专题训练 蚂蚁爬行的最短路径(含答案)

蚂蚁爬行的最短路径

1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10．

回答下列问题：

（1）蚂蚁最后是否回到出发点0；

（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻． 解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0； （2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒

2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .

解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线． AB =

51222=+．

3．（

2006?茂名）如图，点A 、B 分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是 cm

第6题

．

解：由题意得，从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4．

4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（ ）

A ．A ?P ?

B B ．A ?Q ?B

C ．A ?R ?B

D ．A ?S ?B

解：根据两点之间线段最短可知选A ． 故选A ．

5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）

解：如图，AB =

()101212

2=++．故选C ．

1

6． 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为（ ）

解：展开正方体的点M 所在的面， ∵BC 的中点为M ， 所以MC =

2

1

BC =1， 在直角三角形中AM

=

=

．

7．如图，点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A 处向B 处爬行，所走最短路程是 cm 。

解：将盒子展开，如图所示：

AB =CD =DF +FC =

21EF + 21GF =21×20+2

1×20=20cm ． 故选C ．

8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .

解：将正方体展开，连接M 、D 1， 根据两点之间线段最短， MD =MC +CD =1+2=3， MD 1= 1323222

12=+=+DD MD ．

9．

如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm

，

假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用

2.5秒钟．

解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．

（1）展开前面右面由勾股定理得AB = = cm ；

（2）展开底面右面由勾股定理得AB =

=5cm ；

第7题

1

A

B A 1B 1D C

D 1C 12

4

所以最短路径长为5cm ，用时最少：5÷2=2.5秒．

10．（2009?恩施州）如图，长方体的长为15

，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点

A 爬到点B

，需要爬行的最短距离是 。

解：将长方体展开，连接A 、B ， 根据两点之间线段最短，AB =

=25．

11. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 .

解：正面和上面沿A 1B 1展开如图，连接AC 1，△ABC 1是直角三角形， ∴AC 1=

(

)534214222

22

12=+=++=+BC AB

12．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为米。

解：由题意得，

路径一：AB= = ；

路径二：AB= =5；

路径三：AB= = ；

∵＞5，

∴5米为最短路径．

13．如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A 出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求：

（1）蚂蚁经过的最短路程；

（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．

解：（1）AB的长就为最短路线．

然后根据若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为（cm）；

若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为（cm），

或（cm）

所以蚂蚁经过的最短路程是cm．

（2）5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm，

最长路程是30cm．

14．如图，在一个长为50cm，宽为40cm，高为30cm的长方体盒子的顶点A处有一只蚂蚁，它要爬到顶点B处去觅食，最短的路程是多少？

解：图1中，cm．

图2中，cm．

图3中，cm．

∴采用图3的爬法路程最短，为cm

15．如图，长方体的长、宽、高分别为6cm，8cm，4cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A 爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是。

解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，

则这个长方形的长和宽分别是12cm和6cm，

则所走的最短线段是=6 cm；

第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，

则这个长方形的长和宽分别是10cm和8cm，

所以走的最短线段是= cm；

第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，

则这个长方形的长和宽分别是14cm和4cm，

所以走的最短线段是=2 cm；

三种情况比较而言，第二种情况最短．

16．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为cm

解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20cm，宽为（2+3）×3cm，

则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．

可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xcm，

由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，

解得x=25．

故答案为25．

17．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B 是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是cm。

解：将台阶展开，如下图，

因为AC=3×3+1×3=12，BC=5，

所以AB2=AC2+BC2=169，

所以AB=13（cm），

所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm．

答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm．

18．（2011?荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为cm．

解：

∵P A=2×（4+2）=12，QA=5

∴PQ=13．

故答案为：13．

19．如图，一块长方体砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面的高BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是多少？

解：如图1，在砖的侧面展开图2上，连接AB，

则AB的长即为A处到B处的最短路程．

解：在Rt△ABD中，

因为AD=AN+ND=5+10=15，BD=8，

所以AB2=AD2+BD2=152+82=289=172．

所以AB=17cm．

故蚂蚁爬行的最短路径为17cm．

20．（2009?佛山）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．

（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；

（2）当AB=4，BC=4，CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；

（3）求点B1到最短路径的距离．

解：（1）如图，

木柜的表面展开图是两个矩形ABC'1D1和ACC1A1．

C'1和AC1．（2分）

故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的A

（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C1，

爬过的路径的长是．（3分）

蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长是

．（4分）

l1＞l2，故最短路径的长是．（5分）

（3）作B1E⊥AC1于E，

则? ? 为所求．（8分）

21．有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离.

解：AC 的长就是蚂蚁爬行的最短距离．C ，D 分别是BE ，AF 的中点． AF =2π?5=10π．AD =5π． AC =

22CD AD +≈16cm ．

故答案为：16cm ．

22．有一圆形油罐底面圆的周长为24m ，高为6m ，一只老鼠从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为 .

解：AB =1312522=+m

5

第2题

第3题

．

解：因为圆柱底面圆的周长为2π×

6

=12，高为5， 所以将侧面展开为一长为12，宽为5的矩形，

根据勾股定理，对角线长为 =13．

故蚂蚁爬行的最短距离为13．

24．如图，一圆柱体的底面周长为24cm ，高AB 为9cm ，BC 是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，则蚂蚁爬行的最短路程是

解：如图所示：

由于圆柱体的底面周长为24cm ， 则AD =24×2

1=12cm ． 又因为CD =AB =9cm ，

所以AC =

=15cm ．

故蚂蚁从点A 出发沿着圆柱体的表面爬行到点C 的最短路程是15cm ． 故答案为：15．

25．（2006?荆州）有一圆柱体高为10cm ，底面圆的半径为4cm ，AA 1，BB 1为相对的两条母线．在AA 1上有一个蜘蛛Q ，QA =3cm ；在BB 1上有一只苍蝇P ，PB 1=2cm ，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P 点吃苍蝇，最短的路径是 cm ．（结果用带π和根号的式子表示）

解：QA=3，PB1=2，

即可把PQ放到一个直角边是4π和5的直角三角形中，

根据勾股定理得：

QP=

26．同学的茶杯是圆柱形，如图是茶杯的立体图，左边下方有一只蚂蚁，从A处爬行到对面的中点B处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图．

问题：某正方体盒子，如图左边下方A处有一只蚂蚁，从A处爬行到侧棱GF上的中点M 点处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图．

解：如图，将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图示，则A、B分别位于如图所示的位置，连接AB，即是这条最短路线图．

如图，将正方体中面ABCD 和面CBFG 展开成一个长方形，如图示，则A 、M 分别位于如图所示的位置，连接AM ，即是这条最短路线图．

27．如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm ，假若点B 有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC 的中点P 处的食物，那么它爬行的最短路程是 .

解：∵圆锥的底面周长是4π，则4π=

180

4

?πn ， ∴n =180°即圆锥侧面展开图的圆心角是180°， ∴在圆锥侧面展开图中AP =2，AB =4，∠BAP =90°， ∴在圆锥侧面展开图中BP =

5220=，

∴这只蚂蚁爬行的最短距离是52 cm ． 故答案是：52 cm ．

28．如图，圆锥的底面半径R =3dm ，母线l =5dm ，AB 为底面直径，C

为底面圆周上一点，

第5题

∠COB=150°，D为VB上一点，VD= ．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是（）

解：= = ，

∴设弧BC所对的圆心角的度数为n，

∴=

解得n=90，

∴∠CVD=90°，

∴CD= =4 ，

29．已知圆锥的母线长为5cm，圆锥的侧面展开图如图所示，且∠AOA1=120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．则蚂蚁爬行的最短路程长为。

解：连接AA′，作OC⊥AA′于C，

∵圆锥的母线长为5cm，∠AOA1=120°，

∴AA′=2AC=53．

30．如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是.

第4题

解：由题意知，底面圆的直径为2， 故底面周长等于2π．

设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n °， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，180

42n

ππ=， 解得n =90°，

所以展开图中圆心角为90°，

根据勾股定理求得到点A 的最短的路线长是：24321616==+．

31．（2006?南充）如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A 点出发，绕侧面一周又回到A 点，它爬行的最短路线长是 。

解：由题意知底面圆的直径=2， 故底面周长等于2π．

设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n °， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π=180

4π

n ， 解得n =90°，

所以展开图中的圆心角为90°，

根据勾股定理求得它爬行的最短路线长为24．

32．（2009?乐山）如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB 的长为6，D 为PB 的中点．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D ，则蚂蚁爬行的最短路程为 。

解：由题意知，底面圆的直径AB =4， 故底面周长等于4π．

设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n °， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4π= 360

6

2?πn ， 解得n =120°，

所以展开图中∠APD =120°÷2=60°， 根据勾股定理求得AD = 33， 所以蚂蚁爬行的最短距离为33．

33．如图，圆锥底面半径为r ，母线长为3r ，底面圆周上有一蚂蚁位于A 点，它从A 点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径．

解：把圆锥沿过点A 的母线展成如图所示扇形， 则蚂蚁运动的最短路程为AA ′（线段）．

由此知：OA =OA ′=3r ， 的长为2πr ．

∴2πr =

180

3r

n ?π，n =120°， 即∠AOA ′=120°，∠OAC =30°． ∴OC =

21OA =r 2

3

∴AC =r OC OA 32

3

2

2

=- ∴AA ′=2AC =33r ，

即蚂蚁运动的最短路程是33r ．

34．如图①，一只蚂蚁从圆锥底面的A 点出发，沿侧面绕行一周后到达母线SA 的中点M ．蚂蚁沿怎样的路径行走最合算？为了解决这一问题，爱动脑筋的银银、慧慧与乐乐展开了研究． （1）善于表现的银银首先列出了一组数据：圆锥底面半径r =10cm ，母线SA 长为40cm ，就这组数据，请你求出蚂蚁所走的最短路程；

（2）一向稳重的慧慧只给出一个数据：圆锥的锥角等于60°（如图②），请问：蚂蚁如何行走最合算？

（3）通过（1）、（2）的计算与归纳，银银、慧慧自认为他们已找到问题的解决方法，可老谋深算的乐乐认为他们考虑欠周，

①请你分析，乐乐为什么认为他们考虑欠周？ ②结合上面的研究，请你给出这一问题的一般性解法．

解：（1）2π?10=nπ?40÷180° n =90°，

AM =

=20

．

（2）∵锥角为60°，

∴底面半径的长和母线的长相等，

但缺少母线的长．（3）①因为银银的数据不合理，因为慧慧缺少条件．

②（1）展成平面图形．

（2）知道母线的长，知道扇形的圆心角度数，以及M是SA的中点，根据三角函数或者构造直角三角形来求解

勾股定理的应用一(蚂蚁爬行最短路线问题)

勾股定理的应用（1）--蚂蚁爬行最短路线问题 班别：_____________姓名：_________________学号：_________ 1、如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程( 取3)是( ) A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定 2、一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是多少? 3、一只蚂蚁在立方体的表面积爬行． （Ⅰ）如图 1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A 沿表面爬行到顶点B ，怎样爬行路线最短？说出你的理由． （Ⅱ）如图1，如果蚂蚁要从边长为1cm 的正方体的顶点A 沿最短路线爬行到顶点C ，那么爬行的最短距离d 的长度应是下面选项中的（ ） （A ）1cm ＜l ＜3cm??? （B ）2cm?????? （C ）3cm 这样的最短路径有 _________条． （Ⅲ）如果将正方体换成长AD=2cm ，宽DF=2cm ，高AB=1.5cm 的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A 沿表面爬行到顶点E 的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图测量来说明） A B

4、如图所示：有一个长为3米，宽为1米，高为6米的长方体纸盒，一只小蚂蚁要沿着长方体的表面从A 点开始经过4个侧面绕一圈到达爬到B 点，则这只蚂蚁爬行的最短路径的长为__________。若从A 点开始绕4个侧面两圈爬到B 点，最短路径长为____________。 5、一个圆柱体元件，底面半径为3，现要在其侧面绕线圈。 （1）若从A 点出发，绕侧面1圈到达B 点，线圈的长度最小为____________。（结果保留π） （2）若从A 点出发，绕侧面5圈到达B 点，线圈的长度最小为____________。（结果保留π） B A 6m 3m 1m

蚂蚁爬行的最短路径

蚂蚁爬行的最短路径 1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10． 回答下列问题： （1）蚂蚁最后是否回到出发点0； （2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻．解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0； （2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒 2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的 最短距离是 . 解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线． AB= 5 1 22 2= +． 3．（2006?茂名）如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是cm ． 解：由题意得，从点A沿其表面爬到点B的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4．第6题

A B 4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（ ） A ．A ?P ? B B ．A ?Q ?B C ．A ?R ?B D ．A ?S ?B 解：根据两点之间线段最短可知选A ． 故选A ． 5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ） 解：如图，AB= ()101212 2=++．故选C ． A B 1 6． 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为（ ）

中考专题复习——最短路径问题

A B C D A B A B L A B C D 图(2) E D A C P 图(3) D O C P 中考专题复习——路径最短问题一、具体内容包括： 蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题； 线段（之和）最短问题； 二、原理： 两点之间，线段最短；垂线段最短。（构建“对称模型”实现转化） 三、例题： 例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A 沿木块侧面爬到点B处，则它爬行的最短路径是。 ②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。 例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。 ②如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P，使PA+PB的和最小。请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。 ③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长度为。四、练习题（巩固提高） （一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。 2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的最小值为。 3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm，底面圆的周长为24cm，则蚂蚁爬行的最短路径为。 4、正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为。 第4题第5题第6题第7题 5、在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为。 6、如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为____ ___。 第2题 张村李庄 A B A B 第1题第3题 ⌒⌒⌒

蚂蚁爬行最短路线问题

1.如图，有一个圆柱的高为6cm，底面周长为16cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面B点处的食物，则沿着圆柱的 表面需要爬行的最短路程是 10cm． 解：将圆柱体展开，连接A、B， 根据两点之间线段最短， ∵圆柱的高为6cm，底面周长为16cm， ∴AD=8cm，BD=6cm， ∴AB=√82+62 =10cm． 故答案为：10． 2.如图圆柱的底面半径为6㎝,高为l0cm,蚂蚁在圆柱表面爬行,从点A到点B的最短路程是多少厘米?(保留小数点后一位) 展开图成直角三角形，∠AOB=90°OB=3.14×6=18.84cm，OA=10cm。求AB ∴AB=√（OA2+OB2）=21.3cm 总结：最短路程=√底面圆周长一半的平方+圆柱高的平方 3.一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬到顶点B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C呢？说明你的理由。

A 到 B 最短距离为其对角线，为根号2倍的边长 A到C 可以将其想象成展开的平面，最短距离为这两个平面的对角线，为根号5倍的边长 如图： 向左转|向右转

3.一只蚂蚁在立方体的表面积爬行． （Ⅰ）如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？说出你的理由．（Ⅱ）如图1，如果蚂蚁要从边长为1cm的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C，那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的（） （A）1cm＜l＜3cm （B）2cm （C）3cm 这样的最短路径有 6条． （Ⅲ）如果将正方体换成长AD=2cm，宽DF=2cm，高AB=1.5cm的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬行到顶点E的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图测量来说明） 考点：． 分析：（I）根据线段的性质：两点之间线段最短，求出即可； （II）根据图形可得出最短路径为√5 ，进而得出答案即可； （Ⅲ）将立方体采用两种不同的展开方式得出最短路径即可． 解答：解：（I）如图1所示，沿线段AB爬行即可，根据两点之间线段最短； （II）如图2所示：1cm＜l＜3cm， 故选A， 路线有6条，如图2所示：

中考专题复习——最短路径问题

B C D A L 图(3) C 中考专题复习——路径最短问题 一、具体内容包括： 蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题； 线段（之和）最短问题； 二、原理： 两点之间，线段最短；垂线段最短。（构建“对称模型”实现转化） 三、例题： 例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A 沿木块侧面爬到点B 处，则它爬行的最短路径是 。 ②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。 例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。 ②如图，直线L 同侧有两点A 、B ，已知A 、B 到直线L 的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L 上找一个点P ，使PA+PB 的和最小。请在图中找出点P 的位置，并计算PA+PB 的最小值。 ③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km 和3Km ，张村与李庄的水平距离为3Km ，则所用水管最短长度为 。 四、练习题（巩固提高） （一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。 2、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为 。 3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点B 处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm ，底面圆的周长为24cm ，则蚂蚁爬行的最短路径为 。 4、正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值 第2题 张村 李庄 A B B 第1题 第3题

中考复习之——蚂蚁爬行的最短路径问题

蚂蚁爬行的最短路径问题 I?专题精讲： 当蚂蚁在一个几何体的表面上爬行时，通常情况下都会考虑将其展开成一个平面，运用勾股定理计算其最短路程，也就是运用“化曲为平”或“化折为直”的思想来解决问题 n.典型例题剖析： 一?两点之间，线段最短与勾股定理相结合 台阶问题 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm, 3cm和1cm, A和B是这个台 阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物?请你想一想，这只蚂蚁从 的最短距离_____________ 2. 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m 的A处爬行到对角B处 吃食物，它爬行的最短路线长为_______________ . 3. 葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线--螺旋前进的，难道植物也懂数学？ 通过阅读以上信息，解决下列问题： （1 ）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm, 则它爬行一圈的路程是多少？ （2）如果树干的周长为80cm，绕一圈爬行100cm，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？ B点, 最短线路是 1.有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm, A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行A点出发，沿着台阶面爬到 A 圆柱（锥）问题 第1题

4. 如图，底面半径为1,母线长为4的 圆锥，一只小蚂蚁若从 A 点出发，绕侧面一周又回到 A 点，它爬行的最短路线长是 ______________ . 5.如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为 的表面爬行，它要想吃到母线 AC 的中点P 处的食物，那么它爬行的最短路程是 6.已知0为圆锥顶点，OA 、OB 为圆锥的母线， 侧面爬行到点A ，另一只小蚂 蚁绕着圆锥侧面爬行到点 所示?若沿0A 剪开，则得到 的圆锥侧面展开图为 2.如图，一只小虫沿边长为 1的正方体的表面从点 的路径是最短的，则 AC 的长为 _______________ . 3.正方体盒子的棱长为 2 ,BC 的中点为M ，—只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 C 为0B 中点，一只小蚂蚁从点 C 开始沿圆锥 B ,它们所爬行的最短路线的痕迹如右图 ( ) (长)方体问题 如图，边长为 1. 距离是 1的正方体中，一只蚂蚁从顶点 出发沿着正方体的外表面爬到顶点 B 的最短 2cm ，假若点B 有一蚂蚁只能沿圆锥 A 出发，经过3个面爬到点 B ?如果它运动 R 第5题 A. B. C. D. 第2题

动点问题中的最值、最短路径问题(解析版)

专题01 动点问题中的最值、最短路径问题 动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数学，自数轴起始，至几何图形的存在性、几何 图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中. 其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些 技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法. 一、基础知识点综述 1. 两点之间，线段最短； 2. 垂线段最短； 3. 若A 、B 是平面直角坐标系内两定点，P 是某直线上一动点，当P 、A 、B 在一条直线上时，PA PB 最大，最大值为线段AB 的长（如下图所示）； （1）单动点模型 作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位 置. 如下图所示，P 是x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值的作图.

（2）双动点模型 P 是∠AOB 内一点，M 、N 分别是边OA 、OB 上动点，求作△PMN 周长最小值. 作图方法：作已知点P 关于动点所在直线OA 、OB 的对称点P ’、P ’’，连接P ’P ’’与动点所在直线的交点 M 、N 即为所求. O B P P' P''M N 5. 二次函数的最大（小）值 ()2 y a x h k =-+，当a >0时，y 有最小值k ；当a <0时，y 有最大值k . 二、主要思想方法 利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答. （详见精品例题解析） 三、精品例题解析 例1. （2019·凉山州）如图，正方形ABCD 中，AB =12，AE =3，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQ ⊥EP ，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为 例2. （2019·凉山州）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8,0），（0,8）. 点C 、F 分别是直线x =－5 和x 轴上的动点，CF =10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 面积取最小值时，tan ∠BAD =（ ）

专题训练蚂蚁爬行的最短路径(附附答案解析)

蚂蚁爬行的最短路径 1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10． 回答下列问题： （1）蚂蚁最后是否回到出发点0； （2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻． 解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0； （2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒 2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 . 解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线． AB = 51222=+． 3．（2006?茂名）如图，点A 、B 分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是 cm ． 解：由题意得，从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4． 4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短 第6题

路线是（ ） A ．A ?P ? B B ．A ?Q ?B C ．A ?R ?B D ．A ?S ?B 解：根据两点之间线段最短可知选A ． 故选A ． 5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ） 解：如图，AB = ()101212 2=++．故选C ． 6． 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为（ ） 解：展开正方体的点M 所在的面， ∵BC 的中点为M ， 所以MC = 2 1 BC =1， 在直角三角形中AM = = ． 7．如图，点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A 处向B 处爬行，所走最短路程是 cm 。 解：将盒子展开，如图所示： AB =CD =DF +FC = 21EF + 21GF =21×20+2 1 ×20=20cm ． 故选C ．

专题训练之最短路径问题(最全面的经典例题)

最短路径问题 1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点面 爬到点B处，则它爬行的最短路径是 _______________ 。 ②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2假设一只蚂蚁在点A处, 它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是____________________ 。 2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。 *李庄 张村. ②如图，直线L同侧有两点A B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3, 两点的水平距离为3,要在直线L上找一个点P,使PA+PB勺和最小。请在图中找出点P的位置，并计算PA+P啲最小值。.B A■ _____________________ L ③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km张村与李庄的水平距离为3Km则所用水管最短长度为。 A沿木块侧 A B

是一个长方体木块，已知 AB=5,BC=3,CD=4假设一只蚂 蚁在点A D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是2、 现要在如图所示的圆柱体侧面 A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度 忽略不计），圆柱体高为6cm 底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值 为 。 3、 如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从 A 点爬到点B 处吃到 食物，知圆柱体的高为5 cm ,底面圆的周长为24cm 则蚂蚁爬行的最短路径 为 。 5、 在菱形ABCD 中 AB=2 / BAD=60，点E 是AB 的中点，P 是对角线 AC 上 的一个动点，贝S PE+PB 勺最小值为 ___________ 。 6、 如图，在△ ABC 中, AC= BC= 2,Z ACB= 90°, D 是 BC 边的中点，E 是 AB 边 上一动点，则EO ED 的最小值为 ____________ 。 7、 AB 是OO 的直径，AB=2 OC 是O O 的半径，OCL AB,点 D 在 AC 上，AD 二 2CD 点P 是半径OC 上的一个动点，贝S AP+PD 勺最小值为 __________ 。 &如图，点P 关于OA OB 的对称点分别为 C D,连接CD 交OA 于M 交OB 于N 若CD= 18cm 则厶PMN 勺周长为 ___________ 。 9、已知，如图DE >^ ABC 的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交BC 于 E ,且 AC= 5, BC= 8,则厶 AEC 的周长为 __________ 。 10、已知，如图，在△ ABC 中, AB

最短路径问题―――蚂蚁爬行的最短路径

最短路径问题―――蚂蚁爬行的最短路径 最短路径问题旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径 确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题 确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题 确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。 而蚂蚁爬行的最短路径是指蚂蚁在平面图形或在几何体中爬行，求其爬行的最短路程。 1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10． 回答下列问题： （1）蚂蚁最后是否回到出发点0； （2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一

共得到多少粒芝麻． 2．如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是 . 3．如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是 cm 4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（） A．A?P?B B．A?Q?B C．A?R?B D．A?S?B 5．如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（）6．正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M 点的最短距离为（）

1A B A 1B 1D C D 1 C 124 7．如图，点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个 中心，一只蚂蚁在盒子表面由A 处向B 处爬行，所走最短路程是 cm 。 8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 . 9．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 秒钟． 第9题 第10题 第11题 第12题 10．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为

初二最短路径问题归纳

最短路径问题专题学习

【精品练习】 1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．23 B ．26 C ．3 D ．6 2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2 B ．32 C ．32 D ．4 3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小 时，∠AMN +∠ANM 的度数为（ ） A ．120° B ．130° C ．110° D ．140° 4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ． 5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重 合），且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是 ． 6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________． D E A B C A D E P B C D A M A B M N 第2题 第3题 第4题 第5题

7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B (36，0)． OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______． 8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为 ， 此时 C 、D 两点的坐标分别为 ． 9．已知A （1，1）、B （4，2）． （1）P 为x 轴上一动点，求P A +PB 的最小值和此时P 点的坐标； （2）P 为x 轴上一动点，求PB PA 的值最大时P 点的坐标； （3）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标； 10．点C 为∠AOB 内一点． （1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形； （2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数． 第6题 第7题

数学人教版八年级下册蚂蚁爬行的最短路程问题 教学设计

《蚂蚁爬行的最短路程问题》教学设计 伊旗四中徐晓梅 新课标指出:”数学教育不仅要使学生获得数学知识，用数学知识去解决实际问题，而且更重要的是：使学生认识到，数学就在我们身边。”本节课正是体现“生活数学化，数学生活化”的典型例子，下来我从教材分析、学习目标、教法学法、教学过程几个方面阐述我的教学设计。 一、教材分析 1．教材地位和作用 本节人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》第一节内容，是在学生学 习了勾股定理的基础上进行的，是对勾股定理在生活中应用广泛性的初步认识。 本节课既注重了知识的前后联系，也体现了知识的实用性、趣味性和创新性特点。 在这些具体问题的解决过程中，需要经历立体几何图形的抽象过程，需要借助观 察、操作等实践活动，这些都有助于发展学生的分析问题、解决问题能力和应用 意识； 2．学情分析 学生学习了勾股定理，并且掌握了“丰富的图形世界”中“展开与折叠”的 相关知识。同时，八年级的学生已经初步具备了合作，探究学习的意识和能力。 二、教学目标分析 本节课就只用勾股定理解决立体图形表面距离问题。我确定的课堂教学目标如下： （一）学科核心素养培育目标： 通过对蚂蚁爬行的最短路径问题的探索，培育学生探索精神和最优化思想； 通过在圆柱体和长方体等问题中的运用，培育数学建模、演绎推理和合理转化分类讨论思想等数学思想和数学素养；通过最短路径问题的再探索，发展学生批判性思维和发散性思维，进而提升学生的思维品质. （二）学习目标： 1．知识与技能目标 能运用勾股定理解决实际生活中简单的立体图形表面的距离问题。 2．过程与方法目标 在探索蚂蚁爬行的最短路径的过程中，学会观察图形，提高分析问题、解决 问题的能力及渗透数学建模的思想。 3．情感与态度目标 (1)通过有趣的问题提高学习数学的兴趣． (2)在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性． （三）教学重难点 本着课程标准，在吃透教材、了解学情的基础上，我确定了如下的教学重难 点。 重点：探索、发现将立体图形转化为平面图形解决问题。 难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理，解决实际问题

立体图形上的最短路径问题

第8讲 立体图形上的最短路径问题 一、方法技巧 解决立体图形上最短路径问题： 1.基本思路：立体图形平面化，即化“曲”为“直” 2.“平面化”的基本方法： （1）通过平移来转化 例如：求A 、B 两点的最短距离，可通过平移，将楼梯“拉直”即可 （2）通过旋转来转化 例如：求'A C 、两点的最短距离，可将长方体表面展开，利用勾股定理即可求 例如：求小蚂蚁在圆锥底面上点A 处绕圆锥一周回到A 点的最短距离 可将圆锥侧面展开，根据“两点之间，线段最短”即可得解 （3）通过轴对称来转化 例如：求圆柱形杯子外侧点B 到内侧点A 的最短距离，可将杯子（圆柱）侧面展开，作点A 关于杯口的对称点'A ，根据“两点之间，线段最短”可知'A B 即为最短距离 3.储备知识点：（1）两点之间，线段最短 （2）勾股定理 4.解题关键：准确画出立体图形的平面展开图 二、应用举例 类型一 通过平移来转化 【例题1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想要到B 点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少 【答案】13cm

试题分析： 只需将其展开便可直观得出解题思路，将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B 点到A 点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案. 试题解析： 解：展开图如图所示，13AB cm == 所以，蚂蚁爬行的最短路线是13cm 类型二 通过旋转来转化 【例题2】如下图，正四棱柱的底面边长为5cm ，侧棱长为8cm ，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A 点沿棱柱侧面到点C’处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少 【答案】cm 412 【解析】 试题分析： 解这类题应将立体图形展开，转化为平面图形，把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离，利用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算. 试题解析： 解：如图1，设蚂蚁爬行的路径是AEC’（在面ADD’A’上爬行是一样的）.将四棱柱剪开 铺平使矩形AA’B’B 与BB’C’C 相连，连接AC’，使E 点在AC’上（如图2） )(412810')('2222cm CC BC AB AC =+=++= 所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为cm 412 【难度】一般 【例题3】如下图所示，圆柱形玻璃容器高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 处有一苍蝇，试求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走的最短路线的长度. 【答案】34cm 【解析】 试题分析： 展开后连接SF ，求出SF 的长就是捕获苍蝇的最短路径，过点S 作SE CD ⊥于E ，求出SE 、EF ，根据勾股定理求出SF 即可.

专题复习五、求最短路径问题

专题三、求最短路径问题 最短路径问题在中考中出现的频率很高，这类问题一般与垂线段最短、两点之间线段最短关系密切． 类型1 利用“垂线段最短”求最短路径问题 如图所示，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到C，D两个用水点，现有两种铺设 管道的方案．方案一：分别过C，D作AB的垂线，垂足分别为E，F，沿CE，DF铺设管道；方案二：连接CD交AB于点P，沿PC、PD铺设管道．问：这两种铺设管道的方案中哪一种更节省材料，为什么？ 【思路点拨】方案一管道长为CE＋DF，方案二管道长为PC＋PD，利用垂线段最短即可比较出大小． 本题易错误的利用两点之间线段最短解决，解答时需要准确识图，找到图形对应的知识点．1．(2015·保定一模)如图，点A的坐标为(－1，0)，点B(a，a)，当线段AB最短时，点B 的坐标为( ) A．(0，0) B．( 2 2 ，－ 2 2 ) C．(－ 2 2 ，－ 2 2 ) D．(－ 1 2 ，－ 1 2 ) 2．(2015·杭州模拟)在直角坐标系中，点P落在直线x－2y＋6＝0上，O为坐标原点，则|OP|的最小值为( ) A.35 2 B．3 5 C. 65 5 D.10 3．(2013·内江)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆 过点A(13，0)，直线y＝kx－3k＋4与⊙O交于B、C两点，则弦 BC的长的最小值为________． 4．(2015·碑林区期中)如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为 解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池． (1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小； (2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．

蚂蚁爬行最短路程问题的拓展2

蚂蚁爬行最短路程问题的拓展 教科书有这样一个问题：有一个圆柱，它的高等于12 cm ，底面半径等于3 cm ．在圆行柱的底面 A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？ 直觉判断，不难发现，蚂蚁应该沿着侧面爬行。那么，在侧面上如何爬行，所走的路程最短呢？由于侧面是弯曲的，为此可以试图将弯曲的侧面展呈一个平面，如下图： A B A B 在课堂上，相信大家已经比较过多种爬行路 径，如(1)A →A ′→B ；(2)A →B ′→B ；(3)A → D →B ；(4)A →B.当然也得出了沿着直线段AB 爬行最近。 现在的问题是，对于任意的圆柱，上面的爬 行路线是否都最短呢？ 我们不妨看一个具体的： 问题1 在高为1，底面半径为4的圆柱形实木块．．．的． 下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 相对的B 点处的食物，如图所示，这只蚂蚁需要爬行的最短路程是多少？ A B 如果还是沿着侧面爬行，不难算出最短爬行距离是22)4(1π+≈12.6 m ，由于这个圆 柱“矮而胖”，如果从上底面沿直径爬过去，可以省得绕侧面爬行那样绕过一段大肚子，可能反而行程可能会少一些，当然，这只是感觉，需要具体计算一下。不难算出从A 点直接向上爬再沿着直径爬到B 点的行程是1＋4×2＝9 m ，确实比沿着侧面爬行短一些。 反思 实际上，这和我们的直觉是一致的。不妨用一个最为极端的圆柱为例加以说明，如果这个圆柱特别矮，以致于接近一个硬币或者接近一个平面上的圆，显然沿着直径走比沿着侧面（圆周）走要近一些。 当然，研究不要局限于此，我们需要进一步思考：什么情况下蚂蚁沿着侧面爬行路程最近（姑且称为线路1），什么情况下蚂蚁先竖直爬到地面上再沿着直径爬行（姑且称为线路 2）路程最近？ 为了研究的方便，不妨设圆柱的高为h ，底面半径为r ，则沿线路1的最短行程是22)(r h π+,沿线路2的行程是h+2r;不难得出： （1）当时，两条线路行程相同；（2）当时，线路1行程短一些；（3）当时，线路2行程短一些。

勾股定理最短距离问题蚂蚁爬行的最短路径好

C. A? R? B D. A? S? B 1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离 3. 正方体盒子的棱长为2, BC的中点为M，—只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为 _________________ . 4. 如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其 5.如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3X3个小正方形.其边长都为1cm,假设一只蚂蚁 每秒爬行2cm,则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用秒钟. 长方体 10. （2009?恩施州）如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5, 一只蚂蚁如果要 沿着长方体的表面从点 问怎样走路线最短？最短路线长为 12. （2011?荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm和 4cm，高为5cm .若一只蚂蚁从P点开始经过4 个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为cm. 13. 如图，一块长方体砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面的高BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到 B处吃食，需要爬行的最短路径是多少？ 14. 如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm. （1）在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？ ⑵此长方体盒子（有盖）能放入木棒的最大长度是多少？ 15?如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂 蚁爬行的最短路径为____________ 米。 S 学习好资料欢迎下载 勾股定理--最短距离问题蚂蚁爬行的最短路径 正方体 1如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是__________ A. A? P? B 是 ____________ A? Q? B 第3题 O A爬到点B，需要爬行的最短距离是 15 16 14 17

(完整)初中数学最短路径问题典型题型复习

初中数学《最短路径问题》典型题型 知识点：“两点之间线段最短” ，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题” ，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” ，近两年出现“三折线” 转“直”等变式问题考查。 一、两点在一条直线异侧 例：已知：如图，A，B在直线L 的两侧，在L上求一点P，使得 PA+PB 最小。 解：连接AB, 线段AB 与直线L 的交点P ，就是所求。（根据：两点之间线段最短.） 二、两点在一条直线同侧 例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B 到它的距离之和最短． 解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+ BC最小．作点A 关于直线“街道”的对称点A ′，然后连接A′B，交“街道”于 点C，则点C 就是所求的点． 三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角∠ MON内部任意一点， 在∠ MON的两边OM，ON 上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长 最小. 解：分别作点 A 关于 OM，ON 的对称点 A ′， A ″；连接 A′， A ″，分别 交 OM，ON 于点 B、点 C，则点 B、点 C 即为所求 分析：当 AB、BC和 AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长 最小 例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能 使从A 到B 的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与 河垂直） 解： 1.将点 B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E， 2.连接 AE 交河对岸与点 M, 则点 M 为建桥的位置， MN 为所建的桥。 证明：由平移的性质，得BN∥EM 且 BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE, B

最短路径问题 专题练习

A B C D A B A B L A B C D 中考数学 路径最短问题 专题训练 一、具体内容包括： 蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题； 线段（之和）最短问题； 二、原理： 两点之间，线段最短；垂线段最短。（构建“对称模型”实现转化） 三、例题： 例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A 沿木块侧面爬到点B 处，则它爬行的最短路径是 。 ②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。 例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。 ②如图，直线L 同侧有两点A 、B ，已知A 、B 到直线L 的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L 上找一个点P ，使PA+PB 的和最小。请在图中找出点P 的位置，并计算PA+PB 的最小值。 四、练习题（巩固提高） （一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。 2、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为 。 3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到B 处吃到食物，圆柱体的高为5 cm ，底面圆的周长为24cm ，则蚂蚁爬行的最短路径为 。 张村 李庄 第2题 A A B A B 第1题 第3题

中考数学蚂蚁爬行的最短路径试题(带解析)

蚂蚁爬行的最短路径 1．一只蚂蚁从原点 0 出发来回爬行，爬行的各段路程依次为： +5，-3，+10，-8 ，-9，+12， -10． 回答下列问题： （1）蚂蚁最后是否回到出发点 0； （2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励 2 粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻． 解：（ 1）否， 0+5-3+10-8-9+12-10=-3 ，故没有回到 0； （2）（ |+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10| ）×2=114 粒 2. 如图，边长为 1 的正方体中，一只蚂蚁从顶点 A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点 B 的 最短距离是 . 3．（2006?茂名）如图，点 A 、B 分别是棱长为 2 的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从 点 A 沿其表面爬到点 B 的最短路程是 cm 解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知， 线段 AB= 22 12 5 ． AB 即为最短路线． B 的最短路程是两个棱长的长，即 2+2=4．

4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面 A 点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短 路线是（） A．A? P? B B ．A? Q? B C ．A? R? B D ．A? S? B 解：根据两点之间线段最短可知选A． 故选A． 5．如图，点 A 的正方体左侧面的中心，点 B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2， 蚂蚁从点A沿其表面爬到点 B 的最短路程是（） 解：如图，AB= 1 2 2 12 10 ．故选C． 6．正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从 A 点爬行到M点的最短距离为（） 解：展开正方体的点M所在的面，

最短路径问题专项练习题

最短路径问题专项练习 共13页，全面复习与联系最短路径问题 一、具体内容包括： 蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题； 线段（之和）最短问题； 二、原理： 两点之间，线段最短；垂线段最短。（构建“对称模型”实现转化） 1．最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． 如图所示，点A ，B 分别是直线l 异侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短，这时点C 是直线l 与AB 的交点． (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于 这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求． 如图所示，点A ，B 分别是直线l 同侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短，这时先作点B 关于直线l 的对称点B ′，则点C 是直线l 与AB ′的交点． 为了证明点C 的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C ′，连接AC ′，BC ′， B ′ C ′，证明AC ＋CB ＜AC ′＋C ′B .如下： 证明：由作图可知，点B 和B ′关于直线l 对称， 所以直线l 是线段BB ′的垂直平分线． 因为点C 与C ′在直线l 上， 所以BC ＝B ′C ，BC ′＝B ′C ′. 在△AB ′C ′中，AB ′＜AC ′＋B ′C ′， 所以AC ＋B ′C ＜AC ′＋B ′C ′， 所以AC ＋BC ＜AC ′＋C ′B . 【例1】 在图中直线l 上找到一点M ，使它到A ，B 两点的距离和最小． 分析：先确定其中一个点关于直线l 的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l 的交点M 即为所求的点． 解：如图所示：(1)作点B 关于直线l 的对称点B ′； (2)连接AB ′交直线l 于点M . (3)则点M 即为所求的点． 点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.