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生灭过程

生灭过程是用来处理输入为最简单流（即泊松分布），服务时间为负指数分布这样一类最简单排队模型的方法。

n λ——系统处于瞬时状态N(t)时单位时间内顾客的平均到达率 n μ——系统处于瞬时状态N(t)时单位时间内顾客的平均离去率

… …

表一生灭过程的状态平衡方程

由表一知 0

1P P μλ=

201121001121212P P )P -P (1P P μμλλμλλμμμλ==+=

11n n 0

21-n 1-n n 1-n 2-n 2-n 1-n 1-n n 1-n n 1-n n P P )P -P (1P P μμμλλλμλλμμμλ??==+=--n ……

如果令 1C ,21(n C 01

1n n 0

21-n n =?=??=

--），，μμμλλλn

则以上各式可以通写为：

0n n P C P = （n=1,2，…）因为

C P 0

n 0

n n

==∑∑∞

=∞=

所以有 ∑∞

n n

因此，求得0P 后可以推出n P ，再根据公式（1）~（6）求出排队系统的各项指标，即q s q s W W L L 、、、.

随机过程poisson过程中科大

Poisson 过程 1.考虑电子管中的电子发射问题.设单位时间内到达阳极的电子数目N 服从参数为λ的Poisson 分布,而每个电子携带的能量各自不相关且与N 独立,并均服从于区间[1,2]上的均匀分布.记单位时间内阳极接收的能量为S .求S 的期望和方差. 2.设{X (t ),t ≥0}为一个独立增量过程,且X (0)=0,分别记V (t ),R (t,s )为{X (t ),t ≥0}的方差函数和协方差函数,证明:R (t,s )=V (min {t,s }). 3.设N (t )是一强度为λ的Poisson 过程,s,t >0,试求: (a)P(N (s )=k |N (s +t )=n )=?k =1,...,n ; (b)E[N (s )N (s +t )]=? (c)Cov(N (s ),N (s +t ))=? (d)E[N (s +t )|N (s )]的期望和分布; (e)E[W k |N (t )=n ]=?E[W k ]=?(W k 为第k 个事件发生的时刻) 4.某路口蓝车,白车和黄车的到达分别为强度λ1,λ2和λ3的Poisson 过程,且相互独立.试求:(a)第一辆蓝车到达的平均时间和第一辆车到达的平均时间; (b)蓝车首先到达的概率; (c)蓝车先于黄车但落后于白车的概率; (d)在相继到达的两辆蓝车之间,恰有k 辆车到达的概率以及数学期望; (e)在t 0处观察到一辆黄车,在接下来恰有k 辆蓝车连续到达的概率以及数学期望. 5.设要做的试验的次数服从参数为λ的Poisson 分布,试验有n 个可能的结果,每次试验出现第j 个结果的概率为p j ,∑n j =1p j =1.若各次试验相互独立,并以X j 记第j 个结果发生的次数,试求E[X j ]、Var[X j ],j =1,...,n .又问X j 服从什么分布？且X 1,...,X n 是否相互独立？为什么？ 6.某人甲负责订阅杂志.设前来订阅杂志的人数服从强度为6的Poisson 过程,每人分别以概率1/2,1/3,1/6订阅1季,2季,3季杂志,且各人的选择相互独立.现以N i (t )表示(0,t ]时段内订阅i 季杂志的人数,i =1,2,3. 1

泊松分布的概念及表和查表方法

泊松分布的概念及表和查表方法 Poisson分布，是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德目录 1命名原因 2分布特点 3关系 4应用场景 5应用示例 6推导 7形式与性质

命名原因泊松分布实例泊松分布（Poisson distribution），台译卜瓦松分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete probability distribution）。泊松分布是以18～19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。分布特点泊松分布的概率函数为：泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。泊松分布的期望和方差均为特征函数为关系泊松分布与二项分布泊松分布当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。通常当n≧20,p≦0.05时，就可以用泊松公式近似得计算。事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的，具体推导过程参见本词条相关部分。应用场景

在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位（在早期学界认为人类行为是服从泊松分布，2005年在nature上发表的文章揭示了人类行为具有高度非均匀性）。应用示例泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。观察事物平均发生m次的条件下，实际发生x次的概率P（x）可用下式表示：例如采用0.05J/㎡紫外线照射大肠杆菌时，每个基因组（～4×106核苷酸对）平均产生3个嘧啶二体。实际上每个基因组二体的分布是服从泊松分布的，将取如下形式： …… 是未产生二体的菌的存在概率，实际上其值的5%与采用0.05J/㎡照射时的大肠杆菌uvrA-株，recA-株（除去既不能修复又不能重组修复的二重突变）的生存率是一致的。由于该菌株每个基因组有一个二体就是致死量，因此就意味着全部死亡的概率。推导泊松分布是最重要的离散分布之一，它多出现在当X表示在一定的时间或空间内出现的事件个数这种场合。在一定时间内某交通路口所发生的事故个数，是一个典型的例子。泊松分布的产生机制可以通过如下例子来解释。

(完整版)布朗运动以及维纳过程学习难点总结

1、引言布朗运动的数学模型就是维纳过程。布朗运动就是指悬浮粒子受到碰撞一直在做着不规则的运动。我们现在用)(t W 来表示运动中一个微小粒子从时刻0=t 到时刻0>t 的位移的横坐标，并令0)0(=W 。根据Einstein 的理论，我们可以知道微粒之所以做这种运动，是因为在每一瞬间，粒子都会受到其他粒子对它的冲撞，而每次冲撞时粒子所受到的瞬时冲力的大小和方向都不同，又粒子的冲撞是永不停息的，所以粒子一直在做着无规则的运动。故粒子在时间段],(t s 上的位移，我们可把它看成是多个小位移的总和。我们根据中心极限定理，假设位移)()(s W t W -服从正态分布，那么在不相重叠的时间段内，粒子碰撞时受到的冲力的方向和大小都可认为是互不影响的，这就说明位移)(t W 具有独立的增量。此时微粒在某一个时段上位移的概率分布，我们便能认为其仅仅与这一时间段的区间长度有关，而与初始时刻没有关系，也就是说)(t W 具有平稳增量。 2.维纳过程 2.1独立增量过程维纳过程是典型的随机过程，属于所谓的独立增量过程，在随机过程的理论和应用中起着很重要的作用。现在我们就来介绍独立增量过程。定义：}0),({≥t t X 是二阶矩过程，那么我们就称t s s X t X <≤-0),()(为随机过程在区间],(t s 上的增量。若对任意的n )(+∈N n 和任意的n t t t <<<≤Λ100，n 个增量 )()(,),()(),()(11201----n n t X t X t X t X t X t X Λ 是相互独立的，那么我们就称}0),({≥t t X 为独立增量过程。我们可以证明出在0)0(=X 的条件下，独立增量过程的有限维分布函数族可由增量)0(),()(t s s X t X <≤-的分布所确定。如果对R h ∈和)()(,0h s X h t X h t h s +-++<+≤与)()(s X t X -的分布是相同的，我们就称增量具有平稳性。那么这个时候，增量)()(s X t X -的分布函数只与时间差)0(t s s t <≤-有关，而与t 和s 无关(令s h -=便可得出)。值得注意的是，我们称独立增量过程是齐次的，此时的增量具有平稳性。

泊松过程与泊松分布的基本知识

泊松过程与泊松分布的基本知识泊松过程是随机过程的一个经典模型，是一种累积随机事件的发生次数的独立增量过程。也就是说，每次事件的发生是相互独立的。那么泊松分布和泊松过程又什么关系呢？可以说泊松分布是描述稀有事件的统计规律，即可以描述一段时间内发生某个次数的概率。而泊松过程呢，就适合刻画“稀有事件流”的概率特性。比较：泊松分布泊松过程的主要公式：其实没多少不一样对不对？不一样的是泊松过程是一个可以查看在时间t内发生次数的概率，这个t是可变的。泊松分布则是给定了时间。泊松过程的关键在于，它的到达间隔序列Tn，即每两次发生的时间是服从的独立同指数分布的。如果每次发生的间隔时间不服从指数分布，那么这个随机过程就会更一般化，我们成为是更新过程，这也是随机过程的推广。泊松过程分为齐次泊松过程和非齐次泊松过程，齐次的意思很简单，就是说过程并不依赖于初始时刻，强度函数是一个常数，从上面的公式也看得出来。而非齐次则是变成了,这意味着什么呢？这以为着随着与时间的改变，强度是会改变的，改变服从强度函数，说了这

么久，强度究竟是个什么概念？强度的意思就是泊松过程的该事件发生的频率，或者说快慢，泊松分布中我们知道期望就是,实际含义就是，在一段时间内，发生的次数平均水平是次。复合泊松过程：泊松过程我们已经知道，用描述一段时间累积发生的次数，但是如果每次发生带来的后果都是不一样的，我们怎么描述这个过程呢？比如，火车站到达的乘客是服从泊松过程的，但是每个乘客携带有不同重量的行李，我们如何刻画在[0,t]时间内行李总重量呢，这个过程就是复合泊松过程。复合泊松过程的均值函数和方差函数一般可以用全期望和全方差公式进行计算，因为简单泊松过程的期望很容易求。更新过程：上文已经说到，更新过程作为泊松过程的推广，更具有一般性，那么在讨论更新过程时，我们更多地讨来更新函数，更新函数是更新过程的均值函数m(t)=E[N(t)]，怎么理解呢，就是说需要用t时刻的累积计数的期望特性来表达更新过程。有一条定理：这个定理是可以证明的，Fn（t）是分布函数，就是说：在t时刻，更新函数值就是在这个时刻，n取遍所有值的分布之和。那么是否可以这样理解，更新过程和泊松过程的区别就是更新间隔序列不同，那么如果已知了更新间隔序列的概率密度函数，就可以求解该过程的更新函数了，详细的推导就不写了。扔结论出来：对间隔序列概率密度函数做拉氏变换得到Lf(s),然后求 Lm(s)=Lf(s)/s(1-Lf(s)),再对Lm(s)进行逆变换，就得到了m(t),这就是更新函数。

数学分布(泊松分布、二项分布、正态分布、均匀分布、指数分布) 生存分析贝叶斯概率公式全概率公式讲解

数学期望：随机变量最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。它是简单算术平均的一种推广。例如某城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个，则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为X，它可取值0，1，2，3，其中取0的概率为0.01，取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03，它的数学期望为0×0.01＋1×0.9＋2×0.06＋3×0.03等于1.11，即此城市一个家庭平均有小孩1.11个，用数学式子表示为：E(X)=1.11。也就是说，我们用数学的方法分析了这个概率性的问题，对于每一个家庭，最有可能它家的孩子为1.11个。可以简单的理解为求一个概率性事件的平均状况。各种数学分布的方差是： 1、一个完全符合分布的样本 2、这个样本的方差概率密度的概念是：某种事物发生的概率占总概率(1)的比例,越大就说明密度越大。比如某地某次考试的成绩近似服从均值为80的正态分布，即平均分是80分，由正态分布的图形知x=80时的函数值最大，即随机变量在80附近取值最密集，也即考试成绩在80分左右的人最多。下图为概率密度函数图(F(x)应为f(x)，表示概率密度)：

离散型分布：二项分布、泊松分布连续型分布：指数分布、正态分布、X 2分布、t 分布、F 分布抽样分布只与自由度，即样本含量（抽样样本含量）有关二项分布（binomial distribution ）：例子抛硬币 1、重复试验（n 个相同试验，每次试验两种结果，每种结果概率恒定————伯努利试验） 2、抽样分布

北邮通信网实验2报告

信息与通信工程学院通信网性能分析基础实验报告专业信息工程班级姓名学号

实验二：M/M/1排队系统一、实验目的 M/M/1是最简单的排队系统，其假设到达过程是一个参数为λ的Poisson 过程，服务时间是参数为μ的负指数分布，只有一个服务窗口，等待的位置有无穷多个，排队的方式是FIFO 。 M/M/1排队系统的稳态分布、平均队列长度，待时间的分布以及平均等待时间，可通过泊松过程、负指数分布、生灭过程以及Little 公式等进行理论上的分析与求解。本次实验要求实现M/M/1单窗口无限排队系统的系统仿真，利用事件调度法实现离散事件系统仿真，并统计平均队列长度以及平均等待时间等值，以与理论分析结果进行对比。二、实验原理根据排队论的知识我们知道，排队系统的分类是根据该系统中的顾客到达模式、服务模式、服务员数量以及服务规则等因素决定的。 1、顾客到达模式设到达过程是一个参数为λ的Poisson 过程，则长度为t 的时间内到达k 个呼叫的概率)(t P k 服从Poisson 分布，即e t k k k t t p λλ-= ! )()(，?????????=,2,1,0k ，其中λ>0为一常数，表示了平均到达率或 Poisson 呼叫流的强度。 2、服务模式设每个呼叫的持续时间为i τ，服从参数为μ的负指数分布，即其分布函数为 {}1,0t P X t e t μ-<=-≥ 3、服务规则先进先服务的规则（FIFO ） 4、理论分析结果在该M/M/1系统中，设λρμ = ，则稳态时的平均等待队长为1Q ρλρ=-，顾客的平均等待时间为T ρ μλ= -。三、实验内容

浅析二项分布与泊松分布之间的关系

学年论文题目：浅析二项分布与泊松分布之间的关系学生：学号：院（系）：理学院专业：信息与计算科学指导教师：安晓钢 2013 年11月25日

浅析二项分布与泊松分布之间的关系信息121班; 指导教师：安晓钢（陕西科技大学理学院陕西西安 710021）摘要：泊松分布刻画了稀有事件在一段时间内发生次数这一随机变量的分布，如电话交换台单位时间内接到的呼唤次数等。二项分布是n 个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布。它们有着密切的关系。泊松分布是二项分布的特例。某现象的发生率很小，而样本例数n 很大时，则二项分布接近于泊松分布，即：如果试验次数n 很大，二项分布的概率p 很小，且乘积np =λ比较适中，则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。事实上，二项分布可以看作泊松分布在离散时间上的对应物，是二项分布的特例。通过分析二项分布和泊松分布之间的关系，使学生对概率分布理论的理解更为深刻，能够将学到的理论知识应用在实际生活中，从而提高自己的综合素质。关键词：二项分布，泊松分布，近似 The Application of Asignment Poblem ABSTRACT: Poisson distribution is used to depict the distribution of rare events that a random variable frequency over a period of time, such as a telephone exchange in unit time received the call number. The two distribution is n independent / discrete probability distributions of number of successful non trials. They have a close relationship. Poisson distribution is two distribution case. The incidence of the phenomenon is very small, and the number of sample n is large, then the two distribution is close to the Poisson distribution, i.e.: if the test number n is large, the two probability distribution P is small, and the product of lambda = N P is moderate, the probability of the event can be used to force the Poisson distribution near. In fact, the two distribution can be seen as the counterpart of Poisson distribution in discrete time, are the two distribution case. Through the analysis of the relationship between two binomial distribution and Poisson distribution, enables the student to the theory of probability distribution for more profound understanding will be able to learn the application of theoretical knowledge in real life, so as to improve their comprehensive quality. KEY WORDS : Two distribution, Poisson distribution, Approximate

a第7讲-第8讲第3章泊松过程

一．假定某天文台观察到的流星流是一个泊松过程, 据以往资料统计为每小时平均观察到 3 颗流星.试求: ( 1 ) 在上午 8 点到 12 点期间, 该天文台没有观察到流星的概率 . ( 2 ) 下午( 12 点以后)该天文台观察到第一颗流星的时间的分布函数 . 二．设电话总机在] X是具有强度 ,0(t内接到电话呼叫数) (t λ的泊松过程，求（每分钟）2 = （1）两分钟内接到2次呼叫的概率；（2）“第二分钟内收到第2次呼叫”的概率。

维纳过程如果它满足给定实随机过程,}0),({≥t t W ; )2(是平稳的独立增量过程;0)),(,0()()( ,0 )3(2 >??≥>σσ且～增量对任意的s t N s W t W s t . 0)0()1(=W 则称此过程为维纳过程.

3. 维纳过程的特征 ). ,min(),(),(2t s t s R t s B W W σ==; 0),,0()( 2>σσ且～t N t W ). ,min()]()()(()([(2 a t a s a W s W a W s W E ??=??σ, ,0+∞<<≤?t s a （１）（２）)] ()())(()([(a W t W a W s W E ??, t s <令))]()()()())(()([(a W s W s W t W a W s W E ?+??=))] ()())(()([(s W t W a W s W E ??=))]()())(()([(a W s W a W s W E ??+).(2a s ?=σ

五.平稳过程定义2.12,,,,,21T t t t N n n ∈∈L )) (,),(),((21n t X t X t X n L 变量维随机)) (,),(),((21h t X h t X h t X n +++L 和具有相同的分布函数, 则称随机过程}),({T t t X ∈具有平稳性, 并同时称此过程为严平稳随机过程,(或狭义平稳过程). 与常数若对为随机过程设τ?∈,}),({T t t X ,,,,21时当T t t t n ∈+++τττL 严平稳过程的任意有限维概率分布不随时间的推移而改变.

多级可修备件库存的生灭过程建模与优化

多级可修备件库存的生灭过程建模与优化* 刘任洋1，李华1，李庆民2，熊宏锦3 （1. 海军工程大学兵器工程系，湖北武汉 430033；2. 海军工程大学科研部，湖北武汉 430033；3. 海军装备部驻重庆地区军事代表局，重庆 400042 ）摘要：V ARI-METRIC 模型是解决可修备件多级库存建模问题的主流方法，针对该模型在低可用度下结果不准确的问题，建立了基于生灭过程的任意等级任意层级可修件库存优化模型。首先通过各级站点、各类备件需求率与到达率的预测，对每个部件建立其生灭过程模型，并提出基于生灭过程的装备可用度计算方法。而后以整个保障系统的装备可用度为约束指标，以备件总购置费最低为目标，利用边际算法得到最优备件配置方案，并建立了仿真模型对所得优化方案进行评估与调整。最后结合算例，以仿真结果作为检验标准，选取权威的VMETRIC 软件与本文解析模型在优化性能、计算精度及适用性上进行了对比和说明，结果表明：无论解析模型还是VMETRIC 软件均存在一定的适用范围，而采用解析与仿真相结合的方法无疑具有更强的适应性。关键词：生灭过程；可修复备件；可用度；库存优化；V ARI-METRIC 中图分类号：E911；TJ761.1；V125.7 文献标志码：A 文章编号： Modeling and optimization of multi-echelon inventory for repairable spares based on birth and death process LIU Renyang 1, LI Hua 1, LI Qingmin 2, XIONG Hongjin 3 (1. Department of Weaponry Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China ；2. Office of Research & Development, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China ；3. Military Representative Office of Naval Equipment Department in Chongqing, Chongqing 400042, China) Abstract: VARI-METRIC model is the main method to solve the problem of multi-echelon inventory modeling, for it is not accurate under the condition of low availability, the model of inventory optimization for multi-echelon multi-indenture repairable spares is built. Firstly, the birth and death process of each component are established by the prediction of demand rate and arrival rate of each spares in each sites; Then, computational method of availability is put forward based on birth and death process; With constrains of availability and objective of lowest cost, the optimal inventory distribution result is obtained by marginal algorithm and the simulation model is built to evaluate and adjust the result. In actual example, the analytic model and VMETRIC are compared and described in aspects of optimization performance, calculation precision and applicability by simulation verification, the results show that both analytic model and VMETRIC have certain scope of applicability and the method combined analytic model and simulation has stronger applicability. Keywords: birth and death process; repairable spares; availability; inventory optimization; V ARI-METRIC *收稿日期：2016-XX-XX 基金项目：国防预研项目基金（51304010206，51327020105）作者简介：刘任洋（1989－），男，江西南昌人，博士研究生，E-mail ：463572090@https://www.wendangku.net/doc/9c16556468.html, ；李庆民（通信作者），男，教授，博士，博士生导师，E-mail ：licheng001@https://www.wendangku.net/doc/9c16556468.html, 可修复性备件的配置问题是备件规划工作的重要环节。多级维修供应是较为科学的保障模式，目前国内外各军兵种大都采用该模式。由于装备使用现场的维修条件和备件储备能力有限，因此维修、备件储备及供应等保障活动在各级站点之间协调进行。从装备的全寿命周期角度看，由于可以得到包括工业部门或外部供应商在内的所有保障组织体系的支持，备件在供应过程中一般不存在实质性的消耗，具体表现为顶层站点具备较强的维修能力，能对所有故障件进行完全修复，或即使由于无法修复而报废但能通过采购方式得到补充。在这种没

正确理解泊松分布

正确理解泊松分布很多人在上概率论这门课的时候就没搞明白过泊松分布到底是怎么回事，至少我就是如此。虽然那个时候大家都会背“当试验的次数趋于无穷大，而乘积np固定时，二项分布收敛于泊松分布”，大部分的教科书上也都会给出这个收敛过程的数学推导，但是看懂它和真正的理解还有很大距离。如果我们学习的意义是为了通过考试，那么我们大可停留在“只会做题”的阶段，因为试卷上不会出现“请发表一下你对泊松公式的看法”这样的题目，因为那样一来卷子就变得不容易批改，大部分考试都会出一些客观题，比如到底是泊松分布还是肉松分布。而如果我们学习的目的是为了理解一样东西，那么我们就有必要停下来去思考一下诸如“为什么要有泊松分布？”、“泊松分布的物理意义是什么？”这样的“哲学”问题。如果我们要向一个石器时代的人解释什么是电话，我们一定会说：“电话是一种机器，两个距离很远的人可以通过它进行交谈”，而不会说：“电话在18XX年由贝尔发明，一台电话由几个部分构成……”（泊松分布在18XX年由泊松提出，泊松分布的公式是……）所以我们问的第一个问题应该是“泊松分布能拿来干嘛？” 泊松分布最常见的一个应用就是，它作为了排队论的一个输入。什么是排队论？比如我们去每天食堂打饭，最头疼的一个问题就是排队，之所以要排队是因为食堂打饭的大叔有限，假设学校有1000个学生，而食堂恰好配了1000个大叔和打饭的窗口，那么就永远不会有人排队。但是出于经营成本方面的考虑食堂通常不会这么干，因此如何控制窗口的数量并且保证学生不会因为排队时间太长而起义是一门很高深的学问。在一段时间t（比如1个小时）内来到食堂就餐的学生数量肯定不会是一个常数（比如一直是200人），而应该符合某种随机规律：比如在1个小时内来200 个学生的概率是10%，来180个学生的概率是20%……一般认为，这种随机规律服从的就是泊松分布。也就是在单位时间内有k个学生到达的概率为：其中为单位时间内学生的期望到达数。问题是“这个式子是怎么来的呢？”——我们知道泊松分布是二项分布满足某种条件的一个特殊形式，因此可以先从简单的二项分布入手，寻找两者之间的联系。

泊松过程

第二讲泊松过程 1．随机过程和有限维分布族现实世界中的随机过程例子：液体中，花粉的不规则运动：布朗运动；股市的股票价格；到某个时刻的电话呼叫次数；到某个时刻服务器到达的数据流数量，等。特征：都涉及无限多个随机变量，且依赖于时间。定义（随机过程）设有指标集T ，对T t ∈都有随机变量)(t X 与之对应，则称随机变量族 }),({T t t X ∈为随机过程。注一个随机过程是就是一个二元函数E T t X →?Ωω:),(。固定ω，即考虑某个事件相应的随机变量的值，得到函数R T t X →:),(ω称为样本函数或轨道或一个实现。映射的值域空间E 称为状态空间。例随机游动(离散时间，离散状态) 质点在直线上每隔单位时间位置就发生变化，分别以概率p 或概率p -1向正或负向移动一个单位。如果以n S 记时刻n 质点所处的位置，那么就得到随机过程{,0}n S n ≥。这里指标集},1,0{ =T ，状态空间},1,0,1,{ -=E 。如果记n X 为时刻n ，质点的移动，那么{,1}n X n ≥也是随机过程。两个过程的区别：{}n S 不独立；{}n X 独立；两个过程的关系：01 n n k k S S X ==+ ∑ 习题计算n ES 和n DS （设00S =）。提示利用∑== n k k n X S 1 ，其中k X 是时刻k 的移动方式。习题设从原点出发，则()/2()/2()/2 ,2()0, 21n k n k n k n n C q p n k i P S k n k i +-+?+===?+=-?。例服务器到达的数据流(连续时间，离散状态) 在],0[t 内，到达服务器的数据包个数记为)(t N ，那么}0),({≥t t N 也是个随机过程，其指标集}{+ ∈=R t T ，状态空间},1,0{ =E 。

应用随机过程实验2-泊松过程

应用随机过程实验2 —泊松过程一.准备知识 1.泊松过程 2.非齐次泊松过程 3. 复合泊松过程二.作业 1. 设()1X t 和()2X t 分别是参数为1λ和2λ的相互独立的泊松过程，（1）模拟()1X t 和()2X t ，并画图；（2）生成随机过程()()()12Y t =X +X t t ，并画图；（3）计算(){}Y t ,t 0≥ 的平均到达率与+1λ2λ的相对误差。 2. 设到达某商店的顾客组成强度为λ的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为p ，且与其他顾客是否购买商品无关，假设每位购买商品的顾客的花费i X 独立同分布，且服从正态分布2X (,)i N μσ:，1,2,3,i =L ，令()Y t 是t 时刻购买商品的顾客数，()Z t 是t 时刻商品的营业额，0t ≥ ，（1）试模拟随机过程(){},0Y t t ≥，并画图，计算随机过程(){},0Y t t ≥ 的均值函数与pt λ的相对误差；（2）试模拟随机过程(){},0Z t t ≥，并画图，计算随机过程(){}t ,t 0Z ≥ 的均值函数与pt λμ的相对误差。

3. 某路公共汽车从早晨5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时按平均乘客为200人/小时计算；5时至8时乘客平均到达率线性增加，8时到达率为1400人/小时；8时至18时保持平均到达率不变；18时到21时到达率线性下降，到21时为200人/小时，假定乘客数在不重叠的区间内是相互独立的，令()X t 是t 时刻到达公共汽车的总人数，（1）计算早晨5时到晚上9时的乘客到达率，并画图；（2）模拟从早晨5时到晚上9时的乘客到达过程(){}X t ,t 0≥。

马尔可夫过程

马尔可夫过程马尔科夫过程和马尔可夫过程是同义词，已合并。一类随机过程。它的原始模型马尔可夫链，由俄国数学家A.A.马尔可夫于1907年提出。该过程具有如下特性：在已知目前状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变( 过去) 。例如森林中动物头数的变化构成——马尔可夫过程。在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程，如液体中微粒所作的布朗运动、传染病受感染的人数、车站的候车人数等，都可视为马尔可夫过程。关于该过程的研究，1931年A.H.柯尔莫哥洛夫在《概率论的解析方法》一文中首先将微分方程等分析的方法用于这类过程，奠定了马尔可夫过程的理论基础。资料个人收集整理，勿做商业用途目录 1名词定义资料个人收集整理，勿做商业用途 2形成过程资料个人收集整理，勿做商业用途 1. 2.1 时间链资料个人收集整理，勿做商业用途 2. 2.2 连续时间资料个人收集整理，勿做商业用途 3. 2.3 生灭过程资料个人收集整理，勿做商业用途 4. 2.4 一般过程资料个人收集整理，勿做商业用途 3扩散过程资料个人收集整理，勿做商业用途 1名词定义在马尔可夫性的定义中，"现在"是指固定的时刻，但实际问题中常需把马尔可夫性中的“现在”这个时刻概念推广为停时（见随机过程）。例如考察从圆心出发的平面上的布朗运动，如果要研究首次到达圆周的时刻τ以前的事件和以后的事件的条件独立性，这里τ为停时，并且认为τ是“现在”。如果把“现在”推广为停时情形的“现在”，在已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”无关，这种特性就叫强马尔可夫性。具有这种性质的马尔可夫过程叫强马尔可夫过程。在相当一段时间内，不少人认为马尔可夫过程必然是强马尔可夫过程。首次提出对强马尔可夫性需要严格证明的是J.L.杜布。直到1956年，才有人找到马尔可夫过程不是强马尔可夫过程的例子。马尔可夫过程理论的进一步发展表明，强马尔可夫过程才是马尔可夫过程真正研究的对象。资料个人收集整理，勿做商业用途

排队理论

排队论排队论(Queuing Theory) 目录 [隐藏] ? 1 排队论简介 ? 2 排队系统模型的基本组成部分 o 2.1 输入过程 o 2.2 排队规则 o 2.3 服务机构 ? 3 排队系统的分类 ? 4 排队系统问题的求解 ? 5 排队论的应用 ? 6 排队论的案例分析 o 6.1 排队论案例一：超市收银台[1] o 6.2 排队论案例二：汽车售后服务[2] ?7 参考文献 [编辑] 排队论简介研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。日常生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现象。排队论的基本思想是1910年丹麦电话工程师A.K.埃尔朗在解决自动电话设计问题时开始形成的，当时称为话务理论。他在热力学统计平衡理论的启发下，成功地建立了电话统计平衡模型，并由此得到一组递推状态方程，从而导出著名的埃尔朗电话损失率公式。自20世纪初以来，电话系统的设计一直在应用这个公式。30年代苏联数学家А.Я.欣钦把处于统计平衡的电话呼叫流称为最简单流。瑞典数学家巴尔姆又引入有限后效流等概念和定义。他们用数学方法深入地分析了电话呼叫的本征特性，促进了排队论的研究。50年代初，美国数学家关于生灭过程的研究、英国数学家D.G.肯德尔提出嵌入马尔可夫链理论，以及对排队队型的分类方法，为排队论奠定了理论基础。在这以后，L.塔卡奇等人又将组合方法引进排队论，使它更能适应各种类型的排队问题。70年代以来，人们开始研究排队网络和复杂排队问题的渐近解等，成为研究现代排队论的新趋势。

[编辑] 排队系统模型的基本组成部分排队系统又称服务系统。服务系统由服务机构和服务对象（顾客）构成。服务对象到来的时刻和对他服务的时间（即占用服务系统的时间）都是随机的。图1为一最简单的排队系统模型。排队系统包括三个组成部分：输入过程、排队规则和服务机构。 [编辑] 输入过程输入过程考察的是顾客到达服务系统的规律。它可以用一定时间内顾客到达数或前后两个顾客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。例如，在生产线上加工的零件按规定的间隔时间依次到达加工地点，定期运行的班车、班机等都属于确定型输入。随机型的输入是指在时间t内顾客到达数n（t）服从一定的随机分布。如服从泊松分布,则在时间t内到达n 个顾客的概率为或相继到达的顾客的间隔时间T 服从负指数分布，即式中λ为单位时间顾客期望到达数，称为平均到达率；1/λ为平均间隔时间。在排队论中，讨论的输入过程主要是随机型的。 [编辑] 排队规则

随机过程期末复习题

随机过程期末复习题库（2015）一、填空题 1.对于具有常数均值的二阶矩过程，为宽平稳过程当且仅当二元函数只与有关, 而与和无关。 2.对于具有常数均值的二阶矩过程，为宽平稳过程当且仅当二元函数只与有关, 而与和无关。 3.设随机变量服从泊松分布，且，则 2 . 4.已知随机变量的二阶矩存在，且的矩母函数为，则. 5.已知随机变量的二阶矩存在，且的特征函数为，则 . 6.设是平稳序列，其协方差函数为，请给出的均值具有遍历性的一个充分条件：． 7.设是平稳过程，其协方差函数为，请给出的均值具有遍历性的一个充分条件：． 8.已知平稳过程的均值，协方差函数为，则该过程的自相关函数． 9.设为两个随机事件，，则 0.6 ． 10.设为二随机变量，，则 2 ． 11.已知随机变量的矩母函数为，则服从的分布是参数为的泊松分布． 12.是二维正态分布，即，． 13.设随机变量的数学期望均存在，则． 14.为随机事件，随机变量的数学期望存在，则． 15.在强度为的泊松过程中，相继事件发生的间隔时间是相互独立的随机变量，且服从均值为的同一指数分布. 16.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则的分布函数为. 17.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则． 18.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则

．解由定理3.2.3，在已知的条件下，事件发生的个时刻的条件联合分布函数与个在区间上相互独立同均匀分布的随机变量的顺序统计量的联合分布函数相同．故对，有从而， 19.是强度为的泊松过程，表示第个事件与第个事件发生的时间间隔.则. 解题思路：注意到与独立，且同服从参数为的指数分布即得． 20.设，是速率为的泊松过程. 则对于， . 21.设，是速率为的泊松过程. 对于， . 解对于，有增量与独立 22.是强度为的泊松过程，表示第个事件与第个事件发生的时间间隔.则对，. 解题思路：注意到与独立，且同服从参数为的指数分布即得． 23.设是强度为的泊松过程，表示第个事件与第个事件发生的时间间隔，则. 24.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则 . 25.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则服从参数为和的分布. 26.非齐次泊松过程，其强度函数为，则 . 解对于，有

随机过程第三章泊松过程

第三章泊松过程 3.1 泊松过程定义3.1 计数过程：随机过程{}(),0N t t ≥称为一个计数过程，若()N t 表示从0到时刻t 为止某一事件A 发生的总数，它是一个状态取非负整数、时间连续的随机过程。计数过程满足以下条件：（1）()0N t ≥，且取值非负整数；（2）若s t <，则()()N s N t <；（3）对于s t <，()()N t N s -表示时间区间(,]s t 内事件A 发生的次数。如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，则称计数过程有独立增量过程。如时刻t 已发生的事件A 的次数即()N t ，必须独立于时刻t 和t s +之间所发生的事件数即 (()())N t s N t +-。如果在任一时间区间内发生的事件A 的次数的分布只依赖于时间区间的长度，则称计数过程为平稳增量过程。即对一切12t t <及0s >，在区间12(,]t s t s ++中事件A 的发生次数即21(()())N t s N t s +-+与区间12(,]t t 中事件A 的发生次数即21(()())N t N t -具有相同的分布，则过程有平稳增量。泊松过程是计数过程的最重要类型之一，其定义如下。定义3.2 泊松过程：计数过程{}(),0N t t ≥称为参数为λ(0λ>)的泊松过程，如果满足：（1）()0N t =；（2）过程有独立增量；（3）在任一长度为t 的区间中事件的个数服从均值为t λ的泊松分布。即对一切s ，0t ≥， {}()(),0,1,2,! n t t P N t s N s n e n n λλ-+-=== 从条件（3）可知泊松过程有平稳增量且[()]E N t t λ=，于是可认为λ是单位时间内发生事件A 的平均次数，一般称λ是泊松过程的强度或速率。为确定一个任意的计数过程是泊松过程，必须证明它满足上述三个条件。其中，条件

《随机过程及应用》教学大纲20130901-杜江

成都信息工程学院硕士研究生课程教学大纲课程名称(中)：随机过程及应用课程名称(英)：Stochastic Processes and Applications 课程编号：开课单位：通信工程学院预修课程：信号与系统，概率论与数理统计，微积分，电路分析基础适用专业：信号与信息处理专业硕士研究生课程性质：学位学时： 48 (课堂教学：44学时；实验与专题报告：4学时) 学分： 3 考核方式：考试一、教学目的与要求（说明本课程同专业培养目标、研究方向、培养要求的关系，及与前后相关课程的联系）本课程适用硕士研究生信号处理专业。课程教学目的、要求：（一）从内容上，应使学生在了解随机变量分布规律的基础上，熟练掌握随机过程的基本理论和基本分析方法。（二）从教学方法上，着重基本概念的阐述，明确概念的物理意义，注重必要的数学公式推导过程。二、课程内容简介《随机过程及应用》是信号处理专业的一门核心必修课。本课程理论严谨、系统性强。其任务在于研究随机信号的基本理论和基本分析方法，为学生进一步学习和掌握信号检测与估计、现代信号处理等课程打好基础。主要内容包括：概率论基础，随机过程基础，泊松过程及其推广，马尔可夫过程，二阶矩过程及其均方分析，平稳过程，以及高阶统计量与非平稳过程等。强调随机过程的基础理论、物理意义与应用方法，注重理论联系实际，力求从概念的物理背景、理论的逻辑推导与应用的典型例子三个方面加以阐述。三、主要章节和学时分配（含相应章节内容的教学方式，如理论教学、实验教学、上机、自学、综述文献等）

主要章节章节主要内容简述教学方式学时备注概率论基础 1、概率空间 2、随机变量及其典型分布 3、随机变量的特征函数 4、随机收敛性与极限定理重点内容：集合论与概率论的关系，概率论基本概念，随机变量的分布律、数字特征、函数变换。难点内容：概率论的基本公式，随机变量的典型分布和数字特征。讲授 6 随机过程基础 1、随机信号的定义、分类和统计特征 2、平稳性与平稳过程 3、独立过程与白噪声过程 4、高斯过程重点内容：随机信号定义，基本特性与基本运算。难点内容：高斯过程，随机信号的定义和统计特征。讲授 6 几种重要的随机过程 1、独立过程与独立增量过程 2、维纳过程 3、泊松过程定义、概念、性质 4、到达时间的条件分布 5、更新过程重点内容：独立增量过程、维纳过程、泊松过程的定义，概念和性质。难点内容：这几种随机过程的性质，泊松过程的到达时间的条件分布、更新过程。讲授8 马尔可夫过程1、概念 2、离散参数马氏链 3、齐次马氏链状态的分类 4、连续参数马氏链讲授 4