个不同的整数，从中取出两组来，要求第一组数里的最小数大于第

二组的最大数，共有12

1

+?-n n 种方案。

4) 六个引擎分列两排，要求引擎的点火的次序两排交错开来，试求从一特

定引擎开始点火有 12 种方案。

答案：121

2

1213=??C C C

5) 从1到600整数中既不能被3整除也不能被5整除的整数有 320 个。 6) 要举办一场晚会，共10个节目，其中6个演唱节目，4个舞蹈节目。现

要编排节目单，要求任意两个舞蹈节目之间至少要安排一个演唱节目，则共可以写出 604800 种不同的节目单。

答案：

604800!4!63

7=??C 7) 把n 男n 女排成一只男女相间的队伍，共有

2)!(2n ? 种排列方法；

若围成一圆桌坐下，又有

)2/()!(22n n ? 种方法。

8) n 个变量的布尔函数共有

n

n

2 个互不相同的。

9) 把r 个相异物体放入n 个不同的盒子里，每个盒子允许放任意个物体，

而且要考虑放入同一盒中的物体的次序，这种分配方案数目为

),1(r r n P -+ 。

答案：)

,1()!1()!1()1()2)(1(r r n P n r n r n n n n -+=--+=-+???++

2. (本题10分)

核反应堆中有α和β两种粒子，每秒钟内一个α粒子分裂成三个β粒子，而一个β粒子分裂成一个α粒子和两个β粒子。若在时刻t=0时，反应堆中只有一个α粒子，问t=100秒时反应堆中将有多少个α粒子？多少个β粒子？ 解: 设t 秒钟的α粒子数位a t ，β粒子数为b t , 则

???

??==+==---0

,1230

0111b a b a b b a t t t t t

?

)(3

,03210211

*???

??==+==---b b b b b b a t t t t t

（*）式的特征方程为0322

=--x x ，

解得3,121=-=r r ，即t

t t A A b 3)1(21?+-?=

代入初始值3,010

==b b ，解得43

,4321

=-=A A t

t t b 343

)1(43?+-?-=∴ 1

11343

)1(43---?+-?-==t t t t b a

)

13(43),13(43100

10099100-=+=∴b a

3. (本题共10分，共2小题，每小题5分)

①设1212n a a a n n P P P =???，12,,n P P P ???是互不相同的素数，

设求能除尽n 的正整数数目为多少？

解：每个能整除尽数n 的正整数都可以选取每个素数P i 从0到a i ，即每个素数

有a i +1种选择，所以能整除n 的正整数数目为)1()1)(1(21+???++n a a a 个。

②试证明一整数是另一整数的平方的必要条件是除尽它的数目为奇数。 证明：根据题①中结论，

n

a n

a

a P P P n ???=2

121，能被)1()1)(1(21+???++n a a a 个

数整除，而

n

a n

a a

P P P n 2222122

1???=能被

)12()12)(12(21+???++n a a a 个数整除，2a i +1为奇数)10(≤≤i ，所以乘积为奇数，证毕。

4. (本题10分) 证明等式

2222

2012n n n n n n n ??????????+++???+= ? ? ? ? ???????????

求(1+x 4+x 8)100中x 20项的系数。

次方系数即可证。比较证明：

n ,11,010221202)1()1()1(2

22∴??????

?

??-=???? ?????? ??=???? ???

????????? ??+???+???

? ??+???? ??=???? ??+???+???? ??+???? ??∴+?+=+n n n n n n x n n x n n x n n x n n x x x n n

n n n

[]

。

三个系数相加即为所求时，系数时，系数时，系数项

时有，的结构可知仅当分析）

（解：,

5,4,35,43k )(1)()(1105510034410023310020841000

10084100100

8

4

100

84C C k C C k C C k x x x x x C x x

x x k k k

k k ?==?==?===+?+=++=++∑=-

5. (本题10分)

求1，3，5，7，9这五个数可以组成多少个不同的n 位数，其中要求3和7出现次数为偶数。

位数。

）个不同的（所以可以组成解：n r x e e e e e e e e e x x x x x G n n r

r r r x x x x x

x x x x 532141

!

)5321(41)2(414

2)2()!

4!21()!2!11()(e 053223232

423

2+?++?+=++=++?=+?=?+??+++??+??+++=∑∞=--

6. (本题10分)

6个人参加一会议，入场时将帽子随意挂在衣架上，走时匆匆忙忙顺手带一顶走了，试问没有一人拿对的概率是多少？

7. (本题10分)

求满足下列条件的整数解数目x1+x2++x3+x4=20，其中1≤x1≤5，0≤x2≤7，4≤x3≤8，2≤x4≤6。

.

36788 . 0 1

! n 368

. 0 720 / 265 720 / ) 1 6 30 120 360 720 720 ( 720 / ) 1 6 2 15 6 20 24 15 120 6 720 ( 720 / ) 1 ! 1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 720 ( ! 6 1

! 5 1 ! 4 1 ! 3 1 ! 2 1 ! 1 1 1 ! 6 5

6 4 6 3 6 2 6 1 6 6 ≈ ≈ ≈ = + - + - + - = + - ? + ? - ? + ? - = + - + - + - = + - + - + - = =

e

n D C C C C C D P n 比较大时， 可以证明，当 解：

.

84396961-4660

,0,0,0-4-4-7-4.

5603161316131-413,

40,40,70,40,

13,2,4,,143214321,44,33,22,114321432144332211=???

?

??=???? ??=???? ??+=+++≥≥≥≥=====???

?

??=???? ??=???? ??+≤≤≤≤≤≤≤≤=+++-=-==-=整数解数目为于是问题转为变换

对于有上届的问题要作根据公式应为若不附加有上届条件的解：设εεεεεεεεεεεεy y y y y y y y y y y y x y x y x y x y

8. (本题10分)

长为5米的木棒用红，蓝两色染色，每米染一色，问有多少种不同的染色方案？(刚体运动使之吻合算一种方案)

.

202/)22(211,1132415),

5)(4)(3)(2)(1(35215211=+=∴==l P OO P P ，个个置换格式：），）（）（（翻转绕第二类置换：解：第一类置换：

试问若要求其中有3米为红色，2米为蓝色的方案数是多少？

.

64323,5214,5313,4512.1025同方案数为为同一种方案，此时不为蓝色分别和和和和但木棒可翻转，使得为个对象染蓝色，方案数个对象任取解：若木棒不可动，则

P

9. (本题共10分，共2小题，每小题5分)

①给出120110n m m m m m m n m n n n n --??????????????++???+= ??? ??? ??? ?-??????????????

的组合意义。 等于右边。

所有的方案数相加应该个，个，另一个盒子放放项的意义是一个盒子中左边：第方案数。

两种方法，得到可能的个球中每个球都有个放入两个盒子，个球，从中取出解：右边：i -n i i n n m

②证明222223(1)2123n n n n n n n n n -????????

+?+?+???+?=+ ? ? ? ?????????

。

22221

22222

1

121

11

21

322)1(33221,133221)1()1()1(33221)1(233221,133221)1(3210)1(---------+=???? ??+???+???? ??+???? ??+???? ??=???

? ??+???+???? ??+???? ??+???? ??=+-++???

? ??+???+???? ??+???? ??+???? ??=+=???

? ??+???+???? ??+???? ??+???? ??=???? ??+???+???? ??+???? ??+???? ??=+???

? ??+???+???? ??+???? ??+???? ??+???? ??=+n n n n n n n n n n

n

n n n n n n n n x x

n n n x n x n n x x n n x n x x

n n n x n x n n x n n n n n n n n x x

n n n x n x n n x n x x

n n x n x n x n n x 即得式：也令后并求导得：

两端同乘以再给式子：即得式：令求导可得：

的两端对在二项式证明：