集合及其表示方法
提升训练1.1 集合及其表示方法
一、选择题
1．下列给出的对象中，能表示集合的是（ ）．
A ．一切很大的数
B ．无限接近零的数
C ．聪明的人
D ．方程的实数根
2．已知集合A={x ∈N|-1＜x ＜4}，则集合A 中的元素个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
3．用列举法表示集合{}2|40A x x =-=正确的是（ ）
A. ?2,2
B. {?2}
C. {2}
D. {?2,2}
4．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是( ) A ．9 B ．5 C ．3 D ．1 5．下列说法正确的是（ ）
A ．我校爱好足球的同学组成一个集合
B ．
是不大于3的自然数组成的集合 C ．集合和表示同一集合
D ．数1，0，5，，，，
组成的集合有7个元素
6．集合{x |x ≥2}表示成区间是 A ．（2，+∞） B ．[2，+∞） C ．（–∞，2） D ．（–∞，2]
7．集合A ＝{x ∈Z|y ＝，y ∈Z}的元素个数为( )
A ．4
B ．5
C ．10
D ．12
8．不等式的解集用区间可表示为
A ．（–∞，）
B ．（–∞，]
C ．（，+∞）
D ．[，+∞）
9．下列说法正确的是（ ）
A ．0与{}0的意义相同
B ．高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合
C ．集合(){},|32,A x y x y x N =
+=∈是有限集 D ．方程2210x x ++=的解集只有一个元素
10．方程组
的解集不可以表示为( )
A ．{(x ，y)|
}
B ．{(x ，y)|
} C ．{1,2}
D ．{(1,2)} 11．下列选项中，表示同一集合的是
A ．A={0，1}，B={（0，1）}
B ．A={2，3}，B={3，2}
C ．A={x|–1 D ．A=?， 12．若集合A 具有以下性质： (Ⅰ)0∈A,1∈A ； (Ⅱ)若x ∈A ，y ∈A ，则x －y ∈A ，且x≠0时，∈A. 则称集合A 是“好集”．下列命题正确的个数是( ) (1)集合B ＝{－1,0,1}是“好集”； (2)有理数集Q 是“好集”； (3)设集合A 是“好集”，若x ∈A ，y ∈A ，则x ＋y ∈A. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 二、填空题 13．用区间表示数集{x |2 14．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________． 15．下列所给关系正确的个数是________． ①π∈R ；② Q ；③0∈N ＋；④|－4|N ＋. 16．在数集{}0,1,2x -中，实数x 不能取的值是______. 三、解答题 17．在数轴上表示集合{x |x <－2或x ≥1}，并用区间表示该集合． 18．用适当的方法表示下列集合． （1）小于5的自然数构成的集合； （2）直角坐标系内第三象限的点集； （3）偶数集． 19．已知，用列举法表示集合． 20．已知, ,求实数的值. 21．用区间表示下列数集： （1）；（2）； （3）；（4）R； （5）；（6）. 22．设数集由实数构成，且满足：若（且），则. （1）若，试证明中还有另外两个元素； （2）集合是否为双元素集合，并说明理由； （3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合. 第I卷（选择题） 评卷人得分 一、选择题 已知集合A={a﹣2，2a2+5a，12}，﹣3∈A，则a的值为（） A．﹣1 B．C．D． 2. 集合{x∈N*|x﹣3＜2}的另一种表示法是（） A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5} 3. 集合{x∈N|x＜5}的另一种表示法是（） A．{1，2，3，4} B．{0，1，2，3，4} C．{1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4，5} 4. 下列集合中表示空集的是（） A．{x∈R|x+5=5} B．{x∈R|x+5＞5} C．{x∈R|x2=0} D．{x∈R|x2+x+1=0} 5. 下列各组对象中不能形成集合的是（） A．高一数学课本中较难的题 B．高二（2）班学生家长全体 C．高三年级开设的所有课程 D．高一（12）班个子高于的学生 6.设，集合，则（） A ．1B． C．2D．答案： C 7. 方程组的解集是（） A．（2，1）B．{2，1} C．{（2，1）} D．{﹣1，2} 8.集合{x∈N|x﹣3＜2}，用列举法表示是（） A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5} 9.设不等式3﹣2x＜0的解集为M，下列正确的是（） A．0∈M，2∈M B．0?M，2∈M C．0∈M，2?M D．0?M，2?M 10.已知集合A={1，2，3}，则B={x﹣y|x∈A，y∈A}中的元素个数为（） A．9 B．5 C．3 D．1 11.若1∈{2+x，x2}，则x=（） A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．0 12.已知x∈{1，2，x2}，则有（） A．x=1 B．x=1或x=2 C．x=0或x=2 D．x=0或x=1或x=2 13. 下列四个集合中，是空集的是（） A．{?} B．{0} C．{x|x＞8或x＜4} D．{x∈R|x2+2=0} 14.已知A={x|3﹣3x＞0}，则有（） A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．﹣1?A 15.已知集合A={x|x2﹣1=0}，用列举法表示集合A=（）A．{1} B．{﹣1} C．（﹣1，1） D．{﹣1，1} 16.已知集合A={1，a，a﹣1}，若﹣2∈A，则实数a的值为( ) A．﹣2 B．﹣1 C．﹣1或﹣2 D．﹣2或﹣3 17.下列关系式中，正确的是( ) A．∈Q B．{（a，b）}={（b，a）} C．2∈{1，2} D．?=0 18.已知集合A={x∈N|x＜6}，则下列关系式错误的是( ) A．0∈A B．?A C．﹣1?A D．6∈A 19.设A={x∈Z||x|≤2}，B={y|y=x2+1，x∈A}，则B的元素个数是( ) A．5 B．4 C．3 D．2 20.下面四个命题正确的是（） A．10以内的质数集合是{0，2，3，5，7} B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2} C．方程x2﹣2x+1=0的解集是{1，1} D．0与{0}表示同一个集合 21.下面给出的四类对象中，构成集合的是（） A．某班个子较高的同学B．长寿的人 C．的近似值D．倒数等于它本身的数 下列命题正确的是（） A．很小的实数可以构成集合 B．集合{y|y=x2﹣1}与集合{（x，y）|y=x2﹣1}是同一个集合 C．自然数集N中最小的数是1 D．空集是任何集合的子集 23.下面各组对象中不能形成集合的是（） 1集合的概念和表示方法教材分析 集合概念的基本理论，称为集合论．它是近、现代数学的一个重要基础．一方面，许多重要的数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．在小学和初中数学中，学生已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（直线、圆）等，有了一定的感性认识．这节内容是初中有关内容的深化和延伸．首先通过实例引出集合与集合元素的概念，然后通过实例加深对集合与集合元素的理解，最后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法，描述法，还给出了画图表示集合的例子．本节的重点是集合的基本概念与表示方法，难点是运用集合的两种常用表示方法———列举法与描述法正确表示一些简单的集合． 教学目标 1.初步理解集合的概念，了解有限集、无限集、空集的意义，知道常用数集及其记法． 2.初步了解“属于”关系的意义，理解集合中元素的性质． 3.掌握集合的表示法，通过把文字语言转化为符号语言（集合语言），培养学生的理解、化归、表达和处理问题的能力． 任务分析 这节内容学生已在小学、初中有了一定的了解，这里主要根据实例引出概念．介绍集合的概念采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，学生容易接受．在引出概念时，从实例入手，由具体到抽象，由浅入深，便于学生理解，紧接着再通过实例理解概念．集合的表示方法也是通过实例加以说明，化难为易，便于学生掌握． 教学设计 一、问题情境 1.在初中，我们学过哪些集合？ 2.在初中，我们用集合描述过什么？ 学生讨论得出： 在初中代数里学习数的分类时，学过“正数的集合”，“负数的集合”；在学习一元一次不等式时，说它的所有解为不等式的解集． 在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合． 3.“集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近？ 学生讨论得出： “全体”、“一类”、“一群”、“所有”、“整体”，…… 4.请写出“小于10”的所有自然数． 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．这些可以构成一个集合． 5.什么是集合？ 二、建立模型 1.集合的概念（先具体举例，然后进行描述性定义） （1）某种指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集． （2）集合中的每个对象叫作这个集合的元素． （3）集合中的元素与集合的关系： a是集合A中的元素，称a属于集合A，记作a∈A； a不是集合A中的元素，称a不属于集合A，记作a A． 例：设B＝｛1，2，3｝，则1∈B，4B． 2.集合中的元素具备的性质 （1）确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个对象是否属于这个集合的元素也就确定了．如上例，给出集合B，4不是集合的元素是可以确定的． （2）互异性：集合中的元素是互异的，即集合中的元素是没有重复的． 例：若集合A＝｛a，b｝，则a与b是不同的两个元素． （3）无序性：集合中的元素无顺序． 1.1.2 集合的表示方法 【学习要求】 1.掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法)． 2.通过实例能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 【学法指导】 通过由用自然语言描述数学概念到用集合语言描述数学概念的抽象过程，感知用集合语言思考问题的方法；体会将实际问题数学化的过程. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在花括号“{ }”内表示集合的方法．当集合中的元素 较少 时，用列举法表示方便． 2.描述法：一般地，如果在集合I 中，属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质p(x)，而不属于集合A 的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A 的一个特征性质，于是集合A 可以用它的特征性质p(x)描述 {x ∈I|p(x)} . 3.列举法常用于集合中的元素较少时的集合表示，描述法多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元素个数较多的有限集. 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 上节课我们学习了用大写字母表示常用的几个数集，但是这不能体现出集合中的具体元素是什么，并且还有大量的非常用集合不能用大写字母表示，事实上表示一个集合关键是确定它包含哪些元素，为此我们有必要学习集合的表示方法还有哪些？分别适用于什么情况？ 探究点一 列举法表示集合 问题1：在初中学正数和负数时，是如何表示正数集合和负数集合的？如表示下列数中的正数 4.8，－3，2，－0.5，1 3 ，73，3.1. 答 ：方法一 图示法： 方法二 列举法：???? ??4.8，2，13，73，3.1 问题2： 列举法是如何定义的？怎样的集合适用列举法表示？ 答 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法．当集合中的元素较少时，用列举法表 示方便．例：x 2－3x ＋2＝0的解集可表示为{1,2}． 问题3： 由book 中的字母组成的集合能否表示为：{b ，o ，o ，k}? 答 不能，由集合元素的互异性知，可表示为{b ，o ，k}． 问题4： 有些集合元素的个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可用列举法表示，如何用列举法表示从1到100的所有整数组成的集合及自然数集N. 答 分别表示为{1,2,3，…，100}，{1,2,3,4，…，n ，…}． 问题5： 怎样区分?，{?}，{0}等符号的含义？ 答 ?表示空集；{?}表示只含有一个元素为?的集合；{0}表示只含有0这个元素的一个集合． 例1 用列举法表示下列集合： (1)A ＝{x∈N|0 集合及其表示方法 知识精要 1.集合：我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集。集合中的各个对象叫做集合的元素。 集合、元素以及关系的表示符号： 集合常用大写英文字母A 、B 、C ……来表示，集合中的元素常用小写英文字母a 、b 、c ……来表示。 如果a 是集合A 的元素，记作A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，记作A a ?，读作“a 不属于A ”。 2.集合元素的特性 （1）确定性：元素与集合的从属关系是明确的（即A a ∈与A a ? ，二者必居其一）。 元素的属性是明确的（模棱两可是不可以的）。 （2）互异性：集合中的元素是互不相同的（即一个给定的集合中的任何两个元素都是不同的对象）。 （3）无序性：不考虑集合中元素之间的顺序。 3.集合的分类 （1）有限集：含有有限个元素的集合； （2）无限集：含有无限个元素的集合； 另外，根据集合元素的类型可以把集合分成数集、点集等。 4.空集：空集不含元素。记作? 5.集合的表示方法 （1）列举法：将集合中的元素一一列出（不考虑元素的顺序），注意元素之间用逗号隔开，并且写在大括号内。 例如：不等式0112<-x 的正整数解的集合，可以表示成{1，2，3，4，5}。 又如：方程组???-=-=+1 5y x y x 的解组成的集合可表示为)}3,2{(。 ① a 与{a }不同：a 表示一个元素，{a }表示一个集合，该集合只有一个元素 ② 元素与元素之间用逗号隔开，单元素集合不用逗号。 （2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素一般形式，再画出一条竖线，在竖线后面写出集合中元素所共同具有的特性。其形式是{x|x 满足性质p}。 例如：方程062=--x x 的解的集合，可表示为}06|{2 =--x x x ； 又如：直线x +y =1上的点组成的集合，可以表示为：{1),(=+y x y x } 注：同一个集合，有时既可以用列举法又可以用描述法，那么何时用列举法？何时用描述法？ （1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不适合用描述法表示，只能用列举法。如集合},5,23,{2232y x x y x x +-+。 （2）当集合中元素个数较少时，多用列举法。 （3）当集合中元素个数较多时，都写出来太烦了，可写其中一部分元素，由此提供一定规律可用省略号代表余下的元素。如：从51到100的所有整数组成的集合： 教案背景：在小学和初中，数学课中使用的语言主要是自然语言，教学中经常要 把数学中的符号语言翻译为自然语言让学生理解，但自然语言有一定的歧义性，有 时也不够确切。高中数学中使用集合语言，就能简洁准确地表达数学内容，发展学 生运用数学语言进行交流的能力。 教材分析：集合的初步知识是学生学习，掌握和使用数学语言的基础，是高中数 学学习的出发点。集合语言也是现代数学的基本语言，通过学习，使用集合语言，有 利于学生简洁，准确的表达数学内容。 本章的主要内容是集合的概念，表示方法和集合之间的关系与运算。本节首先通过实例，引入集合与集合元素的概念，然后学习集合的表示方法。 教学方法：学生通过阅读教材，自主学习，在教师的指导下思考，交流，讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标。 教学课题：集合及集合的表示方法。 集合及集合的表示方法 一． 学习目标 1．通过实例，了解集合的概念，会判断元素与集合的关系。 2．了解并记住集合中元素的性质，熟记常用的数集符号。 3．掌握集合的两种表示方法，能够运用集合的两种表示方法表示一些集合。 二． 重点难点： 重点：集合概念的形成，集合的表示方法。 难点：理解集合元素的确定性与互异性，运用集合的特征性质法正确的描述集合。 三．预习检测： 1. 集合的概念是什么？ 2.元素与集合之间的关系有几种？如何判断？ 3.集合中元素的性质有哪些？ 4.常用的数集有哪些？写出各自的记号。 5.集合的两种表示方法是什么？表示集合时需要注意什么问题？ 6.下列各项中，不能组成集合的是（ ） A.所有正三角形 B.《数学必修1》中所有的习题 C.所有数学难题 D.所有无理数 7. 集合A 中只含有元素a ，则下列各式正确的是（ ） A.0A ∈ B.a A ? C.a A ∈ D.a=A 8. 已知集合}31|{≤≤-∈=x N x A ，则集合A 还可以表示为（ ） 第1章 集合 1.1 集合与集合的表示方法 1.1.1 集合的概念 一、概念与能力聚焦 1、集合的概念 集合是数学中最原始的不定义的概念，只能给出，描述性说明：某些指定的且不同的对象集在一起就成为一个集合。组成集合的对象叫元素，集合通常用大写字母A 、B 、C 、…来表示。元素常用小写字母a 、b 、c 、…来表示。 集合是一个确定的整体，因此对集合也可以这样描述：具有某种属性的对象的全体组成的一个集合。 例题1：考察下列每组对象能否组成一个集合？ （1）2010年上海世博会上展出的所有展馆； （2）2010年辽宁高考数学试卷中所有的难题； （3）清华大学2010级的新生； （4）平面直角坐标系中，第一象限内的一些点； （5）2的近似值的全体. 2、元素与集合的关系 元素与集合的关系有属于和不属于两种：元素a 属于集合A ，记作A a ∈；元素a 不属于集合A ，记作A a ?。 例题 2：已知321-= a ，}{Z n m n m x x A ∈+==,,3，则a 与A 之间是什么关系？ 3、集合中元素的特性 （1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一具体对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。例如}{4,3,1,0=A ,可知A A ?∈6,0。 （2）互异性：“集合中的元素必须是互异的”，就是说“对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的”。如方程0)4(2 =-x 的解集记为}{4，而不能记为}{4,4。 （3）无序性：集合与其中元素的排列次序无关，如集合}{c b a ,,与集合}{a b c ,,是同一个集合。 1.1.2集合的表示方法 教学目标：掌握集合的表示方法，能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的问题. 教学重点、难点：用列举法、描述法表示一个集合. 教学过程： 一、复习引入： 1．回忆集合的概念 2．集合中元素有那些性质？ 3．空集、有限集和无限集的概念 二、讲述新课： 集合的表示方法 1、大写的字母表示集合 2、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法. 例如，24所有正约数构成的集合可以表示为{1，2，3，4，6，8，12，24} 注：（1）大括号不能缺失. (2)有些集合种元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可如下表示：从1到100的所有整数组成的集合：{1，2，3， (100) 自然数集N ：{1，2，3，4，…,n ,…} （3）区分a 与{a }：{a }表示一个集合，该集合只有一个元素.a 表示这个集合的一个元素. （4）用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次. 3、特征性质描述法： 在集合I 中，属于集合A 的任意元素x 都具有性质p(x)，而不属于集合A 的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A 的一个特征性质，于是集合A 可以表示如下： {x ∈I | p (x ) } 例如，不等式232>-x x 的解集可以表示为：}23|{2>-∈x x R x 或}23|{2 >-x x x ， 所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x 注：（1）在不致混淆的情况下，也可以写成：{直角三角形}；{大于104的实数} （2）注意区别：实数集，{实数集}. 4、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合. 例1：集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？ 答：不是. 集合}1|),{(2+=x y y x 是点集，集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是数集。 第一章 集 合 1．1 集合与集合的表示方法 一、选择题 1．下列各组对象 ①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数全体； ③平面上到点O 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体； ⑤2的近似值的全体． 其中能构成集合的组数有( ) A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．5组 2．设集合M ＝{大于0小于1的有理数}， N ＝{小于1050的正整数}， P ＝{定圆C 的内接三角形}， Q ＝{所有能被7整除的数}， 其中无限集是( ) A ．M 、N 、P B ．M 、P 、Q C ．N 、P 、Q D ．M 、N 、Q 3．下列命题中正确的是( ) A ．{x ｜x 2＋2＝0}在实数范围内无意义 B ．{(1，2)}与{(2，1)}表示同一个集合 C ．{4，5}与{5，4}表示相同的集合 D ．{4，5}与{5，4}表示不同的集合 4．直角坐标平面内，集合M ＝{(x ，y )｜xy ≥0，x ∈R ，y ∈R }的元素所对应的点是( ) A ．第一象限内的点 B ．第三象限内的点 C ．第一或第三象限内的点 D ．非第二、第四象限内的点 5．已知M ＝{m ｜m ＝2k ，k ∈Z }，X ＝{x ｜x ＝2k ＋1，k ∈Z }，Y ＝{y ｜y ＝4k ＋1，k ∈Z }，则( ) A ．x ＋y ∈M B ．x ＋y ∈X C ．x ＋y ∈Y D ．x ＋y ?M 6．下列各选项中的M 与P 表示同一个集合的是( ) A ．M ＝{x ∈R ｜x 2＋0.01＝0}，P ＝{x ｜x 2＝0} B ．M ＝{(x ，y )｜y ＝x 2＋1，x ∈R }，P ＝{(x ，y )｜x ＝y 2＋1，x ∈R } C ．M ＝{y ｜y ＝t 2＋1，t ∈R }，P ＝{t ｜t ＝(y －1)2＋1，y ∈R } D ．M ＝{x ｜x ＝2k ，k ∈Z }，P ＝{x ｜x ＝4k ＋2，k ∈Z } 二、填空题 7．由实数x ，－x ，｜x ｜所组成的集合，其元素最多有______个． 8．集合{3，x ，x 2－2x }中，x 应满足的条件是______． 9．对于集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是______． 10．用符号∈或?填空： ①1______N ，0______N ．－3______Q ，0.5______Z ，2______R ． ②2 1______R ，5______Q ，｜－3|______N ＋，｜－3｜______Z ． 11．若方程x 2＋mx ＋n ＝0(m ，n ∈R )的解集为{－2，－1}，则m ＝______，n ＝______． 高中数学新授课导学案 时间周次 1.1集合与集合的表示方法 学习目标 重点：集合概念的形成及集合的表示方法 难点：理解集合的元素的确定性和互异性，理解集合的特征性质描述法 学习过程 一、课前准备 预习本节内容 二、新课导学： 探究1：（1）小于10的自然数0,1,2,……,9 （2）满足3 -x > x的全体实数 3+ 2 （3）我们这里的全体同学 思考：（1）以上各例有何特点？ （2）能否给出集合的一个大体描述？ （3）各例中集合的对象各是什么？ （一）集合的概念 1、集合与元素的定义： 集合： 元素： 2.集合与元素的字母表示 集合：元素： 探究2：上例（2）中数4和-2是这个集合的元素吗？ 3.集合与元素的关系： （二）集合中元素的基本特性 （1）（2）（3） 思考：（1）你能否确定，你所在班级中，高个子同学构成的集合？并说明理由. （2）你能否确定，你所在班级中，最高的3位同学构成的集合？ 练习：下列语句是否能确定一个集合？ (1)你所在的班级中，体重超过75kg的学生的全体； (2)某校高一（1）班性格开朗的女生全体； (3)质数的全体；(4)平方后值等于-1的实数的全体； (5)与1接近的实数的全体 空集：. （三）集合的分类 ? 集合 ? ? （四）常用数集及其记号 实数集；有理数集；自然数集；正整数集；整数集； 空集 . 练习：用符号∈或?填空： （1）-3 N ； （2）3.14 Q ； （3）31 Z ； （4）0 φ；（5； （6）21 - R ； （7）1 +N ；（8）π R （五）集合的表示方法：列举法，特征性质描述法，维恩图法（图示法）. 1.列举法：把集合中的元素 出来，写在 内的表示方法，叫列举法。集合中各元素间用 隔开. 例如：（1）}{100,......,3,2,1； （2）}{6,4,2；（3）自然数集N=}{,......,......,3,2,1n 2.特征性质描述法：用集合中元素的 来表示集合的方法，叫特征性质描述法.一般形式： ；表示集合是由集合 中具有性质 的所有元素构成的，其中竖线左边的x 表示这个集合中的 ，称为集合的 ；竖线右边的p （x ）表示这个集合中元素的 ，称为 . 例如：（1）“能被2整除，且大于0”写成集合的形式：}{02整除，且大于能被x R x ∈ 或{}+∈=∈N n n x R x ,2 (2)“大于0小于5的整数的全体”写成集合的形式：}{5 0<<∈x Z x 注意：（1）I=R 时，“R ∈”可省略不写；例如：}{0 12=-x x (2)看清集合中的代表元素 例如：A=}{2x y x =； B=}{2x y y =； C={()}2,x y y x = （3）弄清特征性质所表达的含义. 3.维恩图法（图示法）：用平面内一个 的内部表示一个集合的方法叫维恩图法；一般用 于元素不多的有限集. 练习：用维恩图表示R Q Z N N ,,,,+之间的关系 典型例题 例1. 用列举法表示下列集合 （1）}{50≤<∈=x N x A （2）}{ 0652=+-=x x x B 变式：用列举法表示下列集合 （1）平方等于16的实数的全体； （2）比2大3的实数的全体； 集合的概念与集合的表示方法习题 1.下列集合中，不同于另外三个的是（ ） .A }1|{=x x .B }0)1(|{2=-y y .C }1{=x .D }1{ 5. 下面命题： ① {2，3，4，2}是由四个元素组成的；②集合{0}表示仅一个数“零”组成的集合； ③集合{1，2，4}与{4，1，2}是同一集合；④集合{小于1的正有理数}是一个有限集。 其中正确的是（ ） .A ③④ .B ②③ .C ①② .D ② 6.集合{=A 面积为1的矩形}，{=B 面积为1的正三角形}，则正确的是（ ） A.B A ,都是无限集 B.B A ,都是有限集 C.A 是有限集B 是无限集 D.B 是有限集A 是无限集 7.用列举法表示集合：(){}=∈∈=-+N y N x y x y x ,,052|, ； 8.用描述法写出直角坐标系中，不在坐标轴上的点的坐标组成的集合 ； 9.设y x ,都是非零的实数， 则xy xy y y x x ++的值组成的集合的元素个数为 ； 10. 集合{} x x x -2,,1中的元素x 所应满足的条件是 ； 11.若集合}01|{2=++x ax x 有且只有一个元素，则实数a 的取值集合是 ； 12.设直线32+=x y 上的点集为P ，则 ，点（2，7）与P 的关系为（2，7） P 。 13. 已知},2|{N x k x x P ∈<<=，若集合P 中恰有3个元素，求 14. 已知 ， ， ，求 15. 已知集合A={x|x=a+b 2，a ，b ∈R}，判断下列元素x 与集合A 之间的关系： （1）x=0；（2）x=121 -；（3）x=231 +。 -----------------------------------------------综合提高------------------------------------------------------- 16. 设下面8个关系式{}00,,2.0,3∈∈?∈+N Q Q R ，{}φφφφ==?∈0,0,0,0其中正确的个数是（ ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 17. 集合M={(x ，y)|xy ≥0，x ∈R ，y ∈R}的意义是（ ） A ． 第一象限的点 B 第三象限的点 C ． 第一和第三象限的点 D ． 不在第二象限也不在第四象限的点 18.下列各式中错误．． 的是（ ） A ．.-3{}Z k k x R x ∈-=∈∈,12| B ．{}{}4,3,2,1,05|=<∈x N x C ．(){}(){}2,1,,2,1|,-=∈-==+R y x xy y x y x D ．Q ∈-23 19.}.,2|{Q b a b a x x M ∈+==,下列不属于M 的是（ ） A .π21+ B .2611+ C .1 D .221 + 20.方程组???=-+=+-04201y x y x 的解集可表示为①)2,1(②(){}2,1 ③ {}2,1|,==y x y x ④ ???==2 1y x ⑤ (){}2,1|,==y x y x 以上正确的个数是（ ） .A 5 个 .B 4个 .C 3个 .D 2个 21.已知下列四个条件： ①数轴上到原点距离大于3的点的全体 ②大于10且小于100的全体素数 ③与3非常接近的实数的全体 ④实数中不是无理数的所有数的全体 其中能够组成集合的是 ； 集合 一．集合的概念： 集合没有确切定义，是一个基本概念。对其描述：某些具有共同属性的对象集在一起就成为一个集合。符号表示为{}，表示的意思为全体。这些对象我们称之为元素。 集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。如a、b、c、p、q…… 例如A={1,3,a,c,a+b} 注意：（1）集合是数学中原始的、不定义的概念，只作描述. （2）集合是一个“整体. （3）构成集合的对象必须是“确定的”且“不同”的 例如：指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。 （1）我国的直辖市；（2）五中高一（1）班全体学生；（3）较大的数 （4）young 中的字母；（5）大于100的数；（6）小于0的正数。 【典例分析】： 1.下列各组对象中，不能组成集合的是（） A 所有的正六边形B《数学》必修1中的所有习题 C 所有的数学容易题 D 所有的有理数 2.由下列对象组成的集体属于集合的是（） （1）不超过π的正整数； （2）高一数学课本中所有的难题； （3）中国的大城市 （4）平方后等于自身的数； （5）某校高一（2）班中考成绩在500分以上的学生. A.（1）（2）（3） B.（3）（4）（5） C.（1）（4）（5） D. （1）（2）（4） 二．元素的特性 a、确定性（有一个确定的衡量标准） b、互异性（集合里的元素都不一样） c、无序性（没有顺序） （确定性） 例题1：下列各组对象能否构成一个集合 （1）著名的数学家 （2）某校2006年在校的所有高个子同学 （3）不超过10的非负数 （4）方程240 x-=在实数范围内的解 （5）2的近似值的全体 例题2：下列各对象不能够成集合的是（） A 某校大于50岁的教师 B 某校30岁的教师 1、1、2集合的表示法 第一部分 走进预习 【预习】教材第5-7页 回答下列问题： 1、什么是列举法？举例说明如何用列举法表示集合？ 2、什么是描述法？举例说明如何用描述法表示集合？ 第二部分 走进课堂 【复习检测】 一、集合、元素的概念；集合如何按元素个数分类？ 二、集合、元素的记法 三、元素与集合的关系 四、集合的性质。 问题：1、在初中我们曾用 表示*N , 但是象抛物线2x y =上的点的集合、 实数集等又怎样表示呢？ 2、在初中人们常说不等式013<+-x 的解集为3 1> x ，但在高中这样的说法就是不恰当的，究竟应该这样表示这些集合呢？ 【探索新知】集合的表示法 列举法 1、从字面上看“列举法”的含义。 2、从教材中获取列举法的定义。 例1、用列举法表示下列集合 （1）方程0232=+-x x 解的集合。 （2）24与18的公约数的集合。 （3）大于5且小于30的质数的集合。 （4）二元一次方程102=+y x 的正整数解的集合。 又如：下列集合也可以用列举法表示 （1）自然数集 （2）正整数的倒数集合 （3）小于50的且被3除余1的正整数的集合。 问题1、下列集合可以用列举法表示吗？ （1）直角三角形的集合。 （2）不等式23 21->-+x x 的解集。 （3）某农场的拖拉机的集合。 描述法 1、从字面上看“描述法”的含义。 2、从教材中获取描述法的定义。 3、用描述法表示集合的具体操作方法。 例2、用描述法表示下列集合 （1）直角三角形的集合。 （2）不等式 23 21->-+x x 的解集。 1 集合的概念和表示方法 教材分析 集合概念的基本理论，称为集合论．它是近、现代数学的一个重要基础．一方面，许多重要的数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．在小学和初中数学中，学生已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（直线、圆）等，有了一定的感性认识．这节内容是初中有关内容的深化和延伸．首先通过实例引出集合与集合元素的概念，然后通过实例加深对集合与集合元素的理解，最后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法，描述法，还给出了画图表示集合的例子．本节的重点是集合的基本概念与表示方法，难点是运用集合的两种常用表示方法———列举法与描述法正确表示一些简单的集合． 教学目标 1. 初步理解集合的概念，了解有限集、无限集、空集的意义，知道常用数集及其记法． 2. 初步了解“属于”关系的意义，理解集合中元素的性质． 3. 掌握集合的表示法，通过把文字语言转化为符号语言（集合语言），培养学生的理解、化归、表达和处理问题的能力． 任务分析 这节内容学生已在小学、初中有了一定的了解，这里主要根据实例引出概念．介绍集合的概念采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，学生容易接受．在引出概念时，从实例入手，由具体到抽象，由浅入深，便于学生理解，紧接着再通过实例理解概念．集合的表示方法也是通过实例加以说明，化难为易，便于学生掌握． 教学设计 一、问题情境 1. 在初中，我们学过哪些集合？ 2. 在初中，我们用集合描述过什么？ 学生讨论得出： 在初中代数里学习数的分类时，学过“正数的集合”，“负数的集合”；在学习一元一次不等式时，说它的所有解为不等式的解集． 在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合． 3. “集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近？ 学生讨论得出： “全体”、“一类”、“一群”、“所有”、“整体”，…… 4. 请写出“小于10”的所有自然数． 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．这些可以构成一个集合． 5. 什么是集合？ 二、建立模型 1. 集合的概念（先具体举例，然后进行描述性定义） （1）某种指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集． （2）集合中的每个对象叫作这个集合的元素． （3）集合中的元素与集合的关系： a是集合A中的元素，称a属于集合A，记作a∈A； a不是集合A中的元素，称a不属于集合A，记作a A． 例：设B＝｛1，2，3｝，则1∈B，4B． 2. 集合中的元素具备的性质 （1）确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个对象是否属于这个集合的元素也就确定了．如上例，给出集合B，4不是集合的元素是可以确定的． （2）互异性：集合中的元素是互异的，即集合中的元素是没有重复的． 例：若集合A＝｛a，b｝，则a与b是不同的两个元素． （3）无序性：集合中的元素无顺序． 高中数学-集合与集合的表示方法练习题 1．1.1 集合的概念 1．下列对象能构成集合的是( ) ①NBA 联盟中所有优秀的篮球运动员 ②所有的钝角三角形 ③2007年诺贝尔经济学奖得主 ④大于等于0的整数 ⑤北京大学的所有聪明学生 A ．①②④ B ．②⑤ C ．③④⑤ D ．②③④ 2．由下列对象组成的全体构成有限集合的个数是( ) ①不超过π的正整数 ②高一数学课本中的难题 ③中国的大城市 ④平方后等于自身的数 ⑤高一(2)班中考成绩在500分以上的学生 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．以下三个关系式中正确的个数是( ) 2∈R ；0.3∈Q ；0∈N . A ．1 B ．3 C ．2 D ．0 4．用符号“∈”或“?”填空： 0__N,0__?，－12 __Z ，π__Q ，sin30°__Q ，cos30°__Q ，－2__N * 5．方程(x －1)2(x ＋2)(x －3)＝0的解集中含有__________个元素． 1．下列各组对象中不能构成集合的是( ) A ．正三角形的全体 B ．所有的无理数 C ．不等式2x ＋3>1的解 D ．个子较高的人 2．下列四个命题，其中正确命题的个数是…( ) ①集合N 中最小的元素是1 ②若a ?Z ＋，则a∈Z － ③若a∈N ，b∈N ，则a ＋b 的最小值是1 ④x 2＋4＝4x 的解集是由2、2组成的集合 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．由实数x ，－x ，|x|，x 2，－3x 3所组成的集合中，最多含有的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．以方程x 2－5x ＋6＝0和方程x 2－3x ＋2＝0的解为元素的集合中，共有元素个数为 __________． 第1章集合 1.1集合与集合的表示方法 1.1.1集合的概念 一、概念与能力聚焦 1、集合的概念 集合是数学中最原始的不定义的概念，只能给出，描述性说明：某些指定的且不同的 对象集在一起就成为一个集合。组成集合的对象叫元素，集合通常用大写字母A、B、C、??来表示。元素常用小写字母a、b、c、??来表示。 集合是一个确定的整体，因此对集合也可以这样描述：具有某种属性的对象的全体组成的 一个集合。 例题1:考察下列每组对象能否组成一个集合？ (1)2010年上海世博会上展出的所有展馆； (2)2010年辽宁高考数学试卷中所有的难题； (3)清华大学2010级的新生； (4)平面直角坐标系中，第一象限内的一些点； (5) 2 的近似值的全体. 2、元素与集合的关系 元素与集合的关系有属于和不属于两种：元素a属于集合A，记作a A ；元素a不属于集合A，记作a A。 例题2：已知a —^尸,A xx m J3n, m,n Z，则a与A之间是什么关系? 2 V3 3、集合中元素的特性 (1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一具体对象，则x或者是A的元素，或者 不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。例如A 0,1,3,4 ,可知0 A,6 A。 (2)互异性：“集合中的元素必须是互异的”，就是说“对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的”。如方程(X 4)20的解集记为4，而不能记为4,4。 (3)无序性：集合与其中元素的排列次序无关，如集合a,b,c与集合c,b,a是同一个集合。 例题3：已知集合A中含有两个元素a 3和2a 1，若3 A，试求实数a的值。 4、集合的分类 集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类： 有限集：含有有限个元素的集合。如“方程3x 1 0的解组成的集合”，由“ 2,4,6,8 组成的集合”，它们的元素个数是可数的，因此这两个集合是有限集。 无限集：含有无限个元素的集合，如“到平面上两个定点的距离相等的所有点”“所有的三角形”，组成上述集合的元素是不可数的，因此它们是无限集。 特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作，如x Rx2 1 0。 例题4:下列各组对象能否构成集合，若能构成集合，则指出它们是有限集、无限集。还是空集。 （1 ）中国的所有人口组成的集合； （2）广东省2011年应届高中毕业生； （3）数轴上到原点的距离小于1的点； （4）方程X20的解构成的集合； （5）你们班上成绩较好的同学； （6）小于1的正整数构成的集合。 5、特定的集合的表示 为了书写方便，我们规定常见的数集用特定的的字母表示，下面是几种常见的数集表 示方法，请牢记。 （1）全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N ? （2）非负整数集内排除0的集合，也称正整数集，记作N*或N ? （3）全体整数的集合通常简称为整数集Z. （4）全体有理数的集合通常简称为有理数集，记作Q . （5）全体实数的集合通常简称为实数集，记作R. 例题5 :给出下列关系：（1）1属于R ；（2）?.2 Q （3） 3 N ；（4） 3 Q ；（5）0 ，其中正确的个数为（） A1 B.2 C.3 D.4 1.1集合与集合的表示方法 ( )1若集合}c b,,a {M =中元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等要三角形 ( )2设{a}A =，则下列关系中正确的是 A A 0∈ B A a ? C A a ∈ D A a = ( )3下列表示方法正确的是 A ?∈0 B {0}∈? C {0}?? D {0}0∈ ( )4设P 、Q 为两个非空实数集合，定义Q}b P,a |b {a Q P ∈∈+=+，若}5,2,0{P =，}6,2,1{Q =，则P+Q 中元素的个数是 A 9 B 8 C 7 D 6 5已知}x ,2,1{x 2∈，则x 取值为 6已知集合}N a -56 |Z a {A +∈∈=，则用列举法表示A= 7设a ，b ，c 为非零实数，abc abc c c b b a a x +++=，则所有x 的值组成的集合中元素的个 数为 8方程ax+b=0的解集为A .若A 为空集,则a,b 满足条件为 ;若A 为有限集，则a ，b 满足条件为 ;若A 为无限集,则a,b 满足条件为 9设集合}3n |Z n {A ≤∈=，若集合},1|{2A x x y y B ∈-==，集合 },1|),{(2A x x y y x C ∈-==，试用列举法分别写出集合A= B= C= 10定义集合运算:A ⊙B },),(|{B y A x y x xy z z ∈∈+==.设集合}3,2{},1,0{==B A .用列举法表示集合A ⊙B = 11若R b a ∈,.集合},, 0{},,1{b a b a b a =+,求20112010b a +的值. 12已知集合},012|{2R x x ax x A ∈=--=.若集合A 中至多有一个元素,求a 的取之范围. 13设实数集S 是满足下面两个条件组成的集合:①S ?1②若,S a ∈则 S a ∈-11 (1)求证:若S a ∈,则S a ∈-1 1 (2)若S ∈2,则在S 中必有其他两个数,试求出这两个数 (3)S 是否能是单元素集?若能,把它求出来;若不能,说明理由. 1.1.2 集合的表示方法 自主学习 学习目标 1．掌握集合的表示方法，能在具体问题中选择适当的方法表示集合． 2．通过实例和阅读自学体会用列举法和描述法表示集合的方法和特点，培养自主探究意识和自学能力． 自学导引 1．列举法 把集合的元素________________出来，并用____________括起来表示集合的方法．2．描述法 一般地，如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个________________．于是，集合A可以用它的特征性质p(x)描述为____________，它表示集合A是由集合I中具有性质p(x)的所有元素构成的． 对点讲练 知识点一 用列举法表示集合 例1 用列举法表示下列集合： (1)已知集合M ＝???? ??x ∈N |61＋x ∈Z ，求M ； (2)方程组??? x ＋y ＝2，x －y ＝0的解集； (3)由|a |a ＋b |b | (a ，b ∈R )所确定的实数集合． 规律方法 (1)列举法表示集合，元素不重复、不计次序、不遗漏，且元素与元素之间用“，”隔开．(2)列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且一目了然． 变式迁移1 用列举法表示下列集合： (1)A ＝{x ||x |≤2，x ∈Z }； (2)B ＝{x |(x －1)2(x －2)＝0}； (3)M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝4，x ∈N *，y ∈N *}； (4)已知集合C ＝???? ??61＋x ∈Z |x ∈N ，求C . 知识点二 用描述法表示集合 例2 用描述法表示下列集合： (1)所有正偶数组成的集合； (2)方程x 2＋2＝0的解的集合； (3)不等式4x －6<5的解集； (4)函数y ＝2x ＋3的图象上的点集． 规律方法 用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么同时要注意代表元素所具有的性质． 变式迁移2 用描述法表示下列集合： (1)函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象上所有点的集合；集合的表示方法测试题
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