ch函数逼近与计算

Ch3、函数逼近与计算

§1、引言

1、引例

某气象仪器厂要在某仪器中设计一种专用计算芯片，以便于计算观测中经常遇到的三角函数以及其它初等函数.设计要求x 在区间[]b a ,中变化时，近似函数在每一点的误差都要小于某一指定的正数ε.

①由于插值法的特点是在区间[]b a ,中的1+n 个节点处，插值函数)(x P n 与被插值函数)(x f 无误差，而在其它点处)()(x f x P n ≈.对于i x x ≠，)(x P n 逼近)(x f 的效果可能很好，也可能很差.在本问题中要求)(x P n 在区间[]b a ,中的每一点都要“很好”地逼近)(x f ，应用插值方法显然是不可行的，龙格现象就是典型的例证. ②可以采用泰勒展式解决本问题.

将)(x f 在特殊点0x 处做泰勒展开

10)(00)(000)()!1()()(!)())(()()(+-++-++-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x f x f ξ

取其前1+n 作为)(x f 的近似，即

)()(!

)

())(()()(00)(000x f x x n x f x x x f x f x P n n n ≈-++-'+=

但泰勒展式仅对0x 附近的点效果较好，为了使得远离0x 的点的误差也小于ε，只好将项数n 取得相当大，这大大增加了计算量，降低了计算速度.因此，从数值计算的角度来说，用泰勒展式做函数在区间上的近似计算是不合适的.

③引例提出了一个新的问题，即能否找到一个近似函数)(x P n ，比如说，它仍然是一个n 次多项式，)(x P n 不一定要在某些点处与)(x f 相等，但)(x P n 却在区间[]b a ,中的每一点处都能“很好”地、“均匀”地逼近)(x f . 2、逼近问题

对],[)(b a C x f ∈，求一个多项式)(x p ，使)()(x p x f -在某种衡量标准下最小.

①一致逼近（均匀逼近）

无穷范数：)()(max )()(x p x f x p x f b

x a -=-≤≤∞

最小

②平方逼近（均方逼近）

欧氏范数：[]?-=

-b

a

dx x p x f x p x f 22)()()()(最小. 3、维尔斯特拉斯定理

定理：设],[)(b a C x f ∈，则对任意0>ε，有多项式)(x p ，使ε<-)()(x p x f 在[]b a ,上一致成立.

本定理的证法很多，伯恩斯坦在1921年引入了一个多项式

∑=--??

? ??=n

k k n k

k n n x x C n k f x f B 0)1(),(

他证明了)10()

(),(lim ≤≤=∞

→x x f x f B n n .

伯恩斯坦多项式在自由外形设计中有较好的应用.但它有一个致命的缺点，就是收敛太慢.要提高逼近精度，只好增加多项式的次数，这在实际中是很不合算的.

切比雪夫从另一个角度去研究逼近问题.他不让多项式的次数n 趋于无穷，而是先把n 固定.对于],[)(b a C x f ∈，他提出在n 次多项式集合中，寻找一个多项式

)(x P n ，使)(x P n 在[]b a ,上“最佳地逼近”)(x f .

§2、正交多项式

一、正交多项式的概念及性质

定义1：设区间),(b a 上非负函数)(x ρ满足

①)2,1,0()( =?n dx x x n

b

a

ρ存在；②对非负连续函数)(x f ，若0)()(=?dx x x f b

a

ρ，

则在),(b a 上0)(≡x f ，则称)(x ρ为区间),(b a 上的权函数. 定义2：设],[)(),(b a C x g x f ∈，)(x ρ为[]b a ,上的权函数，则积分 ()0)()()(,==?dx x x g x f g f b

a ρ称为)(x f 与)(x g 在[]

b a ,上的内积.

定义3：设)(x f n 为[]b a ,上的n 次多项式，若{} ,2,1,0,)(=n x f n 满足())(),(x f x f j i

??

?=≠==?j

i A j

i dx x f x f x i j i b a

0)()()(ρ，则称{})(x f n 为[]b a ,上关于权函数)(x ρ的正交多项式系.

定理：[]b a ,上的正交多项式)(x f n 在()b a ,内有n 个不同的实零点. 二、Legendre 多项式 1、定义

()[]

[]1,11!21)(1)(20-∈??

???-?==x x dx d n x P x P n n n n n

，称为Legendre 多项式.

2、性质 ①正交性

?-???

??=+≠=1

1

1

22

0)()(m

n n m n dx x P x P m n

②奇偶性

)()1()(x P x P n n n -=-，即n 为奇（偶）数时，)(x P n 为奇（偶）函数. ③递推公式

)(1

)(112)(11x P n n x xP n n x P n n n -++-++=

三、Chebyshev 多项式 1、定义

()11,arccos cos )(≤≤-=x x n x T n 称为第一类Chebyshev 多项式. 若记x arccos =θ，即θcos =x ，则()θn x T n cos )(=. 2、性质

①{})(x T k 在[]1,1-上关于权

2

11x

-正交，即

?

-??

?=≠≠=-1

1

200

11

)

()(m n A m n dx x x T x T m n 证：?????????

≠===≠=?=--ππ

πθθθθ0

2110

2

00

cos cos arccos 11

)

()(n m n m n m d n m x dx x x T x T m n ②当n 为奇（偶）数时，)(x T n 为奇（偶）函数. 证：[][]x n n x n x T n arccos cos )arccos(cos )(-=-=-π

()()x n n x n n arccos sin sin arccos cos cos ππ+=)()1(x T n n -=

③递推关系???=-===-+

,2,1)

()(2)()(,1)(1110

n x T x xT x T x x T x T n n n

证：θθθθθsin sin cos cos )1cos(n n n -=+

θθθθθsin sin cos cos )1cos(n n n +=- θθθθ)1cos(cos cos 2)1cos(--=+n n n

即)()(2)(11x T x xT x T n n n -+-=

④)(x T n 是n 次多项式，其最高项系数为12-n . 证：由③易知)(x T n 为n 次多项式.

()()2

sin cos sin cos 2cos )(n

n

n i i in e in e n x T θθθθθθθ-++=

-+== ()(

)

2

1

12

2

n

n

x x x x --+-+

=

故

(

)()

)(22

111111)(1

2

2

∞→→--

+-+=-n x

x

x

x T n n

n

n

n

即)(x T n 最高项系数为12-n .

§3、最佳平方逼近

1、问题

对[]b a C x f ,)(∈，在n ??? ,,10生成的子集{}n span ??? ,,10=Φ中求一函数∑==n

i i i x a x s 0*

)()(?，使2

*)()(x s

x f -最小.

2、求解

记?

∑??

?

???-=-==b

a

n

i i i n dx x a x f x x s x f a a a F 2

022

*10)()()()

()(),,(?ρ ，

令n k a F k ,1,0,0==??，得()?∑=-???

???-=b a k n i i i dx x x a x f x 0)()()()(20??ρ

?∑?==??? ??b

a k n

i i b a i k dx x x f x a dx x x x )()()()()()(0?ρ??ρ 即()()n k f a k i n i i k ,1,0,,,0

==∑=???，也可改写为下列矩阵形式

()()()()()

()()

()

()()()()?

???????????=????????????????

????

?????n n n n n n n n f f f a a a ?????????????????????,,,,,,,,,,,,1010101110101000

——法方程 3、用正交多项式做最佳平方逼近

若取{}n P P P span ,,,10 =Φ，因()??

?=+≠=i k k i k P P i k )12(20

,， 由法方程可得()() ,2,1,0,)()(2

12,,1

1=+==

?-k dx x P x f k P P P f a k k k k k

从而∑==n

k k k x P a x s 0

*

)()(即为)(x s 的最佳平方逼近多项式.

若取{}n T T T span ,,,10 =Φ，因()??

?

??≠===≠=0

200,i k i k i k T T i k ππ

， 由法方程可得()()??

-=

-==

1

1

2

0000)(cos 1

11)

(1,,π

ππdt t f dx x x f T T T f a

()() ,2,1,cos )(cos 2

11)()(2,,0

11

2

==

-==?

?-k ktdt t f dx x

x T x f T T T f a k k k k k

π

π

π

从而∑==n k k k x T a x s 0

*

)()(即为)(x s 的最佳平方逼近多项式.

例1、用正交多项式求x e x f =)(在[]1,1-上的三次最佳平方逼近多项式. 解：用Chebyshev 多项式

2660.1cos 10

0==?dt t e a ππ

0443.0,2715.0,1303.1cos cos 2)3,2,1(0

===?dt kt t e k a k π

π

故)(0443.0)(2715.0)(1303.1)(2660.13210x T x T x T x T e x +++=

9945.09974.05430.01772.023+++=x x x

用Legendre 多项式

0705.0,3578.0,1036.1,1752.1)(21

2)3,2,1,0(11=+==?-dx e x P k k a x k k

故323

0.1761 0+ .5367 0+ .9980 0+ .99630)(x x x x P a e k k k x

==∑=

§4 函数按切比雪夫多项式展开

定义：∑+∞

=+1

00)(2k k k x T a T a 称为切比雪夫级数或广义傅立叶级数，

其中 ?

?

==

-=

-π

θθθπ

π

1

1

2

,2,1,0,cos )(cos 2

1)()(2

k d k f dx x

x T x f a k k

根据切比雪夫多项式的性质，切比雪夫级数的部分和

∑=+=n

k k k n x T a T a x S 1

0)(2)(可作为)(x f 的近似最佳一致逼近多项式.

例2、将x x f arcsin )(=在[]1,1-上展成切比雪夫级数. 解：因)(x f 为奇函数，从而

2

21)()(x

x T x f k -也为奇函数，故01)()(2

1

1

2

22=-=

?

-dx x

x T x f a k k π

θθθππ

d k a k )12cos()arcsin(cos 2

12+=

?

+

()2

1214)12cos(22

+?=+??

?

??-=

?

k d k πθθθππ

π

从而[]1,1,)12()(9)()(4arcsin 21231-∈??

????

+++++=

+x k x T x T x T x k π 注：x x f arcsin )(=的泰勒展式为

120

121

20)12(1!)!2(!)!12(arcsin ++∞

=+++∞

=∑∑=+?-=k k k k k x b x k k k x

(

)[]

(

)∑∑∞

=∞

=-

-=-+-----=-+=-0

20

2

21

21212

1

2

2

!

)!2(!

)!12(!)1()1)((111k k

k k

x

k k x k k x

x

∑

?

∞

=++?-=-=0120

2

121

!)!

2(!)!12(1arcsin k k x

x k k k x dx x ())(0s i n 4!)!12(!)!2(40

1

21212+∞→→=+?=?+++k dx x k k b a k k k πππ

??????

?--=?

为偶

为奇

n n n n n n xdx n

2

!!!)!1(!!!)!1(sin 20

ππ

即切比雪夫展式可用较小的项数达到泰勒展式的精度，如对x arcsin 要达到10位有效数字，泰勒展式要25项，而切比雪夫展式仅要10项.

§5、离散数据的拟合与最小二乘法

1、离散数据的拟合问题

引例1：矿井中某处的瓦斯浓度y 与该处距地面的距离x 有关，现用仪器测得从地面到井下500米每隔50米的瓦斯浓度数据(,)(0,1,2,,10)= i i x y i ，根据这些数据完成下列工作：(1)寻找一个函数，要求从此函数中可近似求得从地面到井下500米之间任意一点处的瓦斯浓度；(2)估计井下600米处的瓦斯浓度.

根据所学内容，分别给出解决上述问题的方法，并说明理由.

对于第一个问题，可根据已有瓦斯浓度数据(,)(0,1,2,,10)= i i x y i ，求出其样条插值函数)(x p ，由)(x p 即可较为准确地求得从地面到井下500米之间任意一点处的瓦斯浓度.

但对第二个问题不宜用插值方法，因为600米已超出所给数据范围，用插值函数外推插值区间外的数据会产生较大的误差.

解决第二个问题的常用方法是，根据地面到井下500米处的数据求出瓦斯浓度与地面到井下距离之间的函数关系)(x f ，由)(x f 求井下600米处的瓦斯浓度. 引例2：在某化学反应中，根据实验测得生成物浓度y 与时间x 的关系如下表，求浓度y 与时间

的对应函数关系()y f x =，并据此求出反应速度曲线. 显然，从理论上讲()y f x =是客观存在的，但在实际中仅由离散数据(,)i i x y

(1,2,,)i n = 是不可能得出()y f x =的精确表达式的，只能寻找()y f x =的一个

近似表达式()y x ?=，这种问题称为离散数据的曲线拟合问题.

曲线拟合需解决如下两个问题： (1)()x ?线型的选择；(2)()x ?中参数的计算. 2、线型的选择

通常主要根据专业知识和散点图确定()x ?的线型，常见的线型有： (1)线性函数：y a bx =+；

(2)可化为线性函数的非线性函数，如

(3)非线性函数.

3、计算线性拟合的最小二乘法

做数据()),2,1(,n i y x i i =的散点图，若近似为直线，则可用线性函数

()y

x a bx ?==+ 拟合. 对于本问题通常采用最小二乘法，即所求参数,a b 使得()x ?在i x 处的值

()i i y

x ?= 与i y 之差的平方和 ()

()2

2

1

1

()n

n

i i i i i i x y a bx y ?==-=+-∑∑最小，

将上式视为关于,a b 的二元函数(,)F a b ，对(,)F a b 分别关于,a b 求偏导并令其为零

()()1120

20n

i i i n i i i i F

a bx y a F a bx y x

b ==??=+-=??????=+-?=???∑∑，即???????=+=+∑∑∑∑∑=====n

i i

i n i i n i i n i i n i i y

x x b x a y x b an 1121

1

1 解上方程组得

2

1121

1

11

2

??

?

??--=

∑∑∑∑∑∑======n

i i n

i i n

i i

i

n i i

n i i

n i i

x x n y

x x y x a ，2

11211

1

??

?

??--=

∑∑∑∑∑=====n

i i n

i i n

i i

n

i i

n i i i x x n y

x y x n b

)

0,(>=-b a ae y x b )

0,(1>+=b a x b a y )

0,(>=b a ae y bx )

0,(/>+=b a x b a y

求运动方程.解：

数据点的折线图

所求运动方程为()22.2547.855s t t =-可用相关系数

(

)()[]

)

()()()(Y D X D Y E Y X E X E XY --=

ρ衡量数据线性化程度，本例中相关系数

0.98818XY ρ=，这表明数据的线性相关性较好.

拟合运动方程与数据点对照图4、可线性化的非线性拟合

例2、根据本节引例中的数据拟合出生成物浓度y 与时间x 的近似表达式. 解：

数据(,)i i x y 的散点图

(1)用双曲线型1y a b t =+拟合

令111,1y y x x ==，则11y a bx =+为线性函数. 经计算0.08066,0.01617a b ==，从而0.080660.01617

x

y x =+

(2)用指数线型b x y ae -=拟合

两边取对数ln ln b y a x

=-

，令22ln ,1y y x x ==，则22ln y a bx =-为线性函数. 经计算11.3253, 1.0567a b ==，从而 1.056711.3253x y e -=

两种线型的误差分析：

令()16

2

1

()i i i x y δ?==

-∑（均方误差），分别将1()0.080660.01617

x

y x x ?==+和1.05672()11.3253x

y x e

?-==代入计算得，()

16

2

111

() 1.19i i i x y δ?==

-=∑，

20.34δ=

=，显然，此结果表明，线型(2)优于线型(1).

∑∑∑∑========6

16

1

6

1

26

1

1078,63.53,280,7.14i i i i

i i

i i i

y x x y x 254

.222

1121

1

1=??

?

??--=

∑∑∑∑∑=====n

i i n i i n

i i

n i i n i i i x x n y x y x n b 855.72

1121

1

11

2-=??

?

??--=∑∑∑∑∑∑======n

i i n

i i n

i i

i n i i

n

i i n i i x x n y x x y x a

作业：在某化学反应中，根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下，求浓度y 与时间t 的拟合曲线()y f t =.(用指数线型b x y ae -=拟合)

§7、Fourier 逼近与FFT

一、周期函数的最佳平方逼近

设)(x f 以π2为周期，则()∑∞

=++1

0sin cos 2k k k kx b kx a a 称为)(x f 的傅立叶级

数，其中???

????====??ππππ2020

,2,1sin )(1,2,1,0cos )(1 k kxdx x f b k kxdx x f a k k .

()∑=++=n

k k k n kx b kx a a x f 1

sin cos 2)(称为傅立叶级数的部分和，也称为n 次

三角多项式，下面讨论三角多项式对周期函数的最佳平方逼近. 1、连续情形

设)(x f 是以π2为周期的平方可积函数，则因{}n n 2,12210,,,?????- ={

,21 }nx nx x x cos ,sin ,,cos ,sin 为[]π2,0上的正交函数系，事实上，

?

=π

20

0s i n c o s l x d x kx

?

??

?

??≠≠====π

π

π

20

0002c o s c o s l

k l k l k l x d x kx

?

??

?≠≠==π

π

20

s i n s i n l

k l k l x d x kx

故根据用正交多项式作最佳平方逼近的法方程，)(x f 在[]π2,0上的最佳平方逼近多项式存在且唯一，其系数

()()()()???

???

?

======??---n k kxdx x f f b n k kxdx

x f f a k k k k

k

k k k πππ???π???2012121220222,2,1sin )(1,,,2,1,0cos )(1,, 即傅氏级数的部分和)(x f n 即为)(x f 的最佳平方逼近三角多项式. 2、离散情形

① 在[]π2,0上取)(x f 的N 2个观测值)(k x f ，其中12,1,0,-==

N k N

k x k π

记()T

N x f x f x f F )(),(),(1210-=

()

N k kx kx kx T

N k ,2,1,0cos ,cos ,cos 12102==Φ- ()

1,2,1sin ,sin ,sin 121012-==Φ--N k kx kx kx T

N k

可证()??

?

??==≠=≠=ΦΦN

l k N N l k N

l

k l k ,02,00,22，()??

?≠=≠=ΦΦ--N

l k N l

k l k ,00

,1212

()0,122=ΦΦ-l k ，即{}{}111202,-=-=ΦΦN k k N k k 共N 2个向量构成正交系.

② 取正交系{}3231220,,,,,-ΦΦΦΦΦΦN N 对F 进行最佳逼近，则

()∑-=+++=110cos 2

sin cos 2)(N k N k k N Nx A

kx B kx A A x F

其中()()()()???

????

-=??? ????? ??=ΦΦΦ==?

?? ????? ??=ΦΦΦ=∑∑-=----=1

0121212102221,2,1sin 1,,,1,0cos 1,,N i k k k k

N i k

k k k N k N i k N i f N F B N k N i k N i f N F A ππππ 二、快速Fourier 变换(FFT)

1、Fourier 变换——Fourier 级数的推广

对任意函数)(t f ，

ωωπωωπωd t

i e

F t f dt

t

i e

t f F ??+∞

∞

-+∞

∞

-=-=2)()(2)()(

则)(ωF 称为)(t f 的Fourier 变换，)(t f 称为)(ωF 的Fourier 逆变换，)(t f 与)(ωF 称为Fourier 变换对. 常用的Fourier 变换有

(1)????

?>≤=τ

τt t A t f 0

)( 方脉冲，()πτω

πτωτ

ω22sin 2)(A F = c sin 函数

(2)??

??

?≥-=其它

00)

2cos()(0t t t e t f πωσ )

(22

1)(221)(00ωωπσωωπσω+++

-+=

i i F

2、离散的Fourier 变换

对给定序列110,,-N A A A

1,1,02110

-=-=∑-=N j N ijk e

A N F N k k j π，1,1,021

0-==∑-=N k N

ijk e

F A N j j k π

分别称为离散Fourier 变换与离散Fourier 逆变换.

若给出)(x f 在110,,-N x x x 上的值)(k k x f f =，则)(x f 的离散Fourier 变换

为∑-=-=1

)2exp(1N k k j N ijk f N F π.

采样定理：若)(ωF 的频率范围为Ω，则只有当采样间隔()Ω≤?21t 时，才能正确恢复)(t f .此时，采样频率Ω≥2，Ω2称为Nyguist 频率. 3、快速Fourier 变换(FFT)的计算

从j F 的表达式中可以看出，计算一个j F 需要N 次乘法、1-N 次加法，计算所有j F 需要2N 次乘法.当N 较大时，2N 就很大，即常规离散Fourier 变换计算量

太大.

1965年Cooley 和Tukey 提出了一种快速Fourier 变换，其乘法次数仅为N

21 N

2

log ，大大降低了计算量. 例如，当K N 32=时，4369log 22

12=N

N N . 第三章上机

实验目的：

1、熟悉Maple 中的拟合、求相关系数等命令；

2、通过对具体数据做可线性化的非线性拟合，了解曲线拟合的具体步骤. 实验内容：

在某化学反应中，根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下，求浓度y 与时间x 的拟合曲线)(x f y =.

1、做出数据的散点图，根据)(x f 的大致形状，选择相应的线型(用指数线型

b x y ae -=或双曲线型x b a y +=1拟合)；

2、将方程线性化，用Maple 相应命令求出此线性方程及相关系数；

3、将线性方程还原为原非线性方程，并将此方程的图形与散点图加以对照，观察拟合效果.

数值分析函数逼与曲线拟合

第三章 函数逼近与曲线拟合 1 函数的逼近与基本概念 1.1问题的提出 多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、除四种算术运算指令，因此为了计算大多数有解析表达式的函数的值，必须产生可用四则运算进行计算的近似式，一般为多项式和有理分式函数.实际上，我们已经接触到两种逼近多项式，一种是泰乐多项式，一种是插值多项式.泰乐多项式是一种局部方法，误差分布不均匀，满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高，不宜在计算机上直接使用.例如，设 ()f x 是[1,1]-上的光滑函数，它的Taylor 级数0 ()k k k f x a x ∞ ==∑， ()(0) ! k k f a k = 在[1,1]-上收敛。当此级数收敛比较快时，1 1()()()n n n n e x f x s x a x ++=-≈。这个误差分布是不均匀的。当0x =时，(0)0n e =，而x 离开零点增加时，()n e x 单调增加，在1x =±误差最大。为了使[1,1]-的所有x 满足()()n f x s x ε-<，必须选取足够大的n ，这显然是不经 济的。插值函数出现的龙格现象表明，非节点处函数和它的插值多项式相差太大。更重要的是，实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差，此时如果要求逼近函数过全部节点，相当于保留全部数据误差，这是不适宜的。如图1所示，给出五个点上的实验测量数据，理论上的结果应该满足线性关系，即图1中的实线。由于实验数据的误差太大，不能用过任意两点的直线逼近函数。如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数，显然误差会很大。

1.2范数与逼近 一、线性空间及赋范线性空间 要深入研究客观事物，不得不研究事物间的内在联系，给集合的元素之间赋予某种“确定关系”也正是这样的道理.数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间。最常用的给集合赋予一种“加法”和“数乘”运算，使其构 成线性空间.例如将所有实 n 维数对组成的集合，按照“加法”和“数乘”运算构成实数域上的线 性空间，记作n R ，称为n 维向量空间.类似地，对次数不超过n 的实系数多项式全体，按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域R 上一个线性空间，用n H 表示，称为多项式空间。所有定义在[,]a b 上的连续函数集合，按函数加法和数与函数乘法构成数域R 上的线 性空间，记作[,]C a b .类似地，记[,]p C a b 为具有p 阶连续导数的函数空间. 在实数的计算问题中，对实数的大小、距离及误差界等是通过绝对值来度量的.实践中，我们常常会遇到对一般线性空间中的向量大小和向量之间的距离进行度量的问题，因此有必要在一般线性空间上，赋予“长度”结构，使线性空间成为赋范线性空间. 定义1 设 X 是数域K 上一个线性空间，在其上定义一个实值函数g ，即对于任意 ,x y X ∈及K α∈，有对应的实数x 和y ，满足下列条件 (1) 正定性：0x ≥，而且0x =当且仅当0x =； (2) 齐次性：x x αα=； (3) 三角不等式：x y x y +≤+； 实验数据 真函数 插值多项式逼近 精确的线性逼近 图1

自相关函数和互相关函数的利用MATLAB计算和作图

互相关函数，自相关函数计算和作图 1.自相关和互相关的概念。 ●互相关函数是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1，t2间的相关程度。 ●自相关函数是描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻t1，t2间的相关程度。 互相关函数是在频域内两个信号是否相关的一个判断指标，把两测点之间信号的互谱与各自的自谱联系了起来。它能用来确定输出信号有多大程度来自输入信号，对修正测量中接入噪声源而产生的误差非常有效。 -----------------------------------------------------------------------------------事实上，在图象处理中，自相关和互相关函数的定义如下：设原函数是f(t)，则自相关函数定义为R(u)=f(t)*f(-t)，其中*表示卷积；设两个函数分别是f(t)和g(t)，则互相关函数定义为R(u)=f(t)*g(-t)，它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。 2.利用matlab中实现这两个相关并用图像显示： 自相关函数： dt=.1; t=[0:dt:100];x=cos(t); [a,b]=xcorr(x,'unbiased'); plot(b*dt,a)

互相关函数：把[a,b]=xcorr(x,'unbiased');改为[a,b]=xcorr(x,y,'unbiased');便可。 3.实现过程： 在Matalb中，求解xcorr的过程事实上是利用Fourier变换中的卷积定理进行的，即 R(u)=ifft(fft(f)×fft(g))，其中×表示乘法，注：此公式仅表示形式计算，并非实际计算所用的公式。当然也可以直接采用卷积进行计算，但是结果会与xcorr的不同。事实上，两者既然有定理保证，那么结果一定是相同的，只是没有用对公式而已。下面是检验两者结果相同的代码： dt=.1; t=[0:dt:100]; x=3*sin(t); y=cos(3*t); subplot(3,1,1); plot(t,x); subplot(3,1,2); plot(t,y); [a,b]=xcorr(x,y); subplot(3,1,3); plot(b*dt,a); yy=cos(3*fliplr(t));%or use:yy=fliplr(y); z=conv(x,yy); pause; subplot(3,1,3); plot(b*dt,z,'r'); 即在xcorr中不使用scaling。

函数逼近与曲线拟合

实验二 函数逼近与曲线拟合报告 一、问题提出 从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。 在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量与时间t 的拟合曲线。 t(分) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 4(10)y -? 0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64 二、要求 1、用最小二乘法进行曲线拟合； 2、近似解析表达式为23123()t a t a t a t ?=++； 3、打印出拟合函数()t ?，并打印出()j t ?与()j y t 的误差，1,2,,12j = ； 4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较； 5、* 绘制出曲线拟合图。 三、目的和意义 1、掌握曲线拟合的最小二乘法； 2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组； 3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。 四、实验学时：2学时 五、实验步骤： 1．进入C 或matlab 开发环境； 2．根据实验内容和要求编写程序； 3．调试程序； 4．运行程序； 5．撰写报告,讨论分析实验结果．

解： 实验步骤 （一）算法流程 构造a1、a2、a3的线性方程组------构造误差平方和------对a1、a2、a3求偏导数------令偏导为零求得a1、a2、a3的值。 （二）编程步骤与分析 1. 绘制数据点(t,yi)的散点图 输入程序为： t=[0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55]; y=[0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64].*1e-4 plot(t,y,'r*'), legend('实验数据(t,yi)') xlabel('x'), ylabel('y'), title('数据点(t,yi)的散点图')，显示结果为： 2.求参数a1、a2、a3的解析表达式 计算)(x f 在),(i i y x 处的函数值，即输入程序 syms a1 a2 a3 t=[0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55]; fi=a1.*t+ a2.*t.^2+ a3.*t.^3 运行后屏幕显示关于a1,a2, a3的线性方程组： fi = [ 0, 5*a1 + 25*a2 + 125*a3, 10*a1 + 100*a2 + 1000*a3, 15*a1 + 225*a2 + 3375*a3, 20*a1 + 400*a2 + 8000*a3, 25*a1 + 625*a2 + 15625*a3, 30*a1 + 900*a2 + 27000*a3, 35*a1 + 1225*a2 + 42875*a3, 40*a1 + 1600*a2 + 64000*a3, 45*a1 + 2025*a2 + 91125*a3, 50*a1 + 2500*a2 + 125000*a3, 55*a1 + 3025*a2 + 166375*a3] 构造误差平方和： y=[0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64].*1e-4;

第6章 函数逼近与函数插值

第六章 函数逼近与函数插值 本章介绍函数逼近与插值的有关理论和算法. 函数逼近问题与插值问题两者既有联系又有区别，它们都是用较简单的函数来近似未知的、或表达式较复杂的函数. 一般来说，函数逼近是要在整个区间、或一系列离散点上整体逼近被近似函数，而在进行插值时，则须保证在若干自变量点上的函数值与被近似函数相等. 6.1 函数逼近的基本概念 进行函数逼近一般是在较简单的函数类Φ中找一个函数p(x)来近似给定的函数f(x)，以使得在某种度量意义下误差函数p (x )?f(x)最小. 被逼近函数f(x)可能是较复杂的连续函数，也可能是只在一些离散点上定义的表格函数，而函数类Φ可以是多项式、分段多项式、三角函数、有理函数，等等. 函数逼近问题中度量误差的手段主要是函数空间的范数，下面先介绍函数空间的范数、内积等有关概念，然后讨论函数逼近问题的不同类型. 6.1.1 函数空间 线性空间的概念大家都很熟悉，其定义中包括一个元素集合和一个数域，以及满足一定运算规则的“加法”和“数乘”运算. 简单说，若这个元素集合对于“加法”和“数乘”运算封闭，则为一线性空间. 线性空间的元素之间存在线性相关和线性无关两种关系，进而又有空间的基和维数的概念. 在这里我们先考虑连续函数形成的线性空间. 例如C [a,b ]按函数加法、以及函数与实数乘法，构成一个线性空间. 对于[a,b]区间上所有k 阶导数连续的函数全体C k [a,b ]，也类似地构成一个线性空间. 我们一般讨论实数函数，因此对应的是实数域?，若讨论复数函数，则相应的是复数域?. 另外，与线性代数中讨论的向量空间?n 不同，连续函数空间是无限维的. 对线性空间可以定义范数的概念（见3.1.2节）. 针对实连续函数空间C [a,b ]，与向量空间类似，可定义如下三种函数的范数(function norm)： 1) ∞-范数 设f (x )∈C [a,b ]，则‖f (x )‖∞=max x∈[a,b ]|f (x )| . 其几何意义如图6-1所示，即函数值绝 对值的最大值. 2) 1-范数 ‖f (x )‖1=∫|f (x )|dx b a . 其几何意义如图6-2所示，即函数曲线 与横轴之间的面积总和. 3) 2-范数 ‖f (x )‖2=[∫f 2(x )dx b a ]1/2. 2-范数也常称为平方范数，其几何意义 与1-范数类似. 线性空间还有一个重要概念是内积，它 定义了空间中两个元素的一种运算. 下面给出一般的复数域上线性空间内积的定义.

Matlab自相关函数和互相关函数的计算和作图

自相关函数(Autocorrelation function，缩写ACF)是信号处理、时间序列分析中常用的数学工具，反映了同一序列在不同时刻的取值之间的相关程度。 自相关函数在不同的领域，定义不完全等效。在某些领域，自相关函数等同于自协方差(autocovariance)。 信号处理 在信息分析中，通常将自相关函数称之为自协方差方程。用来描述信息在不同时间τ的，信息函数值的相关性。 ，其中“*”是卷积算符，为取共轭 自相关函数的性质 以下以一维自相关函数为例说明其性质，多维的情况可方便地从一维情况推广得到。 ?对称性：从定义显然可以看出R(i) = R(?i)。连续型自相关函数为偶函数当f为实函数时，有： 当f是复函数时，该自相关函数是厄米函数，满足： 其中星号表示共轭。 ?连续型实自相关函数的峰值在原点取得，即对于任何延时τ，均有 。该结论可直接有柯西-施瓦茨不等式得到。离散型自相关函数亦有此结论。 ?周期函数的自相关函数是具有与原函数相同周期的函数。 ?两个相互无关的函数（即对于所有τ，两函数的互相关均为0）之和的自相关函数等于各自自相关函数之和。 ?由于自相关函数是一种特殊的互相关函数，所以它具有后者的所有性质。

?连续时间白噪声信号的自相关函数是一个δ函数，在除τ = 0 之外的所有点均为0。 ?维纳-辛钦定理（Wiener–Khinchin theorem）表明，自相关函数和功率谱密度函数是一对傅里叶变换对： ?实值、对称的自相关函数具有实对称的变换函数，因此此时维纳-辛钦定理中的复指数项可以写成如下的余弦形式： 白噪声的自相关函数为δ函数： 自相关函数和偏相关函数的问题 在时间序列分析的研究中，首先是判别时间序列的稳定性，如果时间序列是平稳的就可以计算这些数据的自相关函数和偏相关函数。 如果自相关函数是拖尾的，偏相关函数是截尾的，那麽数据符合AR（P）模型。 如果自相关函数是截尾的，偏相关函数是拖尾的，那麽数据复合MA( Q )模型 如果自相关函数和偏相关函数都是拖尾的，那麽数据复合ARMA( P,Q )模型。 自相关函数和互相关函数的matlab计算和作图 1. 首先说说自相关和互相关的概念。 这个是信号分析里的概念，他们分别表示的是两个时间序列之间和同一个时间序列在任意两个不同时刻的取值之间的相关程度，即互相关函数是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度，自相关函数是描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度。互相关函数给出了在频域内两个信号是否相关的一个判断指标，把两测点之间信号的互谱与

神经网络作业(函数逼近)

神经网络作业(函数逼近)

智能控制理论及应用作业 1资料查询 BP 神经网络的主要应用： 人脸识别、风电功率预测、短时交通流混沌预测、高炉熔渣粘度预测、汇率预测、价格预测、函数逼近等 Rbf神经网络的主要应用： 函数逼近、短时交通流预测、模式识别、降水预测、民航客运量预测、遥感影像分析、声纹识别、语言识别、人脸识别、车牌识别、汇率预测 Hopfield网络应用： 车牌识别、图像识别、遥感影像分类、字母识别、交通标志识别、优化计算中的应用、联想记忆存储器的实现、 2 BP编程算法：

T=[1 1 1 ;1 1 1]; %X=-1:0.1:1; %输入范围 %T=sin(pi*X); %X=[] q=3; %隐含层的节点数自己定义，在此给3个 %初始化 [M,N]=size(X); %输入节点个数为M,N为样本数 [L,N]=size(T); %输出节点个数为L wij=rand(q,M); %先给定加权系数一组随机值 wki=rand(L,q); wij0=zeros(size(wij)); %加权系数矩阵的初始值 wki0=zeros(size(wki)); for epoch=1:max_epoch %计算开始 NETi=wij*X; %各个隐含层的净输入

for j=1:N for i=1:q Oi(i,j)=2/(1+exp(-NETi(i,j)))-1; %再输入作用下，隐含层的输出 end end NETk=wki*Oi; %各个输出层的净输入 for i=1:N for k=1:L Ok(k,i)=2/(1+exp(-NETk(k,i)))-1; %在输入作用下，输出层的输出 end end E=((T-Ok)'*(T-Ok))/2; %性能指标函数，就是误差 if(E

自相关与互相关函数

相关函数 １．自相关函数 自相关函数是信号在时域中特性的平均度量，它用来描述信号在一个时刻的取值与 另一时刻取值的依赖关系，其定义式为 （2.4.6） 对于周期信号，积分平均时间T为信号周期。对于有限时间的信号，例如单个脉 冲，当T趋于无穷大时，该平均值将趋于零，这时自相关函数可用下式计算 （2.4.7） 自相关函数就是信号x(t)和它的时移信号x(t+τ)乘积的平均值，它是时移变量τ的函数。 例如信号的自相关函数为 若信号是由两个频率与初相角不同的频率分量组成，即 ，则

对于正弦信号，由于，其自相关函数仍为 由此可见，正弦（余弦）信号的自相关函数同样是一个余弦函数。它保留了原信号的频率成分，其频率不变，幅值等于原幅值平方的一半，即等于该频率分量的平均功率 ，但丢失了相角的信息。 自相关函数具有如下主要性质： （1）自相关函数为偶函数，，其图形对称于纵轴。因此，不论时移方向是导前还是滞后（τ为正或负），函数值不变。 （2）当τ＝0时，自相关函数具有最大值，且等于信号的均方值，即 （2.4.8）（3）周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。 （4）若随机信号不含周期成分，当τ趋于无穷大时，趋于信号平均值的平方，即 （2.4.9）实际工程应用中，常采用自相关系数来度量其不同时刻信号值之间的相关程度，定义式为 （2.4.10）

当τ＝0时，＝1，说明相关程度最大；当τ＝∞时，，说明信号x(t)与x(t+τ)之间彼此无关。由于，所以。值的大小表示信号相关性的强弱。 自相关函数的性质可用图2.4.3表示。 图2.4.3 自相关函数的性质 常见四种典型信号的自相关函数如图2.4.4所示，自相关函数的典型应用包括： （1）检测信号回声（反射）。若在宽带信号中存在着带时间延迟的回声，那么该 信号的自相关函数将在处也达到峰值（另一峰值在处），这样可根据确定 反射体的位置，同时自相关系数在处的值将给出反射信号相对强度的度量。 时间历程自相关函数图形 正 弦 波

数值分析课件第3章函数逼近与曲线拟合

第三章 函数逼近与曲线拟合 1 函数的逼近与基本概念 1.1问题的提出 多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、除四种算术运算指令，因此为了计算大多数有解析表达式的函数的值，必须产生可用四则运算进行计算的近似式，一般为多项式和有理分式函数.实际上，我们已经接触到两种逼近多项式，一种是泰乐多项式，一种是插值多项式.泰乐多项式是一种局部方法，误差分布不均匀，满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高，不宜在计算机上直接使用.例如，设()f x 是[1,1]-上的光滑函数，它的Taylor 级数0()k k k f x a x ∞ ==∑， ()(0)! k k f a k =在[1,1]-上收敛。当此级数收敛比较快时，11()()()n n n n e x f x s x a x ++=-≈。这个误差分布是不均匀的。当0x =时，(0)0n e =，而x 离开零点增加时，()n e x 单调增加，在1x =±误差最

大。

为了使[1,1]-的所有x 满足()()n f x s x ε-<，必须选取足够大的n ，这显然是不经济的。插值函数出现的龙格现象表明，非节点处函数和它的插值多项式相差太大。更重要的是，实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差，此时如果要求逼近函数过全部节点，相当于保留全部数据误差，这是不适宜的。如图1所示，给出五个点上的实验测量数据，理论上的结果应该满足线性关系，即图1中的实线。由于实验数据的误差太大，不能用过任意两点的直线逼近函数。如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数，显然误差会很大。 实验数据 真函数 插值多项式逼近 精确的线性逼近 图1

自相关函数与互相关函数 不错的材料

2.4.3 相关函数 １．自相关函数 自相关函数是信号在时域中特性的平均度量，它用来描述信号在一个时刻的取值与另一时刻取值的依赖关系，其定义式为 （2.4.6） 对于周期信号，积分平均时间T为信号周期。对于有限时间内的信号，例如单个脉冲，当T趋于无穷大时，该平均值将趋于零，这时自相关函数可用下式计算 （2.4.7） 自相关函数就是信号x(t)和它的时移信号x(t+τ)乘积的平均值，它是时移变量τ的函数。 例如信号的自相关函数为 若信号是由两个频率与初相角不同的频率分量组成，即 ，则

对于正弦信号，由于，其自相关函数仍为 由此可见，正弦（余弦）信号的自相关函数同样是一个余弦函数。它保留了原信号的频率成分，其频率不变，幅值等于原幅值平方的一半，即等于该频率分量的平均功率，但丢失了相角的信息。 自相关函数具有如下主要性质： （1）自相关函数为偶函数，，其图形对称于纵轴。因此，不论时移方向是导前还是滞后（τ为正或负），函数值不变。 （2）当τ＝0时，自相关函数具有最大值，且等于信号的均方值，即 （2.4.8）（3）周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。 （4）若随机信号不含周期成分，当τ趋于无穷大时，趋于信号平均值的平方，即 （2.4.9） 实际工程应用中，常采用自相关系数来度量其不同时刻信号值之间的相关程

度，定义式为 （2.4.10） 当τ＝0时，＝1，说明相关程度最大；当τ＝∞时，，说明信号x(t)与 x(t+τ)之间彼此无关。由于，所以。值的大小表示信号相关性的强弱。 自相关函数的性质可用图2.4.3表示。 图2.4.3 自相关函数的性质 常见四种典型信号的自相关函数如图2.4.4所示，自相关函数的典型应用包括： （1）检测信号回声（反射）。若在宽带信号中存在着带时间延迟的回声，那么该信号的自相关函数将在处也达到峰值（另一峰值在处），这样可根据确定反射体的位置，同时自相关系数在处的值将给出反射信号相对强度的度量。 时间历程自相关函数图形

数值计算方法教案_曲线拟合与函数逼近

第三章 曲线拟合与函数逼近 一．曲线拟合 1.问题提出： 已知多组数据(),,1,2, ,i i x y i N =，由此预测函数()y f x =的表达式。 数据特点：（1）点数较多。（2）所给数据存在误差。 解决方法：构造一条曲线反映所给数据点的变化总趋势，即所谓的“曲线拟合”。 2.直线拟合的概念 设直线方程为y=a+bx 。 则残差为：?i i i e y y =-,1,2,,i N =，其中?i i y a bx =+。 残差i e 是衡量拟合好坏的重要标志。 可以用MATLAB 软件绘制残差的概念。 x=1:6; y=[3,4.5,8,10,16,20]; p=polyfit(x,y,1); xi=0:0.01:7; yi=polyval(p,xi); plot(xi,yi,x,y, 'o'); y1=polyval(p,x); hold on for i=1:6 plot([i,i],[y(i),y1(i)], 'r'); end 可以绘制出如下图形：

三个准则： （1）max i e 最小 （2）1n i i e =∑最小 （3）21 N i i e =∑最小 3.最小二乘法的直线拟合 问题：对于给定的数据点(),,1,2,,i i x y i N =，求一次多项式y=a+bx ，使得总误差Q 最 小。其中()2 21 1 N N i i i i i Q e y a bx ====-+????∑∑。根据 0,0.Q Q a b ??==?? 2222 1 222N i i i i i i i Q y a b x y a y x b x ab =??=++--+??∑

函数逼近与曲线拟合

函数逼近与曲线拟合 3.１函数逼近的基本概念 3.1.1 函数逼近与函数空间 在数值计算中常要计算函数值，如计算机中计算基本初等函数及其他特殊函数；当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该点集的区间上用公式给出函数的 简单表达式，这些都涉及到在区间上用简单函数逼近已知复杂函数的问题，这就是函数逼近问题．上章讨论的插值法就是函数逼近问题的一种．本章讨论的函数逼近，是指“对函数类Ａ中给定的函数，记作，要求在另一类简单的便于计算的函数类Ｂ中求函数，使与的误差在某种度量意义下最小”．函数类Ａ通常是区间上的连续函数，记作，称为连续函数空间，而函数类Ｂ通常为n次多项式，有理函数或分段低次多项式等．函 数逼近是数值分析的基础，为了在数学上描述更精确，先要介绍代数和分析中一些基本概念及预备知识． 数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将为样的集合称为空间．例如将所有实n维向量组成集合，按向量加法及向量与数的乘法构成实数域上的线性空间，记作，称为n维向量空间．类似地，对次数不超过n（n为正整数）的实系数多项式全体，按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域上的一个线性空间，用表示，称为多项式空间．所有定义在上的连续函数集合，按函数加法和数与函数乘法构 成数域上的线性空间，记作．类似地，记为具有p阶的连续导数的函数空间． 定义１设集合Ｓ是数域Ｐ上的线性空间，元素，如果存在不全为零的数，使得

， (3.1.1)则称线性相关．否则，若等式(3.1.1)只对成立，则称线性无关． 若线性空间Ｓ是由n个线性无关元素生成的，即对都有 则称为空间Ｓ的一组基，记为，并称空间Ｓ为n维空间，系数称为x在基下的坐标，记作，如果Ｓ中有无限个线性无关元素，…，则称Ｓ为无限维线性空间． 下面考察次数不超过n次的多项式集合，其元素表示为 ， (3.1.2）它由个系数唯一确定．线性无关，它是的一组基，故，且是的坐标向量，是维的．对连续函数，它不能用有限个线性无关的函数表示，故是无限维的，但它的任一元素均可用有限维的逼近，使误差 （为任给的小正数），这就是著名的Weierstrass定理．定理１（Weierstrass）设，则对任何，总存在一个代数多项式，使

自相关函数和互相关函数计算和作图的整理之欧阳家百创编

自相关函数和互相关函数计算和作图的整理 欧阳家百（2021.03.07） 1. 首先说说自相关和互相关的概念。 --[转版友gghhjj]------------------------------------------------------------------------------------- 这个是信号分析里的概念，他们分别表示的是两个时间序列之间和同一个时间序列在任意两个不同时刻的取值之间的相关程度，即互相关函数是描述随机信号 x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度，自相关函数是描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --[转版友hustyoung]----------------------------------------------------------------------------------- 自相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度；互相关函数给出了在频域内两个信号是否相关的一个判断指标，把两测点之间信号的互谱与各自的自谱联系了起来。它能用来确定输出信号有多大程度来自输入信号，对修正测量中接入噪声源而产生的误差非常有效。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 事实上，在图象处理中，自相关和互相关函数的定义如下：设原函数是f(t)，则自相关函数定义为R(u)=f(t)*f(-t)，其中*表示卷积；设两个函数分别是f(t)和g(t)，则互相关函数定义为R(u)=f(t)*g(-t)，它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。 那么，如何在matlab中实现这两个相关并用图像显示出来呢？这个问题happy教授给出了完整答案： -----------[转happy教授]--------------------- dt=.1; t=[0:dt:100]; x=cos(t); [a,b]=xcorr(x,'unbiased'); plot(b*dt,a) ----------------------------------------------------- 上面代码是求自相关函数并作图，对于互相关函数，稍微修改一下就可以了，即把[a,b]=xcorr(x,'unbiased');改为[a,b]=xcorr(x,y,'unbiased');便可。 2. 实现过程： 在Matalb中，求解xcorr的过程事实上是利用Fourier变换中的卷积定理进行的，即R(u)=ifft(fft(f)×fft(g))，其中 ×表示乘法，注：此公式仅表示形式计算，并非实际计算所用的公式。当然也可以直接采用卷积进行计算，但是结果会与xcorr的不同。事实上，两者既然有定理保证，那么结果一定是相同的，只是没有用对公式而已。下面是检验两者结果相同的代码： dt=.1; t=[0:dt:100]; x=3*sin(t); y=cos(3*t); subplot(3,1,1); plot(t,x); subplot(3,1,2); plot(t,y); [a,b]=xcorr(x,y); subplot(3,1,3); plot(b*dt,a); yy=cos(3*fliplr(t)); % or use: yy=fliplr(y); z=conv(x,yy); pause; subplot(3,1,3); plot(b*dt,z,'r'); 即在xcorr中不使用scaling。 3. 其他相关问题： 1) 相关程度与相关函数的取值有什么联系？ -------------[转版友gghhjj]------------------------------------------------------------------------------------- 相关系数只是一个比率，不是等单位量度，无什么单位名称，也不是相关的百分数，一般取小数点后两位来表示。 相关系数的正负号只表示相关的方向，绝对值表示相关的程度。因为不是等单位的度量，因而不能说相关系数0.7是0.35两倍，只能说相关系数为0.7的二列变量相关程度比相关系数为0.35的二列变量相关程度更为密切和更高。也不能说相关系数从0.70到0.80与相关系数从0.30到0.40增加的程度一样大。 对于相关系数的大小所表示的意义目前在统计学界尚不一致，但通常按下是这样认为的： 相关系数相关程度 0.00-±0.30 微相关 ±0.30-±0.50 实相关 ±0.50-±0.80 显著相关 ±0.80-±1.00 高度相关 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2) 功率，能量，自相关函数的关系： ---[转happy教授]------------------------------------------------------------------------------------------- 参见https://www.wendangku.net/doc/9a11532712.html,/jingpinke/xhst/final/XiTongJiaoCai/chap6/chap6_3/chap6_3_3.htm 需要指出的是，相关和相关函数的概念原本是为描述随机过程的统计特征而引入的，称之为统计相关函数。按照随机过程的理论，要获得一个实际随机过程的统计相关函数是相当困难的，但对于满足各态历经性(遍历性)或广义平稳的随机过程，它们的统计相关函数等于其一个样本函数的时间相关函数。从确定性信号引出相关的概念，是为后续课程的学习打下一个基础。 两信号互相关函数的傅里叶变换等于其中第一个信号变换与第二个信号变换取共轭二者之乘积，这就是相关定理。对于自相关函数，它的傅里叶变换等于原信号幅度谱的平方。 周期余弦信号和它的自相关函数具有相同的角频率，即周期信号的自相关函数仍然是同周期的周期信号。 在实际应用中，有些信号无法求它的傅里叶变换，但是可以用求自相关函数的方法求得信号的功率谱。

函数逼近的理论与方法综述

课程作业 题目：函数逼近理论与方法 学院：数学与统计学院 专业：计算数学 研究方向：数字图像处理 学生姓名：安静 学号：2013201134 教师：张贵仓

函数逼近的理论与方法综述 函数逼近论是函数论的一个重要组成部分，涉及的基本问题是函数的近似表示问题。在数学的理论研究和实际应用中经常遇到下类问题：在选定的一类函数中寻找某个函数g,使它是已知函数在一定意义下的近似表示，并求出用g 近似表示而产生的误差。这就是函数逼近问题。在函数逼近问题中，用来逼近已知函数的函数类可以有不同的选择，即使函数类选定了，在该函数中用作的近似表示的函数g 的确定方式仍然是各式各样；g 对函数近似表达时产生的误差也有各种不同的含义。所以，函数逼近问题的提法具有多种多样的形式，其内容十分丰富。 一、 几种常用的插值函数 1.拉格朗日（Lagrange ）插值 设y =()f x 是实变量x 的点值函数, 且已知()f x 在给定的1n +各互异点01,,,n x x x 处 得值01,, ,n y y y 即(),0, ,i i y f x i n ==差值的基本问题是, 寻求多项式()p x , 使得 (),0, ,i i p x y i n == (1-1) 设()p x 是一个m 次多项式()p x =2 012m m a a x a x a x ++++, 0m a ≠ 则差值问题是, 如何确定()p x 中的系数01,,,m a a a , 使得(1-1)式满足, 所以该问题等 价于求解下述的线性方程组 2 0102000 21112111 2012m m m m m m m m m n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ?++++=?++++=??? ?++++= ? (1-2) 上述的线性方程组的系数矩阵为 2 00 02 11121 11 m m m n n m x x x x x x A x x x ????? ? =???????? 他是一个()()11n m +?+的矩阵. 当m A >时, A 的列数大于行数, 不难证明矩阵A 的秩数为1n +. 因为A 的前1n +列所组成的行列式为

自相关函数与偏自相关函数

自相关函数与偏自相关函数 上一节介绍了随机过程的几种模型。实际中单凭对时间序列的观察很难确定其属于哪一种模型，而自相关函数和偏自相关函数是分析随机过程和识别模型的有力工具。 1、自相关函数定义 在给出自相关函数定义之前先介绍自协方差函数概念。由第一节知随机过程{t x }中的每一个元素t x ，t = 1, 2, … 都是随机变量。对于平稳的随机过程，其期望为常数，用μ表示，即 ()t E x μ=，1,2,t =L 随机过程的取值将以 μ 为中心上下变动。平稳随机过程的方差也是一个常量 2()t x Var x σ=，1,2,t =L 2x σ用来度量随机过程取值对其均值μ的离散程度。 相隔k 期的两个随机变量t x 与t k x -的协方差即滞后k 期的自协方差，定义为： (,)[()()]k t t k t t k Cov x x E x x γμμ--==-- 自协方差序列：k γ，0,1,2,k =L 称为随机过程{t x }的自协方差函数。当k = 0 时，2 0()t x Var x γσ==。 自相关系数定义：k ρ= 因为对于一个平稳过程有：2 ()()t t k x Var x Var x σ-== 所以2 20 (,) t t k k k k x x Cov x x γγρσσγ-= = =，当 k = 0 时，有01ρ=。 以滞后期k 为变量的自相关系数列k ρ（0,1,2,k =L ）称为自相关函数。因为k k ρρ-=，即(,)t k t Cov x x -= (,)t t k Cov x x +，自相关函数是零对称的，所以实际研究中只给出自相关函数的正半部分即可。

ch函数逼近与计算

Ch3、函数逼近与计算 §1、引言 1、引例 某气象仪器厂要在某仪器中设计一种专用计算芯片，以便于计算观测中经常遇到的三角函数以及其它初等函数.设计要求x 在区间[]b a ,中变化时，近似函数在每一点的误差都要小于某一指定的正数ε. ①由于插值法的特点是在区间[]b a ,中的1+n 个节点处，插值函数)(x P n 与被插值函数)(x f 无误差，而在其它点处)()(x f x P n ≈.对于i x x ≠，)(x P n 逼近)(x f 的效果可能很好，也可能很差.在本问题中要求)(x P n 在区间[]b a ,中的每一点都要“很好”地逼近)(x f ，应用插值方法显然是不可行的，龙格现象就是典型的例证. ②可以采用泰勒展式解决本问题. 将)(x f 在特殊点0x 处做泰勒展开 10)(00)(000)()!1()()(!)())(()()(+-++-++-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x f x f ξ 取其前1+n 作为)(x f 的近似，即 )()(! ) ())(()()(00)(000x f x x n x f x x x f x f x P n n n ≈-++-'+= 但泰勒展式仅对0x 附近的点效果较好，为了使得远离0x 的点的误差也小于ε，只好将项数n 取得相当大，这大大增加了计算量，降低了计算速度.因此，从数值计算的角度来说，用泰勒展式做函数在区间上的近似计算是不合适的. ③引例提出了一个新的问题，即能否找到一个近似函数)(x P n ，比如说，它仍然是一个n 次多项式，)(x P n 不一定要在某些点处与)(x f 相等，但)(x P n 却在区间[]b a ,中的每一点处都能“很好”地、“均匀”地逼近)(x f . 2、逼近问题 对],[)(b a C x f ∈，求一个多项式)(x p ，使)()(x p x f -在某种衡量标准下最小. ①一致逼近（均匀逼近） 无穷范数：)()(max )()(x p x f x p x f b x a -=-≤≤∞ 最小 ②平方逼近（均方逼近） 欧氏范数：[]?-= -b a dx x p x f x p x f 22)()()()(最小. 3、维尔斯特拉斯定理

函数逼近的几种算法和应用

函数逼近的几种算法及其应用

摘要 在自然科学与技术科学领域中存在着大量的需要解决的非线性问题.近年来人们在数值与函数逼近问题以及计算机辅助几何设计的研究中取得了一系列深刻的结果．随着高性能、大容量计算机的出现，使得过去难以实现的问题变为可能，所以关于函数逼近的理论研究和应用有着巨大的发展潜力．本课设中共有两章，第一章介绍了函数逼近的产生及研究意义，基础知识，最佳平方逼近法，曲线拟合的最小二乘法，有理逼近，三角多项式逼近的算法的几种函数比较方式.第二章从函数逼近的应用角度，详细介绍了有理函数逼近在数值优化中的应用和泰勒级数判定迭代法的收敛速度，以及几种函数逼近的计算实例. 关键词最佳平方逼近法；曲线拟合的最小二乘法；有理逼近；三角多项式逼近； 帕徳逼近

目录 引言 (1) 第一章函数逼近 (2) §1.1 函数逼近的产生背景及研究意义 (2) §1.2 基础知识 (3) §1.2.1 函数逼近与函数空间 (3) §1.2.2 数与赋空间 (4) §1.3 最佳平方逼近 (5) §1.3.1 最佳平方逼近及其计算 (5) §1.3.2 用正交函数组作最佳平方逼近 (6) §1.4 有理逼近 (8) §1.4.1 有理逼近的定义及构造 (8) §1.4.2 有理插值函数的存在性 (9) §1.4.3 有理插值函数的唯一性 (10) §1.4.4 几种常见的有理逼近 (11) §1.5 三角多项式逼近与多项式逼近 (12) §1.5.1 三角多项式逼近 (12) §1.5.2 傅里叶级数的一致收敛性 (12) §1.5.3 以2π为周期的连续函数的三角多项式逼近 (13) §1.5.4 [0,π]上连续函数的三角多项式逼近 (14) §1.5.5 闭区间上连续函数的三角多项式逼近 (14) §1.5.6 闭区间上连续函数的多项式逼近 (15) §1.6 其他函数逼近 (15) §1.6.1 曲线拟合的最小二乘法 (15) §1.6.2 泰勒级数 (16) 第二章函数逼近应用 (18) §2.1 有理逼近在数值优化中的应用 (18) §2.1.1 直线搜索方法 (18) §2.1.2 计算方法 (19) §2.1.3 计算实例 (19) §2.2 各种泰勒级数判定迭代法的收敛速度 (20) §2.3 各种函数逼近的计算实例 (21) §2.3.1 最佳平方逼近多项式计算实例 (21) §2.3.2 曲线拟合的最小二乘法计算实例 (22) §2.3.3 帕德逼近的计算实例 (23) 参考文献 (24)

互相关函数自相关函数计算和作图

互相关函数-自相关函数计算和作图

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互相关函数，自相关函数计算和作图 1.自相关和互相关的概念。 ●互相关函数是描述随机信号ｘ(t）,y(t)在任意两个不同时刻t1，t2间的相关程度。 ●自相关函数是描述随机信号x(t）在任意两个不同时刻t１，ｔ2间的相关程度。 互相关函数是在频域内两个信号是否相关的一个判断指标，把两测点之间信号的互谱与各自的自谱联系了起来。它能用来确定输出信号有多大程度来自输入信号，对修正测量中接入噪声源而产生的误差非常有效。 ---－-－－-------－----－－－--－－－---------－-－------------－---－－--------－----－-－－--－-－--－- 事实上，在图象处理中，自相关和互相关函数的定义如下：设原函数是f(ｔ）,则自相关函数定义为Ｒ(u）=f(t)*f(-ｔ)，其中*表示卷积；设两个函数分别是ｆ（t)和ｇ(t），则互相关函数定义为R（u)=f(t）*g(-t)，它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。 2.利用ｍａtlab中实现这两个相关并用图像显示: 自相关函数：? dt＝.1; t=[０:dt:100];x=ｃos（t); [a,b]=xｃorr(x,'ｕnbiasｅｄ＇); ｐloｔ(b＊dt,ａ） ?

互相关函数：把［ａ,b]＝ｘｃｏrr(x,＇unbｉased');改为[a,b]=ｘｃｏｒr(x,ｙ,'ｕｎｂia ｓed');便可。 ?３. 实现过程: 在Ｍaｔalb中，求解ｘcorr的过程事实上是利用Ｆoｕrier变换中的卷积定理进行的，即R(ｕ)=ｉffｔ(fｆｔ(f）×ｆft(g)),其中×表示乘法，注：此公式仅表示形式计算，并非实际计算所用的公式。当然也可以直接采用卷积进行计算,但是结果会与xcorr的不同。事实上,两者既然有定理保证，那么结果一定是相同的，只是没有用对公式而已。下面是检验两者结果相同的代码:??dt=.1; ｔ=[0:dt:１00];?x=3*ｓｉn（t）;?ｙ=ｃos（3*t)；?subplot(3,１,1); plｏｔ(t，ｘ）； ｓubplｏt(３,1，2);?ｐlot(t,ｙ); [ａ,b]=ｘcoｒｒ(x，y）； sｕbplot(３,１,３);?plot（b*dt,a）;?yｙ=cos(3*fliｐlr(t)); % ｏr ｕsｅ：ｙy=flｉplr(ｙ）; ｚ=ｃonｖ（x，yy); pause; sｕｂｐｌot（３,1,3）; plot(b＊dt,z,'r＇）;??即在xcoｒr中不使用scａling。 ?4. 其他相关问题：?1) 相关程度与相关函数的取值有什么联系？