poisson过程答案

Poisson过程的模拟和检验

Poisson过程的模拟和检验 实验目的：理解掌握Poisson过程的理论，了解随机过程的模拟实现技术，学习并掌握在 实际中如何检验给定的随机过程是否为 Poisson过程。 实验内容：利用C语言、MATLAB等工具，结合Poisson过程等相关结论，模拟Poisson 过程（还可选：非齐次Poisson过程等）； 查找资料、学习关于Poisson过程假设 检验的相关知识，检验上述模拟实现的 到达过程是否满足Poisson过程的定义 （编程或利用统计软件，如SPSS、SAS 等作为辅助工具）。 作业要求：提交实验报告电子版，说明模拟实现的过程，检验原理、步骤等以及实现过程； 提交程序源代码。

一、泊松过程的模拟 1．基本原理 根据服务系统接受服务顾客数服从泊松分布这一模型可知，{X(n),t}是一个计数过程，{，n是对应的时间间隔序列，若(n)（n=1,2,...）是独立同分布的均值为的指数分布，则{X(n),t}是具有参数为λ的泊松。 2．具休实现过程 思路：本实验从用MATLAB编程软件，从构造服从指数分布的时间间隔入手，计算每个事 件的发生时刻 W，最后得到X(t)，也就模拟了泊 n 松过程。 实现步骤如下： (1).由函数random(‘exponential’,lamda)构造服从指数分布的序列。 (2).根据服务系统模型，=+。 (3).对任意t（，），X(t)=n,由此得到

泊松过程的模拟。 3．过程模拟验证 (1)设定t=0时刻，计数为0，满足X(0)=0这一条件。 (2) 是由random(‘exponential’,lamda)生成，间相互独立。 (3)由实验结果图可以很清楚地看出，在充分小的时间间隔内，最多有一个事情发生，而不可能有两个或两个以上事件同时发生，同时可以看出X(t)是一个平稳增量过程，结合条件(2)可知，X(t)是独立平稳增量过程。

Poisson过程

第三章Poisson过程 教学目的：（1）了解计数过程的概念； （2）掌握泊松过程两种定义的等价性； （3）掌握泊松过程的到达时刻的分布、等待时间的分布和来到时刻的条件分布； （4）了解泊松过程的三种推广。 教学重点：（1）泊松过程两种定义的等价性； （2）泊松过程的到达时刻的分布、等待时间的分布和来到时刻的条件分布； （3）泊松过程的三种推广。 教学难点：（1）泊松过程两种定义的等价性的证明； （2）泊松过程来到时刻的条件分布； （3）泊松过程的推广。 3.1 Poisson过程 教学目的：掌握Poisson过程的定义及等价定义；会进行Poisson过程相关的概率的计算。 教学重点：Poisson过程的定义与其等价定义等价性的证明；Poisson过程相关的概率的计算。 教学难点：Poisson过程的定义与其等价定义等价性的证明。 Poisson过程是一类重要的计数过程，先给出计数过程的定义 定义3.1：{(),0} 表示从到时刻 N t t N t t≥ 随机过程称为计数过程，如果()0特定事件发生的次数，它具备以下两个特点： 某一A N t取值为整数； (1)() 内事件发生的次数。 (2)()()()-()(,] 时，且表示时间A s t N s N t N t N s s t <≤ 计数过程有着广泛的应用，如：某商店一段时间内购物的顾客数；某段时 间内电话转换台呼叫的次数；加油站一段时间内等候加油的人数等。 如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，则称该计数过程

有独立增量。即当123,t t t <<2132()-()()-()X t X t X t X t 有与是独立的。 若在任一时间区间中的事件个数的分布只依赖于,时间区间的长度则计数 过程有平稳增量。即对一切12120(,]t t s t s t s <>++及，在中事件个数 21()()N t s N t s +-+12(,]t t 与区间中事件的个数21()()N t N t -有相同的分布。 Poission 过程是计数过程，而且是一类最重要、应用广泛的计数过程，它最早于1837年由法国数学家Poission 引入。 .独立增量和平稳增量是某些级数过程的主要性质Poisson 过程是具有独立 增量.和平稳增量的计数过程 定义3.2：{(),0}(0)N t t λλ≥>计数过程称为参数为Poisson 过程，如果 (1)(0)0N =； (2)过程具有独立增量； (3),0,s t ≥对任意的 (()-())P N t s N s n +=! n t t e n λλ-=（） 例3.1：3/h 设顾客到达商店依次人的平均速度到达，Poisson 且服从分布， 9:00,已知商店上午开门试求 (1)9:0010:005从到这一小时内最多有名顾客的概率？ (2)9:3011:30到时仅到一位顾客，而到时总计已达到5位顾客的概率？ (解：见板书。) 注：（1）Poisson 过程具有平稳增量。 （2）随机变量()N t 服从参数为t λ的Poisson 分布，故[()]E N t t λ=（显然，可以认为λ是单位时间内事件发生的平均次数，称λ是Poisson 过程的强度或速率或发生率。）

泊松过程及其在排队论中的应用

泊松过程及其在排队论中的应用 摘要：叙述了泊松过程的基本定义和概念，并列举了泊松过程的其他等价定义和证明并分析了泊松过程在排队论中的应用，讨论了完成服务和正在接受服务的顾客的联合分布。 关键词：泊松过程；齐次泊松过程；排队论 1. 前言 泊松分布是概率论中最重要的分布之一，在历史上泊松分布是由法国数学家泊松引人的。近数十年来，泊松分布日益显现了其重要性而将泊松随机变量的概念加以推广就得到了泊松过程的概念。泊松过程是被研究得最早和最简单的一类点过程，他在点过程的理论和应用中占有重要的地位。泊松过程在现实生活的许多应用中是一个相当适合的模型，它在物理学、天文学、生物学、医学、通讯技术、交通运输和管理科学等领域都有成功运用的例子。 2. 泊松过程的概念 定义3.2 ：设计数过程{ X(t)，t ≥ 0}满足下列条件： (1) X(0) = 0; (2) X(t)是独立增量过程; (3) 在任一长度为t 的区间中，事件A 发生的次数服从参数0t >λ的泊松分布，即对任意是s, t ≥ 0，有 ! )(})()({n t e n s X s t X P n t λλ-==-+， ,1,0=n 则称计数过程{ X(t)，t ≥ 0}为具有参数0>λ的泊松过程。 注意，从条件(3)知泊松过程是平稳增量过程且t t X E λ=)]([，由于， t t X E )]([= λ表示单位时间内事件A 发生的平均个数，故称λ为此过程的速率或强度。 从定义3.2中，我们看到，为了判断一个计数过程是泊松过程，必须证明它满足条件(1)、(2)及(3)。条件(1)只是说明事件A 的计数是从t = 0时开始的。条件(2)通常可从我们对过程了解的情况去验证。然而条件(3)的检验是非常困难的。为此，我们给出泊松过程的另一个定义。 定义3.3 ：设计数过程{ X(t)，t ≥ 0}满足下列条件： (1) X(0) = 0; (2) X(t)是独立平稳增量过程; (3) X(t)满足下列两式： o(h). 2} X(t)-h)P{X(t o(h),h 1} X(t)-h)P{X(t =≥++==+λ

泊松过程模拟

泊松过程模拟 Matlab程序： function I=possion(lambda,m,n) for j=1:m X=poissrnd(lambda,[1,n]); %参数为lambda的possion过程 N(1)=0; for i=2:n N(i)=N(i-1)+X(i-1); end t=1:n; plot(t,N) grid on hold on end >> possion(2,1,500) >> possion(2,10,500) >> possion(2,100,500)

随机过程的数字特征 以样本数m=100，时间断面n=500 模拟的参数为2的possion过程为例 >> m=100;n=500; >> for j=1:m X=poissrnd(lambda,[1,n]); N(1)=0; for i=2:n N(i)=N(i-1)+X(i-1); M(j,i)=N(i); %把所有样本存入矩阵M end t=1:n; plot(t,N) grid on hold on end 1.总体平均 计算时间断面上各次模拟结果的均值 >> Mean1=mean(M,1); %总体上的平均 >> figure(1) >> n=1:500; >> plot(n,Mean1) >> xlabel('time') >> ylabel('mean') 2.时间平均 >> Mean2=mean(M,2); >> figure(2) >> plot(1:m,Mean2,'*') >> xlabel('样本容量m') >> ylabel('mean') >> axis([0 100 0 1000]); 3.计算时间断面上各次模拟结果的方差 >> Std=(std(M)).^2; >> n=1000; >> plot(1:n,Std) >> xlabel('time') >> ylabel('方差')

泊松分布及其应用研究

泊松分布及其应用研究 Prepared on 22 November 2020

湖南科技大学 信息与电气工程学院 《课程论文》 题目：泊松分布及其应用研究 专业：通信工程 班级： 13级3班 姓名：黄夏妮 学号： 目录 一、摘要 (1) 二、泊松分布的概念 (2) 三、计数过程为广义的泊松过程 (4) 四、泊松分布及泊松分布增量 (5) 五、泊松分布的特征 (5) 六、泊松分布的应用 (6) 七、基于MATLAB的泊松过程仿真 (8) 八、参考文献 (12)

摘要 作为一种常见的离散型随机变量的分布,泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。服从泊松分布的随机变量是常见的,它常与时间单位的计数过程相联系。 在现实生活中应用更为广泛,如数学建模、管理科学、运筹学及自然科学、概率论等等。并且在某些函数关系起着一种重要作用。例如线性的、指数的、三角函数的等等。同样, 在为观察现象构造确定性模型时, 某些概率分布也经常出现。泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型, 它具有很多性质。为此本文讲述了泊松分布的一些性质, 并讨论了这些性质在实际生活中的重要作用。

二、泊松分布的概念： 定义1 设随机变量X 的可能取值为,,2,1,0 且 {}0,,2,1,0,! >===-λλ k e k x k X P k 为常数。 则称X 服从参数为λ的泊松分布,记作X ～ D(λ) 。 定义2 设ε是任意一个随机变量,称 )t (- e t)(it +∞<<∞=Φε是ε的特征函数。 主要结论： 定理1 如果X 是一个具有以λ为参数的泊松分布,则E( X) = λ且D ( X) =λ。 证明 设X 是一随机变量,若 ] X) E( - X [ E{2}存在,则称它为X 的方差,记作D( X) ,即 ] X) E( - X [ E{ X) D(2}=。设X 服从泊松分布D ( X) ,即有: 则()()λλλλλλλλ λ=?=-==- ∞ =--∞ =-∑∑ e e k e k e k X E k k k k 11 0!1! 从而()() () λλλλλλλ λ +=-+-==-∞ =-∞ =--∞ =∑ ∑ ∑2122 2 2 !1!2! e k e k e k k X E k k k k k k 故λλλλ - X) E( - ) X E( X) D(2222=+== 定理2 设随机变量) , ,2 1 n ( x n =服从二项分布,其分布律为 {}n k p p C k x P k n n k n k n n ,,2,1,0,)1( =-==-。 又设0>=λn np 是常数,则{}λλ-∞ →==e k k x P k n n ! lim 。 证明 由λ=n np 得: 显然,当k = 0 时,故λ-n e k} x P{→=。当k ≥1 且k → ∞时,有

泊松过程与泊松分布的基本知识

泊松过程与泊松分布的基本知识泊松过程是随机过程的一个经典模型，是一种累积随机事件的发生次数的独立增量过程。也就是说，每次事件的发生是相互独立的。那么泊松分布和泊松过程又什么关系呢？可以说泊松分布是描述稀有事件的统计规律，即可以描述一段时间内发生某个次数的概率。而泊松过程呢，就适合刻画“稀有事件流”的概率特性。 比较：泊松分布 泊松过程的主要公式： 其实没多少不一样对不对？不一样的是泊松过程是一个可以查看在时间t内发生次数的概率，这个t是可变的。泊松分布则是给定了时间。 泊松过程的关键在于，它的到达间隔序列Tn，即每两次发生的时间是服从的独立同指数分布的。如果每次发生的间隔时间不服从指数分布，那么这个随机过程就会更一般化，我们成为是更新过程，这也是随机过程的推广。 泊松过程分为齐次泊松过程和非齐次泊松过程，齐次的意思很简单，就是说过程并不依赖于初始时刻，强度函数是一个常数，从上面的公式也看得出来。而非齐次则是变成了,这意味着什么呢？这以为着随着与时间的改变，强度是会改变的，改变服从强度函数，说了这

么久，强度究竟是个什么概念？强度的意思就是泊松过程的该事件发生的频率，或者说快慢，泊松分布中我们知道期望就是,实际含义就是，在一段时间内，发生的次数平均水平是次。 复合泊松过程：泊松过程我们已经知道，用描述一段时间累积发生的次数，但是如果每次发生带来的后果都是不一样的，我们怎么描述这个过程呢？比如，火车站到达的乘客是服从泊松过程的，但是每个乘客携带有不同重量的行李，我们如何刻画在[0,t]时间内行李总重量呢，这个过程就是复合泊松过程。复合泊松过程的均值函数和方差函数一般可以用全期望和全方差公式进行计算，因为简单泊松过程的期望很容易求。 更新过程： 上文已经说到，更新过程作为泊松过程的推广，更具有一般性，那么在讨论更新过程时，我们更多地讨来更新函数，更新函数是更新过程的均值函数m(t)=E[N(t)]，怎么理解呢，就是说需要用t时刻的累积计数的期望特性来表达更新过程。有一条定理： 这个定理是可以证明的，Fn（t）是分布函数，就是说：在t时刻，更新函数值就是在这个时刻，n取遍所有值的分布之和。 那么是否可以这样理解，更新过程和泊松过程的区别就是更新间隔序列不同，那么如果已知了更新间隔序列的概率密度函数，就可以求解该过程的更新函数了，详细的推导就不写了。扔结论出来：对间隔序列概率密度函数做拉氏变换得到Lf(s),然后求 Lm(s)=Lf(s)/s(1-Lf(s)),再对Lm(s)进行逆变换，就得到了m(t),这就是更新函数。

R语言泊松过程的模拟和检验

泊松过程的模拟和检验 对保险人而言，资产和负债是影响保险人稳定经营至关重要的因素。资产和负债的差额称为盈余，简记作： 其中A(t)A(t)表示时刻tt的资产，L(t)L(t)表示时刻tt的负债，t=0t=0时刻的盈余被称为初始盈余，简记为uu，即U(0)=uU(0)=u。对这个初步的理论模型进行简化并根据实际情况设置一些假定情况，会得出很多不同的盈余过程模型，最经典的有Sparre Andersen的古典盈余过程模型： 这是一个以uu为初值，以时间tt为指标集的随机过程。其中称为总理赔过程，满足： N(t)N(t)表示[0,t][0,t]内的总理赔次数，XiXi表示[0,t][0,t]内第ii次理赔的金额。

根据这个古典盈余过程模型可以引出破产模型，在这个盈余过程模型中，一方面有连续不断的保费收入并以速度c进行积累，另一方面则是不断会有理赔需要支付，因此这是一个不断跳跃变化的过程。从保险人的角度来看，当然希望ct?S(t)ct?S(t)恒大于0，否则就有可能出现U(t)<0U(t)<0的情况，这种情况可以定义为理论意义上的破产，以示与实际中的破产相区分，本文中后面出现的“破产”在没有特殊说明的情况下都是指这种理论情况。从研究保险人破产角度出发，可以把这个盈余过程模型看做是一个特殊的破产模型。 一、泊松过程的模拟 理论基础：泊松过程构造定理 具体步骤： 1、生成一定数量的满足指数分布的随机数，用()表示 2、()表示第n次事件到达的时间， 3、表示在时间t内发生的事件次数， 4、即满足泊松过程 这里用R语言来实现模拟，设置指数分布的参数= 2(在R语言中用rate表示)，产生的服从指数分布的随机序列如下图所示：

泊松过程

第二讲 泊松过程 1．随机过程和有限维分布族 现实世界中的随机过程例子： 液体中，花粉的不规则运动：布朗运动；股市的股票价格； 到某个时刻的电话呼叫次数； 到某个时刻服务器到达的数据流数量，等。 特征：都涉及无限多个随机变量，且依赖于时间。 定义（随机过程） 设有指标集T ，对T t ∈都有随机变量)(t X 与之对应，则称随机变量族 }),({T t t X ∈为随机过程。 注 一个随机过程是就是一个二元函数E T t X →?Ωω:),(。固定ω，即考虑某个事件相 应的随机变量的值，得到函数R T t X →:),(ω称为样本函数或轨道或一个实现。映射的值域空间E 称为状态空间。 例 随机游动(离散时间，离散状态) 质点在直线上每隔单位时间位置就发生变化，分别以概率p 或概率p -1向正或负向移动一个单位。如果以n S 记时刻n 质点所处的位置，那么就得到随机过程{,0}n S n ≥。这里指标集},1,0{ =T ，状态空间},1,0,1,{ -=E 。 如果记n X 为时刻n ，质点的移动，那么{,1}n X n ≥也是随机过程。 两个过程的区别：{}n S 不独立；{}n X 独立； 两个过程的关系：01 n n k k S S X ==+ ∑ 习题 计算n ES 和n DS （设00S =）。 提示 利用∑== n k k n X S 1 ，其中k X 是时刻k 的移动方式。 习题 设从原点出发，则()/2()/2()/2 ,2()0, 21n k n k n k n n C q p n k i P S k n k i +-+?+===?+=-?。 例 服务器到达的数据流(连续时间，离散状态) 在],0[t 内，到达服务器的数据包个数记为)(t N ，那么}0),({≥t t N 也是个随机过程， 其指标集}{+ ∈=R t T ，状态空间},1,0{ =E 。

实验报告——泊松过程

Poisson过程的模拟和检验 一、实验目的 1、理解掌握Poisson过程的理论，了解随机过程的模拟实现技 术； 2、学习并掌握在实际中如何检验给定的随机过程是否为Poisson过程。 二、实验内容 1、利用C语言、MATLAB等工具，结合Poisson过程等相关结论，模拟Poisson过程； 2、查找资料、学习关于Poisson过程假设检验的相关知识，检验上述模拟实现的到达过程是否满足Poisson过程的定义。 三、作业要求 提交实验报告电子版，说明模拟实现的过程，检验原理、步骤等以及实现过程；提交程序源代码。 四、实验原理 1、泊松过程 （1）计数过程 [0，t]内随机事件发生的总数，则随机过程 称为一个计数过程。 且满足： 1

2 3 4 （2）泊松过程 设随机过程 是一个计数过程，满足 1 2 3）对任一长度为t 的区间中事件的个数， Poisson(泊松)过程。 （3 设 t 为止已发生的事 n 表示第n 次与第n-1次事件发生的时间间隔。显然， 定理3.2 设 是参数为 （

则根据上述泊松分布模型可知， n=1,2,...）是独立同分 2、泊松过程检验方法 Kolmogorov-Smirnov检验（柯尔莫哥洛夫-斯摩洛夫），亦称拟合优度检验法，用来检验模拟所得的数据的分布是不是符合一个理论的已知分布。 五、实验过程 1、泊松过程的模拟 （1）实验思路 本实验采用MATLABR2010a编程软件，从构造服从指数分布的时 拟了泊松过程。 （2）实验步骤 a）由函数random(‘exponential’,lamda)构造服从指数分布 b c由此得到泊松过程的模拟。 2、泊松过程的检验 （1）条件设定 H1:实验产生模拟泊松分布数据的总体分布服从泊松分布。

泊松过程的应用

应用随机过程课程论文 题目:浅谈泊松过程及其应用 姓名: 学院:理学院 学号: 2013年7月1 日

浅谈泊松过程及其应用 摘要： 本文论述了泊松过程的有关定义，并对其进行相应的推广，阐述了时齐泊松过程、非时齐泊松过程、复合泊松过程以及条件泊松过程，从中很容易看出它们之间的联系。同时，本文也在排队论、数控机床可靠性、保险、航空备件需求上简单描述了泊松过程的应用。另外，泊松过程在物理学、地质学、生物学、金融和可靠性理论等领域中也有着广泛的应用。 关键词：泊松过程；复合泊松过程；排队论 一、泊松过程 1．时齐泊松过程 定义：一随机过程{}(),0N t t ≥，若满足如下条件： （1） 它是一个计数过程，且(0)0N =; （2） 它是独立增量过程; （3） 0,0,,()()s t k N s t N s ?≥∈+-是参数为t λ的泊松分布，即 {}()()().! k t t P N t s N t k e k λλ-+-== 则称此随机过程为时齐泊松过程。 2．非时齐泊松过程 定义：一随机过程{}(),0N t t ≥，若满足如下条件： （1） 它是一个计数过程，且(0)0N =; （2） 它是独立增量过程; （3） 0,0,,s t k ?≥∈满足{}()()[()()]()().! k m s m s t m s t m s P N t s N t k e k -++-+-==其中 0()()t m t s ds λ=?，则称此随机过程为具有强度函数为{}(t)>0λ的非时齐泊松过程。 3．复合泊松过程 定义：设{},1i Y i ≥是独立同分布的随机变量序列，{}(),0N t t ≥为泊松过程， 且{}(),0N t t ≥与{},1i Y i ≥独立，记() 1()N t i i X t Y ==∑，则称{}(),0X t t ≥为复合泊松过程。 4．条件泊松过程 定义：设Λ为一正的随机变量，分布函数为(),0G x x ≥，当给定λΛ=的条件下，{}(),0N t t ≥是一个为泊松过程，即0,0,,0s t k λ?≥∈≥， 有{}()()().! k t t P N t s N t k e k λλλ-+-=Λ== 则称{}(),0N t t ≥是条件泊松过程。 注：这里{}(),0N t t ≥不再是增量独立的过程，由全概率公式，可得 {}0()()()().! k t t P N t s N t k e dG k λλλ∞ -+-==?

应用随机过程实验2-泊松过程

应用随机过程实验2 —泊松过程 一.准备知识 1.泊松过程 2.非齐次泊松过程 3. 复合泊松过程 二.作业 1. 设()1X t 和()2X t 分别是参数为1λ和2λ的相互独立的泊松过程， （1）模拟()1X t 和()2X t ，并画图； （2）生成随机过程()()()12Y t =X +X t t ，并画图； （3）计算(){}Y t ,t 0≥ 的平均到达率与+1λ2λ的相对误差。 2. 设到达某商店的顾客组成强度为λ的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为p ，且与其他顾客是否购买商品无关，假设每位购买商品的顾客的花费i X 独立同分布，且服从正态分布2X (,)i N μσ:，1,2,3,i =L ，令()Y t 是t 时刻购买商品的顾客数，()Z t 是t 时刻商品的营业额，0t ≥ ， （1）试模拟随机过程(){},0Y t t ≥，并画图，计算随机过程(){},0Y t t ≥ 的均值函数与pt λ的相对误差； （2）试模拟随机过程(){},0Z t t ≥，并画图，计算随机过程(){}t ,t 0Z ≥ 的均值函数与pt λμ的相对误差。

3. 某路公共汽车从早晨5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时按平均乘客为200人/小时计算；5时至8时乘客平均到达率线性增加，8时到达率为1400人/小时；8时至18时保持平均到达率不变；18时到21时到达率线性下降，到21时为200人/小时，假定乘客数在不重叠的区间内是相互独立的，令()X t 是t 时刻到达公共汽车的总人数， （1）计算早晨5时到晚上9时的乘客到达率，并画图； （2）模拟从早晨5时到晚上9时的乘客到达过程(){}X t ,t 0≥。

关于泊松分布及其应用

关于泊松分布及其应用 论文提要： 作为一种常见的离散型随机变量的分布,泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。服从泊松分布的随机变量是常见的,它常与时间单位的计数过程相联系。 在现实生活中应用更为广泛,如数学建模、管理科学、运筹学及自然科学、概率论等等。并且在某些函数关系起着一种重要作用。例如线性的、指数的、三角函数的等等。同样, 在为观察现象构造确定性模型时, 某些概率分布也经常出现。泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型, 它具有很多性质。为此本文讲述了泊松分布的一些性质, 并讨论了这些性质在实际生活中的重要作用。 摘要泊松分布做为概率论中的一种重要分布,在管理科学、运筹学及自然科学的某些实际问题中都有着广泛的应用。本文对泊松分布产生的过程、定义和性质做了简单的介绍,分析了泊松分布在生物学研究中的应用。 关键词泊松过程泊松分布应用 摘要：泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数

学模型, 它具有很多性质。研究了泊松分布的一些性质, 并讨论了这些性质在实际生活中的重要作用。 关键词：泊松分布; 定义；定理；应用；例题；指数失效律; 数学期 望; 方差 一、 泊松分布的概念： 定义1 设随机变量X 的可能取值为,,2,1,0 且 {}0,,2,1,0,! >===-λλ k e k x k X P k 为常数。 则称X 服从参数为λ的泊松分布,记作X ～ D(λ) 。 定义2 设ε是任意一个随机变量,称 )t (- e t)(it +∞<<∞=Φε是ε的特征函数。 主要结论： 定理1 如果X 是一个具有以λ为参数的泊松分布,则E( X) = λ且D ( X) =λ。 证明 设X 是一随机变量,若 ] X) E( - X [ E{2}存在,则称它为X 的方差,记作D( X) ,即 ] X) E( - X [ E{ X) D(2}=。设X 服从泊松分布D ( X) ,即有: 0 , , ,2 ,1 0 k ,! k} X P{>===-λλλ e k k 则()()λλλλλλλλ λ =?=-==- ∞ =--∞ =-∑∑ e e k e k e k X E k k k k 11 0!1! 从而()()() λλλλλλλ λ +=-+-==-∞ =-∞ =--∞ =∑ ∑ ∑212 2 2 2 !1!2! e k e k e k k X E k k k k k k 故λλλλ - X) E( - ) X E( X) D(2222=+==

实验报告——泊松过程

Poisson 过程的模拟和检验 一、 实验目的 1、理解掌握Poisson 过程的理论，了解随机过程的模拟实现技术； 2、学习并掌握在实际中如何检验给定的随机过程是否为Poisson 过程。 二、 实验内容 1、利用C 语言、MATLAB 等工具，结合Poisson 过程等相关结论，模拟Poisson 过程； 2、查找资料、学习关于Poisson 过程假设检验的相关知识，检验上述模拟实现的到达过程是否满足Poisson 过程的定义。 三、 作业要求 提交实验报告电子版，说明模拟实现的过程，检验原理、步骤等以及实现过程；提交程序源代码。 四、 实验原理 1、泊松过程 （1）计数过程 如果用)(t X 表示[0，t ]内随机事件发生的总数，则随机过程{)(t X ，0≥t }称为一个计数过程。 且满足： 1）0)(≥t X ；

2）)(t X 是整数值； 3）对任意两个时刻210t t <≤，有12()()X t X t ≤； 4）对任意两个时刻210t t <≤。 )()(12t X t X -等于在区间],(21t t 中发生的事件的个数。 （2）泊松过程 设随机过程{()N t ，0≥t }是一个计数过程，满足 1）(0)0N =； 2）()N t 是独立增量过程； 3）对任一长度为t 的区间中事件的个数，服从均值为t λ（0>λ）的泊松分布，即对一切0,≥t s ，有 (){()()},0,1,2,! k t t P N t s N s k e k k λλ-+-===L 则称()N t 为具有参数λ的Poisson(泊松)过程。 （3）到达时间间隔n T 的分布 设{()X t ，0≥t }为泊松过程，()X t 表示到时刻t 为止已发生的事件的总数；,(1,2,3,)n W n =L 表示第n 次事件发生的时刻；,(1,2,3,)n T n =L 表示第n 次与第n-1次事件发生的时间间隔。显然， 121n n n i i W T T T T ==+++=∑L 定理 设{()X t ，0≥t }是参数为λ（0>λ）的泊松过程，则到达时间 间隔序列12T T L ，， 是相互独立的随机变量序列，且都有相同的均值为λ/1的指数分布。 则根据上述泊松分布模型可知， {(),0}X t t ≥是一个计数过程，

泊松分布及其应用研究

湖南科技大学 信息与电气工程学院 《课程论文》 题目：泊松分布及其应用研究 专业：通信工程 班级：13级3班 姓名：黄夏妮 学号：1304040322

一、摘要 (1) 二、泊松分布的概念 (2) 三、计数过程为广义的泊松过程 (4) 四、泊松分布及泊松分布增量 (5) 五、泊松分布的特征 (5) 六、泊松分布的应用 (6) 七、基于MATLAB的泊松过程仿真 (8) 八、参考文献 (12)

作为一种常见的离散型随机变量的分布,泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。服从泊松分布的随机变量是常见的,它常与时间单位的计数过程相联系。 在现实生活中应用更为广泛,如数学建模、管理科学、运筹学及自然科学、概率论等等。并且在某些函数关系起着一种重要作用。例如线性的、指数的、三角函数的等等。同样, 在为观察现象构造确定性模型时, 某些概率分布也经常出现。泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型, 它具有很多性质。为此本文讲述了泊松分布的一些性质, 并讨论了这些性质在实际生活中的重要作用。

二、泊松分布的概念： 定义1 设随机变量X 的可能取值为,,2,1,0 且 {}0,,2,1,0,! >===-λλ k e k x k X P k 为常数。 则称X 服从参数为λ的泊松分布,记作X ～ D(λ) 。 定义2 设ε是任意一个随机变量,称 )t (- e t)(it +∞<<∞=Φε是ε的特征函数。 主要结论： 定理1 如果X 是一个具有以λ为参数的泊松分布,则E( X) = λ且D ( X) =λ。 证明 设X 是一随机变量,若 ] X) E( - X [ E{2}存在,则称它为X 的方差,记作D( X) ,即 ] X) E( - X [ E{ X) D(2}=。设X 服从泊松分布D ( X) ,即有: 0 , , ,2 ,1 0 k ,! k} X P{>===-λλλ e k k 则()()λλλλλλλλ λ =?=-==- ∞ =--∞ =-∑∑ e e k e k e k X E k k k k 11 0!1! 从而()() () λλλλλλλ λ +=-+-==-∞ =-∞ =--∞ =∑ ∑ ∑2122 2 2 !1!2! e k e k e k k X E k k k k k k 故λλλλ - X) E( - ) X E( X) D(2222=+== 定理2 设随机变量) , ,2 1 n ( x n =服从二项分布,其分布律为 {}n k p p C k x P k n n k n k n n ,,2,1,0,)1( =-==-。 又设0>=λn np 是常数,则{}λλ-∞ →==e k k x P k n n ! lim 。

泊松过程仿真

泊松过程仿真 一、仿真内容及目的 1.1仿真内容 首先查阅相关资料，学习如何在仿真环境下对随机过程进行仿真。然后在C 语言、MATLAB等环境下，结合泊松过程的相关理论知识，设计算法及程序对泊松过程进行仿真实验。最后对得到的实验结果进行分析。 1.2仿真目的 利用仿真实验，将泊松过程这一抽象的概念图形化、数字化、具体化，生成样本进行描述分析。加深对泊松过程这一抽象概念的认识和理解，其次掌握如何运用仿真工具对所学的理论知识进行仿真模拟，增强自己的动手能力和自学能力。 二、实验原理 计数过程 定义：设N(t)表示到时刻t为止已发生的“事件A”的总数，若N(t)满足下列条件： (1)N(t) 一0; (2)N(t)取正整数值； (3)若s ：t,则N(s)汕⑴； (4)当s：：：t时，N(t)-N(s)表示区间(s,t］中发生的“事件A”的次数。 则称随机过程｛N(t), t -0｝为计数过程。 泊松过程 定义：一个计数过程｛N(t), _0｝,具有参数■0，若它满足下列条件： (1)N(t)=0 ； (2)N(t)是独立增量过程； (3)在任一长度为t的区间内，事件发生的次数服从参数??0的泊松分布, 即对任意事件S，t—0，有 丸(丸t)n P｛N(t s)-N(s) = n｝=e ,n -0,1,.... n!

则称｛N(t), t - 0｝为泊松过程 根据以上定义，令随机变量「（n亠〔）表示从第（n-1 ）次事件发生到第n次事件发生的时间间隔，则可以证明，「服从互相独立但参数为?的相同指数分布。因为只要按照参数■产生指数分布的随机时间间隔序列，并计数系统随时间运行的过程中，按这个时间间隔序列对系统状态进行加1计数，则这个计数系统就对应了参数为'的泊松过程。 三、仿真环境及算法 3.1仿真环境 C语言、MATLAB 2.2仿真算法 时间区间为［0,T］，泊松过程的速率为?。 （1）令当前时刻t=0，泊松事件计数值N=0,使其满足泊松过程定义的第一个条件； （2）在MATLAB^，利用rand（）函数生成（0,1 ）上均匀分布的随机数U, 利用逆变换法得到指数分布随机数E,即令E「丄In（U）； （3）令t=t+E，如果t>T,则停止； （4）令N=N+併设t N =t ； （5）回到第2步。 四、仿真结果及分析 根据上述算法，我主要在C语言和MATLAB^境下做了仿真。C语言环境下能模拟出泊松过程的数据但不够清晰、直观，所以最后想到在MATLAB^境仿真，将得到的数据图形化，这样便于分析理解。主要仿真如下： 4.1 C语言环境下 这里设置时间区间为（0,10 ），即T=10,丸=1。 实验结果：

Poisson过程得模拟与检验

Poisson过程得模拟与检验 实验目得:理解掌握Poisson过程得理论,了解随机过程得模拟实现技术,学习并掌握在实 际中如何检验给定得随机过程就是否为 Poisson过程。 实验内容:利用C语言、MATLAB等工具,结合Poisson 过程等相关结论,模拟Poisson过程(还 可选:非齐次Poisson过程等);查找资 料、学习关于Poisson过程假设检验得 相关知识,检验上述模拟实现得到达过 程就是否满足Poisson过程得定义(编程 或利用统计软件,如SPSS、SAS等作为辅 助工具)。 作业要求:提交实验报告电子版,说明模拟实现得过程,检验原理、步骤等以及实现过程;提 交程序源代码。 一、泊松过程得模拟 1.基本原理

根据服务系统接受服务顾客数服从泊松分布这一模型可知,{X(n),t}就是一个计数过程,{,n就是对应得时间间隔序列,若(n)(n=1,2,、、、)就是独立同分布得均值为得指数分布,则{X(n),t}就是具有参数为λ得泊松。 2.具休实现过程 思路:本实验从用MATLAB编程软件,从构造服从指数分布得时间间隔入手,计算每个事件得发生时刻,最后得到X(t),也就模拟了泊松过程。 实现步骤如下: (1)、由函数random(‘exponential’,lamda)构造服从指数分布得序列。 (2)、根据服务系统模型,=+。 (3)、对任意t(,),X(t)=n,由此得到泊松过程得模拟。 3.过程模拟验证 (1)设定t=0时刻,计数为0,满足X(0)=0这一

条件。 (2) 就是由random(‘exponential’,lamda)生成,间相互独立。 (3)由实验结果图可以很清楚地瞧出,在充分小得时间间隔内,最多有一个事情发生,而不可能有两个或两个以上事件同时发生,同时可以瞧出X(t)就是一个平稳增量过程,结合条件(2)可知,X(t)就是独立平稳增量过程。 图1:模拟泊松过程图 由此可知,根据服务系统模型,由具有指数