【金版教程】2015届高三数学(文)一轮限时规范训练：6-6 直接证明与间接证明
05限时规范特训
A级基础达标
1．[2014·三明模拟]设a，b∈R，则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：若“a＋b＝1”，则4ab＝4a(1－a)＝－4(a－1
2)
2＋1≤1；
若“4ab≤1”，取a＝－4，b＝1，a＋b＝－3，即“a＋b＝1”不成立；则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的充分不必要条件．
答案：A
2．[2014·张家口模拟]分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac<3a”索的因应是() A．a－b>0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
解析：b2－ac<3a
?b2－ac<3a2
?(a＋c)2－ac<3a2
?a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0
?－2a2＋ac＋c2<0
?2a2－ac－c2>0
?(a－c)(2a＋c)>0
?(a－c)(a－b)>0
答案：C
3．[2014·汕头模拟]设x ，y ，z >0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x
y ( ) A ．都大于2
B ．至少有一个大于2
C ．至少有一个不小于2
D ．至少有一个不大于2
解析：假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋x z ＋x y ＝(y x ＋x y )＋(y z ＋z y )＋(z x ＋x
z )≥2＋2＋2＝6，当且仅当x ＝y ＝z 时取等号与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.另取x ＝y ＝z ＝1，可排除A 、B.
答案：C
4．[2014·四平质检]设a ，b 是两个实数，给出下列条件： ①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1. 其中能推出：“a ，b 中至少有一个大小1”的条件是( ) A ．②③ B ．①②③ C ．③
D ．③④⑤
解析：①中若a ＝34，b ＝1
2，则a ＋b >1，故①不能；②中若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②不能；③能，④中若a ＝b ＝－2，则a 2＋b 2>2，故④不能；⑤中若a ＝b ＝－2，则ab >1，故⑤不能．∴只有③能，选C.
答案：C
5．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )
A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数
B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数
C ．a ，b ，c 都是奇数
D ．a ，b ，c 都是偶数
解析：自然数a ，b ，c 中为偶数的情况为a ，b ，c 全为偶数；a ，b ，c 中有两个数为偶数；a ，b ，c 全为奇数；a ，b ，c 中恰有一个数为偶数，所以反设为a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数．
答案：B
6．不相等的三个正数a 、b 、c 成等差数列，并且x 是a 、b 的等比中项，y 是b 、c 的等比中项，则x 2、b 2、y 2三数( )
A ．成等比数列而非等差数列
B ．成等差数列而非等比数列
C ．既成等差数列又成等比数列
D ．既非等差数列又非等比数列
解析：由已知条件，可得?????
a ＋c ＝2
b ， ①
x 2
＝ab ， ②
y 2＝bc ， ③
由②③得?????
a ＝x 2
b ，
c ＝y 2
b ，
代入①，得x 2b ＋y 2
b ＝2b ， 即x 2＋y 2＝2b 2.
故x 2、b 2、y 2成等差数列， 故选B. 答案：B
7. 已知p ＝a ＋1
a －2(a >2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a >2)，则p 与q 的
大小关系是________．
解析：p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1
a －2＋2≥4，而－a 2＋4a －2＝2－
(a －2)2<2，∴q <4，∴p >q .
答案：p >q
8．若a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；
②a >b 与a
解析：①②正确；③中a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 可能同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3.
答案：①②
9．请阅读下列材料：若两个正实数a 1，a 2满足a 21＋a 2
2＝1，那么
a 1＋a 2≤ 2.
证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1，因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.
根据上述证明方法，若n 个正实数满足a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1时，
你能得到的结论为________．
解析：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋1，因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，
从而得4(a 1＋a 2＋…＋a n )2－4n ≤0， 所以a 1＋a 2＋…＋a n ≤n . 答案：a 1＋a 2＋…＋a n ≤n
10. 已知x ∈R ，a ＝x 2＋1
2，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，试证明a ，b ，
c 至少有一个不小于1.
解：假设a ，b ，c 均小于1，即a <1，b <1，c <1，则有a ＋b ＋c <3， 而a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋12＋3＝2(x －1
2)2＋3≥3， 两者矛盾；
故a ，b ，c 至少有一个不小于1.
11．[2014·南京联考]已知函数f (x )＝a x
＋x －2
x ＋1
(a >1)．
(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根． 证明：(1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1
＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)
＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)
>0， 于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2
x 1＋1>0，
即f (x 2)>f (x 1)，
故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)证法一：假设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0， 则ax 0＝－x 0－2
x 0＋1.
∵a >1， ∴0 ∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即1 2 故方程f (x )＝0没有负数根． 证法二：假设存在 x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0， ①若－1 x 0＋1>0,1>ax 0>0， ∴f (x 0)>0，与f (x 0)＝0矛盾， 故方程f (x )＝0没有负数根． 12．已知非零向量a ，b ，且a ⊥b ，求证：|a |＋|b | |a ＋b |≤ 2. 证明：a ⊥b ?a ·b ＝0，要证|a |＋|b | |a ＋b |≤ 2. 只需证|a |＋|b |≤2|a ＋b |， 只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2(a 2＋2a ·b ＋b 2)， 只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2a 2＋2b 2， 只需证|a |2＋|b |2－2|a ||b |≥0， 即(|a |－|b |)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证． B 级 知能提升 1．若a ，b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( ) A ．lg(1＋a 2)>0 B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1) C ．a 2 ＋3ab >2b 2
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